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Universidad del Bío-Bío
Facultad de Ciencias Empresariales
Departamento de Sistemas de Información
"Optimización de la Producción Para Problemas de
‘Flow-Shop’ Multiobjetivo Mediante la Utilización de
Metaheurísticas"
"Trabajo de Titulación presentado en conformidad a los requisitos
pare obtener el título de Ingeniero Civil en Informática"
Autor: Oscar Abel San Martín Contreras
Profesor Guía: Pedro Rodríguez Montero
ii
Concepción, Enero 06 del 2006.
i
A mis padres, Oscar y Sudamita, y a mi hermana Fabiola les agradezco por
el amor, el apoyo y la confianza, sin ustedes no hubiera logrado nada de lo
que he conseguido.
Gracias, a mis profesores Reinaldo Moraga y Felipe Baesler, quienes me
guiaron, me enseñaron más de lo que les correspondía, y por quienes siento
un gran aprecio.
Gracias a Javier, Fernando, Pamela y Lisset, que día a día me entregan su
amistad, porque soy feliz sabiendo que los tengo.
Muchas Gracias a Margarita, porque estuvo cada vez que la necesité, por
el t iempo compartido, por el cariño sincero, en definitiva, por ser mi
amiga.
Finalmente, Infinitas Gracias a DIOS y a la Vida, por mi familia, por mis
amigos, por todo lo que tengo y por todo lo que Soy.
Oscar Abel San Martín Contreras
ii
Resumen
Este proyecto comienza con una introducción general al tema, siguiendo con la
justificación del tema a desarrollar. Posteriormente en el Capítulo 1 establece toda la base
teórica de la investigación, para en el Capítulo 2 mostrar cada una de las Metaheurísticas
implementadas. En el Capítulo 3 se muestra el análisis para la obtención de los mejores
parámetros para un problema dado en ambas Metaheurísticas y en el Capítulo 4 se indican
los resultados obtenidos al comparar las Metaheurísticas mediante problemas de pruebas.
Las Metaheurísticas ayudan a resolver problemas Multiobjetivo que son muy importantes
en la industria. El presente informe muestra el funcionamiento de las Metaheurísticas, el
por qué nacen y temas relacionados como lo son: tópicos de Problemas Combinatorios,
Optimización, Programación de la Producción, Multiobjetivo, Flow-Shop, Heurísticas,
Metaheurísticas, formas de Medición de objetivos, etc. Posteriormente, se presentarán dos
Metaheurísticas multiobjetivo una relacionada con Algoritmos Genéticos y otra basada en
Simulated Annealing. Finalmente se comparan estas dos Metaheurísticas utilizando para
esto un par de problemas de prueba de tipo Flow-Shop. Antes de realizar la comparación
entre las Metaheurísticas, se presentará un análisis individual de cada una, relacionado con
la combinación de parámetros más adecuada para resolver un problema de pruebas.
iii
Es importante mencionar que estudios como el presente son muy pocos, ya que
comparaciones entre Simulated Annealing y Algoritmos Genéticos para problemas
multiobjetivo, no fueron encontrados en la literatura, y menos aplicados a problemas de
tipo Flow-Shop. Por lo que un estudio que tomara estas Metaheurísticas y las comparara
resultaba muy atractivo.
A muchas empresas que necesitan optimizar sus procesos de producción, les interesa un
buen método para realizar esta tarea, ya que un método exacto no es capaz de entregar una
buena solución en un tiempo razonable, dado que la cantidad de soluciones para problemas
reales llega a ser de números estratosféricos.
Las Metaheurísticas nacen para entregar soluciones buenas en un tiempo razonable, pero de
una forma más “inteligente” que las heurísticas. Por esto es que se analizan dos tipos de
Metaheurísticas que han sido ampliamente estudiadas en el ámbito de un solo objetivo, pero
como la mayoría de las decisiones se toman considerando más de un aspecto, estas
Metaheurísticas son implementadas, y comparadas, para la resolución de problemas
MultiObjetivo.
iv
ÍNDICE
ÍNDICE.................................................................................................................................. iv
NOMENCLATURA.............................................................................................................vii
INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 1
JUSTIFICACIÓN................................................................................................................... 3
Capítulo 1. TEMAS RELACIONADOS................................................................................ 5
1.1 Optimización ................................................................................................................ 5
1.2 Heurísticas .................................................................................................................. 11
1.2.1 Heurísticas de Construcción ................................................................................ 11
1.2.2 Heurísticas de Búsqueda Local............................................................................ 12
1.3 Metaheurísticas........................................................................................................... 14
1.3.1 Algoritmos Genéticos .......................................................................................... 16
1.3.2 Simulated Annealing ........................................................................................... 16
1.3.3 Tabú Search ......................................................................................................... 17
1.3.4 Meta-Raps............................................................................................................ 18
1.4 Multiobjetivo .............................................................................................................. 19
1.4.1 Cmax (Makespan) ............................................................................................... 20
1.4.2 Tardanza Total..................................................................................................... 22
1.4.3 Retardo Máximo.................................................................................................. 26
1.5 Flow-Shop .................................................................................................................. 27
1.6 Programación de la Producción.................................................................................. 30
1.6.1Aspectos importantes............................................................................................ 30
1.6.1.1 Trabajo.......................................................................................................... 31
1.6.1.2 Máquinas ...................................................................................................... 32
1.6.1.2.1 Una sola máquina .................................................................................. 32
1.6.1.2.2 Máquinas paralelas ................................................................................ 32
1.6.1.2.3 Talleres de producción continua............................................................ 33
v
1.6.1.2.4 Producción intermitente......................................................................... 33
1.6.1.2.5 Plantas abiertas ...................................................................................... 35
1.6.1.3 Medición....................................................................................................... 35
1.6.2 Supuestos ............................................................................................................. 37
Capítulo 2. METAHEURÍSTICAS PARA PROGRAMACIÓN DE PRODUCCIÓN EN
PROBLEMAS DE TIPO FLOW-SHOP MULTIOBJETIVO ............................................. 38
2.1 Algoritmos Genéticos................................................................................................. 39
2.1.1 Características principales ................................................................................... 39
2.1.2 Algoritmo Genético Simple................................................................................. 40
2.1.3 Algunos Algoritmos Genéticos Multiobjetivo .................................................... 42
2.1.3.1 MultiObjective Genetic Algorithm (MOGA)............................................... 43
2.1.3.2 Multiobjetive Optimization using Non-Dominated Sorting in Genetic
Algorithms (NSGA) ................................................................................................. 44
2.1.4 Algoritmo Genético Multiobjetivo a Implementar.............................................. 45
2.1.4.1 Representación ............................................................................................. 45
2.1.4.2 Población Inicial ........................................................................................... 46
2.1.4.3 Selección....................................................................................................... 47
2.1.4.4 Cruzamiento ................................................................................................. 49
2.1.4.5 Mutación....................................................................................................... 50
2.1.4.6 Fitness (función de aptitud) .......................................................................... 51
2.1.4.6.1 Cálculo Fitness Inicial ........................................................................... 52
2.1.4.6.2 Cálculo Fitness Final ............................................................................. 55
2.2 Simulated Annealing .................................................................................................. 61
2.2.1 MOSARTS .......................................................................................................... 62
2.2.2 Obtención del Objetivo Referente ....................................................................... 64
2.2.3 Algoritmo MOSARTS, MultiObjective Simulated Annealing with Random
Trajectory Search. (Baesler, et al., 2005). .................................................................... 68
Capítulo 3. COMPARACION INDIVIDUAL DE AMBAS METAHEURISTICAS ........ 69
3.1 Parámetros para Algoritmo Genético ......................................................................... 72
3.2 Parámetros para Simulated Annealing (MOSARTS)................................................. 76
vi
3.2.1 Comparación de MOSARTS versus Simulated Annealing Simple..................... 81
Capítulo 4. COMPARACION ENTRE MOSARTS (SIMULATED ANNEALING) Y UN
ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETICO................................................................. 83
4.1 Comparación para Problema Grande.......................................................................... 83
4.2 Comparación para Problema Pequeño........................................................................ 85
4.3 Comentarios de la Comparación................................................................................. 86
Capítulo 5. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS ........................................................... 89
Capítulo 6. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 93
vii
NOMENCLATURA
• FIFO : First In First Out
• SPT : Short Process Time
• LPT : Long Process Time
• Ci : Tiempo de terminación de un trabajo
• Cmax : Tiempo de terminación del último trabajo en el sistema
• Tmax : Tardanza Total
• Lmax : Retardo máximo
• u/t : unidades de tiempo
• SA : Simulated Annealing
• AG : Algoritmo(s) Genético(s)
• VEGA : Vector Evaluated Genetic Algorithm
• MOGA : MultiObjective Genetic Algorithm
• NSGA : Multiobjetive Optimization using Non-Dominated Sorting in Genetic
Algorithms
• NPGA : Niched Pareto Genetic Algorithm
• MOSARTS: MultiObjective Simulated Annealing with Random Trajectory Search
• OR : Objetivo Referente
• FS : Función de Selección
• PS : Probabilidad de Selección
• FAP : Función de Selección Particular
1
INTRODUCCIÓN
Las Metaheurísticas son un medio eficiente para resolver problemas reales en un tiempo
aceptable. Al enfrentarse a un proceso de optimización, donde dadas ciertas condiciones y
limitaciones se trata de elegir de entre una serie de alternativas, la que nos entregue, en la
medida de lo posible, el mayor beneficio que se pueda obtener, pero el gasto de recursos en
determinar cual es la mejor opción, puede ser muy alto.
Dado esto, las técnicas, procedimientos y/o algoritmos que ayudan a resolver un problema
de optimización merecen un profundo análisis. Casi todo problema se enmarca en una
estructura común, como lo menciona B. Philippi (1988), “Por una parte deben existir
opciones o cursos de acción entre los cuales se debe poder escoger. Si la opción es única,
ciertamente el problema es muy simple”, otro punto es “que este proceso requiere el poder
comparar las ventajas y desventajas de los cursos de acción posibles”. Al saber qué es lo
que se quiere lograr, se puede tener claro los criterios de evaluación de las alternativas, y de
esta forma tomar una decisión.
Así, es imprescindible para una industria el contar con herramientas que le ayuden en este
proceso. Esto es porque habitualmente las alternativas posibles llegan a ser casi infinitas,
los criterios de evaluación pueden ser numerosos, las limitaciones variadas, etc.
2
La evaluación de alternativas que ayuden a industrias que procesen trabajos en máquinas
secuenciales (o cualquier organización que tenga procesos que se asimilen a procesamiento
lineal de trabajos), lo que se llamará procesamiento de tipo Flow-Shop, es un objetivo que
se persigue, para lograr optimizar sus procesos de programación de tareas, y así lograr un
mejor uso de sus recursos materiales y lograr eficiencia en la producción.
Al comparar dos alternativas para la resolución de este tipo de problemas lo que se busca es
poder responder preguntas como ¿Cuál de las dos Metaheurísticas tiene un mejor
comportamiento?, ¿Cuál necesita mejoras para poder competir con la otras?, ¿Cuál es más
eficiente?, ¿Cuál es más eficaz?, entre otras.
También, el poder determinar formas en las cuales mejorar una, o ambas Metaheurísticas
de ser posible, es algo que se espera obtener. Además de entregar observaciones que
permitan trabajos futuros.
3
JUSTIFICACIÓN
En una industria, y en otras actividades, donde se ejecutan procesos en una forma
secuencial (Flow-Shop), es decir, se forma una cola en una línea de producción y estos
trabajos deben pasar por distintas máquinas en un mismo orden, se debe optimizar ciertos
objetivos, como son el tiempo total de procesos o lo relativo al momento de entrega de un
trabajo, entre otros.
