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La superficie piegata articolata

Due matite sul tavolo, se appoggiamo su di esse un fo-glio di carta, questo vi si adatta. Il foglio s’incurva fino ad appoggiarsi alla scrivania. Facciamo una piega lungo il fo-glio. Ora si tiene alto appoggiato alle sole matite. Dividia-mo ulteriormente il foglio di carta e sopra vi appoggio un bicchiere. Il foglio di carata, come un ponte tra due argini, ora sorregge un peso molte volte superiore a se stesso. Le caratteristiche fisiche del foglio di carta non sono cambiate il suo spessore e peso è rimasto inalterato. Cambiata è la sua geometria il suo disporsi nello spazio. Le pieghe sono diventate delle nervature e la nuova geometria ha cambia-to le caratteristiche statiche del foglio di carta.Ora questo fenomeno è chiaramente descritto in un qual-siasi manuale di statica in cui si distinguono le strutture resistenti per forma da quelle resistenti per massa, ed è altrettanto evidente per chi ha pratica dei metalli come il fabbro o il carrozziere che rinforzano la struttura operando delle pieghe.Il nostro foglio di carta irrigidendosi lungo una direzione (le pieghe) ha perso parte della sua libertà di adattamento, se prima poteva incurvarsi secondo le direzioni descritte da qualsiasi retta che gli appartiene, ora può incurvarsi solo secondo una direzione, lungo il lato perpendicolare all’ap-poggio. Possiamo ancora allargarlo riducendo l’altezza del-le creste, ma più queste si pongono orizzontali meno la su-perficie è capace di resistente al peso; possiamo aumentare il numero delle pieghe, ma quanto più queste aumentano tanto più la superficie ritorna alla condizione iniziale anche se in qualche modo, rigata.

Se immaginiamo questa forma come una copertura oriz-zontale o una pannellatura verticale, realizzata da rettan-goli rigidi e incernierati, possiamo facilmente apprezzare il suo adattarsi a condizioni planimetriche e spaziali anche molto diverse (fig. 10).

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(fig. 10) Il movimento di pannelli rettangolari, rigidi, incernierati.

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La ricerca vuole indagare le possibili configurazioni che una superficie può assumere nello spazio, una volta creata una tassellazione e delle pieghe che ne permettono la trasfor-mazione. L’elemento principale dell’origami, la piega, di-venta quindi cerniera che consente il movimento; il tassello, l’elemento tipico di costruzione. La porzione di superficie tassellata, risultato dell’insieme di elementi rigidi opportu-namente vincolati, si propone come un nuovo soggetto di studio che abbiamo chiamato superficie piegata articolata.Per poter apprezzare le caratteristiche della superficie pie-gata articolata abbiamo dovuto usare i vari metodi di rap-presentazione, da quello bidimensionale al modellatore vir-tuale, da quello tridimensionale fisico a quello parametrico.

É possibile distinguere tre famiglie strutturali di pieghe che determinano tre tipologie di configurazioni a cui è assog-gettabile il piano.La prima tipologia caotica, vede il piano sottoposto ad una tassellazione molto fitta e disordinata; il piano può defor-marsi assumendo nello spazio infinite configurazioni pos-sibili. Se prendiamo un foglio di carta e lo accartocciamo strettamente con le mani, possiamo fargli assume infinite conformazioni spaziali aprendolo e stirandolo in modo ap-

(fig. 11) Tipologia caotica. la superficie è sottoposta ad una tassellazione fitta e disordinata

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propriato (fig. 11). Tanto più è fitta la suddivisione, tanto più la superficie è capace di adattarsi a specifiche confi-gurazioni. Oltre all’evidente difficoltà nel determinare il rapporto tra la suddivisione iniziale e la forma finale è al-trettanto difficile e privo di significato cercare il rapporto geometrico tra le parti che partecipano a questo tipo di configurazione spaziale.

