Operations Research

Hoorcollege week 4

Deel 2

Inleiding wachtrijsystemen

De klassificatie van Kendall

Het M/M/1-model

R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam

2

Wachtrijsystemen

3

Kenmerken van Wachtrijen

verdeling van aankomsttijd ook: inter arrival time

verdeling van bedieningstijd ook: service time

aantal servers of loketten#

serversaankomsten

bedieningen

4

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden

Notatie: M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel

verdeeld D : de tussenaankomsttijd is constant G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld

5

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

maximaal aantal toegestane klanten in het systeem of ook: systeem-capaciteit

omvang van de gehele populatie van mogelijke klanten

protocol van bediening van de wachtrij

6

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

Systeem-capaciteit: oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt!

(vergelijk de printbuffer of het geheugen, beperkte ruimte in kapsalon.)

7

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

De populatie (dit is iets anders dan de systeem-capaciteit) veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant

melden) soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines

die zich ‘melden’)

8

Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)

Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt bediend FIFO - First In First Out

FCFS - First Come First Served LIFO - Last In First Out

LCFS - Last Come First Served SJN - Shortest Job Next SIRO - Service In Random Order SPT - Shortest Processing Time first PR - according to PRriority

9

De Kendall-notatie

de genoemde kenmerken worden afgekort volgens Kendall, bijv.: M/M/1/FIFO

negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd één server systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = ) oneindige populatie First In First Out bedieningsvolgorde

10

De Kendall-notatie (vervolg)

dit wordt afgekort tot M/M/1 voortaan meestal korte notatie

dus capaciteit en populatie worden dan oneindig verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de lange notatie.

Enkele voorbeeldenM/M/4 M/D/3/8M/G/1 M/M/4/4D/M/2/4 M/M/2/5/5

11

Notatie van Kendall

A/B/s/N/K met:

A = verdeling aankomsttussentijd

B = verdeling bedieningstijd

s = aantal servers

N = capaciteit van het systeem

K = omvang van de ‘doelgroep’

afkortingen verdelingen (d.w.z. A, B):

M = exponentieelD = constant/deterministischG = algemeen

(Ek = Erlang)

12

Parameters wachtrijsysteem Resumerend

gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van

aankomstproces ( en verdeling tussentijd) bedieningsproces ( en verdeling bedientijd) aantal loketten capaciteit van het systeem omvang van de doelgroep bedienings-protocol

13

Kendall notatie oefeningen

kapsalon met 3 knipstoelen en 5 wachtstoelen

6 machines die onderhouden worden en 1 monteur met Poisson-verdeelde bedieningsintensiteit

vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan Wachtrij in kantine met exponentieel

verdeelde tussenaankomsttijden en constante bedieningstijden

14

Interessante afgeleide systeem-variabelen

= bezettingsgraad (server utilization, percentage van de tijd dat een server bezig is waarbij s = aantal parallelle servers)

Pn = kans op n klanten in het systeem Nq = gemiddeld aantal klanten in het systeem

(bediening en wachtrij) Nw = gemiddeld aantal klanten in de wachtrij Tq = gemiddelde tijd dat een klant in het

systeem aanwezig is (bediening en wachtrij) Tw = gemiddelde tijd dat een klant in de

wachtrij aanwezig is

15

Overgangs- en stationair gedrag

overgangsgedrag (vanaf t = 0)

prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijd Tw en gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t)

stationair gedrag ( t => ) prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)

16

Overgangsgedrag

geschiedenis aantal klanten in systeem = grafiek aantal klanten tegen tijd

Kan ook in tabel Je moet het wachtrij-protocol kennen

FIFO (first in first out) LIFO (last in first out) SIRO (service in random order) SPT (shortest processing time first) PR (according to priority)

17

Geschiedenis

oefening

• aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ?• voor alle N bezoeken de begintijd ?• voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ?• voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?

Nq

18

Het M/M/1// - model

19

Het M/M/1// - model

Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden ( gemiddelde aankomstintensiteit = [klanten/sec], gem. tussenaankomsttijd = [sec] ) (N.B.: =1/

Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden (gemiddelde bedieningsintensiteit = [klanten/sec], gem. bedieningstijd Ts= [sec])

aantal loketten s = 1 Systeemcapaciteit is oneindig Populatiegrootte is oneindig

20

De Markov-keten en de evenwichtsvergelijkingen: M/M/1

…

- Markov-keten.- Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren.- Overganskansen i.h.a. niet constant.

