Problema de arbol de minima expansion

OPTIMIZACIN DE REDESEquipo 5

OPTIMIZACIN DE REDESEn algunos problemas de optimizacin puede ser til representar el problema a travs de una grfica: ruteo de vehculos, distribucin de productos, programa de actividades en un proyecto, redes de comunicacin, etc.

GRFICA O REDEs un conjunto de nodos (n) y arcos (a) que conectan los nodos. G=(N,A)Los nodos se numeran: 1,2,3,...,nLos arcos se denotan (i, j) indicando que une el nodo i al nodo jij

CONCEPTOS BSICOSUn arco (i , j) es dirigido si conecta i con j pero no j con i.

Una grfica G=(N,A) es dirigida si sus arcos estn dirigidos. En una grfica no dirigida (i,j) y (j,i) representan el mismo arco (no dirigido).ij

Grfica no dirigida

Grfica dirigidaCONCEPTOS BSICOS1432657NodosArcos nodirigidos11432657NodosArcos dirigidos

CONCEPTOS BSICOSUn Camino o Ruta del nodo i al nodo j es una secuencia de arcos que unen el nodo i con el nodo j: (i,i1), (i1,i2), (i2,i3),...,(ik,j). Ruta de k arcos.Un Ciclo es un camino que une un nodo consigo mismo:(i,i1), (i1,i2), (i2,i3),...,(ik,i)

CONCEPTOS BSICOS14326571CAMINO DE 4 A 7CICLO

CONCEPTOS BSICOSUn rbol de una grfica G=(N,A) es una subgrfica G=(N,A) de G que es conexa y no contiene ciclos. Si el rbol contiene todos los nodos de G (N=N) se dice que es un rbol Generador.GRAFICA GRBOL GENERADOR DE GRBOL DE G

CONCEPTOS BSICOSUna RED es una grfica con uno o mas valores asignados a los nodos y/o a los arcos:Nodos: (ai)demanda, oferta, eficiencia, confiabilidad.Arcos: (cij) costo, distancia, capacidadEjemplos: red de agua potable, red de comunicacin, red logstica.

PROBLEMAS Y MODELOS DE REDESPROBLEMAS: Encontrar la ruta ms corta de la planta al centro de distribucin pasando por ciudades intermedias. Problemas de transbordo. Poltica de reemplazo de equipo.MODELO de la RUTA MS CORTA: Dada una red no dirigida G=(N,A) con distancias asociadas a los arcos (cij), encontrar la ruta ms corta del nodo i al nodo j, donde i,jN

PROBLEMAS: Transportar la mayor cantidad de producto posible a travs de una red de distribucin: ductos, trfico vehicular.MODELO de FLUJO MXIMO: Dada una red dirigida G=(N,A) con capacidades en los arcos (cij) encontrar la mayor cantidad de flujo total de un nodo fuente a un nodo destinoPROBLEMAS Y MODELOS DE REDES

PROBLEMAS: Programar las actividades de un proyecto y determinar el tiempo requerido para terminar el proyecto as como las actividades crticasMODELO: CPM, PERT (RUTA MAS LARGA)PROBLEMAS Y MODELOS DE REDES

PROBLEMAS: Redes de comunicaciones. Conectar todos los nodos con el mnimo costo.MODELO DEL RBOL GENERADOR MINIMAL: Dada una red conexa no dirigida G=(N,A) con costos cij en cada arco (i,j) A, encontrar el rbol Generador de costo mnimoPROBLEMAS Y MODELOS DE REDES

5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

14ObjetivoEncontrar la ruta de menor distancia, o costo, entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

Como son estas redesEs una red conexa (Red en la que cada par de nodos estn conectados), no dirigida.

Mtodos de solucinFuerza brutaAlgoritmo de DijkstraAlgoritmo de Floyd-Warshall

Fuerza brutaEste, cosiste en explorar cada uno de los caminos posibles a fin de determinar cul es el mejor.

EjemploLa administracin de Seervada Park, necesita encontrar la ruta ms corta desde la entrada del parque (Nodo O), hasta el mirador (Nodo T) a traves del sistema de caminos que se presenta en la siguiente figura.

Algoritmo de DijkstraEl algoritmo de Dijkstra, tambin llamado algoritmo de caminos mnimos, es un algoritmo para la determinacin del camino ms corto.

