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OPTIMIZACIÓN EN INGENIERÍA
Luis Iván Negrín Hernández
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Emilio Carlos Nelly Silva
Escuela Politécnica de la Universidad de São Paulo
Edición: Miriam Artiles Castro
Corrección: Estrella Pardo Rodríguez
Luis Iván Negrín Hernández y Emilio Carlos Nelly Silva, 2018 Editorial Feijóo, 2018
ISBN: 978-959-312-281-8
Editorial Samuel Feijóo, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, Carretera a Camajuaní, km
5 ½, Santa Clara, Villa Clara, Cuba. CP 54830
ÍNDICE
1. Introducción......................................................................................................................... 5
2. Conceptos matemáticos....................................................................................................... 6
2.1. Funciones decrecientes y decrecientes............................................................................. 6
2.2. Concavidad y convexidad................................................................................................. 6
2.3. Extremo relativo................................................................................................................ 7
2.4. Puntos de inflexión............................................................................................................ 8
2.5. Funciones objetivo de una variable................................................................................. 8
Ejemplo..................................................................................................................................... 9
3. Optimización......................................................................................................................... 9
3.1. Componentes de un problema de optimización............................................................. 9
3.1.1. Función objetivo............................................................................................................. 9
3.1.2. Variables......................................................................................................................... 10
3.1.3. Restricciones................................................................................................................... 10
Ejemplo..................................................................................................................................... 10
3.2. Modelos de optimización.................................................................................................. 12
3.3. Métodos de optimización.................................................................................................. 12
3.3.1. Optimización por evolución.......................................................................................... 13
3.3.2. Optimización por intuición........................................................................................... 14
3.3.3. Optimización por tentativa........................................................................................... 15
3.3.4. Técnica gráfica............................................................................................................... 15
3.3.5. Método analítico............................................................................................................. 16
4. Métodos analíticos clásicos en optimización...................................................................... 16
4.1. Optimización usando cálculo diferencial........................................................................ 17
4.2. Método de los multiplicadores de Lagrange................................................................... 20
4.3. Optimización usando cálculo variacional....................................................................... 24
Ejemplo A................................................................................................................................. 28
Ejemplo B................................................................................................................................ 30
Ejemplo C................................................................................................................................ 32
BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 36
1. Introducción
La ingeniería es una profesión en la que se explican principios de la naturaleza para construir
objetos útiles. Un ingeniero mecánico diseña una transmisión por engranajes, una nueva
máquina o un robot. Un ingeniero civil diseña un puente o un edificio. Un ingeniero químico
diseña una torre de destilación o un proceso químico. Un ingeniero electrónico diseña una
computadora o un circuito integrado.
En la actualidad todas las producciones van a un mercado altamente competitivo, por ese
motivo los ingenieros están interesados en que sus diseños no estén en un nivel convencional,
sino que sean los mejores posibles para imponerse en esas condiciones. El proceso para
determinar el mejor diseño se llama optimización. Así se puede desear diseñar el
intercambiador de calor más pequeño para una cantidad de calor determinado, o se puede
desear diseñar el puente más barato posible, o se puede desear maximizar la carga que un
robot puede elevar.
Es común que en la mayoría de los procesos de diseño se encuentre implícita la optimización.
Mediante una combinación de criterios, experiencia, modelación, opinión de otros
especialistas, etc. el ingeniero toma decisiones de diseño las cuales él espera lo guíen al diseño
óptimo. Muchos ingenieros son muy buenos en sus diseños. Sin embargo, si hay muchas
variables a ser tenidas en cuenta, con varios objetivos aparentemente contradictorios y que a
su vez tienen determinadas restricciones, pueden provocar que sea muy difícil de determinar
cuál es el diseño óptimo. En estas condiciones es muy complejo determinar el diseño óptimo
de forma intuitiva [1].
Muchas personas confunden todavía el análisis de un diseño con la optimización. Por ejemplo,
es común encontrar trabajos en congresos en que el título se refiere a optimización de un
elemento o sistema mecánico. Si se lee el trabajo se puede observar que en muchas ocasiones
lo que el autor realmente hace es desarrollar un algoritmo de análisis más o menos sofisticado
para ese problema y a partir de ese algoritmo propone algunas alteraciones a la solución
inicial. Lógicamente el hecho de poseer un algoritmo sofisticado de análisis permite tener un
buen conocimiento del comportamiento del problema, y por tanto ayuda a tomar algunas
decisiones que permiten mejorar el resultado final. Sin embargo, la verdadera optimización
consistiría en realizar una búsqueda sistemática de la solución óptima dentro de varias
configuraciones posibles a través de un algoritmo numérico de optimización, tornando así el
resultado independiente del analista [2].
2. Conceptos matemáticos
Desde el punto de vista matemático la optimización es el proceso de hallar el máximo o
mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos. Por ese motivo es
importante recordar algunos conceptos fundamentales que se utilizarán.
2.1 Funciones crecientes y decrecientes
Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad inmediata del
punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto
que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una función, una primera
derivada positiva en x=a indica que la función es creciente en “a”; una primera derivada
negativa indica que es decreciente.
Fig. 1 Funciones crecientes y decrecientes
2.2 Concavidad y convexidad
Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto [a, f(a)] el
gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es
convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico está complemente arriba de su
línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a denota que la función es convexa en x
= a. Análogamente, una segunda derivada negativa en x = a denota que la función es cóncava
en “a”.
