Ordinul unui element intr-un grup

5/9/2018 Ordinul unui element intr-un grup

1/8

1. Ordinul unui elem ent al unui grup1. 1. Proprietati ale ordinului unui element al unui grup

Proprietatile notiunii de ordin al unui element al unui grup sunt de muori foarte utile in probleme de concurs, facilitand deseori rezol area ae tara.

Considcrarn cunoscut notiunile s i rezultat le fundamentale ale teorJg rupu rj~o r s tud ia te in lieeu (grup, subgrup, rn rfism de grupuri).In eel c urmeaza, G estc 0 rnultim e ncvida, careia 0 legecornpoziti n tata m ultiplicativ iiconfera structura d grup.

Notarn ell ord/G ) sau 1 G I numarul elementelor grupului G , dacaare un numar finit de clern nte ~i spun illc a rd() = + 00 daca rareinfinitate de clemente.

Reamintim urmatoarel concepte $i proprietati:1.1.1. Definitie Fie (GI -) un grup si X 0 submuliime nevidd a sa.

Notdm cu (X) = = n {H I X cn. H subgrup al lui G }.1.1.2. Proprietate ( ( .X ' ) , . ) este un subgrup al lui G (numit ubgrupgenera! de multimea X).1.1.3. Obscrvatii,a) (X ) estc eel rnai rnic subgrup (in raport eu rclatia de ordine c1') al luiastfel lncat X c (X).b) (X) = {aEGI3nEN* 3x1 x 2 ... ,x n E G , 3xl;X21 ... X II EZ.a=x~' 'Xk1 ..... x~, ,}c) Daca XE G, atunci subgrupul generat de elementul x este (x) - {xk IkE Z1.1.4. Defin itie Grupul r 71 -) se n umeste grup ciclic dacii ex is ta x E G ast

incdt (i) .zz: G . in acest caz elementul x se numeste generator a t g rupu lu i G1.1.5. Observatie Daca (G,) cste un grup ciclic de ordinul n a estcgenerator a] grupului G si k E Z, atunci ak este un generator a1 lu i G dacanumai daca (n k) - 1 .] .1.6. Definitie G rupul (G , .) se n umeste finit gen eral daca ex ineN" ~\'i a /, a-, ...., an 6G astfel incdt (a; a-, ... , an ) =G .in acest caz elementele a t, a2, ... , a; se numesc gen eratori ai grupului G.


2/8

1.1.7. Observatiia) Orice grup ciclic este comutativ.b) Orice grup finit este finit generat.Exemple de grupuri ciclice: (Z +) (Zn) +) (Uo,'), unde U, este grupradacinilor de ordinul n ale unitatii.1.1.8. Definitie Fie grupul (G, -) cu elementul neutru e .Elementul x EG este de ordin finit daca 3111 EN*, x" =e .

notin acest caz , 111in (m EN* /x/71=e) = ordtx ) se n urn este ordinul elementuluiElementul x EG este de ordin infinit daca x nu este de ordinfinit.1.1.9. Teorema Fie grupul (G .. ) si x EG.a) Daca ord(x) =n E N * , atunci elementele e, x, "j xn-I sunt distincte dO'" d v \-/ 7 Z k k/mod / 1 ' ) 'cafe oua ~'z v iCE -', X =X I' .b) ord(x) = + ex) ::> \7 k, k,EZ, k, ~ k avem X k / ~ X k :; .1.1.]O. ConsecinteC 1. Fie grupul (G .). Daca xEG ~l ord(x) = nE N*, atunci ord (x) = n( ) _ r n-I}X - le X, .'" x .C 2. Grupul finit G de ordinul nEN* este ciclic :::> G-are un el merit ordinulC 3. Fie grupul (G, . ). Daca XE G, ord(x) =nEN* si ksZ, Xk = c atunci .n/k.Demonstrarie: Conform teoremci impartirii ell rest, : 3 ! q, r EZ. 0 < r < o(x), astfel incat k= ord(x)-q + r.A . k nq--r (n)q r n 1 - '" k r d . rtuner x = x = x X ~1 cum x =e, rezu ta ca x = x ~1 eci x = e.Dar n =ord(x) =min {mEN* I x'" =e} si rezulta r =0 deci k =nq,adica n / k.C 4. Orice element a1unui grup finit arc ordinul finit.C 5. Grice doua grupuri ciclice de acelasi ordin sunt izomorfe. Daca G estegrl1p ciclic de ordinul n, atunci (0 .) ~ (Z. +)C 6. Orice subgrup al unui grup ciclic e te ciclic.