La seconda tipologia a forma, vede la superficie assogget-tata ad una tassellazione composta da poligoni e cerniere scelti per forma e disposizione perché queste raggiungano una specifica configurazione (fig. 12). La forma evolve en-tro un range di variazione compreso tra due valori, quello iniziale in cui la forma è stesa sul piano, quello finale in cui la configurazione ha raggiunto la forma voluta.

(fig. 12) Tipologia a forma. La superficie è sottoposta ad una specifica tassellazione per raggiungere una confi-gurazione.

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La terza tipologia strutturata è determinata dalla divisione del piano in gruppi di tasselli uguali tra di loro e permette alla superficie di assumere nello spazio molte configurazio-ni possibili.È questa terza tipologia di superficie piegata che ci ha mag-giormente interessato in quanto particolarmente adatta a descrivere un nuovo modo d’intendere la forma, in grado di reagire a diverse volontà e di conseguenza di modificare la propria conformazione attraverso un attento controllo progettuale (fig. 13, 14, 15).La forma evolve entro un range di variazione compreso tra due valori, quello iniziale in cui la forma è stesa sul piano, quello finale in cui la forma non può più muoversi perché i lati o i vertici delle parti di cui è composta si toccano. Tra questi due stati la forma assume una infinità di configura-zioni possibili, ma controllabili in quanto associate da spe-cifiche e individuabili connessioni geometriche.

(fig. 13, 14, 15) Tipologia strutturata. La superficie è sottoposta ad una tassella-zione in moduli tutti uguali tra loro.la superficie è capace di de-scrivere nello spazio diverse configurazioni.

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La prima piega

Lo studio indaga le proprietà delle superfici che, dotate di opportune tassellazioni e pieghe, sono capaci di deter-minare diverse configurazioni nello spazio se sottoposte a movimento. Con prima piega s'intende una successione di pieghe costruite sulla superficie con la stessa direzione.

Il rettangolo La porzione di piano rettangolare è stata suddivisa in ret-tangoli tutti uguali e orientati rispetto ad un suo lato. Le pieghe che si muoveranno verso il basso sono chiamate valle; le pieghe che sono obbligate a muoversi verso l’alto sono chiamate mente (fig. 16). Possiamo chiamare modulo il numero di elementi minimi sia per verso che per forma prima della loro ripetizione. In questo caso sono una coppia di rettangoli.Analizziamo le proprietà, nel movimento, di questa superfi-cie piegata composta da rettangoli tutti uguali incernierati per il lato lungo.La superficie può allungarsi o restringersi traslando sul piano (fig. 17). Assume tutte le condizioni possibili tra le due posizioni limite, completamente spianata sul piano orizzontale o piegata fino a che tutti i rettangoli che la compongono si appoggiano l’uno all’atro assumendo una

(fig. 16) Divisione della su-perficie in rettangoli.

(fig. 17) Il comportamento della superficie sottoposta ad al movimento.

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posizione verticale.Nel caso più generale possiamo distinguere due cause prin-cipali nella gestione della superficie piegata; il susseguir-si delle superfici rettangolari incernierate e la forma della direzione di movimento. La prima può essere sintetizzata dalla spezzata di bordo che ne descrive le qualità e i re-ciproci vincoli; la seconda, rettilinea o curvilinea, governa l’andamento generale della superficie.

Movimento rettilineo.La superficie piegata, scivolando sulla superficie d’appog-gio, può avere movimenti differenti, raccogliersi o disten-dersi ubbidendo ad una specifica legge che governa la distanza tra le pieghe o variare in maniera arbitraria l’inter-vallo tra di esse (fig. 18).Nel nostro caso, essendo la superficie piegata costituita da rettangoli, il movimento della spezzata di bordo descrive in

(fig. 18) Il comportamento della superficie sottoposta ad un movimento rettilineo.

(fig. 19) Il comportamento di una superficie piegata costruita da diversi rettan-goli sottoposta ad un movi-mento rettilineo.

