JACEK KRUŻELECKI∗, MAREK BARSKI**

OPTYMALIZACJA STATECZNOŚCI KOLUMN Z PRZESUWNYM UTWIERDZENIEM

OPTIMIZATION OF STABILITY OF COLUMNS WITH CLAMPED-CLAMPED GUIDED ENDS

S t r e s z c z e n i e

W artykule rozważano optymalizacje sprężystej kolumny utwierdzonej nieprzesuwnie z jed-nej strony, a z drugiej mającej przesuwne utwierdzenie. Poszukiwano rozkładu pola prze-kroju wzdłuż osi kolumny prowadzącego do maksymalizacji siły krytycznej. Wykorzystano bezgradientową metodę optymalizacji symulowanego wyżarzania, stosując obliczenia roz-proszone i MES. Szczególny nacisk położono na wskazanie różnic w rozwiązaniach optymalnych dla rozpatrywanej tutaj kolumny i kolumny obustronnie utwierdzonej.

Słowa kluczowe: optymalizacja, stateczność, kolumna utwierdzona przesuwnie

A b s t r a c t

In the paper the problem of optimization of an elastic column with clamped-clamped guided ends is investigated. It seeks a cross-sectional area, varying along the axis of the column, which leads to the maximum of the critical force. The simulated annealing method is utilized and distributed computing and FEM are applied. Particular attention is paid to show differences between the optimal solutions obtained for the column considered in this paper and the column clamped at both ends.

Keywords: optimization, stability, column with clamped-clamped guided ends ∗Prof. dr hab. inż. Jacek Krużelecki, Instytut Mechaniki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Poli-

technika Krakowska. **Dr inż. Marek Barski, Instytut Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika

Krakowska.

72

1. Wstęp

Problematyka optymalnego kształtowania kolumn ze względu na stateczność – zapo-czątkowana w XVI w. przez Lagrange’a – doczekała się bardzo wielu opracowań. Szczegółowy przegląd prac dotyczących optymalizacji prętów przy warunkach stateczności można znaleźć m.in. w publikacjach Błachuta i Gajewskiego [5], Olhoffa [27] oraz w mo-nografiach Gajewskiego i Życzkowskiego [16], Bochenka i Krużeleckiego [10] oraz w mono-grafii pod red. Życzkowskiego [35]. Jednymi z pierwszych prac poświęconych optymali-zacji kolumn przegubowo podpartych są publikacje Clausena [11], Blasiusa [4] oraz Chent-sova [13]. Optymalizacja kolumn obustronnie utwierdzonych, a także kolumn o niesyme-trycznym zamocowaniu (podpartych przegubowo i utwierdzonych) analizowana była przez Tadjbakhsha i Kellera [32]. Przedstawione przez tych autorów klasyczne, jednomodalne sformułowanie problemu optymalizacji okazało się jednak niewystarczające dla pewnego zakresu rozwiązań i wyniki tej pracy dla przypadku kolumny obustronnie utwierdzonej zo-stały skorygowane (optymalizacja dwumodalna) przez Olhoffa i Rasmussena [28] oraz po-nownie przeanalizowane przez Coxa i Overtona [12] oraz Tada i Wanga [31]. Kiusalaas [18] jako jeden z pierwszych zwrócił uwagę na zjawisko wielomodalności w zagadnie-niach optymalizacji stateczności konstrukcji przy kształtowaniu elementów znajdujących się w ośrodku sprężystym typu Winklera. Wprowadzenie koncepcji optymalizacji wielomo-dalnej przez Kiusalaasa, Olhoffa i Rasmussena w latach 70. XX w. stało się ważnym przełomem w optymalnym projektowaniu konstrukcji ze względu na stateczność. Zagad-nieniom optymalizacji wielomodalnej kolumn na podłożu sprężystym typu Winklera po-święcone są prace Repina [29], Laritcheva [23], Gajewskiego [14, 15], Bochenka i Gajew-skiego [9] oraz Bochenka [6, 7]. Optymalizacja kolumn przy niekonserwatywnym zacho-waniu się obciążenia analizowana jest w pracach Kowalskiego [19], Życzkowskiego i Gajewskiego [34], Langthjema i Sugiyama [22] i Wanga [33].

