Operazione in NOperazione in NLe quattro Le quattro operazionioperazioni

Definizioni e Proprietà

ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLAVia Vivaldi, 76 - 40026 Imola (BOLOGNA)

CentroCentro TerritorialeTerritoriale PermanentePermanente

perper l’istruzione e la formazione in etàl’istruzione e la formazione in età adultaadulta

Licenza Media AnnualeLicenza Media Annuale

Disciplina: MatematicaDisciplina: Matematica

Concetto di OperazioneConcetto di Operazione

NUMERONUMERO

NUMERONUMEROOPERAZIONEOPERAZIONE RISULTATORISULTATO

PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI DUE NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI TERMINI DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO TERMINI DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE CHIAMATO RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE PROPRIETPROPRIETÀÀ

Addizione in Addizione in NN

5 + 3 =8

ADDENDIADDENDI SOMMA O SOMMA O TOTALETOTALE

SEGNO DI OPERAZIONE

L’L’ADDIZIONEADDIZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI DI DUE NUMERI CHIAMATI ADDENDIADDENDI È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ESSI UN TERZO NUMERO DETTO SOMMASOMMA O O TOTALETOTALE

Proprietà dell’AddizioneProprietà dell’Addizione

PROPRIETPROPRIETÀÀ COMMUTATIVA COMMUTATIVA

La somma di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine degli addendi:

8 + 3 = 11

3 + 8 = 11

8 + 3 = 3 + 8

La somma di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma:

4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 94 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9

La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più addendi se ne sostituiscono altri aventi per somma l’addendo considerato:

9 + 6 = 15(2 + 7) + 6 = 2 + 7 + 6 = 159 + (2 + 4) = 9 + 2 + 4 = 15

PROPRIETPROPRIETÀÀ ASSOCIATIVA ASSOCIATIVA

LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNALEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA

L’addizione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se addizioni due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale; cioè l’addizione fra numeri naturali si può sempre fare.

12 + 8 = 20NUMERO NATURAL

ENUMERO NATURAL

E

NUMERO NATURAL

E

ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO

Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione:

8 + 0 = 0 + 8 = 8

Sottrazione in Sottrazione in NN

LALA SOTTRAZIONE SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA SI CHIAMA MINUENDOMINUENDO E IL SECONDO E IL SECONDO SOTTRAENDOSOTTRAENDO È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO DIFFERENZADIFFERENZA

9 - 4 =5MINUENDMINUEND

OODIFFERENZDIFFERENZ

AA

SEGNO DI OPERAZIONE

SOTTRAENDOSOTTRAENDO

DIFFERENZA + SOTTRAENDO = MINUENDO

5 + 4 = 9

Proprietà della SottrazioneProprietà della Sottrazione

La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona, o si sottrae se possibile, uno stesso numero:

8 - 5 = 3

(8 + 2) - (5 + 2) = 10 - 7 = 3

(8 - 3) - (5 - 3) = 5 - 2 = 3

PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVAINVARIANTIVA

Se da un numero si devono sottrarre successivamente (uno dopo l’altro) più numeri, si possono eseguire le sottrazioni nell’ordine di scrittura, oppure si sottrae dal primo numero la somma di tutti gli altri:

19 - 7 - 5 - 2 = 12 - 5 - 2 = 7 - 2 = 5

19 - 7 - 5 - 2 = 19 - (7 + 5 + 2) = 19 - 14 = 5

REGOLA DI CALCOLOREGOLA DI CALCOLO

Moltiplicazione in Moltiplicazione in NN

LA LA MOLTIPLICAZIONEMOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI DI DUE NUMERI CHIAMATI FATTORI FATTORI È È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO PRODOTTOPRODOTTO

5 × 3 = 15

FATTORIFATTORI PRODOTTPRODOTTOO

SEGNO DI OPERAZIONE

MOLTIPLICANDOMOLTIPLICANDO

MOLTIPLICATOREMOLTIPLICATORE

Proprietà della Proprietà della MoltiplicazioneMoltiplicazione

Il prodotto di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine dei fattori:

4 × 3 = 12

3 × 4 = 12

4 × 3 = 3 × 4

PROPRIETPROPRIETÀÀ COMMUTATIVA COMMUTATIVA

Il prodotto di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni fattori si sostituisce il loro prodotto:

