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Op6rateurs p-absolument sommables s u r L 1 (tL)

Par

NICOLAE PoPA

1. Le probl6me de caract6riser un espace de Banach E tel que

ztq(L~(~), E) --- B(Lcr E), 1 < q < r ,

pour route mesure de probabitit6 #, a 6t6 6tudi6 sous diff6rents angles de rue duns [1], [2], [4] et [8].

D 'au t re c6t6 la fameuse ((in6galit6 de Grothendieck~> conduit s l 'affirmation:

m (L1 (#), E) = B (L1 (/~), E)

pour toute #, si et seulement si E est un espace de Hilbert [1]. La g6n6ralisation de cette derni6re 6galit6 pour q > 1 et l'6tude, par analogie

avee le pr6mier probl~me, d 'un espace E muni du cette propri6t6, constitue l 'objet de la note ci-pr6sente.

Plus pr6cis6ment on caract6rise parmi les espaces %f~ au sens de [4], ceux qui v6rifient l'6galit6:

rla(Ll(~u),E ) = B(LI(/.t),E), 1 <=q< ~ .

La m6thode d 'approehe sera semblante s celle de [2].

2. D 'abord pr6cisons quelques notions:

On note les espaees de Banach par E et E et l 'espaee des op6rateurs lin6aires et continus, muni de la norme et des op6rations habituelles par B (E, F).

Pour 1 < q < r on dit que T E B(E, F) est q-absolument sommable s'il existe K > 0 tel que

(1) (n~l[l Tx~']q)i/q~--Ksup ( ~_i 'x' (Xi)'q) 1]q _ _ Vxl, . . .~xn~E.

~q(T) = inf(K > 01K est dorm6 par (1)) est une norme et l 'espace des op6rateurs q absolument sommables gq(E, F), muni de cette norme, est un espace de Banach, id6al duns B (E,/~).

Si T �9 ~q (E, F), T' est la boule unit6 duns P , j: F -+ l~ (/ ' ) est l'isom6trie eano- nique, K la boule unit6 de E' , /~ une mesure de probabilit6 sur K et i: C (K) --> Lq (Ix)

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l ' inject ion canonique, alors on a la factorisat ion :

(2) j o T : E A ~ C ( K ) i B -~ Lq (#) --> Ir162 (_P)

off A e t B sont les op6rateurs lin6aires et continus. T e B (E, F ) est an op~rateur q-nucldaire, si T admet la factorisat ion:

A B (3) T : E A-> lo~--> lq--> F

off A, B sont op~rateurs eontinus, ]] A [[, I[B 1[ ~ 1 et A est un op6rateur diagonal. L 'espace des op~rateurs q-nucl6aires, 2Vq(E,_F), mnni de la norme nq(T) . .~

inf{H 2 H [zJ ~tant donn~ par (3)}, est un espace de Banach. I1 est imm~diat que gq (E, F) c/Vq (E, _F). On salt aussi que [Nq(E,t~)]" = ~q, (.F, E") , off (l/q) -~ (1/q') ---- 1 (voir [7]). ]~tant donn@ 1 ~ p ~ oo et ~ > 1, un espace de Banach E s 'appelle ~ , ~ - e s p a c e

si pour tou t sous-espace de dimension finie B de E, il existe un sous-espace C c E tel que B c C et tel qu'il existe un isomorphisme T : C -> l~, 1] T ]l " I] T-Z ]1 ------ 2, off d i m C ----- m.

S'il existe ~ > 1 tel que E soit un .~f~, ~-espace on dit que E est un .~f~-espace. Des exemples des .Sf~-espaces sont constitu~s par les espaces L~ (/~).

3. ]~non~ons main tenan t le principal r~sultat de cette note:

Th~or~me. Soit ;E un ~f ~-espace. 1) L'dgalitd

(4) ~q (L1 (/~), E) = B (L1 (/~), E)

est vraie, pour 1 ~ q ~ 2 et pour une certaine (toute) mesure de probabilitd /~, si et seulement s i p ~ 2.

2) L'dgalitd

(5) ~q (L1 (~), E) = B (L1 (~), E)

est vraie, pour q ~ 2 et pour une certaine (toute) mesure de probabilite /~, si et seulement s i p ~ [2, q).

D ~ m o n s t r a t i o n . 1) Si 1 ~ q ~ 2 et si (4) est remplie, alors, puisque

:~q (L1 (/~), E) c ~2 (L1 (~), E) ,

il r~sulte que

B (L~ (/~), E) ---- ~2 (L~ (/~), E)

pour une mesure de probabilit~/~. Puisque ll est un sous-espace compl~ment~ dans L1 (/~), il est facile de remarquer que

B( l l , E) --- ~2 (ll, E)

et, de (2), on obt ient que tou t sous-espace s~parable E0 c E est isomorphe avec un espace de Hilbert .

Alors E est un espace de Hi lber t (voir [3]), ce qui implique que E est un -fiP2-espace.

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R~ciproquement si E est un ~f2-espaee, alors du th~or~me 4.1-[4], B (LI (# ) , E) ---- z l (L1 (#), E), ce qui implique d 'une mani~re ~vidente (4).

