2.1 OPERAŢII cu NUMERE NATURALE

INTRODUCERE

Materialul de față face parte dintr-unul mai amplu, dedicat matematicii ”de performanță” la nivelul claselor a III-a – a IV-a. Am strâns aproximativ 550 de probleme (sursa primordială fiind G.M.B.) grupate tematic pe capitole și sub-capitole. Aș dori să-l finalizez cam până pe la finele lui 2014 și să-l pun pe Scribd ”la liber”. M-am săturat de puzderia de gunoaie ”de autor” din care copiii nu învață nimic, dar pe care părinții sunt obligați să le cumpere. ENUNȚURI

1. Puneţi paranteze pentru a face adevărate egalităţile :

a) 4 5 : 3 7 : 2 1 6 24+ + − × = (Concurs Arhimede, 27.04.2013)

b) 5 4 : 2 8 2 x× + − = , unde { }0,16, 40, 48x ∈ (Emil Moise, G.M. 4-5/1984)

c) 9 4 : 2 10 2 x⋅ + − = , unde { }1, 90x ∈ (Gh. Achim, G.M.B. 10/2008)

d) 4 7 8 : 4 1 m× + + = , unde m este rezultatul minim posibil. (Alexandru Negrescu, S.G.M. 12/2009)

e) 4 12 18 : 6 3 a⋅ + + = , unde { }50, ,a m M∈ , iar m şi M sunt rezultatul minim, respectiv

cel maxim posibil. (Th. Dăneţ, G.M.B. 1/2010)

f) 2 3 3: 3 3 3 x× × + × = , unde { }9, 24, 72x ∈

(Liliana Sălişteanu, S.G.M. 12/2012)

2. Aflaţi necunoscuta din egalităţile :

a) ( ){ }2013 2012 2012 2 2011 2012 : 2012 1a − − − × + + =

(Nicolae Ivăşchescu, G.M.B. 3/2013) b) 1086 97 4464 : 72 105404 469 84a⋅ + − = − ⋅ (Ştefania Nemeş, G.M. 9/1986)

c) ( )24 29 2 1 47a + − × + = (G.M.B. 10/2009)

d) ( ){ }1 21: 1 : 4 2 2 : 7 8x x + + + − × =

(Elena Mârza, S.G.M. 4/2010)

e) ( ){ }3 8 72 :8 234 703 : 2 1a × × − + − = (S.G.M. 9/2012)

f) ( ) ( )420 2 45 : 37 7 : 4 4 1 25x − × − × − = (S.G.M. 9/2012)

3. Scrieţi cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8,9 în cele nouă cercuri din desen, astfel încât suma cifrelor de pe fiecare din cele patru laturi ale literei M să fie 13.

(Matematika v şkole, 1977)

4. Puneţi cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8 în cercurile din desenul de mai jos astfel încât suma cifrelor din

cercurile unite prin linii drepte să fie peste tot 14.

(Revista Alpha, Germania, 1/1985)

5. Scrieţi câte unul din numerele de la 1 la 10 în fiecare din cercurile din desen astfel încât suma numerelor scrise în vârfurile fiecăruia dintre cele cinci triunghiuri să fie pe rând : a) 14; b) 16; c) 17; d) 19.

(Revista Alpha, Germania, 2/1985)

6. În figura alăturată, în cercurile libere trebuie puse cifre nenule, fiecare câte o singură dată; cifrele 1, 2 şi 3 sunt deja fixate.

a) Aflaţi suma celor patru numere de pe fiecare latură a triunghiului, ştiind că este aceeaşi. b) Completaţi cercurile libere cu cifre pentru a obţine o astfel de sumă. c) Câte astfel de distribuţii ale cifrelor 4,5,6,7,8,9 pe această figură există, pentru ca suma numerelor de pe fiecare latură să rămână aceeaşi ? (Concurs Iaşi, 20.02.2010)

7. Completaţi, în figura alăturată, cercurile goale cu numere potrivite pentru ca suma de pe fiecare linie să fie 14.

3 1

2

(S.G.M. 6/2010)

8. Folosind numerele de la 1 la 12 o singură dată fiecare, completaţi cercurile libere din figura următoare, astfel ca suma pe fiecare latură a pătratului să fie 30.

(Marian Ciuperceanu, S.G.M. 4/2013) 9. Numerele 5,7,9,11,13,15,17,19 şi 21 se dispun în căsuţele unui pătrat 3 3× astfel încât suma

numerelor de pe fiecare linie, coloană şi diagonală să fie aceeaşi, anume S . a) Cât este S ? b) Completaţi pătratul :

5 9 17

(Gh. Stoianovici, Concurs „Dan Barbilian”, 29.10.2010) 10. Ce număr trebuie pus în locul lui x pentru ca în pătratul de mai jos suma numerelor pe

fiecare linie, coloană sau diagonală să fie aceeaşi ? 3

5 7 x

4 (Marian Ciuperceanu, Viitori Olimpici 5/2013) 11. Să se completeze dreptunghiurile de mai jos cu semne ale operaţiilor , , , :+ − × astfel încât

egalităţile respective să fie adevărate :

a) 1 9 8 4 19=

3

5

4

7

2

3

2

0

b) 1 9 8 4 8=

c) 1 9 8 4 4= (Revista Alpha, Germania, 1/1985)

