Operadores de Sturm-Liouville

Ezequiel Ojeda Gomez

Reporte Semestral

Comenzaremos estudiando algunas propiedades de los operadores diferen-

ciales autoadjuntos de segundo orden, para posteriormente definir formal-

mente lo que se conoce como Problema de eigenvalores de Sturm-Liouville.

Probaremos que en el caso regular, las soluciones del problema de eigenvalo-

res de Sturm-Liouville provee una coleccion ortogonal de funciones cuadrado

integrables respecto a una determinada funcion de peso ρ en un interva-

lo finito, las cuales tienen la propiedad de que la cerradura de su espacio

generado es precisamente todo el espacio L2ρ. Probaremos tambien algunas

propiedades de los eigenvalores asociados y terminamos el trabajo mencio-

nando algunos ejemplos conocidos del problema singular de Sturm-Liouville.

1. Operadores Diferenciales Autoadjuntos

Sea L un operador diferencial definido por

L ≡ p(x)d2

dx2+ q(x)

d

dx+ r(x),

Ly = p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y,

y consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden

Ly = 0. (1)

Investigaremos las propiedades de ortogonalidad de las soluciones de (1), es

decir buscaremos aquellas soluciones y tales que

y ∈ C2(I) ∩ L2(I).

1

Primeramente busquemos una expresion para el operador adjunto de L, con

L : C2(I) ∩ L2(I) −→ L2(I)

y asumiremos inicialmente que p, q, r ∈ C2(I) y que son complejas. Sea L′ es

adjunto de L, entonces por definicion, para todo f, g ∈ C2(I) ∩ L2(I),

〈Lf, g〉 = 〈f,L′g〉,

donde 〈·, ·〉 denota el producto interior en L2. Sea I = (a, b) (donde los ex-

tremos pueden ser no acotados) entonces por integracion por partes tenemos

〈Lf, g〉 =

∫ b

a

(pf ′′ + qf ′ + rf

)g dx

=

∫ b

apf ′′g dx+

∫ b

aqf ′g dx+

∫ b

arfg dx

= p′fg∣∣ba−∫ b

af ′(pg)′ dx+ qfg|ba −

∫ b

af(qg)′ dx+

∫ b

arfg dx

=[pf ′g + qfg − f(pg)′

]∣∣ba+

∫ b

a

(f(pg)′′ − f(qg)′ + frg

)dx

=

∫ b

af [(pg)′′ − (qg)′ + rg]dx+

[pf ′g + qfg − fpg′ − fp′g

]∣∣ba

= 〈f,L∗g〉+[p(f ′g − fg′

)+ fg

(q − p′

)]∣∣ba.

Cabe hacer notar que la expresion anterior esta bien definida si p ∈ C2(a, b),

q ∈ C1(a, b) y r ∈ C(a, b). Aquı el operador

L∗g = (pg)′′ − (qg)′ + rg

= pg′′ +(2p′ − q

)g′ +

(p′′ − q′ + r

)g (2)

es llamado el adjunto formal de L, y L es llamado formalmente autoadjunto

cuando L∗ = L, esto es, cuando

p = p, 2p′ − q = q, p′′ − q′ − r = r.

2

Este sistema de ecuaciones se satisface si p, q y r son funciones reales y

ademas, p′ = q. En el caso en que Im(q) = 0, todos son reales y p′ = q, de

donde

Lf = pf ′′ + p′f ′ + rf

= (pf ′)′ + rf.

Ası pues L es formalmente autoadjunto y tiene la forma de

L =d

dx

(pd

dx

)+ r,

y

〈Lf, g〉 = 〈f,Lg〉+ p(f ′g − fg′

)∣∣ba,

de donde L sera autoadjunto si

p(f ′g − fg′

)∣∣ba= 0, ∀f, g ∈ C2 ∩ L2. (3)

Notese aquı que si p′ = q entonces la continuidad de p′′ y q′ no es necesaria

pues el termino p′′ − q′′ en (2), desaparece.

Estaremos interesados en el problema de eigenvalores de −L, es decir solu-

ciones de la ecuacion

Lu+ λu = 0. (4)

Toda u ∈ L2 ∩ C2 no nula, que satisface (4) es llamada eigenfuncion cor-

respondiende al eigenvalor λ. Cuando apropiadas condiciones de frontera

son impuestas a la ecuacion (4), el sistema resultante es llamado problema

de eigenvalores de Sturm-Liouville y se estudiara mas delante. Como

resultado de lo anterior, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea L : L2(a, b) ∩ C2(a, b) −→ L2(a, b) un operador diferencial

de segundo orden definido por

Lu = p(x)u′′ + q(x)u′ + r(x)u, x ∈ (a, b),

3

donde p ∈ C2(a, b), q ∈ C1(a, b) y r ∈ C(a, b). Entonces

(i) L es formalmente adjunto si p, q y r son reales y p′ ≡ q.

(ii) L es autoadjunto, ie L′ = L, si L es formalmente autoadjunto y se

satisface (3).

(iii) Si L es autoadjunto entonces todos los eigenvalores de (4) son reales

y todo par de eigenfunciones asociadas a distintos eigenvalores son

ortogonales en L2(a, b).