2) Soit E un .SPp-espace avee 1 _--< p _--< 2 et supposons v~rifi~e l'~galit~ (5) pour une mesure de probabil i t~ #.

Du thdor~me 5-2-[2] (valable conformdment s la remarque 4-[2]) iI r~sulte que

~q(Ll(~), E) = ~2 (L1 (#), E) , q > 2 ,

done

B (L1 (~), E) = ~ (L1 (~), E) .

Du point 1) on obt ient que E est un .SZ2-espace. Montrons que, sous l 'hypoth~se p >= q > 2, (5) ne peu t pas avoi r lieu. E n effet E es t r~flexif et eont ient un sous-espaee isomorphe avec lp ([5] prop. II-5.5). E n outre, il est imm~diat qu' i l suffit de d~montrer l ' impossibili t4 de (5) seuIement

pour p ---- q > 2. E n ver tu de remarques faites a u p a r a v a n t il suffit de mont re r que

N q , ( E , Ll(/z)) =~= IYI(E, L~(/z)) ( I /q ) -+ ( 1 / q ' ) = 1

pour une mesure de probabi l i t~/z . Nous ddmontrons ee fair pour la mesure de Lebesgue # sur [0, 1]. E n t enan t

compte de (3) il faut eonstruire un op~rateur ~v d u

T : E "+ lr162 --+" lq, -+ LI(/Z)

tel qu' i l ne soit pas nucl~aire. Puisque 1 < q' < 2, on salt (voir [8]) que lq, est i som~tr iquement plong~ dans

L~ (/~). On note par u cette isom~trie. Si on choisit w e t A tels que

(6) A o w ~ z~l (E, lq,)

alors T = u o A o w + ~1 (E, L1 (#)), done T + ~V1 (E, L1 (/~)). Dans le th~or~me 7-[2] on a montr6 l 'existence d ' un

5: e B (lq, loo) et A e B (l~, lq,)

tel que A o ~ d~ :~1 (lq, lq,) .

Puisque lq est compl6ment~ dans E, ~ w e B ( E , 1r tel que (6) a encore lieu. R~ciproquement , soit E un .tfp-espace, oh p e [2, q). Alors, il fau t mont re r que:

(7) ~ , (E, L~(~)) = ~ ( E , LI ( /~) ) , ( l /q) + (1/q') = i ,

pour toute measure de probabil i t~ #. De [7] on salt que, si U ~ 7~q, (E, L~ (/~)), alors U " ~ gq, (E, (L~ (1~))"). D ' au t r e e6t~

il existe une mesure de R a d o n ~ telle clue E soit i somorphe avee "un sous-espace eompl~ment~ dans L~ (v) (prop. II-5.4-[5]), ce qui implique qu' i l existe v : E ' - + L p , (v) a n isomorphisme veetoriel-topologique.

Alors U" o v' ~ gq, ((L:~. (v))', (L~ (#))") et, puisque 1 < q' < p ' ~ 2, le th~or~me 4- [2] nous mon t r e que v o U' e g~ (L~o(#), L~, (v)).

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Alors U' e ~rl (L.o (/2), E ' ) et, puisque E ' est refl~xif,

~r~ (L~o(l~), E') = Ni (Loo(/~), E') (voir [6]).

Done U " e NI (E, (L1 (#))") et, no t an t p~r P : [Lt (/~)]" --> L1 (/2) 1~ project ion canonique, U = P o U" e N1 (E, L1 (l~)).

Ainsi (7) est montr6 . |

R e m a r q u e s . 1) On voi t que la conclusion du point 1) du th~or~me subsiste m~me si on ne suppose pas que E soit un .W~-espace.

2) Remarquons que, de la d~mons t ra t ion du th~or~Ine, il r~sulte que, si E est un espace de Banach, tel que E ' soit i somorphe avee un sous-espace de L~, (~), oh ( l /p) -5 (1/~o') = 1 e t 2 < p ~ q , alors

~q (L~ (~), E) = B(L~ (~), E).

Un exemple d 'un espaee E tel que E ' c L~, (v) et E ne soit pas un .~fp-espace, est

E - - ~ s

off 2 < s < r < p < q .

E n effet il n ' e s t pas diffieile de r emarque r que (voir [8])

E ' = ls, c r '(0, 1) ~Lr , (O, 1)cLp,(O, 1). 1/ / l /

Si E serai t un .LP~-espace, alors ls, en qualit~ de sous-espace eompI~ment~ dans E , serai t un .tPp-espace (prop. II-5.8-[5]), done lp c ls (prop. IL5.5-[5]), ee qui est impossible, en ve r tu de la proposi t ion I-2.7-[5]. |

Ces remarques sugg~rent le probl6me suivante :

Probl~me. La condit ion E ' c L~, (~), oh 2 < T < q, est-elle n~c~ssaire pour avoir ]'~galit~ (5) ?

Bibliographie

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[8] H. ROS~THAL, On subspaces of L~. Ann. of Math. 97, 344--373 (1973).

Eingegangen am 4. 3. 1977

Anschrift des Autors:

Nieolae Popa Institut National pour la Creation Seientifique et Technique C~lea Victoriei 114 Bucarest