Embed Size (px)
Citation preview
ORIGENS DAS CÔNICAS
As Cônicas foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A
elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como seções de
cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do
cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso).
Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois
ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo.
Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua
secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (uma
constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone
obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais
importantes obras de Euclides, porém se perdeu pelo fato do trabalho escrito
por Apolônio ser mais extenso. A obra de nível mais avançado foi
precisamente àquela feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer
estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi uma obra-prima de
Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido
fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o
"Geômetra Magno".
AS SECÇÕES CÔNICAS
Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada
geratriz, que gira em torno de uma reta chamada de eixo e mantendo-se fixa
em um ponto chamado vértice e tendo como diretriz uma circunferência,
obtém-se um cone duplo. A reta geratriz forma com o eixo um certo ângulo α.
Considerando este cone duplo, secionado por um plano secante, dependendo
do ângulo que este plano secante formar com o eixo, teremos uma das quatro
curvas cônicas: a circunferência, a elipse, a parábola ou a hipérbole.
ASPECTOS HISTÓRICOS E A IMPORTÂNCIA DAS CÔNICAS
Tratados sobre as seções cônicas são conhecidos antes da época de
Euclides (± 325-265 a.C.). E, associado à história dessas curvas, temos
Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente
Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu,
aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides,
formam a tríade considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos
da antiguidade. Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria
e foi astrônomo notável, talvez ele, e não Euclides, mereceu dos antigos o
adjetivo de "o grande Geômetra ". A maior parte das obras de Apolônio
desapareceu. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de
Alexandria (século IV a.C.). Sua obra prima é Seções Cônicas composta por 8
volumes (aproximadamente 400 proposições!). Da obra original sobreviveram 7
volumes, sendo 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit Ibn
Qurra (826 a 901) no séc. IX.. Os três primeiros volumes são baseados em
trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1.710,
Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas
para o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram
feitas a partir da tradução de Halley.
Os precursores de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo,
Aristeu e o próprio Euclides. Nesse período, elas eram obtidas seccionando um
cone circular reto de uma folha com um plano perpendicular a uma geratriz do
cone, obtendo três tipos distintos de curvas, conforme a seção meridiana do
cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um ângulo obtuso.
Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as seções
cônicas na antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas
as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a
inclinação do plano de interseção; ter introduzido os nomes elipse e hipérbole e
ter estudado as retas tangentes e normais a uma cônica.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode
ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de
Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de
127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e
a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude
tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e
transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de
Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares.
As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler.
O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica
e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia
Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem
órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a
palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo
significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra
de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um
projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à
componente vertical de uma parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que
permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, os "Principia " de Sir Isaac Newton. A
lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler
e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e
das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos
cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse
possível.
Também não podemos deixar de falar em aplicações práticas usuais
recentes como nos receptores parabólicos, telescópios, navegação LORAN,
etc.
Coube a Pierre de Fermat (1.601-1.665) a descoberta das equações
cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse,
da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual
rotação de eixos para reduzir uma equação do 2° grau à sua forma mais
simples.
AS CÔNICAS NA ARQUITETURA
Em arquitetura como no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos,
usam-se as cônicas devido às suas propriedades físicas e até mesmo
estéticas. Um Exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso
total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma
de uma parábola, como se pode ver na Figura 1 .
Um outro exemplo é a planta do Coliseu em Roma, como se pode ver na
Figura 2
A hipérbole, ao rodar em torno de um dos eixos de simetria, gera uma
superfície que tem o nome de hiperbolóide de revolução. Nestas superfícies as
secções ao eixo de rotação são circunferências e as secções paralelas ao eixo
são hipérboles. Em 1669, Christopher Wren1 mostrou que o hiperbolóide de
uma folha pode ser gerado pelo movimento de uma reta que se apóia em duas
circunferências, esta superfície pode ser considerada formada por uma
infinidade de retas e é conhecida como superfície regrada. O hiperbolóide de
uma folha é usado na construção de centrais de energia, nomeadamente em
centrais atômicas, que são regradas e podem ser reforçadas com barras de
aço retilíneas, que se cruzam por forma a obter estruturas extremamente
fortes.
Na representação Arquitetônica nada melhor do que Oscar Niemeyer,
arquiteto famoso, principalmente, pelas curvas impostas a edificações de
arquitetura singular em Brasília e pelas formas revolucionárias de seu estilo
arquitetônico. Oscar Niemeyer tem um gênio de artista e vê a arquitetura de
forma única:
"De um traço nasce a arquitetura. E quando ele é bonito e cria surpresa,
ela pode atingir, sendo bem conduzida, o nível superior de uma obra de arte."