2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 242 × 3 × 4 = 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

Il prodotto di due o più numeri non cambia se a uno o più fattori se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore considerato:

12 × 6 = 72(3 × 4) × 6 = 3 × 4 × 6 = 72

12 × (2 × 3) = 12 × 2 × 3 = 72

PROPRIETPROPRIETÀÀ ASSOCIATIVA ASSOCIATIVA

Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti così ottenuti:

(2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30

(2 + 4) × 5 = 2 × 5 + 4 × 5 = 10 + 20= 30

PROPRIETPROPRIETÀÀ DISTRIBUTIVA DELLA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE MOLTIPLICAZIONE

RISPETTO ALL’ADDIZIONERISPETTO ALL’ADDIZIONE

PROPRIETPROPRIETÀÀ DISTRIBUTIVA DELLA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE MOLTIPLICAZIONE

RISPETTO ALLA SOTTRAZIONERISPETTO ALLA SOTTRAZIONE

Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare minuendo e sottraendo della differenza per quel numero e poi sottrarre i prodotti così ottenuti:

(10 - 4) × 3 = 6 × 3 = 18

(10 - 4) × 3 = 10 × 3 - 4 × 3 = 30 - 12= 18

ELEMENTO NEUTROELEMENTO NEUTRO

L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione:

7 × 1 = 1 × 7 = 7

ELEMENTO ASSORBENTEELEMENTO ASSORBENTE

Lo zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione, cioé annulla sempre il prodotto:

5 × 0 = 0 × 5 = 0e vale

0 × 0 = 0

LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNALEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA

La moltiplicazione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri naturali: se moltiplico due numeri naturali ottengo sempre un numero naturale; cioè la moltiplicazione fra i numeri naturali si può sempre fare.

2 × 8 = 16NUMERO NATURAL

ENUMERO NATURAL

E

NUMERO NATURAL

E

Divisione in Divisione in NN

15: 3 = 5

QUOTOQUOTO

SEGNO DI OPERAZIONE

DIVIDENDODIVIDENDODIVISOREDIVISORE

1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA:1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA:

LALA DIVISIONE ESATTA DIVISIONE ESATTA (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI CHIAMA IL CUI PRIMO SI CHIAMA DIVIDENDODIVIDENDO E IL SECONDO, E IL SECONDO, DIVERSO DA ZERO, DIVERSO DA ZERO, DIVISORE DIVISORE È È L’OPERAZIONE L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO NUMERO DETTO QUOTOQUOTO

QUOTO × DIVISOREDIVISORE = DIVIDENDODIVIDENDO

5 × 3 = 15

Divisione in Divisione in NN2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA:2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA:

QUOZIENTE × DIVISOREDIVISORE + RESTORESTO = DIVIDENDODIVIDENDO

4 × 3 + 1 = 13

SEGNO DI OPERAZIONE

13: 3 = 4 e resto 1 QUOZIENTQUOZIENT

EEDIVIDENDODIVIDENDO DIVISOREDIVISORE RESTORESTO

PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVA PER INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE ESATTALA DIVISIONE ESATTA

Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoto rimane invariato:

12 : 6 = 2(12 × 4) : (6 × 4) = 48 : 24 = 2

(12 : 3) : (6 : 3) = 4 : 2 = 2

PROPRIETPROPRIETÀÀ INVARIANTIVA PER INVARIANTIVA PER LA DIVISIONE APPROSSIMATALA DIVISIONE APPROSSIMATA

Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoziente rimane invariato, mentre il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero:

40 : 12 = 3 e resto 4(40 × 3) : (12 × 3) = 120 : 36 = 3 e resto 12 (=4 × 3)

(40 : 2) : (12 : 2) = 20 : 6 = 3 e resto 2 (=4 : 2)

Approfondimento sulla Approfondimento sulla DivisioneDivisionequoto di due numeri uguali:

12 : 12 = 1Se il divisore è uguale a 1 il quoto è uguale al dividendo:

12 : 1 = 12Se il dividendo è uguale a 0 e il divisore è diverso da 0 allora il quoto è uguale 0:

0 : 12 = 0Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è diverso da 0 allora la divisione è impossibile

12 : 0 = impossibileSe il divisore è uguale a 0 e il dividendo è uguale a 0 allora la divisione è indeterminata

0 : 0 = indeterminata