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ORIGAMI E GEOMETRIA

Breve storia degli origami

Tetraedro

Modello1

1) Istruzioni origami

2) Analisi geometrica

3) Interpretazione analitica

Modello2

1) Istruzioni origami

2) Analisi geometrica

Conclusioni geometriche

La costruzione del rettangolo 1 nel linguaggio della geometria

analitica

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Breve storia degli origami

Sebbene gli origami siano tutt’oggi sinonimo di Giappone, la prima traccia di questa tradizione

arriva dalla Cina, dove la carta venne prodotta fin dal 200 come alternativa economica alla seta.

L’arte cinese del piegare la carta fu conosciuta come Zhezhi e fu portata con la carta in Giappone

nel VI secolo da monaci buddisti cinesi.

Gli origami iniziarono così a diffondersi in Giappone. La stessa parola giapponese “origami” è la

composizione di due parole: “ori”, che significa piegare, e “gami” che significa carta. Questa arte fu

per molti secoli (e lo è ancora) un popolare passatempo per i bambini giapponesi.

E questo sarebbe rimasto se non fosse stato per l’operaio giapponese Akira Yoshizawa. Nato nel

1911 da una famiglia di produttori di latte, Akira si appassionò agli origami da piccolo ma, come

molti bambini, li abbandonò gradualmente crescendo e trovando nuove attività che occupavano il

suo tempo. Tuttavia, a differenza degli altri bambini, riaccese la sua passione per gli origami subito

dopo i vent’anni. Aveva iniziato a lavorare in una fabbrica, dove insegnava la Geometria ai giovani

operai, e realizzò che gli origami potevano essere un modo semplice e efficace per insegnare ai suoi

studenti i concetti di angolo, linea e forma.

Con la pratica, Yoshizawa sviluppò alcune tecniche pionieristiche come quella del “wet folding”

(letteralmente piega bagnata) che permetteva schemi più complicati e la possibilità di realizzare su

un singolo foglio un maggior numero di curve. Il suo lavoro fece partire il rinascimento degli

origami. Le sue nuove tecniche cambiarono gli origami da passatempo a forma d’arte.

Con il disegno di schemi sempre più complessi, questa arte iniziò ad attirare l’interesse dei

matematici che avevano la stessa idea di Yoshizawa: c’era una grande intersezione tra l’arte di

piegare la carta e la Geometria. Gli studi matematici riguardanti gli origami finalmente portarono a

un nuovo approccio ai due problemi suddetti le cui radici, molti anni prima, risalivano a differenti

culture e differenti continenti.

Per concludere il nostro discorso introduttivo, è necessario precisare che l’origami può realizzare

modelli sia partendo da un unico foglio che partendo da più fogli (= moduli) opportunamente

combinati insieme.

Il nostro lavoro si collega a questa ricerca di interazione tra la piegatura della carta e la geometria e

in modo particolare si occupa della realizzazione di poliedri regolari.

Un’attenta osservazione delle piegature eseguite per ottenere la forma geometrica desiderata si

rivela un ottimo strumento di applicazione di nozioni geometriche basilari.

Dei cinque solidi platonici, tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro, solo il

tetraedro, il cubo e l’ottaedro possono essere realizzati con l’uso di un solo foglio di carta (esistono,

comunque, anche le forme modulari) mentre il dodecaedro e l’icosaedro possono essere realizzati

solo con origami modulare.

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Illustriamo ora la costruzione con il metodo origami del tetraedro, evidenziandone le possibili

implicazioni geometriche.

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Tetraedro

I modelli studiati sono 2: modello1 e modello2 e per ciascuno sono previste le istruzioni origami e

la relativa analisi geometrica.

modello1

Istruzioni origami

Fase 1

Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 3

(rettangolo A della figura in basso)

Dal foglio quadrato bisogna creare

un

rettangolo 1 x 3

e da questo rettangolo si realizza il

tetraedro

A

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Fase 2

Dal foglio 1 x3 al tetraedro

Analisi geometrica

Nella figura qui sotto è rappresentata la costruzione, che attraverso le piegature corrispondenti alle

rette illustrate, porta alla realizzazione del rettangolo ( in rosso nella figura).

Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura.

1. M ed N sono rispettivamente punti medi dei lati del quadrato a cui appartengono. Il punto P è il

punto medio di AM e il segmento PQ è parallelo ad MN.

La piegatura MR porta il punto A nel punto A’ della retta PQ: A’ è dunque il simmetrico di A

rispetto a MR. Sia O il punto di intersezione fra le rette RA’ e MN. Si ha .

Nel triangolo rettangolo MPA’ l’ipotenusa MA’ è il doppio del cateto PM perciò l’angolo è di

60°. Si riconosce allora che:

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Il triangolo RMO è dunque equilatero ed è

.

E’ stato cosi realizzato il rettangolo desiderato, evidenziato in rosso nella figura.

Se poniamo

2. Consideriamo ora la costruzione del tetraedro: lavoriamo nel rettangolo ABCD, dove sono

state realizzate le piegature EF, RS, GH che lo dividono in quattro strisce uguali.

La striscia superiore è portata sulla seconda e la striscia inferiore sulla terza in modo che A e D

vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S; otteniamo il rettangolo a doppio strato

GHFE.

Le piegature GI e HJ portano rispettivamente E in E’ e F in F’ sul segmento RS.

