Operadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y ...€¦ · ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIA Universidad del Norte Barranquilla-Colombia

Operadores Pseudodiferenciales noArquimedianos y Semigrupos de Feller

ANSELMO TORRESBLANCA BADILLOTrabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIA

Universidad del Norte

Barranquilla-Colombia

Junio 7 de 2018

ANSELMO TORRESBLANCA BADILLO , Trabajo conjunto con el Dr. ISMAEL GUTIERREZ GARCIAOperadores Pseudodiferenciales no Arquimedianos y Semigrupos de Feller

Plan de la exposicion

Introduccion

Una clase de operadores Pseudodiferenciales

Semigrupos de Feller



Introduccion





Introduccion





Introduccion




Introduccion

Las interacciones entre los operadores pseudodiferenciales y lossemigrupos de Feller constituyen un area clasica de investigacionen el entorno arquimediano, lo cual ha despertado un interes en losultimos anos en el sentido no arquimediano.−−−, W- A. Zuniga-Galindo, ”Non-ArchimedeanPseudodifferential Operators and Feller Semigroups”, p-AdicNumbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol 10,Nro. 1, 2018, es el trabajo mas reciente donde se estudian lasconexiones entre operadores pseudodiferenciales y semigrupos deFeller.En esta platica estudiaremos una nueva forma de obtenersemigrupos de Feller relacionados a ciertos operadorespseudodiferenciales.


Una Clase de Operadores Pseudodiferenciales

Definition (Hipotesis A)

Diremos que la funcion J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A, si

J es una funcion continua, radial (esto es, J(x) = J(||x ||p)) yademas

∫Qn

pJ(||x ||p)dnx = 1.

Lemma

Supongamos que J : Qnp → R+ satisface la Hipotesis A. Entonces,

las siguientes afirmaciones se tienen:

1 J(ξ) es una funcion radial y continua.

2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.






∫Qn

pJ(||x ||p)dnx = 1.

Lemma




2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.






∫Qn

pJ(||x ||p)dnx = 1.

Lemma




2 |J(||ξ||p)| ≤ 1 y J(0) = 1.



Remark

1 Para f ∈ Lρ(Qn

p

)con 1 ≤ ρ ≤ ∞, definiremos

Af := J ∗ f − f , con J satisfaciendo la Hipotesis A. Entonces,para cualquier 1 ≤ ρ ≤ ∞, A : Lρ −→ Lρ determina unoperador lineal bien definido y acotado, ya que por ladesigualdad de Young se tiene

||Af ||Lρ ≤ ||J ∗f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ ||J||L1 ||f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ 2||f ||Lρ .

2 Considerando A : L2(Qn

p

)→ L2

(Qn

p

)tenemos que

−Af (x) = F−1ξ→x

((1− J(||ξ||p))Fx→ξf

),

esto es, −A es un operador pseudodiferencial con sımbolo1− J(||ξ||p).



Remark

1 Para f ∈ Lρ(Qn

p

)con 1 ≤ ρ ≤ ∞, definiremos

Af := J ∗ f − f , con J satisfaciendo la Hipotesis A. Entonces,para cualquier 1 ≤ ρ ≤ ∞, A : Lρ −→ Lρ determina unoperador lineal bien definido y acotado, ya que por ladesigualdad de Young se tiene

||Af ||Lρ ≤ ||J ∗f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ ||J||L1 ||f ||Lρ +||f ||Lρ ≤ 2||f ||Lρ .

2 Considerando A : L2(Qn

p

)→ L2

(Qn

p

)tenemos que

−Af (x) = F−1ξ→x

((1− J(||ξ||p))Fx→ξf

),

esto es, −A es un operador pseudodiferencial con sımbolo1− J(||ξ||p).



Proposition

Dado el Problema de Cauchy∂u∂t (x , t) = −Au(x , t), t ∈ [0,∞) , x ∈ Qn

p

u(x , 0) = u0(x) ∈ D(Qnp).

(1)

se cumple que

u(x , t) = −∫Qn

p

χp (−ξ · x) e−t(1−J(||ξ||p))u0(ξ)dnξ

es una solucion clasica de (1).



Definition

Una funcion f : Qnp → C es llamada definida positiva si∑m

i ,j=1f (xi − xj)λiλj ≥ 0

para todo m ∈ N\{0} , x1, . . . , xm ∈ Qnp y λ1, . . . , λm ∈ C.

Remark

Por un calculo directo se verifica que J(‖ξ‖p) es una funciondefinida positiva.



Definition

Una funcion f : Qnp → C es llamada definida positiva si∑m

i ,j=1f (xi − xj)λiλj ≥ 0

para todo m ∈ N\{0} , x1, . . . , xm ∈ Qnp y λ1, . . . , λm ∈ C.

Remark

Por un calculo directo se verifica que J(‖ξ‖p) es una funciondefinida positiva.



Definition

Una funcion f : Qnp → C es llamada definida negativa si∑m

i ,j=1

(f (xi ) + f (xj)− f (xi − xj)

)λiλj ≥ 0

para todo m ∈ N\{0}, x1, . . . , xm ∈ Qnp, λ1, . . . , λm ∈ C.

Remark

Se cumple que la funcion J(0)− J(||ξ||p) = 1− J(||ξ||p) esdefinida negativa.



Definition

Una funcion f : Qnp → C es llamada definida negativa si∑m

i ,j=1

(f (xi ) + f (xj)− f (xi − xj)

)λiλj ≥ 0

para todo m ∈ N\{0}, x1, . . . , xm ∈ Qnp, λ1, . . . , λm ∈ C.

