Optimizacion en Redes

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Optimizacin en Redes

1

CONCEPTOS BASICOS LOS PROBLEMAS DE REDES SURGEN EN UNA GRAN CANTIDAD DE SITUACIONES. LAS REDES ELECTRICAS, TRANSPORTE, COMUNICACIONES, VENTAS, ETC. LA REPRESENTACION DE REDES SE UTILIZA EN AREAS MUY DIVERSAS COMO PRODUCCION, DISTRIBUCION, PLANEACION DE PROYECTOS, LOCALIZACION DE INSTALACIONES, ADMINISTRACION DE RECURSOS, Y PLANEACION FINANCIERA, ENTRE OTROS UNO DE LOS GRANDES AVANCES DE LA IO HAN SIDO LAS NUEVAS METODOLOGIAS, APLICADAS A LOS MODELOS DE OPTIMIZACION DE REDES. EN LA ACTUALIDAD SE CUENTA CON ALGORITMOS QUE CODIFICADOS EN UNA COMPUTADORA HOY NOS AYUDAN A RESOLVER PROBLEMAS TAN COMPLEJOS QUE HACE 2 DECADAS NO SE TENIA SOLUCION.

2

PROBLEMAS MAS COMUNES EN REDES PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA EL PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSION PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MINIMO

3

Conceptos Bsicos 1 Nodos Arcos o rutas Arco dirigido Red Red dirigida Trayectoria: sucesin de arcos que conectan 2 nodos 3 2 4 5 7 6

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

5

Ruta ms corta En qu ocasiones ser pertinente modelar un problema de red buscando la ruta ms corta? Se te ocurre como modelarlo como problema de Optimizacin Lineal? Qu dificultades identificas al hacerlo?

6

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTAPor medio de la aplicacin del algoritmo de este problema podemos conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino. Pasos a seguir: Primer paso: Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de l. Segundo paso: Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo ms cercano a l. Tercer paso: Anular todos los ramales que entren al nodo ms cercano elegido. Cuarto paso: Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo ms cercano a l, por intermedio del(los) nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar al destino. Ejemplo:

Ejemplo 1: La administracin de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las lneas telefnicas para conectar las estaciones con una longitud total mnima de cable.

Se describir paso a paso la solucin de este problema, en base a los datos que se proporcionan en la figura siguiente. Los nodos y distancias se muestran en la red, en donde las lneas delgadas representan ligaduras potenciales.

PROBLEMA PROTOTIPO RED SEERVADA PARK

N

Aplicacin del algoritmo de la ruta ms corta al problema de Seervada ParkNodos resueltos, Nodos no conectados directamenteresueltos ms a nodos no resueltos cercanos conectados

1 2,3 4 5 6

O O A A B D B C E

A C D B D E T D E T D

Distancia N-simo total nodo ms involucrada cercano

Distancia mnima

ltima conexin

2 A 4 C 2+7=9 B 2+2=4 2+7=9 4+3=7 E 8+5=13 T 4+4=8 D 7+7=14 D 7+1=8

2 4 4 7 13 8 8

OA OC AB BE DT BD ED

RED SEERVADA PARK

En forma arbitraria, se selecciona el nodo O como inicio. El nodo no conectado ms cercano a O es A. Se conecta el nodo O con A . OA

El nodo no conectado ms cercano a los nodos O o A es el nodo B (ms cercano a A). Se conecta el nodo B con el nodo A.- AB

2

El nodo no conectado ms cercano a los nodos O o A o B es el nodo C (ms cercano a B),. Se conecta el nodo C con el nodo B.- BC

2

El nodo no conectado ms cercano a los nodos O o A o B o C, es el nodo E (ms cercano a B),. Se conecta el nodo E con el nodo B.- BE

2

El nodo no conectado ms cercano a los nodos O, A, B, C o E, es el nodo D (ms cercano a E),. Se conecta el nodo D con el nodo E.- ED

2

El nico nodo no conectado es el nodo T. Esta ms cercano al nodo D. Se conecta el nodo T con el nodo D.DT : SOLUCIN: OA-AB-BE-ED-DT=13 SOLUCION: OA-AB-BD-DT = 13

2

Usando WinQSB

Usando WinQSB

Anlisis de la solucin Todo los nodos han quedado conectado por que sta es la solucin ptima que se buscaba. La longitud total de las ramas es 14 millas. El objetivo es disear la red ms apropiada para el problema dado.