12. Să se completeze dreptunghiurile de mai jos cu semne ale operaţiilor , , , :+ − × adăugând eventual şi paranteze, astfel încât egalităţile respective să fie adevărate :

a) 5 5 5 5 3=

b) 5 5 5 5 5=

c) 5 5 5 5 6= (Florian Berechet, G.M. 4/1985) 13. a) Folosiţi cinci cifre ”1” şi operaţii aritmetice pentru a obţine rezultatul 100. b) Folosiţi cinci cifre ”3” şi operaţii aritmetice pentru a obţine rezultatul 66. (Concurs Arhimede, 11.02.2012) 14. Avem suma 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + + . Schimbaţi un singur semn " "+ cu " "× astfel

încât rezultatul să fie 100. (Maria Oprescu, S.G.M. 2/2009)

15. Puneţi în pătrăţele semne de operaţii şi un semn egal pentru a obţine o egalitate adevărată :

10 10 11 11 12 12 13 13 14 14× × × × × . (Nicolae Ivăşchescu, G.M.B. 7-8-9/2010)

16. Câte semne de plus trebuie puse între cifrele numărului 987654321 şi unde trebuie puse pentru a se obţine suma 99 ? (Ilinca Teianu, S.G.M. 10/2008)

17. Fără a schimba ordinea cifrelor 1 2 3 4 5 , puneţi între acestea semne de operaţii

aritmetice ( ), , , :+ − × şi eventual paranteze pentru a obţine pe rând rezultatele 0, 7 sau 12.

(Ioan Dăncilă, S.G.M. 10/2008) 18. Scăzând din suma a 5 numere pare consecutive suma numerelor impare cuprinse între ele,

obţinem diferenţa 12. Care sunt cele cinci numere ? (Iulia Samson, S.G.M. 11/2008)

19. Se dau numerele a b c< < astfel încât dublul lui b este suma dintre a şi c . Diferenţa dintre b şi a este 5. Aflaţi diferenţa dintre c şi a . (G.M.B. 11/2008)

20. Folosind fiecare din cifrele 4,5,8,9 o singură dată, se formează două numere naturale de câte două cifre distincte. Înmulţiţi cele două numere. Care este produsul maxim ce se poate obţine ? (Concurs Arhimede, 27.04.2013)

21. Suma cifrelor numărului abc este 26. Calculaţi suma cifrelor numărului 1abc + . (Valer Pop, G.M.B. 3/2008)

22. Suma dintre un număr natural şi răsturnatul său este 645. Aflaţi numărul. (S.G.M. 6/2009)

23. Suma a trei numere de câte două cifre este 156, iar suma răsturnatelor celor trei numere este 174. Să se afle suma celor 6 cifre care compun cele trei numere.

(Elena Calangiu, S.G.M. 11/2010) 24. Determinaţi suma numerelor de trei cifre care îndeplinesc simultan condiţiile :

a) fiecare număr are suma cifrelor pară; b) succesorul fiecăruia dintre numere are suma cifrelor 4.

(S.G.M. 6/2009) 25. Pe o foaie sunt scrise toate numerele de la 1 la 17. Este permis să ştergem oricare două

numere, iar în locul lor să scriem un alt număr care să fie cu 2 mai mic decât suma celor două numere şterse. Ce număr vom scrie pe foaie după 16 astfel de operaţii ?

(Camelia Burlan, G.M.B. 7-8-9/2009) 26. Ce număr lipseşte din tabelul :

125 152 251 521 10000 1111 111 11 1 1

140 32 79 83 0 711 117 211 251 980 212 122 411 312 ?

(Artur Bălăucă, G.M.B. 12/2009) 27. Perechile de numere din tabelul de mai jos verifică o aceeaşi regulă. Ce numere trebuie să

punem în locul lui x şi y ?

1006 987 1275 x 776 1004 1023 735 1210 y

(Nicolae Ivăşchescu, G.M.B. 1/2010) 28. Cifrele numărului de trei cifre x sunt 1, 2 şi 3, iar cele ale lui y (de asemenea de trei cifre)

sunt 4, 5 şi 6. Dacă x y+ este par şi cifra din mijloc a lui x este 2, care este ultima cifră a produsului x y⋅ ? (Laura Chirilă, S.G.M. 3/2010)

29. Calculaţi diferenţa dintre o treime şi o zecime din numărul A , unde:

( )2010 :10 201: 3 67 200 5 13 11 :10 9A = + − + + × − ×

(Dumitru Săvulescu, S.G.M. 5/2010) 30. Fie cinci numere naturale. Calculăm suma a câte două dintre ele, în toate modurile posibile,

şi obţinem sumele 35, 27, 28, 29, 38, 39, 40, 31, 32, 33. Calculaţi suma celor cinci numere. (Concurs Evaluare în Educaţie, 6.06.2010)