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maniera sintetica il comportamento dell’intera superficie: archi di circonferenza rappresentano il movimento di ogni segmento e individuano nell’intersezione con la circonfe-renza successiva la relazione con il segmento seguente. I vertici alternati (solo valle o solo monte) di una spezzata dai segmenti tutti uguali possono essere obbligati a disporsi lungo una retta pur permettendo agli elementi della spez-zata di assumere diverse posizioni nello spazio (fig. 20). Se vincoliamo i vertici alternati ad una coppia di rette co-stringiamo allo stesso movimento ogni coppia di segmenti della spezzata; le due rette sono sovrapposte quando la spezzata è completamente distesa e sono alla massima di-stanza quando la spezzata è completamente raccolta.

Una spezzata composta da coppie di segmenti uguali ri-chiudendosi tende ad allineare i vertici estremi delle coppie fino a che questi non coincidono a ripiegamento comple-tato.

(fig. 20) La diversa posizio-ne dei vertici della spezzata di bordo nel movimento.

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Sistema nodale nella piega rettangolarePartiamo dalla piega-cerniera inserita tra due superfici ret-tangolari piane.La piega tra due piani rettangolari, può essere simulata at-traverso un modello matematico in grado di sintetizzare il modello reale estrudendo lungo una direzione due linee poste in continuità di posizione. Questa è la semplifica-zione da cui partiremo per lo studio parametrico del caso. Per la simulazione del movimento nello spazio digitale, ci avvarremo di un linguaggio (visual scripting) in grado di inserire come imput della definizione nodale dei parametri variabili utili a simulare gli attuatori del movimento. Le modalità di movimento investigate sono due ed allu-dono a due diverse tecnologie di movimentazione della forma: da una parte si agisce sull’allontanamento e l’avvici-namento degli estremi non in continuità della polilinea sin-tesi della piega; dall’altra si agisce direttamente sull’angolo compreso tra le due linee in continuità. Il primo dato per la definizione dell'agoritmo è la dimen-sione del pattern composto da rettangoli rigidi. Da essi si estraggono i vincoli geometrici della movimentazione.

A

f

B

D

C

(fig. 21) Rappresentazione assonometrica della singola piega rettangolare e sua no-menclatura.

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Piega attraverso l’attuazione lineare Come è stato detto si parte dallo studio della spezzata che sintetizza la piega, composta da due linee AB e BC, lati corti dei due pannelli che partecipano alla piega (fig. 21). Ci rendiamo conto che la distanza massima tra i due vertici esterni può raggiungere una estensione pari alla somma delle due lunghezze AB + BC. Costruiamo la direzione f appartente al piano della spez-zata che guida il movimento dei vertici. Nella figura 22 il vertice A è fisso sul segmento f ed è posto all’origine dello spazio digitale; il punto C è il vertice mobile della spezza-ta esaminata. Quest’ultimo è costretto a spostarsi lungo il binario f rispettandone la distanza massima (AB + BC) e minima (AB - BC) in cui i due segmenti della polilinea si sovrappongono ed appartengono alla direzione f. Il vertice B comune ai due lati della spezzata, è il risultato dell’intersezione di due archi di circonferenza: l’arco a con centro in A e raggio pari alla lunghezza AB; l’arco b di raggio pari alla lunghezza BC e con centro in C.Le due curve descrivono i movimenti relativi che ogni seg-mento può fare nel piano. Il punto B è il luogo in cui AB e BC sono in continuità di posizione, quindi la sua posizio-ne è il risultato dell’intersezione tra gli archi a e b. Con il muoversi di C verso A si determina l’intersezione variabile delle curve. Si possono quindi determinare tutti i casi tra le due condizioni limite: i due vertici sono al massimo della loro distanza, per cui i due archi sono tangenti esterna-mente e quindi i segmenti si allineano sulla stessa retta; i due vertici sono al minimo della loro distanza (AB-BC), per cui le curve sono nuovamente tagenti ma internamente. In quest’ultimo caso le linee della spezzata si sovrappongono e giacciono lungo la direzione f.