Demostracion. Ya se probo (i) y (ii). Para (iii) sea λ ∈ C eigenvalor de −L

y f ∈ L2(a, b) ∩ C2(a, b), f 6= 0 una eigenfuncion asociada, entonces

λ||f ||2 = λ〈f, f〉 = 〈λf, f〉 = −〈Lf, f〉.

Como L es autoadjunto,

−〈Lf, f〉 = −〈f,Lf〉 = 〈f, λf〉 = λ〈f, f〉 = λ||f ||2,

de donde (λ− λ)||f ||2, y como f 6= 0, ||f || > 0, por lo tanto

λ = λ

y λ es real.

Ahora sean λ y µ distintos eigenvalores de −L y sean f, g sus respectivas

eigenfunciones, entonces

λ〈f, g〉 = 〈λf, g〉 = 〈−Lf, g〉 = 〈f,−Lg〉 = 〈f, µg〉 = µ〈f, g〉,

por lo tanto (λ− µ)〈f, g〉 = 0, y como λ 6= µ,

〈f, g〉 = 0,

por lo tanto f y g son sortogonales.

Ejemplo. Sea L ≡ p(x) d2

dx2+q(x)ddx+r(x) con x ∈ I = (a, b), donde p ∈ C2(I)

no se anula en I, q ∈ C1(I) y r ∈ C(I). Supongamos sin perdidad de

4

generalidad que p(x) > 0 ∀x ∈ I. Si p′ 6= q, podemos multiplicar L por una

funcion ρ y definir el operador

L = ρL ≡ ρ(x)p(x)d2

dx2+ ρ(x)q(x)

d

dx+ ρ(x)r(x),

donde L sera formalmente autoadjunto si

ρq = (ρp)′ = ρp′ + ρ′p.

Llevando la ecuacion a su forma estandar

ρ′ +

(p′ − q

p

)ρ = 0,

vemos que el factor integrante es

µ(x) = exp

(∫p′ − q

pdx

)= exp

(log x−

∫q(x)

p(x)dx

)

= p(x) exp

(−∫q(x)

p(x)dx

)

por lo cual, la solucion de la ecuacion esta dada por

d

dx

(ρ(x)p(x)

(−∫q(x)

p(x)dx

))= 0

es decir

ρ(x) =c

p(x)exp

(∫q(x)

p(x)dx

). (5)

Ası pues, el operador ρL es formalmente autoadjunto.

El ejemplo anterior nos permite generalizar la parte (iii) del teorema 1 a

operadores que no son formalmente autoadjuntos. Si L es tal que p′ 6= q, la

ecuacion de eigenvalores (1) puede multiplicarse por una funcion positiva ρ

ρLu+ λρu = 0,

donde ahora ρL es formalmente autoadjunto. Si u ∈ L2ρ es una eigenfuncion

5

asociada al eigenvalor λ tenemos que

λ||u||2ρ = λ〈ρu, u〉 = 〈λρu, u〉 = 〈−ρLu, u〉 = 〈u,−ρL〉 = 〈u, λρL〉 = λ||u||2ρ,

por lo tanto, como u 6= 0, λ = λ. Mas aun sea v ∈ L2ρ eigenfuncion asociada

a µ eigenvalor distinto a λ, entonces

(λ− µ)〈u, v〉ρ = λ〈ρu, v〉 − µ〈ρu, v〉= 〈λρu, v〉 − 〈u, µρv〉= 〈−ρLu, v〉 − 〈u,−ρLv〉= 〈u,−ρLv〉 − 〈u,−ρLv〉= 0,

y como λ − µ 6= 0, entonces 〈u, v〉ρ = 0, es decir que u y v son ortogonales

con respecto a la funcion de peso ρ(x).

Corolario 2. Si L : L2(a, b)∩C2(a, b) −→ L2(a, b) es autoadjunto y ρ es una

funcion contınua y positiva en [a, b], entonces los eigenvalores de la ecuacion

Lu+ λρu = 0

son reales y todo par de eigenfunciones asociadas con eigenvalores distintos

son ortogonales en L2ρ(a, b).

Ejemplo. Encontrar los eigenvalores y eigenfunciones del problema de valores

a la frontera

x2y′′ + xy′ + λy = 0, 1 < x < b, (6)

y(1) = y(b) = 0. (7)

Solucion. Esta ecuacion es conocida como Ecuacion de Cauchy-Euler. Sea

6

y = xm, entonces sustituyendo en la ecuacion

x2m(m− 1)xm−2 + xmxm−1 + λxm = 0

xm [m(m− 1) +m+ λ] = 0, ∀x ∈ (a, b)

m2 −m+m+ λ = 0

m2 = −λ.

Supongamos aquı que λ > 0, entonces m = ±i√λ, de donde

xm = xi√λ = exp(i

√λ log x) = cos

(√λ log x

)+ i sen

(√λ log x

),

es decir, la solucion general de (6) esta dada por

y(x) = c1 cos(√

λ log x)+ c2 sen

(√λ log x

).

Aplicando las condiciones de frontera (7) se observa que

c1 = 0

c1 cos(√

λ log b)+ c2 sen

(√λ log b

)= 0,

de donde c1 = 0 y c2 sin(√

λ log b)= 0. Como y debe ser no nula, c2 6= 0 y

sen(√

λ log b)= 0,

de donde √λ log b = nπ,

y finalmente

λn =

(nπ

log b

)2

son eigenvalores de (6) con eigenfunciones

yn(x) = sin

(nπ

log blog x

).

