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OR 4 – WP.2: Modelli puntuali. Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013, Università della Calabria, Cosenza. Presentazione delle attività svolte nel periodo Ottobre 2012 ad oggi. OR 4. Modello matematico di simulazione. Analisi di stabilità in termini di FS. Modulo Geotecnico. - PowerPoint PPT Presentation
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OR 4 – WP.2: Modelli puntuali
Riunione congiunta CTS e CCE 05 Aprile 2013, Università della Calabria, Cosenza
Presentazione delle attività svolte nel periodo Ottobre 2012 ad oggi
OR 4
Modello matematico di simulazione
Modulo Geotecnico
Analisi di stabilità in
termini di FS
Risposta tenso-
deformativa
Gli invarianti di sforzo
Lo stato tensionale in un punto ൣ�𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥൧𝑇 ሾ𝜎1 𝜎2 𝜎3 ሿ𝑇 In termini di tensioni principali
Invarianti di sforzo
𝑠= 1ξ3൫𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧൯ 𝑡 = 1ξ3ටቂ൫𝜎𝑥 − 𝜎𝑦൯2 +൫𝜎𝑦 − 𝜎𝑧൯2 +ሺ𝜎𝑧 − 𝜎𝑥ሻ2 + 6(𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑦𝑧2 + 𝜏𝑧𝑥2)ቃ 𝜃 = 13arcsinቆ−3ξ6𝑡3 𝐽3ቇ
Modello matematico di simulazione
Modello matematico di simulazione
s = distanza dall’origine dello spazio delle tensioni principali;t= distanza perpendicolare dallo stress point P alla trisettrice dell’ottante;θ= “angolo di Lode” è la misura angolare della posizione dello stress point P nel piano ottaedrico delle tensioni principali.
Modello matematico di simulazione
Modello elasto-plastico con superficie di snervamento alla Mohr-Coulomb
F = ห൫𝜎𝑖𝑓′ − 𝜎𝑘𝑓′൯ห−ห൫𝜎𝑖𝑓′ + 𝜎𝑘𝑓′൯หsin𝜑′ − 2𝑐′cos𝜑′ ≤ 0 i,k=1,2,3
Invarianti di sforzo
F= 1ξ3 s∙sinφ′ +ඨ32 t∙ቆcosθξ3 − sinθ∙sinφ′3 ቇ− c′ cosφ′
Modello matematico di simulazione
Non-linearità meccaniche (legame costitutivo)
Ricerca iterativa della soluzione del sistema ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖
“Costant stiffness method” – NR mod
“Tangent stiffness method” - NR
Modello matematico di simulazione
“Costant stiffness method” – Newton-Raphson modificato
Vantaggi:
1. Assemblaggio matrice Km una volta sola 2. Fattorizzazione di Km (Foward-Backward Gauss substitution) una volta sola3. Bassi costi computazionali rispetto al “Tangent stiffness method”
Svantaggi:
1. Maggior numero di iterazioni per giungere a soluzione
Modello matematico di simulazione
La viscoplasticità :
Il materiale può sostenere stati tensionali al di fuori della superficie di plasticizzazione entro un certo limite. Ciò significa che la funzione di plasticizzazione F può essere maggiore di zero (Zienkiewicz e Cormeau,1974) .
ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ= 𝐹൜𝜕𝑄𝜕𝝈′ൠ F= funzione di plasticizzazione di Mohr-CoulombQ= potenziale plastico
ሼ𝛿𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ𝜀ሶ𝑣𝑝ሽ𝑖 ∙∆𝑡
ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖−1 +ሼ𝛿𝑣𝑝ሽ𝑖
Modello matematico di simulazione
Schema risolutivo FEM:
ሾ𝐾𝑚ሿሼ𝑈ሽ𝑖 =ሼ𝐹ሽ𝑖 ሼ𝑈ሽ𝑖 Vettore globale spostamenti nodali
ሾ𝐵ሿሼ𝑢ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀ሽ𝑖 A livello di elemento
[B] = matrice delle derivate delle funzioni forma
ሾ𝐷ሿሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜎ሽ𝑖 [D] = matrice dei coefficienti elastici
ሼ∆𝜀ሽ𝑖 =ሼ∆𝜀𝑒ሽ𝑖 + ሼ∆𝜀𝑣𝑝ሽ𝑖 Se viene raggiunta la superficie di plasticizzazione la deformazione si sdoppia in due aliquote:
Modello matematico di simulazione
Calcolo del Fattore di sicurezza: Procedura Phi-c’ Reduction
FS= c′c′RID = tanφ′ሺtanφ′ሻRID
Il fattore di sicurezza viene ricercato mediante una riduzione iterativa dei parametri di resistenza c’ e tanφ’ finché non si instaura un meccanismo di collasso:
La potenziale superficie di scorrimento viene identificata automaticamente dalla procedura.
Applicazione
Problema di un banco di sabbia attraversato da livelletti di terreno scadente.FASE 1 : Pendio AsciuttoFASE 2: Risalita falda come in figura
Strato φ (°) c’ (kPa)
ψ(°) γ (kN/m3)
E (kPa)
v
Sabbia 40 1 0 20 100 000 0.33
Livelletti 19 1 0 20 5 000 0.40
Applicazione
Discretizzazione adottata: elementi finiti quadrangolari a 4 punti di Gauss
Applicazione
Fattore di sicurezza
In caso di pendio asciutto
FS= 1.55
In caso di risalita di falda
FS= 1.18
Applicazione
Risposta in termini di spostamenti (deformazioni)
Vettori spostamento durante la “Gravity loading”. Essivengono azzerati a fine procedura.
Risalita falda
Vettori spostamento dopo la risalita della falda.
Applicazione
Mesh deformata – Vettori spostamento