31. Există numere de forma abc astfel încât abc a bc= ⋅ ? Justificaţi răspunsul. (Ion Fota, G.M.B. 6/2010)

32. Cifrele , ,a b c verifică relaţia ( ) ( )2 3ab c ab c⋅ + = ⋅ − . Calculaţi suma tuturor numerelor de

forma abc ale căror cifre verifică relaţia de mai sus. (Iulian Gogoaşă şi Iolanda Ionescu, S.G.M. 10/2010)

33. Fiecare dintre cele cinci litere din tabelul de mai jos reprezintă un număr. A B C C 65

C E A A 66

D D B C 69

A C A B 63

65 65

Totalul numerelor de pe fiecare linie este scris în dreapta, iar totalul numerelor de pe fiecare coloană este scris dedesubtul coloanei. Totalul de pe coloanele 2 şi 3 este şters. Care este totalul de pe coloana 2 ? (Ioan Dăncilă, G.M.B. 11/2010) 34. a) Produsul a două numere este 2009. Dacă se scade 5 dintr-unul din factori, produsul se

micşorează cu 245. Aflaţi numărul mai mic. (S.G.M. 1/2011) b) Produsul a două numere este 2013. Dacă adunăm 2 la unul din factori, atunci produsul devine 2035. Aflaţi cele două numere. (Cristina şi Mihai Vijdeluc, G.M.B. 4/2013) 35. Se consideră operaţia „∗ ”. Dacă 2 3 10; 7 2 63; 6 5 66∗ = ∗ = ∗ = şi 8 4 96∗ = . Care

este rezultatul operaţiei 9 7∗ ? (Corina Oltean, S.G.M. 2/2011)

36. Cu cifrele 0,1,2,3 se formează toate numerele pare de trei cifre diferite. Aflaţi suma tuturor acestor numere.

(Concurs Evaluare în Educaţie, 12.06.2011) 37. Scade din cel mai mare număr natural format din cifre distincte, cu suma cifrelor 19, cel mai

mic număr natural de 6 cifre, cu suma cifrelor 48. (Concurs Arhimede, 24.11.2012)

38. Fie S xy yz zx= + + , unde , ,x y z sunt cifre nenule, distincte. Fie N abcd= , cu , , ,a b c d

cifre distincte astfel încât numărul ab să se împartă exact la numărul cd . Află suma dintre cea mai mică valoare a lui S şi cea mai mare valoare a lui N .

(Concurs Arhimede, 24.11.2012) 39. Aflaţi suma a 10 numere naturale ştiind că suma primelor 9 numere este 100, iar suma

produselor dintre al zecelea număr cu fiecare dintre celelalte nouă numere este 300. (Cristina şi Mihai Vijdeluc, G.M.B. 5/2012)

40. Care este cea mai mare cifră a numărului :

: 00 : 0 0 :xxxx x yy yy y z zz z z+ + ? Justificaţi răspunsul. (Iuliana Drăgan, G.M.B. 6-7-8/2012) 41. Dacă , ,a b c sunt numere naturale astfel încât 3 111a b× + = şi 2 222b c× + = , calculaţi

6 8 3a b c× + × + × . (Nicolae Ivăşchescu, G.M.B. 6-7-8/2012)

42. Se ştie că ( )2 2 : 2 2 9a × + − = . Ce rezultat obţinem dacă schimbăm, între ele, semnele :

a) de adunare şi scădere; b) de înmulţire şi împărţire. (Constantin Apostol, G.M.B. 9/2012) 43. Dacă 86, 117a b b c+ = + = şi 99a c+ = , calculaţi ,c a c b− − şi b a− .

(Nicolae Ivăşchescu, G.M.B. 9/2012) 44. Se consideră opt numere naturale distincte. Efectuând toate sumele oricăror şapte numere,

din cele opt, se obţin rezultatele: 42, 47, 50, 52, 54, 55, 56, 57. Determinaţi cele opt numere. (Dan Nedeianu, G.M.B. 12/2012)

45. Găsiţi numărul abcd ştiind că este cu 2013 mai mare decât dublul sumei cifrelor sale. (S.G.M. 2/2013)

46. Determinaţi numerele de două cifre pentru care suma cifrelor reprezintă o şesime din număr. (G.M.B. 3/2013)

INDICAȚII și REZOLVĂRI

1. a) ( ){ } ( )4 5 :3 7 : 2 1 6 9 :3 7 : 2 1 6 + + − × = + − × =

( ) ( ) ( )3 7 : 2 1 6 10 : 2 1 6 5 1 6 4 6 24 = + − × = − × = − × = × =

b) ( ) ( )5 4 : 2 8 2 0× + − =

5 4 : 2 8 2 16× + − =

( )5 4 : 2 8 2 40× + − =

( )5 4 : 2 8 2 48× + − =

c) ( )9 4 : 2 10 2 1⋅ + − =

( )9 4 : 2 10 2 90⋅ + − =

d) ( )4 7 8 : 4 1 36 : 4 1 9 1 10× + + = + = + = Nu putem împărți la 5 decât grupând

( ) ( )7 8 : 4 1 15 :5 3+ + = = . Acest rezultat se înmulțește însă cu 4 și obținem 12, care este

superior lui 10.