Zdecydowana większość prac z zakresu optymalizacji kolumn poświęconych jest pro-blemowi maksymalizacji siły krytycznej. Zagadnienia optymalizacji takich konstrukcji przy przemieszczeniowym sterowaniu obciążeniem są w literaturze mało rozpoznane. Można tutaj przytoczyć zaledwie kilka prac o tej tematyce. Albul, Banichuk, Barsuk [1] oraz Bo-chenek [8] rozpatrywali kolumnę pod obciążeniem termicznym. Krużelecki i Smaś [21] rozważali kolumny przegubowo podparte pod obciążeniem sterowanym przemieszcze-niowo, natomiast Smaś [30] kolumny utwierdzone. Optymalizacji kolumn przy sterowaniu mieszanym poświęcona jest praca Krużeleckiego i Smasia [20].

Wszystkie wymienione powyżej pozycje dotyczą optymalizacji bądź to kolumn obu-stronnie utwierdzanych, bądź przegubowo podpartych lub też o niesymetrycznym zamoco-waniu typu jednostronne utwierdzenie lub utwierdzenie–przegubowe podparcie. Nie udało się znaleźć w dostępnej literaturze pracy dotyczącej optymalizacji kolumny utwierdzonej na jednym brzegu i przesuwnie utwierdzonej na drugim. Jednym z powodów tej sytuacji jest fakt, że kolumnę o takim niesymetrycznym sposobie zamocowania utożsamia się, ze względu na podobieństwo warunków brzegowych, z połową kolumny obustronnie utwier-dzonej i proponuje się odpowiednie przetransformowanie wyników optymalizacji na kon-strukcję podpartą niesymetrycznie. W rzeczywistości jest to pogląd prawdziwy tylko dla pierwszej formy wyboczenia i optymalizacji jednomodalnej. Druga forma wyboczenia dla obu kolumn jest całkowicie różna i optymalizacja dwumodalna, stosująca do określania optymalnej geometrii obie kolejne formy utraty stateczności, powinna prowadzić do innych

73

rozwiązań optymalnych tych dwóch konstrukcji ze względu na odmienny charakter drugich form wyboczenia. Zakres rozwiązań dwumodalnych dotyczący równomiernie przestrzen-nie zbieżnego przekroju prostokątnego, w zależności od wielkości minimalnej wartości dolnego ograniczenia wielkości przekroju, pokazano w pracy Olhoffa i Rasmussena [28].

Niniejszy artykuł dotyczy optymalizacji stateczności kolumny utwierdzonej na jednym brzegu i przesuwnie utwierdzonej na brzegu drugim. Przy klasycznym sformułowaniu problemu optymalizacji, polegającym na maksymalizacji siły krytycznej kolumny, badany jest wpływ wartości dolnego ograniczenia przekroju na rozwiązania optymalne dla trzech wariantów zbieżności pręta. Wyniki porównano z rezultatami otrzymanymi w [28].

2. Sformułowanie problemu optymalizacji

2.1. Analityczne sformułowanie problemu

Rozważamy sprężystą kolumnę o module Younga E, utwierdzoną z jednej strony nie-przesuwnie, a z drugiej mającą przesuwne utwierdzenie, ściskaną konserwatywną siłą osio-wą P. Kolumna ma długość L, a jej objętość równa jest V. Poszukujemy takiego zmien-nego wzdłuż osi kolumny przekroju A, który prowadzi do maksymalnej wartości pierwszej siły krytycznej stowarzyszonej z pierwszą formą wyboczenia z płaszczyzny (1)

cr maxP ⇒ (1) Problem optymalizacji jest sformułowany przy następujących ograniczeniach. Zakła-

damy, że optymalna kolumna ma taką samą objętość materiału jak pryzmatyczna kolumna odniesienia ze stałym polem przekroju A0

LAAdxVL

o∫ == 0 (2)

W optymalizacji dwumodalnej, która jest przypadkiem ogólniejszym, przyjmujemy do-datkowe ograniczenie równościowe, mianowicie zakładamy równość wartości dwóch naj-niższych sił krytycznych 0)2(

cr)1(

cr =− PP (3)

związanych z odpowiednimi formami wyboczenia opisującymi kolejne linie ugięcia 1w oraz .2w Ponadto przyjmujemy, że wartość minimalna pola przekroju kolumny jest ograniczona od dołu AA ≤min (4)

W niniejszym artykule zakładamy przekrój prostokątny, w ogólności, o szerokości B(x) i wysokości H(x), dla którego związek między polem przekroju A i momentem bez-władności J zapiszemy w postaci ncAJ = (5)

W równaniu (5) c oznacza pewną stałą, a wykładnik n, w najczęściej spotykanych przypadkach, przyjmuje wartości 1, 2 lub 3 (n = 1 dla płasko zbieżnych prętów o stałej wy-sokości, n = 2 dla prętów równomiernie przestrzennie zbieżnych, n = 3 dla prętów płasko zbieżnych o stałej szerokości).

