Embed Size (px)
Citation preview
OPERATION RESEARH ( RISET OPERASI )
SILABUS :
Pengertian Riset Operasi Linier Programming Metode Grafik
( LP )Metode Simpleks
LP : Dualitas Maks = Min ( masalah ekonomi ) LP : Transportasi( Masalah pendstribusisn suatu produk
dari beberapa sumber dengan penawaran terbatas menuju beberapa tujuan dengan biaya minimal )
LP : Penugasan ( Assignment Problem )keputusan untuk menetukan jenis pekerjaan apa harus dikerjakan oleh siapa atau alat apa
Pengertian Riset Operasi :
Riset harus menggunakan metode ilmiah
Operasi yang berhubungan dengan proses / berlangsungnya suatu kejadian.
Tujuan : membantu manajemen untuk menentukan kebijakan atau tindakan secara ilmiah
Definisi : ( Riset Operasi )
Input(Men, Money , Material )
Organisasi( Wadah utk mencapai tujuan )
Output ( Laba / Profit )
1
Riset dengan penerapan metode ilmiah melalui suatu tim secara terpadu untuk memecahakan permasalahan yang timbul dalam kegiatan operasi suatu system organisasi agar diperoleh pemecahan yang optimum.
Linier Programming ( LP ) : model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Penyelesaian Masalah LP ditemukan noleh George Danzig dengan menggunakan metode simpleks
Linier ( ? ) dalam hal ini fungsi matematis yang digunakan adalah fungsi linierProgramming merupakan program atau perencanaan , jadi bukan Computer
Programming
LP terdiri dari 2 fungsi : 1. Fungsi Tujuan : berkaitan dengan pengaturan secara
optimal sumber daya 2 untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya yang minimal
2. Fungsi Batasan : Bentuk penyajian secara matematis batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Bentuk Umum Model LP :
Maksimum / Minimum : Z = Fungsi Tujuan
dengan syarat : ( ≤ , = , ≥ ) Fungsi Batasan
FORMULASI MODEL LP
2
CONTOH : ( Masalah Diet )
Untuk menjaga kesehatan seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum perhari akan beberapa zat makanan. Misalnya ada 3 zat makanan yang dibutuhkan yaitu : kalsium ( I) , protein ( II ) , dan vitamin A( III) yang harga , zat yang terkandung dan kebutuhan minimum perhari akan zat makanan tersebut pada table berikut :
Makanan I II III
Kebutuhan Minimum
Harga/unit 0.5 0.8 0.6Kalsium 5 1 0 8Protein 2 2 1 10Vitamin A 1 5 4 22
Masalahnya bagaimana kombinasi ketiga jenis makanan itu akan memenuhi kebutuhan minimum perhari dan memberikan biaya terendah
Variabel : x1 = jumlah makanan I x2 = jumlah makanan II x3 = jumlah makanan III
Fungsi Tujuan : Minimum : Z = 0.5 x1 + 0.8 x2+ 0.6 x3
Fungsi Batasan :
Contoh : ( Bakery )
3
Suatu bakery membuat roti yang berisi daging dari suatu campuran daging dan ayam tanpa lemak.Daging sapi mengandung 80 persen daging dan 20 persen lemak dan harganya 80 rp /ons. Daging ayam mengandung 68 persen daging dan 32 persen lemak dan harganya 60 rp/ons. Berapa banyaknya masing-masing daging yang harus digunakan untuk tiap ons roti daging jika diinginkan untuk meminimumkan harganya dengan mempertahankan kandungan lemak tidak lebih dari 25 persen?
Model LP :
x1 = jumlah ons daging sapix2 = jumlah ons daging ayam
F. Tujuan :Min: Z = 80 x1 + 60x2
F. Batasan :
Solusi LP
Metode untuk memecahkan program linier diataranya adalah metode grafik dan metode simpleks. Untuk memulai penerapan metode tersebut maka semua
4
fungsi batasan ketidaksamaan harus ditransformasikan menjadi persamaan dan juga harus diketahui salah satu pemecahan yang feasible (layak) dan tidak negatif
Persyaratan Tidak Negatif
Batasan yang memiliki bentuk :
Dimana adalah salah satu dari relasi ≤ ,≥ , = ( tidak perlu sama untuk setiap I ) konstanta bi selalu dianggap tidak negatif
Contoh : Dikalikan -1 jadi Sehingga ruas kanan tidak negatif
Variabel Slack ( Kurang) dan Surplus
Variabel Slack ( Kurang )
Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan menambah sebuah variabel tak negatif baru pada ruas kirinya.
Contoh :
Diubah menjadi persamaan menjadi :
Variabel Surplus
5
Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan mengurangkan sebuah variabel tak negatif baru pada ruas kirinya.
Contoh : Diubah menjadi persamaan menjadi : Variabel buatan ( artificial variable )
Pada ruas kiri setiap fungsi batasan yang tidak mengandung variabel slack dapat ditambahkan variabel buatan. Dengan demikian tiap fungsi pembatas akan mempunyai variabel slack dan buatan.