Fig. 2 Funciones cóncavas y convexas
2.3 Extremo relativo
Un extremo relativo es un punto en el cual una función está a un máximo o mínimo. Para ello,
la función debe estar en un punto en el cual no está creciendo ni decreciendo y, por ende, su
primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una función
donde la derivada iguala a cero o es indefinida se llama punto o valor crítico.
Fig. 3 Máximos y mínimos relativos
2.4 Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente y
cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden ocurrir solo donde
la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.
Fig. 4 Puntos de inflexión
2.5 Funciones objetivo de una variable
Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s)
relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, 0dx
dy
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición
es llamada “condición suficiente”. Si un punto crítico es “a”, entonces:
f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
f′′(a) = 0, la verificación es inconclusa y es necesario realizar la verificación de las
«derivadas sucesivas»:
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se
evalúa un punto crítico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la
función es un punto de inflexión.
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es
evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es
un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la
función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la
función es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.
Ejemplo: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
f(x) = -3x2 + 90x - 45
Solución:
Se calcula la primera derivada y se iguala a 0
f′(x)=-6x + 90 = 0 x = 15 (valor crítico)
Se toma la segunda derivada y se evalúa el valor crítico:
f′′(x) = -6, entonces f′′(15) = -6 < 0 es cóncavo, máximo relativo.
3. Optimización
3.1 Componentes de un problema de optimización
En la formulación de un problema de optimización están presentes los siguientes conceptos:
función objetivo, variables y restricciones que serán descritos a continuación [3].
3.1.1 Función objetivo
Es la medida cuantitativa del funcionamiento del sistema que se desea optimizar (maximizar o
minimizar). Como ejemplo de funciones objetivo se pueden mencionar: la minimización de
los costes variables de operación de un sistema eléctrico, la maximización de los beneficios
netos de venta de ciertos productos, la minimización del material utilizado en la fabricación de
un producto, etc.
3.1.2 Variables
Representan las decisiones que se pueden tomar para afectar el valor de la función objetivo.
Desde un punto de vista funcional se pueden clasificar en variables independientes, principales
o de control y variables dependientes, auxiliares o de estado, aunque matemáticamente todas
son iguales. En el caso de un sistema eléctrico serán los valores de producción de los grupos
de generación o los flujos por las líneas. En el caso de la venta, la cantidad de cada producto
fabricado y vendido. En el caso de la fabricación de un producto sus dimensiones físicas.
3.1.3 Restricciones
Representan el conjunto de relaciones (expresadas mediante ecuaciones e inecuaciones) que
ciertas variables están obligadas a satisfacer. Por ejemplo, las potencias máxima y mínima de
operación de un grupo de generación, la capacidad de producción de una fábrica para los
diferentes productos, las dimensiones del material bruto del proceso, etc.
Resolver un problema de optimización consiste en encontrar el valor que deben tomar las
variables para hacer óptima la función objetivo satisfaciendo el conjunto de restricciones [3].
Ejemplo:
Se desea minimizar el área y la tensión tangencial en la sección de la viga que se muestra en la
figura, teniéndose como variables de diseño las dimensiones a y b de la sección.
Las dos funciones objetivo son expresadas por:
hbf
hbAf
2
32
1
Se puede notar inmediatamente que se tiene una solución de compromiso, pues la
minimización de una función implica la maximización de la otra. Para este problema se
pueden analizar diferentes formulaciones.
Primeramente se calculará la solución óptima considerando cada función objetivo de forma
independiente:
06,05min
25,05,0min
*
2
*
2
*
22
*
1
*
1
*
11
fbaf
fbaf
Después se considera una función multiobjetivo del tipo combinación lineal:
hbhbF
2
3
Entonces se obtiene:
225,1225,1225,1min 21
** fyfbaF
El ploteo del área versus la tensión tangencial para las posibles soluciones se muestra en la
figura 5 y es denomina curva de eficiencia del problema.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25 30
Área
Ten
sio
nes t
an
gen
cia
les
Fig. 5 Curva de eficiencia del problema
Así, al determinar las diferentes soluciones estas se encontrarán sobre esa curva, minimizando
más el área o la tensión tangencial. No se puede decir que una solución es mejor que las otras,
todas son correctas, solo cabe al especialista decidir cuál será la mejor para sus condiciones.
Por ejemplo, si se tuviera una restricción extra en el valor del área todas las soluciones con un
área mayor que esta serán incorrectas. En problemas más complejos algunas soluciones de la
curva de eficiencia, aunque matemáticamente correctas, no son de interés desde el punto de
vista de la ingeniería pues no pueden ser implementadas, siendo las respectivas formulaciones
del problema de optimización descartadas.
El concepto de la curva de eficiencia presentado se denomina Óptimo de Pareto. Así, cuando
no se consigue especificar intuitivamente la importancia relativa de las diferentes
formulaciones de optimización se realiza el estudio de las diferentes soluciones del Óptimo de
Pareto.
