Operátorok a Quantummechanikában

Csány Gergely(Molekuláris Bionika BSc, III. évf.)

A Kvantummechanika Posztulátumai

1. PosztulátumInformáció, amit egy adott állapotról tudhatunk:Egy adott állapotot aállapotfüggvénnyel (hullámfüggvénnyel) írhatunk le, amely függvény

KorlátosEgyértékűFolytonosFolytonosan differenciálható

függvénye a konfigurációs térkoordinátáinak, valamint a időnek.

A Kvantummechanika Posztulátumai 2

2. PosztulátumA hullámfüggvény értelmezése:

Annak a valószínűsége, hogy a állapotú rendszerEgy adott térfogatelemben található: Ennek következtében:

( négyzetesen integrálható)

3. PosztulátumKísérletek kimenetele:

A Kvantummechanika Posztulátumai 3

Minden megfigyelhető mennyiséghezhozzárendelünk egy operátort.

Ennek az operátornak a sajátértékei és sajátfüggvényei határozzák meg a mérési eredményünket.

4. PosztulátumMérések várható értéke:

A Kvantummechanika Posztulátumai 4

Egy állapotú fizikai rendszerben

az operátorúmennyiségre vonatkozó mérés várható

értéke:

és szórása:

5. PosztulátumA hullámfüggvény időbeli fejlődése:

A Kvantummechanika Posztulátumai 5

Zárt rendszerben a hullámfüggvény időbeli fejlődését az időfüggő Schrödinger-egyenlettel írhatjuk le:

Néhány fizikai mennyiség operátrora (3. posztulátum):

Operátorok tulajdonságai a kvantumfizikában

A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.

A kvantumfizikában használt operátorok lineárisak és önadjungáltak (hermitikusak)

Önadjungált operátorsajátértékei valósaksajátfüggvényei ortogonálisak

Sajátfüggvények ortonormálható, teljes rendszert alkotnak.

Legfontosabb képletek még egyszer (másfajta jelöléssel)

A kvantumfizikában Hilbert terekben dolgozunk.

Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét adott t időpillanatban az [a,b] intervallumban találunk:

Természetesen:

Annak a valószínűségét, hogy a részecskét adott t időpillanatban az [a,b] frekvenciaintervallumban találjuk, a Fourier-transzformáció segítségével kaphatjuk (f(x,t) ismeretében):

Heisenberg-féle határozatlansági elv

( )

Levezetés (egy lehetőség)

Tfh.:Def.:

Levezetés (egy lehetőség) - folyt.

Tétel (6.15)

Nem léteznek olyan korlátos S és T lineáris operátorok, (semmilyen Hilbert térben), amelyek kielégítenék az

egyenletet.

ST – TS = I csak nem korlátos S és T operátorok esetén igaz. (A kvantummechanikában ilyeneket használunk)

Egy példaAdott és esetén tekintsük a következő

függvényt:

Példa (folyt.)

Mely (α, β) rendezett párokra teljesülhet a két állítás ( , ill. ) egyidejűleg?

λ1=?a, b (→λ1) adott; miért kell α-nak és β-nak

kielégítenie a (*) egyenlőtlenséget?Felrajzolhatjuk-e az (α,β) párok érvényességi

halmazát az egységnégyzetben?

(*)

Def.:

Példa (folyt.) – válaszok

Def.:

Def.:

λ1 a T operátor legnagyobb sajátértéke:

esetén biztosan érvényes (α,β) párokat kapunk.

Példa (folyt.) – válaszok 2Miért kell a (*) egyenletnek teljesülnie?

adott a, b (→λ1), α,β-ra igaz (*) :

ezen kívül is lehet

Köszönöm a figyelmet!

Felhasznált irodalom:

K. Saxe: Beginning Functional AnalysisCsurgay Árpád – Simonyi Károly: Az Információtechnika Fizikai

Alapjai