of 56 /56
UNIVERSITATEA ”LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU Facultatea de S ¸tiint ¸e SpecializareaMatematic˘a-Informatic˘a LUCRARE DE LICENT ¸ ˘ A Student ansa Patrick Timotei SIBIU 2015

Operatori Liniari Pe Spatii Hilbert

Embed Size (px)

Text of Operatori Liniari Pe Spatii Hilbert

  • UNIVERSITATEA LUCIAN BLAGA DIN SIBIU

    Facultatea de Stiinte

    Specializarea Matematica - Informatica

    LUCRARE DE LICENTA

    Student

    Hansa Patrick Timotei

    SIBIU

    2015

  • UNIVERSITATEA LUCIAN BLAGA DIN SIBIU

    Facultatea de Stiinte

    Specializarea Matematica - Informatica

    OPERATORI LINIARI PESPATII HILBERT

    Coordonator stiintific:Conferentiar univ. dr. SUCIU LAURIAN

    Student

    Hansa Patrick Timotei

    SIBIU

    2015

    2

  • Cuprins

    Introducere 3

    1 Spatii Hilbert 51.1 Spatii cu produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Complement ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Unitar echivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Baza ortonormata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Functionale liniare si teorema de reprezentare a lui Riesz . . . . . . . 15

    2 Operatori liniari 172.1 Notiuni de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Operatorul adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Operatori compacti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Operatori liniari nchisi 253.1 Operatori nchisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Fundamentele teoriei spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Operatori simetrici si autoadjuncti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Extensii autoadjuncte ale operatorilor simetrici . . . . . . . . . . . . 353.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4 Teorema lui Hille-Yosida 454.1 Operatori maximali monotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Solutia problemei de evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Cazul autoadjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    Bibliografie 55

    3

  • Introducere

    Lucrarea de fata reprezinta un studiu ce continua cursul de analiza functionala,audiat n cadrul anului terminal. Tematica abordeaza, n mod special, problematicace izvoraste din teoria abstracta a operatorilor liniari cu aplicatiile lor n studiulecuatiilor diferentiale. Clase esentiale de operatori marginiti si nemarginiti suntilustrate mpreuna cu proprietatile lor fundamentale.

    Modul n care operatorii liniari au aparut si s-au dezvoltat n literatura de spe-cialitate si rolul lor n probleme concrete generate de fizica si tehnica se evidentiazantr-o maniera cat mai ampla si mai precisa. Nu am insistat pe detaliile foartetehnice, pentru a face cat mai clara parcurgerea materialului.

    Lucrarea este structurata n patru capitole. Mai precis, n primul capitol amintrodus notiunea de spatiu Hilbert si unele din rezultatele importante care au locn cadrul acestora. Avem astfel inegalitati si identitati extrem de utile, elementede geometria spatiilor Hilbert, precum si doua rezultate fundamentale si anumeteorema Hahn-Banach si teorema de reprezentare a functionalelor liniare marginitea lui Riesz.

    In al doilea capitol am facut o scurta prezentare a notiunilor de baza din teoriaoperatorilor liniari pe spatii Hilbert, iar apoi am introdus doua clase importantede operatori: operatorii autoadjuncti si operatorii compacti. In cazul operatori-lor autoadjuncti, am aratat modul n care s-a introdus adjunctul Hilbertian al unuioperator liniar, iar apoi am evidentiat unele din proprietatile lor importante. Opera-torii compacti, fiind marginiti, ofera un exemplu foarte bun pentru a vedea diferentadintre comportamentul operatorilor marginiti n raport cu cei nemarginiti.

    In capitolul al treilea am introdus clasa operatorilor nchisi, notiuni generaledespre acestia, precum si cateva exemple de astfel de operatori. Tot n acest capitolam introdus, de asemenea, si cateva elemente de teorie spectrala generala.

    In al patrulea capitol, care si propune sa trateze aplicatiile teoriei generale in-troduse n primele trei capitole, am prezentat aplicatia teoriei operatorilor nchisin studiul solutiilor problemei de evolutie, prin intermediul faimoasei teoreme a luiHille-Yosida.

    4

  • Capitolul 1

    Spatii Hilbert

    1.1 Spatii cu produs scalar

    Definitia 1.1.1. Fie X un spatiu liniar peste K {R,C} si o functionala : X X K.

    1) Daca (, v) : X K si (u, ) : X K sunt functionale liniare pe X,pentru orice u, v X, atunci se numeste forma biliniara(sau functionalabiliniara) pe X.

    2) Daca (, v) : X K este functionala liniara pe X, pentru orice v X,si daca (u, ) : X K este functionala liniara pe X, pentru orice u X,atunci se numeste forma sesquiliniara(sau functionala sesquiliniara)pe X.

    3) O functionala : X X K este simetrica daca(x, y) = (y, x)

    si Hermitian simetrica daca

    (x, y) = (y, x)

    pentru orice x, y X.

    4) Daca este o forma sesquiliniara pe X, atunci functionala : X K defi-nita prin (x) = (x, x), pentru orice x X, se numeste forma patraticape X indusa (sau generata) de .

    5) O forma patratica indusa de o forma sesquiliniara Hermitian simetrica estenenegativa, respectiv pozitiva daca

    (x, x) 0 x X,respectiv

    (x, x) > 0 x X, x 6= 0.

    5

  • 6) Un produs scalar pe un spatiu liniar X este o forma sesquiliniara Hermitiansimetrica care induce o forma patratica pozitiva.

    7) O norma pe un spatiu liniar X este o functionala pozitiva, subaditiva si pozitivomogena.

    Propozitia 1.1.1. Daca , : X X K este un produs scalar pe un spatiuliniar X, atunci functia : X R, definita prin

    x =x, x

    pentru orice x X, este o norma pe X.

    Lema 1.1.1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz). Fie , : X X K un produs scalar pe un spatiu liniar X. Punem x = x, x, pentruorice x X. Daca x, y X, atunci

    |x, y| x y

    Propozitia 1.1.2. Fie , un produs scalar pe un spatiu liniar X si fie normaindusa de produsul scalar pe X. Atunci

    x+ y2 + x y2 = 2(x2 + y2)pentru orice x, y X. Aceasta se numeste legea paralelogramului.

    Daca (X, , ) este spatiu cu produs scalar complex, atunci

    x, y = 14

    (x+ y2 x y2 + ix+ iy2 ix iy2)

    pentru orice x, y X.Daca (X, , ) este spatiu cu produs scalar real, atunci

    x, y = 14

    (x+ y2 x y2)

    pentru orice x, y X.Aceste doua egalitati se numesc identitati de polarizare (complexa, respectivreala).

    Remarca 1.1.1. Legea paralelogramului si identitatea de polarizare complexa au locpentru orice forma sesquiliniara.

    6

  • Teorema 1.1.1. (von Neumann). Fie X un spatiu liniar. O norma pe X e indusade un produs scalar pe X daca si numai daca satisface legea paralelogramului. Maimult, daca o norma pe X satisface legea paralelogramului, atunci unicul produs scalarcare o induce este dat de identitatea de polarizare.

    Demonstratie. Avem, din propozitia 1.1.2, ca daca o norma pe X este indusa de unprodus scalar, atunci ea satisface legea paralelogramului, iar produsul scalar de peX poate fi scris n functie de aceasta norma, conform identitatii de polarizare.

    Reciproc, fie o norma pe X care satisface legea paralelogramului si fieaplicatia , : X X K definita de identitatea de polarizare. Luam x, y si zarbitrari n X. Observam ca

    x+ z =(x+ y

    2+ z)

    +x y

    2si y + z =

    (x+ y2

    + z) x y

    2.

    Asadar, din legea paralelogramului,

    x+ z2 + y + z2 = 2(wwwx+ y

    2+ zwww2 +wwwx y

    2

    www2).Presupunem ca K = R astfel ncat , : X X R este aplicatia definita deidentitatea de polarizare reala (pe spatiul normat real X). Deci

    x, z+ y, z = 14

    (x+ z2 x z2 + y + z2 y z2)

    =1

    4[(x+ z2 + y + z2) (x z2 + y z2)]

    =1

    2

    [(wwwx+ y2

    + zwww2 +wwwx y

    2

    www2) (wwwx+ y2 zwww2 +wwwx y

    2

    www2)]=

    1

    2

    (wwwx+ y2

    + zwww2 wwwx+ y

    2 zwww2) = 2x+ y

    2, z.

    Aceasta egalitate are loc pentru x, y, z X arbitrari, si deci are loc si pentruy = 0. Mai mult, din identitatea de polarizare, avem 0, z = 0, pentru orice z X.Deci, punand y = 0, obtinem x, z = 2x

    2, z, pentru orice x, z X. Atunci

    x, z+ y, z = x+ y, z (i)pentru x, y, z X arbitrari. Se verifica imediat, folosind exact acelasi rationament,ca aceasta egalitate are loc si daca K = C, unde aplicatia , : X X Csatisface identitatea de polarizare complexa (pe un spatiu normat complex X). Amaratat astfel ca , este aditiva n primul argument. Pentru a arata ca ea esteomogena n primul argument, vom proceda dupa cum urmeaza. Fie x si y vectoriarbitrari din X. Din identitatea de polarizare avem ca

    x, y = x, y.Cum (i) are loc, rezulta, printr-o inductie triviala, ca

    nx, y = nx, y

    7

  • si deci x, y = nxn, y

    = nxn, y

    astfel ncatxn, y

    =1

    nx, y,

    pentru orice ntreg pozitiv n. Cele trei expresii de mai sus implica

    qx, y = qx, y,

    pentru orice numar rational q (deoarece 0, y = 0, din identitatea de polarizare).Fie R arbitrar si ne amintim ca Q este dens n R. Asadar exista un sir de numererationale {qn}nN care converge n R la . Mai mult, conform lui (i) si amintindu-neca x, y = x, y, avem ca

    |qnx, y x, y| = |(qn )x, y|.

    Conform identitatii de polarizare, avem ca |nx, y| n

    0, cand n n

    0 n

    R (deoarece norma este continua). Deci |(qn )x, y| n

    0 si deci |qnx, y x, y|

    n0, ceea ce nseamna ca qnx, y

    nx, y. Aceasta implica x, y =

    limnqnx, y = lim

    nqnx, y = x, y. Deci

    x, y = x, y (ii(a))

    pentru orice R. Daca K = C, atunci identitatea de polarizare complexa (pespatiul complex X) spune ca

    ix, y = ix, y.Fie = + i arbitrar n C si observam, din (i) si (ii(a)), ca x, y = ( +i)x, y = x, y+ ix, y = ( + i)x, y = x, y. In concluzie

    x, y = x, y (ii(b))

    pentru orice C. Hermitian simetria si pozitivitatea aplicatiei , reies dinidentitatea de polarizare. Asadar, aplicatia , : XX K, data de identitateade polarizare, este un produs scalar pe X. Mai mult, acest produs scalar inducenorma ; adica x, x = x2, pentru orice x X. In final, daca , 0 : XX K este un produs scalar pe X care induce aceeasi norma pe X, atunci aceastatrebuie sa coincida cu , . Adica x, y0 = x, y, pentru orice x, y X.

    1.2 Ortogonalitate

    Definitia 1.2.1. 1) Un spatiu cu produs scalar complet se numeste spatiu Hil-bert.

    2) Doi vectori x si y ai unui spatiu cu produs scalar (X, , ) se numesc orto-gonali (notatie: xy) daca x, y = 0.

    8

  • 3) Un vector x X este ortogonal pe o submultime A a lui X (notatie: xA)daca este ortogonal pe fiecare vector din A.

    4) Doua multimi sunt ortogonale (notatie: AB) daca fiecare vector din A esteortogonal pe fiecare vector din B.

    5) O submultime A a unui spatiu cu produs scalar (X, , ) se numeste multimeortogonala daca xy pentru orice pereche {x, y} de vectori distincti din A.

    6) Un sir {xn}nN X este sir ortogonal daca xjxk pentru j 6= k.Deoarece x+ y2 = x2 + 2Rex, y+ y2 pentru orice x si y din X, avem,ca o consecinta imediata a definitiei ortogonalitatii, ca

    xy implica x+ y2 = x2 + y2 (Teorema lui Pitagora)

    Propozitia 1.2.1. Daca {xi}ni=1 este o multime finita de vectori ortogonali a unuispatiu cu produs scalar, atunciwww n

    i=0

    xi

    www2 = ni=0

    xi2.

    Corolarul 1.2.1. Fie {xk}kN un sir de vectori ortogonali al unui spatiu cu produsscalar X.(a) Daca seria infinita

    k=1 xk converge n X, atunci {xk}kN este sir patrat sumabil

    si www k=1

    xk

    www2 = k=1

    xk2.