3.2 Modelos de optimización
De forma general se pueden identificar dos modelos de optimización:
a) Modelo optimizable: es un modelo que permite la determinación directa de la condición
óptima. A través de él se proporciona un conjunto de características de entrada que
después de su procesamiento permite obtener la mejor condición. Por ejemplo, al conducir
un automóvil, el conductor está constantemente corrigiendo la trayectoria del vehículo en
función de las características de la vía, del flujo del tráfico, etc. Los sistemas
homeostáticos (que mantienen algunas de sus variables dentro de límites especificados)
son ejemplos de modelos optimizables. Algunos sistemas homeostáticos son: olla de
presión (cuya presión interna es mantenida dentro de un rango controlada por una válvula),
nevera (un termostato regula la temperatura interna entre un límite máximo y un mínimo).
b) Modelo entrada-salida: En este caso las variables del sistema son sustituidas por valores
numéricos apropiados (entradas) y se determina el valor de una variable que es
dependiente de las demás (salida). Las simulaciones matemáticas son modelos de este tipo,
pues sustituciones e iteraciones son procesadas para tener una salida optimizada.
3.3 Métodos de optimización
Diversas técnicas de optimización son aplicadas, ya sea en el diseño en sí o en su resultado. El
ingeniero, además de conocer y aplicar esas técnicas, tiene que tener un sentido práctico y
considerar las particularidades de cada caso, según su formación teórica.
Un hecho importante a ser tenido en cuenta es que mientras mejores sea los resultados
obtenidos en un proceso de optimización, más difíciles se tornan los perfeccionamientos. Esto
es fácil de ser entendido cuando se hace una analogía con los procesos de medición de
magnitudes físicas. En este caso, cuanto más sofisticados y precisos sean los equipamientos de
medición, más difíciles se tornarán las mejorías de resultados, pues crecen sensiblemente las
necesidades de tiempo y de recursos financieros y técnicos para alcanzarlas.
No hay un método único y directo para encontrar la mejor solución a todos los problemas. El
método a ser usado depende de la naturaleza de las funciones a optimizar, que pueden ser,
entre otras: costo, peso, confiabilidad, productividad, consumo y rendimiento.
La experiencia y la creatividad del ingeniero ayudarán mucho en la tarea de escoger el método
de optimización a emplear en cada caso. En muchas ocasiones se utilizarán dos o más de ellos
simultáneamente.
En términos generales los métodos de optimización son [4]:
- Por evolución
- Por intuición
- Por tentativa
- Gráfico
- Analítico
3.3.1 Optimización por evolución
La optimización por evolución muchas veces está relacionada con la evolución tecnológica.
Ella sucede cuando un sistema ya existente se perfecciona a través de alteraciones y mejorías
en su concepción, proceso de fabricación o hasta en su aspecto estético. Con esto, a lo largo
del tiempo, se tendrá un sistema más eficiente y moderno.
Las mejoras que constantemente ocurren en los procesos de industrialización de alimentos
como consecuencia de nuevos perfeccionamientos tecnológicos se pueden enmarcar en esta
forma de optimización.
Un ejemplo de optimización por evolución bastante característico es el desarrollo que terminó
con la patente obtenida por James Watt en 1769 de la máquina de vapor. Alrededor de 1700
Thomas Savery inventó este equipo, ciertamente basado en otro invento más simple, pues hay
indicios de este en el siglo XVII. Después Thomas Newcomen en sociedad con Savery, en
1705, perfeccionó este invento, y más tarde el escocés James Watt introdujo una serie de
perfeccionamientos y lo patentó.
Otro caso muy representativo de la optimización por evolución es la evolución de los
automóviles de paseo que se puede apreciar en la figura 6.
Fig. 6 El automóvil a través de los tiempos, optimización por evolución
3.3.2 Optimización por intuición
Como ya se vio anteriormente, esta forma de optimización está presente en el día a día de las
personas. Sin embargo, este método también se emplea en la ingeniería. Debe recordarse que
la intuición es parte del trabajo del ingeniero, pues en muchas situaciones él tendrá que decidir
cuáles parámetros emplear, o tendrá que combinar sistemas que cumplen diferentes funciones
para armar su diseño. Y no siempre tendrá otros instrumentos, además de su propio criterio,
para tomar tales decisiones.
El proyecto en ingeniería, como todo proceso creativo, está altamente relacionado con el arte.
En el área técnica el arte está relacionado, por ejemplo, con la habilidad para obtener buenas
soluciones o para modelar sistemas, en forma física o matemática, aun sin que se conozca una
justificación con base científica para explicar el problema.
3.3.3 Optimización por tentativa
El diseño, como ya se ha enfatizado, es un proceso iterativo. Él es iniciado con una definición
preliminar de la solución, que normalmente es pobre, y a través de ajustes y nuevas
definiciones se llega a una solución final mejor que la inicial. Esto es normal en un diseño,
pues usualmente la primera solución no es satisfactoria, siendo necesarias nuevas tentativas
para encontrar una nueva solución.
Por lo tanto la optimización en general, y en particular la optimización por tentativa, es
inherente al proceso de diseño.
Naturalmente que esta forma de optimización no debe confundirse con el método de prueba y
error, donde una combinación aleatoria de variables es hecha para encontrar una solución
mejor.
Todo trabajo debe ser sistemático y basado en hipótesis consistentes, manteniendo siempre
una coherencia en el raciocinio, lo que además es una característica del ingeniero.
3.3.4 Técnica gráfica
La técnica de optimización gráfica consiste, básicamente, en utilizar esquemas o dibujos de un
sistema físico real en la búsqueda de la mejor solución para un problema en análisis.
Este instrumento de optimización, debido a su característica visual y gran facilidad de
modificación, es un excelente auxiliar en la definición de formas, tamaños, proporciones, etc.
Así se puede experimentar, a través de representaciones gráficas, la mejor disposición o el
mejor uso de los espacios.
En la figura 7 se representa un esquema que será utilizado en la optimización de la disposición
de los muebles en una sala de trabajo. El proceso consiste en disponer los muebles en la sala
en un dibujo a escala, de forma que se obtenga la mejor distribución. Así se pueden
experimentar varias configuraciones hasta encontrar la mejor. Como se puede notar, esta
técnica constituye un buen medio para combinar la optimización por intuición o por tentativa.
Fig. 7 Esquema para una optimización gráfica
3.3.5 Método analítico
Es el área más reciente de la optimización, y se basa en el desarrollo matemático.
La teoría matemática de la optimización, desarrollada desde 1950, ha sido gradualmente
aplicada a varias situaciones de la ingeniería. Un hecho que contribuyó a la evolución de estos
procesos de optimización y sus aplicaciones a situaciones prácticas es el actual desarrollo de
las computadoras, con su gran capacidad de almacenar información y de realizar cálculos a
altas velocidades.
Dentro de los tipos de optimización que usa la matemática están: programación lineal y no
lineal, programación dinámica, método variacional, cálculo diferencial, método analítico-
gráfico, teoría de control, etc.
4. Métodos analíticos clásicos en optimización
Entre los métodos analíticos se presentarán el cálculo diferencial y el cálculo variacional que
ayudan en la introducción de los conceptos básicos de optimización [3].
4.1 Optimización usando cálculo diferencial
Se va a considerar inicialmente un problema de optimización sin restricción que consiste
simplemente en hallar el valor mínimo de una función de una única variable. Se sabe del
cálculo diferencial que la condición necesaria para obtener el valor mínimo es:
0dx
df
Sin embargo, esa condición no es suficiente ya que puede ocurrir tanto para un punto de
máximo como de mínimo. La condición suficiente es dada por la segunda derivada:
máximodx
fdymínimo
dx
fd
XX
002
2
2
2
En el caso de una función multivariable f (x1, x2, x3, …, xn) la condición para que x* sea un
“punto estacionario”, o sea, mínimo o máximo es:
0...321 XnXXX
x
f
x
f
x
f
x
f
O sea, que todas las derivadas parciales de la función f en relación con las variables de diseño
sean nulas.
Así como en el caso unidimensional la condición suficiente exige un estudio de las segundas
derivadas. Sin embargo, como se tiene una función multivariable la información de las
segundas derivadas se combina en una única matriz denominada matriz hessiana de la función
f, la cual se presenta a continuación:
2
2
1
2
2
2
2
12
21
2
21
2
2
1
2
nn
n
x
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
H
Ahora la condición suficiente es dada por:
Si H* (evaluada en el punto óptimo) es definida-positiva, el punto x
* es un mínimo;
Si H* (evaluada en el punto óptimo) es definida-negativa, el punto x
* es un máximo;
El concepto de matriz definida-positiva y definida-negativa se presenta a continuación.
Suponiendo la matriz H simétrica, sea Q = xT Hx. H será definida-positiva si
00,0 xQyxQ , y análogamente será definida-negativa si 00,0 xQyxQ .
Mediante la definición anterior se demuestra que otra forma de determinar si la matriz H es
definida-positiva es verificar si det(Hi) > 0 (i = 1, 2, …, n), donde det indica determinante y
las matrices Hi son submatrices definidas como:
O sea, son submatrices cuadradas definidas de forma que engloban los términos de la diagonal
principal de la matriz H a partir del extremo superior izquierdo. Si det (Hi) < 0 y det (Hi) ( i =
1, 2,…, n), alternando los signos entre positivo y negativo, entonces la matriz H es definida-
negativa.
Ejemplo:
Se considerará la minimización del peso (o masa) de la armadura de la figura 8 tal que las
barras presenten tensión mecánica máxima [σ], o sea:
Min Peso h1 y h2
Tal que σi = [σ] , i = 1, 2,…, 5
A ≥ Amin
Fig. 8. Armadura a ser optimizada
Aparentemente el problema presenta restricciones de igualdades. Las restricciones de área
mínima solamente serán consideradas si fuesen violadas.
Solución
Como la estructura es isostática las fuerzas en las barras de la armadura son independientes de
las áreas y pueden ser calculadas por los métodos conocidos.
Las fuerzas son:
Ph
hhF
1
211
262
PFF
073 FF
Ph
LhFF
1
22
2
842
Ph
LhhFF
1
22
21
952
)(
Para que cada barra esté sometida a la tensión [σ] las áreas deben ser:
9,,1, iF
Ai
i
Siendo F3 y F7 = 0, las áreas A3 = A7 = Amin. Como todas las barras son del mismo material, la
minimización de la masa (o peso) es obtenida minimizándose el volumen, que está dado por:
55442211
9
1
222 LALALALALAVi
ii
1
2
1
2
2212
h
L
h
hhh
PV
Lhh
L
h
hP
h
V
3
2012 12
1
2
2
1
2
2
1
Y
Lhh
hP
h
V
3
10
212 2
1
2
2
25421
PAAAA
Obteniéndose los valores óptimos de las áreas.