Contoh: (***)
Persamaan variabel buatan x5 dan x6
Solusi Awal yang feasible.
Setiap persamaan batasan akan mengandung variabel slack atau buatan.
Solusi awal tak negatip bagi fungsi batasan diperoleh dengan menetapkan variabel slack dan buatan sama dengan ruas kanan dari fungsi kendala dan menetapkan semua variabel lainnya termasuk variabel surplus sama dengan nol.Contoh: (***)Solusi awal :
6
Penalty Cost Penambahan var slack dan surplus tidak mengubah sifat fungsi batasan maupun tujuan. Oleh karena itu variabel tersebut dapat diikut sertakan pada fungsi tujuan dengan koefisien nol. Sedangkan variabel buatan mengubah fungsi fungsi batasan.Karena variabel buatan ini hanya dtambahkan pada salah satu ruas persamaan, maka system yang baru ekivalen dengan fungsi kendala yang lama jika dan hanya jika variabel buatannya nol.
Metode Big MUntuk pemecahan optimal maka variabel buatan diikut sertakan dalam fungsi tujuan dengan ketentuan :
Untuk : Minimum diberikan koefisien positip yang besar sekali ( M ).
Maksimum diberikan koefisien negatip yang besar sekali ( - M ).
Contoh : (Bakery) Minimum : z = 80 x1 + 60x2+ 0 x3 +M x4
F. Batasan :
Solusi awal : Metode Grafik
Langkah – Langkah Penggunaan Metoda Grafik
1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikan dalam bentuk matematis
2. Mengidentifkasikan batasan-batasan yang belaku dan memformulasikan dalam bentuk matematis.
7
3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam system koordinat .Dan menentukan daerah yang memenuhi untuk masing-masing fungsi batasan tersebut.
4. Mencari titik yang paling optimal dihubungkan dengan fungsi tujuan.
Contoh : ( Perusahaan sepatu )
Perusahaan sepatu “Ideal “ membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merk I dengan sol dari karet, dan macam ke II dengan sol dari dari kulit. Untuk membuat sepatu tersebut perusahaan memerlukan 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit dan mesin 3 membuat bagian atas dari sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk I mula-mula dikerjakan dengan mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan dimesin 3 selama 6 jam, sedangkan sepatu II tidak diproses di mesin 1 , tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam , mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Keuntungan untuk setiap lusin sepatu merk I = Rp. 30.000 sedangkan merk II = Rp. 50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merk I dan merk II yang dibuat agar mendapatkan keuntungan yang maksimum.
Model LP:Variabel : x1 = jumlah (lusin ) sepatu merk I x2 = jumlah (lusin ) sepatu merk IIFungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Fungsi Batasan :
Grafik :
D C
8
Daerah Feasible
B
A Pada titik A : x1 = 4 ; x2 = 0; z = 12 B : x1 = 4 ; x2 = 6/5; z = 18 C : x1 = 5/6 ; x2 = 5; z = 27 (*) Optimal D : x1 = 0 ; x2 = 5; z = 25
Metode Simpleks
Adalah suatu metode matriks untuk memecahkan program –program linier dalam bentuk standar, yaitu :
Optimisasikan : ( Maks/Min ) z = CT X
Dengan kendala : AX = B dan X ≥ 0
dimana B ≥ 0 dan pemecahan dasar x0 .
Metode simpleks menggunakan proses iterasi ( perhitungan berulang ) , dengan x0 sebagai pemecahan awal , untuk menentukan pemecahan dasar lainnya, sehingga diperoleh pemecahan optimal.
MINIMISASI :
XT
CT
9
x0 C0 A B
CT - A - B
MAKSIMISASI :
Tanda aljabar dari elemen – elemen dari baris terbawah dibalik
LANGKAH – LANGKAH METODE SIMPLEKS
LANGKAH 1 : Pilihlah bilangan negatip terbesar pada baris terbawah ( kolom yang mengandung bilangan tersebut dikatakan kolom kerja )
LANGKAH 2 : Bentuklah nilai-nilai banding dengan membagi setiap bilangan positip kolom kerja, dengan elemen dalam baris yang sama dalam kolom terakhir, dimana baris terakhirnya dibaikan . Pilihlah nilai banding terkecil sebagai elemen pivot , jika terdapat dua pembanding yang sama pilihlah salah satunya . Jika tidak ada elemen dalam kolom kerja yang positip, maka programnya tidak memiliki pemecahan.
LANGKAH 3 :Gunakan operasi elementer baris untuk mengubah elemen pivot menjadi satu dengan transformasi elementer
dan kemudian gunakan transformasi elementer untuk merubah elemen lainnya yang terletak pada kolom kerja tersebut menjadi nol .
LANGKAH 4 :Gantikan variabel x dalam baris pivot pada kolom pertama dengan variabel x dalam kolom kerja
LANGKAH 5 :Ulangi langkah 1 sampai 4 hingga tidak terdapat lagi elemen negatip dalam baris terakhir , dengan tidak memasukkan kolom terakhir.
