Optyka falowa - Centrum Nauczania Matematyki i Fizykicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/11optyka_fal_new2_12i.pdf · Dyfrakcja Fraunhofer’a Znacznie prościej jest rozwiązać

Optyka falowa

dr inż. Ireneusz OwczarekCMF PŁ

[email protected]://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2012/13

Plan wykładu

Spis tresci

1. Fale elektromagnetyczne 21.1. Model falowy światła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Zjawisko interferencji 22.1. Falowa natura światła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Przykłady zastosowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Ugiecie swiatła 73.1. Podstawowe prawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Typy dyfrakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Dyfrakcja Fraunhofer’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Siatka dyfrakcyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Zjawisko polaryzacji swiatła 194.1. Istota zjawiska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Zastosowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Barwy 24

1. Fale elektromagnetyczne

1.1. Model falowy swiatła

Swiatło jako falaOptyka falowa to dział optyki, w którym uwzględniona jest falowa natura światła. W ra-

mach optyki falowej badane są takie zjawiska jak: interferencja, dyfrakcja i polaryzacja.

Zasada HuygensaWszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych kulistych falwtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest wyznaczone przez powierzchnię stycznądo powierzchni fal wtórnych.

Fale wtórne wzajemnie ze sobą interferują.

Przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego częstotliwość fali nie ulega zmianie

λ1λ2

=v1v2.

Korzystając z zasady Huygensa można wyprowadzić prawo załamania (prawo Snella)

sinΘ1sinΘ2

=λ1λ2

=v1v2.

Ponieważn1 =

c

v1i n2 =

c

v2to

sinΘ1sinΘ2

=c

n1

n2c

= n21.

2. Zjawisko interferencji

2.1. Falowa natura swiatła

InterferencjaWarunkiem zaistnienia stałego w czasie rozkładu przestrzennego amplitudy interferują-

cych fal jest ich spójność. Dwie fale są spójne jeżeli różnią się tylko przebytą drogą optyczną.Jak zbadać spójność światła? Dla dwu lub większej liczby fal należy zbadać ich zdolność dointerferencji:

• czasowej – zdolność do interferencji dwóch promieni światła wychodzących z tego sa-mego punktu źródła światła w różnych momentach. Jest związana z monochromatycz-nością źródła światła (np. doświadczenie Younga). Czas spójności wynosi ok. 10−8s,

• przestrzennej – jest wielkością charakteryzującą zgodność między fazami fal emitowa-nych z różnych punktów rozciągłego źródła światła w danym momencie czasu (np.płytki dzielące światło – Interferometr Michelsona). W przypadku większości źródełświatła obszar spójności przestrzennej nie przekracza rozmiarów pojedynczego atomu.

c© Ireneusz Owczarek, 2013 2

Pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła było doświadczenieThomasa Younga (w 1801 r.).

Zakłada się, że światło padające jest monochromatyczne. Oba promienie wychodzące ze

szczelin S1 i S2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej.

Doswiadczenie YoungaOświetlenie w każdym punkcie ekranu jest określone przez różnicę dróg ∆L, jakie prze-

bywają promienie świetlne docierające do tego punktu

∆L = d sinΘ .


Otrzymuje się maksima – jasne prążki

d sinΘ = mλ, m = 0, 1, 2...

i minima – ciemne prążki

d sinΘ = (m+12

)λ, m = 0, 1, 2..

Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami na obrazie interferencyjnym nie zależy

od m; prążki są rozmieszczone równomiernie. Dla każdej długości fali λ powstaną oddzielneukłady prążków o różnym odstępie między nimi.

Przykład: Obliczyć odległość między sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowa-nymi na ekranie umieszczonym w odległości 1m od dwu szczelin odległych od siebie o 1mmoświetlonych żółtym światłem sodowym o długości λ = 589nm. Dla m = 1 otrzymuje się

sin θ =λ

d=

589 · 10−9m10−3m

= 589 · 10−6,

co daje θ ≈ 0, 003 ◦. Dla tak małych kątów dobrym przybliżeniem jest sin θ ∼= tg θ ∼= θ

tg θ =y

D.

Dla m-tego prążka

ym = mλD

d.