    (b) Daca X e spatiu Hilbert si {xk}kN este un sir patrat sumabil, atunci seria infinitak=1 converge n X.

    Demonstratie. Fie {xk}kN un sir ortogonal din X.(a) Daca seria infinita

    k=1 xk converge n X (i.e.,

    nk=1 xk n

    k=1 xk n

    X), atunciwww n

    k=1

    xk

    www2 n

    www k=1

    xk

    www2 (deoarece norma si ridicarea la patrat suntaplicatii continue). Din propozitia 1.2.1, avem ca

    www nk=1

    xk

    www2 = nk=1

    xk2, pentru

    orice n > 1, prin urmarenk=1

    xk2 n

    www k=1

    xk

    www2.(b) Fie sirul sumelor partiale {yn}nN X al sirului {xk}kN, adica, fie yn =n

    k=1 xk, pentru orice ntreg n > 1. Din propozitia 1.2.1, stim ca yn+m yn2 =n+mj=n+1 xkj2, pentru orice m,n > 1. Daca

    k=1 xk2 < , atunci sup

    m>1yn+m

    yn2 =

    k=n+1 xk2 n 0, deci {yn}nN este sir Cauchy n X. Daca X este spatiuHilbert, atunci {yn}nN converge n X, ceea ce nseamna ca seria infinita

    k=1 xk

    converge n X.

    9

  • Teorema 1.2.1. (a) Daca M si N sunt subspatii liniare ortogonale complete aleunui spatiu cu produs scalar X, atunci M + N este subspatiu liniar complet al luiX.(b) Daca M si N sunt subspatii liniare ortogonale ale unui spatiu Hilbert H, atuncisuma M+N este subspatiu al lui X.

    Corolarul 1.2.2. Orice suma finita de subspatii ortogonale ale unui spatiu HilbertH este subspatiu al lui H.

    1.3 Complement ortogonal

    Definitia 1.3.1. Daca A este o submultime a unui spatiu cu produs scalar X, atuncicomplementul ortogonal al lui A este submultimea

    A = {x X : xA} = {x X : x, y = 0, y A}formata din toti vectorii din X care sunt ortogonali pe fiecare vector din A.

    Definitia 1.3.2. Fie X un spatiu liniar peste K si A o submultime a sa. MultimeaA =

    { ni=1

    ixi : i K; xi A; i = 1, n}

    se numeste spatiul liniar generat de multimea A.

    Propozitia 1.3.1. Complementul ortogonal A al oricarei submultimi A a unuispatiu cu produs scalar X este subspatiu al lui X. Mai mult,

    A = (A) = (A)

    =(

    A).

    Complementul ortogonal al oricarei submultimi dense a lui X este spatiul nul:

    A = {0} pentru A = X.

    Definitia 1.3.3. Fie X si Y doua spatii liniare peste acelasi corp de scalari K.Multimea operatorilor liniari de la X la Y este, la randul ei, spatiu liniar si senoteaza cu L(X, Y ).

    Definitia 1.3.4. O multime C este convexa daca, pentru orice x, y C, avem[x, y] C, unde [x, y] = {(1 t)x+ ty : t [0, 1]}.

    10

  • Teorema 1.3.1. Fie x un vector arbitrar al unui spatiu Hilbert H.(a) Daca M este o submultime nevida nchisa convexa a lui H, atunci exista ununic vector ux n M astfel ncat

    x ux = d(x,M).

    (b) Mai mult, daca M este subspatiu al lui H, atunci unicul vector din M pentrucare x ux = d(x,M) este unicul vector din M pentru care diferenta x ux esteortogonala pe M:

    x ux M.Demonstratie. (a) Fie x un vector arbitrar din H si fie M o submultime nevida a luiH astfel ncat d(x,M) = inf

    uMx u exista n R. Deci, pentru orice ntreg n > 1,

    exista un M astfel ncat

    d(x,M) 6 x un 6 d(x,M) + 1n.

    Fie sirul {un}nN M . H este spatiu cu produs scalar, prin urmare obtinem,folosind legea paralelogramului, ca

    2x um un2 + un um2 = 2(x um2 + x un2)pentru orice m,n > 1. Cum M este convexa, rezulta ca 1

    2(um + un) M , deci

    2d(x,M) 6 212(um + un) x = 2x um un astfel ncat

    0 6 um un2 6 2(x um2 + x un2 2d(x,M)2)pentru orice m,n > 1. Aceasta inegalitate si faptul ca x un

    nd(x,M) sunt

    suficiente pentru a ne asigura ca {un}nN este sir Cauchy n H, asadar convergentn spatiul Hilbert H la un ux H. Cum norma este o functie continua, avem

    x ux = x limn

    un = limnx un = d(x,M).

    Mai mult, deoarece M este nchisa n H si {un}nN M converge n H la ux, rezultaca ux M . In concluzie, exista ux M astfel ncat

    x ux = d(x,M).

    Pentru a demonstra unicitatea, fie u M un vector arbitrar, cu xu = d(x,M).Observam ca 1

    2(ux +u) M deoarece M este convexa, deci d(x,M) 6 12(ux +u)

    x. Asadar 4d(x,M)2 6 ux + u 2x2. Aceasta inegalitate, mpreuna cu legeaparalelogramului, implica

    4d(x,M)2 + ux u2 6 ux + u 2x2 + ux u2= 2(ux x2 + u x2) = 4d(x,M)2.

    11

  • Rezulta ca ux u2 = 0, adica u = ux.(b) Fie acum un vector arbitrar x dinH si fieM un subspatiu al luiH, ceea ce implicafaptul ca M este o submultime convexa nchisa a lui H. Conform subpunctului (a)al acestei teoreme, exista un unic ux M astfel ncat x ux = d(x,M). Fie unvector arbitrar u M . Cum (ux + u) M , pentru orice scalar , rezulta ca

    d(x,M)2 6 x ux u2 = x ux2 + ||2u2 2Re(x ux, u).Punem = u2xux, u n inegalitatea de mai sus; stim ca xux2 = d(x,M)2.Asadar 2|xux, u|2 6 |xux, u|2, deci |xux, u| = 0. In concluzie, xuxu,pentru orice u M , ceea ce implica

    x uxM.Mai mult, acest ux este unicul vector din M cu aceasta proprietate. Intr-adevar,daca v este un vector din M astfel ncat x vM , atunci x v, v u = x v, v x v, u = 0, pentru orice u M . Asadar, din teorema lui Pitagora, avem

    x v2 6 x v2 + v u2 = x v + v u2 = x u2

    pentru orice u M . In particular, pentru u = ux,d(x,M) 6 x v 6 x ux = d(x,M)

    astfel ncat d(x,M) = x v, deci v = ux, deoarece ux este unicul vector din Mpentru care d(x,M) = x ux.

    Propozitia 1.3.2. Fie M un subspatiu liniar al unui spatiu Hilbert H. Avem caM =M si M = {0} daca si numai daca M = H.In particular, daca A este o submultime a unui spatiu Hilbert H, atunci A = Asi

    A daca si numai daca

    A = H.

    Teorema 1.3.2. (a proiectiei). Orice spatiu Hilbert H poate fi descompus caH =MM

    unde M este un subspatiu oarecare al lui H.

    1.4 Unitar echivalenta

    Propozitia 1.4.1. Fie X si Y doua spatii cu produs scalar. O transformare liniaraV L(X, Y ) este izometrie daca si numai daca

    V x1, V x2 = x1, x2 x1, x2 X.

    12

  • Definitia 1.4.1. Un izomorfism izometric ntre spatii cu produs scalar se numestetransformare unitara. Doua spatii cu produs scalar ntre care exista o transfor-mare unitara se numesc unitar echivalente.

    Definitia 1.4.2. Fie M si N subspatii liniare ale unui spatiu cu produs scalar X.Daca M si N sunt complementare algebric, adica X =M +N si MN = {0},atunci ele se numesc subspatii complementare n X.

    Fie aplicatia naturala de la spatiul liniar MN la spatiul liniar M+N ,definita astfel

    ((u, v)) = u+ v

    pentru orice (u, v) M+N . Fie , un produs scalar pe X si consideram peM+N produsul scalar , astfel

    (u1, v1), (u2, v2) = u1, u2+ v1, v2

    pentru orice (u1, v1) si (u2, v2) din M+N .

    Propozitia 1.4.2. Fie M si N subspatii liniare complementare ortogonal ale unuispatiu cu produs scalar X. Aplicatia naturala : MN M+N este trans-formare unitara, iar MN si X =M+N sunt unitar echivalente.

    1.5 Baza ortonormata

    Propozitia 1.5.1. O multime ortogonala formata din vectori diferiti de {0} a unuispatiu cu produs scalar este liniar independenta.

    Definitia 1.5.1. O multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X esteo multime ortogonala formata din vectori unitate.

    Propozitia 1.5.2. Orice multime ortonormata M a unui spatiu cu produs scalareste liniar independenta (i.e., niciun vector x din M nu poate fi scris ca o combinatieliniara de vectori din M {x}).

    Propozitia 1.5.3. Daca A este o multime ortonormata a unui spatiu cu produsscalar X si daca exista x X astfel ncat xA cu x = 1, atunci A {x} estemultime ortonormata.

    13

  • Propozitia 1.5.4. Fie X un spatiu cu produs scalar si fie A o multime ortonormatadin X. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(a) A este multime ortonormata maximala n X.(b) Nu exista niciun vector unitate pentru care A{x} sa fie multime ortonormata.(c) Daca xA, atunci x = 0 (i.e., A = {0}).

    Propozitia 1.5.5. Daca A este o multime ortonormata a unui spatiu cu produsscalar X, atunci exista o multime ortonormata maximala B n X astfel ncat A B.

    Propozitia 1.5.6. Fie A o multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X.(a) Daca

    A = X, atunci A e multime ortonormata maximala.

    (b) Daca X este spatiu Hilbert si A este multime ortonormata maximala, atunciA = X.

    Definitia 1.5.2. O multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X, caregenereaza pe X, se numeste baza ortonormata a lui X.

    Propozitia 1.5.7. Fie X un spatiu cu produs scalar.(a) Daca X este finit dimensional, atunci orice baza ortonormata a lui X este bazaHamel a lui X.(b) Daca exista o baza ortonormata a lui X cu un numar finit de vectori, atunciorice baza ortonormata a lui X este baza Hamel a lui X.

    In consecinta, n ambele cazuri, orice baza ortonormata a lui X are aceeasi car-dinalitate finita, care coincide cu dimensiunea liniara a lui X.

    Lema 1.5.1. (Inegalitatea lui Bessel). Fie {e} o familie de vectori a unuispatiu cu produs scalar X si fie x un vector din X. Daca {e} este familie orto-normata, atunci {x, e} este o familie de scalari patrat sumabila si

    |x, e|2 6 x2.

    Corolarul 1.5.1. Fie {e} o familie ortonormata de vectori a unui spatiu cu pro-dus scalar X. Pentru orice x X, multimea { : x, e 6= 0} este numarabila.

    Teorema 1.5.1. Orice baza ortonormata a unui spatiu Hilbert H are aceeasi cardi-nalitate, numita si dimensiunea hilbertiana a lui H.

    14

  • Propozitia 1.5.8. Daca X este spatiu cu produs scalar separabil, atunci oricemultime ortonormata a lui X este numarabila.

    Teorema 1.5.2. Un spatiu Hilbert diferit de {0} este separabil daca si numai dacaadmite o baza ortonormata numarabila.

    Teorema 1.5.3. Doua spatii Hilbert sunt unitar echivalente daca si numai daca auaceeasi dimensiune hilbertiana.

    Corolarul 1.5.2. Fie o multime arbitrara de indecsi. Orice spatiu Hilbert cudimH = # (unde # este cardinalul multimii ) este unitar echivalent cu `2. Inparticular, orice spatiu Hilbert n-dimensional este unitar echivalent cu Kn si oricespatiu Hilbert separabil infinit dimensional este unitar echivalent cu `2+.

    1.6 Functionale liniare si teorema de reprezentare

    a lui Riesz

    Definitia 1.6.1. O functionala liniara f pe un spatiu Hilbert H, pentru care existao constanta c > 0 astfel ncat |f(x)| 6 cx x H, se numeste functionalamarginita pe H.Pentru o functionala liniara marginita f : H K, definim

    f = supx61

    f(x).

    Avem, prin definitie, f

  • Asadar x f(x)f(z)

    z N (f). Deoarece z N (f), obtinem

    0 =x f(x)

    f(z)z, z

    = x, z f(x)f(z)z2

    si deci f(x) =

    x,f(z)

    z2 z

    . Atunci exista un vector y =f(z)

    z z nH, care nu depindede x, astfel ncat f(x) = x, y.Unicitatea. Daca pentru y H avem f(x) = x, y, pentru orice x H, atuncix, y = x, y astfel ncat x, y y = 0, pentru orice x H. Asadar, y y H = {0}. In final, daca y H, cu f(x) = x, y, pentru orice x H, atuncif = y.