74

To zadanie optymalizacji – sformułowane jako zagadnienie rachunku wariacyjnego z zastosowaniem mnożników Lagrange’a i z wykorzystaniem ilorazu Rayleigha – prowadzi do klasycznych równań opisujących problem stateczności dla dwóch kolejnych form wy-boczeniowych (i = 1, i = 2)

2,1,0,,, ==′ϕ+=′−=ϕ′ϕ=′ iqpqmamw iiiin

iiii (6)

a zapisanych tu w postaci układu czterech równań rzędu pierwszego, oraz do równań opisujących kształt optymalnej kolumny

nmmna

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψ

μ+μ−=

11

22

21)1( lub minaa = (7)

w których zastosowano, podobne jak w [28], wielkości bezwymiarowe

00

2

,,, AAaLxLwwEcAPLp iin ==ξ== (8)

Współczynnik μ określa udział poszczególnych form wyboczenia w opisie optymal-nego przekroju ( 0=μ – rozwiązanie optymalne jest jednomodalne), natomiast stała ψ słu-żyć może do normalizacji objętości konstrukcji. Klasyczne równania (6) i (7), w [28] po-dane tylko dla n = 2 w nieco innej postaci, opisujące problem maksymalizacji siły krytycz-nej kolumny, są identyczne dla każdego sposobu zamocowania, a sposób zamocowania kolumny wyrażony jest przez odpowiednio sformułowane warunki brzegowe.

Warunki brzegowe dla rozważanego tu sposobu zamocowania kolumny ( 0=ξ – utwierdzenie nieprzesuwne, 1=ξ – utwierdzenie przesuwne), identyczne dla obu form wy-boczenia, zapiszemy następująco

0)1(,0)1(0)0(,0)0(

==′=′=

ii

ii

qwww

(9)

Rozwiązanie zadania optymalizacji oparte na metodzie iteracyjnej, zastosowanej w [28], nie było tutaj wykorzystane. Do rozwiązania postawionego tu zadania optymalizacji posłużono się numerycznymi metodami optymalizacji.

2.2. Numeryczne sformułowanie problemu

Problem optymalizacji sformułowany jest tutaj jako zadanie programowania matema-tycznego. Kolumna podzielona jest na m części o stałym przekroju i stałej dyskretnej wartości pola przekroju ja , tworząc w ten sposób m zmiennych decyzyjnych. Funkcja celu – maksymalna wartość pierwszej siły krytycznej – w bezwymiarowej postaci zapisana może być jako

)(max )1(cr

)1(cr japp = (10)

Ograniczenie równościowe (2), opisujące bezwymiarową stałą objętość kolumny, zapisać możemy jako

75

1)( =jaV (11)

natomiast związek (3) dotyczący optymalizacji dwumodalnej przyjmuje postać

0)()( )2(cr

)1(cr ≤− jj apap (12)

Poszukujemy takiego rozkładu powierzchni przekroju poprzecznego wzdłuż kolumny, opisanego zmiennymi projektowania ,ja który prowadzi do maksymalnej wartości pierw-szej siły krytycznej. Powyższe sformułowanie ujmuje zarówno jedno-, jak i dwumodalny problem optymalizacji. Gdy nierówność (12) spełniona jest w formie równości, mamy do czynienia z problemem dwumodalnym, w przeciwnym przypadku rozważany problem jest zadaniem jednomodalnym optymalizacji.

W odróżnieniu od wariacyjnego sformułowania zadania i metody iteracyjnej, przed-stawionych w [28], zdecydowano się tutaj na zastosowanie bezgradientowej metody opty-malizacji, mianowicie metody symulowanego wyżarzania, zapoczątkowanej przez Kirk-patricka [17] w 1983 r. Metodę tę opisano i zastosowano z powodzeniem np. w pracach Barskiego i Krużeleckiego [3], Krużeleckiego i Smasia [21], Bochenka i Krużeleckiego [10]. Wykorzystując, za Mastersem [26], wzór na wyznaczanie kolejnych temperatur wyża-rzania Tk+1

kk TN

TTT ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+ 1ln

exp startstop1 (13)

otrzymano zadowalające rezultaty i bardzo wysoką dokładność rozwiązań optymalnych, stosując do N = 30 temperatur i 100 prób w każdej temperaturze oraz zakładając stosun-kowo wysoką temperaturę początkową startT i bardzo niską temperaturę końcową, .stopT