21

Het M/M/1-model

In het M/M/1-model is:het aankomstproces een Poisson-proces met

gemiddeld aankomsten per tijdseenheidde tijd tussen het afronden van twee bedieningen

negatief exp. verdeeld met gemiddeld bedieningen per tijdseenheid

het aantal servers = loketten gelijk aan 1

Dus parameters n en n hangen niet van n af!!

22

Het M/M/1-model (vervolg)

Dus n = voor alle n = 0, 1, 2, ... En n = voor alle n = 1, 2, 3, ... Wel moet gelden : <

anders loopt het systeem “vol”

De grootheid

wordt de bezettingsgraad van het systeem genoemd

De evenwichtsvergelijkingen worden :

( )1

23

Het M/M/1-model (vervolg)

...),2,1,0voor(:.

:

,...)2,1,0(

0

03

22323

02

11212

00101

1

nPPDus

PPPPPP

PPPPPP

PPPPP

Dus

nPP

nn

nn

0 1 2 3

…

n-1 n n+1 n+2

……

24

Het M/M/1-model (vervolg)

Bovendien is de som van alle kansen 1

...),2,1,0()1(:Dus

111

1

)!!1:N.B.(1...)1(

11

00

320

00

0

nP

PP

P

PP

nn

n

n

nn

25

Het M/M/1-model (vervolg)

VOORBEELD Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten

per minuut binnen. De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4

seconden.1. wat is de kans op een ‘idle server’?

2. wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem?

3. wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?

26

Het M/M/1-model(vervolg)

ANTWOORD Eerst: is natuurlijk 10 (berichten per minuut)

En: is 15 !! (berichten per minuut)

Dus de bezettingsgraad = 10/15 = 2/3 De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0

berichten in het systeem: P0 dus.

27

Het M/M/1-model (vervolg)

2

31

2

3

1

30 333

12

31

2

3

2

90 222

12

31

2

3

4

270148

12

31

2

3

8

810 099

0

1

22

2

33

3

dus P

P

P

P

.

( ) ( ) .

( ) ( ) .

( ) ( ) .

De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198

We vonden:

Pn = n (1-)

28

Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen

We definieren een aantal stochasten: Ns = het aantal klanten dat bediend wordt

Tq = de tijd die een klant in het systeem doorbrengt

(ook wel de doorlooptijd genoemd)

Tw = de tijd die een klant in de rij staat

Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant

Nq = het aantal klanten in het systeem

Nw = het aantal klanten in de wachtrij

29

Little’s Result

We nemen voortaan aan dat alle genoemde stochasten niet afhangen van de tijd

Er geldt :Nq = Nw + Ns

Tq = Tw + Ts

Bovendien geldt Little’s result:E(Nq) = E(Tq)

E(Nw) = E(Tw) en

E(Ns) = E(Ts)

30

Little’s Result (vervolg)

Zoals aldoor is het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid

Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is onafhankelijk van de aankomstverdeling !!

Het bewijs is abstract, het resultaat eenvoudig en aannemelijk.

31

De verwachting van Nq (M/M/1-model)

0

00

0

)1(

)1(

)(

)(

k

k

k

k

kk

kq

q

k

kPk

kNPk

N

Ehelp!help!

wiskunde trucs!!!

20

2

32

432

32

432

0

)1(Dus

1voor)1(

1)('Dus

1voor)1(

1)(Maar

....4321)('

is...1)(Met

...)4321(

.....432

xx

xk

xx

xf

xx

xf

xxxxf

xxxxxf

xxxx

xxxxxk

k

k

k

k

33

De verwachting van Nq en Tq

Uit het voorgaande volgt dus: (bedenk dat < 1 )

)1()1()1()( 2)(1-qNE

En En dandan volgt met het Result van Little volgt met het Result van Little::

11

)(1

)( qq NT EE

34

het gemiddelde aantal klanten in het systeem als functie van de bezettingsgraad

0

5

10

15

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

bezettingsgraad

Nq

35

De verwachting van Nw en Tw

De verwachte wachttijd is : de verwachte totale tijd in het systeem minus de

verwachte bedieningsduur

)()()(

:dusen )()(

)(11

)()()(

2

ww

sqw

TN

TTT

EE

EEE

The End