Dlatego odległość między kolejnymi prążkami

∆y = ym+1 − ym =λD

d=

589 · 10−9m · 1m10−3m

= 589 · 10−6m.

Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m, prążki są rozmieszczonena ekranie równomiernie.


Doswiadczenie Younga – Natezenie swiatłaW punkcie P składowe pola zmieniają się w czasie

E1 = E0sinωt

orazE2 = E0sin(ωt+ φ).

Pole wypadkowe

E = E1 + E2 =(

2E0 cosφ

2

)· sin(ωt+

φ

2) = EΘ sin(ωt+

φ

2).

Natężenie fali wypadkowejIΘ ∝ E2Θ .

Iloraz natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali padającej

IΘI0

=

(EΘE0

)2Jeżeli φ jest różnicą faz między falami

IΘ = 4I0 · cos2(φ

2

).

różnica faz2π

=różnica dróg

λ,

ϕ

2π=d sin θλ

,

ϕ = 2π

λ

(d sin θ

).

Niezależnie, czy do ekranu dociera światło ze źródeł spójnych, czy też nie, średnie natężenie

musi być zawsze takie samoIsr = 2I0.

2.2. Przykłady zastosowan

Interferencja w cienkich warstwachWarunek na maksimum

2t · n2 =(m+

12

)λ m = 0, 1, 2...

Warunek na minimum2t · n2 = mλ m = 0, 1, 2....


Przykład: Bańka mydlana (n = 1, 33) znajdująca się w powietrzu ma grubość 320nm.Jaki kolor ma światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem białym padającym pro-stopadle? Z warunku na maksimum

λ =2ndm+ 1

2

=850m+ 1

2

nm.

Wartości długość fali dla kolejnych m:

• m = 0, λ = 1700nm, poza zakresem widzialnym,

• m = 1, λ = 567nm, w zakresie widzialnym (barwa żółtozielona),

• m = 2, λ = 340nm, poza zakresem widzialnym,

• m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.


Interferometr MichelsonaInterferencja pozwala na bardzo precyzyjny pomiar długości drogi od źródła do detektora

fali. Metoda ta pozwala wyznaczyć długość przedmiotów w jednostkach długości fali światła.

3. Ugiecie swiatła

3.1. Podstawowe prawa

Istota zjawiska

Zjawisko dyfrakcjipolega na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody. Jeże-li rozmiary przeszkody porównywalne są z długością fali (λ) to występuje odstępstwo odprostoliniowego biegu promieni.

Przy rozmiarach otworu mniejszych od λ za otworem powstanie fala kulista.


DyfrakcjaDyfrakcja na pojedynczej szczelinie.

Dla danej długości fali λ dyfrakcja jest tym wyraźniejsza, im mniejsza jest szerokośćszczeliny a.


3.2. Typy dyfrakcji

KlasyfikacjaDyfrakcja Fresnela w wiązce promieni zbieżnych

• padająca fala jest kulista lub płaska,

• obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w skończonej odległości od przeszkody (obrazprzeszkody).

Dyfrakcja Fraunhofer’a w wiązce promieni równoległych

• padająca fala jest płaska,

• obraz dyfrakcyjny obserwowany jest w płaszczyźnie ogniskowej soczewki skupiającej(obraz oddalonego źródła).

Dyfrakcja FresnelaObraz dyfrakcyjny okrągłego otworu ma postać koncentrycznych, naprzemiennych pier-

ścieni jasnych i ciemnych. W środku obrazu występuje plamka jasna lub ciemna. Można

podzielić powierzchnie falową na strefy pierścieniowe, żeby drgania pochodzące od sąsiednichstref były w przeciw-fazie.


Dyfrakcja Fraunhofer’aZnacznie prościej jest rozwiązać problem dyfrakcji fal płaskich, dlatego czasem stosuje

się przejście od dyfrakcji bliskiego pola (dyfrakcji Fresnela) do dyfrakcji dalekiego polazwanej też dyfrakcją Fraunhofera. Wtedy, gdy szczelina odsłania mały ułamek środkowejstrefy Fresnela. Dyfrakcję Fraunhofer’a można zrealizować za pomocą dwu soczewek, między

którymi znajduje się otwór. Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległą, a drugaskupia fale płaskie opuszczające otwór.

3.3. Dyfrakcja Fraunhofer’a

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

Szerokość kątowa środkowego maksimum maleje wraz ze zmniejszaniem się ilorazu

a

λ.

Procedura wyznaczania położenia prążków jest podobna do procedury wyznaczania po-łożeń prążków w obrazie interferencyjnym. Warunek na wystąpienie minimów (ciemneprążki)

a sinΘ = mλ m = ±1,±2, ...


Rozkład natężenia (światła w obrazie dyfrakcyjnym)

I(Θ) = Im

(sinα

α

)2gdzie

α =φ

2=πa

λsinΘ ,


można uzyskać na podstawie konstrukcji obok

sinφ

2=EΘ2R

φ =EmR

toEΘ =

Emφ2

sinφ

2

a natężeni I(Θ) ∝ E2Θ .


Dwie szczelinyNatężenie obrazu interferencyjnego po uwzględnieniu efektów dyfrakcyjnych

I(Θ) = Im

interferencja︷︸︸︷(cos2β)

dyfrakcja︷︸︸︷(sinα

α

)2gdzie

α =πa

λsinΘ ,

β =πd

λsinΘ ,

a jest szerokością szczelin, a d – odległością między szczelinami.

Dwie szczeliny – złozenie dyfrakcji i interferencji

I(Θ) = Im

(cos2(π

d

λsinΘ)

)(sin(π aλ

sinΘ)π aλ

sinΘ

)2.

d

λ= 30

a

λ= 5

d

λ= 10

a

λ= 5


I(Θ) = Im

(cos2(π

d

λsinΘ)

)(sin(π aλ

sinΘ)π aλ

sinΘ

)2.

d

λ= 30

a

λ= 10

d

λ= 30

a

λ= 2

Zdolnosc rozdzielcza

Kryterium Rayleigh’aJeśli położenie centralnego maksimum jednego obrazu dyfrakcyjnego przypada na położeniepierwszego minimum drugiego obrazu, to obrazy te są rozróżnialne.

Warunek na powstanie pierwszego minimum dla szczeliny o szerokości a (m = 1)

sinΘ =λ

a

dla małych kątów Θ ≈ Θ minimalna odległość kątowa

Θmin =λ

a.

Dla otworu kołowego

Θmin = 1, 22 · λD.

Kryterium Rayleigh’a jest tylko przybliżeniem, gdyż rozdzielczość zależy od:

• względnej jasności źródeł i ich otoczenia,

• sprawności wzroku obserwatora.


Przykład:Oceń rozdzielczość oka ludzkiego zakładając, że jest ona ograniczona przez limit dyfrak-

cyjny. Długość fali światła wynosi 500nm (maksimum czułości oka), a średnica źrenicyD = 2mm.

Θmin = 1, 22 · λD

= 1, 22 · 500 · 10−9m2 · 10−3m

≈ 3 · 10−4rad.

d ≈ LΘmin = 0, 25m · 3 · 10−4rad = 7, 5 · 10−5m.

3.4. Siatka dyfrakcyjna

Obraz dyfrakcyjny

Warunek na powstanie maksimum głównego

d sinΘ = mλ

gdzie d = a + b jest stałą siatki, a – szerokość szczeliny, b – szerokość przysłony (obszarunieprzezroczystego), m = 0, 1, 2, ... – rząd widma.

Jeżeli N szczelin zajmuje szerokość w to stała siatki

d =w

N.


Minima występują N razy gęściej niż maksima główne. W miejscach gdzie nie ma maksimówgłównych, występują maksima poboczne (o znacznie mniejszej wysokości).

Zwiększenie liczby szczelin

• nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy stałych d i λ),

• prowadzi do zwężenie (wyostrzenie) maksimów głównych,

• prowadzi do pojawienia się wtórnych maksimów pomiędzy maksimami głównymi.

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnejjest miara zdolności rozdzielenia dwóch blisko leżących maksimów

R =λ

∆λ= mN

Zdolność rozdzielczą można zwiększyć używając siatki o większej liczbie szczelin, albo teżpracując w wyższych rzędach.


