Operations Research

Linier Programming: Teori Dualitas

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

Contents

1 Pendahuluan

2 Aturan Umum

3 Persamaan Dual untuk LP Normal

4 Persamaan Dual untuk LP Tidak Normal

5 Kegunaan Persamaan Dual

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

PendahuluanPendahuluan

�� Dari Dari sudutsudut pandangpandang teoritisteoritis dandan praktispraktis, , teoriteori dualitasdualitas merupakanmerupakan salahsalah satusatu konsepkonseppentingpenting dandan menarikmenarik dalamdalam programasiprogramasilinierlinier

�� IdeIde dasardasar didi balikbalik teoriteori dualitasdualitas adalahadalahbahwabahwa setiapsetiap masalahmasalah programasiprogramasi linier linier mempunyaimempunyai satusatu pemrogramanpemrograman linier yang linier yang terkaitterkait yang yang disebutdisebut dengandengan dualdual

�� SolusiSolusi padapada masalahmasalah programasiprogramasi linier linier originalnyaoriginalnya memberikanmemberikan solusisolusi bagibagidualnyadualnya

�� JikaJika suatusuatu solusisolusi masalahmasalah dipecahkandipecahkandengandengan simplekssimpleks, , padapada dasarnyadasarnya diperolehdiperolehsolusisolusi untukuntuk duadua masalahmasalah programasiprogramasi linierlinier

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

�� PersoalanPersoalan Primal Primal adalahadalah persoalanpersoalanprogramasiprogramasi linier linier dalamdalam bentukbentuk aslinyaaslinyayang yang diturunkanditurunkan langsunglangsung daridari persoalanpersoalanyang yang dihadapidihadapi

�� PersoalanPersoalan dual dual adalahadalah persoalanpersoalanprogramasiprogramasi linier yang linier yang merupakanmerupakankebalikankebalikan daridari persoalanpersoalan primalprimal

�� PersamaanPersamaan dual dual dibagidibagi 2:2:

�� PersamaanPersamaan dual dual daridari persoalanpersoalan LP normalLP normal

�� PersamaanPersamaan dual dual daridari persoalanpersoalan LP LP tidaktidaknormalnormal

Pendahuluan

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

Aturan Umum

Aturan umum perubahan bentuk primal kebentuk dual

No Primal Dual

1 Koefisien fungsi tujuan Konstanta ruas kanan

2 Konstanta ruas kanan Koefisien tujuan

3 F. Tujuan Maksimasi F. Tujuan Minimasi

4 F. Tujuan Minimasi F. Tujuan Maksimasi

5 Variabel XX11, , XX2 , 2 , XX3…3…XXnn Variabel UU1 , 1 , UU2,2, UU3 …3 …UUnn

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal

LP Normal:

� Fungsi tujuan minimasi

� Seluruh konstrain bertanda ≥

� Seluruh variabel berharga non-negatif

� Fungsi tujuan maksimasi

� Seluruh konstrain bertanda ≤

� Seluruh variabel berharga non-negatif

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal

Contoh:

Primal

Min Z = 5X1 + 8X2

pembatas:

7X1 + 2X2 ≥ 28

3X1 + 12X2 ≥ 24

5X1 + 10X2 ≥ 20

X1 , X2 ≥ 0

Dual

Max W = 28U1 + 24U2 + 20U3

pembatas:

7U1 + 3U2 + 5U3 ≤ 5

2U1 + 12U2 + 10U3 ≤ 8

U1 , U2 , U3 ≥ 0

g e s i t t h a b r a n i FE UNP

Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal

Contoh:

Primal

Max Z = 5X1 + 8X2

pembatas:

7X1 + 2 X2 ≤ 28

3X1 + 12X2 ≤ 24

5X1 + 10X2 ≤ 20

X1 , X2 ≥ 0

Dual

Min W = 28U1 + 24U2 + 20U3

pembatas:

7U1 + 3U2 + 5U2 ≥ 5

2U1 + 12U2 + 10U2 ≥ 8

U1 , U2 , U3 ≥ 0

LP Tidak Normal:

� Fungsi tujuan minimasi

� konstrain bertanda ≤ atau =

� Fungsi tujuan maksimasi

� konstrain bertanda ≥ atau =

Sehingga, LP tidak normal ini harus kitaubah menjadi LP yang normal

Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal

UntukUntuk mengubahmengubah LP LP TidakTidak Normal Normal menjadimenjadinormal:normal:

�� KalikanKalikan setiapsetiap pembataspembatas bertandabertanda ““≥≥””((untukuntuk kasuskasus maksimasimaksimasi) ) atauatau tandatanda ““≤≤””((untukuntuk kasuskasus minimasiminimasi) ) dengandengan bilanganbilangan --11

�� GantiGanti setiapsetiap pembataspembatas bertandabertanda ““==“ “ menjadimenjadiduadua pertidaksamaanpertidaksamaan ((bertandabertanda ““≥≥”” dandan ““≤≤“), “), kemudiankemudian lakukanlakukan sepertiseperti langkahlangkah pertamapertama, , yaituyaitu pembataspembatas bertandabertanda ““≥≥” (” (untukuntuk kasuskasusmaksimasimaksimasi ) ) atauatau ““≤≤”” ((untukuntuk kasuskasusminimasiminimasi) ) dengandengan bilanganbilangan --11

Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal

Contoh:

Primal

Max Z = 5X1 + 8 X2 + 12 X3 pembatas:

7X1 + 2 X2 + 6X3 ≤ 28

3X1 + 11X2 + X3 = 24

9X1 + 10X2 + 4X3 ≥ 20

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal

Primal

Max Z = 5X1 + 8 X2 + 12 X3pembatas:

7X1 + 2 X2 + 6X3 ≤ 28 (1)

3X1 + 11X2 + X3 = 24 3X1 + 11X2 + X3 ≤ 24 (2)

3X1 + 11X2 + X3 ≥ 24 -3X1 - 11X2 - X3 ≤ -24 (3)

9X1 + 10X2 + 4X3 ≥ 20 -9X1 - 10X2 - 4X3 ≤ -20 (4)

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal

Dual

Min W = 28U1 + 24U2 -24U3 -20 U4pembatas:

7U1 + 3U2 - 3U3 – 9U4 ≥ 5

2U1 +11U2 -11U3 + 10U4 ≥ 8

6U1 + U2 - U3 + 4U4 ≥ 12

U1 , U2 , U3 ≥ 0

Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal

Salah satu kegunaan dual adalahmembantu memudahkan penyelesaian

persoalan primal apabila jumlahkonstrain-nya banyak, misalnya 8

buah, sedangkan jumlah variabelnyasedikit, misalnya 2 atau 3 buah

Kegunaan Persamaan Dual

Contoh:

Primal

Max Z = 7X1 + 5 X2

pembatas:

4X1 + 3 X2 ≤ 240 (1)

2X1 + X2 ≤ 100 (2)

6X1 ≤ 95 (3)

8X1 + 4 X2 ≤ 70 (4)

8X2 ≤ 150 (5)

9X1 + 5X2 ≤ 55 (6)

3X1 + 7X2 ≤ 20 (7)

X1 , X2 ≥ 0

Kegunaan Persamaan Dual

DualDualMin W = 240U1 + 100U2 +95U3 +70U4 +150U5 +55U6 +20U7

pembataspembatas::

4U1 + 2U2+ 6U3 + 8U4 + 9U6 + 3U7 ≥ 7 (1)

3U1 + U2 + 4U4 + 8U5 + 5U6 + 7U7 ≥ 5 (2)

U1 , U2, U3, U4 , U5 , U6 , U7 ≥ 0

Kegunaan Persamaan Dual

Contoh:

PrimalX1 = jumlah pupuk Super-gro (karung)

X2 = jumlah pupuk Crop-quick (karung)

Min Z = 5X1 + 10 X2pembatas:

7X1 + 2X2 ≥ 28

2X1 + 12X2 ≥ 24

X1 , X2 ≥ 0

Penyelesaian Permasalahan Dual

Jawab:

Dual

Max W = 28U1 + 24U2pembatas:

7U1 + 2U2 ≤ 5

2U1 + 12U2 ≤ 10

U1 , U2 ≥ 0

Penyelesaian Permasalahan Dual

Bentuk standar simpleks:

Max W = 28U1 + 24U2 + 0S1 + 0S2pembatas:

7U1 + 2U2 + S1 = 5

2U1 + 12U2 + S2 = 10

U1 , U2 ≥ 0

Penyelesaian Permasalahan Dual

CCjj 2828 2424 00 00

BV UU11 UU22 SS11 SS22 RHS

0 SS11 1 1 0 0 5

0 SS22 1 0 1 0 10

WWjj 0 0 0 0 0

CCjj-- WWjj 28 24 0 0Belumoptimal

TabelTabel initial initial iterasiiterasi ((iterasiiterasi keke--0)0)

Penyelesaian Permasalahan Dual

TabelTabel iterasiiterasi keke--11

Cj 28 24 0 0

BV U1 U2 S1 S2 RHS

28 U1 1 0.29 0.14 0 0.71

0 S2 0 11.43 -0.29 1 8.57

Wj 28 8 4 0 20

Cj- Wj 0 16 -4 0Belumoptimal

Penyelesaian Permasalahan Dual

Tabel iterasi ke-2

Cj 28 24 0 0

BV U1 U2 S1 S2 RHS

28 U1 1 0 0.15 -0.03 0.50

0 U2 0 1 -0.03 0.09 0.75

Wj 28 24 3.60 1.4 32

Cj- Wj 0 0 -3.60 -1.4 optimal

Penyelesaian Permasalahan Dual

Bandingkan dengan hasil persoalan primal

Cj 5 10 0 0 M M

BV X1 X2 S1 S2 A1 A2 RHS

5 X1 1 0 -0.15 0.03 0.15 -0.03 3.6

10 X2 0 1 0.03 -0.09 -0.03 0.09 1.4

Zj 5 10 -0.50 -0.75 0.50 0.75 32

Cj- Zj 0 0 0.50 0.75 M-0.5 M-0.75 optimal

Penyelesaian Permasalahan Dual

Ternyata memberikan hasil yang sama:

� Diperoleh nilai Z (atau W) sebesar 32

� Besarnya X1 ditunjukkan pada nilai -3.6 di tabel dual, yang berarti 3.6 karungpupuk merk Super-gro

� Besarnya X2 ditunjukkan pada nilai -1.4 di tabel dual, yang berarti 1.4 karungpupuk merk Crop-quick

� Sehingga diperoleh biaya minimum sebesar $32

Penyelesaian Permasalahan Dual