e) ( )4 12 18 : 6 3 48 18 : 9 48 2 50⋅ + + = + = + =

( ) ( ) ( )4 12 18 : 6 3 48 18 : 6 3 66 : 6 3 11 3 14 m⋅ + + = + + = + = + =

( ) ( ) ( )4 12 18 : 6 3 4 12 3 3 4 18 72 M⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ =

f) ( )2 3 3: 3 3 3 18 : 6 3 3 3 9× × + × = × = × =

( ) ( ) ( )2 3 3: 3 3 3 2 9 : 3 9 2 3 9 2 12 24× × + × = × + = × + = × =

( ) ( )2 3 3: 3 3 3 6 1 3 3 6 4 3 24 3 72× × + × = × + × = × × = × =

2. a) Se notează cu ( )2012 2012 2 2011 2012 : 2012x a = − − × + + cantitatea din

paranteza exterioară (acoladă) şi rezultă : 2013 1 2013 1 2012x x− = ⇒ = − =

Notăm acum cu ( )2012 2 2011 2012 : 2012y a= − × + + , expresia aflată în interiorul

parantezei pătrate şi avem : 2012 2012 2012 2012 0y y− = ⇒ = − =

Se notează 2011 2012 :z a= + şi din expresia lui y găsim :

2012 2 2012 0 4024 2 4024 : 2 2012z z z− + = ⇒ = ⇒ = = Aşadar, 2011 2012 : 2012 2012 : 2012 2011 1 2012 :1 2012a a a+ = ⇒ = − = ⇒ = = b) 469 84 39396a = ⋅ = c) 2a = d) 12x = ; este util să se noteze : 4y x= .

e) 10a = f) 2x = 3. Cele trei numere scrise în cercurile colorate cu roșu se adună de două ori, deoarece apar

fiecare pe câte două laturi ale conturului. Cum 1 2 9 45+ + + =… și 13 4 52⋅ = , suma numerelor din cele trei cercuri este 52 45 7− = . Mai mult, 1 și 2 nu pot fi pe aceeași latură,

deoarece în completare până la 13 ar trebui ( )13 1 2 13 3 10− + = − = . Se pune numărul 4 la

mijloc. Completarea decurge apoi simplu.

4. Cercurile colorate cu albastru se găsesc fiecare pe câte două laturi ale conturului, iar cercul

colorat cu roșu se află pe trei dintre laturi. Se notează cu 1

S suma cifrelor din cercurile

albastre, cu 2

S suma cifrelor din cercurile albe și cu x valoarea cifrei din cercul roșu.

Avem ( )1 22 3 14 5 70 1S S x+ + = ⋅ = (deoarece sunt 5 laturi și suma pe fiecare este 14).

Pe de altă parte, 1 2

1 2 8 36S S x+ + = + + + =… ; înmulțind această relație cu 2, găsim

1 22 2 2 72S S x+ + = . Scădem relația ( )1 și rezultă

272 70 2S x− = − = : scăzând valoarea

din cercul roșu din suma cifrelor scrise în cercurile albe trebuie să obținem 2. Dacă în cercul roșu am pune 4, suma din cercurile albe ar trebui să fie 6, pe care o putem obține din

perechea ( )1,5 (pentru a nu repeta cifra 4), însă 4 și 5 nu se pot găsi pe aceeași linie,

deoarece până la 14 ar lipsi ( )14 4 5 5− + = . Ne încercăm norocul cu 5 în cercul roșu. Suma

din cercurile albe trebuie să fie 7 și, cum nu o putem obține din perechea ( )3, 4 (da, 4 și 5 nu

5

6

3

9

7 8

4

2 1

pot fi pe aceeași linie!), iar pe 5 l-am folosit deja, rămân de pus 1 și 6 în cercurile albe. Singurul loc în care îl putem feri pe 4 de coliniaritatea cu 5 este în cercul albastru de sus. Cercurile albastre rămase se completează prin diferență.

5. Numerele scrise în vârful conturului pentagonal se adună de două ori atunci când facem

suma tuturor ”celor cinci triunghiuri”. Suma celor 10 numere scrise este însă 1 2 10 55+ + + =… , deci :

a) Dacă fiecare triunghi are suma 14, cele cinci la un loc ”valorează” 14 5 70⋅ = . Cele cinci numere scrise în vârfurile pentagonului (care se adună de două ori) au suma 70 55 15− = , deci nu pot fi decât 1,2,3,4,5 . Lângă 1 nu îl putem pune pe 2 (în același triunghi adică), pentru că în vârful exterior ar trebui să avem

( )14 1 2 11− + = . În schimb, trebuie să îl punem pe 3, altă posibilitate de

realizare a sumei 4 nefiind – iar suma 4 fiind necesară pentru a fi completată cu valoarea 10. Nici 4 cu 5 nu pot fi vecine pe conturul pentagonului, până la 14 ele

completându-se cu ( )14 4 5 5− + = , ceea ce ar duce la repetarea cifrei 5. În

fine, dacă lângă 3 l-am așeza pe 4, cum lângă acesta nu poate fi 2, ar fi 5. S-ar

forma două triunghiuri ( )3,4, x și ( )2,5, y care ”ar cere” ambele completarea

cu 7. Așezăm deci pe 4 lângă 1 și pe 5 lângă 3; după calcule elementare, ajungem la soluția din figura a) de mai jos.