Si se combinan estos objetivos en un solo problema, se tiene un problema de Flow-Shop
Multiobjetivo. En la práctica los problemas Multiobjetivo son los más comunes, dado que
las decisiones, generalmente, se toman considerando más de un aspecto.
Por esto es interesante estudiar cómo las Metaheurísticas nos ayudan en la solución de este
tipo de problemas. Esto debido a que los algoritmos de métodos exactos existentes para
encontrar soluciones óptimas, tienen un tiempo de proceso exponencial, porque buscan en
todo el espacio de soluciones y esto es ineficiente, y en algunos casos se vuelve imposible.
Por otra parte las heurísticas no dan una certeza absoluta de qué tan buena es una solución
encontrada, pudiendo ésta ser, o no, mejorada.
4
Los problemas de tipo Flow-shop Multiobjetivo no han sido muy estudiados, son pocas las
publicaciones relacionadas con este tema específico, por lo que se hará una recopilación
bibliográfica tomando investigaciones similares aunque sólo consideren los temas
involucrados individualmente.
El motivo por el cual se implementarán y comparan una Metaheurística basada en
Simulated Annealing y otra en Algoritmos Genéticos, es porque:
Primero, prácticamente no hay publicaciones en las que Simulated Annealing resuelva este
tipo de problemas, y dado que para problemas con un solo objetivo se ha demostrado que es
una muy buena Metaheurística, vale la pena investigar su comportamiento en problemas
con más de un objetivo.
Segundo, los Algoritmos Genéticos han sido ampliamente investigados y son una muy
buena alternativa para solucionar problemas multiobjetivo y existen muchas publicaciones
al respecto.
Tercero, es interesante la comparación entre estas dos muy distintas Alternativas de
solución para problemas multiobjetivo.
5
Capítulo 1. TEMAS RELACIONADOS
1.1 Optimización
Al tener una serie de alternativas entre las cuales poder elegir, lo natural e intuitivo es
querer elegir la mejor de ellas. El proceso de determinar cuál de éstas es la mejor,
considerando los criterios que se han establecido, el objetivo que se quiere lograr, las
ventajas y desventajas de cada opción, y todas las variables que puedan influir en la
decisión, se denomina optimización.
En general un problema de optimización se define como:
Optimizar f(X)
Sujeto a
gi(X) { ≤, = , ≥ } bi; i=1,…,m;
“Donde X es el vector de variables de decisión con n elementos {x1, x2,…, xn}; y las
funciones f(X) y gi(X) son funciones generales.
6
Cuando todos los elementos en el Vector X toman valores discretos, se conoce como un
problema de optimización combinatorio” (Moraga, 2002).
Así, por ejemplo, una persona tiene cierta cantidad de dinero, y está pensando en gastarlo
en varios productos, pero la suma de los precios de estos artículos es mayor que la cantidad
que posee, el modelo sería como sigue:
Maximizar el beneficio que le ofrecen los productos
Sujeto a
Precio producto1 + Precio producto2 +… + Precio producto n ≤ $ disponible
Con
Precio producto 1 = cant. 1
Precio producto 2 = cant. 2
---
Precio producto n = cant. n
En este sencillo ejemplo se pueden identificar las partes de la formulación de un modelo del
problema. La decisión que tome esta persona dependerá de los criterios que haya definido
para elegir, por ejemplo, si piensa que ciertos productos le son más necesarios, se decidirá
por estos, siempre que la suma de los precios no sea mayor a lo que dispone. Pero si piensa
7
que un producto que no necesita tanto, pero está muy barato y es una gran oportunidad el
adquirirlo, entonces si vale menos de lo que posee, se podría decidir por él.
Pero esta es una decisión muy simple. En la industria, las decisiones son muy complejas
(Moraga, 2002), en seguida se presenta un ejemplo:
En un sistema existen n tareas que deben ser procesadas, la idea es hacer la combinación
para que el tiempo total de procesamiento de estas tareas sea el mínimo.
Se asume que las n tareas están ya en el sistema para comenzar a ser procesadas en el
tiempo R. Supongamos que se tienen 5 tareas, con sus respectivos tiempos de proceso.
Tarea 1 180
Tarea 2 40
Tarea 3 200
Tarea 4 500
Tarea 5 250
Tarea 6 150
8
a) Aplicando la regla FIFO, se obtendría lo siguiente:
Solución
Tarea 1 - Tarea 2 - Tarea 3 - Tarea 4 - Tarea 5 - Tarea 6
Con un tiempo total de: 180 + 220 + 420 + 920 + 1170 + 1320 = 4230
b) Aplicando la regla SPT (tiempo de proceso más corto) se obtendría lo siguiente:
Solución:
Tarea 2 - Tarea 6 - Tarea 1 - Tarea 3 - Tarea 5 – Tarea 4
Con un tiempo total de: 40 + 190 + 370 + 570 + 820 + 1320 = 3310
Aquí podemos ver que usando la regla SPT se logra una mejor solución que utilizando la
regla FIFO.
Pero el total de combinaciones que se puede conseguir en este problema está dado por
factorial del número de trabajos, eso sería 6! = 720 combinaciones posibles. Lo que
9
muestra que analizar todas las posibles secuencias de trabajos puede resultar un trabajo
arduo, y a veces imposible.
A continuación se presenta una tabla donde se muestren las combinaciones posibles para el
número de trabajos que se indica:
Tabla 1.1: Número de soluciones posibles para el número de trabajos dado.
Nro. Tareas Nro. De combinaciones Posibles 6 720
7 5.040
8 40.320
… ….
20 2.432.902.008.176.640.000
21 51.090.942.171.709.400.000
22 1.124.000.727.777.610.000.000
23 25.852.016.738.885.000.000.000
24 620.448.401.733.239.000.000.000
25 15.511.210.043.331.000.000.000.000
… ….
30 265.252.859.812.191.000.000.000.000.000.000
31 8.222.838.654.177.920.000.000.000.000.000.000
32 263.130.836.933.694.000.000.000.000.000.000.000
10
Por lo que se puede ver, aún con el computador más potente, resulta imposible poder
esperar el proceso para la tomar la decisión de cual es la mejor solución, ya que, por
ejemplo, para computar todas las posibles soluciones para 32 tareas, esto es 32! = 1.6*1035,
suponiendo que “una computadora puede examinar mil millones de secuencias por
segundo, ¡tomaría 8.4 * 1015 siglos!” (Sipper y Bulfin, 1998). Para 16 tareas se calcula
aproximadamente en 8 meses el procesamiento de las combinaciones posibles para
determinar cuál será la óptima (Sipper y Bulfin, 1998).
Como en la industria muy pocos sistemas de planificación consideran tan pocos trabajos, y
no se puede disponer del tiempo para esperar los resultados de algoritmos exactos, dado la
limitada capacidad de proceso de los computadores, se hace necesario elaborar nuevos
procedimientos que permitan realizar este procesamiento en un tiempo aceptable, así nacen
las heurísticas.
11
1.2 Heurísticas
Una Heurística es una técnica que busca soluciones (ojalá cercanas al óptimo) a un costo
computacional razonable, pero no garantiza que la solución encontrada en realidad está
cerca del óptimo, ni da indicios de qué tan buena es. Es importante mencionar que una
heurística no considera todas las combinaciones posibles para determinado problema, sólo
unas pocos.
En general una heurística puede ser clasificada como Heurística de Construcción o
Heurística de Búsqueda local.
1.2.1 Heurísticas de Construcción
Lleva a cabo una secuencia estructurada de iteraciones, en la que se toman en cuenta todos
los aspectos que se considerarán para la toma de la decisión y se termina con una solución
factible. Se tiene una función que evalúa la calidad de la solución.
Una heurística de construcción, o regla, es un procedimiento que sistemáticamente asigna
valores a cada xi (i=1,…, n) en un número finito de pasos.
12
Algunas heurísticas de construcción son:
• FIFO (primero en llegar, primero en salir)
• SPT (Tiempo de proceso más pequeño)
• LPT (Tiempo de proceso más grande)
1.2.2 Heurísticas de Búsqueda Local
Para definir qué es búsqueda local, se requiere especificar un vecindario local. La
búsqueda se realiza desde una solución inicial que se modifica a través de operadores.
Dada una solución X, los elementos del vecindario de X son aquellas soluciones X’ que
pueden ser obtenidas aplicando sobre X una modificación elementaría conocida como
“movida”, y no se suele guardar historia del camino recorrido. Una movida, por ejemplo,
puede ser el “intercambio” o la “inserción”.
Supongamos que tenemos la siguiente secuencia de tareas:
X = Tarea 1 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 5
13
Un intercambio se refiere a tomar dos tareas de esta secuencia y poner una en la posición de
la otra y viceversa. Así, por ejemplo, las siguientes secuencias serían vecinos de X:
X’ = Tarea 2 – Tarea 1 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 5
X’ = Tarea 1 – Tarea 3 – Tarea 2 – Tarea 4 – Tarea 5
X’ = Tarea 4 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 1 – Tarea 5
Etc.
Una inserción constaría de tomar una tarea de la secuencia y ponerla en cualquier otra
posición de la lista. Por ejemplo:
X’ = Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 1 – Tarea 5
X‘= Tarea 1 – Tarea 5 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4
X’ = Tarea 5 – Tarea 1 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4
Etc.
Pero desafortunadamente, los problemas a los cuales se enfrentan las industrias en sus
líneas de producción requieren de sistemas que entreguen soluciones mucho más cercanas
al óptimo que las que puede elaborar una heurística común. Así entonces, es necesario
considerar el uso de Metaheurísticas para la programación de la producción.
14
1.3 Metaheurísticas
En esta sección se interiorizará un poco en lo referente a las Metaheurísticas, pero no se
especificará ninguna, ya que existirá un capítulo completo dedicado al análisis de
Metaheurísticas.
“Una Metaheurística es un técnica de resolución iterativa que guía a una heurística
subordinada combinando de forma inteligente diferentes técnicas de exploración del
espacio de búsqueda; y utilizando estrategias de aprendizaje para estructurar la información
con objeto de encontrar de forma eficiente soluciones cercanas al óptimo” (Osman y
Laporte, 1996).
Las Metaheurísticas tienen que tener como un objetivo el escapar a óptimos locales que
pueda encontrar, con el fin de recorrer de forma basta todo el espacio de soluciones.
Una Metaheurística puede presentarse como:
Meta heurística = Construcción + Búsqueda Local + Estrategias y
mecanismos para evitar óptimos locales.
15
Una Metaheurística puede usar cualquier heurística o algoritmo subordinado que entregue
una solución inicial y factible para la etapa de construcción.
La búsqueda local puede utilizar una heurística de búsqueda local, esto es mediante
inserción, intercambio u otra, para definir la vecindad de la solución inicial. Y así evaluar
el primer vecino que se encuentre, el primero que mejore la solución, un vecino aleatorio,
etc.
Como estrategias para evitar óptimos locales se pueden mencionar las siguientes:
Permitir movimientos de empeoramiento de la solución actual.
Modificar la estructura de entornos.
Volver a comenzar la búsqueda desde otra solución inicial.
Diversificación, (alejarse del punto actual).
16
Algunas Metaheurísticas bien conocidas son:
1.3.1 Algoritmos Genéticos
Esta Metaheurística tiene su base, y nace, sobre la teoría de la evolución de las especies. La
idea es que en una población de individuos (soluciones iniciales), ésta es sometida a
acciones aleatorias, con las que se generan nuevos individuos (soluciones evolucionadas)
de los cuales se seleccionan los más aptos para que sigan evolucionando.
Construcción Generación Aleatoria
+
Búsqueda Local Cruzamiento & Mutación
1.3.2 Simulated Annealing
El nombre de esta Metaheurística nace del proceso de templado (annealing) de los metales.