Remark

Se cumple que la funcion J(0)− J(||ξ||p) = 1− J(||ξ||p) esdefinida negativa.



Definition

Una familia (µt)t>0 de medidas positivas y acotadas sobre Qnp con

las propiedades(i) µt(Qn

p) ≤ 1 para t > 0,(ii) µt ∗ µs = µt+s para t, s > 0,(iii) lımt→0+ µt = δ0 vagamente (δ0 denota la medida de Dirac en0 ∈ Qn

p), es llamada un semigrupo de convolucion sobre Qnp.



Remark

Es bien sabido que existe una correspondencia uno a uno entre lossemigrupos de convolucion (µt)t>0 sobre Qn

p y las funciones

continuas definidas negativas ψ sobre Qnp, donde µt(γ) = e−tψ(γ)

para t > 0 y γ ∈ Qnp. Por lo tanto, la familia (µt)t>0, que satisface

µt(ξ) = e−t(1−J(‖ξ‖p)), for t > 0 and ξ ∈ Qnp, (2)

determina un semigrupo de convolucion sobre Qnp.



Definition (Semigrupos de Feller)

Una familia de operadores lineales acotadosTt : C0(Qn

p)→ C0(Qnp) es llamada un semigrupo de Feller sobre

Qnp si satisface las siguientes condiciones:

1 Para todo t, s ≥ 0 tenemos Tt+s = TtTs

2 T0 = id

3 Para todo u ∈ C0(Qnp) se sigue que lımt→0+ ||Ttu − u||∞ = 0.

4 La familia {Tt}t≥0 es no negativa y contractiva sobreC0(Qn

p) :

u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn

p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.








2 T0 = id



p) :

u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn

p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.








2 T0 = id



p) :

u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn

p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.








2 T0 = id



p) :

u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn

p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.








2 T0 = id



p) :

u ∈ C0(Qnp), 0 ≤ u(x) ≤ 1 on Qn

p =⇒ 0 ≤ Ttu(x) ≤ 1 on Qnp.



Remark

El semigrupo de convolucion (µt)t>0 sobre Qnp satisfaciendo (2)

induce un semigrupo de Feller (Tt)t>0 por la definicionTt f := µt ∗ f , para f ∈ C0(Qn

p) y t > 0.

Berg Christian, Forst Gunnar, Potential theory on locallycompact abelian groups. Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1975



Definition

Una funcion pt(x ,E ), definida para todo t ≥ 0, x ∈ Qnp y

E ∈ B(Qnp), es llamada una funcion de transicion de Markov sobre


1 pt(x , ·) es una medida sobre B(Qnp) y pt(x ,Qn

p) ≤ 1 para todot ≥ 0 y x ∈ Qn

p.

2 pt(·,E ) es una funcion Borel medible para todo t ≥ 0 yE ∈ B(Qn

p).

3 p0(x , {x}) = 1 para todo x ∈ Qnp.

4 (The Chapman-Kolmogorov equation) Para todo t, s ≥ 0,x ∈ Qn

p y E ∈ B(Qnp), tenemos la ecuacion

pt+s(x ,E ) =

∫Qn

p

pt(x , dny)ps(y ,E ).



Definition






p.


p).




pt+s(x ,E ) =

∫Qn

p




Definition






p.


p).




pt+s(x ,E ) =

∫Qn

p




Definition






p.


p).




pt+s(x ,E ) =

∫Qn

p




Definition






p.


p).




pt+s(x ,E ) =

∫Qn

p




Definition

1 Diremos que la funcion de transicion de Markov pt(x , ·) sobreQn

p satisface la condicion (L) si para cada s > 0 y cadasubconjunto compacto E ⊂ Qn

p,

lımx→∞

sup0≤t≤s

pt(x ,E ) = 0.

2 Una funcion de transicion pt(x , ·) sobre Qnp se dice que es

uniformemente estocasticamente continua sobre Qnp si para

cada r ∈ Z y cada compacto E ⊂ Qnp, tenemos la condicion

lımt→0+

supx∈E

[1− pt(x ,Bnr (x))] = 0.



Definition

1 Diremos que la funcion de transicion de Markov pt(x , ·) sobreQn

p satisface la condicion (L) si para cada s > 0 y cadasubconjunto compacto E ⊂ Qn

p,

lımx→∞

sup0≤t≤s

pt(x ,E ) = 0.

2 Una funcion de transicion pt(x , ·) sobre Qnp se dice que es

uniformemente estocasticamente continua sobre Qnp si para

cada r ∈ Z y cada compacto E ⊂ Qnp, tenemos la condicion

lımt→0+

supx∈E

[1− pt(x ,Bnr (x))] = 0.



Theorem

Sea {Tt}t≥0 el semigrupo de Feller obtenido previamente.Entonces, existe una funcion de transicion uniformementeestocasticamente continua pt(x , ·) sobre Qn

p, satisfaciendo lacondicion (L), tal que la formula

Tt f (x) =

∫Qn

ppt(x , d

ny)f (y) if t > 0

f if t = 0.

se tiene.



Theorem

Existe un proceso fuerte de Markov X(t, ω) con espacio de estado(Qn

p, || · ||p) y funcion de transicion pt(x , ·) cuyas trayectorias soncontinuas a la derecha y las unicas discontinuidades que tiene sonsolo saltos.


Gracias por su atencion


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