3/8

C 7. Daca x, YEG, atuncia) ord(x) = ordrx I)b) ordfxy) = ordryx)Dcmonstratic:a) 1. Daea ord(x) =nEN* avern x" = e si (x -1 t = (x n t ! = C--I = c.Fie k =ordtx "). Din C3. rezulta kin.Cum e = (x -\ t =(x k t1 , rezulta ca Xk = C ~1 cum ord(x) =n, din C3. rezulca n / k. Asadar n=k.II. Dacs. ord(x) = + co sa presupunem ca ordrx ") = kE N". Atunci din cazuanterior rezulta ca ord(x) =ord(x-'r1 = k, fals. Asadar ord/x ") =+ CfJ.b) I.Daca ord(xy) = nE N* avem (xy)" - e < = > x(YX)k-l.y = e < = >( Y X ) k .y = Y < = > (y.x/ = c asadar ordtyx) =k' EN* si k' I k.

k' . k' 1 k'Dar (yx) = e < = > yIxy) ---x = e < = > (xy) = e si cum ordrx-y) = k rczultasi k/k ' si deci k =k'.>II. Dadi ord(xy) = + 00 , presupunand ca ordryx) = kEN* rezulta ca mainainte ca ordrxy) = k, fals. Asadar ord(yx) =+ co.C 8. Daca f : G --) G' este un morfism injectiv de grupuri multiplicativeaEG atunci ord(a) = ordtf(aj).Demonstratie:J. Daca ord(a) = kE N* avem e' = f(alc)= (f(a)k ~ideci si ordinul elernentuluf(a)EG' este finit. Fie t = ord(f(a). Rezulta ca t / k.Dar c' = f(al) = (f(a)Y si pentru ca f este 0 functic injectiva rezulta ca at = ecum ord(a) =k avem ~i kit, deci k = 1 . .I I . Dad:!. ord(a) =+ 00 presupunem ca ord(f{a) = ke N*.Atunci (f(a))k = e = f e a k ) s i din injectivitatea lui f rczulta eft ak =C, cecacste fals. Asadar ord (f(a =+ 00.

Sa observarn eft afirrnatia antericara est adevarata si in cazul izomorfismclorde grupuri, ceea ce intareste imaginca intuitiva ca elementele asociate printr-uizomorfism ,au aceleasi proprietati '.C 9. Fie grupul (G .) si a, bEG eu ord(a) = m e N", ord(b) = ns N'", astfIncat ab - boa. Notam eu d = (m, n), p =: [m, n]. Atunci:a) ordrab) I pb) P lordea.b)

d


4/8

Demonstr'atie: Se stie CE t daca ab =ba, atunci 'tf kEZ, (ab)" =akbka) Avern m = d-m, si n =dn. eu rn. , n, EN, (rn. , 1 1 1 ) = 1, iar p =drn.m

( ) n ( ) m I.l,IO . C 3(ab)" = ( a - b ) d ' l T l 1 - n l =a mill _b" nll = amI _b " 1= e = > kip,unde ord(a -b) = k (este evident c a ordtabj eN").b) P =mrn]. Dernonstram ca IIIrn, / k.d .(a-b)" = e = > ak =b-k = > ak.n = b-k,n = em l / k - T I , }= > = > m / k.(m"nl)=lAnalog rezulta ca TIl I k si cum (rru, 111) = 1 obtinern mjn, I k

1 1 10,C3= > m/kn ::> dm, I kdn,

Observatii:a) ordtab) Iln-nb) Daca a, b e G ab = boa, ord(a) = m, ordrb) =n 9 1 e m , n) = 1_ atunci

ord'(a-b) = [m, n] =mn.) E . _. .- and d( b) lll, n JC xista situatu can or a, = . = 111,-n,., '(In, n)De exernplu, in grupul (ZI2' +), ord ( 6 ) = 2, ord ( 2 ) = 6 si ord (2 + 6 )=

d) Exista situatii cand ordta-b) = Em, n] chiar daca (m, n) * 1.De exemplu, in grupul (Zq4, + ), ord ( 6 ) = 4 OTd(1 2 J = 6 si ord ({2 + 6 J

C 10. Fie grupul (G, .) si XEG, ord(x) = nEN*_ Atunci:ka) 'tf k s Z, ord(x) I 11k nb) 'tf kEZ, ord(x) =_._(k, n)

()1 \ ,I Q .C ..JDemonstr-atie: a) x" n = e => ordrx") In.

b) Fie d -(k, n). Atunci exista n., k,EZ astfel incat n - dn, k -(n..k.) = 1.

