Operaţii cu funcţii care admit derivată

Aspecte teoreticeFie D o mulţime de numere reale, f, g: D → R două funcţii derivabile

în x , unde x este din D. Atunci: af: D → R, (af)(x) = af(x) este derivabilă în x , pentru orice a real şi

(af)´(x ) = af´(x );f + g: D → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x) este derivabilă în x şi

(f + g)´(x ) = f´(x ) + g´(x );fg: D → R, (fg)(x) = f(x)g(x) este derivabilă în x şi

(fg)´(x ) = f´(x )g(x ) + f(x )g´(x );

Dacă g(x) este nenul pe o vecinătate V a lui x , : V → R, (x) =

este derivabilă în x şi (x ) = .

Simbolic, se poate scrie: (af)´ = af´;(f + g)´ = f´ + g´; (fg)´ = f´g + fg´;

= .

Fişa de lucru

1) Fie f, g: R → R funcţii derivabile în 0. Subliniaţi funcţiile derivabile în 0: a) f + g, b) 2f + 3g, c) fg.2) Fie f, g: R → (0, 7) funcţii derivabile în 2. Dacă f(2) = 2, g(2) = 3, f´(2) =

4, g´(2) = 5, calculaţi: a) (f + g)´(2) , b) (fg)´(2), c) (2).

3) Fie f: R → R o funcţie derivabilă în 5, astfel ca f´(5) = 7. Să se calculeze

.

4) Fie f, g: R → (0, ∞), derivabile în 1 astfel ca: f(1) = 1, g(1) = 1, f´(1) = 0, g

´(2) = 3 şi h: R → (0, ∞), h(x) = . Să se calculeze .

Tema pentru acasă

1) Fie f, g: R → (- ∞, 0) funcţii derivabile în 3. Subliniaţi funcţiile derivabile în 3: a) 2g, b) f + g, c) fg, d) f/g.2) Fie f, g: R → R funcţii derivabile în 0. Dacă f(0) = 2, g(0) = 3, f´(0) = 4, g´(0) = 5, calculaţi: a) (7f)´(0) , b) (f + g)´(0), c) (fg)´(0).3) Fie f: R → R o funcţie derivabilă în a, unde a este real, astfel ca f´(a) = 1,

f(a) = 2. Să se calculeze: , , (f²)´(a).

4) Fie f, g: R → (0, ∞), derivabile în 1 astfel ca: f(1) = 4, g(1) = 1, f´(1) = 5, g

´(2) = 3 şi h: R → (0, ∞), h(x) = 2 . Să se calculeze .