7

Ahora bien, notese que el operador diferencial

L0 = x2d2

dx2+ x

d

dx

no es formalmente autoadjunto, pero multiplicandolo por

ρ(x) =1

p(x)exp

(∫q(x)

p(x)dx

)

=1

x2exp

(∫x

x2dx

)

=1

x2exp (log x)

=1

x

tenemos que

L = xd2

dx2+

d

dx= ρL0

es formalmente autoadjunto. Finalmente vemos que las funciones {yn} son

ortogonales en L2x−1(1, b), pues tenemos que

〈ym, yn〉x−1 =

∫ b

1sin

(mπ

log blog x

)sin

(nπ

log blog x

)1

xdx.

Haciendo u = log xπ

log bentonces du =

dx

x

π

log b, ademas que u→ 0, x→ 0

y u→ π, x→ b. Ası

〈ym, yn〉x−1 =log b

π

∫ π

0sen(mu) sen(nu)du

=log b

2π

∫ π

0[cos(m− n)u− cos(m+ n)u] du

=log b

2π

[1

m− nsen(m− n)u+

1

m+ nsen(m+ n)u

]π

0

=log b

2π· 0

= 0.

8

Ahora regresemos y supongamos que λ = 0, entonces la ecuacion se reduce

a

x2y′′ + xy′ = 0.

Haciendo u = y′ y dividiendo la ecuacion por x2 obtenemos

u′ +1

xu = 0.

Multiplicando por el factor integrante µ(x) = exp(∫

1xdx) = x, la solucion

esta dada por

u(x) =c1x,

con c1 una constante. Ası,

y′ =c1x,

de donde

y(x) = c1 log(x) + c2,

y aplicando las condiciones de frontera (7) resulta que

c1 = 0

c2 log b = 0,

pero dado que b > 0, log b > 0, por lo tanto c1 = c2 = 0 y y ≡ 0, por lo cual

λ = 0 no es un eigenvalor.

Para terminar supongamos finalmente que λ < 0, entonces m = ±√−λ, de

donde la solucion general esta dada por

y(x) = c1x√−λ + c2x

−√−λ.

Aplicando (7) y haciendo α = b√−λ, tenemos que las constantes c1 y c2

satisfacen el sistema lineal homogeneo

A

(c1

c2

)=

(1 1

α 1α

)(c1

c2

)=

(0

0

),

9

y dado que detA = 1α − α 6= 0, entonces c1 = c2 = 0 y nuevamente y ≡ 0,

por lo cual λ < 0 no es un eigenvalor del problema.

2. El Problema de Sturm-Liouville

Sea L un operador formalmente autoadjunto de la forma

L =d

dx

(p(x)

d

dx

)+ r(x). (8)

La ecuacion de eigenvalores

Lu+ λρ(x)u = 0, x ∈ (a, b), (9)

sujeto a las condiciones de frontera homogeneas

α1u(a) + α2u′(a) = 0 , |α1|+ |α2| > 0 (10)

β1u(b) + β2u′(b) = 0 , |β1|+ |β2| > 0, (11)

donde las αi y βi son constantes reales, es llamado problema de eigenva-

lores de Sturm-Liouville o sencillamente problema SL. Por la seccion

anterior sabemos que (si existen) los eigenvalores son reales y sus eigenfun-

ciones son ortogonales en L2ρ(a, b). Cuando el intervalo es acotado y p no se

anula en [a, b], el sistema de ecuaciones (9) - (11) es llamado problema SL

regular, de otra forma es llamado problema SL singular. Las soluciones del

problema SL son, claramente, eigenfunciones del operador −L/ρ en C2 que

satisfacen las condiciones de frontera (10) y (11).

La siguiente parte del trabajo esta dedicada a probar que no solo el problema

regular SL tiene soluciones, sino que dichas soluciones son suficientes para

generar L2ρ(a, b), lo cual se probara en etapas. Asumiremos por simplicidad

que ρ ≡ 1 y construiremos una funcion de Green para el operador L bajo las

condiciones de frontera (10) y (11). Despues usaremos la funcion de Green

para obtener una expresion integral para L−1 y llegaremos a los resultados

10

deseados por medio del analisis espectral de L−1. Tambien hay que decir al

respecto del problema SL singular.

2.1. Existencia de Eigenfunciones

Definicion 3. Una funcion de Green para el operador diferencial

L ≡ pd2

dx2+ p′

d

dx+ r

bajo las condiciones de frontera

α1u(a) + α2u′(a) = 0 , |α1|+ |α2| > 0

β1u(b) + β2u′(b) = 0 , |β1|+ |β2| > 0,

es una funcion

G : [a, b]× [a, b] → R

con las siguientes propiedades:

1. G es simetrica, en el sentido que

G(x, ξ) = G(ξ, x) para todo x, ξ ∈ [a, b],

y G satisface las condiciones de frontera tanto en x como en ξ.

2. G es continua en el cuadrado [a, b] × [a, b] y de clase C2 en [a, b] ×[a, b]\{(x, ξ)|x = ξ}, donde G satisface la ecuacion diferencial

LxG(x, ξ) = 0.