LANGKAH 6 :Pemecahan optimal diperoleh dengan menetapkan untuk tiap-tiap variabel dalam kolom pertama nilai dalam baris terakhir yang bersangkutan. Semua variabel lainnya
10
ditetapkan bernilai nol. Nilai dari fungsi tujuan yakni x* adalah bilangan yang terdapat dalam baris dan kolom terakhir untuk program maksimisasi, sedangkan negatif dari bilangan ini adalah untuk program minimisasi.
Contoh: ( Perusahaan Sepatu )Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2 Z-3x1 -5 x2+0 x3+0 x4+0 x5= 0
Fungsi Batasan :
X1 X2 X3 X4 X5
X3 2 0 1 0 0 8 ∞X4 0 3* 0 1 0 15 5X5 6 5 0 0 1 30 6
-3 -5 0 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
X3 2 0 1 0 0 8 4X2 0 1 0 1/3 0 5 ∞X5 6* 0 0 -5/3 1 5 5/6
-3 0 0 5/3 0 25
11
X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/3 19/3X2 0 1 0 1/3 0 5X1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
0 0 0 5/6 1/2 27 positip
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 5/6 jadi banyaknya sepatu merk I = 5/6 lusinX2= 5 jadi banyaknya sepatu merk II = 5 lusinZ maksimum = 27 artinya keuntungan yang diperoleh = Rp.275.000 setiap hari.
Contoh : Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = x1 + 9 x2+ x3
Fungsi Batasan :
Dan semua variabel tidak negatifJawab :
Z - x1 - 9 x2- x3+0 x4 +0 x5
Fungsi Batasan :
X1 X2 X3 X4 X5
X4 1 2* 3 1 0 9 9/2X5 3 2 2 0 1 15 15/2
-1 -9 -1 0 0 0
12
X1 X2 X3 X4 X5
X2 1/2 1 3/2 1/2 0 9/2X5 2 0 -1 -1 1 6
7/2 0 25/2 9/2 0 81/2 Pos
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X2= 9/2 , X5= 6, X1= X3= X4= 0 dengan Z maksimum = 81/2
Metode Dua –Fasa ( Two Phase methode )( digunakan apabila variabel buatan adalah bagian dari solusi awal )
Perubahan 1 : Baris terakhir diuraikan ke dalam dua baris, dimana yang pertama mengandung suku yang tidak mengandung M,
13
sedangkan yang kedua mengandung koefisien-koefisien M dalam suku-suku sisanya.
Perubahan 2 : Langkah 1 dari metode simpleks diterapkan pada baris akhir yang dibentuk dalam perubahan 1 ( yang kemudian diikuti dengan langkah-langkah 2,3,4 ) , hingga baris ini tidak mengandung elemen negatip. Kemudian langkah 1 diterapkan lagi pada elemen baris kedua dari bawah, yang terletak diatas angka-angka nol dalam baris terakhir.
Perubahan 3 : Setiap sebuah variabel buatan bukan merupakan suatu variabel dasar, ia dihilangkan dari kolom pertama dari tabel sebagai hasil langkah 4 maka ia dicoret dari baris teratas tabel dan begitu pula seluruh kolom di bawahnya.
Perubahan 4 : Baris akhir dapat dicoret dari tabel jika semua elemennya nol.
Perubahan 5 : Jika variabel buatan yang tak nol terdapat dalam himpunan elemen dasar terakhir, maka tidak ada solusi .
Contoh ( Bakery )F. Tujuan :Min: Z = 80 x1 + 60x2
F. Batasan :
14
Minimum : z = 80 x1 + 60x2+ 0 x3 +M x4 F. Batasan :
X , C [ 80,60,0,M ]
A B C0
80 60 0 M 0,20
1
0,32
1
1
0
0
1
0,25
180-M 60-M 0 0 -M
80 60 0 M 0,20
1*
0,32
1
1
0
0
1
0,25
180-1
60-1
00
00
0-1
15
0
1
0,12*
1
1
0
0,05
1
0
1
1
0
8,333
-8,333
0,4167
0,583300
-200
00
-800
00
00
166,70
-71,670
Contoh :
Minimum Z = x1 + 2x2
Fungsi Batasan :
1
1
3*
1
-1
0
0
1
1
0
0
1
11
9
11/3
9/1 1
-32-4
01
01
00
00
020
16
1/3
5/3*
1
0
-1/3
1/3
0
-1
1/3
0
0
-1/3
11/3
16/3
11
16/5 1/3
-5/300
2/3-1/3
01
-2/34/3
00
-22/3-16/3
1/3
1*
1
0
-1/3
1/5
0
-3/5
1/3
-1/5
0
3/5
11/3
16/5 1/3
-5/300
2/3-1/3
01
-2/34/3
00
-22/3-16/3
0
1*
1
0
-2/5
1/5
1/5
-3/5
2/5
-1/5
1/5
3/5
13/5
16/5 0
000
3/50
1/50
-3/51/3
-1/51
-42/51
Solusi optimal : Soal :Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = x1 + x2
Fungsi Batasan :
17
Dan semua variabel tidak negatif
Jawab :
Z - x1 - x2 +0 x3 +0 x4
Fungsi Batasan :
X1 X2 X3 X4
X3 1 5 1 0 5 5X4 2* 1 0 1 4 2
-1 -1 0 0 0
Krn sama, Pilih salah satu
X1 X2 X3 X4
X3 0 9/2* 1 -1/2 3 3/2X1 1 1/2 0 1/2 2 4
0 -1/2 0 1/2 2
X1 X2 X3 X4
X2 0 1* 2/9 -1/9 2/3X1 1 1/2 0 1/2 2