Ejemplo 2 de red13 19

24 18 30

16

1111

22

27

Ruta ms corta

Solucin Es decir, la ruta ms corta corresponde a la ruta ABFJ, la cual suma 30 unidades.

rbol de expansin mnimaEste problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El rbol de expansin mnima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantneo.

EL TRANSITO DE LA CAPITALLa ciudad de Managua esta planificando el desarrollo de una nueva lnea en sistemas de trnsito. El sistema debe unir 5 distritos, Universidades y centros comerciales. La Direccin de transito necesita seleccionar un conjunto de lneas que conecten todos los centros a un mnimo costo. La red seleccionada debe permitir:

- Factibilidad de las lneas que deban ser construidas. - Mnimo costo posible por lnea.

RED QUE REPRESENTA EL ARBOL EXPANDIDO

Zona Norte

3

5030Distrito Comercial

Universidad 5 39 45

55

33

34Zona Oeste

432

38

1

28Zona Centro

35 237

43

8Zona Este

40

4136

6

Centro Comercial

44

7

Zona Sur

SolucinSolucin - Analoga con un problema de redes

- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fcil (trivial). - Corresponde a una categora de algoritmos vidos. - Algoritmo: * Comience seleccionando el arco de menor longitud. * En cada iteracin, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la precaucin de no formar ningn loop. * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos estn conectados.

Solucin mediante el computador

- Los entrada consiste en el nmero de nodos, el largo de los arcos y la descripcin de la red.

SolucinSolution for Minimal Spanning Tree Problem PROBLEMA DE TRANSITO MANAGUA 1 2 3 4 From Node Zona Oeste Zona Centro Zona Centro Zona Centro Connect To Distance/Cost From Node Connect To Zona Centro 28 5 Zona Sur Centro Comercial 36 Zona Norte 30 6 Zona Centro Zona Sur Distrito Comercial 32 7 Universidad Zona Este Universidad 35 Connected Distance or Cost = 236 Distance/Cost 37 38

Total Minimal

Solucin ptima mediante WINQSB Solucin ptima mediante WINQSB

RED QUE REPRESENTA LA SOLUCIN PTIMAZona Norte33

3

5030Distrito Comercial 4 39

Universidad

55

538

34 Zona Oeste 128

Loop

32

45

35 2 Zona Centro37

43

8 Zona Este

6 4144

40

Centro Comercial

Costo Total = C$236 millones7 Zona Sur

36

PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO Nos permite conocer(calcular) la mxima cantidad de cualquier artculo o informacin que podemos transportar desde un origen hasta un destino. Pasos a seguir : Primer paso: Elegir una ruta arbitraria. Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y transportar por esa ruta la cantidad escogida. Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de flujo.

Algunas Aplicaciones Maximizar el flujo a travs de la red de distribucin de una compaa desde sus fbricas hasta sus clientes. Maximizar el flujo a travs de la red de suministros de una compaa de proveedores a las fbricas. Maximizar el flujo de petrleo por tuberas. Maximizar el flujo de agua a travs de un sistema de acueductos. Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

Ejemplo 1Problema de flujo mximo de Seervada Park. Tiene varias fbricas y mltiples clientes. Se trata de aumentar la red original que incluya una fuente ficticia y un destino ficticio y algunos arcos nuevos.