    Teorema 1.6.2. (Hahn-Banach) Fie f o functionala liniara marginita pe unsubspatiu X al unui spatiu Hilbert H. Atunci exista o functionala liniara marginitag definita pe H astfel ncat:(a) f(x) = g(x) pentru orice x din X,(b) f = g.Demonstratie. Daca X este subspatiu nchis, atunci este spatiu Hilbert si, printeorema de reprezentare a lui Riesz, exista un x0 X astfel ncat f(x) = x, x0pentru orice x X. Atunci g poate fi definita ca g(x) = x, x0. Evident, (a) si (b)sunt satisfacute.

    Daca X nu este nchis, atunci extindem pe f la o functionala liniara marginitadefinita pe nchiderea lui X.

    16

  • Capitolul 2

    Operatori liniari

    2.1 Notiuni de baza

    Definitia 2.1.1. Fie X si Y doua spatii liniare peste K. Un operator liniar T dela X la Y este o aplicatie liniara de la un subspatiu D(T ) al lui X la Y . SubspatiulD(T ) se numeste domeniul lui T, iar R(T ) = T (D(T )) = {Tx : x D(T )} esteimaginea lui T. Imaginea unui operator T de la X la Y este subspatiu al lui Y .

    Un operator T este injectiv daca si numai daca Tx = 0 implica x = 0. In acestcaz, inversul T1 al lui T este definit astfel

    D(T1) = R(T ), T1y = x pentru y = Tx R(T )si T1 este operator liniar de la Y la X.

    Pentru un operator T de la X la Y si a K, operatorul aT este definit astfel:D(aT ) = D(T ) si aT = a(Tx) pentru x D(aT ).

    Pentru doi operatori S si T de la X la Y , suma S + T este definita astfel:

    D(S + T ) = D(S) D(T ) (S + T )(x) = Sx+ Tx, x D(S + T ).

    Fie S si T doi operatori de la X la Y . Operatorul T se numeste extensia lui S(sau S este restrictia lui T ) daca

    D(S) D(T ) si Sx = Tx pentru x D(S).Notam S T , respectiv T S.Submultimea N (T ) = {x D(T ) : Tx = 0} se numeste nucleul lui T. Pentru oriceoperator T de la X la Y , multimea N (T ) este subspatiu al lui D(T ).Fie X si Y doua spatii normate. Un operator T de la X la Y se numeste continuun punctul x D(T ) daca, pentru orice sir {xn}nN D(T ), astfel ncat pentruxn x, cand n , avem Txn Tx, cand n . Operatorul T este

    17

  • continuu daca T e continuu n fiecare punct din D(T ). Operatorul T este marginitdaca exista C > 0 astfel ncat Tx 6 Cx pentru orice x D(T ); C se numestemargine a lui T. Multimea operatorilor marginiti de la un spatiu Hilbert H1 la unspatiu Hilbert H2 se noteaza cu B(H1,H2).

    Teorema 2.1.1. Fie T un operator de la X la Y . Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

    a) T este continuu;

    b) T este continuu n 0;

    c) T este marginit.

    Definitia 2.1.2. Pentru un operator marginit T de la X la Y , norma T sedefineste astfel:

    T = inf{C > 0 : Tx 6 Cx, x D(T )}

    Alte exprimari echivalente ale normei operatoriale sunt urmatoarele:

    T = supx61Tx = sup

    x=1Tx = sup

    x 6=0

    Txx .

    Astfel avemTx 6 Tx.

    2.2 Operatorul adjunct

    Definitia 2.2.1. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert, T un operator de la H1 la H2,iar S un operator de la H2 la H1. Operatorul S se numeste adjunct al lui T dacaavem:

    y, Tx = Sy, x, x D(T ), y D(S).

    Daca S este adjunctul lui T, atunci, pentru orice y D(T ), functionala liniara Lycu

    D(Ly) = D(T ) Lyx = y, Txeste continua, deoarece, pentru orice x D(Ly), avem

    Lyx = y, Tx = Sy, x

    adica Ly este restrictia, la D(T ), a functionalei continue fSy indusa de Sy.

    18

  • Daca D(T ) este dens, iar functionala Ly este continua, atunci aceasta functionalapoate fi extinsa la H1 = D(T ) ntr-un mod unic, adica exista un element hy H1,unic determinat de y si T astfel:

    y, Tx = Lyx = hy, x x D(T ).

    Daca S este adjunctul lui T, iar y D(S), atunci Sy = hy. Deci, n acest caz,orice adjunct al lui T este o restrictie a operatorului adjunct T , care va fi definitn continuare.

    Un operator liniar T pe un spatiu Hilbert H se numeste dens definit daca domeniulsau este dens n H.Fie T un operator dens definit de la H1 la H2 si fie

    D = {y H2 : functionala f 7 y, Tx e continua pe D(T )}

    = {y H2 : exista hy H1 astfel ncat hy, x = y, Tx,x D(T )}.

    Elementul hy este unic determinat, adica, daca h1, x = y, Tx = h2, x pentruorice x D(T ), atunci h1 h2 D(T ) = {0}, deci h1 = h2.D este un subspatiu al lui H2, iar corespondenta D H1,y hy este otransformare liniara, deoarece, pentru y1, y2 D si a, b K avem

    hay1 + hby2 = ahy1 + bhy2.

    Asadar, prin T y = hy,y D(T ), este definit un operator de la H2 la H1astfel ncat D(T ) = D. Operatorul T este adjunctul lui T si este o extensie atuturor adjunctilor lui T.

    Teorema 2.2.1. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2.(a) Daca T este, de asemenea, dens definit, atunci T este o extensie a lui T.

    (b) Avem N (T ) = R.

    Definitia 2.2.2. Fie T un operator de la un spatiu Hilbert H1 la un spatiu HilbertH2. Graficul lui T este submultimea

    G(T ) = {(x, Tx) : x D(T )}

    a lui H1 H2, unde H1 H2 = H1 H2 este spatiu Hilbert.

    19

  • Teorema 2.2.2. O submultime G a lui H1 H2 este graficul unui operator dela H1 la H2 daca si numai daca G este un subspatiu cu urmatoarea proprietate:(0, y) G = y = 0. Orice subspatiu al unui grafic este un grafic.

    In cele ce urmeaza, vom folosi aplicatiile

    U : H1 H2 H2 H1, U(x1, x2) = (x2,x1)V : H1 H2 H2 H1, V (x1, x2) = (x2, x1).

    U si V sunt izomorfisme de la H1 H2 la H2 H1. Inversele U1 si V 1 sunt datede

    U1 : H2 H1 H1 H2, U1(x2, x1) = (x1, x2)V 1 : H2 H1 H1 H2, V 1(x2, x1) = (x1, x2).

    Teorema 2.2.3. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2. Atunci avemG(T ) = U(G(T )) = (UG(T )).

    Teorema 2.2.4. Fie T un operator injectiv dens definit de la H1 la H2.(a) G(T1) = V G(T ).(b) Daca R(T ) este densa, atunci T este injectiv si avem (T )1 = (T1).

    Demonstratie. Punctul (a) este evident.(b) Din teorema 2.2.1(b), avem N (T ) = R(T ) = {0}, i.e., T este injectiv. CumG(T1) = V G(T ), rezulta ca

    G(T1) = U1(G(T1)) = U1V (G(T ))= V 1U(G(T )) = V 1G(T ) = G(T 1).

    Definitia 2.2.3. Un operator T pe un spatiu Hilbert H se numeste Hermitian dacaeste adjunct al lui nsusi, adica, daca

    Tx, y = x, Ty pentru orice x, y D(T ).

    Un operator T pe un spatiu Hilbert H se numeste simetric daca este Hermitiansi dens definit. Deoarece un operator dens definit T este Hermitian daca si numaidaca este o restrictie a lui T , avem ca: un operator T este simetric daca si numaidaca este dens definit si T T .Un operator T se numeste autoadjunct daca T este dens definit si T = T .

    20

  • In cazul operatorilor marginiti, notiunile de Hermitian, simetric si autoadjunctsunt echivalente.

    Teorema 2.2.5. Un operator T pe un spatiu Hilbert complex este Hermitian dacasi numai daca forma patratica (x) = x, Tx, definita pe D(T ), este reala.Demonstratie. Prin definitie, T este Hermitian daca si numai daca forma sesquili-niara (x, y) = x, Ty este Hermitiana pe D(T ). In continuare, vom arata ca, daca este Hermitiana pe D(T ), atunci forma patratica este reala pe D(T ). Avem

    (x) = (x, x) = (x, x) = (x),

    adica este reala.

    Propozitia 2.2.1. Fie T un operator dens definit pe un spatiu Hilbert H.(a) T este simetric daca si numai daca

    G(T ) = U(G(T )) sau UG(T ) G(T ).

    (b) T este autoadjunct daca si numai daca

    G(T ) = U(G(T )) sau UG(T ) = G(T )

    adicaG(T )UG(T ) si G(T ) UG(T ) = HH.

    Propozitia 2.2.2. Daca T si S sunt operatori dens definiti de la H1 la H2 si T S,atunci S T .

    Teorema 2.2.6. Fie T1 si T2 doi operatori dens definiti de la H1 la H2, respectivde la H2 la H3.

    (a) Daca T2T1 este dens definit, atunci T1 T2 (T2T1).

    (b) Daca T2 este marginit, atunci (T2T1) = T 1 T

    1 .

    Teorema 2.2.7. Fie S si T doi operatori de la H1 la H2.(a) Daca T este dens definit, atunci (aT ) = aT pentru orice a K, cu a 6= 0.(b) Daca T + S este dens definit, atunci (T + S) T + S.(c) Daca S este marginit si T este dens definit, atunci (T + S) = T + S.

    Teorema 2.2.8. Fie T autoadjunct si injectiv. Atunci T1 este autoadjunct.

    21

  • 2.3 Operatori compacti

    O clasa foarte importanta de operatori liniari marginiti, care apare n studiul ecuatiilorintegrale, este clasa operatorilor compacti.

    Definitia 2.3.1. O multime A a unui spatiu metric X se numeste precompactadaca A este compacta.

    Definitia 2.3.2. Fie H un spatiu Hilbert si T un operator de la H la el nsusi. Tse numeste compact daca aplica multimi marginite n multimi precompacte.

    Teorema 2.3.1. Un operator T L(H1,H2) este compact daca pentru orice sir{xn}nN din H1, xn = 1, sirul {Txn}n=0 are un subsir care converge n H2.

    Remarca 2.3.1. 1. Daca T L(H1,H2) este de rang finit, atunci T este com-pact. Fie {xn}nN H1, xn = 1. Atunci {Txn}nN este sir marginit nspatiul finit dimensional R(T ). Deoarece R(T ) este liniar izometric cu Ckpentru unii k, rezulta ca {Txn}nN are un subsir convergent.

    2. Daca dimH1 < , atunci orice aplicatie liniara T de la H1 la H2 estemarginita.

    3. Operatorul identitate pe un spatiu Hilbert infinit dimensional nu este compact.Aceasta deoarece, daca luam 1, 2, ...., o multime ortonormata n H, atunci

    In Im =

    2,

    ceea ce implica faptul ca {In}nN nu are niciun subsir convergent desin = 1.

    Daca T L(H1,H2) este compact si {zn}nN este un sir marginit n H1,atunci {Tzn}nN are un subsir convergent.

    Teorema 2.3.2. Fie T si S doi operatori compacti din L(H1,H2). Atunci(i) T+S este compact;

    (ii) Daca A L(H3,H1) si B L(H2,H3), unde H3 este spatiu Hilbert, atunciTA si BT sunt compacti.

    Teorema 2.3.3. Un operator T L(H1,H2) este compact daca si numai dacaadjunctul sau T este compact.

    22

  • Teorema 2.3.4. Fie {Tn}nN un sir de operatori compacti si TnT n

    0, unde

    T L(H1,H2). Atunci T este compact.Demonstratie. Vom folosi o procedura de diagonalizare dupa cum urmeaza.

    Fie {xn}nN un sir n H1, xn = 1. Deoarece T1 este compact, exista un subsir{x1n}nN al lui {xn}nN astfel ncat {T1x1n}nN converge. Deoarece T2 este compact,exista un subsir {x2n}nN al lui {x1n}nN astfel ncat {T2x2n}nN converge. Folosindacelasi rationament, n continuare, obtinem, pentru orice j > 2, un subsir {xjn}nNal lui {x(j1)n}nN astfel ncat {Tjxjn}nN converge. Vom arata ca sirul diagonala{Txnn}nN converge, ceea ce nseamna ca T este compact.Fiind dat > 0, exista, prin ipoteza, un ntreg p astfel ncat

    T Tp < 2.