b) Raționament analog, numai că în vârfurile pentagonului trebuie să se găsească numerele 6,7,8,9,10 , a căror sumă este 19 5 55 40⋅ − = . După considerații analoge cu a), se ajunge la soluția reprezentată în figura b).

c) Suma numerelor din vârfurile pentagonului trebuie să fie 16 5 55 80 55 25⋅ − = − = . O posibilitate de realizare a acesteia este să alegem numerele impare 1,3,5,7,9 . Numărul 10 are nevoie de o completare cu 6, care

se poate realiza numai din 1 5+ . Pe laturile pentagonului, 1 nu poate fi vecin cu

3 (s-ar completa cu ( )16 1 3 12− + = ) și nici 7 cu 9, suma acestora fiind deja

egală cu 16. În fine, vecinătatea lui 1 cu 9 ar duce la formarea triunghiurilor

( )1,9, x și ( )3,7, y , care ar avea ambele nevoie de completarea cu 6. Soluția

este reprezentată în figura c). d) În vârfurile pentagonului ”ne trebuie” suma 17 5 55 85 55 30⋅ − = − = , care se

poate realiza prin dispunerea numerelor pare 2, 4,6,8,10 . A se vedea rezolvarea punctului c) și reprezentarea soluției în figura d).

7 2

3 8

4 6 1

5

Figura a) Figura b)

Figura c) Figura d)

6. a) Suma cifrelor de la 1 la 9 fiind 45, iar 1, 2 și 3 – cifrele scrise în colțuri – adunându-se de

două ori – suma celor trei laturi este 45 1 2 3 51+ + + = . Suma de pe fiecare latură în parte este deci 51: 3 17= .

b)

c) Cu suma 12 sunt perechile ( )4,8 și ( )5,7 ; cu suma 13 sunt ( ) ( )4,9 , 5,8 și ( )6,7 , iar cu

suma 14 sunt ( )5,9 și ( )6,8 . Cele trei sume trebuie să apară fiecare pe câte o latură. Există

două combinații posibile, anume ( ) ( ) ( )4,8 6,7 5,9− − (ilustrată la punctul b)) și

( ) ( ) ( )5,7 4,9 6,8− − . Facem firește abstracție de ordinea cifrelor în cadrul perechilor.

8

4

7 6

9

5

2

3 1

5

3 10 9

2

7

1

4

8

6

4

2 5 8

7

6

10

9

3

1

3

2 10 5

6

4

1

7

9

8

7

6 3 9

4

8

10

5

2

1

7. După completarea căsuțelor unde deja sunt trei în linie (sau se formează în urma completării), rămân necompletate cele trei cercuri din triunghiul superior al stelei. Notăm cu

,a b și c valorile pe care trebuie să le completăm în cele trei cercuri. Condițiile ca suma să

fie 14 pe toate liniile se scriu respectiv : 3 4 14a b+ + + = , 2 0 14b c+ + + = și 2 3 14a c+ + + = . Deducem că 7, 12a b b c+ = + = și 9a c+ = . Prin adunarea celor trei

relații, obținem 2 2 2 28 14a b c a b c+ + = ⇒ + + = . Deducem cu ușurință 2, 5a b= = și

7c = .

8. Suma numerelor de la 1 la 12 este 1 2 12 78+ + + =… . Dacă facem suma numerelor de pe

cele patru laturi ale pătratului, cele scrise în colțuri se adună de două ori. Rezultă că suma numerelor scrise în colțurile pătratului este 30 4 78 120 78 42⋅ − = − = . Singura posibilitate este ca în colțurile pătratului să avem 9, 10, 11 și 12, deoarece 9 10 11 12 42+ + + = (iar dacă alegem numere mai mici nu mai putem atinge această valoare, evident maximă). O posibilitate de dispunere a numerelor (desigur că nu este unica) este reprezentată în figura de jos.

9. Se calculează suma elementelor din pătrat, ( )5 7 9 21 26 9 : 2 13 9 117+ + + + = ⋅ = ⋅ =… .

Rezultă 117 :3 39S = = . Imediat se deduc valorile : 5 9 13 17 21

7

1

8

2

6 10 11

12 4 9

3

5

c b

a

3

2 5 4

7

2

3

2

0

Nu putem completa prima linie cu 11, deoarece 11 5 16+ = , iar până la 39 mai trebuie 39 16 23− = , pe care nu îl avem la dispoziție. Nici pe 7 nu îl putem așeza pe aceeași coloană cu 9, din același motiv.

19 5 15 9 13 17 11 21 7

10. 9x = . Suma elementelor de pe linia a doua (singura completă) este 5 7 12x x+ + = + .