Problema de flujo mximo de Seervada ParkA

3 1

D

9

5O

7B

4 5 1E

T

4C

2 4

6

Red residual del problema de flujo mximo de Seervada Park0 5O A

3 1 0 0 0 2B

0 0 4 5 0 0 0 1E D

9 0T

0

7 4 0C

4

6

Iteraccin 1: Una de las trayectorias de aumento es OB E T que tiene capacidad residual igual al mn{7,5,6}=5 si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria, la red resultante es:A

3 1 0 4B

0 0D

0 5 5O

9 0 5T

0 2 5 0 2 0C

0 5 0

4

1E

4

1

5

Iteraccin 2: Una de las trayectorias de aumento es OA D T que tiene capacidad residual igual al mn{5,3,9}=3, si se asigna un flujo de 3 a esta trayectoria, la red resultante es:3 2 8O A

0 1 0 4B

3 0D

6 3 5T

0 2 5 0 2 0C

0 5 0

4

1E

4

1

8

Iteraccin 3: Una de las trayectorias de aumento es OA B D T que tiene capacidad residual igual al mn{2,1,4,6}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:4 1 9O A

0 0 1 5 0 2B

3 1 3 0 5 0 5 1E D

5 4T

0

2 4 0C

4

1

9

Iteraccin 4: Una de las trayectorias de aumento es OBD T que tiene capacidad residual igual al mn{2,3,5}=2, si se asigna un flujo de 2 a esta trayectoria, la red resultante es:0 0 1 0 4 0C

3 3 1B D

4 1 11O

A

3 6 5T

0

7 0 2 4

0 5 0E

1 1

11

Iteraccin 5: Una de las trayectorias de aumento es OC E D T que tiene capacidad residual igual al mn{4,4,1,3}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:4 1 12O A

0 0 1 7 0 2B

3 3 1 0 5 1 5 0E D

2 7T

1

0 3 1C

3

1

12

Iteraccin 6: Una de las trayectorias de aumento es OC E T que tiene capacidad residual igual al mn {3,3,1}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:4 1 13O A

0 0 1 7 0 2B

3 3 1 0 5 2 6 0E D

2 7T

1

0 2 2C

2

0

13

Iteraccin 7: Una de las trayectorias de aumento es OC E B DT que tiene capacidad residual igual al mn {2,2,5,1,2}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:4 1 14O A

0 0 1 7 0 2B

3 4 0 1 4 3 6 0E D

1 8T

1

0 1 3C

1

0

14

Ya no existe trayectoria de aumento, por lo que el patrn actual es ptimo

Maximal Flow Problem

Solucin WinQSB

Ejemplo 2E n co n tra r e l fl j m xi o , e n l re d ,, u o m a d a d o q u e l ca p a ci a d a tra v s d e l a d a rco q u e va d e l n o d o i a l n o d o j e s e l n m e ro m s ce rca n o a l n o d o i d e l a rco e n tre e sto s n o d o s.

RED DE FLUJO MAXIMOA

4 4

6I Origen B

1 3 4C

D

1

4

3E

T

9

Final

I ra cci n 1 : U n a d e l s tra ye cto ri s d e a u m e n to e s te a a I A D T q u e ti n e ca p a ci a d re si u a li u a la l e d d g m { 6 , 4 , 4 } =4 n si se a si n a u n fl j d e 4 a e sta tra ye cto ri , l re d g u o a a re su l n te e s: taA

0 4 1D

4 4I Origen

2 4 1 3B

0 4 4T Final

3 4 9E

C

I ra cci n 2 : U n a d e l s tra ye cto ri s d e a u m e n to e s te a a I B E T q u e ti n e ca p a ci a d re si u a li u a la l e d d g m { 4 , 3 , 9 } =3 n si se a si n a u n fl j d e 3 a e sta tra ye cto ri , l re d g u o a a re su l n te e s: taA