A

B

a

b

1 C 2 f

(fig. 22) Rapporti geometri-ci che regolano le articola-zioni dei moduli della piega.

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Osservando la definizione nodale che descrive gli algoritmi geometrici elencati (fig. 23), notiamo che i dati di partenza sono le Dimensioni della piega(1) da cui estrapoliamo le larghezze dei due pannelli che partecipano alla costruzio-ne del modello dinamico. Attraverso una funzioni a due variabili(2), rispettivamente si sommano e si sottraggono le larghezze dei pannelli per ottenere lo spostamento mas-simo di C in 1 e lo spostamento minimo in 2. La traslazione avviene lungo la direzione f. Una volta espressa l’estensio-ne massima e minima della piega, dobbiamo esprimerne la varianza all’interno del range 1-2. Qualunque curva Nurbs è assimilabile ad uno spazio parametrico monodimensio-nale per cui ogni punto di esso è identificabile attraverso un’unica coordinata t; rendendo questa coordinata varia-bile(3), è possibile simulare tutte le posizioni di C lungo f.Il singolo segmento che partecipa alla polilinea di bordo ha un estremo bloccato e l’altro che, nel movimento, descrive degli archi di circonferenza. I punti A e C sono origine di due sistemi coordinati relati-vi(4) paralleli al piano XZ assoluto, su questi piani costru-iamo l’arco a con centro in A e l’arco b con centro in C:

3

2

1

(fig. 23) Esplicitazione nodale degli algoritmi ge-ometrici che regolano la movimentazione della piega rettangolare.

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l’intersezione B è funzione di questo sistema in movimen-to. Tale condizione fa si che, variando la distanza AC, gli archi di circonferenza costruiti sono sempre intersecanti o al limite tangenti internamente o esternamente. Il punto B di intersezione è l’estremo della linea di piega, cerniera delle superfici partecipanti, la cui direzione è per-pendicolare ai piani di costruzione XZ(5). Il modello di que-sta superficie articolata minima sarà completo estrudendo la polilinea(6) individuata, lungo la cerniera di lunghezza pari alla dimensione CD (fig. 24).

AC

6

5

4

F f

a

b

cE

B

D

(fig. 24) Rappresentazione assonometrica di più pieghe rettangolari e loro nomen-clatura.

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Una volta reso chiaro l’algoritmo che genera il movimento della piega, non sarà difficile comprendere come animare le pieghe successive. Nel ripetere la definizione è però ne-cessario non trascurare il movimento relativo esistente tra le due coppie di piani. Osservando la figura 25 vediamo che il punto C, vincolato alla direzione f, diventa l’origi-ne della piega successiva. Origine non statica, ma mobile lungo la linea f, che nel modello digitale e parallela all’asse coordinato x.

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Per questo nella definizione in figura vediamo come le fun-zioni che determinano la distanza massima e minima tra i punti C ed F, tiene presente dello spostamento che il primo punto fa lungo la direzione x, diventando imput va-riabile per il codice che segue.In un modello composto da pannelli tutti diversi non è fa-cile gestire le collisioni tra i piani, cosa molto più sempli-ce quando i pannelli sono uguali, condizione usuale in un contesto reale.

(fig. 25) Esplicitazione no-dale degli algoritmi geome-trici che regolano la movi-mentazione di un sistema a più pieghe.