Donde se calienta un metal y luego controladamente se va enfriando, si este proceso se
realiza rápidamente, el metal puede presentar imperfecciones, si se hace gradualmente las
propiedades de este metal serán mejores.
17
Esta Metaheurística utiliza un parámetro que va disminuyendo en cierta cantidad, según el
cual se realiza una búsqueda local, eligiendo un vecino cada vez que disminuye este
parámetro, mientras menor sea el valor de éste menos posibilidades de elegir un mal vecino
existen, el proceso se realiza hasta que este parámetro llegue a cero.
Construcción Generación Aleatoria
+
Búsqueda Local Probabilidad de aceptar malas soluciones.
1.3.3 Tabú Search
La idea básica del método, es la de explorar el espacio de búsqueda de todas las soluciones
factibles por una secuencia de movimientos. Un movimiento de una solución a otra es el
mejor disponible, es decir, de todas las soluciones a las que se puede pasar se escoge la que
mejore más el o los objetivos deseados. Sin embargo, para escapar de un óptimo local y
para prevenir los ciclos, algunos movimientos, en una iteración en particular, son
clasificados como prohibidos o tabú. Los movimientos en tabú están basados en la historia
de la secuencia de movimientos a corto y largo término. Una implementación simple, por
ejemplo, puede clasificar un movimiento como tabú si el movimiento contrario ha sido
hecho recientemente o frecuentemente. Algunas veces, cuando es favorable, un movimiento
tabú puede ser realizado a pesar de todo.
18
Construcción Generación Aleatoria
+
Búsqueda Local Lista Tabú LTM, Criterio de aspiración
1.3.4 Meta-Raps
Meta-RaPS es una Metaheurística que realiza un proceso de búsqueda de soluciones un
número determinado de veces, en cada iteración construye una solución factible, a través de
la utilización de reglas de prioridad usadas en forma aleatoria y luego utiliza búsqueda local
y un proceso de mejoramiento. Cada vez que realiza el proceso mantiene la mejor solución
encontrada hasta ese momento.
Construcción Generación Aleatoria
+
Búsqueda Local Combinación aleatoria de reglas.
19
1.4 Multiobjetivo
En la sección de optimización, se explicó de manera simple en que consistía encontrar “la
mejor” solución para un problema. Para un mejor entendimiento sólo se mencionó que
existía un Objetivo, que estaba en función de ciertas variables, cada una con una
ponderación, en base a la cual se tomaba una decisión, dependiendo de cual combinación
de variables optimizaba este objetivo, es decir, lo maximizaba o minimizaba según el caso,
y que esta combinación fuera factible de elaborar, o sea, que cumpla con las restricciones
del problema.
Pero en muchos casos un problema puede tener varias Funciones Objetivo, como por
ejemplo, se podría querer maximizar la utilidad, o minimizar los tiempos totales de proceso,
minimizar los retardos en las entregas, maximizar la calidad total, etc.
En estos casos, entonces, a parte de todas las variables que intervienen en la toma de
decisiones, también se hace preciso considerar que se logren todos los objetivos
presentados para ese problema.
En este estudio se analizan sólo Funciones Objetivo que se requiere sean minimizadas, ya
que para procesos industriales, en lo referente a programación de la producción
20
generalmente, se desean minimizar Objetivos como los que se mencionan a continuación
(Pinedo, 1995):
Cmax (Makespan)
Tardanza Total o Tardiness (Tmax)
Máximo Retraso(Lmax)
1.4.1 Cmax (Makespan)
Se representa como Cmax, se define como el máximo entre un conjunto de valores, máx.
(C1,…, Cn), donde Ci es el tiempo de término de procesar el trabajo i. Cmax se entiende
como el tiempo del último trabajo en salir del sistema.
Supongamos un proceso donde se tiene tres trabajos para ser procesados en una máquina,
con los tiempos de procesamiento que se indican:
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
acumulado Ci
1 12 12 12
2 10 22 34
3 5 27 49
21
Supongamos que los trabajos están listos en el sistema para empezar a ser procesados, y
que el pasar de un trabajo a otro no tiene un tiempo significativo. Entonces, cuando el
trabajo 1 es procesado han pasado 12 unidades de tiempo (u/t), luego al procesar el trabajo
2, este permaneció 12 u/t en el sistema más las 10 u/t que requiere para ser procesado, por
lo que su tiempo total de permanencia en el sistema es de 22 u/t, con lo que la suma del
trabajo 1 más el trabajo 2 es de 34 u/t. Para el trabajo tres se hace el mismo cálculo, con lo
que el tiempo de permanencia en el sistema es de 27 u/t., y al calcular el Cmax este da un
total de 49 u/t.
Si se busca una mejor programación de estos trabajos, se podría llegar a lo siguiente, donde
se aprecia que el Cmax es menor:
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
acumulado Ci
2 10 10 10
3 5 15 25
1 12 27 42
22
1.4.2 Tardanza Total
Se representa por T. Indica la suma de las tardanzas que podrían tener los trabajos que
deben realizarse. Para entenderlo se tomará el ejemplo anterior y se le agregará los tiempos
de entrega de los trabajos.
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
Entrega
Tiempo
acumulado Ci Ti
1 12 17 12 12 -5
2 10 -2 22 34 36
3 5 6 27 49 43
79
La idea siempre es que los trabajos se terminen a tiempo, por lo que se hace imperioso tener
un buen programa que permita que esto se cumpla.
La tardanza se expresa de la siguiente forma:
T = ∑ max ( 0 , Ci – Ti )
23
Donde Ci indica el tiempo de salida del trabajo i del sistema, y Ti indica en tiempo de
entrega de ese trabajo, por lo que el cálculo sería el siguiente:
T = max ( 0 , 12 – 17 ) + max ( 0 , 34 – (-2) ) + max ( 0 , 49 – 6 )
T = 79
Para el otro programa se tendría lo siguiente:
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
Entrega Tiempo acumulado Ci Ti
2 10 -2 10 10 12
3 5 6 15 25 19
1 12 17 27 42 25
56
T = max ( 0 , 10 – (-2) ) + max ( 0 , 25 – 6 ) + max ( 0 , 42 – 17 )
T = 56
Con estos dos ejemplos se puede ver claramente que el segundo programa de producción es
mejor que el primero, porque para ambos objetivos este programa es mejor, pero hasta el
momento nada nos indica si se ha llegado al mejor ya que pueden existir mejores
programas.
24
Pero puede darse el caso de encontrar una solución que sólo sea mejor en uno de los
objetivos. En ese caso no se puede decir cuál de las soluciones es mejor que la otra, y eso
se llamará solución no dominadas.
Un problema multiobjetivo, suele tener una función objetivo de la siguiente forma:
Max o Min Z = f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x)),
Donde cada fi(x) representa un objetivo, diremos entonces que una solución domina a otra
sí:
Es mejor en todos los objetivos.
Es mejor en al menos un objetivo e igual en los demás.
De esto nace lo que se denomina Curva de Pareto, generada de las soluciones no
dominadas al graficarlas.
25
A continuación se muestra un gráfico de la Curva de Pareto para un problema con objetivos
de Cmax (makespan) y Tardanza Total (tardiness).
Curva de Pareto
0
50
100
150
0 50 100
Makespan
Tard
ines
s
Gráfico 1.1. Curva de pareto para objetivos de Cmax y Tardiness.
Las siete soluciones unidas por una línea dominan a todas las demás, pero ninguna de ellas
puede ser considerada mejor que cualquier otra que se encuentre en la curva.
26
1.4.3 Retardo Máximo
Se define como la sumatoria de las diferencias entre el tiempo de término de un trabajo y su
fecha de entrega. Por lo tanto, en el ejemplo que se ha usado, se tiene lo siguiente:
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
Entrega (di)
Tiempo
acumulado Ci Ti
Li
Ci - di
1 12 17 12 12 -5 -5
2 10 -2 22 34 36 36
3 5 6 27 49 43 43
79
T = max {12 – 17, 34 – (-2), 43 – 6}
T = 43
Y para el otro programa se tiene:
Trabajo
Tiempo
proceso
Tiempo
Entrega (di)
Tiempo
acumulado Ci Ti
Li
Ci - di
2 10 -2 10 10 12 12
3 5 6 15 25 19 19
1 12 17 27 42 25 25
56
Lmax = max {10 – (-2), 25 – 6, 42 – 17}
27
Lmax = 25
1.5 Flow-Shop
Un aspecto importante dentro de la investigación, es el que tiene que ver con la
programación de la producción para problemas de tipo Flow-Shop.
Generalmente los objetivos que se busca minimizar en estos problemas son el makespan y
la tardanza total.
Un problema de tipo Flow-Shop es básicamente uno en el cual se presentan n trabajos T1,
T2,…, Tn. Cada trabajo consta de cierto número de tareas t1, t2,…, tn, para ser programados
en m máquinas m1, m2,…, mn, los cuales deben pasar por las máquinas en un mismo orden,
cada trabajo posee un tiempo de proceso para cada máquina y una fecha de entrega, por lo
que los trabajos deben programarse de forma que estén listos antes de esta fecha.
Para ejemplificar un problema de programación de tipo Flow-Shop, se considerará una
línea de montaje automotriz simplificada, la que dispone de tres procedimientos
principales: armado, pintura y montaje, cada uno de los cuales es realizado por una
máquina.
28
A este proceso pueden llegar varios trabajos que llamaremos órdenes de trabajo, cada una
con una fecha de entrega, y una cantidad de automóviles, es decir, que por ejemplo una
orden puede tener 50 automóviles asignados y otra orden 20. Así entonces, cada automóvil
sería una tarea.
El proceso automatizado comienza considerando un patrón guardado en un computador, el
que es modificado según el trabajo que se quiera realizar, es decir, el diseño del automóvil
que se fabricará. Cada máquina recibe las partes esenciales para su labor desde una
máquina suministradora.
La máquina de Armado tiene como función la unión de las partes que han sido recibidas,
de acuerdo con su respectiva forma y modelo, o sea, la carrocería, puertas, pisos, cubiertas,
etc. La operación central es la soldadura autógena y el recubrimiento de uniones para
mejorar la presentación. Adicionalmente, se realizan actividades de pulimento,
impermeabilización y limpieza.
La máquina de Pintura, protege al vehículo de la corrosión y le da un aspecto reluciente. El
vehículo seudo-ensamblado, se desengrasa y luego se laca y se cubre con fosfato para que
absorba mejor la pintura. Después de varios enjuagues se aplican varias capas de
anticorrosivo. Las últimas capas de pintura corresponden a acrílico brillante. La aplicación
29
de estas sustancias se hace en cámaras especiales que pueden operar de diversas formas, de
acuerdo con el nivel tecnológico de las empresas.
La máquina de Montaje, realiza la parte del proceso en la cual se ensamblan las partes
mecánicas, el motor, los ejes, el sistema de frenos, tapetes y accesorios.
Después de este proceso los automóviles están listos para ser entregados.
Figura 1.1. Modelo de producción secuencial de una automóvil.
Entonces, el problema de este sistema es el establecer qué trabajo se hace en qué momento,
es decir, realizar el proceso de programación de la producción.
30
1.6 Programación de la Producción
La programación de la producción se refiere a la secuencia en la que los trabajos serán
procesados, de manera de lograr los tiempos que se desea cumplir, y satisfacer todas las
restricciones que se tenga, como pueden ser el uso de las máquinas, los tiempos de entrega,
etc.
En la sección 2.1 se hizo una pequeña introducción a lo referente a programación de la
producción, pero ahora se pasa a explicar de mejor forma.
Un programa se puede representar como una secuencia de números donde cada número
indica el orden en que se ejecutará ese trabajo; por ejemplo, la secuencia 1 – 2 – 3, indica
que el trabajo 1 es el primero en procesarse, luego el 2, y por último el 3. Por otro lado, la
secuencia 3 – 2 – 1 indica que el primer trabajo en procesarse es el 3, después el 2, y
finalmente el 1.