0 -1/2 0 1/2 2
X1 X2 X3 X4
X2 0 1* 2/9 -1/9 2/3X1 1 0 -1/9 5/9 5/3
0 0 1/9 4/9 7/3
18
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 5/3 , X2= 2/3, dengan Z maksimum = 7/3Soal : Fungsi Tujuan : Minimum : Z = 3x1 + 5x2
Fungsi Batasan : Jawab :
Minimum : Z = 3x1 + 5x2+ Mx3+ 0x4+ 0x5+Mx6
2
0
6
0
3
5
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
8
15
30
19
2
0
6
0
3
5
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
8
15
30
3-8M 5-5M 0 0 M 0 38M
2*
0
6
0
3
5
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
8
15
30
4
∞
5
3-8
5-5
00
00
01
00
038
1
0
0
0
3
5*
1/2
0
-3
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
4
15
6
∞
5
6/5
00
5-5
-3/24
00
01
00
-12-6
20
1
0
0
0
1
1
1/2
9/5
-3/5
0
1
0
0
3/5
-1/5
0
-3/5
1/5
4
57/5
6/5
00
00
3/21
00
10
11
-180
Solusi optimal :
Soal : ( Latihan )Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 30x1 + 40x2+ 60x3
Fungsi Batasan :
Dan semua variabel tidak negatif
Jawab :
Z -30 x1 - 40x2 -60 x3 +0 x4+0 x5+0 x6
Fungsi Batasan :
21
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X4 4 5 6 1 0 0 60000 10000X5 4 6 8 0 1 0 75000 9375X6 2 5 5* 0 0 1 45000 9000
-30 -40 -60 0 0 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X4 6/5 -1 0 1 0 -6/5 60000 6000X5 4/5* -2 0 0 1 -8/5 3000 3750X3 2/5 1 1 0 0 1/5 9000 22500
-6 20 0 0 0 12 540000
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X4 6/5 -1 0 1 0 -6/5 60000 6000X1 1 -5/2 0 0 5/4 -2 3750 3750X3 2/5 1 1 0 0 1/5 9000 22500
-6 20 0 0 0 12 540000
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X4 0 2 0 1 -3/2 6/5 1500X1 1 -5/2 0 0 5/4 -2 3750X3 0 2 0 0 -1/2 1 7500
0 5 0 0 36/4 0 562500
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 3750 , X3= 7500, dengan Z maksimum = 562.500
22
Metode Dual Simpleks
Untuk setiap LP dalam variabel x1, x2,……, xn, terkait dengan LP dengan variabel lain misal w1, w2,……, wm ( dimana m adalah jumlah batasan alam LP semula) yang disebut dengan DUAL nya. Bentuk dual tersebut tergantung pada bentuk LP semula yang disebut dengan PRIMAL.
DUAL SIMETRISPrimal Dual
F.Tujuan :Minimum : z = CTX F.Tujuan :Maksimum : z = BTWF.Batasan: AX ≥ B Dan: X ≥ 0
F.Batasan: AT W ≤ C Dan: W ≥ 0
Berlaku sebaliknya
DUAL TAK SIMETRIS
23
Primal DualF.Tujuan :Minimum : z = CTX F.Tujuan :Maksimum : z = BTWF.Batasan: AX = B Dan: X ≥ 0
F.Batasan: AT W ≤ C Dan: W ≥ 0
Primal DualF.Tujuan :Maksimum : z = CTX F.Tujuan :Minimum : z = BTWF.Batasan: AX = B Dan: X ≥ 0
F.Batasan: AT W ≥ C Dan: W ≥ 0
Interpretasi ekonomis masalah Primal dan Dual
PrimalXj adalah Tingkat aktivitas ( j = 1,2…,n)Cj adalah laba per satuan aktivitas jZ adalah total laba dari seluruh aktivitasbi adalah jumlah sumber i yang tersedia ( i= 1,2,…,m)aij adalah jumlah sumber i yang dipakai oleh setiap satuan aktivitas jDualYj adalah kontribusi per satuan sumber i terhadap laba
CONTOH: ( Perusahaan Sepatu )
Primal : Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Fungsi Batasan :
2 x1 ≤ 8
3 x2 ≤ 15 6 x1 + 5 x2 ≤ 30
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = CTX = Fungsi Batasan : AX ≤ B
24
≤
Dual :
Fungsi Tujuan : Minimum : Z = BTW=
Fungsi Batasan : ATW ≥ C
≥
Fungsi Tujuan : Minimum : Z = 8 w1 + 15 w2+ 30 w2
Fungsi Batasan :
Tabel terakhir ( tabel Optimal )
X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/319/3
Solusi
X2 0 1 0 1/3 0 5 PrimalX1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6Z 0 0 0 5/6 1/2 27 Solusi Masalah Dual : ( Hubungan Primal –Dual )
25
Koefisien slack variabel pada baris terakhir ( tabel optimal ) Dalam hal ini : w1 = 0 , w2 = 5/6, w3 = ½ sehingga
Z = 8 (0) + 15 (5/6)+ 30 (1/2) Z = 27 ( OPTIMAL )
Analisa Sensitivitas
Analisa tersebut dilakukan setelah dicapainya penyelesaian optimal, sehingga analisa nya sering disebut dengan Post Optimality Analysis.