Il punto E’ è il simmetrico di E rispetto a GI e F’ il simmetrico di F rispetto ad HJ. Nel triangolo

rettangolo E’RG si ha:

perciò ; il triangolo IGU,

ottenuto prolungando il segmento IE’, è dunque equilatero e, analogamente, lo è il triangolo JVH.

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Si ha:

, allora anche

.

I tre triangoli IGU, JVH e TUV, con T punto medio di EF, sono equilateri e lo sono anche TIU e

JTV; tutti questi sono i triangoli che sono stati ottenuti con i piegamenti successivi visti nella fase

operativa.

Nella figura sottostante, compaiono colorati in rosso, i triangoli che formeranno il tetraedro:

Un’interessante osservazione riguarda la relazione tra le dimensioni del foglio utilizzato per

costruire il tetraedro e i triangoli equilateri che potranno essere in esso contenuti.

Il confronto con il modello 2, costruito da un foglio di carta di dimensioni differenti, consentirà di

osservare una diversa disposizione dei triangoli equilateri.

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modello2

Fase1

Dal foglio quadrato bisogna creare un

rettangolo 1 x 2 (foglio A4)

e da questo rettangolo si realizza il tetraedro

Istruzioni origami

Fase 1

Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 2

(rettangolo B della figura in basso)

B

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Fase 2

Dal foglio 1 x2 al tetraedro

Analisi geometrica

1. Nella figura che segue sono rappresentate le piegature che portano, a partire dal foglio

quadrato, al rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni è .

Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura.

.

La piegatura AR porta il punto B sul punto B’ della diagonale AC: B’ è il simmetrico di B rispetto ad

AR. Il triangolo CB’R è rettangolo ed isoscele, la retta B’E, parallela ad AB, passante per B’, è

perpendicolare a BC, perciò E è il punto medio di RC: dunque FE è la piegatura, parallela ad AB

che porta C in R.

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Se N è la proiezione di B’ sul lato AB, il triangolo ANB’ è rettangolo isoscele, si ha:

Poiché si ha

Concludiamo così che il rettangolo ABEF è il rettangolo richiesto.

Se poniamo

Il rettangolo A4, che è usato in tutto il mondo con l’eccezione degli Stati Uniti d’America, è

appunto un rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni è .

Un aspetto affascinante del rettangolo A4 è che, tagliato a metà lungo il lato maggiore, genera due

rettangoli a lui simili, quindi ancora rettangoli A4. Perché?

Quanto abbiamo visto fino ad ora suggerisce un procedimento, illustrato dalla figura che segue, che

permette, dato un quadrato, di costruirne uno di area doppia.

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2. Ritorniamo alla realizzazione del tetraedro.

Le prime tre piegature del foglio 1 x 2 sono, come nel modello precedente, parallele alla

dimensione maggiore del rettangolo, rispettivamente secondo il punto medio della dimensione

minore del rettangolo e poi secondo i punti medi delle relative metà della stessa dimensione.

Come nel caso precedente la striscia e la striscia inferiore sono portate rispettivamente sulla seconda

e sulla terza in modo che A e D vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S;

otteniamo il rettangolo a doppio strato GHFE.

La piegatura HJ porta F in F’ sulla piegatura RS.

Il punto F’ è il simmetrico di F rispetto a HJ. Nel triangolo rettangolo F’SH si ha:

perciò .

Il triangolo HJU, ottenuto prolungando il segmento JF’, è dunque equilatero e, analogamente, lo è il

triangolo UTV, ottenuto con le successive piegature.

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Il confronto con il modello precedente ci permette di osservare che nella dimensione maggiore del

rettangolo (

) le basi dei triangoli equilateri non sono contenute per intero, infatti:

altezza triangolo equilatero =

lato triangolo equilatero =

ed è

Mentre con il primo modello era indifferente quale delle due estremità della striscia inserire

nell’altra, con questo secondo modello se inseriamo l’estremità B nella A vediamo una faccia del

tetraedro risultante divisa in due parti disuguali.

lembo triangolare

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Conclusioni geometriche

Nei tetraedri ottenuti con le due modalità suindicate soltanto il modello 1, ottenuto dal foglio

rettangolare 1 x , presenta tre facce formate da un’unica superficie cartacea e solo una divisa a

metà, nel modello 2, una faccia del tetraedro non è divisa in maniera simmetrica. Sono possibili altri modelli di tetraedro, che qui non stiamo ad analizzare e per la cui costruzione

sono necessari fogli rettangolari di dimensioni in rapporto diverso da ; anche in questi si osserva

la stessa anomalia su almeno una faccia del tetraedro, come si può osservare dalla figura sotto.

MODELLI DI TETRAEDRO

Rapporto dimensioni del foglio

rettangolare

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La costruzione del rettangolo 1 nel linguaggio della geometria

analitica

Ricordiamo la figura in cui sono rappresentate le piegature che portano alla costruzione del

rettangolo 1 :

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E vediamola nel piano cartesiano.

Poniamo:

A ↔ (0, 0) , B ↔ (a, 0), V↔ (a, a), Z ↔ (0, a);

equazione retta equazione retta ;

coordinate del punto A’, simmetrico di A sulla retta PQ:

A’ è l’intersezione della retta PQ con la circonferenza che ha centro in M e raggio MA,

…….

;

coordinate del punto R , punto dell’asse Y, equidistante da A e da A’:

…...

retta RA’:

coordinate del punto O, intersezione fra le rette MN e RA’: O

Si ha: