Ordinary Differential Equations (ODEs)

Nama Anggota :ACHMAD RIZKY KARUNIAWAN (2414100121)MUHAMAD IQBAL SYACHJAYA (2414100044)

DIO RATRIYADI ROMADON (2414100075)AHMAD HAFIDH HIDAYATULLAH (2414100107)

MUHAMMAD HUSAIN AMIR (2414100056)

x2

x4

1) Carilah Solusi dari persamaan berikut ( 2x - 4y + 5 ) y’ + x – 2y + 3 = 0Penyelesaian :Misal : u = x – 2yy’ = 1

2 ( 1 – u’ )

jadi bentuk persamaannya menjadi :( 2u + 5 ) 1

2 ( 1 – u’ ) + u + 3 = 0

u + 52

– uu’ – 52

u’ + u + 3 = 02u + 5 – 2uu’ – 5u’ + 2u + 6 = 0-2uu’ – 5u’ + 4u + 11 = 02uu’ + 5u’ = 4u + 11( 2u + 5 ) u’ = 4u + 11( 2u + 5 ) du

dx = 4u + 11

2u+54u+11

du = dx12(1− 1

4u+11) du = dx

∫(1− 14u+11

)du = ∫2dx

u – 14

ln ( 4u + 11 ) = 2x + clalu subtitusi u = x – 2yx – 2y – 1

4 ln ( 4x – 8y + 11 ) = 2x + c

4x – 8y - ln ( 4x – 8y + 11 ) = 8x + c-4x – 8y - ln ( 4x – 8y + 11 ) - c = 04x + 8y + ln ( 4x – 8y + 11 ) + c = 0

2) Carilah solusi dari persamaan berikut ini 5xy √1+2 y2 dx - y2

23√4+x2 dy = 0 , y(1) = 4Penyelesaian :5xy√1+2 y2 dx - y2

23√4+x2 dy = 0

y2

2√1+2 y2 dy = 5xy 3√4+x2 dx

∫ y

√1+2 y2dy= ∫ 10 x

3√4+x2dx

Misal : m = 1+2 y2

dmdy

= 4 ydy = dm

4 y

dy = 14 ydm

n = 4 + x2

dndx

= 2 xdx = dn

2x

dx = 12xdn

Maka persamaannya menjadi :∫ y

√m1

4 ydm = ∫ 10 x

3√n1

2 xdn

14∫

1

√mdm=10

2 ∫ 13√ndn

14∫m

−12 dm=¿ 5∫ n−1

3 dn

14

21m

12 = 5 3

2n

32

12√1+2 y2+c1=

152

3√√4+x2+c2

12√1+2 y2−15

23√4+x2−c=0

Jika y(1) = 4

12√1+2(4 )2−15

23√4+ (1 )2=c2.18 – 12.82 = cC = -10.64

Jadi,12√1+2 y2−15

23√4+x2−(−10.64)=0

12√1+2 y2−15

23√4+x2+10.64=0

3) Cari Solusi dari persamaan diferensial linear berikuty6−12 y5−21 y4+592 y3−1344 y2

Penyelesaian :y6−12 y5−21 y4+592 y3−1344 y2

¿ d6 yd x6 −12

d5 yd x5 −21

d4 yd x4 +592

d3 yd x3 −1344

d2 yd x2

¿D6 y−12D5 y−21D 4 y+592D3 y−1344D 2 y

¿(D ¿¿6−12D5−21D4+592D3−1344 D2) y¿Dengan menggunakan cara horner bisa didapatkan nilai akar-akarX=2 1 -12 -21 592 13443 -27 -144 -13441 -9 -48 448 0X=-7 -7 112 -4481 -16 64 0X=8 8 -641 -8 0X=8 81 0Maka di dapatkan x1=3 x2=-7 x3=8 x4=8Maka solusinya adalahy=C 1e3 x+C2e−7 x+(C3+C 4 x )e8 x

4) Cari Solusi dari persamaan diferensial linear berikuty6+4 y5+4 y4+64 y3−192 y2

Penyelesaian :y6+4 y5+4 y4+64 y3−192 y2

¿ d6 yd x6 +4

d5 yd x5 +4

d4 yd x4 +64

d3 yd x3 −192

d2 yd x2

¿D6 y+4D 5 y+4D4 y+64D3 y−192D2 y

¿(D ¿¿6+4 D5+4D 4+64D3−192D2) y ¿

¿¿¿Maka didapatkan akar-akar c1 dan c2=0Untuk mencari akar-akar yang lain dengan menggunakan cara hornerX=2 1 4 4 64 1922 12 32 -961 6 16 96 0X=-6 -6 0 -861 0 16 0Didapatkan akar c3=2 c4=-6Dan di didapatkan persamaan D2+16=0 (0.1)D2+16(−i2)=0

D2−16 i2=0Dengan di faktorkan maka di dapat (D+4i)(D-4i)=0Maka didapatkan akar-akarc12=0 c3=2 c4=6 c5=-4i c6=4iuntuk akar akar imaginer terlbih dahulu di cari nilai dari persamaan 0.1dimana nilai W=√ 1b2

4c2−ac

-i2=1

W=√ 1¿02

4¿16 i2− 1

16

W=√−116

W=14i

Maka solusinya adalahy= (C 1e+C2 x ) e0 x+C 3e−6x+C4 e2x+c5 cos ( 1

4 )ix+c6 cos (−14 ) ix

5)

5) Carilah Solusinya x2 (4 xy + 3y2 – x) dx + x3 (x + 2y) dy = 0Penyelesaian :∂F∂ y

 dx +∂G∂ x

   dy = 0Karena eksak, maka untuk mencari solusinya digunakan penyelesaian PD eksak. ambil ∂F

∂ y  = x2 (4 xy + 3y2 – x)

= 4x3y + 3x2y2 – x3

F(x, y) = ∫❑

x

(4 x3 y+3 x2 y2 – x 3)dx + g(y)= x4y + x3y2 – 1

4x4 + g(y)

∂F∂ y

  = x4 + 2x3y + g'(y)karena ∂F

∂ y  = G(x, y), sehingga

x4 + 2x3y + g'(y) = x3 (x + 2y)x4 + 2x3y + g'(y) = x4 + 2x3yg'(y) = 0g(y) = Csolusi PD : x4y + x3y2 –  1

4 x4 + C

6) Temukan solusi dari persamaan ini 1x ² y ²

 (2x3y2 – y) dx + . 1x ² y ²

 (2x2y3 – x) dy = 0Penyelesaian :

∂F∂ y

  dx + ∂G∂ x

 dy = 0Karena eksak, maka untuk mencari solusinya digunakan penyelesaian PD Eksak. ambil ∂F

∂ y  =  1

x ² y ² (2x3y2 – y)

= 2x – . 1x ² y

F(x, y) = ∫❑

x

(2 x – 1x ² y

)dx + g(y)= x2 +  1

xy + g(y)

∂F∂ y

  =  −1x ² y

 + g'(y)karena ∂F

∂ y  = G(x, y), sehingga

−1x ² y

 + g'(y) =  1x ² y ²

 (2x2y3 – x)−1x ² y

 + g'(y) = 2y –  1xy ²

g'(y) = 2yg(y) = y2

solusi PD : x2 + 1xy

 + y2 = 0

7) Carilah solusi dari persamaan berikut 2xyy’ – y2 + x2 = 0Penyelesaian :Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen2xy   – y2 + x2 = 02xy dy + (x2 – y2) dx = 0ambil M(x, y) = 2xy

M(kx, ky) = 2 kx ky= k2(2xy)

N(x, y) = x2 – y2N(kx, ky) = (kx)2 – (ky)2

= k2(x2 – y2)2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 adalah PD homogen2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 [bagi x2]

 dy + (1 –  ) dx = 0 … (i)ambil y = ux

dy = x du + u dxsubstitusi ke pers (i), diperoleh2u(x du + u dx) + (1 – u2) dx = 0

2ux du + 2u2 dx + dx – u2 dx = 02ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]2  du+   dx = 0

 2  du+     dx = c1

 2    +     dx = c1ln (u2 + 1) + ln x = ln C, dengan ln C = c1ln (u2 + 1) = -ln x + ln Cln (u2 + 1) = ln u2 + 1 = substitusi kembali u =  , diperoleh

 + 1 = y2 + x2 = Cxy2 + x2 – 2 x +   –   = 0(y – 0)2 + (x –  )2 = 

8) Temukan solusinya (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0Penyelesaian :Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogenambil M(x, y) = 1 + 2ex/y

M(kx, ky) = 1 + 2ekx/ky= k0(1 + 2ex/y)

N(x, y) = 2ex/y(1 – x/y)N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 – kx/ky)

= k0(2ex/y(1 – x/y))(1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0 adalah PD homogen … (i)misal : x = uy

dx = u dy + y dusubstitusi ke pers (i), sehingga(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 – u) dy = 0u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy – u 2eu dy = 0u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]dy +   du = 0

dy +     du = c1

ln y +       = c1ln y + ln (u + 2eu) = ln C, dengan ln C = c1

substitusi kembali u =  , sehinggaln y + ln (x/y + 2ex/y) = ln Cln (y(x/y + 2ex/y)) = ln Cx + 2yex/y = C

9) Temukan persamaan umum untuk:y" + 2y' + y = 2x sin x

Penyelesaian :

Yh = (c1 + c2x)e xYp = A2X2 + A1X + A0= Kx cos x + Mx sin x + N cos x + P sin xMenemukan 2 persamaan baru, denganMengsubtitusi yp

(1) (2K + 2Mx + 2P + 2M) cos x = 0(2) (-2Kx - 2M + 2N - 2K) sin x = 2x sin x.Jadi :

(1) 2 Mx = 0 ; M = 0 ; P = -K(2) - 2 Kx = 2x ; K = -1 ; P = 1Sehingga:

-2n – 2K = 0Jadi persamaannya:

Y = (c1 + c2x)e x + (1 + x) cos x + sin x

10) Tentukan arus pada rangkaian jika R = I D, L = 10 H, C = 1.25 F, E(t) = 10 kY, dan 11(0) = 0, I2(0) = O.

Penyelesaian :Dari rangkain sebelah kiri, hukum tegangan kirchoff jadi:10I ’1 + I1 + I2 = 104

Dari rangkaian sebelah kanan, hukum tegangan kirchoff jadi:I – I1 + 0.8 I2 ∫dt = 0Differensial kan persamaan 1 dan 2

I ’2 = I ’1 - 0.8I2= - 0.1I1 + 0.1I2 + 1000 - 0.8I2Sehingga:

I ’1 = -0.1I1 + 0.1I2 + 1000I ’2 = -0.1I1 - 0.7I2 + 1000Matrix persamaan homogennya:

-0,1 0,1-0,1 -0,7

Untuk x1 -0.4 + 0.2√2 = -11716, sehingga ditemukan:X1 = [1 - 3 + 2√2t] = [1 - 0.17157]tUntuk x2 -0.4 - 0.2√2 = -0.68284X2 = [1 – 3 - 2√2t] = [1 - 5.8284]t

Sehingga solusinya menjadi:Y = c1x(1)e -0.11716t + c2x(2)e -0.68284t Dengan nilai c1 = -10303Dengan nilai c2 = 303.30Nilai c1 dan c2 merupakan besar arus yang mengalir di rangkaian.