3. La derivada ∂G∂x tiene una discontinuidad de tipo salto en x = ξ dada

por

∂G

∂x(ξ+, ξ)− ∂G

∂x(ξ−, ξ) = lım

δ→0+

[∂G

∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G

∂x(ξ − δ, ξ)

]

=1

p(ξ). (12)

11

Supondremos que la ecuacion homogenea Lu = 0, bajo las condiciones de

frontera (10) y (11) tiene solo la solucion trivial u ≡ 0. Esta suposicion

quiere decir que 0 no es un eigenvalor de −L. No hay perdida de generalidad

pues si λ es un real que no es eigenvalor de −L entonces podemos definir el

operador

L = L+ λ = pd2

dx2+ p′

d

dx+ r,

donde r(x) = r(x) + λ. Ahora, dado que

Lu+ λu = Lu+ (λ− λ)u,

vemos que λ es un eigenvalor de −L con eigenfuncion u sı y solo sı λ− λ es

un eigenvalor de −L con eigenfuncion u. Como λ no es un eigenvalor de −L,0 no puede ser un eigenvalor de −L. Ası pues se observa que hay numeros

reales que no son eigenvalores de −L como se observa en el siguiente lema.

Lema 4. Los eigenvalores de −L estan acotados inferiormente.

Demostracion. Para toda funcion u ∈ C2[a, b] que satisface las condiciones

de frontera (10) y (11), tenemos integrando por partes el primer miembro

del integrando que

〈−Lu, u〉 =

∫ b

a

[−(pu′)′u− r|u|2

]dx

=

∫ b

a

[p|u′|2 − r|u|2

]dx− p(b)u′(b)u(b) + p(a)u′(a)u(a)

=

∫ b

a

[p|u′|2 − r|u|2

]dx+ p(b)

β1β2

|u(b)|2 − p(a)α1

α2|u(a)|2

Si β2 = 0, la segunda condicion de frontera implica que u(b) = 0 y el

segundo termino del lado derecho de la igualdad se anula. Similarmente el

tercer termino se anula si α2 = 0. El caso donde u es una eigenfuncion de

12

−L con condiciones de frontera u(a) = u(b) = 0 da como resultado

λ||u||2 =

∫ b

ap(x)|u′(x)|2dx−

∫ b

ar(x)|u(x)|2dx

≥ −||u||2 max {|r(x)| : a ≤ x ≤ b} ,

donde ℓ = −max {|r(x)| : a ≤ x ≤ b} es una cota inferior para λ. Por otro

lado si u satisface las condiciones de frontera (10) y (11), el siguiente argu-

mento muestra que no pueden existir mas de dos eigenfunciones linealmente

independientes de −L con eigenvalores menores que ℓ. Supongamos pues que

existen tres eigenfunciones linealmente independientes de −L, u1, u2 y u3,

con λ1, λ2 y λ3 sus correspondientes eigenvalores, los cuales son menores que

ℓ. Sin perdida de generalidad podemos suponer las eigenfunciones ortonor-

males por el proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt. Como

α1ui(a) + α2u′i(a) = 0 ,

β1ui(b) + β2u′i(b) = 0 , i = 1, 2, 3,

se observa que cada uno de los vectores (ui(a), u′i(a)) y (ui(b), u

′i(b)) caen en

un subespacio de R2 de dimension 1, por lo cual cada uno de los vectores

ui = (ui(a), u′i(a), ui(b), u

′i(b)) cae en un subespacio de dimension dos de

R4, por lo cual dichos vectores deben ser linealmente dependientes, es decir

podemos escribir

c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0,

donde no todos los cj son nulos. Pero esto implica que

c1u1(a) + c2u2(a) + c3u3(a) = 0,

c1u1(b) + c2u2(b) + c3u3(b) = 0.

Entonces la funcion v(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + c3u3(x) es una eigenfuncion

de −L y satisface v(a) = v(b) = 0, de donde su eigenvalor esta acotado por

13

ℓ. Pero esto es una contradiccion pues

〈−Lv, v〉 = λ1|c1|2 + λ2|c2|2 + λ3|c3|2 < ℓ(|c1|2 + |c2|2 + |c3|2

)= ℓ||v||2.

Construyamos ahora la funcion de Green. Por el teorema de existencia y

unicidad para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, Lu = 0

tiene dos soluciones unicas no triviales v1, v2 linealmente independientes1

tales que

v1(a) = α2 , v′1(a) = −α1,

v2(b) = β2 , v′2(b) = −β1.

Ası v1 satisface (10) y v2 satisface (11).

Si hacemos

c = p(x)[v1(x)v

′2(x)− v′1(x)v2(x)

]= p(x)W (v1, v2) 6= 0,

entonces definimos

G(x, ξ) =

c−1v1(ξ)v2(x), a ≤ ξ ≤ x ≤ b

c−1v1(x)v2(ξ), a ≤ x ≤ ξ ≤ b.

Notese que c es efectivamente una constante no nula, pues si calculamos su

derivada, dado que v1 y v2 son soluciones de la ecuacion Lu = 0 y que p > 0,

1De no serlo, una serıa multimplo escalar de la otra y cumplirıa Lu = 0 y las condiciones

de frontera, lo cual contradice la hipotesis de que 0 no es eigenvalor de −L

14

tenemos que

d

dxc = [p(x)W (v1, v2)(x)]

′

= p′(x)W (v1, v2)(x) + p(x)W ′(v1, v2)(x)

= p′[v1v

′2 − v′1v2

]+ p

[v1v

′′2 + v′1v

′2 − v′′1v2 − v′1v

′2

]

= p′[v1v

′2 − v′1v2

]+ p

[v1v

′′2 − v′′1v2

]

= p′[v1v

′2 − v′1v2

]− p

[v1p′v′2 + rv2

p− v2

p′v′1 + rv1p

]

= p′v1v′2 − p′v′1v2 − v1p

′1v2 − v1rv2 + v2p

′v′1 + v2rv1

= 0,

y es no nula, pues ni p ni W se anulan en I.