Tujuan (Analisa Sensitivitas ) :
Mengurangi perhitungan dan menghindari perhitungan ulang, bila tejadi perubahan satu atau beberapa koefisien moel LP pada saat penyelesaian optimal telah tercapai.
Perubahan yang mungkin terjadi setelah dicapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam , yaitu :
1. Keterbatasan kapasitas sumber , dpl nilai kanan dari fungsi batasan.2. Koefisien fungsi tujuan.
Analisa sensitivitas pada dasarnya memanfaatkan kaidah-kaidah primal-dual metode simpleks semaksimal mungkin.
Kaidah Primal – Dual
Kaidah I :
Pada setiap iterasi dalam simpleks ( baik primal maupun dual ) matriks yang berisi variabel starting solution ( tidak termasuk baris tujuan ) dapat dipakai untuk menhitung koefisien baris tujuan yang berhubungan dengan matriks tersebut. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
26
Langkah 1 : Pilih koefisien –koeisien dari fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel dasar iterasi yang bersangkutan lalu disusun dalam vektor baris.Langkah 2 :Kalikan vektor baris tersebut dengan matriks pada tabel simpleks yang beranggotakan variabel-variabel starting solution. Nilai yang diperoleh dalam langkah dua ini diseut Simpleks Multiplier ( Shadow Costs )Pada tabel akhir ( optimal ) simpleks multiplier ini menunjukan optimal solution bagi dualnya.
Kaidah II :
Pada setiap iterasi dalam simpleks ( baik primal maupun dual ), nilai kanan ( kecuali baris tujuan ) dalam tabel optimal dapat dihitung dengan mengalikan matriks pada langkah 2 dengan vektor kolom yang berisi nilai kanan dari fungsi batasan mula-mula.
Kaidah III :
Pada setiap iterasi dalam simpleks baik primal maupun dual koefisien batasan yang terletak dibawah setiap variabel Xj ( j = 1,2,…,n ) merupakan hasil kali matriks pada langkah 2 dengan vektor kolom untuk setiap variabel pada tabel awal.
CONTOH : ( Perusahaan Sepatu )
Kaidah I :Langkah 1 :Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 3 x1 + 5 x2
Tabel terakhir ( tabel Optimal )X1 X2 X3 X4 X5
X3 0 0 1 -5/9 -1/3 19/3X2 0 1 0 1/3 0 5X1 1 0 0 -5/18 1/6 5/6
27
Z 0 0 0 5/6 1/2 27
Diperoleh matriks ; [ 0,5,3 ]
Langkah 2 :
Diperoleh matriks :
Sehingga
[ 0,5,3 ] = [ 0,5/6,1/2 ] Koefisien fungsi tujuan Tabel optimal
Kaidah II :
=
28
Kaidah III :
X1 X2 X3 X4 X5
2 0 1 0 0 80 3* 0 1 0 156 5 0 0 1 30-3 -5 0 0 0 0
=
=
29
Perubahan nilai kanan fungsi batasan :
Misal menjadi
=
Sehingga laba total berubah ( bertambah ) menjadi :
3 ( 5/9) + 5 ( 5 ) = 28
Apabila diubah lagi
Misal menjadi
=
Perubahan nilai kanan fungsi batasan :
30
Misal : [ 0,5,3 ] menjadi [ 0,6,4 ]
Sehingga diperoleh :
[ 0,6,4 ] = [ 0,8/9,2/3 ]
laba total berubah menjadi :
4 ( 5/6) + 6 (5) = 33
Transportasi
Ada 3 Metode Menentukan Solusi Awal :Keadaan Seimbang
31
1. Metode North West Corner
Metode paling tidak efisisien karena tidak mempertimbangkan biaya transportasi per unit dalam alokasi
Cara : Tentukan min (S, D ) pada x11 kemudian teruskan sampai dengan sesuaikan suplay dan demand
ke 1 2 3 Suplay(S)
dari1
1208 5 6
1202
3015
5010 12
803 3
209
6010
80Demand(D)
150
70 60 280
Solusi Awal = (120)(8) + (30)(15) + (50)(10) + (20)(9) + (60)(10) = 2690
2. Metode Least Cost
Lebih baik dari Metode North West Corner karena masih mempertimbangkan biaya transportasi per unit dalam alokasi
Cara nya : Pilih biaya transportasi terkecil alokasikan min ( S,D), kemudian hilangkan baris atau kolom yang terpilih Kemudian pilih lagi biaya transportasi yang terkecil setelah baris/kolom di hilangkan ,teruskan sampai dengan sesuaikan suplay dan demand
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari1 8
705
506
120
32
270
15 1010
12 80
380
3 9 10 80
Demand(D) 150 70 60 280
Solusi Awal = ( 70)(5) + (50)(6) +( 70)(15) + (10)(12) + (80)(3) = 2060
3. Metode Aproksimasi Vogel ( VAM)Lebih baik dari metode 1 dan 2Cara nya : 1. Tentukan penalty ( opportunity )cost Baris dan kolom
dengan cara mengurangkan dua nilai terkecil biaya transportasi.