Su nombre se refiere a Edsger Dijkstra, quien lo describi por primera vez en 1959.

La idea subyacente en este algoritmo consiste en ir explorando todos los caminos ms cortos.

El algoritmo es una especializacin de la bsqueda de costo uniforme, y como tal, no funciona con cantidades negativas.

Debemos de seguir los siguientes pasos:

Se etiquetan los nodos con la longitud del arco que los une con el origen.

Designar la etiqueta permanente de la iteracin: Vrtice con menor valor de la etiqueta transitoria.

Revisar las etiquetas transitorias.

Ejemplo

Algoritmo de Floyd-WarshallEl algoritmo de Floyd es ms general que el de Dijkstra, ya que determina la ruta ms corta entre dos nodos cualquiera de la red.

Debemos de ter en cuenta los siguientes puntos:

El algoritmo representa una red de n nodos como una matriz cuadrada de orden n, la llamaremos matriz C. De esta forma, el valor Cij representa el coste de ir desde el nodo i al nodo j, inicialmente en caso de no existir un arco entre ambos, el valor Cij ser infinito.Definiremos otra matriz D, tambin cuadrada de orden n, cuyos elementos van a ser los nodos predecesores en el camino hacia el nodo origen, es decir, el valor Dij representar el nodo predecesor a j en el camino mnimo desde i hasta j. Inicialmente se comienza con caminos de longitud 1, por lo que Dij = i.Las diagonales de ambas matrices representan el coste y el nodo predecesor para ir de un nodo a si mismo, por lo que no sirven para nada, estarn bloqueadas.

Ejemplo

Resolver la siguiente red por medio del algoritmo de Floyd.12344512213612341-42524-1321-24512-12341-23421-34312-44123-Interacciones:1 2 3 4 Resultado:

12341-32424-31321-24412-12341-33321-44312-44323-5.3 PROBLEMA DE ARBOL DE MINIMA EXPANSION

El algoritmo del rbol de expansin mnima es un modelo de optimizacin de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mnima (entindase por longitud del arco una cantidad variable segn el contexto operacional de minimizacin, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

SeanN = {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red.

Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteracin k

k= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIN DEL ALGORITMODefinir los conjuntos C0 = {} y 0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIN DEL ALGORITMO

Definir los conjuntos C0 = {} y 0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

PASO 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto 0 llamado i el cual ser el primer nodo permanente, a continuacin se debe de actualizar el conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana el elemento i el conjunto 0 pierde el elemento ipor ende ahora ser igual a 1 = N - {i}, adems se debe actualizar el subndice de los conjuntosk, el cual ahora ser igual a 2.

PASO 2: PASO GENERAL "K"Se debe de seleccionar un nodoj del conjunto K-1 ("k-1" es el subndice que indica que se est haciendo referencia al conjunto de la iteracin inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente CK-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todava se debe conectar para lograr la expansin. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.CK = CK-1 + {j} mientras queK =K-1 - {j}

El paso general que definek que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjuntoK no sea vaco, cuando este conjunto sea igual a vaco se tendr el rbol de expansin mnima.El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quiz el ms simple, sin embargo mediante el ejemplo grfico se ver que es un algoritmo muy sencillo de elaborar.

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contar con la urbanizacin de ms de 7 proyectos habitacionales que se ubicarn a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construir no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios pblicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inici la construccin de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro).

El acueducto municipal al ver la situacin del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalacin de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Melndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, adems es el ms cercano al mismo), la instalacin de los ductos implica obras de excavacin, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilmetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuacin. Adems la capacidad de bombeo del nodo Melndez es ms que suficiente para satisfacer las necesidades de presin que necesita la red madre.

PASO 0:Se definen los conjuntos iniciales C0 = {} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteracin indicada en el subndice y 0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteracin indicada en el subndice.

PASO 1:Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto0, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y 0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora ser igual a 2.