1.6.1Aspectos importantes
31
Para realizar la programación hay tres aspectos importantes que deben considerarse: los
trabajos, las máquinas y la medición.
1.6.1.1 Trabajo
“Los trabajos son actividades a realizar” (Sipper y Bulfin, 1998). Los trabajos que se
pueden identificar en el ejemplo de la línea de montaje automotriz, de la sección anterior,
son las órdenes de automóviles que se deben realizar. Si nos imaginamos una papelera, los
trabajos serían las diversas órdenes de papeles y cartones que debe producir, y en una
fábrica de ropa serían los conjuntos de prendas iguales que se deben hacer.
Un trabajo siempre debería tener un tiempo de proceso y una fecha en la que debe estar
terminado. Para el presente análisis supondremos que un trabajo una vez que comienza a
ser procesado no se detiene hasta que es terminado.
Otras características que puede poseer un trabajo, según Sipper y Bulfin (1998), son que:
Puede depender de otro trabajo, o sea, que no puede realizarse antes de que termine
otro. Esto es lo que sucede en el procesamiento tipo Flow-Shop, donde las tareas se
ejecutan en un único orden.
32
Puede poseer una fecha de inicio, antes de la cual no puede comenzar el proceso.
1.6.1.2 Máquinas
“Las Máquinas procesan los trabajos” (Sipper y Bulfin, 1998). Las máquinas en la
industria son literalmente máquinas o robots, pero en una pista de aterrizaje en un
aeropuerto, un bus en una empresa de transporte, una mesa en un casino, también pueden
considerarse máquinas.
Las máquinas pueden clasificarse como sigue (Sipper y Bulfin, 1998):
1.6.1.2.1 Una sola máquina
Se tiene una sola máquina para procesar todos los trabajos, esta máquina sólo puede
procesar un trabajo a la vez, y una vez que termina uno puede continuar con el siguiente.
1.6.1.2.2 Máquinas paralelas
Son varias máquinas idénticas en el sentido de que pueden realizar los mismos
procesamientos. Así entonces, un trabajo se podría realizar en cualquiera de ellas para
33
quedar terminado, y el tiempo de proceso es el mismo indiferente de la máquina en que se
procese.
1.6.1.2.3 Talleres de producción continua
Es donde se encuentran diferentes máquinas y los trabajos, para ser completados, deben
pasar una vez por cada una y en el mismo orden, es decir, si numeramos las máquinas como
1, 2 y 3, un trabajo no puede pasar a la máquina 2 si no ha pasado por la 1, y no podrá pasar
a la 3 si no ha terminado en la 2.
Interesa de sobremanera este forma de producción, ya que es en este tipo de procesamiento
el énfasis del análisis que se está realizando, es decir, un procesamiento de tipo Flow-Shop.
1.6.1.2.4 Producción intermitente
Es similar al de producción continua, es decir, existen varias máquinas distintas, pero los
trabajos no deben pasar una vez por cada una ni en el mismo orden necesariamente. Es
decir, un trabajo podría pasar por la máquina 1 y luego por la 2, pero nunca por la 3, en
cambio otro solo podría pasar por la 3.
34
35
1.6.1.2.5 Plantas abiertas
Son en los cuales da lo mismo por qué máquina pasan primero los trabajos, en caso de que
deban pasar por más de una. Un ejemplo es un taller mecánico, donde un automóvil que
ingresa, y da lo mismo que reparación se realice primero.
1.6.1.3 Medición
La medición se refiere a cómo evaluamos si nuestro programa de producción es el más
adecuado, es decir, cómo podemos determinar si es el mejor programa que podemos tener
o, en su defecto, uno que sea lo suficientemente bueno.
Maximizar utilidad o minimizar costos, son los objetivos que cualquier empresa persigue,
pero “desafortunadamente, es difícil estimar los parámetros financieros que relacionen un
programa con costo o ganancia” (Sipper y Bulfin, 1998). Por esto, las medidas que se
utilizan son generalmente las mencionadas en la sección 1.4.
36
A continuación se presenta formalmente la notación que se utilizará en la investigación en
lo que tiene que ver con los elementos de un problema de programación de la producción
(Sipper y Bulfin, 1998):
n = número de trabajos que serán procesados
m = número de máquinas
pik = tiempo de proceso del trabajo i en la máquina k ( pi si m = 1)
ri = tiempo de liberación de la orden del trabajo i
di = fecha de entrega del trabajo i
wi = ponderación (importancia o valor) del trabajo i respecto a los otros trabajos
En un programa específico, se define para cada trabajo i:
Ci = tiempo de terminación del trabajo i
Fi = Ci – ri, tiempo de flujo del trabajo i (Fi > 0)
Li = Ci –di, retraso del trabajo i (Li < 0 denota anticipación)
Ti = max (0, Li), tardanza del trabajo i
Ei = max (0, -Li), adelanto del trabajo i
Cmax = max i = 1,n {Ci}, tiempo máximo de terminación de todos los
trabajos (makespan)
Lmax = max i = 1,n {Li}, retraso máximo de todos los trabajos
Tmax = max i = 1,n {Ti}, tardanza máxima de todos los trabajos
37
1.6.2 Supuestos
El primero de los supuestos que se debe considerar es el de disponibilidad, que quiere decir
que los trabajos están listos y dispuestos para ser procesados en la línea de producción, es
decir, ri= 0.
También se supone la certidumbre de los datos, es decir, que en ningún problema se podría
argumentar el desconocimiento de los datos exactos.
Otro supuesto que ya se mencionó en una sección anterior, es que un trabajo una vez
comenzado no se detiene hasta que está terminado.
La precedencia entre los trabajos no existe, es decir, son trabajos totalmente
independientes.
38
Capítulo 2. METAHEURÍSTICAS PARA
PROGRAMACIÓN DE PRODUCCIÓN EN
PROBLEMAS DE TIPO FLOW-SHOP
MULTIOBJETIVO
No existen algoritmos exactos que puedan resolver problemas reales con más de un
objetivo en un tiempo razonable (Baesler, et al., 2005). En muchas ocasiones encontrar una
solución óptima para un solo objetivo es imposible, producto de la complejidad de los
problemas. Es por esto que las Metaheurísticas surgen como una buena alternativa para
resolver problemas multiobjetivo.
La mayoría de los desarrollos para la solución de problemas multiobjetivo están ligados a
Algoritmos Genéticos (AG), a diferencia de las implementadas basadas en Simulated
Annealing, por lo que en el presente capítulo se presentarán dos metaheurísticas, una
basada en cada tema.
39
2.1 Algoritmos Genéticos
Algoritmo genético es una técnica de búsqueda basada en la teoría de la evolución de
Darwin, es decir, procesos de selección natural y evolución genética. “Esta técnica se basa
en los mecanismos de selección que utiliza la naturaleza, de acuerdo a los cuales los
individuos más aptos de una población son los que sobreviven, al adaptarse más fácilmente
a los cambios que se producen en su entorno. Hoy en día se sabe que estos cambios se
efectúan en los genes (unidad básica de codificación de cada uno de los atributos de un ser
vivo) de un individuo, y que los atributos más deseables del mismo se transmiten a sus
descendientes, cuando éste se reproduce sexualmente”, (REDCIENTIFICA.COM).
2.1.1 Características principales
Población de individuos: Representan las soluciones del problema a resolver. Cada
solución es un cromosoma, por ejemplo:
C = [4 2 3 1]
En un problema de tipo Flow Shop, significa que el primer trabajo en procesarse será el 4
después el 2, posteriormente el 3 y finalmente el 1.
40
Operadores Genéticos: Selección Natural, Evolución Genética y Cambios Adaptativos,
los que son simulados por la selección (mejores individuos o soluciones), cruce o
recombinación (consiste en producir un nuevo individuo a partir de los genes de dos
padres) y mutación (consiste en intercambiar el orden de las de los genes en un individuo,
lo que en un problema de Flow Shop, sería cambiar la secuencia de los trabajos en una
solución), respectivamente.
Función de Aptitud (o función de fitness): Determina la adaptación del individuo al medio
(solución al problema), es decir que tan buena es la solución.
2.1.2 Algoritmo Genético Simple
1. Elegir aleatoriamente una población de individuos
2. Evaluar la aptitud (fitness) de cada individuo
3. Repetir hasta alcanzar condición de terminación
4. Seleccionar los individuos más aptos para reproducir
5. Combinar pares de individuos aleatoriamente
6. Aplicar el operador de recombinación
7. Aplicar el operador de mutación
8. Evaluar la aptitud (fitness) de cada individuo
9. Fin
41
El Algoritmo se podría mostrar gráficamente así:
Figura 2.1. Secuencia de algoritmo genético.
42
2.1.3 Algunos Algoritmos Genéticos Multiobjetivo
La primera implementación de un AG Multiobjetivo fue desarrollada por Schaffer en 1984,
denominado VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm). “Esta implementación tiene la
idea de crear sub-poblaciones seleccionando los individuos de acuerdo con cada objetivo.
Suponiendo que se tengan N individuos y se necesita optimizar k objetivos, se generan k
sub-poblaciones con N / k individuos cada una. Luego esas sub-poblaciones son cruzadas y
se le realizan operaciones de mutación para crear una nueva población” (Pappa, 2002).
Posteriormente Goldberg en 1989, “incorpora el concepto de dominancia dentro del
proceso de selección de individuos en el AG”, (Baesler, et al., 2005). Su idea era utilizar el
concepto de dominancia para separar a los individuos en grupos llamados ranking, donde
cada ranking contendrá solo soluciones no dominadas. Así el primer ranking contendrá las
soluciones no dominadas del conjunto de soluciones y se les asignará el valor de fitness
más elevado, el segundo ranking será compuesto de las soluciones no dominadas del
conjunto de soluciones, no considerando las soluciones del ranking anterior. El valor de
fitness de este ranking será menor que el anterior pero superior que el siguiente. El proceso
continúa hasta que no existan individuos en la población. Además, Goldberg introdujo el
concepto de formación de nichos y la utilización de una función fitness compartido,
compuesta de dos medidas, la función objetivo y el índice de la densidad de población del
nicho al que ese individuo pertenece. Un nicho es la división de la población en especies,
que reúne a individuos de características similares, se usa para reducir la competición por
recursos y obtener sub-poblaciones estables, cada una de ellas concentrada en un nicho de
búsqueda, (Pappa, 2002).
43
A continuación se muestran dos Algoritmos Genéticos que siguen los conceptos
desarrollados por Schaffer y Goldberg. La principal diferencia entre estos algoritmos
consiste en la forma en que el valor de la función de aptitud (fitness) es atribuido a los
individuos de la población.
2.1.3.1 MultiObjective Genetic Algorithm (MOGA)
Fonseca y Fleming fueron los creadores de MOGA en 1993. La idea es asignar una
jerarquía a los individuos, la que es igual al número de individuos de la población que lo
dominan más uno, es decir, los individuos de la frontera de Pareto tienen un valor de
jerarquía igual a 1, ya que no son dominados por ninguna solución. El valor de la función
de aptitud se puede entender como:
Aptitud = 1 / (valor de jerarquía)
Su funcionamiento puede ser resumido en 3 etapas:
Primero, ordenar toda la población de acuerdo a los individuos no dominados. El proceso
continua hasta que todos los individuos de la población han sido clasificados.
44
Luego los individuos pertenecientes a al jerarquía 1 reciben un valor de ranking igual a 1,
los individuos del jerarquía 2 y siguientes reciben un valor de ranking igual al número de
soluciones que las dominan más. Por ejemplo, si la frontera de Pareto posee 3 elementos,
los individuos del jerarquía 2 tendrán un valor de ranking igual a (3 + 1) = 4.