Después se debe certificar la condición de suficiencia de la solución a través del análisis de la
matriz hessiana.
12
12
11
32
22
22
1
2
1
2
2
1
222
23
1
L
PH
hh
h
h
hLh
hH
Donde H* es evaluada en el punto óptimo. Los valores son iguales a:
L
Py
L
P 33321
Como ambos son positivos, H es positivo-definida, probando la condición de suficiencia de
optimo del resultado.
4.2 Método de los multiplicadores de Lagrange
Se considerará ahora un problema de minimización de una función multivariable con
restricciones de igualdad.
Para una función con dos variables el resultado puede ser obtenido a través del método de
eliminación de variables o sustitución directa, que consiste básicamente en aislar una de las
variables de la ecuación de restricción y sustituir en la función objetivo, reduciéndola a una
función de una variable. Así:
Min f(x1, x2)
tal que h(x1, x2) → x1 = hc(x2) → Min fr (x2) = f[hc (x2), x2]
Para una función con más de tres variables se usa el método de multiplicadores de Lagrange.
Considerando el problema:
Min f(x)
tal que hj (x) = 0, j = 1,…, ne ne < n x = (x1,..., xn)T
donde el número de restricciones de igualdad (ne) debe ser menor que el número de variables
(n) para que exista solución. El valor mínimo de f ocurre cuando:
03
3
2
2
1
1
n
XnXXX
dxx
fdx
x
fdx
x
fdx
x
fdf
Si no hubiese la restricción de igualdad, df = 0 se obtiene cuando todas las derivadas parciales
fuesen nulas, como ya se comentó anteriormente. Pero, eso solamente es verdad porque las
variables x1, x2,…, xn son independientes unas de las otras, lo que no ocurre cuando se tiene
las ecuaciones de restricción. Con las ecuaciones de restricción las variables de proyecto pasan
a depender unas de otras (y por tanto dx1, dx2,…, dxn) y la hipótesis de que las derivadas
parciales de f deben ser nulas para obtener el mínimo de f no es más válida.
Sea una restricción:
00)( 3
3
2
2
1
1
n
XnXXX
dxx
hdx
x
hdx
x
hdx
x
hdhxh
Multiplicando dh por una constante λ (incógnita extra) y sumando a df se tiene:
0
0
2211
2
22
1
11
XnXnXXXX
n
XnXnXXXX
x
h
x
f
x
h
x
f
x
h
x
f
dxx
h
x
fdx
x
h
x
fdx
x
h
x
fdhdf
y: h(x) = 0
Ahora se tiene un sistema de ecuaciones con n + 1 incógnitas (incluyendo λ) y n + 1
ecuaciones (incluyendo h(x) = 0) que puede ser resuelto encontrando x1, x2, x3,…, xn, λ. Por
tanto, el problema de optimización con restricción fue transformado en un problema de
optimización sin restricciones:
Min f + λh
La nueva función f + λh es llamada el lagrangeano (L) donde el problema de optimización, y
la constante λ es denominada multiplicador de Lagrange asociado a la restricción de igualdad.
Considerando ne restricciones de igualdad se tendrá un multiplicador de Lagrange λj asociado
a cada una de ellas, y en ese caso el lagrangeano queda:
en
je
j
j
ijjj
njL
xh
nix
L
hxfxL1 ,,10)(
,,
)(,
Donde, como se muestra, las condiciones de estacionalidad (derivadas nulas en relación con
cada variable en el punto óptimo) ofrecen el sistema de ecuaciones de n + ne incógnitas y n +
ne ecuaciones a ser resueltas. Note que la derivada de L en relación con el multiplicador de
Lagrange λj recupera la ecuación de la restricción de igualdad correspondiente.
Ejemplo
Se considerará nuevamente un problema de minimización de peso de una armadura mostrada
en la figura 9, pero ahora sujeto a una restricción de desplazamiento máximo Δ en el punto B
(WB). Las variables de proyecto son las áreas de las barras y la formulación del problema de
optimización queda:
ii
n
i
LAAVMin1
)(
tal que 01
BW
n
i
i
ii
ii LEA
Ff
Fig. 9 Armadura a ser optimizada
Solución
Debajo se muestra el lagrangeano, las condiciones de estacionalidad son obtenidas y el sistema
resultante es resuelto obteniéndose el valor de las áreas óptimas. El multiplicador de Lagrange
de la restricción y el volumen final óptimo (relacionado con la masa) también son calculados.
n
i
n
i
i
ii
ii
i
ii
iii
in
i
i
ii
iiii
LEA
FfL
LEA
FfL
A
L
LEA
FfLAAL
1
1
2
1 0
0
),(
n
i
n
j
j
j
jj
i
iin
j
j
j
jj
ii
i
ii
i
iii L
E
FfV
E
FfL
E
FfAL
E
Ff
E
FfA
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1111
Restricciones de igualdad
Se va a considerar ahora m restricciones de igualdad, o sea: gj(x) ≤ 0, j = 1,…, m
La solución es obtenida convirtiéndose inicialmente la restricción de inigualdad en una
restricción de igualdad, utilizando una función auxiliar tj(x) a través de la expresión:
mjxtxg jj ,,1,0)()( 2
Así el nuevo lagrangeano queda:
m
j
jjjjj tgftxL1
2,,
donde tj (x) actúan como variables extras. Al escribir las condiciones de estacionalidad en
relación con las variables x, λj, tj, se tiene:
02);,,1(0);,,1(0 2
jj
j
ejj
ji
tt
Lnjtg
Lni
x
L
De la última ecuación se tiene que: 00 jjjj gt una vez que 00 jj gt .