Efectivamente G es una funcion de Green. Notese por ejemplo que

G(a, ξ) = c−1v1(a)v2(ξ)

G(b, ξ) = c−1v1(ξ)v2(b)

∂

∂xG(x, ξ)

∣∣∣∣x=a

= c−1v′1(a)v2(ξ)

∂

∂xG(x, ξ)

∣∣∣∣x=b

= c−1v′1(ξ)v2(b).

De este modo

α1G(a, ξ) + α2∂

∂xG(x, ξ)

∣∣∣∣x=a

= α1c−1v1(a)v2(ξ) + α2c

−1v′1(a)v2(ξ)

= c−1v2(ξ)(α1v1(a) + α2v

′1(a)

)

= c−1v2(ξ) (α1α1 − α2α2)

= 0,

ası, para la variable x se cumple la condicion de frontera (10). Analogamente

puede probarse que se cumple (11) y tambien que se cumplen ambas para

la variable ξ. Respecto a la continuidad de G en el cuadrado, es clara dado

que c es una constante no nula y G es producto de dos funciones continuas.

15

Ademas es de clase C2 en el cuadrado menos la diagonal por la misma razones

sencillo probar que satisface la ecuacion LxG(x, ξ) = 0. No es de clase C2 en

la diagonal pues ni siquiera es C1 como muestra el siguiente calculo,

∂G

∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G

∂x(ξ − δ, ξ) =

1

c

[v1(ξ)v

′2(ξ + δ)− v′1(ξ − δ)v2(ξ)

]

donde δ > 0, y por la continuidad de v′1 y v′2 tenemos que

lımδ→0+

[∂G

∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G

∂x(ξ − δ, ξ)

]=

1

c

[v1(ξ)v

′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)

]

=v1(ξ)v

′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)

p(ξ) [v1(ξ)v′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)]

=1

p(ξ).

Ası, G no es C2 en la diagonal y mas aun, se cumple la ultima condicion

para que G sea una funcion de Green.

Ahora definamos el operador T sobre C[a, b] por

(Tf)(x) =

∫ b

aG(x, ξ)f(ξ)dξ, (13)

y veamos que la funcion Tf es de clase C2 y solucion de la ecuacion Lu = f .

Reescribiendo (13) y diferenciando

(Tf)(x) =

∫ x

aG(x, ξ)f(ξ)dξ +

∫ b

xG(x, ξ)f(ξ)dξ

(Tf)′(x) =

∫ x

aGx(x, ξ)f(ξ)dξ +

∫ b

xGx(x, ξ)f(ξ)dξ

(Tf)′′(x) =

∫ x

aGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +Gx(x, x

−)f(x−)

+

∫ b

xGxx(x, ξ)f(ξ)dξ −Gx(x, x

+)f(x+)

donde hemos usado la continuidad de G y de f en x = ξ para obtener

16

(Tf)′(x). Ademas por la continuidad de v1, v2 y f

Gx(x, x−)f(x−)−Gx(x, x

+)f(x+) =f(x)

c[v1(x)v

′2(x)− v′1(x)v2(x)] =

f(x)

p(x)

por lo que

(Tf)′′(x) =∫ x

aGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +

∫ b

xGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +

f(x)

p(x),

de donde se concluye que Tf ∈ C2[a, b] y ademas

L(Tf)(x) = p(x)(Tf)′′(x) + p′(x)(Tf)′(x) + r(x)(Tf)(x)

=

∫ x

aLxG(x, ξ)f(ξ)dξ +

∫ b

xLxG(x, ξ)f(ξ)dξ + f(x)

= f(x), (14)

a partir del hecho de que LxGx(x, ξ) = 0 para todo ξ 6= x. Finalmente notese

que

α1(Tf)(a) + α2(Tf)′(a) = α1

∫ b

aG(a, ξ)f(ξ)dξ + α2

∫ b

aGx(a, ξ)f(ξ)dξ

=

∫ b

a(α1G(a, ξ) + α2Gx(a, ξ)) f(ξ)dξ

y como G satisface las condiciones de frontera, el integrando del lado dere-

cho se anula, de modo que Tf satisface la condicion de frontera (10). De la

misma manera se observa que G satisface (11).

Por otro lado si u ∈ C[a, b] satisface (10) y (11), entonces por integracion

17

por partes, la continuidad de p, u y u′ y las propiedades de G

T (Lu)(x) =

∫ x

aG(x, ξ)Lu(ξ)dξ +

∫ b

xG(x, ξ)Lu(ξ)dξ

= p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]xa +

∫ x

au(ξ)LξG(x, ξ)dξ

+ p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]bx +

∫ b

xu(ξ)LξG(x, ξ)dξ

= p(ξ)u(ξ)Gξ(x, ξ)|x+

x−+ p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]

ba

= u(x).

