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Operador laplaciano
En clculo vectorial, el operador laplaciano o lapla-ciano es un
operador diferencial elptico de segundo or-den, denotado como ,
relacionado con ciertos proble-mas deminimizacin de ciertas
magnitudes sobre un cier-to dominio. El operador tiene ese nombre
en reconoci-miento a Pierre-Simon Laplace que estudi soluciones
deecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las queapareca
dicho operador.Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la
sumade todas las segundas derivadas parciales no mixtas
de-pendientes de una variable. Corresponde a div (grad ),de donde
el uso del smbolo delta () o nabla cuadrado (r2 ) para
representarlo. Si ;A , son un campo escalary un campo vectorial
respectivamente, el laplaciano deambos puede escribirse en trminos
del operador nablacomo:
= (r r) = r2 A =r(r A)r (r A) = (r r)A
1 Problemas relacionados con eloperador laplaciano
En fsica, el laplaciano aparece en mltiples contextoscomo la
teora del potencial, la propagacin de ondas,la conduccin del calor,
la distribucin de tensiones enun slido deformable, etc. Pero de
todas estas situacio-nes ocupa un lugar destacado en la
electrosttica y en lamecnica cuntica. En la electrosttica, el
operador lapla-ciano aparece en la ecuacin de Laplace y en la
ecuacinde Poisson.Mientras que en la mecnica cuntica el lapla-ciano
de la funcin de onda de una partcula da la energacintica de la
misma. En matemticas, las funciones talesque su laplaciano se anula
en un determinado dominio, sellaman funciones armnicas sobre el
dominio. Estas fun-ciones tienen una excepcional importancia en la
teora defunciones de variable compleja. Adems el operador
la-placiano es el ingrediente bsico de la teora de Hodge ylos
resultados de la cohomologa de De Rham.
2 Motivacin de la ubicuidad deloperador laplaciano
Una de las motivaciones por las cuales el Laplacianoaparece en
numerosas reas de la fsica es que lassoluciones de la ecuacin f = 0
en una regin U son
funciones que minimizan el funcional de energa:
E(f) =1
2
ZU
krfk2dx
Para ver esto supngase que f : U ! R es una funcin, yu : U ! R
es una funcin que se anula sobre la fronterade U. Entonces,
d
d"
"=0
E(f + "u) =
ZU
rf rudx = ZU
ufdx
donde la ltima igualdad se sigue usando la primeraidentidad de
Green. Este clculo muestra que sif = 0 ,entonces el funcional de
energa E es estacionario alrede-dor de f. Recprocamente, si E es
estacionario alrededorde f, entonces f = 0 por el teorema
fundamental delclculo integral.Otra razn de su ubicuidad es que
cuando uno escribe laecuacin de Laplace en forma diferencias nitas
se apre-cia que el Laplaciano en un punto es la diferencia entreel
valor de la funcin en el punto y el valor de la funcinalrededor. Es
decir, cualquier magnitud que puede expre-sarse como una magnitud
ujo que se conserva satisfacela ecuacin de Laplace.
3 Propiedades del operador lapla-ciano
El laplaciano es lineal:
r2(f + g) = r2f + r2g
La siguiente armacin tambin es cierta:
r2(fg) = (r2f)g + 2(rf) (rg) + f(r2g)
4 Operador laplaciano en diversossistemas de coordenadas
1
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2 6 GENERALIZACIONES DEL LAPLACIANO
4.1 Coordenadas cartesianasEn coordenadas cartesianas (plano)
bidimensionales, ellaplaciano de una funcin f es:
f = r2f = @2f@x2 + @2f
@y2
En coordenadas cartesianas tridimensionales:
f = r2f = @2f@x2 + @2f
@y2 +@2f@z2
En coordenadas cartesianas en Rn :
f(x1; :::; xn) =Pn
k=1@2f@x2k
4.2 Coordenadas cilndricasEn coordenadas cilndricas (; '; z)
:
f = r2f = 1 @@@f@
+ 12
@2f@'2 +
@2f@z2 =
1@f@ +
@2f@2 +
12
@2f@'2 +
@2f@z2 :
4.3 Coordenadas esfricasEn coordenadas esfricas (r; ; ) :
f = r2f = 1r2 @@rr2 @f@r
+
1r2 sin
@@
sen @f@
+ 1
r2 sin2 @2f@2
4.4 Coordenadas curvilneas ortogonalesEn coordenadas ortogonales
generales (u1; u2; u3) :
f = r2f =1
h1h2h3
h@
@u1
h2h3h1
@f@u1
+ @@u2
h3h1h2
@f@u2
+ @@u3
h1h2h3
@f@u3
iDonde (h1; h2; h3) son los factores de escala del siste-ma de
coordenadas, que en general sern tres funcionesdependientes de las
tres coordenadas curvilneas.