Zastosowanie siatek dyfrakcyjnychLinie emisyjne wodoru kadmu żelaza

3.5. Naturalne siatki dyfrakcyjne

Dyfrakcja promieniowania XDługości fal promieniowania X zawarte są w zakresie od 1pm do 10nm. Aby uzyskać widmo

takiego promieniowania należałoby dysponować siatka dyfrakcyjną o stałej, co najwyżejrzędu 10nm, tzn. zawierającej, co najmniej 100 000 rys na milimetrze.

Obiektami, na których można obserwować dyfrakcję promieni rentgenowskich są kryształy.



Warunek na występowanie maksimum natężenia dla dyfrakcji promieni X

Prawo Bragga2d sinΘ = mλ

gdzie m = 1, 2, 3, ....

Dyfrakcja promieni X i elektronów na folii aluminiowej.

4. Zjawisko polaryzacji swiatła

4.1. Istota zjawiska

Definicja

Polaryzacja światłaporządkowanie wektora natężenia pola elektrycznego ~E w wiązce (a więc i wektora indukcjimagnetycznej ~B).

Polaryzacja występuje tylko dla fal poprzecznych.

Rodzaje polaryzacji

Rodzaje polaryzacji:


• polaryzacja liniowa, drganie wektora ~E odbywa się wzdłuż linii prostej. Drgania skła-dowe są w fazie lub w przeciwfazie (180o),

• polaryzacja kołowa – drganie to odpowiada ruchowi po okręgu. Dwa drgania o jedna-kowych amplitudach ale o fazach przesuniętych o 90o lub −90o.

• polaryzacja eliptyczna jest uogólnieniem polaryzacji kołowej.


Sposoby polaryzacji swiatła

Prawo Brewstera

tgΘp =n2n1

= n21

Całkowita polaryzacja przez załamanie.

4.2. Zastosowanie

Płytki polaryzujaceŚwiatło niespolaryzowane pada na płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaro-

idem. Płytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznegosą równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, w których są one prostopadłe.Kierunek polaryzacji ustala się w procesie produkcji płytki:

• cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na elastycznej warstwie plastycznej,

• warstwę rozciąga się co powoduje równoległe ułożenie cząsteczek.


Natezenie swiatła przechodzacego przez polaryzatorJeżeli światło padające na polaryzator jest już światłem spolaryzowanym, to można wy-

korzystać

Prawo MalusaI = I0 cos2Θ .

Podwójne załamanie

Ciała anizotropoweto ciała, dla których prędkość światła, a więc i współczynnik załamania, zależą od kierunkurozchodzenia się światła w ośrodku.

Promień zwyczajny ’o’ przechodzi przez kryształ z jednakową prędkością we wszystkichkierunkach tzn. ma jeden współczynnik załamania tak jak izotropowe ciało stałe. Promieńnadzwyczajny ’e’ ma prędkość w krysztale zależną od kierunku.

Podwójne załamaniegdy pojedyncza wiązka rozszczepia się na powierzchni kryształu na dwie.

Przykład podwójnego załamania

Dichroizmgdy jedna ze składowych polaryzacji jest pochłaniana silniej niż druga.

Na tej zasadzie opiera się działanie szeroko stosowanych polaroidów. Zamiast dużej płytkiwyciętej z kryształu można zastosować wiele małych kryształów o osiach optycznych usta-wionych równolegle do siebie.

PrzykładPo przyłożeniu napięcia do elektrod, generowane przez nie pole elektryczne wymusza

taką zmianę uporządkowania cząsteczek w warstwie ciekłego kryształu, że nie obraca onapolaryzacji światła. Powoduje to, że światło nie przechodzi przez analizator, co daje efektczerni.


Techniki wyswietlania obrazu


5. Barwy

Kolor i barwaTerminy kolor i barwa są w języku polskim synonimami. Widzenie kolorów to wyłącznie

subiektywne wrażenie psychiczne powstające w mózgu człowieka. Konkretną barwę moż-na zmierzyć za pomocą odpowiednich urządzeń (np. spektrofotometrem) i przedstawić wpostaci liczbowej umieszczając ją w określonej przestrzeni barw.



Literatura

[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.

[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagad-nień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.

[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.

[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.Podstawy fizyki.

[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizy-ki.


Documents

Optyka falowa - Centrum Nauczania Matematyki i Fizykicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/11optyka_fal_new2_12i.pdf · Dyfrakcja Fraunhofer’a Znacznie prościej jest rozwiązać