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CASO PRACTICO: SALAVERY- JUANJUI ALUMNA: INGRID NIEVES MALDONADO MATEMÁTICA I OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Prof.: Percy Angulo Vilca

Optimización de funciones

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aplicado a proyecto salaverry - juanjui

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caso practico: salavery- juanjui

INDICE

ANTECEDENTES (I)2INTRODUCCIN (II)3MARCO TEORICO (III)43.1DERIVADAS43.2TEOREMA DE PITAGORAS.53.3OPTIMIZACIN DE FUNCIONES5PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA (IV)6RESOLUCIN DEL PROBLEMA (V)7

ANTECEDENTES (I)

El siguiente caso prctico es la aplicacin del problema nmero 20; pg. 279 del libro MATEMTICA APLICADA A INGENIERA Y ADMINISTRACIN - 1era. Edicin.Se desea construir una nueva carretera entre los pueblos A y B. el pueblo A est sobre una carretera abandonada que va de este a oeste. El pueblo B est en un punto situado 3 km hacia el norte de otro punto que est sobre la carretera antigua y a 5 km hacia el este del pueblo A. los ingenieros proponen conectar los pueblos reconstruyendo una parte de la antigua carretera desde A hasta un punto P y construyendo carretera nueva desde P hasta B. si el costo de reconstruir carretera antigua es de 200 000 dlares por km y el de construir carretera nueva es de 400 000 dlares por km. Qu longitud de carretera antigua se deber reconstruir a fin de minimizar los costos?

INTRODUCCIN (II)

El Per tiene una geografa difcil, que origina un reto para conectar las tres regiones mediante carreteras, y por tanto constituye una barrera que hay que romper para lograr el desarrollo.El proyecto SALAVERRY-JUANJU, concebido como una gran va de asfalto entre la Costa y la Selva, y como una carretera que comunicar las zonas productivas de los valles y las ciudades intermediarias. Este proyecto tiene como misin consolidad un eje econmico poderoso en la Macroregin Norte del Per, con extraordinarias oportunidades para el desarrollo de actividades como la agroindustria, ganadera, minera y turismo, los cuales generaran empleo y divisas.Cave recalcar que La Libertad y San Martn son las nicas regiones que no pueden comunicarse directamente entre s por va terrestre, y esta falta de integracin impide aprovechar eficientemente las riquezas y los recursos de ambas regiones.

MARCO TEORICO (III)

3.1 DERIVADAS.- El clculo, es posiblemente, el rea de las matemticas de mayor nfasis en las distintas carreras universitarias. Este hecho puede explicarse por su funcionalidad al modelar y optimizar diferentes procesos. Por ejemplo: la velocidad de una partcula con movimiento rectilneo se puede modelar a partir del concepto de derivada como tasa de cambio de desplazamiento con respecto al tiempo y la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, por lo tanto la aceleracin es la derivada segunda del desplazamiento con respecto al tiempo.3.1.1 Definicin.- Sea f : X RR y a un punto de acumulacin de X. Diremos que f es derivable en el punto a cuando existe el lmite:

3.1.2 Definicin.- Cuando la funcin f : I RR posee derivada para cada punto del intervalo I, se considera la funcin derivada f': I RR , que asocia a cada xI la derivada f '(x) . Es decir:

3.1.3 Interpretacin geomtrica de la derivada.- La derivada de una funcin denotada por f'(x) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x,f(x)). Sea el punto P = (x,f(x))

Si incrementamos x a x se tiene el punto Q = (x + x,f(x + x)).Con los puntos P y Q, se puede conocer la pendiente de la recta secante Ls . Es decir:

Si fijamos P y hacemos que x se aproxime a cero, entonces el punto Q se aproxima a P y la recta secante Ls se aproxima a la recta tangente Lt a la curva en el punto P.Tomando el lmite se tiene:

Luego, la pendiente de la recta tangente a la curva es f'(x) .

3.2 TEOREMA DE PITAGORAS.- En un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "tringulo rectngulo" a un tringulo con un ngulo recto).

Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b (b) es igual al cuadrado de c (c):

Por lo tanto:a2 + b2=c23.3 OPTIMIZACIN DE FUNCIONES.- Los problemas de optimizacin se resuelven aplicando derivadas. Se debe seguir los siguientes pasos:

1. Plantear la funcin que hay que maximizar o minimizar.2. Plantear una ecuacin que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya ms de una variable.3. Despejar una variable de la ecuacin y sustituirla en la funcin de modo que nos quede una sola variable.4. Derivar la funcin e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.5. Realizar la 2 derivada para comprobar el resultado obtenido.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA (IV)