    Deoarece n > p implica faptul ca {Tpxnn}nN este un subsir al sirului convergent{Tpxpn}nN, avem ca sirul {Tpxnn}nN este convergent. Obtinem

    Txnn Txmm 6 Txnn Tpxnn+ Tpxnn Tpxmm+Tpxmm Txmm

    6 2Tp T+ Tpxnn Tpxmm< + Tpxnn Tpxmm

    n,m.

    Asadar, rezulta ca {Txnn}nN este sir Cauchy care converge, deoarece H2 estecomplet.

    Teorema 2.3.5. Un operator T B(H) este compact daca si numai daca exista unsir {Tn}nN de operatori finit dimensionali care converge uniform la T .

    Exemple:1) Fie {k}k=1 un sir din C care converge la 0. Definim T L(l2) astfel:

    T (1, 2, ...) = (11, 22, ...)

    Pentru fiecare ntreg pozitiv n, fie Tn L(l2) operatorul definit prinTn(1, 2, ...) = (11, ..., nn, 0, 0, ...).

    Tn este de rang finit si deci compact. Deoarece

    Tn T 6 supk>n|k|

    n0,

    T este, de asemenea, compact.

    23

  • 2) Fie T : L2([a, b]) L2([a, b]) operatorul integral

    (Tf)(t) =

    ba

    k(t, s)f(s)ds,

    unde k n L2([a, b] [a, b]) este nucleul lui T . T este operator marginit si

    T 6( b

    a

    ba

    |k(t, s)|2dsdt) 1

    2= k (1)

    Construim un sir de operatori de rang finit care converge, n norma, la T , dupa cumurmeaza.Fie 1, 2, ... o baza ortonormata pentru L2([a, b]). Atunci ij(t, s) = i(t)j(s),i, j = 1, 2, ... este o baza ortonormata pentru L2([a, b] [a, b]).Asadar k =

    i,j=1k,ijij. Definim

    kn(t, s) =n

    i,j=1

    k,ijij(t, s).

    Atuncik kn

    n0 (2)

    Fie Tn operatorul integral definit pe L2([a, b]) astfel:

    (Tnf)(t) =

    ba

    kn(t, s)f(s)ds.

    Tn este operator marginit de rang finit deoarece Tn {1, ..., n}.

    Din (1) si (2), aplicat lui T Tn, obtinem

    T Tn 6 k kn n

    0

    Asadar T este compact.

    Multe dintre proprietatile prezentate mai sus pot fi extinse n contextul spatiilorBanach (vezi cap. 13, [4]).

    24

  • Capitolul 3

    Operatori liniari nchisi

    3.1 Operatori nchisi

    In cele ce urmeaza, H, H1 si H2 vor fi considerate spatii Hilbert.

    Definitia 3.1.1. Un operator T de la H1 la H2 se numeste nchis daca graficul sauG(T ) n H1 H2 este multime nchisa.

    Spunem ca un operator T poate fi extins la un operator nchis daca G(T ) este,de asemenea, graficul unui operator. Exista un unic operator, notat T , astfel ncatG(T ) = G(T ); T este nchis si se va numi nchiderea lui T .

    Fie T un operator nchis. Un subspatiu D al lui D(T ) se numeste core al lui Tdaca, pentru S = T |D avem T = S.

    Daca T este un operator care poate fi extins la un operator nchis, atunci D(T )este core al lui T .

    Propozitia 3.1.1. (a) T este nchis daca si numai daca are loc urmatoarea: daca{xn}nN este un sir n D(T ), convergent n H1 si sirul {Txn}nN este conver-gent n H2, atunci lim

    nxn D(T ) si T ( lim

    nxn) = lim

    nTxn.

    (b) T poate fi extins la un operator nchis daca si numai daca are loc urmatoarea:daca {xn}nN este un sir n D(T ) astfel ncat xn

    n0, iar sirul {Txn}nN

    n H2 este convergent, atunci limn

    Txn = 0.

    (c) Daca T poate fi extins la un operator nchis, atunci

    D(T ) = {x H1 : exista un sir {xn}nN din D(T ) astfel ncat

    xn n

    x ,pentru care sirul {Txn}nN este, de asemenea, convergent}

    Tx = limn

    Txn pentru x D(T ).

    25

  • (d) Daca T este nchis, atunci N (T ) este nchis.(e) Daca T este injectiv, atunci T este nchis daca si numai daca T1 este nchis.

    Demonstratie. Punctele (a), (b) si (c) sunt reformulari ale definitiei. Punctul (d)rezulta imdiat din punctul (a), iar punctul (e) rezulta din egalitatea G(T1) =V G(T ).

    Teorema 3.1.1. Fie T un operator de la H1 la H2. Pe D(T ), prinx, yT = x, y+ Tx, Ty, xT =

    x2 + Tx2

    definim un produs scalar si norma corespunzatoare (T-norma sau norma grafi-cului).

    T este nchis daca si numai daca (D(T ), , T ) este spatiu Hilbert.

    Teorema 3.1.2. Orice operator marginit poate fi extins la un operator nchis. Unoperator marginit T este nchis daca si numai daca D(T ) este nchis. Daca T estemarginit, atunci D(T ) = D(T ); nchiderea T este extensia marginita a lui T peD(T ).

    Propozitia 3.1.2. Fie T un operator injectiv care poate fi extins la un operatornchis. Operatorul T1 poate fi extins la un operator nchis daca si numai daca T esteinjectiv. Atunci avem T1 = T

    1. Daca T

    1este continuu, atunci R(T ) = R(T ).

    Teorema 3.1.3. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2.(a) T este nchis.

    (b) T poate fi extins la un operator nchis daca si numai daca T este dens definit;avem T = T .

    (c) Daca T poate fi extins la un operator nchis, atunci (T) = T .

    Demonstratie. (a) Din teorema 2.2.3 avem G(T ) = (UG(T )). Asadar G(T ) estenchis.(b) Deoarece

    G(T ) = G(T ) = (U1G(T )) == {(x, y) H1 H2 : x, T z y, z = 0 pentru orice z D(T )},

    avem ca (0, y) G(T ) daca si numai daca y D(T ). Deci (0, y) G(T ) implicay = 0 daca si numai daca D(T ) = H2. In consecinta, G(T ) este grafic daca si numaidaca T este dens definit. Daca D(T ) este dens, atunci avem

    G(T ) = U1(G(T )) = U1U(G(T )) = G(T ) = G(T ).

    26

  • (c) Daca T poate fi extins la un operator nchis, atunci

    G(T ) = U(G(T )) = U(G(T )) = U(G(T )) = G((T )).Asadar T = (T ).

    Teorema 3.1.4. (a) Un operator T de la H1 la H2 poate fi extins la un operatornchis daca si numai daca exista o extensie nchisa a lui T .

    (b) Orice operator simetric T pe un spatiu Hilbert H poate fi extins la un operatornchis; T este, de asemenea, simetric.

    Demonstratie. (a) Daca T poate fi extins la un operator nchis, atunci T T .Asadar, T este o extensie nchisa a lui T . Daca S este o extensie nchisa a luiT , atunci G(T ) G(S) = G(S), deci G(T ) G(S), de unde rezulta ca G(T ) estegraficul unui operator (conform teoremei 2.2.2).

    (b) Din punctul (a), operatorul T poate fi extins la un operator nchis, deoareceT T , iar T este nchis. Pentru orice x, y D(T ), exista sirurile {xn}nN si{yn}nN din D(T ) astfel ncat xn

    nx, yn

    ny, Txn

    nTx si Tyn

    nTy.

    Cum T este simetric, avem

    Tx, y = limnTxn, yn = lim

    nxn, T yn = x, Ty.

    Cum D(T ) este dens, operatorul T este simetric.

    Definitia 3.1.2. Fie S si T doi operatori de la H1 la H3, respectiv de la H1 laH2. Operatorul S se zice T-marginit daca D(T ) D(S) si exista M > 0 astfelncat Sx 6 MxT , pentru orice x D(T ), adica, daca S, ca operator de la(D(T ), , T ) la H3, este marginit.Atunci, pentru orice x D(T ), avem

    Sx 6M(x+ Tx).

    Daca S este T-marginit, atunci infimumul dupa toate numerele b > 0 pentru careexista a > 0 astfel ncat

    Sx 6 ax+ bTx, pentru orice x D(T )se numeste T-marginea lui S. Se observa ca, daca c este T-marginea lui S, atuncinu exista, n general, a > 0 astfel ncat pentru orice x D(T ) sa avem

    Sx 6 ax+ cTx.

    27

  • Propozitia 3.1.3. Daca T este un operator arbitrar de la H1 la H2, iar S esteoperator marginit de la H1 la H3, atunci S este T -marginit, cu T -marginea egala cuzero.

    Teorema 3.1.5. Fie S si T doi operatori de la H1 la H2, cu S T -marginit si cuT -marginea mai mica decat unu. Atunci T + S este nchis (poate fi extins la unoperator nchis) daca si numai daca T este nchis (poate fi extins la un operatornchis); avem D(T + S) = D(T ).Demonstratie. Cum T -marginea lui S este mai mica decat 1, exista un b < 1 si una > 0 astfel ncat Sx 6 ax + bTx, pentru orice x D(T ). In consecinta,pentru orice x D = D(T ) = D(T + S), avem

    ax+ (1 b)Tx 6 Tx Sx 6 (T + S)x6 Tx+ Sx 6 ax+ (1 + b)Tx

    Din aceasta rezulta, cu un C > 0 bine ales, ca

    Tx 6 C(x+ (T + S)x) (1)(T + S)x 6 C(x+ Tx) (2)

    pentru orice x D. Asadar, exista un K > 0 astfel ncatxT 6 KxT+S si xT+S 6 KxT .

    Din aceasta rezulta ca (D, , T+S) este complet daca si numai daca (D, , T ) estecomplet. Fie T un operator care poate fi extins la un operator nchis. Daca {xn}nNeste un sir din D(T +S) = D(T ) astfel ncat xn

    n0 si pentru care {(T +S)xn}nN

    este convergent n H2, atunci, din (1), avem ca sirul {Txn}nN este sir Cauchy. DeciTxn

    n0, deoarece T poate fi extins la un operator nchis. De aici si din relatia

    (2), rezulta ca (T + S)xn n

    0, deci T + S poate fi extins la un operator nchis.

    Din punctul c) al propozitiei 3.1.1, avem ca x D(T + S) daca si numai daca existaun sir {xn}nN din D(T + S) = D(T ), pentru care xn

    nx si {(T + S)xn}nN este

    convergent. Deoarece din (1) si (2) avem ca {(T +S)xn}nN este convergent daca sinumai daca {Txn}nN este convergent, obtinem ca D(T + S) = D(T ).

    Teorema 3.1.6. (a graficului nchis) Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie Tun operator de la H1 la H2. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

    (a) T este nchis si D(T ) este nchis.(b) T este marginit si D(T ) este nchis.(c) T este marginit si nchis.

    28

  • Demonstratie. (a) implica (b): Avem de aratat ca T este marginit. Fara a pierdedin generalitate, putem presupune ca D(T ) = D(T ) = H1 (altfel, am putea lua pe Tca operator de la spatiul Hilbert D(T ) la H2). In consecinta, T este definit. Pentruorice y D(T ), cu y 6 1, avem

    |T y, x| = |y, Tx| 6 Tx, pentru orice x H1.

    Avem astfel, pentru functionalele liniare {fy : y D(T ), y 6 1} pe H1, undefy(x) = T y, x, ca

    |fy(x)| 6 Tx, pentru orice x H1;

    asadar, ele sunt marginite punctual. Avem, din principiul marginirii uniforme, caexista C > 0, astfel ncat

    T y = fy 6 C, pentru orice y D(T ) astfel ncat y 6 1.

    Asadar, T este marginit si T 6 C. Cum T este nchis, D(T ) este dens si,prin intermediul teoremei 3.1.2, nchis. Prin urmare, avem D(T ) = H2, i.e., T B(H2,H1). Cum T este nchis, rezulta ca T = T = T B(H1,H2).

    Asertiunile (b) implica (c) si (c) implica (a) sunt continute n teorema 3.1.2.

    Teorema 3.1.7. (Hellinger-Toeplitz) Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T unoperator de la H1 la H2 astfel ncat D(T ) = H1 si D(T ) este dens n H2. AtunciT este marginit. In particular, orice operator simetric T pe un spatiu Hilbert H cuD(T ) = H este marginit.Demonstratie. Din teorema 3.1.3, operatorul T poate fi extins la un operator nchis.Deoarece D(T ) = H1, avem D(T ) = D(T ), i.e., T = T . Asadar T este nchis siD(T ) = H1. Atunci T este marginit prin teorema 3.1.6.