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Piega attraverso l’attuazione angolareSi agisce direttamente sulla cerniera tra le due linee appli-cando un’azione di rotazione sulle entità che formano la piega. La definizione simula il caso già presentato partendo sempre da linee che poi verranno estruse. Per agevolare lo studio della piega le due linee appartengono al piano coordinato XZ e la cerniera è collocata nel puno A e per-pendicolare al piano menzionato (fig. 26). La linea AB è considerata raggio vettore di un sistema di coordinate polari che, per individuare un punto nello spa-zio, propone due variabili: la lunghezza del raggio r e l’an-golo spazzato α. Essendo r il lato AB del pannello che par-tecipa alla piega, è fisso. L’angolo α è la variabile attuatrice della definizione che illustreremo.Durante questa azione dinamica, AB trascina il segmento BC, il cui estremo C è vincolato a scorrere lungo la dire-zione rettilinea f. Il movimento del segmento definito, è quello che governa l’intero modello, per questo imponia-mo al punto B di essere origine di un sistema relativo in movimento. Nuovamente l’inestensibilità di BC è garantita dall’arco a di raggio pari al lato corto del secondo pannello; il centro dell’arco è il punto mobile B (fig. 27). Nel caso in figura, f appartiene ad un piano parallelo al piano coordi-nato XY passante per A, per cui intersecando questo piano con la curva a si creano i presupposti per un sistema cine-matico che rispetta i vincoli dimensionali impostati.Osserviamo la definizione in figura 28 dove 1 è il vettore polare animato dalla variabile 2, il cui range di esistenza va

A

B

D

z

x

C f

1

2

(fig. 26) Rappresentazione assonometrica della singola piega rettangolare attivata da una variabile angolare e sua nomenclatura.

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(fig. 28) Esplicitazione nodale degli algoritmi ge-ometrici che regolano la movimentazione della piega rettangolare, attraverso una variabile angolare.

da 0 a 90 gradi. Costruiamo la linea AB (3) di lunghezza nota e direzione coincidente a quella del vettore polare ad angolo variabile. L’estremo B è l’origine del piano coordi-nato relativo XZ nel quale costruiamo l’arco a di raggio BC. Per vincolare C alla direzione f, proponiamo l’intersezione tra a ed un piano parallelo al piano coordinato XY. La poli-linea ABC, estrusa lungo la direzione y di una quantità pari alla profondità dei pannelli, determina il modello di piega attuato da una variabile angolare.

A

B

z

a

x

C

gvariabile angolare. attuato da una variabile angolare.

6

5

4

3

(fig. 27) Rapporti geome-trici che regolano le arti-colazioni dei moduli della piega attivata da variabile angolare.

36

f

1

2

(fig. 29) Rapporti geome-trici che regolano le artico-lazioni dei moduli dei più pieghe attivate da variabili angolari.

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3

Anche in questo caso la ripetizione della definizione per-mette di creare un modello a più pieghe. L’accortezza sta nell’impostare l’origine della ripetizione in C, consentono spostamenti relativi tra la prima e la seconda coppia di pan-nelli. Le due variabili angolari permetteranno di ottenere le infinite posizioni delle pieghe i cui vertici di base scivolano sempre lungo la retta f. Il passo ulteriore diventa quindi sostituire la direzione ret-ta con una direzione curva (fig. 29). La direzione retta era garantita attraverso l’intersezione tra l’arco ed il piano XY passanti per le origini dei sistemi cinematici relativi. Nella nuova ipotesi illustrata in figura 30, imponiamo al punto C e al punto F, di appartenere rispettivamente sia agli archi a che a’, ma anche di scorrere su una curva f non più retta. Le intersezioni devono avvenire tra le nuove entità parteci-panti: a con f e a’ ancora con f; ciò impone alla definizione di modificarsi come mostrato in figura 31. Nell’immagine relativa al sistema nodale, notiamo la pre-senza della curva f(1) e l’intersezione di essa con gli archi a(2) ed a’(3). Vediamo che la polilinea di lunghezza data realizza una sorta di discretizzazione della curva, il cui valo-re aggiunto è il movimento dovuto alle articolazioni create e alla variazione sincrona o asincrona degli angoli. Qualità che si trasferiscono al modello della superficie articolata semplicemente estrudendo la polilinea (fig. 30).

(fig. 30) Rappresentazione assonometrica di più pieghe rettangolari, attivate dalla variazione dei rispettivi an-goli e loro nomenclatura.

(fig. 31) Esplicitazione no-dale degli algoritmi geome-trici che regolano la movi-mentazione di un sistema a più pieghe attraverso la variazione angolare.