Zamiast posługiwania się równaniami różniczkowymi (6) z warunkami brzegowymi (9) zdecydowano się tutaj na wykorzystanie metody elementów skończonych i pakietu ANSYS. Podobne podejście zastosowano w pracach Manickarajaha, Xiea i Stevena [25], Maalawiego [24]. Kolumnę podzielono na m prętowych elementów skończonych (BEAM 3) i przyjęto, w ogólności, że przekrój poprzeczny każdego elementu skończonego stanowi zmienną decyzyjną .ja Aby ograniczyć liczbę elementów skończonych (zmien-nych decyzyjnych), a jednocześnie możliwie dokładnie opisać zmienność przekroju wzdłuż osi kolumny, co ważne jest w szczególności w obszarze dużych gradientów zmian przekroju (otoczenie punktu przegięcia linii ugięcia), zastosowano elementy skończone o zmiennej długości. Okazuje się, że prosta formuła jj ll α=+1 (14)

w której długość elementu następnego 1+jl zależy od długości elementu poprzedniego ,jl licząc w kierunku punktu przegięcia, wypełnia postawione wymagania. Współczynnik α, w równaniu (14), dobiera się z przedziału 10 ≤α< w taki sposób, aby opis zmienności przekroju był wystarczająco dokładny przy możliwie najmniejszej liczbie zastosowanych elementów skończonych oraz aby możliwie precyzyjnie można było opisać długość od-cinka, dla którego aktywne jest założone dolne ograniczenie wielkości przekroju min.a Naj-lepsza wartość α zależy od rozpatrywanego przypadku typu zbieżności pręta (n) i od wartości ograniczenia min.a

76

W zależności od zastosowanej gęstości podziału kolumny na elementy skończone dy-sponujemy nawet kilkudziesięcioma zmiennymi decyzyjnymi. Metoda symulowanego wy-żarzania wymaga wielokrotnego wyznaczania wartości funkcji celu – wartości obciążenia krytycznego. Aby przyspieszyć obliczenia, zastosowano, według własnego algorytmu, obli-czenia rozproszone, angażując do poszukiwania optymalnego rozwiązania, w zależności od rozważanego przypadku, od kilku do kilkunastu komputerów PC.

3. Wyniki optymalizacji kolumn

3.1. Optymalizacja wysokości i szerokości przekroju kolumny – kolumna przestrzennie równomiernie zbieżna, (n = 2)

Rozpoczynamy analizę od tego przypadku optymalizacji, gdyż istnieje możliwość bez-pośredniego porównania rezultatów zaprezentowanych w pracy [28], dotyczących kolumny obustronnie utwierdzonej i n = 2, z otrzymanymi wynikami dla kolumny z przesuwnym utwierdzeniem. Ze względu na podobieństwo warunków brzegowych dla połowy kolumny obustronnie utwierdzonej i pełnej długości kolumny z przesuwnym utwierdzeniem, dla potrzeb porównania, siłę krytyczną dla tej pierwszej należy podzielić przez czynnik 4. W pracy [28] (rys. 4) zaprezentowano zależność obciążenia krytycznego )1(

crp w funkcji wartości dolnego ograniczenia pola przekroju min.a Dla przedziału 280,01 min ≥≥ a uzy-skano tam jednomodalne rozwiązania optymalne z aktywnym dolnym ograniczeniem min.a Dla kolumn z przesuwnym utwierdzeniem, analizowanych w niniejszym artykule, roz-wiązania optymalne są identyczne ilościowo (biorąc pod uwagę czynnik 4) i jakościowo (połowa kolumny obustronnie utwierdzonej). Dla przedziału 0280,0 min ≥≥ a stwierdzono znaczącą różnicę jakościową, mianowicie otrzymane rozwiązania optymalne są z zakresu jednomodalnego z aktywnym dolnym ograniczeniem min,a podczas gdy wyniki zaprezen-towane w pracy [28] są z zakresu dwumodalnego. Również wartości siły krytycznej w tym zakresie są nieco wyższe od podanych w pracy [28].