    Teorema 3.1.8. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T un operator injectiv dela H1 la H2 cu R(T ) = H2. Operatorul T este nchis daca si numai daca T1 estemarginit.

    Teorema 3.1.9. Fie H1,H2 si H3 trei spatii Hilbert, fie T un operator nchis de laH1 la H2 si fie S un operator care poate fi extins la un operator nchis, de la H1 laH3, astfel ncat D(S) D(T ). Atunci S este T -marginit.

    29

  • 3.2 Fundamentele teoriei spectrale

    In cele ce urmeaza, un operator T de la H1 la H2 se va numi bijectiv daca T esteinjectiv si R(T ) = H2.

    Teorema 3.2.1. Fie S si T doi operatori bijectivi de la H1 la H2. Daca D(S) D(T ), atunci

    T1 S1 = T1(S T )S1.Daca D(S) = D(T ), atunci

    T1 S1 = T1(S T )S1 = S1(S T )T1.

    Teorema 3.2.2. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert, T un operator bijectiv nchis de laH1 la H2, S un operator de la H1 la H2 astfel ncat D(S) D(T ), iar ST1 < 1.Atunci T + S este de asemenea bijectiv si avem

    (T + S)1 =n=0

    (1)nT1(ST1)n =n=0

    (1)n(T1S)nT1;

    aceste serii sunt convergente.

    Corolarul 3.2.1. Afirmatiile din aceasta teorema au loc si daca S este marginit siS < T11.

    Corolarul 3.2.2. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T si Tn operatori liniari dela H1 la H2 astfel ncat D(T ) D(Tn). Presupunem ca T este nchis, bijectiv, cu(T Tn)T1

    n0. Atunci exista un n0 N astfel ncat Tn este bijectiv pentru

    n > n0 si T1n T1 n

    0

    In continuare, fie H un spatiu Hilbert peste K si fie T un operator pe H.

    Definitia 3.2.1. Numarul K se numeste valoare proprie a lui T daca existax D(T ), x 6= 0 astfel ncat Tx = x, adica, daca operatorul T = I T nueste injectiv (N ( T ) 6= 0).Subspatiul N ( T ) se numeste spatiul propriu al lui , iar dimensiunea luiN ( T ) se numeste ordinul de multiplicitate al valorii proprii .Elementul x se numeste vector propriu al lui T corespunzator valorii proprii .Daca nu este valoare proprie (i.e., ( T ) este injectiv), atunci operatorul

    R(, T ) = ( T )1

    30

  • este bine definit. Multimea

    (T ) = { K : T este injectiv si R(, T )este marginit}se numeste multimea rezolventa a lui T . Daca T nu este nchis, atunci T siR(, T ) nu sunt nchisi, deci (T ) = .Pentru un operator nchis T pe H avem, prin teorema graficului nchis, ca

    (T ) = { K : T este bijectiv}.

    FunctiaR(, T ) : (T ) B(H)

    unde B(H) este multimea operatorilor marginiti pe H, se numeste rezolventa luiT n punctul . Multimea

    (T ) = K\(T )se numeste spectrul lui T . Multimea p(T ), a tuturor valorilor proprii ale lui Teste continuta n (T ) si se numeste spectrul punctual al lui T .

    Multimea c(T ), a acelor pentru care I T are o inversa nemarginita, densdefinita pe imaginea sa,

    c(T ) = { C : N (I T ) = {0}, R(I T ) = X si R(I T ) 6= X},se numeste spectrul continuu al lui T .

    Multimea r(T ), a acelor pentru care I T are o inversa (care nu este densdefinita) pe imaginea sa,

    r(T ) = { C : N (I T ) = {0} si R(I T ) 6= X},se numeste spectrul rezidual al lui T .

    Teorema 3.2.3. Fie T un operator dens definit pe H. Atunci (T ) = (T ) si(T ) = (T )

    Teorema 3.2.4. Fie T un operator compact, cu dimH =. Atunci avem(a) 0 (T ).(b) (T ) {0} = p(T ) {0}.(c) una dintre situatiile urmatoare:

    - fie (T ) = {0},- fie (T ) {0} este multime finita,- fie (T ) {0} este un sir care tinde la 0.

    31

  • Teorema 3.2.5. Fie S si T operatori nchisi pe H.(a) Pentru orice , (T ), avem

    R(, T )R(, T ) = ( )R(, T )R(, T ) = ( )R(, T )R(, T );n particular, R(, T ) si R(, T ) comuta.

    (b) Daca D(S) D(T ), atunci, pentru orice (S) (T ), avemR(, T )R(, S) = R(, T )(T S)R(, S).

    (c) Daca D(S) = D(T ), atunci, pentru orice (S) (T ), avemR(, T )R(, S) = R(, T )(T S)R(, S) = R(, S)(T S)R(, T ).

    Teorema 3.2.6. Daca T este un operator nchis pe un spatiu Hilbert H, atunci (T )este multime deschisa, deci (T ) este multime nchisa. Mai precis, daca 0 (T ),atunci (T ), pentru orice K, astfel ncat 0| < R(0, T )1, iarpentru acesti , avem

    R(, T ) =n=0

    (0 )nR(0, T )n+1.

    Daca T este marginit, atunci avem { K : || > T} (T ); spectrul (T ) estecompact. Mai mult,

    R(, T ) =n=0

    n1T n, pentru || > T;

    acesta serie se numeste serie von Neumann.

    Demonstratie. Fie 0 (T ) cu | 0| < R(0, T )1. Daca n teorema 3.2.2nlocuim T cu 0 T si S cu ( 0)I, atunci rezulta ca T = 0 T + 0este bijectiv, deci (T ). Mai mult, din teorema 3.2.2, avem

    R(, T ) = ((0 T ) + ( 0))1 =n=0

    (0 )nR(0, T )n+1.

    Fie acum T un operator marginit cu || > T . Daca n teorema 3.2.2 nlocuim T cuI si S cu T , atunci rezulta ca T este bijectiv, deci (T ) si

    ( T )1 =n=0

    n1T n

    Asadar (T ) { K : || 6 T}. Cum (T ) este nchis, rezulta ca (T ) estecompact.

    32

  • Teorema 3.2.7. Fie T un operator nchis pe un spatiu Hilbert H. RezolventaR(, T ) : (T ) B(H) este o functie continua. Daca (T ) este nevida, atunci,pentru orice (T ), avem

    R(, T ) > d(, (T ))1.

    Pentru orice sir {n}nN din (T ) astfel ncat n n

    0, 0 (T ), avem deciR(n, T )

    n.

    Teorema 3.2.8. Fie H un spatiu Hilbert si T un operator marginit pe H cu r(T ) =lim supn

    T n 1n .

    (a) r(T ) 6 Tm 1m ,m N, deci r(T ) = limnT n 1n .

    (b) r(T ) 6 T si (T ) { K : || 6 r(T )}. Pentru orice K astfel ncat|| > r(T ), operatorul R(, T ) este dat de seria von Neumann.

    (c) Daca H este complex, atunci (T ) este nevid si exista un (T ) astfel ncat|| = r(T ), i.e., avem r(T ) = sup{|| : (T )}.

    (d) Afirmatia de la (c) are loc si pentru operatori autoadjuncti pe un spatiu Hilbertreal.

    r(T ) se numeste raza spectrala a lui T .

    3.3 Operatori simetrici si autoadjuncti

    Teorema 3.3.1. Fie T un operator Hermitian pe un spatiu cu produs scalar H.Orice valoare proprie a lui T este reala; vectori proprii corespunzatori la valoriproprii distincte sunt ortogonali. DacaH este complex, atunci pentru orice C\R,operatorul T este continuu si inversabil si avem R(, T ) 6 |Im|1 (aceastaare loc, n particular, pentru operatori simetrici si autoadjuncti).

    Demonstratie. Fie o valoare proprie a lui T si fie x N ( T ), x 6= 0. Atuncix2 = Tx, x = x, Tx = x2, deci = , i.e., R. Daca 1, 2 sunt douavalori proprii distincte, iar x1 si x2 sunt vectorii proprii corespunzatori acestor valoriproprii, atunci, cum j sunt reale, avem (12)x1, x2 = Tx1, x2x1, Tx2 = 0.Asadar x1, x2 = 0. Cum = a+ ib (a, b R), avem, pentru orice x D(T ), ca

    ( T )x2 = (a T )x+ ibx2= (a T )x2 + |b|2x2 > |Im|2x2.

    33

  • Pentru C R, rezulta, de aici, ca ( T ) este injectiv si ca, pentru y =( T )x D(R(, T )), avem

    R(, T )y = x 6 |Im|1( T )x = |Im|1y,

    asadarR(, T ) 6 |Im|1.

    Teorema 3.3.2. Fie T un operator simetric pe un spatiu Hilbert H. Daca H =N (s T ) + R(s T ) pentru s R, atunci T este autoadjunct si H = N (s T ) R(s T ). Caz special: daca R(s T ) = H, atunci T este autoadjunct siN (s T ) = {0}.Demonstratie. Din T = T si T T , avem ca N (s T ) N (s T ) = R(s T ) R(s T ), asadar ca N (s T )R(s T ) si H = N (s T ) R(s T ).Prin urmare, avem

    N (s T ) = R(s T )si

    R(s T ) = N (s T ) N (s T ) R(s T ).Aratam ca D(T ) D(T ). Acest fapt, mpreuna cu T T , implica T = T .

    Fie x D(T ), y = (s T )x. Din cauza ca R(s T ) R(s T ), exista unx0 D(T ) D(T ) astfel ncat (s T )x0 = (s T )x0 = y = (s T )x. Asadaravem x x0 N (s T ) = R(s T ) = N (s T ) D(T ) si deci x D(T ).

    Definitia 3.3.1. Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert H se numeste esentialautoadjunct daca T este autoadjunct.

    Teorema 3.3.3. Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert H este esential autoad-junct daca si numai daca T este simetric. Atunci avem T = T .

    Teorema 3.3.4. Daca T este un operator simetric pe un spatiu Hilbert complexH, iar pentru n N, n > 2 avem R(i T n) = H sau R(i T n) = H (respectivR(i T n) = H sau R(i T n) = H), atunci T este esential autoadjunct (respectivautoadjunct).

    Teorema 3.3.5. (a) Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert complex H esteautoadjunct daca si numai daca (T ) R.

    34

  • (b) Daca T este autoadjunct pe un spatiu Hilbert (real sau complex) H, atuncis p(T ) daca si numai daca R(s T ) 6= H. Pentru / p(T ) avemR(, T ) = R(, T ).

    Demonstratie. a) Din teorema 3.3.1, operatorul T este autoadjunct daca si numaidaca T este surjectiv si continuu inversabil pentru orice CR, i.e., daca sinumai daca C R (T ), sau, echivalent, (T ) R.b) Presupunem ca T este autoadjunct si / p(T ). Cum p(T ) R, avem si ca / p(T ). Asadar R(T ) = N (T ) = N (T ) = {0}, i.e., R( T ) = H.Acum, fie R( T ) = H. Cum R( T ) = H pentru orice C R, avem si caR( T ) = H, si deci N ( T ) = N ( T ) = R( T ) = {0}, i.e., / p(T ).Daca / p(T ), atunci T = T este dens definit, injectiv si R( T ) = H.Asadar R(, T ) = ((T )1) = ((T ))1 = (T )1 = R(, T ), din teorema2.2.4(b).

    Teorema 3.3.6. Daca T este autoadjunct, atunci urmatoarele afirmatii sunt echi-valente:

    (i) (T ),(ii) exista un c > 0 astfel ncat ( T )x > cx, x D(T ) (i.e., ( T ) este

    injectiv si R(, T ) < c1),(iii) R( T ) = H.

    (Aceasta teorema este, n general, falsa pentru operatori simetrici.)

    Demonstratie. Daca (T ), atunci (T ) este injectiv si R(, T ) este continua.Daca ( T ) este injectiv si R(, T ) este continua, atunci / p(T ) si deci, dinteorema 3.3.5(b), multimea D(R(, T )) = R( T ) este densa n H; cum R(, T )este nchisa, avem R( T ) = D(R(, T )) = H. Daca R(, T ) = H si R,atunci N ( T ) = N ( T ) = R( T ) = {0}; asadar T este bijectiv, i.e., (T ). Daca Im 6= 0, atunci (T ) din teorema 3.3.5(a).

    Teorema 3.3.7. (Rellich-Kato) Daca T este autoadjunct (esential autoadjunct) peun spatiu Hilbert H, operatorul S este simetric si T -marginit cu T -marginea maimica decat unu, atunci T + S este autoadjunct (esential autoadjunct cu T + S =T + S si D(T + S) = D(T )).

    3.4 Extensii autoadjuncte ale operatorilor sime-

    trici

    Daca S este operator simetric, atunci S S. Pentru orice extensie simetrica T alui S avem S T T S.