0 4 1D

4 7I Origen

2 1 1 3 3B

0 4 7T Final

0 4

3 6E

3

C

I ra cci n 3 : U n a d e l s tra ye cto ri s d e a u m e n to e s te a a I B C E T q u e ti n e ca p a ci a d re si u a li u a la l e d d g m { 1 , 3 , 4 , 6 } = 1 , se asigna un flujode 1 a esta n tra ye cto ri , l re d re su l n te e s: a a taA

0 4 1D

4 8I Origen

2 0 1 4B

0 4 8T Final

2 1C

0 3 1

3 5E

4

I ra cci n 4 : U n a d e l s tra ye cto ri s d e a u m e n to e s te a a I C E T , q u e ti n e ca p a ci a d re si u a li u a la l e d d g m { 1 , 3 , 5 } = 1 , se asigna un flujode 1 a esta n tra ye cto ri , l re d re su l n te e s: a a taA

0 4 1D

4 9I Origen

2 0 0 1 4B

0 4 9T Final

2 1C

0 2 2

3 4E

5

Maximal flow problem

Solucin WinQSB

Solucin finalI A D T

B

E

C

Problema del flujo mximoEste modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un nico lugar de origen hacia un nico lugar destino a travs de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada direccin del arco.

Definicin del Problema

- Existe un nodo origen (con el nmero 1), del cual los flujos emanan. - Existe un nodo terminal (con el nmero n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Existen n-2 nodos (nmerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la direccin opuesta.

El objetivo es encontrar la mxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.

COMPAA QUIMICA UNIDAQumica unida produce pesticidas y otros productos de control agrcola. El veneno qumico necesario para la produccin es depositado en grandes tambores. Una red de tubos y vlvulas regula el flujo del qumico de los tambores a las diferentes reas de produccin. El departamento de seguridad debe disear un procedimiento que vace los tambores de la forma ms rpida posible dentro de los tubos del rea de depsito, usando la misma red de tubos y vlvulas. El procedimiento debe determinar: - Qu vlvulas deben abrirse y cerrarse

N o se p e rm i fl j d e 4 a 2 . te u o 0 8 6 1 10 1 10 0 3 1 4 12 0 2 5 8 4 0 6 2 3 2 0 0 0 7 4 3 7

m xi o fl j d e 2 a 4 e s 8 m u o 0 2

Ta m b o re s co n q u i m co

Tu b o d e S e g

Solucin - Analoga de un problema de programacin lineal

Variables de decisin Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a travs del arco que conecta ambos nodos. Funcin Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1 Max X12 + X13 Restricciones [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7] X12 +X13 = X47 + X57 + X67 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale] Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 Nodo 3: X13 +X23 + X63 = X32 +X35 + X36 Nodo 4: X24 +X64 = X46 + X47

EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8;

X63

4; X64

3; X65

2; X67

2;

Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0

Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeo y la solucin puede ser obtenida rpidamente usando el modelo de programacin lineal. Sin embargo para problemas de mayor

Solucin-Analoga con un problema de redes

- La idea bsica es la siguiente: * Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos. * Aumentar el flujo de esos arcos por la mnima capacidad de uno de los arcos de la ruta. * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva. *Designar un nodo origen y un nodo de flotacin * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos) * A continuacin se muestra la solucin obtenida usando WINQSB.

E lm xim o flujo o b te n ido p o r W IN Q S B m u o d N E lm xi o fl j o b te n i o p o r W I Q S B

8

7 2 7 1 Ta m b o re s co n q u i 1 0 m co 3 2 8

4 7

Fl j M xi o = 1 7 u o m6 2 7 8 5 Tu b o d e S e g .

Problema del flujo del costo mnimo El problema del flujo del costo mnimo tiene una posicin central entre los modelos de optimizacin de redes; 1) abarca una clase amplia de aplicaciones 2) su solucin es muy eficiente

Igual que el problema de flujo mximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades de arcos limitadas. Igual que el problema de la ruta ms corta, considera un costo o distancia del flujo a travs de un arco. Al igual que el problema del transporte o el de asignacin se pueden manejar varios orgenes y varios destinos del flujo con costos asociados. En realidad estos cuatro problemas son casos especiales del problema del flujo de costo mnimo.