T a b e l a 1 Siła krytyczna dla wybranych wartości dolnego ograniczenia amin i n = 2

amin 1,0 0,7 0,4 0,25 0,1 0,05 0,0 p(1)

cr 9,8696 12,1721 12,9432 13,0913 13,1471 13,1528 13,1595 p(2)

cr 39,4784 36,3627 27,9208 23,6002 18,7891 16,8040 13,1595 p(1)

cr/pcr0 1,0 1,2333 1,3115 1,3264 1,3221 1,3327 1,3333 p(1)

cr/4 [28] 9,8696 12,1725 12,9437 13,0873 13,0891 13,0981 13,0981 W tabeli 1 przytoczono wartości pierwszej i drugiej siły krytycznej dla wybranych

wartości mina (takich jak przytoczono w [28]) oraz pokazano wzrost siły krytycznej w sto-

sunku do kolumny pryzmatycznej ( 0cr)1(

cr / pp ). Podano też, za pracą [28], wartości siły kry-tycznej dla optymalnej kolumny z obustronnym utwierdzeniem.

Na rysunku 1 pokazano wykres optymalnej wartości siły krytycznej (linia ciągła) oraz drugiej siły krytycznej )2(

crp (linia przerywana) w funkcji wartości dolnego ograniczenia

77

pola przekroju min.a Dla porównania, pokazano tam również (linia cienka) odpowiednie wykresy wartości siły krytycznej dla kolumny obustronnie utwierdzonej [28].

Rys. 1. Optymalne obciążenie krytyczne w funkcji amin

Fig. 1. Optimal buckling load vs minimum constraint amin

Rys. 2. Optymalne kształty kolumn dla amin = 0,25

Fig. 2. Optimum shapes for amin = 0,25

Na rysunku 2 przedstawiono kształt kolumny optymalnej dla ,25,0min =a natomiast na rys. 3 zaprezentowano kolumnę optymalną dla .05,0min =a Na obu tych rysunkach odpo-wiednio przeskalowano długość kolumny, aby lepiej zaprezentować zmiany kształtu prze-kroju. Kształt kolumny jest symetryczny względem punktu leżącego w połowie długości

kolumny 12

⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

i położenie tego punktu symetrii nie ulega zmianie dla dowolnej war-

78

tości min.a Warto również podkreślić, że odcinek kolumny, dla którego aktywne jest dolne ograniczenie przekroju zmniejsza się wraz z malejącą wartością min.a Dla granicznej war-

tości ,0min =a w punkcie 1 ,2

ξ = otrzymano przekrój o zerowej powierzchni, prowadzący

w istocie do „przegubowego” połączenia ze sobą dwóch identycznych optymalnych ko-lumn jednostronnie utwierdzonych. Dla tych optymalnych kolumn pierwsza i druga forma wyboczenia (rys. 4) prowadzą do tej samej wartości siły krytycznej, co może być roz-umiane jako rozwiązanie z zakresu dwumodalnego. Otrzymane tutaj rozwiązanie pokrywa się z rozwiązaniami optymalnymi dla kolumny jednostronnie utwierdzonej i n = 2, po-kazanymi w pracach [11, 13, 32].

Rys. 3. Optymalne kształty kolumn dla amin = 0,05

Fig. 3. Optimum column shapes for amin = 0,05

Rys. 4. Pierwsza i druga forma wyboczenia optymalnej kolumny dla amin = 0

Fig. 4. First and second modes of buckling of optimal column for amin = 0

3.2. Optymalizacja szerokości przekroju kolumny – kolumna płasko zbieżna o stałej wysokości przekroju, (n = 1)

W niniejszym artykule oszacowano, że w przypadku kolumny obustronnie utwierdzonej przedział zmienności min,a dla którego otrzymuje się optymalne rozwiązania jedno-modalne, jest tutaj znacznie większy i wynosi: .048,01 min ≥≥ a Zatem w przedziale tym optymalne rozwiązania, dla obu typów zamocowania kolumn, nie różnią się między sobą

79

ani jakościowo, ani ilościowo. Dla ,048,0min ≤a a więc dla bardzo małego przedziału, optymalne rozwiązania dla kolumny obustronnie utwierdzonej pochodzą z zakresu dwu-modalnego, podczas gdy dla kolumny z utwierdzeniem przesuwnym otrzymuje się jedno-modalne rozwiązania optymalne w całym przedziale zmienności min.a