2. Pilihlah nilai penalty cost yang terbesar antara baris dan kolom
3. Alokasikan min (S,D) pada baris/kolom penalty cost yang terpilih dengan biaya transportasi terkecil.
4. Hilangkan baris atau kolom yang terpilih kemudian ulangi langkah 1 sampai sesuai suplay dan demand nya
Ke 1 2 3 Suplay Penalty cost
Dari Baris
1 8 5 6 6-5 = 1120
2 15 10 12 12-10= 2 80
380
3 9 10 9-3 = 6 (*) 80
Demand 150 70 60 280
Penalty cost kolom
8-3 = 4 9-5 = 4 10-6 = 4
Ke 1 2 3 Suplay Penalty cost
33
Dari Baris
170
8 550
6 1 120
2 1570
1010
12 80 2
380
3 9 10 80
Demand 150 70 60
280
Penalty cost kolom
15-8 = 7 (*) 10-5 =5(***) 12-6=6(**)
Solusi Awal = (70)(8) + (50)(6) + (70)(10) + ( 10)(12) + ( 80 ) (3) = 1920
Ada 2 Metode Menentukan Solusi Optimum
1. Metode Stepping- Stone
Langkah-langkah :1. Tentukan solusi awal dengan metode NWC atau LS atau VAM2. Tentukan jalur tertutup yang diawali dari kotak –kotak yang
kosong ( variabel non basis)3. Pilih perubahan biaya yang mempunyai nilai negatip terbesar
(menentukan perubahan biaya caranya adalah dengan menambahkan biaya yang dimulai pada kotak kosong( var. non basis), kemudian kurangkan dengan biaya pada variabel basis mengikuti jalur tertutup secara bergantian biaya tersebut dilakukan penambahan dan pengurangan.
4. Lakukan perubahan letak variabel basis dan non basis dengan memulai pada kotak yang kosong dengan menambahkan sejumlah nilai pada variabel basis kemudian kurangkan pada variabel basis sebesar nilai pada variabel basis tadi demikian seterusnya secara berselang seling (penambahan /pengurangan ) sesuai dengan jalur yang terpilih
5. Jika seluruh perubahan biaya positip maka solusi optimum
34
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari1
1208 5 6
1202
3015
5010 12
803 3
209
6010
80Demand(D) 150 70 60 280
Kotak Kosong Jalur Tertutup
X12 X12 X22 X21 X11 X12
X13 X13 X33 X32 X22 X21 X11 X13
X23 X23 X33 X32 X22 X23
X31 X31 X21 X22 X32 X31
Biaya Transp Jalur Penambahan/ Perubahan Biaya Pengurangan Biaya
C12 +`5 – 10 +15 – 8 = +2
C13 +`6 – 10 + 9 – 10 + 15 – 8 = +2
C23 +`12 – 10 + 9 – 10 = +1
C31 +`3 – 15 +10 – 9 = - 11
Pilih Perubahan Biaya negatip terbesar , jika sama pilih salah satu
35
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari1
1208 5 6
1202
1015
7010 12
803
203 9
6010
80Demand(D) 150 70 60 280
Kotak Kosong Jalur Tertutup
X12 X12 X22 X21 X11 X12
X13 X13 X32 X31 X11 X13
X23 X23 X33 X31 X21 X23
X32 X32 X31 X21 X22 X31
Biaya Transp Jalur Penambahan/ Perubahan Biaya Pengurangan Biaya
C12 +`5 – 10 +15 – 8 = +2
C13 +`6 – 10 + 3 – 8 = - 9
C23 +`12 – 10 + 3 – 15 = -10
C32 +`9 – 3 +15 – 10 = + 11
36
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari1
1208 5 6
1202 15
7010
1012
803
303 9
5010
80Demand(D) 150 70 60 280
Biaya Transp Jalur Penambahan/ Perubahan Biaya Pengurangan Biaya
C12 +`5 – 8 + 3– 10 +12 – 10= - 8
C13 +`6 – 8 + 3 – 10 = - 9
C21 +`15 – 3 + 10 – 12 = +10
C32 +`9 – 10 +12 – 10 = + 1
Ke 1 2 3 Suplay (S)
Dari1
708 5
506
1202 15
7010
1012
803
803 9 10
80Demand(D) 150 70 60 280
Biaya Transp Jalur Penambahan/ Perubahan Biaya Pengurangan Biaya
C12 +`5 – 10 +12 – 6= + 1 C13 +`15 – 12 + 6 – 8 = + 1 C21 +`9 – 3 + 8 – 6 +12 – 10 = +11 C32 +`10 – 6 + 8 – 3 = + 9 Karena Perub. Biaya semua positip maka sudah optimalSolusi optimal = (70)(8) + (80)(3) + (70)(10) +(50)(6)+(10)(12)= 1920
37
2.Metode Modified Distribution ( MODI )
Langkah –langkah :1. Tentukan nilai ui untuk setiap baris dan nilai vj untuk setiap kolom
dengan menggunakan hubungan cij = ui + vj untuk semua variabel basis dan misalkan nilai nol untuk ui .