Finalizado el proceso de ordenación, la función de aptitud es atribuida a cada solución de
acuerdo con su ranking.
2.1.3.2 Multiobjetive Optimization using Non-Dominated Sorting in Genetic
Algorithms (NSGA)
Este algoritmo fue propuesto por Srinivas y Deb (1994). Es similar a MOGA, la principal
diferencia está en la forma en que se atribuye la función de aptitud a cada individuo y en el
uso de la estrategia de fitness compartido, (Pappa, 2002). Al igual que MOGA, se basa en
la clasificación de individuos en varias capas o frentes. El valor de la función de fitness
para cada individuo en el primer frente es igual a N, donde N es el número de individuos de
la población. Luego se utiliza una estrategia de fitness compartido, a cada individuo se le
atribuye una función de fitness compartido dividiendo el valor anteriormente atribuido por
el contador del nicho (número de individuos del nicho). Es guardado el valor de fitness
compartido. Después se identifican los individuos no dominados del segundo frente, y se le
asigna un nuevo valor de función de fitness, que es más pequeño que la función de fitness
compartido del primer frente, es decir, el guardado anteriormente menos un valor pequeño,
45
y así hasta que no queden más individuos. Puesto que los individuos en el primer frente
tienen el valor de fitness mayor, consiguen siempre más copias que el resto de la población.
2.1.4 Algoritmo Genético Multiobjetivo a Implementar
El AG a implementar tiene la misma estructura de un AG simple, en que se considera todos
los elementos relacionados con un AG, es decir, creación de la población inicial, selección
natural, mutación, recombinación, función de aptitud y criterio de término. El aspecto más
importante en esta implementación, es la forma en la que se asigna el fitness a los
individuos, en la cual se usan los conceptos de dominancia y nicho.
A continuación se muestran los aspectos más importantes del AG desarrollado:
2.1.4.1 Representación
Cada solución, o individuo, es representado mediante un vector, el cual posee valores entre
1 y en número de trabajos que posea el problema, como se muestra a continuación para un
problema con 7 trabajos:
7 5 1 4 3 2 6
46
El cuál indica la secuencia de proceso de los trabajos, por lo que no puede existir un
individuo en el cual se repita algún trabajo, ni con un valor en la secuencia superior al
número de trabajos.
2.1.4.2 Población Inicial
La población inicial es generada en forma aleatoria, es decir, considerando el tamaño de la
población, se crean individuos diferentes en base a la generación de números aleatorios,
cumpliendo con la representación anterior, por lo que cada vez que el algoritmo es
ejecutado, la población inicial es siempre distinta. Por ejemplo, si existiera un problema de
7 trabajos, y una población de 4 individuos, la población podría ser la siguiente:
7 5 1 4 3 2 6
2 3 5 6 7 6 1
6 5 7 3 1 4 2
1 2 7 3 4 6 5
O bien esta otra:
1 5 6 4 7 2 3
3 5 4 6 7 2 1
47
7 1 2 3 5 4 6
5 4 1 2 3 6 7
O cualquier otra combinación.
2.1.4.3 Selección
A cada individuo se le asigna una probabilidad de selección de acuerdo con su fitness,
luego mediante una ruleta se seleccionan los individuos para el cruzamiento, y así pasar a la
siguiente generación. Los individuos seleccionados son la mitad de la población. También
es preciso mencionar una estrategia de elitismo, la cual elije a todos los individuos que se
encuentren en la Frontera de Pareto para que pasen a la siguiente generación. A
continuación se presenta un ejemplo:
Supóngase que se tienen los siguientes individuos, con el fitness indicado en la tabla:
Tabla 2.1: Fitness de los individuos y probabilidad de selección
Individuo FitnessProbabilidad de
selección Prob.
Acumulada 1 100 100 / 640 0,16 0,16 2 100 100 / 640 0,16 0,32 3 100 100 / 640 0,16 0,48 4 80 80 / 640 0,13 0,61 5 75 75 / 640 0,11 0,72
48
6 60 60 / 640 0,09 0,81 7 50 50 / 640 0,08 0,89 8 40 40 / 640 0,06 0,95 9 20 20 / 640 0,03 0,98
10 15 15 / 640 0,02 1,00 Suma Fitness 640 1,00
.
La probabilidad de que un individuo sea seleccionado para pasar a la siguiente generación
está dada por su fitness, dividido por la suma de los fitness de cada individuo, así, por
ejemplo, la probabilidad de seleccionar al individuo número 1, es : 100 / 640 = 0.16. El
mismo cálculo es realizado para cada individuo de la población. Así, como podemos ver en
el siguiente gráfico, cada individuo posee una probabilidad se selección que depende de qué
tan buena solución es.
16%
16%
16%13%
11%
9%
8%
6% 3%2%
Gráfico 2.1: Probabilidades de Selección y Ruleta
49
Así, la selección por ruleta se puede visualizar como el proceso de elegir un número
aleatorio entre 0 y 1, y elegir al individuo que está en ese rango, para lo cuál ayuda el
cálculo de la probabilidad acumulada. Por ejemplo, un número aleatorio x=0.28, nos indica
que el individuo a seleccionar es el segundo ya que su probabilidad acumulada es 0.32, y
cualquier valor aleatorio entre 0.17 y 0.32, indicaría la selección de éste.
Ya que es posible que más de una vez la elección de un número aleatorio coincida con un
mismo individuo, no hay problema en que éste sea seleccionado más de una vez. Además,
como se mencionó anteriormente, los individuos de la Frontera de Pareto, pasan
automáticamente a la siguiente generación, lo que en este ejemplo, significaría que los
individuos 1, 2 y 3 son seleccionados en primer lugar, y para completar la mitad de la
población que tiene que ser seleccionada, se realiza el proceso de la ruleta.
2.1.4.4 Cruzamiento
El proceso de cruzar los individuos seleccionados en la fase anterior, consiste en elegir
primeramente dos individuos de forma aleatoria, luego una posición en ellos, y
posteriormente, concatenar cada uno de las partes obtenidas (alelos). Por ejemplo, con los
siguientes padres:
7 5 1 4 3 2 6
2 3 5 6 7 6 1
50
Y aleatoriamente elegir la posición 4, se obtendrían los siguientes hijos:
7 5 1 4 7 6 1
2 3 5 6 3 2 6Dado que los hijos son soluciones infactibles para el problema puesto que hay trabajos
repetidos y otros que no aparecen, estos individuos deben ser modificados. En el primer
hijo, no aparece el trabajo 2 ni el 3 y está repetido el trabajo 7 y el 1, y en el hijo dos el
único trabajo no repetido es el 5, faltando por aparecer los trabajos 1, 4 y 7. Para
solucionar esto, aleatoriamente se elijen los trabajos faltantes y se colocan en una posición
donde haya un trabajo repetido. Así se puede llegar a la siguiente configuración de los
individuos, la que cumple con ser una solución factible:
7 5 2 4 3 6 1
2 4 5 6 7 3 1
2.1.4.5 Mutación
La mutación es un procedimiento simple en el que simplemente se toman aleatoriamente
dos posiciones dentro de la secuencia, y esos valores son intercambiados entre sí, lo que se
51
conoce como intercambio de pares. La cantidad de individuos que son objeto de mutación
depende de una probabilidad de mutación, que generalmente es un valor pequeño. El
siguiente es un ejemplo:
3 5 4 6 7 2 1
En la secuencia anterior, se han elegido los trabajos 4 y 2 para ser intercambiados y con ello
logar un cambio en los objetivos que se busca mejorar, con lo que el individuo mutado sería
el que se ve a continuación:
3 5 2 6 7 4 1
2.1.4.6 Fitness (función de aptitud)
El fitness indica qué tan buena es una solución con respecto a las demás. Esta medida se
calcula considerando los valores de cada objetivo a evaluar. La implementación a realizar
considera los objetivos Cmax y Tardanza.
En primer término se divide la población en varios ranking, utilizando los conceptos
incorporados por Goldberg en 1989, donde el primer ranking está constituido por las
soluciones no dominadas del conjunto de soluciones, el segundo ranking será compuesto de
las soluciones no dominadas, no considerando las soluciones del ranking anterior, y así
52
sucesivamente hasta que todos los individuos hayan sido clasificados. Posteriormente, a
cada ranking le es asignado un fitness inicial, es decir que cada individuo de ese ranking
posee el mismo fitness, dado que desde una perspectiva multiobjetivo, las soluciones no
dominadas entre sí, son iguales.
Pero además, Goldberg introdujo los conceptos de formación de nichos y la utilización de
una función fitness compartido, los que también son considerados en la asignación de un
fitness final a cada individuo. La idea es darles un mayor fitness a aquellos individuos que
estén más alejados de los demás dentro de un mismo ranking y un fitness menor a aquellos
que estén más cercanos, todo esto ayuda a reducir la competición por recursos y obtener
sub-poblaciones estables.
2.1.4.6.1 Cálculo Fitness Inicial
El procedimiento para calcular el fitness inicial, así como el final, es extraído del Capítulo 5
de la Obra de Deb (2001), “Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms”,
donde el fitness inicial se define como sigue:
53
Donde N es el número de individuos de la población y µ(ri) es la cantidad de individuos en
el ranking i.
Para verlo claramente se presenta el siguiente ejemplo (Deb, 2001), que sólo posee seis
individuos, cuyos datos se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 2.2: Ranking de los individuos
Solución Cmax Tardanza Ranking 1 0,31 6,10 1 2 0,43 6,79 2 3 0,22 7,09 1 4 0,59 7,85 4 5 0,66 3,65 1 6 0,83 4,23 2
El gráfico de estas soluciones muestra cada curva de soluciones, es decir, cada ranking:
54
Gráfico 2.2: Ranking de las soluciones
Con estos datos se puede calcular el fitness inicial de la siguiente forma, utilizando la
formula anteriormente vista:
F1 = 6 – 0 – 0.5 (3 – 1) = 5
F2 = 6 – 3 – 0.5 (2 – 1) = 2.5
F4 = 6 – 3 – 2 – 0.5 (1 – 1) = 1
Lo que indica que para el primer ranking, el fitness es de 5, para el segundo es 2.5, y 1 es
para el último.
55
2.1.4.6.2 Cálculo Fitness Final
En esta etapa se modifican los valores iniciales del fitness de cada individuo. Lo que se
intenta, es dar un mejor fitness a aquellos individuos que se encuentran más aislados y
“castigar” a aquellos individuos que se encuentren reunidos en un nicho, disminuyendo su
fitness. El cálculo es bastante complicado, y para su completo entendimiento, hace falta un
análisis profundo. Aun así, se explica y se presenta un ejemplo (Deb, 2001).
56
En primer término, se debe calcular la distancia entre las soluciones de cada ranking
utilizando la siguiente fórmula:
La que indica la distancia entre el individuo j y el individuo i. Donde, fkmax y fk
min son el
máximo y mínimo valor del objetivo k. Luego, el contador del nicho para el individuo i, es
la sumatoria de las distancias de i a cada individuo de ese ranking, aplicando la función Sh,
es decir:
Donde µ(ri) es el número de soluciones del ranking ri. Y la función Sh se define como
sigue:
Sh (dij) = 1 – (dij / σshare) ; Si dij < σshare
57
En cualquier otro caso Sh (dij) = 0. La idea es que la función entregue un valor entre 0 y 1,
como medida de qué tan cerca están los individuos, siendo un valor cercano a uno indicador
de que los individuos muy cercanos, y un valor cercano a cero indica que se encuentran
más distantes.