T a b e l a 2

Siła krytyczna dla wybranych wartości dolnego ograniczenia amin i n = 1 amin 1,0 0,7 0,4 0,25 0,1 0,05 0,0 p(1)

cr 9,8696 11,2051 11,7917 11,9105 11,9829 11,9916 12,0000 p(2)

cr 39,4784 38,4383 32,8710 29,2025 24,3547 21,7934 12,0000 p(1)

cr/pcr0 1,0 1,1353 1,1947 1,2068 1,2141 1,2150 1,2159 W tabeli 2 podano wartości pierwszej i drugiej siły krytycznej dla wybranych wartości

mina oraz pokazano wzrost siły krytycznej w stosunku do kolumny pryzmatycznej

)./( 0cr)1(

cr pp Na rysunku 1 pokazano wykres optymalnej wartości siły krytycznej (linia cią-

gła) oraz drugiej siły krytycznej )2(p (linia przerywana) w funkcji wartości dolnego ograni-czenia pola przekroju min.a Kształtowanie zmiennej szerokości (n = 1) przekroju prosto-kątnego kolumny prowadzi do mniejszego wzrostu siły krytycznej w porównaniu z innymi przypadkami n. Na rysunku 2 przedstawiono kształt kolumny optymalnej dla ,25,0min =a natomiast na rys. 3 pokazano kolumnę optymalną dla .05,0min =a Również w tym przy-padku kształt kolumny jest symetryczny względem punktu leżącego w połowie długości

kolumny 12

⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

i położenie tego punktu symetrii nie ulega zmianie dla dowolnej war-

tości min,a natomiast odcinek kolumny, na którym aktywne jest dolne ograniczenie prze-kroju zmniejsza się wraz z malejącą wartością min.a Podobnie jak dla n = 2, w przypadku

granicznym ,0min =a w punkcie 12

ξ = otrzymano przekrój o zerowej powierzchni, pro-

wadzący do „przegubowego” połączenia ze sobą dwóch identycznych optymalnych kolumn jednostronnie utwierdzonych, dla których pierwsza i druga forma wyboczenia (rys. 4) prowadzą do tej samej wartości siły krytycznej. Otrzymane tutaj rozwiązanie optymalne pokrywa się z rozwiązaniami optymalnymi dla kolumny jednostronnie utwierdzonej (n = 1), pokazanymi w pracach [11, 34].

3.3. Optymalizacja wysokości przekroju kolumny – kolumna płasko zbieżna o stałej szerokości przekroju, (n = 3)

Dla przypadku n = 3 i kolumny obustronnie utwierdzonej ustalono, że przedział zmien-ności ,mina dla którego otrzymuje się optymalne rozwiązania jednomodalne jest wyraźnie najmniejszy i wynosi: .440,01 min ≥≥ a W przedziale tym optymalne rozwiązania dla ko-lumny obustronnie utwierdzonej i kolumny z utwierdzeniem przesuwnym są identyczne. Zatem dla ,440,0min ≤a a więc dla stosunkowo dużego przedziału, optymalne rozwiąza-

80

nia dla kolumny obustronnie utwierdzonej pochodzą z zakresu dwumodalnego, pod- czas gdy dla kolumny z utwierdzeniem przesuwnym, analizowanej w niniejszym artykule, otrzymuje się jednomodalne rozwiązania optymalne w całym przedziale zmienności min.a

T a b e l a 3

Siła krytyczna dla wybranych wartości dolnego ograniczenia amin i n = 3 amin 1,0 0,7 0,4 0,25 0,1 0,05 0,0 p(1)

cr 9,8696 12,9109 13,7247 13,8455 13,8721 13,8787 13,8889 p(2)

cr 39,4784 34,2086 24,5221 20,2882 15,9047 14,8036 13,8889 p(1)

cr/pcr0 1,0 1,3081 1,3906 1,4055 1,4056 1,4062 1,4072 W tabeli 3 podano wartości pierwszej i drugiej siły krytycznej dla wybranych wartości

mina oraz pokazano wzrost siły krytycznej w stosunku do kolumny pryzmatycznej

( 0cr)1(

cr / pp ). Na rysunku 1 pokazano wykres optymalnej wartości siły krytycznej (linia cią-

gła) oraz drugiej siły krytycznej )2(p (linia przerywana) w funkcji wartości dolnego ograni-czenia pola przekroju .mina Kształtowanie zmiennej wysokości (n = 3) przekroju prosto-kątnego kolumny prowadzi do największego wzrostu siły krytycznej w porównaniu z po-zostałymi przypadkami n. Na rysunku 2 przedstawiono kształt kolumny optymalnej dla