2. Hitung perubahan biaya cij , untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus Cij = cij - ui - vj
3. Pilih nilai Cij negatip terbesar, kemudian tentukan jalur tertutup yang dimulai dengan kotak kosong tersebut.
4. Lakukan perubahan letak variabel basis dan non basis dengan memulai pada kotak yang kosong dengan menambahkan sejumlah nilai pada variabel basis kemudian kurangkan pada variabel basis sebesar nilai pada variabel basis tadi demikian seterusnya secara berselang seling (penambahan /pengurangan ) sesuai dengan jalur yang terpilih
5. Jika seluruh perubahan biaya positip maka solusi optimal.
Ke 1 2 3 Suplay ui
Dari
1120
8 5 6 120 0
230
1550
10 12 80 7
3 320
960
10 80 6
Demand 150 70 60 280
vj 8 3 4
u1 + v1 = c11 0 + v1 = 8 u1 = 0 (misal ) ;v1 = 8
u2 + v1 = c21 u2 + 8 = 15 u2 = 7
u2 + v2 = c22 7 + v2 = 10 v2 = 3
u3 + v2 = c32 u3 + 3= 9 u3 = 6
38
u3 + v3 = c33 6 + v3 = 10 v3 = 4
Perubahan biaya ( Kotak kosong/ variabel non basis )
C12 = c12 – u1 – v2 = 5 – 0 – 3 = +2
C13 = c13 – u1 – v3 = 6 – 0 – 4= +2
C23 = c23 – u2 – v3 = 12 – 7 – 4 = +1
C31 = c31 – u3 – v1 = 3 – 6 – 8 = - 11
Ke 1 2 3 Suplay ui
Dari
1120
8 5 6120 0
210
1570
10 12 80 7
320
3 960
10 80 - 5
Demand 150 70 60 280
vj 8 13 15
u1 + v1 = c11 0 + v1 = 8 u1 = 0 (misal ) ;v1 = 8
u2 + v1 = c21 u2 + 8 = 15 u2 = 7
u2 + v2 = c22 7 + v2 = 10 v2 = 3
u3 + v1 = c31 u3 + 8 = 3 u3 = -5
u3 + v3 = c33 -5+ v3 = 10 v3 = 15
Perubahan biaya ( Kotak kosong/ variabel non basis )
39
C12 = c12 – u1 – v2 = 5 – 0 – 3 = +2
C13 = c13 – u1 – v3 = 6 – 0 – 15= - 9
C23 = c23 – u2 – v3 = 12– 7 – 15 = - 10
C32 = c32 – u3 – v2 = 9 + 5 – 3 = + 11
Ke 1 2 3 Suplay ui
Dari
1120
8 5 6 120 0
2 1570
1010
12 80 - 3
330
3 950
10 80 - 5
Demand 150 70 60 280
vj 8 13 15
u1 + v1 = c11 0 + v1 = 8 u1 = 0 (misal ) ;v1 = 8
u2 + v2 = c22 -3 + v2 = 10 v2 = 13
u2 + v3 = c23 u2 + 15 = 12 u2 = - 3
u3 + v1 = c31 u3 + 8 = 3 u3 = -5
u3 + v3 = c33 -5+ v3 = 10 v3 = 15
Perubahan biaya ( Kotak kosong/ variabel non basis )
C12 = c12 – u1 – v2 = 5 – 0 – 13 = - 8
C13 = c13 – u1 – v3 = 6 – 0 – 15= - 9
C21 = c21 – u2 – v1 = 15 + 3 – 8 = + 10
40
C32 = c32 – u3 – v2 = 9 + 5 – 13 = + 1
u1 + v1 = c11 0 + v1 = 8 u1 = 0 (misal ) ;v1 = 8
u3 + v1 = c31 u3 + 8 = 3 u3 = - 5
u2 + v2 = c22 6 + v2 = 10 v2 = 4
u1 + v3 = c13 0 + v3 = 6 v3 = 6
u2 + v3 = c23 u2 + 6 = 12 u2 = 6
Perubahan biaya ( Kotak kosong/ variabel non basis )
C12 = c12 – u1 – v2 = 5 – 0 – 4= + 1
C21 = c21 – u2 – v1 = 15 – 6 – 8= + 1
C32 = c32 – u3 – v2 = 9 + 5 – 4 = + 10
C23 = c23 – u2 – v3 = 10 + 5 – 6 = + 9
Karena seluruh perubahan biaya positip maka solusi optimum.