El valor de σshare algunos autores lo utilizan como un parámetro el cual se va modificando
para ver los efectos que produce, otros, para un determinado número de individuos dan un
valor fijo. Para el caso que se presenta se optó por calcular el valor de σshare, que dependerá
de tres valores; n que es el número de objetivos que se analizan que este caso es 2; q, que es
un valor fijo que puedo variar entre 5 y 10; y r, que es:
Donde, fkmax y fk
min son el máximo y mínimo valor del objetivo k. Así σshare, que indica qué
valor se considera como límite para determinar si un individuo pertenece, o no, a un mismo
nicho, se calcula de la siguiente manera:
58
A continuación, se continúa con el ejemplo anterior, al que se le aplicará el proceso para
obtener el fitness final, para la primera curva. Asumiendo un f1max = 1, f1
min =0.1, f2max =
10, f2min =1.
d13 = √ ( (0.31 – 0.22) / (1 – 0.1) )2 + ( (6.1 – 7.09) / (10 – 1) )2
= √ 0.0221
= 0.149
d15 = √ ( (0.31 – 0.66) / (1 – 0.1) )2 + ( (6.1 – 3.65) / (10 – 1) )2
= √ 0.2253
= 0.475
d35 = √ ( (0.22 – 0.66) / (1 – 0.1) )2 + ( (7.09 – 3.65) / (10 – 1) )2
= √ 0.3851
= 0.6206
Suponiendo un σshare = 0.5:
Sh (d13) = 0.702, Sh (d15) = 0.05, Sh (d35) = 0
59
Así, el contador de nicho para los individuos del primer ranking, serían los siguientes:
nc1 = 1 + 0.702 + 0.05 = 1.752
nc3 = 1 + 0.702 + 0 = 1.702
nc5 = 1 + 0.05 + 0 = 1.050
Posteriormente se calcula un Fitness Compartido dividiendo el fitness inicial por el
contador de nicho de ese individuo. Además, se debe calcular un factor del ranking, el cual
es el fitness inicial del los individuos por el número de individuos de este ranking, dividido
por la suma de los fitness compartidos, lo que en este caso sería, (5 x 3) / (2.854 + 2.938 +
4.762) = 1.421.
60
Después de esto, se multiplica el fitness compartido de cada individuo por el factor recién
calculado, y se obtiene el fitness final. Lo que sería:
Individuo 1: 2.854 * 1.421 = 4.056
Individuo 3: 2.938 * 1.421 = 4.176
Individuo 5: 4.762 * 1.421 = 6.768
Esto, muestra cómo, desde un fitness inicial de 5 para cada individuo de este ranking, se
llegó a un fitness final diferenciado, en el que los individuos que se encontraban más
cercanos, son “castigados”, y el individuo más alejado es beneficiado en su fitness.
61
2.2 Simulated Annealing
Simulated Annealing es una Metaheurística que en la solución de problemas de un solo
objetivo ha sido probada ampliamente, pero no así en el ámbito multiobjetivo.
Como se mencionó en un Capítulo anterior, Simulated Annealing es una analogía del
proceso de templado de los metales, donde un metal es calentado hasta cuando empieza a
derretirse y se disminuye su temperatura controladamente. En la fase de mayor temperatura
las partículas se mueven aleatoriamente y, a medida que la temperatura disminuye, estas
partículas se mueven en forma más ordenada. Así, el proceso de enfriamiento se puede ver
como la búsqueda de soluciones, donde, en un comienzo, el pasar de una solución a otra
peor es frecuente, pero a medida que la temperatura disminuye, son menos las soluciones
peores que son aceptadas como nueva solución obtenida. Si el enfriamiento se realiza en
forma muy rápida se produce fragilidad en los metales, lo que en el algoritmo significaría el
obtener un óptimo local.
62
2.2.1 MOSARTS
A continuación se presenta la “metaheurística denominada MultiObjective Simulated
Annealing with Random Trajectory Search (MOSARTS). Esta técnica se basa en el
Algoritmo Simulated Annealing, con la diferencia que introduce la utilización de memoria
de corto y largo plazo para realizar una búsqueda que permita balancear el esfuerzo entre
todos los objetivos involucrados en el problema”, (Baesler, et al., 2005).
La idea en la cual se basa esta metaheurística es en la aceptación de soluciones inferiores,
lo que en el ámbito Multiobjetivo significa una solución dominada, utilizando la siguiente
norma:
P (Y, X, T) = Min {1, e maxj
{ λj
( fj
(X) – fj
(Y)) / T}}
Este valor indica la probabilidad de aceptación de una solución Y dada una solución X a
una temperatura T. El parámetro λ representa el peso de la función objetivo j con respecto
a la importancia total.
63
La mayor diferencia entre los enfoques de Simulated Annealing Multiobjetivo está dada por
la forma en que se define la probabilidad de aceptación de una nueva solución dominada.
Esta metaheurística se sitúa en el argumento de seleccionar un solo objetivo en cada
iteración, que se llamará Objetivo Referente (OR), y en base a éste continuar con el
proceso de búsqueda en esa iteración, así no es necesario modificar la estructura de
Simulated Annealing para el caso de un solo objetivo. Se incorporan mecanismos
inteligentes como memoria de corto y largo plazo que permiten elegir una dirección en la
cuál centrarse en cada iteración. “La probabilidad de aceptación de una solución inferior
sigue siendo definida por la variación de la función objetivo con respecto a la solución
anterior y por la temperatura actual del sistema” (Baesler et al., 2005), donde se tiene una
temperatura diferente para cada objetivo.
La memoria de largo plazo indica como ha evolucionado históricamente cada objetivo en
forma individual. La memoria de corto plazo indica cuanto mejoró un objetivo en la última
iteración (Baesler et al., 2005).
Una vez que se ha encontrado una solución inicial, dígase X0, se evalúa un vecino de X0,
dígase X1. Esto se realiza comparando cada objetivo de la solución X1 con respecto a la
solución anterior X0. Es aquí donde podría darse uno de los siguientes escenarios:
Todos los objetivos mejoran
Todos los objetivos empeoran
Algunos objetivos mejoran y otros empeoran
64
En el caso en que todos los objetivos mejoren, significa que la nueva solución es mejor que
la anterior, o sea, X1 domina a X0, por lo que X1 es aceptada para continuar la búsqueda en
esa dirección.
Si todos los objetivos empeoran, es decir, si X0 domina a X1, se evalúa una función de
aceptación para ver si se admite esta nueva solución para continuar la búsqueda desde ahí.
Esta función de aceptación se referirá a un solo objetivo, por lo que será necesario
seleccionar previamente un Objetivo Referente (OR) para guiar el proceso.
En el último caso, donde ninguna solución domina a la otra, se elige un OR, si esté objetivo
mejora en X1 con respecto a X0, X1 es aceptada, en caso contrario, se debe evaluar una
función de aceptación que siempre depende de la temperatura particular de ese objetivo en
el momento actual de la búsqueda.
2.2.2 Obtención del Objetivo Referente
65
El OR se elige dependiendo de una Función de Selección (FS). Esta función de selección
“no emplea tan solo el criterio obvio de selección aleatoria, sino que incorpora también la
mejora o detrimento de cada objetivo, es decir, el desempeño, tanto en la última etapa de la
evaluación (desempeño inmediato o memoria de corto plazo), como en todo el trayecto
recorrido (desempeño histórico o memoria de largo plazo)” (Baesler et al., 2005). La FS
utiliza dos parámetros arbitrarios que indican la importancia que el Tomador de Decisiones
le concede a cada uno de los desempeños, o sea, qué tan importante considera la memoria
de largo y corto plazo.
La estructura de la función de selección será la siguiente:
FSi = w1 * F1 + w2 * F2
Donde:
W1 = Ponderación arbitraria de importancia de la memoria de largo plazo.
W2 = Ponderación arbitraria de importancia de la memoria de corto plazo.
F1 = Ti / Timax
F1 = Función de Probabilidad de selección de un objetivo dependiendo de su
desempeño histórico (memoria de largo plazo) (Baesler et al., 2005).
Ti = Temperatura actual del sistema para el objetivo i.
Timax = Temperatura de inicio del objetivo i.
66
La función F1 tiene por misión dar una mayor probabilidad de selección a aquellos
objetivos que no han tenido un buen desempeño, es decir, que en todo el proceso de
construcción de soluciones no han mejorado lo suficiente. Los objetivos que han mejorado
bastante tienen relacionado un Ti mucho menor que Timax, ya que el Ti disminuye cada vez
que el objetivo i mejora. Así entonces, la razón Ti / Timax es elevada cuando el objetivo i
no ha sido explorado suficientemente.
F2 = 1 – (λC%i / ∑ λC%i)
F2 = “Función de Probabilidad de selección de un objetivo según el desempeño
reciente (memoria de corto plazo)” (Baesler et al., 2005).
λC%i = Variación porcentual del objetivo i.
Lo que la función F2 plantea, es asignarle una mayor probabilidad de selección como OR a
aquellos objetivos que en la última iteración hayan tenido un mejoramiento significativo.
Los objetivos que más mejoraron en la última iteración tendrán una razón λC%i / ∑ λC%i
mayor. Esta variación se mide en porcentaje ya que las escalas de los objetivos son
distintas, y se deben comparar entre sí.
Así, cada objetivo tendrá una función de selección,
67
FSi = w1 * F1 + w2 * F2
Para seccionar el OR, se calcula la Probabilidad de Selección (PS) para cada objetivo,
como sigue:
PSi = FSi / ∑FSi
Se cumple que ∑PSi = 1. Así entonces, se genera un número aleatorio entre 0 y 1, para
escoger cual será el OR.
68
2.2.3 Algoritmo MOSARTS, MultiObjective Simulated Annealing with
Random Trajectory Search. (Baesler, et al., 2005).
Los pasos que se pueden visualizar son los siguientes.
1. Definir solución inicial X0
2. Evaluar objetivos Fi (X0)
3. Definir vecino de X0 como X1
4. Evaluar objetivos Fi(X1)
5. Comparar los objetivos de X0 con los de X1
6. Si X1 domina a X0, hacer X0 = X1 y volver a 3. En caso contrario ir a 7.
7. Obtener función de selección FS, Probabilidad de Selección PS, y Objetivo
Referente OR. Ir a 8.
8. Si OR mejora, hacer X0 = X1, actualizar temperatura particular de Ti. Volver a 3. En
caso contrario ir a 9.
9. Calcular función de selección particular FAP exp ((λC/Ti)) para el OR.
10. Si FAP rechaza la solución, volver a 3. En caso contrario ir a 11.
11. Hacer X0 = X1, actualizar temperatura particular Ti del OR. Volver a 3.
69
Capítulo 3. COMPARACION INDIVIDUAL DE
AMBAS METAHEURISTICAS
Las dos Metaheurísticas fueron implementadas en lenguaje C++, para poder realizar
experimentos y hacer las respectivas comparaciones entre ambas.
En primer lugar se realizó un análisis individual, para determinar cuales son los mejores
parámetros, que se ajustan a cada implementación para posteriormente, considerando dos
problemas de prueba, compararlas entre ellas, y poder determinar cuál tiene un mejor
desempeño.
El análisis preliminar para determinar los mejores parámetros considerará un problema
Flow-Shop de 49 trabajos que deben ser procesados en 15 máquinas, el cual será probado
con varias combinaciones de parámetros, y la combinación de parámetros que entregue los
mejores resultados, será la que se utilice para comparar con la otra Metaheurística.