,25,0min =a natomiast na rys. 3 pokazano kolumnę optymalną dla .05,0min =a Dla n = 3 kształt kolumny również jest symetryczny względem punktu leżącego w połowie długości

kolumny 12

⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟⎝ ⎠

i położenie tego punktu symetrii nie ulega zmianie dla dowolnej war-

tości min,a a odcinek kolumny, na którym aktywne jest dolne ograniczenie przekroju zmniejsza się wraz z malejącą wartością min.a W przypadku granicznym ,0min =a w punk-

cie 1 ,2

ξ = otrzymano przekrój o zerowej powierzchni, prowadzący do „przegubowego”

połączenia ze sobą dwóch identycznych optymalnych kolumn jednostronnie utwierdzo-nych, dla których pierwsza i druga forma wyboczenia (rys. 4) prowadzą do tej samej wartości siły krytycznej. Otrzymane tutaj rozwiązanie pokrywa się z rozwiązaniami opty-malnymi dla kolumny jednostronnie utwierdzonej i n = 3, pokazanymi w pracach [11, 34].

4. Podsumowanie

Przeprowadzone obliczenia i analiza pokazały, że dla kolumn z przesuwnym utwier-dzeniem, omówionych w niniejszym artykule, otrzymane rozwiązania optymalne są z za-kresu jednomodalnego w całym przedziale zmienności dolnego ograniczenia, .01 min ≥≥ a Zatem różnią się one pod względem jakościowym i ilościowym od odpowiednich roz-wiązań optymalnych dla kolumn obustronnie utwierdzonych w przedziale ,0minmin ≥≥ aa dla którego otrzymuje się rozwiązania z zakresu dwumodalnego. Długość takiego prze-działu, a zatem wartość min,a zależy od założonego typu zbieżności kolumny (n), przy czym mina dla n = 1 jest najmniejsze ( ),048,0min =a natomiast dla n = 3 otrzymano mina

81

największe ).440,0( min =a W przedziale tym otrzymany zysk optymalizacji jest większy dla kolumn z przesuwnym utwierdzeniem niż dla odpowiednich kolumn obustronnie utwierdzonych.

L i t e r a t u r a

[1] A l b u l A.B., B a n i c h u k N.W., B a r s u k A.A., Optimizacja ustojcziwosti upru-gich stierżniej pri tiepłowych nagruzkach, Mekh. Tverdogo Tela 15, 3, 1980, 127-133.

[2] B a n i c h u k N.W., Optimizacja form uprugich tieł, Izd. Nauka, Moskwa 1980. [3] B a r s k i M., K r u ż e l e c k i J., Optimal design of shells against buckling by means

of the simulated annealing method, Structural and Multidisciplinary Optimization 29, 2005, 61-72.

[4] B l a s i u s H., Träger kleinster Durchbiegung und Stäbe grösster Knickfestigkeit bei gegebenem Materialverbrauch, Z. Math. Phys. 62, 1914, 182-197.

[5] B ł a c h u t J., G a j e w s k i A., A unified approach to optimal design of columns, Solid Mech. Arch. 5, 4, 1980, 363-413.

[6] B o c h e n e k B., Multimodal optimal design of a compressed column with respect to buckling in two planes, Int. J. Solids Struct. 23, 5, 1987, 599-605.

[7] B o c h e n e k B., Optimization of columns in elastic medium for buckling and post-buckling behaviour, [in:] J. B l o e b a u m (ed.), Proceedings of the Third World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization, Buffalo 1999.

[8] B o c h e n e k B., Bimodal optimal design against instability and postbuckling be-haviour of thermally loaded columns, [in:] J. S k r z y p e k, R. H e t n a r s k i (eds.), Proc. of the Third International Congress of Thermal Stresses, Bratni Zew 1999, 471-474.

[9] B o c h e n e k B., G a j e w s k i A., Jednomodalna i dwumodalna optymalizacja ściskanych prętów drgających, Mech. Teor. i Stos. 22, 1/2, 1984, 185-195.

[10] B o c h e n e k B., K r u ż e l e c k i J., Optymalizacja stateczności konstrukcji, Współ-czesne problemy, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 2007.

[11] C l a u s e n T., Über die Form architektonischer Säulen, Bulletin phys. math. De l’Academie St. Petersburg 9, 1851, 368-379.

[12] C o x S.J., O v e r t o n M.L., On the optimal design of columns against buckling, SIAM J. of Math. Analysis 23, 2, 1992, 287-325.