PASO 2:Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto K-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjuntoCk-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan elconjunto K-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por endeK-1= 1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.Al actualizar los conjuntos quedan as:C2 = {1,2} y 2 = {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin. Ahora se seleccionar un nuevo nodo j del conjunto2que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjuntoC2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra eleccin con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el nodo 4.Al actualizar los conjuntos quedan as:C3 = {1,2,4} y 3 = {3,5,6,7,8}Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la lnea azul interrumpida ir trazando nuestro rbol de expansin final. Dado a que el arco menor es el de longitud 3, ahora se enlazar de manera permanente el nodo 5.Al actualizar los conjuntos quedan as:C4 = {1,2,4,5} y 4 = {3,6,7,8}Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Ahora se enlazar de manera permanente el nodo 7.Al actualizar los conjuntos quedan as:C5 = {1,2,4,5,7} y 5 = {3,6,8}Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Ahora se enlazar de manera permanente el nodo 6.Al actualizar los conjuntos quedan as:C6 = {1,2,4,5,7,6} y 6 = {3,8}Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazar de manera permanente el nodo 3.Al actualizar los conjuntos quedan as:C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y 7 = {8}Ahora se procede a actualizark ya que se procede a efectuar la ltima iteracin.

Ahora se enlazar de manera permanente el nodo 8.Al actualizar los conjuntos quedan as:C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y 8 = {}Por ende se ha llegado al rbol de expansin mnima

5.4 FLUJO MXIMO

Flujo mximo

Planteamiento.Todo flujo a travs de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente y termina en otro nodo llamado destino.Los nodos restantes son de transbordo (A,B,C,D,E)Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco.El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalente, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

AplicacionesMaximizar el flujo a travs de la red de distribucin de la compaa de sus fbrica a sus clientes.Maximizar el flujo a travs de la red de suministros de la compaa de los proveedores a las fbricas.Maximizar el flujo de petrleo por un sistema de tuberas.Maximizar el flujo de agua a travs de un sistema de acueductos.Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

Red de flujo.Una red de flujo es un grafo dirigido donde existen dos vrtices especiales, uno llamado fuente, al que se le asocia un flujo positivo y otro llamado sumidero que tiene un flujo negativo y a cada arista se le asocia cierta capacidad positiva.

Algoritmo de flujo mximo.El procedimiento para obtener el flujo mximo de una red, consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al destino y asignar el flujo mximo posible en esa trayectoria.Capacidad residual: es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar:

cf(u,v)= c(u,v) - f(u,v)

Dada una red de flujo mximo, plantee la red residual asociada.Encuentre la trayectoria de la fuente al destino con capacidad de flujo estrictamente positivo (si no existe alguno, es por que se ha encontrado el ptimo).Examine estas trayectorias para encontrar la rama o arco con la menor capacidad de flujo restante e incremente en ste valor, la capacidad del flujo en sentido contrario.Determine todas las trayectorias estrictamente positivas, hasta que no se permita flujo del nodo a un nodo destino.

Algoritmo de flujo mximo.

Aplicacin del algoritmo al problema de flujo mximo de Seervada Park. A O B D5 T E C74394154162LeyendaO EntradaT Mirador RutasA-F Estaciones de GB# Lmite sup. de viajes

Solucin factible. A O B D5 T E C74394154162LeyendaO EntradaT Mirador RutasA-F Estaciones de GB# Lmite sup. de viajes 5 viajes 1 viaje 1 viajeInvalidada

ITERACIN 1:La trayectoria de aumento es O B E TTiene una capacidad residual igual al min. {7,5,6}= 5. Si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria de red que resulta es :

ITERACIN 2: Se asigna un flujo de 3 a la trayectoria de aumento O A D T . La red resultante es:

ITERACIN 3: Se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O A B D TLa red resultante es:

ITERACIN 4: Se asigna un flujo de 2 a la trayectoria de aumento O B D T La red resultante es:

ITERACIN 5: Se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O C E D TLa red resultante es:01

ITERACIN 6: Se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O C E T.La red resultante es:

ITEARACIN 7: Se asigna un flujo de 1 a la trayectoria de aumento O C E B D T. Ya no existen trayectorias de aumento por lo que el patrn de flujo actual es optimo.

SOLUCINEl patrn de flujo actual se puede identificar acumulando las asignaciones de flujo, en este caso se suman 5+3+1+2+1+1+1 el flujo mximo es 14.

5.5 PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MINIMO

El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos Y de la conexin superior de flujo a travs de cada arcoLa solucin ptima es: X12 = 12, X13 = 8, X23 = 8, X24 = 4, X34 = 11, X35 = 5, X45 = 10, todos los dems Xij = 0. El costo ptimo es $150