70
Dado que en los problemas multiobjetivo no se genera una solución individual, sino que
una curva de soluciones, y como las soluciones son no-dominadas, no se puede decir que
una es mejor que otra, y los criterios de comparación pueden ser variados, pero se
considerarán los siguientes:
El Número de soluciones en la Curva de Pareto. Es deseable una Frontera de Pareto de
alta densidad, esto es porque finalmente la decisión de cuál solución es la que se elige
depende de un tomador de decisiones, el que podría preferir soluciones mejores en un
objetivo, en contraste con otro que preferiría una solución mejor en otro objetivo, por
ejemplo si se tiene la siguiente frontera de pareto:
Gráfico 3.1:
Ejemplo curva
de pareto con
pocas soluciones
El número de posibilidades de elegir una solución es reducido, y sólo se pueden elegir
extremos, o sea, una buena solución para la Tardanza pero mala para el Cmax, o viceversa,
por lo que se hace más deseable una Curva de soluciones como la que sigue, ya que se
pueden elegir soluciones intermedias:
Ejemplo 1: curva con pocas soluciones
1400015000160001700018000
3550 3600 3650 3700 3750
Cmax
Tard
anza
71
Ejemplo 2: curva con varias soluciones
1400015000160001700018000
3550 3600 3650 3700 3750
Cmax
Tard
anza
Gráfico 3.2: Ejemplo curva de pareto con varias soluciones
Otra medida de comparación será el Porcentaje de Soluciones en una Nueva Frontera de
Pareto generada por las curvas que se están comparando. Este método fue propuesto
Hyun, et al. (1998). Su idea era comparar dos Metaheurísticas creando una nueva Frontera
de Pareto, que estaría compuesta por las soluciones no-dominadas entregadas por cada una,
y ver cuantas de las soluciones de la nueva Frontera pertenecen a una Metaheurística y
cuantas a la otra, esta nueva curva a lo menos tendrá la cantidad de soluciones de la
Metaheurística con menos soluciones y a lo más la suma de ambas. Por ejemplo, si la
curva de una Metaheurística tiene 5 soluciones, y la otra 7, la nueva curva tendrá un
mínimo de 5 soluciones y un máximo de 12 (5 + 7) soluciones. En este mismo ejemplo, si
en la nueva curva hay 10 soluciones, y 3 pertenecen a la Metaheurística 1 y las otras 7 a la
Metaheurística 2, se entenderá que la Metaheurística 2 es mejor que la 1.
Este mismo proceso se utilizará para comparar curvas de una misma Metaheurística en caso
de que sea difícil decidir cual combinación de parámetros es la mejor, considerando los
otros criterios de comparación.
72
El Promedio Valores de los Objetivos de todas las curva de pareto obtenidas en el proceso
de experimentación, es importante para analizar como se comporta una Metaheurística.
Otros criterios de comparación menos concluyentes y menos importantes, pero que sirven
para decidir son: la desviación estándar en el número de soluciones de la Frontera de Pareto
obtenidas en un conjunto de ejecuciones de una Metaheurística; La cantidad de Curvas
distintas generadas; y El máximo número de soluciones.
3.1 Parámetros para Algoritmo Genético
Los parámetros a probar en el AG son la cantidad de individuos, el número de generaciones
y la probabilidad de mutación. Para ello, se harán combinaciones de parámetros y con cada
una de ella se ejecutará el programa 10 veces, para ver como se comporta. Los parámetros
para las combinaciones serán los siguientes:
Tabla 3.1: Parámetros a combinar
Individuos 100 200 300
Generaciones 100 150 300 500
%Mutación 1 3 5 10 15
73
Con estos parámetros se realizarán todas las combinaciones posibles y se determinará cual
es la mejor. Es decir, se tendrán 60 combinaciones, cada cual se ejecutará 10 veces, y así se
obtendrán las mejores combinaciones de parámetros.
Después de ejecutar todos estos experimentos, se extrae la siguiente información: Cantidad
Curvas Distintas, Máximo Número de Soluciones, Mínimo Número de Soluciones,
Promedio del Número de Soluciones y Desviación Estándar, y se ordenarán por el valor
promedio del número de soluciones. Así se obtuvo la siguiente tabla, que contiene las
mejores combinaciones, en la cuál además, se muestra el promedio de ambos objetivos
considerados:
Tabla 3.2: Resultados experimentos con parámetros para AG
Indivi duos
Genera ciones
%Mutación
Prom. Num.Sol
Desviación Standar
Cant. Curvas
Max. Num.Sol
Min. Num.sol.
Prom Cmax
Prom Tard
300 150 10 7,2 1,8 6 9 4 3685,7 15447300 500 10 7,1 2 5 9 4 3660,7 14851100 100 15 6,3 2,3 7 11 4 3692,9 17153300 150 15 6,2 2,2 7 11 3 3649 15420300 150 5 6,1 1,7 6 8 3 3700,1 16301
Las demás soluciones poseían un Promedio de Número de Soluciones inferior a 5.5 y estás
poseían los mejores promedios de Cmax y Tardanza, además los Máximos y Mínimos de
Número de Soluciones son superiores a la media, que fueron 6.6 y 2.5 respectivamente.
74
Posterior a este análisis se tomaron los resultados entregados por las 4 primeras
combinaciones, y con éstos se generó una sola curva para realizar el análisis propuesto por
Hyun et al. (1998). Así se obtuvieron 10 gráficos como el siguiente:
Ejemplo
14000
15000
16000
17000
18000
19000
3550 3600 3650 3700 3750 3800
Cmax
Tard
anza
100-100-15
300-150-10
300-150-15
300-500-10
Gráfico 3.3: Ejemplo de combinación de Curvas de Pareto Obtenidas
75
Con los que se pudo generar la siguiente tabla con los datos que muestra:
Tabla 3.3: Resultados comparativos de mejores combinaciones
100-100-15 300-150-10 300-150-15 300-500-10 1 -- -- -- 1,00 2 -- -- 0,50 0,50 3 -- -- -- 1,00 4 -- 0,58 0,42 -- 5 -- 0,69 -- 0,31 6 -- -- 0,43 0,57 7 -- -- -- 1,00 8 -- 0,13 0,38 0,50 9 -- -- -- 1,00 10 -- 0,09 0,64 0,27
Promedio 0 14,92% 23,57% 61,52%
Lo que nos demuestra que la mejor combinación de parámetros es la de 300 individuos, 500
generaciones y 10 % de mutación. Por lo que estos serán los parámetros que se utilizarán
para comparar esta Metaheurística versus MOSARTS.
76
3.2 Parámetros para Simulated Annealing (MOSARTS)
Para el caso de Simulated Annealing los parámetros a determinar son las Memorias de
Largo y Corto Plazo para cada objetivo analizado, es decir, para la Tardanza y el Cmax.
De la misma forma que para el caso del AG, se harán combinaciones de parámetros y con
cada una de estas combinaciones se ejecutará el programa 10 veces, para ver como se
comporta. Las combinaciones de estos parámetros deben sumar 1 para cada objetivo, por
lo que todas las combinaciones a probar son las siguientes:
Tabla 3.4: Combinaciones para parámetros de MOSARTS
Memoria c/p Cmax
Memoria l/p Cmax
Memoria c/p Tardanza
Memoria l/p Tardanza
0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,5 0,5 0,2 0,8 0,8 0,2 0,5 0,5 0,2 0,8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,8 0,2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,8 0,2 0,5 0,5 0,8 0,2 0,8 0,2
77
Cantidad de Curvas Distintas, Máximo Número de Soluciones, Mínimo Número de
Soluciones, Promedio del Número de Soluciones y Desviación Estándar, son los datos que
se extraen al ejecutar el programa con cada una de las combinaciones. Además se calcula
el promedio de las curvas generadas por cada combinación de parámetros.
Tabla 3.5: Resultados experimentos con parámetros para MOSARTS
Combinación Prom.
Num. Sol Desviación Estándar
Cant. Curvas
Máx. Num. Sol.
Min. Num Sol.
Prom Cmax
Prom Tard.
0,2-0,8-0,2-0,8 4,3 1,5 7 6 1 4018 25842 0,2-0,8-0,5-0,5 5,7 2 5 7 1 4026 26196 0,2-0,8-0,8-0,2 5,2 1,2 5 6 4 4032 25446 0,5-0,5-0,2-0,8 3,9 1,4 7 6 2 3976 24734 0,5-0,5-0,5-0,5 2,6 1 5 5 2 3987 24959 0,5-0,5-0,8-0,2 3,3 1,3 6 6 1 3991 24905 0,8-0,2-0,2-0,8 4,2 1,2 6 6 2 3979 24904 0,8-0,2-0,5-0,5 3,9 2 7 7 2 4013 24815 0,8-0,2-0,8-0,2 4,1 1,6 7 7 2 4003 25047
4,1 1,5 6,1 6,2 1,9 4002,7 25205,4
Observando el Promedio del Número de Soluciones generadas por la Metaheurística, se
puede decir que hay dos combinaciones superiores a las demás, las que tienen un promedio
de 5.7 y 5.2. A su vez, existen cuatro combinaciones que tienen un promedio de Cmax y
Tardanza inferior al promedio, las que también se puede decir que son buenas
combinaciones. Por este motivo se compararán estas seis combinaciones utilizando el
método de Hyun et al. (1998). El siguiente gráfico es un ejemplo de cómo todas las curvas
generan una nueva, la que muestra cuáles curvas domina la nueva frontera.
78
Ejemplo
20000
22000
24000
26000
28000
30000
3850 3900 3950 4000 4050 4100 4150 4200 4250
Cmax
Tard
anza
Gráfico 3.4: Ejemplo combinación de Curvas de Pareto Obtenidas
Así, se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 3.6: Resultados comparativos de mejores combinaciones
0,2-0,8-0,5-0,5 0,2-0,8-0,8-0,2 0,5-0,5-0,2-0,8 0,5-0,5-0,5-0,5 0,5-0,5-0,8-0,2 0,8-0,2-0,2-0,8 1 -- 0,33 -- 0,17 0,33 0,17 2 -- -- 0,17 -- -- 0,83 3 -- -- 0,17 -- -- 0,83 4 -- -- 0,67 -- -- 0,33 5 -- -- 0,14 0,14 0,1-4 0,57 6 -- -- 0,50 -- 0,50 -- 7 -- -- -- 0,50 0,25 0,25 8 0,5 -- 0,50 -- -- -- 9 -- 0,20 0,20 -- 0,20 0,40
10 -- 0,29 0,43 -- 0,14 0,14 Promedio 5,00% 8,19% 27,71% 8,10% 15,69% 35,31%
79
Los promedios obtenidos indican que la tercera y sexta combinación son las mejores, es
decir, que para la Tardanza se debe tener una ponderación de la Memoria de Largo Plazo
alta, en este caso, 0.8 u 80%, y una ponderación pequeña para la Memoria de corto Plazo, o
sea, un 20%. Pero no queda claro cuales son mejores parámetros para el objetivo Cmax.
Por este motivo se realizó una comparación con el método de Hyun, et al. (1998), entre
estas dos combinaciones solamente, para ver cuál de ellas era mejor. Los resultados se
presentan en la siguiente tabla:
Tabla 3.7: Resultados comparativos de las dos mejores combinaciones
0,5-0,5-0,2-0,8 0,8-0,2-0,2-0,8 1 0,25 0,75 2 0,17 0,83 3 0,17 0,83 4 0,67 0,33 5 0,20 0,80 6 1,00 0,00 7 0,25 0,75 8 1,00 0,00 9 0,50 0,50
10 0,83 0,17 Promedio 50,33 49,67
Lo que deja empatadas a ambas combinaciones. Dado esto, se optó por considerar cuál de
ellas presenta una mayor densidad de las Curvas de Pareto:
80
Tabla 3.8: Comparación de las mejores combinaciones para MOSARTS
Combinación Prom.
Num. Sol Desviación Estándar
Cant. Curvas
Máx. Num. Sol.
Min. Num Sol.
Prom Cmax
Prom Tard.
0,5-0,5-0,2-0,8 3,9 1,4 7 6 2 3976 24734 0,8-0,2-0,2-0,8 4,2 1,2 6 6 2 3979 24904
Así es como se determinó que la combinación de 80 %, 20 % para las memorias de Largo y
Corto Plazo, respectivamente, en el Objetivo Cmax, serán consideradas para la
comparación con el Algoritmo Genético.