[13] C h e n t s o v N.G., Stojki naimienszewo wiesa, Trudy Centr. Aerogidrodinam. Inst. (CAGI) 256, 1936, 1-48.

[14] G a j e w s k i A., A note on unimodal and bimodal optimal design of vibrating com-pressed columns, Int. J. Mech. Sci. 23, 1, 1981, 11-16.

[15] G a j e w s k i A., Bimodal optimisation of a column in an elastic medium, with respect to buckling and vibration, Int. J. Mech. Sci. 27, 1/2, 1985, 45-53.

[16] G a j e w s k i A., Ż y c z k o w s k i M., Optimal structural design under stability con-straints, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht–Boston–London 1988.

[17] K i r k p a t r i c k S., G e l l a t C.D. Jr., V e c c h i M.P., Optimization by simulated annealing, Science 220, 1983, 671-680.

[18] K i u s a l a a s J., Optimal design of structures with buckling constraints, Int. J. Solid Structures 9, 7, 1973, 863-878.

82

[19] K o w a l s k i A., Stateczność prętów o skokowo zmiennym przekroju ściskanym siłą śledzącą, Rozpr. Inż. 15, 2, 1967, 197-209.

[20] K r u ż e l e c k i J., S m a ś P., Optimal design of columns for buckling under loadings controlled by displacements and forces, [in:] G. C h e n g, Y. G u, S. L i u, Y. W a n g (eds.), Proc. Fourth World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimiza-tion, Liaoning Electronic Press, (CD-ROM), Dalian, China 2001.

[21] K r u ż e l e c k i J., S m a ś P., Optimal design of simply supported columns for buckling under loading controlled by displacements, Eng. Opt. 36, 6, 2004, 645-658.

[22] L a n g t h j e m M.A., S u g i y a m a Y., Optimum design of a Beck’s column with a constraint on the static buckling load, Structural Optimization 18, 4, 1999, 228-235.

[23] L a r i t c h e v A.D., Optimizacjonnaja problema ukriepljenych stierżniej na uprugoi osnowani, Issled. po Stroit. Konstr. 33-38, Moskwa 1982.

[24] M a a l a w i K.Y., Buckling optimisation of flexible columns, Int. J. of Solids and Struct. 39, 23, 2002, 5865-5876.

[25] M a n i c k a r a j a h D., X i e Y.M., S t e v e n G.P., Optimisation of columns and frames against buckling, Comp. and Struct. 75, 1, 2000, 45-54.

[26] M a s t e r s T., Practical Neural Network Recipes in C++, Academic Press, 1993. [27] O l h o f f N., Optimal design with respect to structural eigenvalues, [in:] F. R i m -

r o t t, B. T a b a r r o k (eds.), Preceedings of the XV International IUTAM Congress on Theoretical and Applied Mechanics, Toronto 1980, 133-149.

[28] O l h o f f N., R a s m u s s e n S.H., On single and bimodal optimum buckling mod of clamped columns, Int. J. Solids Struct. 13, 7, 1977, 605-614.

[29] R e p i n S.I., Optimalnoje projektirowanie stierżniej na uprugoj osnowani s mnogo-kratnoj rieszeniu, Prikl. Mat. Tuła, 1979, 44-50.

[30] S m a ś P., Optimal design of clamped columns for buckling compressive displace-ments, Structural and Multidisciplinary Optimization 33, 3, 2007, 229-241.

[31] T a d a Y., W a n g L., Reinvestigation on optimization of clamped-clamped columns and symmetry of corresponding eigenfunctions, JSME Int. J. Series A-Mech. and Ma-terial Eng. 38, 1, 1995, 38-43.

[32] T a d j b a k h s h I., K e l l e r J.B., Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues, J. Appl. Mech. 29, 1, 1962, 159-164.

[33] W a n g Q., On complex flutter and buckling analysis of a beam structure subjected to static follower force, Struct. Eng. and Mech. 16, 5, 2003, 533-556.

[34] Ż y c z k o w s k i M., G a j e w s k i A., Optimal structures design in non-conservative problems of elastic stability, [in:] H. L e i p h o l t z (ed.), Proceedings of the IUTAM Symposium on Instability of Cont. Systems, Herrenalb 1969, Springer Verlag, Berlin– –Heidelberg–New York 1971, 295-301.

[35] Ż y c z k o w s k i M., G a j e w s k i A., O l h o f f N., R o n d a l J., S e y r a n i n A., Structural optimization under stability constraints, CISM, Lecture Notes, Springer Verlag, Wien 1990.