    35

  • Teorema 3.4.1. (a) Daca T1 T2 sunt operatori autoadjuncti, atunci T1 = T2.(b) Daca S este operator simetric, iar T1 si T2 sunt extensii autoadjuncte ale lui

    S astfel ncat D(T1) D(T2), atunci T1 = T2.(c) Daca S este esential autoadjunct, atunci S este unica extensie autoadjuncta a

    lui S.

    Definitia 3.4.1. Un operator simetric S pe un spatiu Hilbert H se zice marginitinferior daca exista un R astfel ncat x, Sx > x2 pentru orice x D(S).Orice astfel de se numeste margine inferioara a lui S. Un operator marginitsuperior sau inferior se zice semi-marginit.

    Teorema 3.4.2. Fie S un operator simetric pe un spatiu HilbertH, pentru care avemx, Sx > x2 pentru R si orice x D(S). Atunci, pentru orice k (, ),exista o extensie autoadjuncta Tk a lui S astfel ncat x, Tkx > kx2, pentru oricex D(Tk). Avem N (k Tk) = N (k S) = S(k Tk).Demonstratie. Operatorul S poate fi extins la un operator nchis; acelasi lucru esteevident adevarat pentru S. Asadar, putem presupune, fara a pierde din generalitate,ca S este nchis. In primul caz avem, pentru orice k (, ) si x D(S), x 6= 0,ca

    (S k)x > |(S k)x, x|x1> Sx, xx1 kx > ( k)x.

    In al doilea caz avem, pentru orice k (, ) si x D(S), ca(S k)x > Sx |k|x > ( |k|)x.

    In consecinta, n ambele cazuri Sk este continuu inversabil. Imaginea R(Sk) =D((S k)1) este deci nchisa. De aici rezulta ca

    R(S k) +N (S k) = R(S k) +R(S k) = H (1)Din cauza egalitatii N (S k)D(S) = N (S k) = {0}, suma D(S) +N (S k)este suma directa. Asadar putem defini

    D(Tk) = D(S) +N (S k)Tk(x1 + x2) = Sx1 + kx2 pentru x1 D(S), x2 N (S k).

    Evident, avem N (kTk) = N (kS). Operatorul Tk este simetric, deoarece D(Tk)este dens (cum D(Tk) D(S)) si pentru orice x1, y1 D(S), x2, y2 N (S k) =R(S k), avem (se observa ca (Tk k)x2 = (Tk k)y2 = 0)

    x1 + x2, (Tk k)(x1 + x2) = x1 + x2, (S k)y1= x1, (S k)y1 = (S k)x1, y1= (S k)x1, y1 + y2= (Tk k)(x1 + x2), y1 + y2.

    36

  • Din teorema 3.3.2, operatorul Tk este autoadjunct, deoarece din (1) avem ca H =R(S k) +N (S k) = R(Tk k) +N (Tk k). In plus, pentru orice x1 D(S),x2 N (S k), avemx1 + x2, Tk(x1 + x2) = x, Sx1+ Sx2, x1+ k[x1, x2+ x22]

    > x12 + k[x2, x1+ x1, x2+ x22] > kx1 + x22,n primul caz, si

    Tk(x1 + x2)2 = Sx1 + kx2, Sx1 + kx2= Sx12 + kx1, Sx2+ kSx2, x1+ k2x22> 2x12 + k2[x1, x2+ x2, x1+ x22] > k2x1 + x22,

    n al doilea caz.

    Teorema 3.4.3. Daca A este un operator Hermitian marginit pe un spatiu Hil-bert H, atunci exista o extensie autoadjuncta marginita B a lui A, astfel ncatB = A. Daca R(A) este densa, atunci orice extensie autoadjuncta a lui Aeste injectiva.

    Demonstratie. Daca A = 0, atunci B = 0 este extensia ceruta. Asadar, fieA 6= 0. Fara a pierde din generalitate, putem presupune ca A = 1. Cum,mpreuna cu A, si nchiderea A este Hermitian si A = A, putem, de asemenea,presupune ca A este nchis, i.e., D(A) este nchis. Fie P proiectia ortogonala peD(A). Atunci avem

    A = A1 + A2 cu A1 = PA, A2 = (I P )A.Luam pe A1 ca operator de la H la spatiul Hilbert D(A) cu D(A1) = D(A) si pe A2ca operator de la H la spatiul Hilbert D(A) cu D(A2) = D(A). Intai, aratam caexista extensiile A1 si A2 ale lui A1, respectiv A2, astfel ncat D(A1) = D(A2) = H,R(A1) D(A), R(A2) D(A) si

    A1x2 + A2x2 6 x2 pentru orice x H.Definim operatorul A1 astfel:

    A1 = (AP ).

    Atunci avem A1 = AP 6 A si R(A1) N (AP ) D(A). Mai mult, pentruorice x H si y D(A), avem

    x, A1y = APx, y = Px,Ay = x,A1y.Asadar A1y = A1y si deci A1 A1. Din cauza relatiei A1x 6 A1x 6Ax = x, egalitatea

    [x, y] = x, y A1x, A1y

    37

  • defineste un produs semiscalar pe H. Multimea

    N = {x H : [x, x] = 0}

    este un subspatiu nchis al lui H. (Daca x, y N , a K, atunci ax N si[x + y, x + y] = 2Re[x, y] 6 2{[x, x][y, y]} 12 = 0, deci x + y N . Daca {xn}nNeste un sir din N astfel ncat xn

    nx N , atunci [x, x] = x, x A1x, A1x =

    limn{xn, xn A1xn, A1xn = 0}, deci x N). Fie H0 = N si fie P0 proiectia

    ortogonala pe H0. Prin constructie, avem [x, x] 6= 0 pentru orice x H0 diferit dezero, i.e., [, ] este produs scalar pe H0. Pentru orice x H, avem

    [P0x, P0x] = [x (I P0)x, x (I P0)x]= [x, x] 2Re[x, (I P0)x] + [((I P0)x, (I P0)x] = [x, x].

    Pentru x D(A) N avem

    A2x2 = (I P )Ax2 = Ax2 PAx2= Ax2 A1x2 6 x2 A1x2 = [x, x] = 0.

    Asadar A2x = A2y pentru x y D(A) N . In consecinta, egalitatile

    D(A2) = P0D(A)

    A2y = A2y pentru y = P0x D(A2)definesc un operator liniar de la H0 la D(A), si pentru orice y = P0x D(A2)avem

    A2y2 = A2x2 = (I P )Ax,Ax = Ax,Ax A1x,A1x6 x, x A1x,A1x = [x, x] = [P0x, P0x] = [y, y].

    De aici, rezulta ca A2 poate fi extins la un operator C de la H0 la D(A) astfel ncatD(C) = H0 si

    Cx2 6 [x, x] pentru orice x H0.Definim A2 astfel

    A2 = CP0.

    Atunci, pentru orice, x H

    A2x2 = CP0x2 6 [P0x, P0x] = [x, x],

    deciA1x2 + A2x2 6 x2.

    Cum, pentru orice x D(A), avem

    A2x = CP0x = A2P0x = A2x,

    38

  • obtinem ca operatorul A2 este o extensie a lui A2. Asadar A = A1 + A2 este oextensie a lui A = A1 +A2 si A 6 1. Cum, pentru orice x D(A) si pentru oricey H, avem

    Ax, y = x, (A1 + A2)y = x, A1y+ x, A2y= x, A1y = x, (AP )y = Ax, y,

    obtinem ca operatorul A este, de asemenea, o extensie a lui A. Deci

    B =1

    2(A+ A)

    este o extensie autoadjuncta a lui A astfel ncat B = 1.Acum, fie R(A) dens si fie B o extensie autoadjuncta a lui A. Atunci R(B) este,

    de asemenea, dens, deci N (B) = N (B) = R(B) = {0}.

    Teorema 3.4.4. Fie S un operator simetric pe un spatiu Hilbert H.(a) Daca Sx > x pentru orice x D(S) cu > 0, atunci exista o extensie

    autoadjuncta T a lui S astfel ncat Tx > x pentru orice x D(S).(b) Daca S este marginit inferior, atunci exista o extensie autoadjuncta T a lui S

    cu aceeasi margine inferioara.

    Demonstratie. (a) Operatorul A = S1 este Hermitian (ASx, Sy = x, Sy =Sx, y = Sx,ASy pentru orice Sx, Sy D(A) = R(S)) si marginit, A 6 1;A este injectiv si R(A) = D(S) este densa. Asadar, prin teorema 3.4.3, exista oextensie autoadjuncta injectiva B a lui A astfel ncat B = A 6 1. AtunciT = B1 este o extensie autoadjuncta a lui S si Tx > x pentru orice x D(T ).

    (b) Fara a pierde din generalitate, putem presupune ca = 0. La fel ca ndemonstratia teoremei 3.4.2, putem arata ca I + S este continuu inversabil. Sadefinim A astfel:

    A = (I S)(I + S)1.Atunci A este Hermitian, deoarece, pentru orice x = (I + S)x0, y = (I + S)y0 D(A) = R(I + S), avem

    Ax, y = (I S)x0, (I + S)y0= x0, y0 Sx0, y0+ x0, Sy0 Sx0, Sy0= x0, y0 x0, Sy0+ Sx0, y Sx0, Sy0= (I + S)x0, (I S)y0 = x,Ay.

    Rezulta, din definitia lui A, ca

    I A = (I + S)(I + S)1 (I S)(I + S)1 = 2S(I + S)1,I + A = 2(I + S)1.

    39

  • In consecinta, I + A este injectiv si

    S = (I A)(I + A)1.A este marginit, cu norma A 6 1, deoarece, pentru orice x D(A), avem

    x2 Ax2 = (I A)x, (I + A)x= (I A)(I + A)1(I + A)x, (I + A)x= S(I + A)x, (I + A)x > 0.

    Asadar, prin teorema 3.4.3, exista o extensie autoadjuncta B a lui A astfel ncatB = A. Din aceeasi teorema avem ca I+B este injectiv, cum R(I+A) = D(S)este densa. Operatorul

    T = (I B)(I +B)1este deci o extensie a lui S. Pentru orice x = (I + B)x0, y = (I + B)y0 D(T ) =R(I +B) avem

    Tx, y = (I B)x0, (I +B)y0 = (I +B)x0, (I B)y0 = x, Ty,x, Tx = (I +B)x0, (I B)x0 = x02 Bx02 > 0,

    i.e., T este simetric si marginit inferior, cu marginea inferioara egala cu zero. AvemI + T = 2(I + B)1 si I T = 2B(I + B)1, deci B = (I T )(I + T )1. De aicirezulta ca R(I + T ) = D(B) = H, asadar T este autoadjunct (conform teoremei3.3.2).

    3.5 Exemple

    Definitia 3.5.1. O functie f : [0, 1] C se zice absolut continua daca, pentruorice > 0, exista astfel ncat, daca

    1 6 a1 < b1 6 a2 < b2 6 ... 6 an < bn 6 1 sink=1

    bk ak < ,

    atuncin

    k=1 |f(bk) f(ak)| < .Orice functie absolut continua este, evident, uniform continua.

    Un rezultat important pe care l vom folosi n exemplele ce urmeaza este asanumita teorema fundamentala a analizei (Lebesgue-Leibniz-Newton).

    Teorema 3.5.1. (a) Daca f L1([0, 1]) si F (x) = x

    0f(t)dt, atunci F este absolut

    continua si F = f m-a.p.t, unde m este masura lui Lebesgue pe intervalul [0, 1].(b) Daca F este absolut continua pe [0, 1], atunci F L1([0, 1]) si

    F (x) = F (0) +

    x0

    F (t)dt, x [0, 1].

    40

  • Pentru mai multe fapte legate de aceasta teorema si aplicatiile ei vezi [5].

    1) Operatorul diferential

    Fie H = L2([0, 1]). Definim operatorul diferential T prin

    D(T ) = {f H : f este absolut continua,f H, f(0) = 0},

    iar Tf = f .Operatorul T este nemarginit deoarece fn(t) = t

    n, n = 1, 2, ... este n D(T ),iar

    fn2 = 1

    0

    t2ndt =1

    2n+ 16 1

    si

    Tfn2 = 1

    0

    n2t2n2dt =n2

    2n 1 n.

    Operatorul T este nchis. Pentru a arata acest lucru, se observa, mai ntai, caN (T ) = {0} si R(T ) = H. Intr-adevar, pentru g H, luam f(t) = t

    0g(s)ds.

    Atunci f D(T ) si Tf = g. Definim T1g = f , g H. Operatorul T1 esteoperator marginit pe H cu imaginea D(A), deoarece, din inegalitatea lui Schwarz,obtinem

    |(T1g)(t)| 6 1

    0

    |g(s)|ds 6( 1

    0

    |g(s)|2ds) 1

    2= g.