La ecuación λjgj = 0 es denominada “condición de complementariedad”, y expresa que:
)(00
)(00
activaocríticaesnrestricciólagsi
activaocríticaesnonrestricciólagsi
ii
ii
4.3 Optimización usando cálculo variacional
Como ya se ha comentado hay problemas en que la variable es una función que se desea
encontrar como, por ejemplo, la función que representa la distribución continua de área a lo
largo de una viga. La solución de ese tipo de problema, se obtiene mediante cálculo
variacional. No obstante los problemas que puedan ser resueltos sean limitados en relación con
la complejidad, el concepto de cálculo variacional es muy utilizado para dar basamento teórico
a métodos de optimización basados en métodos numéricos. Además de eso, la teoría del
cálculo variacional también es aplicada en otras áreas del conocimiento, como la mecánica
analítica, método de los elementos finitos, etc; de esa forma el objetivo de esta sección es
introducir el concepto de cálculo variacional como se aplica en optimización.
Inicialmente se va a definir un Funcional (J) como:
ba
b
a
ybyyayydx
xdyxydondedxxyxyxFxyJ )(,)(
)())('))('),(,())((
Donde y(a) = ya , y(b) = yb son las llamadas condiciones de contorno cinemáticas del
problema. Por el hecho de ser constantes el problema se presenta con límites fijos.
Muchas leyes de la física son definidas como extremos de un funcional. Así, por ejemplo, el
equilibrio de un sistema ocurre cuando su energía potencial fuera mínima.
El objetivo del cálculo variacional es encontrar una función y(x) apropiada que determine los
extremos (maximice o minimice) del funcional definido encima. A continuación se verá la
solución de ese problema.
Sea la función y*(x) la función que, por ejemplo, minimice el funcional J y satisfaga y
*(a) = ya,
y*(b) = yb. Se puede escribir que:
yxyxxyxy )()()()(
donde ε tiene valor pequeño y: 0)()(0)()( bbyyaay para satisfacer las
condiciones de contorno y(a) = ya, y(b) = yb.
La idea básica del cálculo variacional es que partiendo de una función y(x), se altera la forma
de esa función (pero manteniendo los extremos fijos) a través de la suma de una función
)()( xyóx hasta encontrar la función y*(x) que determine los extremos del funcional. La
figura 10 ilustra la “variación” de la función y(x), la cual puede ser obtenida, por ejemplo,
variándose el escalar ε.
Fig. 10 Variación de la función y(x)
Si se sustituye la función y(x) en el funcional se obtiene:
dxyyxFxyJJ
b
a
'',,)),(()( *
De esa forma el objetivo se traduce en encontrar el valor óptimo de ε que minimice el
funcional. Note que el mínimo ocurre para ε = 0 y la condición necesaria para que el extremo
de J, o el mínimo de J ocurra en ε = 0 es:
b
a
b
a
yydxy
y
Fy
y
Fdx
d
dy
y
F
d
dy
y
F
d
dJJ 0'
'
'
'000
El operador δ es denominado operador variacional, siendo varias de sus propiedades similares
a las del operador diferencial d. Una propiedad importante del operador variacional es que:
'ydx
dy
dx
yd
Así, utilizando esta propiedad e integrando por partes la última ecuación para reducir el
término δy’ para δy:
0''
0
b
a
b
a
YYy
y
Fydx
y
F
dx
d
y
FJ
Donde el término
b
a
yy
F
´es nulo pues δy(b) = δy(a) = 0. Así:
0'
0
ydxy
F
dx
d
y
FJ
b
a
YY
Pero como δy(x) es arbitrario dentro del espacio admisible de funciones, se puede afirmar que
la integral anterior será nula si y solamente si:
0'y
F
dx
d
y
F
La ecuación obtenida es denominada Ecuación de Eules-Lagrange. En general, las ecuaciones
que describen el comportamiento dinámico de sistemas mecánicos son de este tipo, pues se
obtienen de la teoría de mecánica analítica (o vibraciones) siendo derivadas de la
minimización de un funcional, en general la energía potencial total del sistema.
Ella nos permite obtener la función y(x) que determina los extremos del funcional J. Así, en un
problema de optimización en que se desea encontrar la función y(x) que minimiza un
funcional, basta simplemente escribir la ecuación de Eules-Lagrange definida anteriormente
para encontrarla.
En el caso de δy(b) ≠ 0 y δy(a) ≠ 0, entonces se debe tener:
0'
0'
bXaXy
Fy
y
F
Que son llamadas “condiciones de contorno naturales”. Por ejemplo, en el caso de una
estructura mecánica una condición de desplazamiento nulo es una condición de contorno
cinemática, mientras que una condición de fuerza o momento sería una condición de contorno
natural.
Ejemplo A
Se considerará la deducción de la ecuación de equilibrio de la viga mostrada en la figura, que
está sometida a una carga distribuida p(x).