5 Funcin armnicaUna funcin f : E Rn ! R se dice que es armnicaen
E si:
8x 2 E; f(x) = 0
Ejemplos de funciones armnicas:
f(x; y) = logp
x2 + y2sobre el plano eucl-
deo.
El potencial gravitatorio dado por (x; y; z) =GM/(
px2 + y2 + z2) es armnico sobre el espa-
cio eucldeo tridimensional.
los armnicos esfricos son funciones armnicas so-bre un dominio
nito o innito, que aparecen en laresolucin de problemas con simetra
esfrica.
6 Generalizaciones del LaplacianoEl Laplaciano puede ser
extendido a funciones denidassobre supercies, o en forma ms
general, en variedadesde Riemann y variedades
seudoriemannianas.
6.1 Operador de Laplace-Beltrami
Una extensin del Laplaciano a funciones reales dendassobre una
variedad es el operador de Laplace-Beltrami(denotado r2 ). Se lo
dene, en forma similar al La-placiano, como la divergencia del
gradiente, donde elgradiente una funcin f denida en una variedad
(seu-do)riemaniana y la divergencia de un campo vectorial Xsobre la
misma vienen dados en componentes por:
(grad f)i = gij @f@xj div X =1pjgj
@@xj
pjgjXiDonde: gij , es tensor 2-contravariante asociado al
tensormtrico.
pjgj , es la raz cuadrada del valor absoluto deldeterminante del
tensor mtrico. El operador de Laplace-Beltrami de una funcin
escalar, se obtiene como la di-vergencia y el gradiente denidos
como anteriormente esdecir:
r2f = 1pjgj@
@xk
pjgjgik @f@xi
6.2 Operador de Laplace-deRham
En variedades riemannianas y pseudo-riemannianas exis-te otra
generalizacin del laplaciano que lo extiende ak-formas, que es la
base de la cohomologa de Hodge-deRham. Esta extensin llamada
operador de Laplace-deRham, y denotado como , se dene en trminos
dela diferencial exterior (d) y la codiferencial exterior ()
dek-formas o alternativamente en trminos de la diferencialexterior
y el operador dual de Hodge. Este operador deLaplace-deRham se dene
como:
= (d + d) = (d+ )2
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3Donde se ha usado que la codiferencial puede reescribirseen
trminos de la diferencial exterior y el operador dualde Hodge:
= (1)n(k+1)+1 d
Donde n es la dimensin de la variedad (seu-do)riemanniana y k es
el orden de la k-forma .
6.3 Operador laplaciano para funciones nodiferenciables
En R2 el laplaciano puede generalizarse a funciones queno sean
diferenciables pero que sean integrables sobre uncrculo unidad
contenido en cierta regin. As se dene ellaplaciano
generalizado:
^u(x) =4 lim inf!0 12
h1
2
R@(x) uds
u(x)
iPuede demostrarse que para una funcin u 2 C2 denidaen un
entorno de x se tiene que:
^u(x) = u(x)
7 Vase tambin Operador nabla en coordenadas cilndricas y
esfri-cas
Operador laplaciano vectorial
8 Enlaces externos Weisstein, Eric W. Laplacian. En Weisstein,
EricW. MathWorld (en ingls). Wolfram Research.
Calcular operador laplaciano con Sage Math
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4 9 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS
9 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias9.1
Texto
Operador laplaciano Fuente:
https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano?oldid=78153999Colaboradores:
Pino, Charlitos, Robot-Quistnix, Alhen, Chobot, BOT-Superzerocool,
YurikBot, GermanX, KnightRider, Rdaneel, CEM-bot, Nagul, Davius,
Escarbot, Botones,TXiKiBoT, AlejandroCamara, Josemiguel84,
Idioma-bot, Alesico, Uruk, VolkovBot, Urdangaray, TIMINeutron,
AlleborgoBot, SieBot,Parodrilo, WikiBotas, PixelBot, Petruss, Juan
Mayordomo, Cibi3d, MelancholieBot, Luckas-bot, MystBot, Trani182,
Pandora89, Jkbw,Carlos Molina Fisico, Ricardogpn, BOTirithel,
TobeBot, EmausBot, WikitanvirBot, Elvisor, Addbot y Annimos: 29
9.2 Imgenes
9.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share
Alike 3.0
Problemas relacionados con el operador laplaciano Motivacin de
la ubicuidad del operador laplaciano Propiedades del operador
laplaciano Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilndricas Coordenadas esfricas
Coordenadas curvilneas ortogonales
Funcin armnica Generalizaciones del Laplaciano Operador de
Laplace-Beltrami Operador de Laplace-deRham Operador laplaciano
para funciones no diferenciables
Vase tambin Enlaces externos Texto e imgenes de origen,
colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia de contenido