Ası pues observamos que el operador T actua como operador inverso de L

y el problema de eigenvalores de Sturm Liouville

Lu+ λu = 0,

α1u(a) + α2u′(a) = 0,

β1u(b) + β2u′(b) = 0,

es equivalente a la ecuacion de Tu = µu, donde µ = −1/λ. En otras palabras,

u sera una eigenfuncion del problema SL asociada al eigenvalor λ sı y solo

sı es una eigenfuncion de T asociada al eigenvalor −1/λ. Deduciremos las

propiedades espectrales del problema de SL a partir de aquellas de T .

Lema 5. El conjunto de funciones {Tu} con u ∈ C[a, b] y ||u|| ≤ 1 es

uniformemente acotado y equicontinuo.

Demostracion. Como G es continua en el cuadrado [a, b]× [a, b] y el cuadra-

do es compacto, entonces G es uniformemente continua y acotada por una

18

constante M > 0. Por la desigualdad de Schwartz

|Tu(x)| = |〈G(x, ξ), u(ξ)〉|≤ ||G(x, ·)|| · ||u||

=

(∫ b

a|G(x, ξ)|2dξ

)1/2

||u||

≤(M2

∫ b

adξ

)1/2

||u||

= M√b− a||u||

de modo que {|Tu| : ||u|| ≤ 1} es acotado por M√b− a. Como G es

uniformemente continua dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x1, x2 ∈ [a, b]

y |x2 − x1| < δ entonces |G(x2, ξ)−G(x1, ξ)| < ε, para todo ξ en [a, b]. Ası,

si u es continua

|Tu(x1)− Tu(x2)| = |〈G(x1, ξ)−G(x2, ξ), u(ξ)〉|≤ ||G(x1, ·)−G(x2, ·)|| · ||u||

=

(∫ b

a|G(x2, ξ)−G(x1, ξ)|2dξ

)1/2

||u||

≤(ε2∫ b

adξ

)1/2

||u||

= ε√b− a||u||,

siempre y cuando |x2 − x1| < δ. Ası si ||u|| ≤ 1, {Tu} es equicontinuo.

Notese que si u, v ∈ C[a, b],

〈Tu, v〉 =

∫ b

a(Tu)(x)v(x)dx

=

∫ b

a

(∫ b

aG(x, ξ)u(ξ)dξ

)v(x)dx

=

∫ b

au(ξ)

(∫ b

aG(x, ξ)v(x)dx

)dξ,

19

donde en la ultima igualdad hemos usado el teorema de Fubini, en el en-

tendido de que todas las funciones son continuas. Ahora bien, si v(x) =

c(x) + id(x), con c y d funciones reales, entonces

∫ b

aG(x, ξ)v(x)dx =

∫ b

aG(x, ξ)(c + id)(x)dx

=

∫ b

aG(x, ξ)c(x)dx + i

∫ b

aG(x, ξ)d(x)dx

=

∫ b

aG(x, ξ)c(x)dx − i

∫ b

aG(x, ξ)d(x)dx

=

∫ b

aG(x, ξ)(c − id)(x)dx

=

∫ b

aG(x, ξ)v(x)dx.

Ası pues

〈Tu, v〉 =

∫ b

au(ξ)

(∫ b

aG(x, ξ)v(x)dx

)dξ

=

∫ b

au(ξ)

(∫ b

aG(x, ξ)v(x)dx

)dξ

= 〈u, Tv〉

por tanto T es autoconjugado y podemos escribir

||T || = supu∈C[a,b]||u||=1

|〈Tu, u〉|.

Ahora ya estamos en condiciones de probar el primer teorema de existencia

para el problema de eigenvalores en consideracion.

Teorema 6. Dado T como se definio anteriormente, o ||T || o −||T || es un

eigenvalor de T .

Demostracion. Tenemos que por un lado ||T || = sup||u||=1〈Tu, u〉 o por otro

||T || = − ınf ||u||=1〈Tu, u〉. Supongamos el primer caso, entonces existe una

20

sucesion {uk} tal que 〈Tuk, uk〉 → ||u||. Como {Tuk} es uniformemente

acotada y equicontinua, por Arzela-Ascoli existe una subsucesion {Tukj}uniformemente convergente a una funcion continua ϕ0. Probaremos ahora

que ϕ0 es una eigenfuncion asociada al eigenvalor µ0 = ||T ||. Cuando j →+∞ tenemos que

supx∈[a,b]

|Tukj (x)− ϕ0(x)| → 0,

lo cual implica que

||Tukj − ϕ0|| → 0, (15)

y ademas ||Tukj || → ||ϕ0||. Mas aun, como 〈Tukj , ukj 〉 → µ0,

||Tukj − µoukj ||2 = ||Tukj ||2 + µ20 − 2µ0〈Tukj , ukj 〉 → ||ϕ0||2 − µ20, (16)

dado que ||ϕ0||2 ≥ µ20 > 0, y la funcion ϕ0 no es identicamente nula en [a, b].

Como ||Tukj ||2 ≤ ||T ||2||ukj ||2 = µ20 se sigue de (16) que

0 ≤ ||Tukj − µ0ukj ||2 ≤ 2µ20 − 2µ0〈Tukj , ukj 〉.