Fig. 11 Viga sometida a una carga distribuida
Solución:
Se sabe que la condición de equilibrio de la viga ocurre cuando su energía potencial es
mínima. El objetivo es encontrar la función de desplazamiento w(x) que minimice la energía
potencial, o sea:
Min П(x)
w(x)
Se trata por lo tanto de un problema de cálculo variacional, donde la energía potencial es dada
por el siguiente funcional:
externoTrabajo
L
elásticaEnergía
L
PotencialEnergía
dxxwxpdxdx
wdxEI
00
2
2
2
)()()(2
2
donde E es el módulo de elasticidad e I el momento de inercia. Para encontrar la función w(x)
que minimice bastaría escribir la ecuación de Euler-Lagrange y resolverla. Para efectos
didácticos se va a repetir el procedimiento de “variacional” y funcional e igualar a cero de
forma de obtener su mínimo. Por tanto:
L LLL
L L
WWwEIwwEIwdxwpdxwEIwdxwpdxwEIw
0 0
00
0 0
0''''''''''''''0
donde fue utilizada la técnica de integración por partes para reducir δw´´ y δw´ para δw.
Considerando las condiciones de contorno cinemáticas y naturales, se tiene:
0wó0'´´
0´0´´,0
EIw
wóEIwLxpara
y siendo δw arbitrario, la integral restante será nula si y solamente si:
)('''' xpEIw
Que es la ecuación de equilibrio de la viga, la cual es la ecuación de Euler-Lagrange asociada
al funcional de la energía potencial. De forma análoga, las ecuaciones diferenciales que
describen el comportamiento dinámico de los sistemas mecánicos son ecuaciones de Euler-
Lagrange asociadas a funcionales relacionados con la energía total del sistema.
Restricciones
Para la inclusión de restricciones en el problema de optimización se usa el concepto antes
presentado de multiplicadores de Lagrange, en este caso extendido para el cálculo variacional.
El caso más simple es una restricción dada por: cdxxyg
b
a
)( , donde c es una constante y g
es una función. Si se desea ahora minimizar ahora el funcional J asociado a esa restricción de
igualdad, se puede a través del concepto de multiplicador de Lagrange, definir un nuevo
funcional denominado funcional lagrangeano, dado por:
b
a
cdxxygJL )(
Donde el multiplicador λ es una constante.
En el caso de una restricción punto a punto (point-wise), o sea:
mix
y
x
yyyxxh
n
p
pni ,,1,0,,,,,,,,1
111
basta extender el concepto del multiplicador de Lagrange localmente para cada restricción, o
sea:
1
)()(i V
iiiii dvhxvhx
donde, en ese caso, el multiplicador de Lagrange para a ser una función de x. Por tanto, siendo
el funcional V
fdvJ , el funcional lagrangeano será definido como:
m
i V V
m
i
iiii dvhxfdvhxJL1 1
)()(
Ejemplo B
Encontrar la distribución de área a lo largo de la viga de la figura para minimizar su volumen,
de forma que el desplazamiento en una posición dada ξ se mantenga igual a Δ.
Fig. 12 Viga sometida a carga distribuida y con restricción de desplazamiento en x = ξ
Solución
Se trata de un problema de optimización con restricción. La restricción de desplazamiento es
una restricción local, que puede ser expresada en forma integral, usando el teorema de
Castigliano, y por tanto puede ser tratada como una restricción integral. Así se tiene:
0)(
)()(
0
wquetal
dxxAVxA
Min L
Por el teorema de Castigliano:
L
dxxEI
xmxMw
0)(
)()()( , donde E es el módulo de elasticidad, I
es el momento de inercia, M(x) es el momento flector a lo largo de la viga y m(x) es el
momento flector debido a la carga auxiliar a lo largo de la viga. Así, usando la teoría
presentada se puede definir el funcional lagrangeano a ser optimizado:
L L
dxxEI
xmxMdxxAALMin
0 0)(
)()()(),(
Sin embargo, se presenta un nuevo problema. Aunque la variable de diseño sea la función área
A(x), el funcional también depende del momento de inercia I(x). Para poder resolver el
problema es necesario definir una relación entre I(x) y A(x), en caso contrario se tendrán dos
funciones a determinar, A(x) e I(x). Esa es una limitación exigida para simplificar el
problema, por el hecho de que se esté trabajando con un método analítico. Así, para
simplificar se puede considerar que la relación entre I(x) y A(x) es del tipo:
3
2
3
2
22
223
12
1
12
13
12)(
122
1212121
)()(
Ab
hbb
In
Ab
hbh
b
hIn
Ah
bhhbh
In
xAxIn
Note que para n = 1, h es mantenido constante y b varía. En el caso de n = 2 la relación h/b es
mantenida constante y en caso n = 3, b es mantenido constante y h varía. En ese ejemplo se va
a considerar n = 1. Así:
0)(
)()(
)(
)()(1
00
2
LL
dxxEI
xmxMAdx
xEA
xmxML
Siendo δA arbitrario entre las funciones admisibles. Como δA y δλ son independientes, para
δL ser nulo es necesario que ambas integrales asociadas a δA y δλ sean nulas. Imponiendo que
la integral asociada a δλ sea nula se recupera la restricción de igualdad. Imponiendo que la
integral asociada a δA sea nula se obtiene la ecuación:
2
1
2
1
2)(0
)(
)()(1
E
MmxA
xEA
xmxM
Para encontrar λ, se sustituye la anterior expresión en la restricción de igualdad:
L
dxE
Mmw
0
2
1
2
11
0)(
Sustituyendo nuevamente en A(x) se obtiene la función óptima A*(x) y también el volumen
óptimo asociado V*(x):
2
0
2
1
2
1
0
2
1
)()(1
)()()()(1
)(
L
L
dmME
V
xmxMdmME
xA
Se considera ahora la presencia de restricciones de inigualdad punto a punto, o sea:
mix
y
x
yyyxxg
n
p
pni ,,1,0,,,,,,,,1
111
Inicialmente se va a transformar la restricción de inigualdad punto a punto en una restricción
de igualdad punto a punto usando la función auxiliar ti:
mixtx
yxg i
n
p
i ,,1,0)(,, 2
De esa forma, la función lagrangeana será dada por:
dvtgfyxLm
i
iii
1
2 )(),,(
Imponiendo la condición de estacionalidad del funcional L se tiene:
n
i
iiiiYYdvttdvydvL
1
02)()(
Dado que δy, δλi y δti son independientes para que la expresión anterior sea cero es necesario
que cada una de las integrales asociadas a esos términos sean nulos. En este caso el interés es
el término δti, y por tanto:
02 dvtt iii
Como δti es arbitrario y admisible la integral anterior será nula si y solamente si:
)00(00 iiiiii gtgt
Que es la condición de complementariedad ya definida.
