Optimizacija prometnih procesaLokacijsko alokacijski problemi P5

Prof. dr. sc. Tonči Carić

Juraj Fosin, dipl. ing.

Lokacijsko alokacijski problemi

Sadržaj

� Trokut i minimalna udaljenost od vrhova

� "k-means” grupiranje

� algoritam

� uporaba algoritma

� Lokacijsko-skladišni problem

� Lokacijsko alokacijski problemi

� ulazno-izlazni podaci optimizacije

� Multi-source Weber Problem

� Lokacijski problem pokrivanja skupa

� Matematička formulacija

� Pierre de Fermat, � francuski matematičar 17. stoljeća

� Tri su zadane točke u ravnini, pronađi četvrtu tako da je zbroj

njenih udaljenosti do tri točke u ravnini minimalna

� Ovdje se pretpostavlja da su svi kutovi trokuta manji od 120º

� Torricelli (1640)� je talijanski matematičar i fizičar poznat po svom izumu barometru

� Zadan je trokut koji ima vrhove A, B i C,

� trebaju se konstruirati jednakostranični trokuti ACE, ABG i BCF tako

da svaki od njih sadrži jedan brid trokuta ABC

� Točka sjecišta ovih krugova je točka u kojoj je minimalna udaljenost

između točaka A, B i C i zove se Torricelli točka.

3

a) trokut i minimalna udaljenost od vrhova

4

Trokut i minimalna udaljenost od vrhova

� Thomas Simpson (1750)� Moguće je pronaći Torricelli točku konstruiranjem jednakostraničnih

trokuta

� i iscrtavanjem linije od originalnih vrhova kutova do suprotnih vrhova

suprotnih jednakostraničnih trokuta.

� Ove linije se zovu Simpsonove linije u njegovu čast.

� Franz Heinen (1834 )� Polazeći od toga da su Simpsonove linije sve jednake duljine

� Heinen je prvi koji se riješio Fermatovom problemu u cijelosti i

dokazao da je najkraći put između točaka doista minimalno

razapinjuće stablo

5

Trokut i minimalna udaljenost od vrhova

6

Trokut i minimalna udaljenost od vrhova

b) "k-means” grupiranje

� "k-means” algoritam grupira lokacije na način da svaka

grupa ima svoju “sredinu”

� Za n lokacija opisanih vektorima

� (x1, x

2, …, x

n),

� i fiksnih k grupa (k ≤ n)

� S = {S1, S2, …, Sk}

� potrebno je pronaći minimum funkcije sume kvadratnih

odstupanja od sredine grupe

� gdje je µi “sredina” tj. centroid skupa Si, a mjera je Euklidska distanca

7

2

1

minarg ∑ ∑= ∈

−k

i Sxij

Sij

x µ

� korak 1

� k inicijalnih “sredina” se

generira na slučajan

način

� korak 2

� k grupa se stvara

pridjeljivanjem svake

točke “najbližoj” sredini

� korak 3

� centroidi svake grupe

postaju “nove sredine”

� korak 4

� ponavljaju se koraci 2 i 3

sve dok postoji

značajnija promjena u

funkciji cilja

8

korak 1 korak 2

korak 3 korak 4

"k-means” algoritam

"k-means” uporaba algoritma

9

� "k-means” algoritam je heuristički algoritam

� ne postoji garancija konvergencije algoritma globalnom

optimumu

� rezultat algoritma ovisi o inicijalnim slučajno generiranim

„sredinama”

� ovaj algoritam je brz i uobičajeno ga je pokretati više puta s

različitim početnim slučajno generiranim „sredinama”

� za neke skupove točaka moguće je da vrijeme izvođenja

alogritama bude eksponencijalno, ali to nije uobičajeno, dapače

algoritam s najčešće izvodi u polinomijalnom vremenu

� Jedan od čestih problema prometne logistike je

lokacijsko-skladišni problem.

10

c) Lokacijsko-skladišni problem

� Lokacijsko-skladišni problem

može se opisati kao problem

odabira optimalnih lokacija

skladišta u svrhu minimiziranja

transportnih troškova

11

Lokacijsko-skladišni problem

wi

težinski faktor (cijena transporta) za vezu između

čvora aii optimalne točke navedenog problema.

Indeks i predstavlja broj čvora [1, 2, 3...n]

12

Lokacijsko-skladišni problem

(min) f (x )=∑i= 1

n

w i�d (x ,ai)

(min) f (x )=∑i= 1

n

{wi�[∑j= 1

m

(x j− a j( i))2]

12 },

f(x) predstavlja funkciju cilja koja mora dati minimalnu vrijednost

j predstavlja pojedinačnu koordinatu sustava

j = 2 zadane pomoću x i y koordinata

Weiszfeldovom metodom moguće je iterativnim postupkom pronaći x

Lokacijsko alokacijski problemi� a) Trokut i minimalna udaljenost od vrhova

� b)"k-means” grupiranje� algoritam

� uporaba algoritma

� c) Lokacijsko-skladišni problem

Uz razumijevanje a), b) i c) moguće je razriješiti:

� Lokacijsko alokacijski problemi� ulazno-izlazni podaci optimizacije

� Multi-source Weber Problem

� Lokacijski problem pokrivanja skupa� Matematička formulacija

Lokacijsko alokacijski problemi

� Promatrat ćemo lokacijsko alokacijski problem koji

opisuje optimizaciju

� servisiranja ili dostave

� fiksnog broja lokacija

� Produkt optimizacije je

� broj

� lokacija

� veličina

� izvora koji uz najmanji trošak opskrbljuje ili servisira fiksan broja

lokacija koji trebaju spomenute usluge

14

ulazno-izlazni podaci optimizacije

� ULAZNI PODACI:

� lokacija svakog klijenta

� zahtjev svakog klijenta

� cijene transporta za cijelu regiju na kojoj se odvija usluga

� IZLAZNI PODACI OPTIMIZACIJE

� broj izvora iz kojih se izvršava usluga

� lokacije izvora

� kapacitet svakog izvora

� PRIMJERI:

� određivanje lokacija skladišta, distibucijskih centara, tvornica, …

15

Multi-source Weber Problem

� cilj je generirati m novih centara koji poslužuju n klijenata

na način da transportni troškovi budu minimalni

16

X = (x1, x2, …, xm) gdje je

xj (xi1, xi2) vektor lokacija centara i = 1, …, m

ai= (ai1, ai2) poznate lokacije klijenata i = 1, n

W = (wij) gdje je wij težina zahtjeva klijenta i za

posluživanje iz centra j

Euklidska norma

∑∑= =

−n

i

m

jijij

XWaxw

1 1,

min

∑=

=m

jiij ww

1

ni ,...,1= jiwij ,,0 ∀≥

NCRA algoritam

� razlike u odnosu na „k-means” algoritam

� broj grupa nije unaprijed određen

� svaki klijent ima i svoju „težinu” zahtjeva

17

Lokacijski problem pokrivanja skupa

� U slučaju da je posluživanje klijenta ograničeno s

maksimalnom udaljenošću do koje se obavlja usluga javlja

se problem pokrivanja skupa

� Primjeri:

� Vrtić, dom zdravlja, dostava hrane, stanice podzemne željeznice

� Klijenti na udaljenosti većoj do unaprijed određene maksimalne

udaljenosti, “udaljenosti pokrivanja” se ne poslužuju od strane

razmatranog objekta

18

Lokacijski problem pokrivanja skupa

19

Točke koje nisu“pokrivene”

Točke koje su “pokrivene”

“Pokrivanje točaka” moguće je obaviti do udaljenosti pokrivanja Dp

Dp

Matematička formulacija� I skup točaka koje zahtijevaju posluživanje

� i indeks točke koji zahtjeva posluživanje

� J skup točaka kandidata za lociranje objekata

� j indeks kandidata objekta

� dij udaljenost između točke i koja zahtjeva posluživanje i kandidata objekta j

� Dp duljina “pokrivanje točaka”

� Ni={ j | dij≤Dp} skup kandidata objekata koji mogu pokriti točku i

� Problem pokrivanja skupa se definira:

� Traži se minimum funkcije cilja: za

� uz ograničenja:

20

∑∈Jj

jx { }1,0∈jx

∑∈

≥iNj

jx 1 Ii ∈∀

Jj ∈∀

Matematička formulacija

� ciljana funkcija za

predstavlja broj objekata koji želimo svesti na minimum

� ograničenje

predstavlja zahtjev da objekt “pokriva” barem jedan

objekt

varijabla odluke xj govori da li će kandidat

objekt biti prihvaćen u rješenju problema ili ne

21

∑∈Jj

jx { }1,0∈jx Jj ∈∀

∑∈

≥iNj

jx 1 Ii ∈∀

{ }1,0∈jx Jj ∈∀

„Set covering problem”

� Primjer rješenja problema prekrivanja� SKUP koji zahtjeva posluživanje sastoji se od lokacija {A, B,C,D, E, F, G}

� SKUP koji može uslužiti zahtjev nalazi se u {V,W,X,Y,Z}

� Želimo pronaći najmanji broj poslužitelja koji će uslužiti zahtjeve klijenata na način da usluga ne bude udaljena više od 20 minuta hoda

22

Primjer rješenja problema prekrivanja

� Izradit ćemo matricu

prekrivanja

� ako možemo poslužiti

klijente upisat ćemo 1

� ako ne možemo poslužiti

klijente upisat ćemo 0

23

Primjer rješenja problema prekrivanja

� Izradit ćemo matricu

prekrivanja

� ako možemo poslužiti

klijente upisat ćemo 1

� ako ne možemo poslužiti

klijente upisat ćemo 0

24

Primjer rješenja problema prekrivanja� ukoliko postoji bar jedan stupac matrice

prekrivanja čiji su elementi jednak nuli,

tada ne postoji izvedivo rješenje

� potrebno je povećati broj kandidata objekata ili promijeniti Dp duljinu “pokrivanja”

25

Pravila redukcije matrice ZADATAK

26

� ukoliko postoji stupac samo s jednom jedinicom npr.

stupac i*, tada kandidat objekt tj. redak koji u stupcu i*

mora postojati

� taj kandidat se uvrštava u rješenje i matrica se reducira po

stupcu i* i svim onim stupcima koji imaju u retku kandidata

jedinicu

dio rješenja:

F,D i A

će biti

pokriveni s

X

Pravila redukcije matrice ZADATAK� ukoliko postoji redak (redci) i” čiji su

elementi “manji” od nekog drugog retka i’ tj. ako je p(i”,j)< p(i’,j) za svaki j, tada treba reducirati retke ili redak i”

27

redak V prekriva više

„klijenata” u odnosu

na Z, pa redak Z

reduciramo

V

Z

redak Y prekriva više

„klijenata” u odnosu

na W, pa redak W

reduciramo

W

Y

28

Pravila redukcije matrice ZADATAK

neovisno koji redak odaberemo

(V ili Y) stupac B i C će sigurno

biti pokriveni, pa reduciramo te

stupce

dio rješenja:

B i C

će biti

pokriveni s

ili s V ili Y

Rješenje

29

dio rješenja:

F,D i A

će biti

pokriveni s

X

dio rješenja:

B i C

će biti

pokriveni s

ili s V ili Y

X, V i Y

mogu

„pokriti”

sve

zahtjeve

klijenata