Pero 〈Tukj , ukj 〉 → µ0, entonces

||Tukj − µ0ukj ||. (17)

Ahora podemos escribir

0 ≤ ||Tϕ0 − µ0ϕ0||≤ ||Tϕ0 − T (Tukj)||+ ||T (Tukj )− µ0Tukj ||+ ||µ0Tukj − µ0ϕ0||

Cuando j → ∞, usando que ||Tu|| ≤ ||T || · ||u|| junto (15) y (17) se concluye

que ||Tϕ0 − µ0ϕ0|| = 0, por tanto Tϕ0 − µ0ϕ0 = 0, de donde Tϕ0 = µ0ϕ0.

Cuando ||T || = − ınf ||u||=|〈Tu, u〉 la prueba es similar.

21

Sea

ψ0 =ϕ0

||ϕ0||G1(x, ξ) = G(x, ξ) − µ0ψ0(x)ψ0(ξ)

(T1u)(x) =

∫ b

aG1(x, ξ)u(ξ)dξ

= Tu(x)− µ0〈u, ψ0〉ψ0(x) para toda u ∈ C[a, b]. (18)

La funcion G1 tiene las mismas propiedades de regularidad y simetrıa que

G, por tanto el Lema 5 y el teorema 6 aplican al operador T1. Si ||T1|| 6= 0

entonces definimos |µ1| = ||T1|| donde µ1 es un numero real no nulo, el

cual es eigenvalor del operador T1 en vista del teorema 6, asociado a la

eigenfuncion ϕ1 ∈ C[a, b], eso es

T1ϕ1 = µ1ϕ1.

Sea ψ1 = ϕ1/||ϕ1||, entonces para toda u ∈ C[a, b],

〈T1u, ψ0〉 = 〈Tu, ψ0〉 − µ0〈〈u, ψ0〉ψ0, ψ0〉= 〈u, Tψ0〉 − µ0〈u, ψ0〉= 0

pues Tψ0 = µ0ψ0. En particular, 〈T1ψ1, ψ0〉 = 〈µ1ψ1, ψ0〉 = 0, de donde ψ1

es ortogonal a ψ0. Ahora por la ecuacion (18)

Tψ1 = T1ψ1 = µ1ψ1.

Ası ψ1 es tambien una eigenfuncion de T y su eigenvalor asociado satisface

|µ1| ≤ ||Tψ1|| ≤ ||T || = |µ0|

22

Haciendo

G2(x, ξ) = G1(x, ξ) − µ1ψ1(x)ψ1(ξ) = G(x, ξ)−1∑

k=0

µkψk(x)ψk(ξ)

T2u = T1u− µ1〈u, ψ1〉ψ1 = Tu−1∑

k=0

µk〈u, ψk〉ψk,

y procediendo como antes, deducimos la existencia de una tercera eigenfun-

cion normalizada de T , ψ2 asociada al eigenvalor µ2 tal que ψ2 es ortogonal

tanto a ψ1 como ψ2 y |µ2| ≤ |µ1|. Ası se obtiene una sucesion ortonormal de

eigenfunciones de T ψ0, ψ1, ψ2, . . . correspondientes a la sucesion de eigen-

valores |µ0| ≥ |µ1| ≥ |µ2| ≥ · · · . La sucesion de eigenfunciones termina solo

si ||Tn|| = 0 para algun n. En ese caso

0 = LTnu = LTu−n−1∑

k=0

µk〈u, ψk〉Lψk = u−n−1∑

k=0

µk〈u, ψk〉Lψk

para toda u continua, lo que darıa lugar a

u =

n−1∑

k=0

µk〈u, ψk〉Lψk =

n−1∑

k=0

〈u, ψk〉LTψk =

n−1∑

k=0

〈u, ψk〉ψk

lo cual contradice el hecho de que dim C[a, b] = ∞. Por tanto ||Tn|| > 0 para

toda n ∈ N. Finalmente hemos probado el siguiente resultado.

Teorema 7. El operador integral T tiene una sucesion infinita de eigenfun-

ciones {ψn}, las cuales son ortonormales en L2(a, b).

2.2. Completitud de las Eigenfunciones

Si f es una funcion en L2(a, b) la desigualdad de Bessel nos dice que

∞∑

k=0

|〈f, ψk〉|2 ≤ ||f ||2.

23

Para probar la completitud de las eigenfunciones {ψk} en L2(a, b) ten-

emos que probar que dicha desigualdad es de hecho una igualdad. Esto se

hara probando primero que

f =

∞∑

k=0

〈f, ψk〉ψk

para toda funcion f ∈ C[a, b] que satisface las condiciones de frontera (10) y

(11), y despues usando la densidad de C2[a, b] en L2(a, b) para extender la

igualdad a todo L2(a, b).

Teorema 8. Dada una funcion f en C2[a, b] que satisface las condiciones

de frontera (10) y (11), la serie∑〈f, ψk〉ψk converge uniformemente a f

en [a, b].

Demostracion. Para cada x ∈ [a, b] tenemos

〈G(x, ·), ψk〉 = Tψk(x) = µkψk(x) para toda k ∈ N.