Aceeaşi sumă trebuie obţinută şi de pe : - coloana a treia : notăm cu a elementul necunoscut din colţul din dreapta sus :

4 12 12 4 12 4 8x a x a x x+ + = + ⇒ = + − − = − = - coloana a doua: notăm cu b elementul necunoscut de pe ultima linie :

3 7 12 12 3 7 2b x b x x+ + = + ⇒ = + − − = + - ultima linie : notăm cu c elementul necunoscut din colţul din stânga jos :

2 4 12 12 2 4 12 6 6c x x c x x+ + + = + ⇒ = + − − − = − = Cu ce am reuşit să determinăm până acum, pătratul arată aşa :

3 8 5 7 x

6 2x + 4 Pe una din diagonale deja avem elemente bine determinate. Suma acestora este 6 7 8 21+ + = . Rezultă că 12 21 21 12 9x x+ = ⇒ = − = . În colţul din stânga sus vom avea

( )21 3 8 21 11 10− + = − = . Pătratul completat este :

10 3 8 5 7 9

6 11 4

11. a) 1 9 8 : 4 1 72 : 4 1 18 19+ × = + = + =

b) ( )1 9 8 4 2 4 8+ − × = × =

1 9 8 : 4 10 2 8+ − = − =

c) 1 9 8 4 9 9 4 0 4 4− + + = − + = + =

12. a) ( )5 5 5 : 5 15 : 5 3+ + = =

b) ( )5 5 5 5 0 5 5 0 5 5− × + = × + = + =

c) ( ) ( )5 5 5 : 5 25 5 : 5 30 : 5 6× + = + = =

13. a) 111 11 100− = b) 33 3 33 99 33 66× − = − = sau ( ) ( )33 3 3: 3 33 3 1× − = × − =

33 2 66= × = 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 72 100+ + + + + + + × = + =

15. 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14× + × + × = × + × 16. 9 8 7 65 4 3 2 1 24 65 10 89 10 99+ + + + + + + = + + = + =

17. ( )1 2 3 4 5 0 4 5 0+ − × × = × × =

1 2 3 4 5 6 4 5 2 5 7× × − + = − + = + =

( ) ( )1 2 3 4 5 1 12 12− + × + + = × =

18. Cele cinci numere pare consecutive se notează cu , 2, 4, 6a a a a+ + + și 8a + . Cele patru

numere impare cuprinse între ele sunt 1, 3, 5a a a+ + + și 7a + . Diferența dintre suma celor cinci numere pare și suma celor patru impare se calculează mai ușor observând că fiecare număr impar, scăzut din numărul par imediat superior, produce un rezultat egal cu 1. Suma rămasă este deci 1 1 1 1 4 12a a+ + + + = + = ; deducem că 12 4 8a = − = . Cele cinci numere sunt 8,10,12,14 și 16 .

19. Relația 2b a c= + se scrie echivalent c b b a− = − . Rezultă ( ) ( )c a c b b a− = − + − =

5 5 10= + = . 20. Este destul de ușor de intuit că produsele cele mai mari sunt fie 94 85× , fie 95 84× . Pentru

a nu reduce exercițiul la un simplu calcul, scriem :

( ) ( )94 85 90 4 80 5 90 80 90 5 80 4 4 5× = + × + = × + × + × + ×

( ) ( )95 84 90 5 80 4 90 80 90 4 80 5 4 5× = + × + = × + × + × + ×

Termenii 90 80× și 4 5× apar în ambele sume. Rămâne să comparăm 90 5 80 4 450 320 770× + × = + = cu 90 4 80 5 360 400 760× + × = + = . Rezultă că produsul maxim este 94 85 7990× = . 21. Suma maximă a cifrelor unui număr de trei cifre este 9 3 27⋅ = . Valoarea 26 se poate obține

doar când două dintre cifre sunt 9 și a treia 8. Așadar, { }899, 989, 998abc ∈ , de unde

deducem { }1 900, 990, 999abc + ∈ . Suma cifrelor numărului 1abc + poate lua deci

valorile 9,18 sau 27 .

22. Numărul este de trei cifre, scriem că 645abc cba+ = . Dacă suma c a+ a unităților ar produce transport, aceeași sumă la ordinul sutelor ar genera un rezultat mai mare decât 1000. Așadar, 5c a+ = și 14b b+ = , pentru ca să avem transport de la zeci către sute.

Obținem 7b = și { }1, 2,3,4a ∈ ; valorile lui c aparțin aceleiași mulțimi, dar corespund în

ordine inversă cu cele ale lui a . Rezultă { }174, 273, 372, 471abc ∈ .

23. Scriem relațiile 156ab cd ef+ + = și 174ba dc fe+ + = . Observăm că xy yx+ =

( )10 10 11 11 11x y y x x y x y= + + + = + = ⋅ + (suma unui număr de două cifre cu

răsturnatul său este egală cu de 11 ori suma cifrelor numărului). Prin adunarea relațiilor date

obținem ( )11 156 174 330a b c d e f⋅ + + + + + = + = , iar după împărțirea la 11,

30a b c d e f+ + + + + = . 24. Numerele de trei cifre cu suma cifrelor 4 sunt 103,112,121,130, 202, 211, 220, 301,310 și

400 . Predecesorii acestora sunt respectiv 102,111,120,129, 201, 210, 219, 300, 309 și

399 ; dintre aceștia, suma cifrelor pară o au numai 129, 219 și 309 .

25. Suma numerelor scrise inițial pe tablă este ( )1 2 17 18 17 : 2 153S = + + + = ⋅ =… . Fiecare

operație reduce numărul numerelor de pe tablă cu unul și scade suma celor rămase cu 2. După 16 operații rămâne așadar un singur număr și acesta este 153 16 2 153 32 121− ⋅ = − = .