    Deci T1 6 1. Presupunem

    fn n

    f, fn D(A) si Tfn n

    h H.

    Atunci fn = T1Tfn

    nT1h. Deci f = T1h D(T ) si Tf = h, ceea ce arata

    ca T este nchis.

    2) Derivata a doua ca operatorUna dintre principalele motivatii ale dezvoltarii teoriei operatorilor integrali esteaceea ca unele ecuatii diferentiale cu conditii la limita pot fi transformate n ecuatiiintegrale echivalente. Ca exemplu, fie urmatoarea problema cu valori la limita:y

    (x) = f(x) (1)

    y(0) = y(1) = 0 (2)

    unde f este o functie n L2([0, 1]). Pentru a gasi solutia, integram de doua ori ecuatia(1) si obtinem:

    y(x) = x

    0

    t0

    f(s)dsdt+ c1x+ c2, (3)

    41

  • unde

    c2 = y(0) = 0 si c1 =

    10

    t0

    f(s)dsdt. (4)

    Schimband ordinea integrarii n (3) si (4) obtinem

    y(x) = x

    0

    xs

    f(s)dtds+ x

    10

    1s

    f(s)dtds

    =

    x0

    (s x)f(s)ds+ 1

    0

    x(1 s)f(s)ds. (5)

    Deci

    y(x) =

    10

    g(x, s)f(s)ds, (6)

    unde

    g(x, s) =

    {s(1 x), 0 6 s 6 xx(1 s), x 6 s 6 1 (7)

    Invers, daca y este dat de (6), prin calcul direct se verifica faptul ca y satisface(1) si (2) aproape peste tot. Functia g se numeste functia lui Green corespunzatoareproblemei cu valori la limita.

    Sa privim acum rezultatul obtinut mai sus din punctul de vedere al teoriei ope-ratorilor. Vrem sa exprimam expresia diferentiala y cu conditii la limita (2) caoperator liniar. Actiunea operatorului este clara. Totusi, trebuie sa i definim dome-niul. Pentru aceasta, se observa ca (3) implica faptul ca derivata y este o integralanedefinita sau, echivalent, y este absolut continua (conform teoremei fundamentalea analizei). O proprietate importanta a functiilor absolut continue este aceea caformula de integrare prin parti are loc pentru integrala lui fg, cand f este absolutcontinua si g este integrabila Lebesgue.

    Fie D(T ), domeniul lui T , acel subspatiu al lui L2([0, 1]) format din functiile cuvalori complexe y care satisfac (2), cu derivata de ordinul I absolut continua pe [0, 1]si cu derivate de ordinul II continute n L2([0, 1]). Se observa ca y

    (x) exista pentruaproape orice x, deoarece y este absolut continua.

    Fie G operatorul integral cu nucleul g definita n (7). Deoarece g este continua pe[0, 1] [0, 1] si g(x, s) = g(s, x), G este operator compact autoadjunct pe L2([0, 1]).Din discutia de mai sus, y = Gf satisface (1) aproape peste tot pentru orice f L2([0, 1]). Asadar

    TGf = f (8)

    Deoarece T este, de asemenea, injectiv, avem ca T este inversabil cu T1 = G.Asadar T este operator liniar nchis. Rezulta ca este vector propriu al lui Tcorespunzator valorii proprii daca si numai daca este vector propriu al lui Gcorespunzator valorii proprii 1

    . Asadar, deoarece G este operator compact autoad-

    junct si N (G) = {0}, L2([0, 2]) are o baza ortonormata formata din vectori propriiai lui T . Valorile proprii ale lui T sunt acei scalari reali pentru care

    y + y = 0 (9)

    42

  • siy(0) = y(1) = 0 (10)

    are solutie netriviala. Deoarece solutia generala pentru (9) este

    y = ax+ b, = 0

    y = a cosx+ b sin

    x, > 0

    y = aex + be

    x, < 0

    rezulta, din conditiile la limita (10), ca valorile proprii sunt = n2pi2, n = 1, 2, ....,cu bn sinnpix, bn 6= 0 vectorii proprii corespunzatori. Vectorii proprii

    2 sinnpix,

    n = 1, 2, ..., formeaza deci o baza ortonormata pentru L2([0, 1]).Similar daca schimbam domeniul lui T nlocuind conditiile la limita (10) cu

    y(pi) = y(pi), y(pi) = y(pi), atunci valorile proprii ale lui T sunt acei pentrucare problema cu valoare la limita

    y + y = 0

    y(pi) = y(pi), y(pi) = y(pi)are solutie netriviala. Rezulta ca = n2, n = 0, 1, ... sunt valorile proprii ale lui T ,iar an cosnt + bn sinnt (|an|2 + |bn|2 6= 0) vectorii proprii corespunzatori. Asadar,{

    12pi, cosnt

    pi, sinnt

    pi}n=0 este un sistem ortonormat de vectori proprii ai lui T , care stim

    ca formeaza o baza ortonormata pentru L2([pi, pi]).3) Operatorul adjunct

    Fie H = L1([0, 1]), iar T un operator de la H la el nsusi, cuD(T ) = {f H : f este absolut continua pe [0, 1],

    f H, f(0) = f(1) = 0}, T f = f (1)

    Spatiul C0 ([0, 1]) al functiilor infinit diferentiabile care se anuleaza n afara unuisubinterval nchis al intervalului deschis (0, 1) este dens n L2([0, 1]), n raport cunorma de pe L2. Deoarece C

    0 ( D(T ), avem ca T este dens definit. Vom arata ca

    T = S, unde

    D(S) = {g H : g este absolut continua pe [0, 1], g H}, Sg = g (2)

    Presupunem ca g D(T ) si T g = h. Atunci, pentru f D(T ), avem

    Tf, g = 1

    0

    f (t)g(t)dt = f, T g = 1

    0

    f(t)h(t)dt (3)

    Deoarece f D(T ), f(0) = f(1) = 0. Integrand prin parti obtinem 10

    f(t)h(t)dt = 1

    0

    (H(t) + C)f (t)dt, (4)

    43

  • unde C este o constanta arbitrara si H(t) = t

    0h(s)ds. Atunci, din (3) si (4), avem

    0 =

    10

    (g(t) +H(t) + C)f (t)dt, f D(T ) (5)

    Fie

    f0(t) =

    t0

    (g(s) +H(s) + C0)ds, (6)

    unde C0 este ales astfel ncat f0(1) = 0. Atunci f0 D(T ) si rezulta, din (5) si (6),cu f nlocuit cu f0, ca

    0 =

    10

    |g(t) +H(t) + C0|2dt

    Deci g(t) = H(t)C0 = t

    0h(s)dsC0, ceea ce arata ca g este absolut continua

    pe [0, 1] si g = h H. Asadar g D(S) si Tf, g = f,g = f, Sg, din (3).Asadar D(T ) ( D(S) si T g = Sg, g D(T ).Mai ramane de aratat ca D(S) ( D(T ). Fie v D(S) si u D(T ),

    Tu, v = 1

    0

    u(t)v(t)dt = 1

    0

    u(t)v(t)dt = u, Sv

    Prin urmare, v D(T ) si T v = Sv = v.

    44

  • Capitolul 4

    Teorema lui Hille-Yosida

    4.1 Operatori maximali monotoni

    Definitia 4.1.1. Un operator nemarginit T : D(T ) H H se numeste monotondaca satisface

    Tx, x > 0 pentru orice x D(T ).Acesta se numeste maximal monoton daca, n plus, R(I +T ) = H, adica, pentruorice x H, exista x D(T ) astfel ncat x + Tx = x.

    Propozitia 4.1.1. Fie T un operator maximal monoton. Atunci:

    (a) D(T ) este dens n H.(b) T este operator nchis.

    (c) Pentru orice > 0, (I + T ) este bijectiv de la D(T ) la H, (I + T )1 esteoperator marginit si (I + T )1 6 1.

    Remarca 4.1.1. Daca T este maximal monoton, atunci T este, de asemenea,maximal monoton, pentru orice > 0. Totusi, daca T si S sunt operatori maximalimonotoni, atunci T + S, definit pe D(T ) D(S), nu este necesar sa fie maximalmonoton.

    Definitia 4.1.2. Fie T un operator maximal monoton. Pentru orice > 0, definim

    J = (I + T )1 si T =

    1

    (I J).

    J se numeste rezolventa lui T si T se numeste regularizata Yosida a lui T .De retinut ca J 6 1.

    45

  • Propozitia 4.1.2. Fie T un operator maximal monoton. Atunci:

    (a) Tx = T (Jx), pentru orice x H si orice > 0,(b) Tx = J(Tx), pentru orice x D(T ) si orice > 0,(c) |Tx| 6 |Tx|, pentru orice x D(T ) si orice > 0,(d) lim

    0Jx = x, pentru orice x H,

    (e) lim0

    Tx = Tx, pentru orice x D(T ),

    (f) Tx, x > 0, pentru orice x H si orice > 0,

    (g) |Tx| 6 1|x|, pentru orice x H si > 0.

    Demonstratie. (a) Egalitatea poate fi scrisa ca x = Jx+ T (Jx) care este tocmaidefinitia lui Jx.

    (b) Din (a) avemTx+ T (x Jx) = Tx,

    adicaTx+ T (Tx) = Tx,

    ceea ce nseamna ca Tx = (I + T )1Tx.

    (c) Rezulta usor din (b).

    (d) Presupunem ntai ca x D(T ). Atunci

    |x Jx| = |Tx| 6 |Tx| din (c)

    si astfel lim0

    Jx = x.

    Presupunem acum ca x este un element general din H. Pentru orice > 0 dat,exista un anume x1 D(T ) astfel ncat |x x1| 6 (deoarece D(T ) este dens n Hdin propozitia 4.1.1). Avem

    |Jx x| 6 |Jx Jx1|+ |Jx1 x1|+ |x1 x|6 2|x x1|+ |Jx1 x1| 6 2+ |Jx1 x1|.

    Astfellim sup0

    |Jx x| 6 2, pentru orice > 0

    si decilim0|Jx x| = 0.

    (e) Rezulta din (b) si (d).

    46

  • (f) Avem

    Tx, x = Tx, x Jx+ Tx, Jx = |Tx|2 + T (Jx), Jxsi astfel

    Tx, x > |Tx|2 (1)

    (g) Este o consecinta a lui (1) si a inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwarz.

    4.2 Solutia problemei de evolutiedx

    dt+ Tx = 0 pe [0,)

    x(0) = x0

    Teorema 4.2.1. (Cauchy, Lipschitz, Picard) Fie X un spatiu Banach si F :X X o aplicatie Lipschitziana, adica exista o constanta L astfel ncat

    Fx Fy 6 Lx y pentru orice x, y X.Atunci, pentru orice x0 X dat, exista o unica solutie x C1([0,);X) a proble-mei:

    dx

    dt(t) = Fx(t) pe [0,)

    x(0) = x0

    (x0 se numeste data initiala)

    Aceasta teorema este extrem de utila n studiul ecuatiilor diferentiale ordi-nare, fiind, n schimb, putin folositoare n studiul ecuatiilor cu derivate partiale.Urmatorul rezultat este un instrument foarte puternic n rezolvarea ecuatiilor cuderivate partiale de evolutie.

    Teorema 4.2.2. (Hille-Yosida) Fie T un operator maximal monoton. Atunci,pentru orice x0 D(T ) dat, exista o functie unica

    x C1([0,);H) C([0,);D(T ))satisfacand

    dx

    dt+ Tx = 0 pe [0,)

    x(0) = x0 (data initiala) (2)

    Mai mult,

    |x(t)| 6 |x0| sidxdt

    (t) = |Tx(t)| 6 |Tx0| pentru orice t > 0.

    47

  • Demonstratie. Aceasta este mpartita n sase etape.Etapa 1

    Fie x si x doua solutii ale lui (2). Avem ddt

    (x x), x x

    = T (x x), x x 6 0.Dar

    1

    2

    d

    dt|x(t) x(t)|2 =

    ddt

    (x(t) x(t)), x(t) x(t).

    Astfel, functia t 7 |x(t) x(t)| este monoton descrescatoare pe [0,). Din |x(0)x(0)| = 0 rezulta ca

    |x(t) x(t)| = 0 pentru orice t > 0.Ideea principala, pentru demonstrarea existentei, este de a nlocui, n (2), operatorulT cu T, a aplica teorema 4.2.1 problemei aproximante si apoi de a trece la limitacand 0 utilizand diverse estimari care sunt independente de . Deci, fie xsolutia problemei

    dxdt

    + Tx = 0 pe [0,)

    x(0) = x0 D(T ) (3)

    Etapa 2Avem estimarea

    dxdt

    (t) = |Tx(t)| 6 |Tx0| t > 0, > 0 (4)Aceasta inegalitate este o consecinta imediata a urmatorului rezultat:

    Lema 4.2.1. Fie y C1([0,);H) o functie satisfacanddy

    dt+ Ty = 0 pe [0,) (5)

    Atunci functiile t 7 |y(t)| si t 7dydt

    (t) = |Ty(t)| sunt monoton descrescatoare pe

    [0,).Demonstratie. Avem dy

    dt, y

    + Ty, y = 0.