La desigualdad de Bessel aplicada a G en ξ da lugar a

n∑

k=0

µ2k|ψk(x)|2 ≤∫ b

a|G(x, ξ)|2dξ, para toda x ∈ [a, b]

con n natural. Integrando respecto a x y haciendo tender n a infinito se

obtiene ∞∑

k=0

µ2k ≤M2(b− a)2, (19)

donde M es el valor maximo de G en el cuadrado [a, b]2. Como la serie esta

acotada, converge, por tanto

lımn→∞

|µn| = 0. (20)

24

Ademas para toda u ∈ C[a, b],

||Tnu|| =∥∥∥∥∥Tu−

n−1∑

k=0

µk〈u, ψk〉ψk

∥∥∥∥∥ ≤ |µn| · ||u|| → 0, cuando n→ ∞ (21)

en vista de (20). Si n > m entonces

n∑

k=m

µk〈u, ψk〉ψk = T

(n∑

k=m

〈u, ψk〉ψk

),

pero como |Tu| ≤M√b− a||u|| para todo u ∈ C[a, b], se sigue entonces que

∣∣∣∣∣

n∑

k=m

µk〈u, ψk〉ψk

∣∣∣∣∣ ≤ ||T ||∥∥∥∥∥

n∑

k=m

〈u, ψk〉ψk

∥∥∥∥∥

≤ M√b− a

(n∑

k=m

|〈u, ψk〉|2)1/2

.

Por la desigualdad de Bessel, el lado derecho de la desigualdad tiende a cero

conforme n y m tienden a infinito, de modo que la serie

∞∑

k=0

µk〈u, ψk〉ψk

converge uniformemente en [a, b] a una funcion continua. La continuidad de

Tu y (21) implica que

Tu(x) =

∞∑

k=0

µk〈u, ψk〉ψk(x) para toda x ∈ [a, b]. (22)

Si f es de clase C2 y satisface las condiciones de frontera (10) y (11), entonces

u = Lf es una funcion continua en [a, b] y f = Tu. Como

µk〈u, ψk〉 = 〈u, µkψk〉 = 〈u, Tψk〉 = 〈Tu, ψk〉 = 〈f, ψk〉,

25

la ecuacion (22) da finalmente como resultado que

f(x) =

∞∑

k=0

〈f, ψk〉ψk(x) para toda x ∈ [a, b].

Sabemos ademas que C2 es denso en L2 por lo cual hemos probado el sigu-

iente teorema.

Teorema 9 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2(a, b), entonces

lımn→∞

∥∥∥∥∥f −n∑

k=0

〈f, ψk〉ψk

∥∥∥∥∥ = 0. (23)

Esta ecuacion expresa el hecho de que la sucesion {ψk} de eigenfunciones

ortonormales de T forma un sistema ortogonal completo en L2(a, b).

Ahora bien, por (20), 1/|λn| = |µn| → 0 y como los eigenvalores de −Lestan acotados por abajo, se tiene pues que λn → ∞ cuando n → ∞.

Reintroduciendo la funcion de peso ρ, hemos llegado al siguiente resultado

fundamental.

Teorema 10. Asumiendo que p′, r, ρ ∈ C[a, b], y que p, ρ > 0 en [a, b],

el problema de eigenvalores regular de Sturm-Liouville tiene una sucesion

infinita de eigenvalores reales

λ0 < λ1 < λ2 < · · ·

tal que λn → ∞. A cada eigenvalor λn corresponde una unica funcion propia

ϕn, y la sucesion de eigenfunciones {ϕn} forma un sistema ortogonal com-

pleto para L2ρ.

3. Problema Singular

El problema singular de Sturm Liouville surge a partir de alguna de las

siguientes situaciones

26

p(x) se anula en x = a y/o en x = b,

el intervalo (a, b) es infinito

La diferencia que surge (por ejemplo) en el primer caso, es que no son nece-

sarias condiciones de frontera si p se anula tanto en a como en b, pues

ρp(f ′g − fg′)|ba = 0

para toda f, g en L2ρ.

Ejemplos conocidos de problemas singulares de SL son los siguientes

1. Ecuacion de Legendre

(1− x2)u′′ − 2xu′ + n(n+ 1)u = 0, −1 < x < 1,

donde λ = n(n+1) y la funcion p(x) = 1−x2 se anula en los extremos

del intervalo. Aquı solo es requerida la existencia del lımite cuando x

tiende a ±1.

2. Ecuacion de Hermite

u′′ − 2xu′ + 2nu = 0, x ∈ R.

Despues de multiplicar por e−x2

, esta ecuacion se transforma a su

forma estandar autoadjunta

e−x2

u′′ − 2xe−x2

u′ + 2ne−x2

u = 0,

donde λ = 2n, p(x) = e−x2

y ρ(x) = e−x2

.

3. Ecuacion de Laguerre

xu′′ − (1− x)u′ + nu = 0, x > 0,

27

la cual es transformafa a su forma estandar

xe−xu′′ − (1− x)e−xu′ + ne−xu = 0

por medio de la multiplicacion por e−x. Aquı p(x) = xe−x se anula en

x = 0.

4. Ecuacion de Bessel

xu′′ + u′ − n2

xu+ λxu = 0, x > 0.

Aquı las dos funciones p(x) = x y ρ(x) = x se anulan en x = 0.

Las soluciones de estas ecuaciones proveen ejemplos importantes de las lla-

madas funciones especiales de la fısica matematica.

Referencias

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ences. Vol. 108. Applications to Mathematical Physics. Springer Velarg.

1995.

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[Zettl] A. Zettl. Sturm-Liouville Theory. American Mathematical Society,

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[Murray] M. R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Prentice Hall

Hispanoamerica, Tercera Edicion, Mexico 1983.

28