26. Regula de calcul pentru numărul de pe ultima coloană este ”se calculează produsul cifrelor

fiecărui număr de pe aceeași linie și se înmulțesc rezultatele obținute” sau, echivalent, ”se calculează produsul tuturor cifrelor care apar pe aceeași linie”. În caseta liberă, în locul

semnului de întrebare trebuie să punem ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 4 1 1 3 1 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

4 4 4 6 16 24 384= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = . 27. 800, 1234x y= = . Mult mai simplu decât exercițiul precedent, regula este aici că suma

numerelor scrise pe aceeași coloană să fie 2010 . 28. Faptul că x y+ este par înseamnă că x și y au aceeași paritate; dar x este impar,

deoarece singura sa cifră pară (2) este la mijloc. Numărul y este și el impar, deci ultima sa cifră este 5. Ultima cifră a produsului xy este prin urmare 5.

29. Avem ( )2010 :10 201:3 67 200 5 13 11 :10 9 201 67 67A = + − + + × − × = + − +

( ) ( ) ( )200 5 2 :10 9 201 200 1 9 201 201 9 200 1 9 201 10 2010+ + × × = + + × = + × = × + = × =

Treimea lui A este 2010 : 3 670= , iar zecimea este 2010 :10 201= . Rezultatul este 670 201 469− = .

30. Dacă , , , ,a b c d e sunt cele cinci numere, le putem grupa câte trei în zece moduri, producând

tripletele ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e

( ), ,b d e și ( ), ,c d e . Fiecare dintre cele cinci numere apare în aceste triplete de șase ori. În

concluzie, însumând cele cinci numere în toate modurile posibile, fiecare dintre ele va participa la 6 din cele zece sume parțiale. Adunând cele zece sume parțiale, obținem deci

( )6 35 27 28 29 38 39 40 31 32 33 332a b c d e⋅ + + + + = + + + + + + + + + = .

31. Relația dată se scrie ( )100 100 1abc a bc a bc a a bc bc a bc= ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − = − ⋅ . Sub

această formă, este ușor să observăm că 1a a> − și 100 bc> , iar prin înmulțirea celor

două obținem chiar inegalitatea strictă ( )100 1a a bc⋅ > − ⋅ , fără vreo șansă de realizare a

egalității.

32. Egalitatea se scrie 2 2 3 3 3 2 2 3 5ab c ab c ab ab c c ab c⋅ + = ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ = + ⇒ = . Se dau

pe rând valori lui c , începând cu 2c = , pentru care avem 5 10c = . Găsim {102,abc ∈

}153, 204,255,306,357, 408,459 . Observăm că toate aceste numere sunt multipli de 51,

deci suma lor este ( )51 2 3 9 51 44 2244S = ⋅ + + + = ⋅ =… .

33. 70. De pe coloana 1 a tabelului, avem 65A A C D+ + + = , iar de pe linia a treia,

69B D C D+ + + = . Dintr-a doua egalitate o scădem pe prima, observând că suma C D+

apare în ambele : ( ) ( ) ( )69 65 4B D A A+ − + = − = ∗ . Pe linia a doua a tabelului avem

suma 66C E A A+ + + = . Adăugând la această egalitate relația ( )∗ , găsim (după

simplificarea sumei A A+ ) 66 4 70C E B D+ + + = + = . Acesta este chiar totalul elementelor de pe coloana a doua. Important a fost să observăm că E apare numai pe linia și pe coloana a doua, apoi să căutăm alte două linii sau coloane de pe care să obținem diferența elementelor necomune între respectiva linie și coloană.

34. a) Dacă a și b sunt cei doi factori, avem 2009a b⋅ = și ( )5 2009 245 1854a b⋅ − = − = .

Dar ( )5 5 2009 5 2009 5 1854 5 2009 1854 245a b a b a a a a⋅ − = ⋅ − = − ⇒ − = ⇒ = − = ;

rezultă 245 :5 49a = = , apoi 2009 : 49 41b = = . Răspunsul este 41b = .

b) Similar, scriem 2013a b⋅ = și ( )2 2035 2 2035 2013 2a b a b a a⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + =

2035 2 2035 2013 22 22 : 2 11a a= ⇒ = − = ⇒ = = . Deducem 2013:11 183b = = .

35. Se verifică imediat că ( )a b a a b∗ = ⋅ + . Așadar, ( )9 7 9 9 7 9 16 144∗ = ⋅ + = ⋅ = .

36. Numere pare de trei cifre diferite sunt 102,120,130,132,210,230, 302, 310, 312,320 .

Suma lor este 2158. 37. Luând 7 cifre distincte, obținem suma de cel puțin 0 1 2 3 4 5 6 21 19+ + + + + + = > .

Numărul maxim are deci 6 cifre și pentru a o maximiza pe cea mai mare, le luăm pe celelalte cât mai mici. Se obține numărul 943210 . Pentru a obține cel mai mic număr de șase cifre, a căror sumă să fie 48, maximizăm cinci din ele, făcându-le egale cu 9. Se găsește numărul 399999 . Calculăm 943210 399999 543211− = .