    Din propozitia 4.1.2 (f), stim ca Ty, y > 0 si, de aceea, 12

    d

    dt|y|2 6 0, astfel ncat

    |y(t)| este monoton descrescatoare. Pe de alta parte, deoarece T este operatormarginit, deducem (prin inductie), din (5), ca y C([0,);H) si, de asemenea,ca

    d

    dt

    (dydt

    )+ T

    (dydt

    )= 0

    Se aplica deci rezultatul precedent luidy

    dt.

    48

  • Etapa 3Vom demonstra aici ca, pentru orice t > 0, x(t) converge, cand 0, la oanumita limita notata prin x(t). Mai mult, convergenta este uniforma pe oriceinterval marginit [0, T ].Pentru orice , > 0 avem

    dxdt dx

    dt+ Tx Tx = 0

    si astfel

    1

    2

    d

    dt|x(t) x(t)|2 + Tx(t) Tx(t), x(t) x(t) = 0

    Renuntand la t, pentru simplitate, scriem

    Tx Tx, x x = Tx Tx, x Jx + J Jx + Jx x= Tx Tx, Tx Tx+ T (Jx Jx), Jx Jx> Tx Tx, Tx Tx (7)

    Din (4), (6) si (7) rezulta ca

    1

    2

    d

    dt|x x|2 6 2(+ )|Tx0|2.

    Integrand aceasta inegalitate, obtinem

    |x(t) x(t)|2 6 4(+ )t|Tx0|2

    adica|x(t) x(t)| 6 2

    (+ )t|Tx0| (8)

    Urmeaza ca, pentru orice t > 0 fixat, (x(t)) este un sir Cauchy, cand 0, si deaceea converge la o limita, notata x(t). Trecand la limita n (8), cu 0, avem

    |x(t) x(t)| 6 2t|Tx0|.

    Astfel, convergenta este uniforma n t pe orice interval marginit [0, T ] si deci x C([0,);H).

    Etapa 4Presupunand, n plus, ca x0 D(T 2), adica x0 D(T ) si Tx0 D(T ), demonstramaici ca

    dxdt

    converge, cand 0, la o anumita limita si ca aceasta convergenta esteuniforma pe fiecare interval marginit [0, T ].

    Definim y =dxdt

    , asa ncatdydt

    + Ty = 0. Urmand acelasi rationament ca n

    etapa 3, vedem ca

    1

    2

    d

    dt|y y|2 6

    (|Ty|+ |Tx|)(|Ty|+ |Ty|) (9)49

  • Din lema 4.2.1 avem

    |Ty(t)| 6 |Ty(0)| = |TTx0| (10)

    si, n mod similar,

    |Ty(t)| 6 |Ty(0)| = |TTx0| (11)

    In final, deoarece Tx0 D(T ), obtinem

    TTx0 = JTJTx0 = JJTTx0 = J2T

    2x0

    si astfel|TTx0| 6 |T 2x0|, |TTx0| 6 |T 2x0| (12)

    Combinand (9), (10), (11) si (12) suntem condusi la

    1

    2

    d

    dt|y y|2 6 2(+ )|T 2x0|2.

    Concluzionam, ca n etapa 3, ca y(t) =dxdt

    (t) converge, cand 0, la o anumitalimita, convergenta fiind uniforma pe fiecare interval marginit [0, T ].

    Etapa 5Presupunand ca x0 D(T 2) aratam aici ca x este o solutie a lui (2).Din cele de mai sus, stim ca, pentru orice T 0, si ca

    dx

    dt(t) + Tx(t) = 0.

    50

  • In final, deoarece x C1([0,);H), functia t 7 Tx(t) este continua de la [0,) laH si, de aceea, x C([0,);D(T )). Astfel am obtinut o solutie a lui (2) satisfacand,n plus,

    |x(t)| 6 |x0|, t > 0 sidxdt

    (t) = |Tx(t)| 6 |Tx0|, t > 0.

    Etapa 6Incheiem aici demonstratia teoremei.Vom utiliza urmatorul rezultat:

    Lema 4.2.2. Fie x0 D(T ). Atunci, pentru orice > 0, exista x0 D(T 2) astfelncat |x0 x0| < si |Tx0 Tx0| < . Cu alte cuvinte, D(T 2) este dens n D(T ).Demonstratie. Definim x0 = Jx0 pentru > 0 potrivit, ce va fi fixat ulterior.Avem

    x0 D(T ) si x0 + Tx0 = x0.De aceea, Tx0 D(T ), adica x0 D(T 2). Pe de alta parte, din propozitia 4.1.2,stim ca

    lim0|Jx0 x0| = 0, lim

    0|JTx0 Tx0| = 0

    si ca Tx0 = JTx0 = TJx0. Concluzia urmeaza prin alegerea lui > 0 suficient demic.

    Ne ntoarcem acum la demonstratia teoremei. Pentru x0 D(T ) dat, construim(utilizand lema 4.2.2) un sir {x0n}nN D(T 2), astfel ncat x0n

    nx0 si Tx0n

    nTx0. Din etapa 5, stim ca exista o solutie a xn a problemei

    dxndt

    + Txn = 0 pe [0,)

    xn(0) = x0n (14)

    Pentru orice t > 0, avem

    |xn(t) xm(t)| 6 |x0n x0m| m,n

    0,

    dxndt

    (t) dxmdt

    (t) 6 |Tx0n Tx0m|

    m,n0.

    De aceea

    xn(t) x(t) uniform pe [0,)dxndt

    (t) dxdt

    (t) uniform pe [0,)

    cu x C1([0,);H). Trecand la limita n (14)-utilizand faptul ca T este ope-rator nchis- observam ca x(t) D(T ) si x satisface (2). Din (2) deducem cax C([0,);D(T )).

    51

  • 4.3 Cazul autoadjunct

    Propozitia 4.3.1. Fie T un operator simetric, maximal monoton. Atunci T esteautoadjunct.

    Demonstratie. Fie J1 = (I + T )1. Vom demonstra ntai ca J1 este autoadjunct.

    Deoarece J1 L(H) este suficient sa verificam ca

    J1x, y = x, J1y pentru orice x, y H (15)

    Definim x1 = J1x si y1 = J1y astfel ncat

    x1 + Tx1 = x

    y1 + Ty1 = y

    Deoarece, din presupunere, x1, T y1 = Tx1, y1 rezulta ca x1, y = x, y1, adica(15).

    Fie x D(T ) si definim f = x+ T x. Avem

    f, y = x, y + Ty pentru orice y D(T ),

    adicaf, J1z = x, z pentru orice z H.

    Astfel x = J1f si, de aceea, x D(T ). Aceasta arata ca D(T ) = D(T ) si, de aici,T este autoadjunct.

    Teorema 4.3.1. Fie T un operator maximal monoton si autoadjunct. Atunci, pen-tru orice x0 H, exista o functie unica

    x C([0,);H) C1((0,);H) C((0,);D(T ))

    astfel ncat dx

    dt+ Tx = 0 pe (0,),

    x(0) = x0

    Mai mult, avem

    |x(t)| 6 |x0| sidxdt

    (t) = |Tx(t)| 6 1

    t|x0|, t > 0

    x Ck((0,);D(T l)), k, l Z.

    52

  • Demonstratie. Unicitatea.Fie x si x doua solutii. Din monotonia lui T vedem ca (t) = |x(t) x(t)|2 estemonoton descrescatoare pe (0,). Pe de alta parte, este continua pe [0,) si(0) = 0. De aceea, 0.

    Existenta. Demonstratia este mpartita n doua etape.Etapa 1

    Presupunem ntai ca x0 D(T 2) si fie x solutia lui (2), data de teorema Hille-Yosida.Afirmam ca dx

    dt(t) 6 1

    t|x0| t > 0 (16)

    La fel ca n demonstratia propozitiei 4.3.1, avem

    J = J si T = T pentru orice > 0.

    Ne ntoarcem la problema aproximanta introdusa n demonstratia teoremei lui Hille-Yosida:

    dxdt

    + Tx = 0 pe [0,)

    x(0) = x0 (17)

    Luand produsul scalar al lui (17) cu x si integrand pe [0, T ] gasim

    1

    2|x(T )|2 +

    T0

    Tx, xdt = 12|x0|2 (18)

    Luand produsul scalar al lui (17) cu tdxdt

    si integrand pe [0, T ] obtinem

    T0

    dxdt

    (t)2tdt+ T

    0

    Tx(t),

    dxdt

    (t)tdt = 0 (19)

    Dard

    dtTx, x =

    T

    dxdt

    , x

    +Tx,

    dxdt

    = 2Tx,

    dxdt

    deoarece T = T.Integrand prin parti, avem T

    0

    Tx(t),

    dxdt

    (t)tdt =

    1

    2

    T0

    d

    dt[Tx, x]tdt

    =1

    2Tx(T ), x(T )T 1

    2

    T0

    Tx, xdt (20)

    Pe de alta parte, deoarece functia t 7dx

    dt(t) este monoton descrescatoare (din

    lema 4.2.1), avem T0

    dxdt

    (t)2tdt > dx

    dt(T )2T 2

    2(21)

    53

  • Combinand (18), (19), (20) si (21) obtinem

    1

    2|x(T )|2 + T Tx(T ), x(T )+ T 2

    dxdt

    (T )2 6 1

    2|x0|2.

    Urmeaza, n particular, cadxdt

    (T ) 6 1

    T|x0| pentru orice T > 0 (22)

    In final, trecem la limita n (22), cand 0. Aceasta completeza demonstratia lui(16), deoarece

    dxdt dx

    dt(vezi etapa 5 din demonstratia teoremei lui Hille-Yosida).

    Etapa 2Presupunem acum ca x0 H. Fie {x0n}nN un sir din D(T ) astfel ncat x0n

    nx0

    (reamintim ca D(T 2) este dens n D(T ) si ca D(T ) este dens n H; astfel D(T 2) estedens n H). Fie xn solutia lui

    dxxdt

    + Txn = 0 pe [0,)

    xn(0) = x0n

    Stim (din teorema lui Hille-Yosida) ca

    |xn(t) xm(t)| 6 |x0n x0m| m,n Z, t > 0si, din etapa 1, cadxn

    dt(t) dxm

    dt(t) 6 1

    t|x0n x0m| m,n Z, t > 0.

    Rezulta ca xn(t) converge uniform pe [0,) la o anumita limita x(t) si ca dxndt

    (t)

    converge ladx

    dt(t) uniform pe fiecare interval [,), > 0.

    Functia limita x satisface

    x C([0,);H) C1((0,);H),

    x(t) D(T ), t > 0 si dxdt

    (t) + Tx(t) = 0, t > 0(se utilizeaza faptul ca T este nchis)

    Revenim acum la demonstratia lui (15). Vom arata, prin inductie dupa k > 0,ca

    x Ckj((0,);D(T j)) j = 0, 1, ..., k (23)Presupunem ca (23) este valabila pana la ordinul k 1. In particular, avem

    x C((0,);D(T k1)) (24)

    54

  • Pentru a arata (23) este suficient sa verificam ca

    x C((0,);D(T k)) (25)

    Consideram spatiul Hilbert H = D(T k1) si operatorul T : D(T ) H H definitde D(T ) = D(T

    k)

    T = T

    Este usor de vazut ca T este maximal monoton si simetric nH; de aceea, acesta esteautoadjunct. Aplicand prima asertiune a teoremei 4.3.1, n spatiul H, operatoruluiT obtinem o solutie unica x a problemei

    dy

    dt+ Ty = 0 pe (0,)

    y(0) = y0 (26)

    pentru orice y0 H dat. Mai mult

    y C([0,); H) C1((0,); H) C((0,);D(T )).

    Alegand y0 = x() ( > 0) (stim deja din (24) ca y0 H), conchidem ca x C((,);D(T k)) si aceasta completeaza demonstratia lui (25).

    55

  • Bibliografie

    [1] Brezis Haim, Analiza functionala. Teorie si aplicatii.

    [2] Kubrusly Carlos S., The Elements of Operator Theory, Second Edition,Birkhauser.

    [3] Debnath L., Mikusinski P., Introduction to Hilbert spaces with applications,2005.

    [4] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A., Basic Classes of Linear Opera-tors, Birkhauser.

    [5] Stratila Serban, Integrala Lebesgue si transformata Fourier, EdituraFundatiei Theta, Bucuresti 2014.

    [6] Weidmann Joachim, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag.

    56