Mtodo simplex de redes A continuacin se describe el problema de del flujo de costo mnimo.1.La red es red dirigida y conexa 2.Al menos uno de los nodos es un nodo fuente 3.Al menos uno de los nodos es un nodo demanda. 4.El resto de los nodos son nodos transbordo. 5.Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco.(si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.

Mtodo simplex de redes A continuacin se describe el problema del flujo de costo mnimo (cont.).6.La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. 7.El costo del flujo a travs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. 8.El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a travs de la red para satisfacer la demanda dada. (un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envo)

Tipo de aplicacin

Aplicaciones comunes del problema del flujo de costo mnimoNodos fuentes Nodos de transbordoAlmacenes intermedios Instalaciones de procesamiento Almacenes intermedios Productos de un artculo especfico Fuentes de bienes

Nodos demandaclientes Rellenos Instalaciones de procesamiento Mercado del producto especfico

Operacin de una red de distribucin

Administracin de Fuentes de desechos slidos desechos slidos Operacin de una Agentes de red de suministros ventas Coordinacin de mezclas de productos en plantas Plantas

Formulacin del modelo Considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y un nodo destino. Las variables de decisin son: X ij = flujo a travs del arco i jy la informaci n dada incluye Cij = costo por unidad de flujo a travs del arco i j U ij = capacidad del arco i j b i = flujo neto generado por nodo i

Formulacin del modelo El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, donde: bi 0 si i es un nodo fuente b i 0 si i es un nodo demanda bi = 0 si i es un nodo de transbord o El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a travs de la red para satisfacer la demanda.

Formulacin del modelo La formulacin de programacin lineal de este problema es:

M im in izar sujeto a:ij

Z = Cij X ij i= 1 j= 1 n

n

n

Xj= 1

n

Xj= 1

ji

=bi

para cada nodo i para cada arco i j

y

0 X ij uij

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a travs de la red para satisfacer la demanda.

Propiedades No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles, pues todo depende en parte de qu arcos estn presentes en la red y de sus capacidades.

De cualquier manera, para una red diseada en forma razonable, la condicin necesaria ms importante es la siguiente. El flujo total generado por los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos n destino.

bi =1

i

=0

Ejemplo 1Flujo de Mnimo CostoX24 X12

X23 X34 X13 costo, capacidad X53 X25 X35

X45

Como PPL

Nodo fuente Nodo de transbordo Nodo demanda Capacidad de los nodos

Solucin La solucin ptima es: X12 = 12 X13 = 8 X23 = 8 X24 = 4 X34 = 11 X35 = 5 X45 = 10

Todos los dems Xij = 0. El costo ptimo es $150.

WinQSB-PPL

Solucin ptimaFlujo de Mnimo CostoX24 =4 X12 =12

X23 =8 X34 =11 X13 =8 X25 X35 =5 X53

X45 =10

Costo ptimo=U$ 150.00

Ejemplo 2

Ejemplo 2

x AB

X ADX AC

X AC

X AB

X DEX CE

X ED

X BC

Ejemplo 2Minimizar

Z = 2 x A B + 4 x A C + 9 x A D + 3xB C + xC E + 3xD E + 2 xE Dx AB + x AC + x AD = 50

Sujeto a:

x AB + x BC = 40 x AC x BC + xCE = 0 x AD + x DE x ED = 30 xCE x DE + x ED = 60

x A 0 1 B

xCE 80

x 0 ij

Solucin

x AB

X AC = 40

X AD = X 10AC

X AB X BC = 40

X DEX CE = 80

X ED = 20

Modelo PPL

Salida PPL