81
3.2.1 Comparación de MOSARTS versus Simulated Annealing Simple
La diferencia entre MOSARTS y una implementación normal de Simulated Annealing es la
introducción de una memoria de largo y corto plazo para la elección de un Objetivo
Referente que guíe la búsqueda, la que para Simulated Annealing realiza observando el
comportamiento de todos los objetivos al mismo tiempo. Así, es interesante comparar estas
dos formas de Simulated Annealing para ver en qué medida aporta MOSARTS a la
resolución de problemas.
Para la comparación se utilizaron los mismos métodos vistos anteriormente, y los
resultados obtenidos se muestran a continuación:
Tabla 3.9: Comparación entre MOSARTS y Simulated Annealing Simple
Metaheurística Prom.
Num. Sol. Desv.
Estándar Cant.
Curvas Máx.
Num. Sol.Min.
Num. Sol. Prom. Cmax
Prom. Tard.
SA Simple 4,3 1,3 7 6 2 4027 26574,2 MOSARTS 3,6 1,1 9 5 1 3987,4 25541,7
Como se puede observar, MOSARTS muestra una ventaja en cuanto a los promedios de los
objetivos, aun cuando, el promedio de número de soluciones de las curvas de pareto es
inferior. Además, utilizando el método de Hyun et al. (1998), se obtuvieron los siguientes
resultados:
82
Tabla 3.10: Resultados comparativos entre MOSARTS y Simulated Annealing simple
Experimento MOSARTS SA SIMPLE 1 0,67 0,33 2 0,33 0,67 3 0,80 0,20 4 0,50 0,50 5 1,00 0,00 6 0,60 0,40 7 0,80 0,20 8 1,00 0,00 9 1,00 0,00
10 0,80 0,20 PROMEDIO 75% 25%
Los resultados expuestos indican que, al generar una Curva de Pareto uniendo las dos
curvas generadas individualmente por ambas Metaheurísticas, en promedio, un 75 % de las
soluciones pertenecen a MOSARTS y sólo un 25% a Simulated Annealing simple.
Esto nos muestra que MOSARTS es un mejor método que el uso de Simulated Annealing
simple, por lo que es un aporte en el estudio de las Metaheurísticas, y resolución de
problemas combinatorios, y refuerza el interés por compararla con otra técnica más
sofisticada como lo es Algoritmos Genéticos.
83
Capítulo 4. COMPARACION ENTRE MOSARTS
(SIMULATED ANNEALING) Y UN ALGORITMO
GENÉTICO MULTIOBJETICO
Para la comparación entre ambas Metaheurísticas se utilizarán los mismos criterios a los
que se recurrió para la comparación entre distintos parámetros. Así, cada una será
ejecutada diez veces para ver su comportamiento en comparación con la otra. Se utilizarán
dos problemas de prueba uno grande, el mismo utilizado anteriormente, de 49 trabajos y 15
máquinas, y otro más pequeño de 20 trabajos y 10 máquinas.
4.1 Comparación para Problema Grande
De los datos obtenidos al ejecutar ambas Metaheurísticas 10 veces, se extrajo la siguiente
información:
Tabla 4.1: Comparación entre MOSARTS (SA) y Algoritmo Genético
Meta Heurística
Prom Num. Sol.
Desviación Estándar
Cant. Curvas
Max. Num. Sol.
Min. Num. Sol.
Prom. Cmax
Prom. Tard.
AG 5,4 2,5 8 9 2 3658,7 15008,6
84
SA 3,6 1,1 9 5 1 3987,4 25541,7
Como se puede observar, el Algoritmo Genético, supera ampliamente en lo que respecta al
Promedio del Número de Soluciones de las Curvas de Pareto generadas y al Promedio de
los Objetivos que se desean minimizar. Por este motivo, se muestra a continuación un
gráfico en el cual están todas las curvas obtenidas en el proceso de comparación, para ver
una visión general del comportamiento de ambas metaheurísticas:
Comparación entre Simulated Annealing Multiobjetivo (MOSARTS) y un Algoritmo Genético Multi Objetivo
05000
100001500020000250003000035000
3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200Cmax
Tard
anza
SAAG
Gráfico 4.1: Comparación entre MOSARTS y Algoritmos Genéticos
Como se puede observar, todas las soluciones de las Curvas de Pareto generadas por el
Algoritmos Genético dominan a las generadas por MOSARTS en ambos objetivos.
85
4.2 Comparación para Problema Pequeño
Para el caso del problema mas pequeño MOSART no presenta muchas mejorías, aunque en
un primer análisis se ve una mayor densidad en las curvas generadas por esta
Metaheurística:
Tabla 4.2: Comparación entre MOSARTS (SA) y Algoritmo Genético
Meta Heurística
Prom Num. Sol.
Desviación Estándar
Cant. Curvas
Max. Num. Sol.
Min. Num. Sol.
Prom. Cmax
Prom. Tard.
AG 3,5 1,3 10 6 2 392,8 637,2 SA 5,1 2,3 9 11 2 401,9 800,7
Pero el promedio de los objetivos sigue siendo peor. Además de las 10 iteraciones en que
fue comparado, sólo en una se logró superar al AG, obteniendo el 57% de la curva generada
por la combinación de las curvas de ambas Metaheurísticas, en el resto de las iteraciones el
AG siempre fue superior. Esto se puede apreciar en el siguiente gráfico donde se muestran
las soluciones de todas las curvas generadas durante la comparación:
86
Comparación entre Simulated Annealing Multiobjetivo (MOSARTS) y un Algoritmo Genético Multi Objetivo
0200400600800
10001200
370 380 390 400 410 420 430Cmax
Tard
anza SA
AG
Gráfico 4.2: Comparación entre MOSARTS y Algoritmo Genético para problema pequeño
4.3 Comentarios de la Comparación
Por lo visto en análisis comparativo, el Algoritmo Genético supera ampliamente a la
implementación de MOSARTS, sobretodo en el problema más grande. Pero uno de los
aspectos no mencionados, es el tiempo de ejecución de los programas. Mientras que para el
problema grande AG tiene un promedio de ejecución de 45 segundos, MOSARTS sólo
ocupa 0.75 segundos en promedio. Esto da una clara oportunidad a MOSARTS, para
modificaciones futuras que puedan incorporar nuevos mecanismos tendientes a explorar
mejor el espacio de soluciones, sin llegar a acercarse siquiera al tiempo que toma el AG en
ejecutarse.
87
Otro punto importante de mencionar es que el tiempo de ejecución de MOSARTS depende
de la Temperatura y de cómo ésta va disminuyendo. Como resultado de la comparación se
ve una gran diferencia en el objetivo de la Tardanza, lo que hace pensar en cómo mejorar
este objetivo. Así, se puede intentar que la temperatura vaya disminuyendo más lentamente
para este objetivo, y de esta forma aumentar el número de soluciones analizadas.
Realizando este nuevo experimento, que aproximadamente iguala los tiempos de ambas
Metaheurísticas, los resultados tampoco son muy alentadores para MOSARTS, ya que
aunque los promedios de los ambos objetivos disminuyeron de 3987,4 y 25541,7 a 3952,2
23439,4, las diferencias siguen siendo notorias, como se puede observar en el siguiente
gráfico:
Comparación entre Simulated Annealing Multiobjetivo (MOSARTS) y un Algoritmo Genético Multi Objetivo
05000
1000015000200002500030000
3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200Cmax
Tard
anza
SAAG
Gráfico 4.3: Comparación entre MOSARTS y Algoritmo Genético
88
En este punto, no parece prudente volver a probar el algoritmo usando un valor de
disminución de la temperatura inferior, ya que aumentaría el tiempo de proceso por sobre el
AG, y no se ven grandes mejorías.
89
Capítulo 5. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS
Generalmente las decisiones de cómo proceder en la elaboración de la secuencia que
seguirán los trabajos en el momento de procesarse, se toman en base a más de objetivo que
se desea optimizar, lo que hace que los problemas de programación de la producción
aumenten su complejidad, y pasan a llamarse Problemas de Optimización Multiobjetivo.
Estos problemas combinatorios, que se presentan en la industria, requieren un gran esfuerzo
de planificación.
Un Problema de Optimización Multiobjetivo es de tipo Flow-Shop si los trabajos que se
deben realizar deben seguir el mismo orden de paso por cada máquina que interviene en el
proceso. Los problemas Flow-Shop se ven claramente en Celulosas, Papeleras, Madereras,
Armadura de Automóviles, entre otras empresas.
Dada la complejidad exponencial de los problemas combinatorios, los algoritmos exactos
no pueden entregar una solución óptima en un tiempo aceptable, debido a la limitada
capacidad de proceso de los computadores. Y, aunque esta capacidad de proceso fuera
mucho mayor, tampoco podrían.
90
Las heurísticas nacen para intentar encontrar buenas soluciones en un tiempo aceptable,
pero no indican qué tan cerca de la solución óptima se encuentran. Por esto, aparecen las
Metaheurísticas, que se pueden entender como heurísticas, pero con mecanismos para
evitar caer en óptimos locales.
Metaheurísticas basadas en Simulated Annealing y Algoritmos Genéticos, en el ámbito de
un solo objetivo, han sido ampliamente probadas, y han entregado resultados muy buenos,
lo que hacía presumir que, aplicadas a problemas con más de un objetivo, se conseguirán
resultados superiores. Lo que fue conseguido por el Algoritmo Genético en un mayor
grado que MOSARTS.
Las Metaheurísticas están sujetas al ingreso de parámetros, de los cuales depende en
muchas ocasiones el buen o mal desempeño de éstas, por lo que se debe experimentar el
ingreso de distintas combinaciones de estos parámetros para determinar cuál combinación
es la que más ayuda a obtener las mejores soluciones. Por esto, es interesante la inclusión
de mecanismos de ajuste automático de parámetros, para ambas Metaheurísticas, que
permitan obtener la mejor combinación de éstos, y así entregar mejores soluciones.
La creación de una Curva de Pareto formada por la unión de dos de ellas, para luego
cuantificar el número de soluciones aportadas desde cada Metaheurística, método
91
introducido por Hyun, et al. (1998), es una muy buena medida para la comparación, ya que
indica claramente si existe superioridad de alguna Metaheurística en relación con otra.
En la literatura existente, por lo general el parámetro porcentaje de mutación siempre está
asociado a un valor pequeño de aproximadamente un 5% o menor, sin embargo, las
mejores combinaciones en la etapa de experimentación incluían valores como 10% o 15%.
De todos los datos extraídos al ejecutar las Metaheurísticas, el que mejor indica la calidad
de las soluciones entregadas, es el promedio de los valores de los objetivos analizados, esto
se ve en el análisis de parámetros y en la comparación de las Metaheurísticas, ya que
siempre fue mejor uno de los ítems con buenos promedios en estas columnas.
Si bien MOSARTS entrega mejores soluciones que Simulated Annealing simple, esto no es
suficiente para igualarse, o superar, a las soluciones entregadas por el Algoritmo Genético,
que siempre fue superior, por lo que se hace preciso alguna modificación a MOSARTS
para poder competir con algoritmos más sofisticados.
MOSARTS posee un tiempo de ejecución mucho menor que el Algoritmo Genético, por lo
que se ve como una oportunidad para realizar mejoras al algoritmo y que seguir siendo
mejor que otras Metaheurísticas en el uso del tiempo. A su vez, una posible mejora para el
Algoritmo Genético, claro que con un menoscabo en el tiempo de ejecución, y el hecho de
92
perder su esencia, sería convertirlo en un algoritmo híbrido mediante la incorporación de
heurísticas de búsqueda local.
93
Capítulo 6. BIBLIOGRAFÍA
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