Los departamentos de La Libertad y San Martn, son las nicas regiones del Per que an no se han logrado conectar directamente mediante una carretera. El PROYECTO ESPECIAL: SALAVERRY JUANJU PLAN SELVA es un proyecto que por ser altamente econmico y estratgico, requiere una firme decisin poltica que depende totalmente del coste de inversin; el proyecto es cuestin planea la construccin de una carretera que finalmente logre conectar directamente dichas regiones, partiendo desde la localidad de Salaverry (en la libertad) hasta la localidad de Juanju (San Martn).En la siguiente imagen se observa las ubicaciones de la localidad de Salaverry y Juanju, la distancia entre stas y la solucin que los ingenieros del proyecto plantean:

Como se puede observar en la imagen, el pueblo de Salaverry esta sobre un tramo llano que va de este a oeste; mientras que el pueblo de Juanju est situado 300 km hacia el norte de otro punto Q que esta sobre el tramo llano y a 400 km hacia el este del pueblo de Salaverry.Los ingenieros proponen la construccin de una parte de carretera sobre el tramo llano que va desde Salaverry hasta un punto P (la construccin sobre tramo llano demanda menor costo) y luego continuar la obra construyendo el resto de la carretera en lnea recta desde el punto P hasta la ciudad de Juanju (esta construccin demanda una mayor dificultad a causa de la espesa selva a atravesar), terminando as por conectar ambas ciudades. Se sabe que el costo para construir una carretera sobre tramo llano es de 200 000 soles por km, y el costo para construir una carretera que atraviese valles y abundante vegetacin que partira desde el punto P hasta Juanju es de 400 000 soles por km.Para ayudar a minimizar el coste del proyecto y as hacer el proyecto ms viable para su inmediata aprobacin, Qu longitud de carretera sobre tramo llano se debe construir a fin de minimizar los costos?

RESOLUCIN DEL PROBLEMA (V)

1. Tal como se observa en la imagen X es la longitud de carretera sobre tramo llano que se debe construir y representa la variable clave en la resolucin del problema, ya que, como se observa en la imagen, las distancias de P a Q e Y dependen de sta. Entonces aplicamos el teorema de Pitgoras para encontrar la longitud de carretera Y P-Juanju(tramo con abundante vegetacin):

Y2 = (400-X)2 + (300)2Y2 = (400)2-2(400) (X) + (X)2 + 90 000Y2 = 160 000 - 800X + X2 + 90 000Y2 = X2 - 800X + 250 000

Y= 2. Pasamos a construir la funcin de costo total: Costo de carretera sobre tramo llano: 200 000 X Costo de carretera sobre tramo con abundante vegetacin:400 000() Costo total:

Ct(X)= 200 000 X + 400 000()

Restriccin: 0 X 400

3. Luego para hallar el valor de X que minimice el costo del proyecto, procedemos a derivar la funcin Costo Total(Ct):

Antes, acomodamos la funcin Ct(x)=200 000X + 400 000 a la siguiente forma:

Ct(x)= 200 000X + 400 000(X2 800X + 250 000)1/2

Luego procedemos a derivar la funcin costo:

Ct(x)= (200 000X) + (1/2)(400 000)( X2 800X + 250 000)(1/2-1)( X2 800X + 250 000)

Ct(x)=200 000 + 200 000(X2 800X + 250 000)-1/2 (2X-800)

Ct(x)=200 000 +

Luego igualamos Ct(x) a cero:

200 000 + = 0

1 + = 0(X2 - 800X + 250 000)1/2 + 2X - 800 = 02X 800 = -(X2 - 800X + 250 000)1/2(2X-800)2 = [-(X2 - 800X + 250 000)1/2]2(2X)2 - 2(2X)(800) + (800)2 = X2 - 800X + 250 000

4X2 3200X + 640 000 = X2 800X + 250 0004X2 X2 3200X + 800X + 640 000 - 250 000 = 03X2 2400X + 390 000 = 0Resolviendo la ecuacin obtenemos las siguientes races:

X1 = 573.20X2= 226.79 Dado que X1 no cumple con la restriccin 0 X 400, entonces el valor correcto es:X2=226.79 km

Luego comprobamos si los puntos crticos son mximo, mnimos o ninguno de los dos, para esto consideramos puntos muy cercanos al punto crtico, luego reemplazamos en la derivada y anotamos el signo que posee, si la derivada cambia de menos a ms alrededor del punto, el punto crtico genera un mnimo, si el cambio es de ms a menos, el punto crtico genera un mximo:

Ct (225) = -1548.46Ct (227) = 177.39

Finalmente concluimos que el costo mnimo del proyecto SALAVERRY - JUANJU se obtiene cuando el punto P se ubica a 226.79 km al este de Salaverry:

Ct(x)= 200 000X + 400 000(X2 800X + 250 000)1/2

Ct (226.79)= 200 000(226.79) + 400 000[(226.79)2 800(226.79) + 250 000)]1/2

Ct (226.79)=183 922 000 S/.