" ' ( k ) n I n - kCum x =X l=er . i . r o . 3

= > kord(x ) I n , (1)


5/8

1.1.IO.C3Fie S:::: : ordtx"). Avem xk .s:::: e si cum ord(x) = => n / k-s =>dn, / dk1s => nl / kl'S si deoarece (ru , k.) = I rezulta ca n: I s .

K n nTinand cont de (1) obtinern ill~, adica ord(x ) :::::, =-=--d (k,n)

C 11. Fie (G,') un grup cielie de ordinul n, G = (a) ~l kE Z.Atunci: aK este generator al grupului < = > (k, n) = 1 .Demonstratie: Reamintim urmatoareaLentil Fie k, n EZ. Atunci: (k. n) =1 c: 3t, SEZ, k -t +n-s sz:1' l=>" Cum (a~) ~ G, exi t a tE Z astfel incat (ak y - a si deci ak,t-I =1.1 .1 0, C3 Le=> ord(a) = n / (kt -1) => : 3 SEZ, kt - 1 ~ s-n < = > n(-s) + k- t : : : : : 1 Q(k, n) :::::.

Lema, < = " (k, n) = 1 < = > : 3 t, SEZ k-t +ns :::::.Atunci a r= aK' t + I1'S ::::: (a k y . (an ) = (a k ) t si deci aE (ak ) ~i cum grupul G egenerat de a, rezulta ca 9ca~). Dar (ak) cG si dcci G = (ak).Sa observam ca exista cp(n) generatori ai lui G.Consecintii Daca (G) este un grup ciclic de ordinul p, eli pEN numprim, atunci: a) orice element allui G este generator al grupuluib) G nu are subgrupuri proprii.

Bibliografie1. Gh. Andrei, C-tin Caragea, V. Ene - Algebra - Culegere de probleme pentexamene de admitere si olimpiade scolare, Ed. Scorpion 7, Bucuresti 19952. M. Burtea, G. Burtea - Matematicii - clasa a XI1-a - Elemente de anal

matematicd. Algebra superioara, Ed. Carminis 20013. L Purdea Gh Pic - Tratat de algebra modernd, vall, Ed Acaderniei, Bucures

19774. D. Andrica, N. Bisboaca, 1 . Serdean, M. Andronache, M. Piticari, D. Zaharia

Matematicii - Manual pentru clasa a XII-a, Ml , Ed. Plus, 20025. Colectia ),Gazeta Matematica"


6/8

Problemc rezolvateRl.2.1. Fie (G, .) un grup si g EG, cu ord(g) = = m -n, unde m, n EN*, (m, 1 ' 1 ) :

Sii se demonstreze cd existii si sunt unice a, bEG astfel incdt g = = a-b = = b -ord/a) x:m, ord(b) zz: n.Solutie: Existenta Cum (rn, n)= 1, exists k, tEZ astfel incat m-k + n-t = 1F nt b mk Ob .... - m ( n . t )m ( m - I l ) t . I bnre a =g ~l =g. servam ca a :;:: g :;::g = e ~l ana og =Cum am:;:: e, din 1.1.10 C 3. rezulta ea ord(a):;:: pEN* : ; ; i P / m (2)Presupunem ea p #- m. Atunci aP : ; : : ( g n . t Y : ; : : gil t- p si cum ord(g) =mn,1.],10, C 3, rezulta ca m-n / nt-p si deci m / t-p. Din (L) rezulta ca (m, t)

(2) ~si obtinem mJp => p =m ::> ord(a) :;::m. Analog se demonstreaza ca ord(b) :;Unicitatea Fie a, bEG astfel incat g >ar-b. :;::b, -ai si ordfa.) = m, ordtb.) =Atunci gil:;:: (a.b.)" =a~ b~:;: :a; l . Fie k t din relatia (1).

( )-k. n o t n t . In n-IAvem nt:;:: 1 - mk ~! a1 =g , dec! a.- al = g

al :;::gnt = a (a este eel din demonstratia existentei)Analog rczulta ca b, = glTI.k = b.

~1 cum a~ = e, rezul

Rl.2.2. Fie (GJ .) un grup si x EG, un element de ordin finit.Dacii m, nEZ astfel incdt (m n) =}, ord/x") =n si ord/x") = = m. s ademonstreze cd ord(x) = = m-n.Solutie: Fie d = = ord(x). Din 1.L 10, C 10, cum x'" ~1 x" comuta, avca ordrx'":") / ordrx), deci m-n / d (1)Din ord/x'") = n rezulta ca x'?" = e si deci (1.l.1 0, C 3.) d / m-n.Folosind si relatia (1) rezulta ca d =mn.R1.2.3. Fie (G, -) un grup. sa se demonstreze eel urmatoarele afirmatii s

echivalente:1) Grice submultime H a sa care este parte stabila in raport cu operagrupului, este subgrup al lui G .2)' Toate elementele grupului G sunt de ordin fin if.

Marian A ndronacSolutie: , . , 1 =/ 2' Fie XEG. CUIn (G, .) este grup, rezulta ca V tEN*, XCs i deci multimea H = {xt I tEN*} este parte stabila a lui G in raportoperatia grupului, Asadar, conform ipotezei, H este subgrup a1 lui G ~i dH contine elementul neutru e al lui O. In consecinta, exists kEN* as, .Incat Xk = e si deci afirmatia (2) este adevarata. f


7/8

,2 = > 1" Fie !-1c G, 1-1parte stabila a lui G in raport cu operatia lui G.fie XEf-I . Din ipoteza rezulta ca . : 3 kEN* xk:= e.Cum 11 este parte stabila, avem xhEH, '\I hEN* si deci eEII.Xk = e ~ X-I = Xk-1 si cum H este parte stabila avem ca si xk.) (adica Xse afla in H. Asadar H este subgrup allui G.Observatii,1. Exista grupuri infinite cu toate elementele de ordin finit.De exemplu (Zp[X], + ), daca peste un numar prim.2. Daca (G, .) este un grup finit, atunci V 1-1cG, avem:

H parte stabila a lui G in raport eu operaria lui G ::> H e subgrup allui3. Daca impunem condiria de finitudine doar asupra lui II obtinem rezultatcunoscut:Pentru grupul (G)) ~imultirnea finira H c G,H e parte stabila a lui Gin raport cu operatia lui G < = > H e subgrup allui GRl.2.4. Sii se demonstreze ca oriee subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

Solutie: Fie (G., .) un grup ciclic.L Dace. ord(G) =+ 00 iii G= (a), atunci grupul G este izomorf ell (Z +)(un izomorfism este f: G -----)-, f(ak) = k. \j k e Z) si cum subgrupurile luisunt de forma nZ = (n), eu n e Z, rezulta ca si subgrupurile lui G sunt ciclipe baza urmatorului rezultat cunoscut:Lemii daca grupurile (G, -) si (G ~ -) sunt izomorfe si f. ' G ---;}-G I esteizomorfism, atunci: H este subgrup al lui G ::> f(H) este subgrup al lui GII. Daca ord(G) =nEN* ~i G = (a>, subgrupurile improprii ale lui G fievident ciclice, fie H un subgrup propriu a1 lui G, H = {aK l , a k2 , ... , aeu k 1 < k, < ... < k, numere naturale nenule.Demonstram, prin inductie dupa s, ca H .;_(a 1 - . : : 1 ) , deci ca V SE N*) a ks E (a k)Pentru s =2, a k1 , ak2 EH. Cum H e subgrup allui G obtinern (a k, t l .a k2...deci aK2-k] EH si din k2 - k, < k2 rezulta ca avem k2 = 2k1 si a k2 E (aPresupunem ca avern ks-1 = (s-l}kl si demonstram ca si k, = k.s.

A k k k k k k . k -k[ k -k2 k -k ,vern: s- I > s- 2> ... > s- s-l $1 a S as , ... , a S s-iar k--k, ks-k2, ... , ks-ks-1 E {k., k2) ... , ks-1} si deci ks-ks-1 = k, si folosipoteza de inductie 'obtinern k, = sk- ~i a ks .. (a k\ Y E (a k] ), asadar H eciclic, generat de a kt .


8/8

Documents

Ordinul unui element intr-un grup