Ejemplo C
Encontrar la función de área A(x) a lo largo del elemento de una armadura (figura 13) que
minimice la masa de forma que la tensión mecánica a lo largo de ella no supere el valor
permisible [σ]. Además de eso, el valor mínimo que el área puede asumir en cualquier punto
es A0. La armadura posee un peso W en su extremidad cuyo valor es inferior a A0[σ]. La
ecuación de equilibrio del problema es dada por:
WP(L)0A'P
Donde P es la fuerza normal, A el área y ρ la densidad del material.
Fig. 13 Elemento de armadura con peso en su extremo
Solución
Se trata de un problema de optimización con restricción de igualdad punto a punto
representada por la ecuación de equilibrio y una restricción de inigualdad punto a punto
representada por la restricción mecánica y de área mínima a lo largo de la armadura. Así el
problema de optimización puede ser definido como:
WLPAP
AA
xPxA
quetal
VdxxA
L
xAMin
)(0'
0
0)()(
)(
0
0
0
0
)(
La ecuación de equilibrio es considerada en las restricciones para garantizar que sea respetado
el equilibrio para una función dada A(x). La función lagrangeana definida para ese problema y
su correspondiente condición de estabilidad son dadas por:
L L L L
o
dxAPdxAAdxPAdxxAxPxAL0 0 0
30201321 )'()()()(,,),(),(
L L L LL
dxAPdxAPAdxdxPAAdxL0 0 0 0
3
0
3201 )'()'()(
Junto con las condiciones de complementariedad: 0)(
0)(
02
01
AA
PA
δλ1 y δλ2 no fueron representados pues ya fue considerada la teoría para restricciones de
inigualdad deducida anteriormente.
Integrando por partes para convertir δP’ en δP y aislando los términos δA y δP, se obtiene:
01: 3201A (1)
)0)(:(00: 3
'
31 LPpuesP (2)
Aparentemente se tiene más incógnitas que ecuaciones, sin embargo lo que ocurre es que
algunos de esos multiplicadores son nulos. Para identificarlos se debe estudiar el problema con
más detalle.
Analizando el problema se percibe que la función área debe presentar su menor valor en la
extremidad inferior donde el peso soportado es menor. Así si se considera la condición limite
020AA
A lo largo de la barra debido a la condición de complementariedad. Por tanto, sustituyendo λ1
de (2) en (1) se obtiene:
01
0)0(01 1
0
13330
'
3
00
xx
eey
0
)(
0000 )()(0')()(
xx
t
t
eAxAAxAyAAxAxP
para x < xt.
Note que como λ1 no es cero se utilizó la ecuación de complementariedad (Aσ0 – P) = 0
Además de eso el área presenta una disminución exponencial, teniendo el mayor valor en la
extremidad superior. Xt es el largo que marca el punto en que el área alcanza su valor mínimo.
A0 (ver Fig.14). Cuando el área alcanza su valor mínimo permanece en ese valor hasta la
extremidad inferior, así usando la ecuación de equilibrio:
0
000)(
A
WALxAxLWP t
Note que xt puede o no ocurrir dentro del largo L de la armadura en dependencia de σ0 y W.
El resultado obtenido para el problema de optimización se resume debajo y se ilustra en la
figura 14.
T
T
xx
xxparaAxA
xxparaeAxA
T
0
)(
0
)(
)( 0
Fig.14 Resultado de la optimización de la armadura
BIBLIOGRAFÍA
- Parkinson A., R., Balling, J. Hedengren Optimization Methods for Engineering Design.
Brigham Young University, 2013.
- Nelli Silva, E. Optimizaçao aplicada ao projeto de sistemas mecânicos. Departamento de
Engenharia Mecatronica e Sistemas Mecânicos. Escola Politécnica da USP.
- Ramos, A. et al. Modelos matemáticos de optimización. Universidad Pontificia Comillas.
2010. disponible en: http://www.doi.icai.upcomillas.es
- Bazzo W., L. Teixeira Introduçao a Engenharia, Editora da UFSC, Brasil, 2006.