Solusi optimal = (70)(8) + (80)(3) + (70)(10) +(50)(6)+(10)(12)= 1920
Solusi optimum memerlukan jumlah iterasi yang sama dengan metode stepping stone dan alokasi yang sama akan terjadi pada setiap iterasi
41
Soal ( Seimbang )
ke 1 2 3 Suplay(S)
dari1 20 5 8
902 15 20 10
603 25 10 19
50Demand(D)
50
110 40 200
Soal ( Tidak Seimbang )Kebutuhan lebih kecil dari sumber (kapaitas)yang tersedia
ke gudang1 gudang2 gudang3 Dummy Suplay(S)
daripbrk1 20 5 8 90
pbrk2 15 20 10 60
pbrk3 25 10 19 100
Demand(D)
50
110 40 50
250
Kebutuhan lebih besar dari sumber (kapaitas)yang tersedia ke 1 2 3 Suplay(S)
dari1 20 5 8
902 15 20 10
42
603 25 10 19
50Dummy
50
Demand(D)
50
110 40 200
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6 120
2 15 10 12 80
3 3 9 10 80
Demand 150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6 120
2 15 10 12 80
3 3 9 10 80
Demand 150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6
43
120 2 15 10 12
80 3 3 9 10
80 Demand
150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6 120
2 15 10 12 80
3 3 9 10 80
Demand 150 70 60 280
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6 120
2 15 10 12 80
3 3 9 10 80
Demand 150 70 60 280
44
Ke 1 2 3 Suplay
Dari
1 8 5 6 120
2 15 10 12 80
3 3 9 10 80
Demand 150 70 60 280
Masalah Penugasan
Masalah : Yang berhubungan dengan penugasan optimal dari macam-macam
sumber yang produkyif / personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbeda pula.
Metoda Hungarian adalah metoda untuk penyelesaian masalah penugasan .
Syarat :Jumlah sumber yang ditugaskan sama dengan jumlah tugas yang
akan diselesaikan.
Langkah –Langkah Penyelesaian :
Masalah Minimum :1. Ubah matriks biaya menjadi matriks opportunity cost dengan cara
memilih elemen terkecil pada setiap baris matrikss. Kemudian kurangkan setiap elemen baris dengan elemen terkecil tersebut.
2. Apabila dalam kolom matriks masih ada yang tidak nol. Pilih elemen terkecil pada kolom yang tidak mengandung nol tersebut. Kemudian kurangkan seluruh elemen kolom tersebut dengan
45
elemen terkecil tersebut. Reduced cost matriks terus dikurangi untuk mendapatkan total opportunity cost matriks.
3. Mencari skedul Penugasan dengan dengan suatu total opportunity cost nol. Prosedur tes optimalisasi adalah dengan menarik sejumlah minimum garis horizontal dan / atau vertical untuk meliput seluruh elemen yang bernilai nolmdalam total opportunity cost matriks. Bila jumlah garis sama dengan jumlah baris atau kolom penugasan optimal adalah feasible. Bila tidak sama maka matriks harus direvisi.
4. Untuk merevisi , caranya adalah pilih elemen terkecil yang belum terliput garis, kemudian kurangkan elemen yang tidak terliput dengan elemen terkecil tersebut, kemudian tambahkan elemen terkecil ybs pada seluruh elemen –elemen yang mempunyai dua garis bersilangan. Ulangi langkah 3.
Contoh :Masalah Minimisasi
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 25 31 35B 15 20 24C 22 19 17
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 0 6 10B 0 5 9C 5 2 0
Pekerjaan
Karyawan I II III
46
A 0 4 10
B 0 3 9C 5 0 0
Pekerjaan
Karyawan I II III
A 0 1 7
B 0 0 6C 8 0 0
Skedul : A – I ; B – II ; C – III 25 + 20 + 17 = 62.
Catatan :
Untuk Masalah Maksimum ;Pilih nilai terbesar di masing-masing baris dst…..
Soal : masalah maksimum
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 10 12 10 8 15B 14 10 9 15 13C 9 8 7 8 12D 13 15 8 16 11
47
E 10 13 14 11 17
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 5 3 5 7 0B 1 5 6 0 2C 3 4 5 4 0D 3 1 8 0 5E 7 4 3 6 0
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 4 2 2 7 0
B 0 4 3 0 2C 2 3 2 4 0D 2 0 5 0 5E 6 3 0 6 0
Pekerjaan
Karyawan I II III IV V
A 2 0 0 5 0
48
B 0 4 3 0 4C 0 1 0 2 0D 2 0 5 0 7E 6 3 0 6 0
Skedul : Terdapat 2 alternatif penyelesaian :
A-II ; B – I ; C – V ; D – IV ; E – III12 + 14 + 12 + 16 + 14 = 68
A-V ; B – IV ; C – I ; D – II ; E – III15 + 15 + 9 + 15 + 14 = 68
49