38. Avem ( )10 10 10 11 11 11 11S x y y z z y x y z x y z= + + + + + = + + = ⋅ + + . Cum cifrele

, ,x y z sunt distincte și nenule, 1 2 3 6x y z+ + ≥ + + = , deci valoarea minimă pentru S

este min

11 6 66S = ⋅ = . Pentru a-l maximiza pe N , încercăm 98ab = . Divizorii de două

cifre ai lui 98 sunt 14, 49 și 98. Nu putem alege decât 14cd = , pentru a respecta restricția

de unicitate a cifrelor lui N . Suma cerută este min max

66 9814 9880S N+ = + = .

39. 103. Fie

1 2 9, ,...,a a a primele 9 numere naturale şi b cel de-al zecelea. Putem scrie relațiile :

1 2 9

... 100a a a+ + + =

( )1 2 9 1 2 9... 300 ... 300a b a b a b a a a b× + × + + × = ⇒ + + + × =

În a doua relaţie înlocuim suma din prima şi rezultă 100 300 300 :100 3b b× = ⇒ = = . Suma celor zece numere este aşadar :

( )1 2 9 1 2 9... ... 100 3 103a a a b a a a b+ + + + = + + + + = + =

40. 3. Se efectuează : 1111xxxx x = , 00 : 110011yy yy y = , 0 0 : 101101z zz z z = Rezultatul calculului din enunţ este aşadar : 1111 110011 101101 212223+ + = Cifra maximă este deci 3. 41. Se înmulţeşte prima egalitate cu 2 şi a doua cu 3 : 3 111 6 2 111 2 222a b a b× + = ⇒ × + × = × = 2 222 6 3 222 3 666b c b c× + = ⇒ × + × = × = Prin adunarea celor două egalităţi obţinute, găsim : 6 2 6 3 222 666 6 8 3 888a b b c a b c× + × + × + × = + ⇒ × + × + × = 42. Notăm cu b expresia din paranteză, deci 2 2b a= × + . Rezultă : : 2 2 9 : 2 9 2 11 11 2 22b b b− = ⇒ = + = ⇒ = × = . Revenind la notaţia făcută, 2 2 22 2 22 2 20 20 : 2 10a a a× + = ⇒ × = − = ⇒ = = .

a) Schimbând semnul de adunare cu cel de scădere, avem de făcut calculul :

( ) ( )10 2 2 : 2 2 20 2 : 2 2 18 : 2 2 9 2 11× − + = − + = + = + =

b) Dacă schimbăm însă semnul de înmulţire cu cel de împărţire, obţinem :

( ) ( )10 : 2 2 2 2 5 2 2 2 7 2 2 14 2 12+ × − = + × − = × − = − =

43. Se scad două câte două sumele date, observând termenii pe care îi au în comun. Mai întâi, cum b apare atât în a b+ , cât şi în b c+ , diferenţa dintre a doua sumă şi prima este chiar diferenţa dintre c şi a :

( ) ( ) ( ) 0 117 86 31b c a b c a b b c a c a c a+ − + = − + − = − + = − ⇒ − = − =

În mod analog, se observă că :

( ) ( ) 99 86 13c b a c a b− = + − + = − =

( ) ( ) 117 99 18b a b c a c− = + − + = − =

44. Se notează cu , , , , , ,a b c d e f g şi h cele opt numere şi cu S suma lor. Când se grupează

cele opt numere pentru însumare câte şapte, din fiecare grupă lipseşte câte unul din numere. Putem deci scrie :

42, 47, , 57S a S b S h− = − = − =… Prin adunarea acestor opt egalităţi obţinem :

( )8 42 47 50 52 54 55 56 57S a b c d e f g h− + + + + + + + = + + + + + + + ,

sau 8 42 47 50 52 54 55 56 57 7 413 413: 7 59S S S S− = + + + + + + + ⇒ = ⇒ = = Se calculează acum pe rând numerele , , , , , , ,a b c d e f g h ca diferenţe dintre S şi

( ) ( ) ( ), ,...,S a S b S h− − − :

( ) 59 42 17a S S a= − − = − =

Analog, se obțin și 12, 9, 7, 5, 4, 3, 2b c d e f g h= = = = = = = .

45. Cum suma cifrelor lui abcd este 4 9 36s a b c d= + + + ≤ ⋅ = , rezultă 2013 2s+ ≤ 2013 2 36 2013 72 2085≤ + ⋅ = + = . Deducem imediat că 2, 0a b= = . În continuare, se

scrie ( )20 2013 2 2 0cd c d= + ⋅ + + + sau 2000 10 2013 4 2 2c d c d+ + = + + + . Trecând

necunoscutele ,c d în partea stângă, avem 8 17c d− = . Singura posibilitate este

3, 7 2037c d abcd= = ⇒ = .

46. Se scrie ( )6 10 6 6 10 6 6 4 5ab a b a b a b a a b b a b= ⋅ + ⇒ + = + ⇒ − = − ⇒ = . Cifra a se

împarte exact la 5 și cum nu poate fi 0, este 5. Rezultă 4 5 20 5 4 54b b ab⋅ = = ⇒ = ⇒ = .