Oscar Niemeyer nasceu no Rio de Janeiro, em 1907. Em 1934,
diplomou-se como engenheiro e arquiteto no Rio de Janeiro. Iniciou sua vida
profissional no escritório do arquiteto Lúcio Costa, que projetou o Plano-Piloto
de Brasília. Oscar Niemeyer projetou várias obras no Brasil e em vários outros
países, entre elas o conjunto da Pampulha, em Belo Horizonte, o conjunto
Ibirapuera, em São Paulo, os principais prédios de Brasília, o Museu de Arte
Contemporânea e muitas outras obras importantes. Em muitas das suas obras
é bem visível o traçado da tangência e concordância de arcos de circunferência
e curvas cônicas. As Figuras 4 a11 apresentam algumas obras que evidenciam
exemplos desses traçados e entre as figuras apresentam-se algumas citações
de Oscar Niemeyer.
Figura 3- Conjunto da Pampulha. Igreja de São Francisco - Belo
Horizonte, 1940.
Figura 4 - Conjunto Copan. São Paulo, 1951.
Figura 5 - Catedral de Brasília. Brasília,1958
Figura 6 - Editora Mondadori. Segrate, Milão, 1968.
EXENTRICIDADE, DIRETRIZ E FOCO DE UMA CÔNICA
A menos do círculo (caso particular de uma elipse) uma cônica
suave C tem pelo menos uma diretriz e um foco. Para construir uma diretriz,
consideramos uma superfície esférica S inscrita no cone K e tangente ao
plano que determina a cônica (ver Lema 3.3). S intersecta K ao longo de um
círculo . Todo círculo está contido num plano, assim, seja o plano que
contém .
A reta
É uma diretriz da cônica C, e o ponto é seu foco associado.
Quando C é um círculo temos que é paralelo a e, assim, a diretriz não
existe. A excentricidade e de uma cônica C é dada pelo quociente
Assim, temos a seguinte classificação com relação à excentricidade:
se é uma hipérbole,
se é uma parábola,
se é uma elipse não circular,
se é um círculo.
Denotaremos por a distância entre dois pontos ou, entre um
ponto e uma reta ou ainda, entre duas retas.
Proposição 3.4 Se C é uma cônica suave distinta de um círculo com
excentricidade e, diretriz d, e foco associado F, então
para todo ponto .
Demonstração.
(Faremos uma demonstração devido da Dandelin.) Seja o plano
contendo , e seja P um ponto arbitrário em C. Escolha os pontos Q, R,
e T de forma que
i) e é perpendicular ao plano ,
ii) e é perpendicular à reta ,
ii) é o ponto de dado por .
O segmento é paralelo ao eixo do cone, conseqüentemente, o
segmento e o eixo do cone são perpendiculares ao plano . A
reta está contida em e é perpendicular a , assim,
concluímos que é perpendicular a . Considerando que
também é perpendicular a , segue-se que o plano que contém os
pontos , e é perpendicular à reta . Sendo uma
reta contida em , temos que esse plano é perpendicular ao plano .
Logo, porque é paralelo ao eixo do cone, e
pela mesma razão. Assim,
Mas, pelo Lema 3.2, porque as retas e
são tangentes à superfície esférica em e . Agora,
porque é perpendicular à reta .
Conseqüentemente,
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por completamos a
prova.
Corolário 3.5 Se uma cônica C é uma parábola com foco F e diretriz d,
então para todo ponto .
Demonstração. Basta observar que se C é uma parábola então e = 1.
Observação 3.1 O Lema 3.3 junto com a Proposição 3.4 e seu
Corolário 3.5 permitem concluir que a elipse e a hipérbole são cônicas com
duas diretrizes e dois focos, enquanto que a parábola é uma cônica de uma
única diretriz e um único foco associado.
Proposição 3.6 Se C é uma elipse de focos F1 e F2, então é o mesmo para
todo ponto . Ou seja, constante.
Demonstração. Seja P um ponto arbitrário da elipse C de focos F1 e F2 dados
pela interseção do plano com as superfícies esféricas S1 e S2 .
O segmento é tangente à esfera S1 em F1 e é tangente à
esfera S2 em F2, desde que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam tangentes
à nestes pontos (ver Lema 3.3). Sejam
Como S1 e S2 são tangentes ao cone K, ao longo de círculos e , temos
que é tangente à S1 em Q1 e é tangente à S2 em Q2.
Conseqüentemente, segue-se do Lema 3.2 que
Então, , em que é a distância
entre os círculos e . Como a distância entre eles não depende
de P segue-se que a soma é a mesma para todo ponto . Isto
completa a prova.
A demonstração da próxima proposição é uma simples adaptação da
demonstração da proposição anterior.
Proposição 3.7 Se C é uma hipérbole de focos F1 e F2, então é o
mesmo para todo . Ou seja, constante.
Demonstração. Seja P um ponto arbitrário da hipérbole C de
focos F1 e F2 dados pela interseção do plano com as superfícies
esféricas S1 e S2 . O segmento é tangente à esfera S1 em F1 e é
tangente à esfera S2 em F2, desde que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam
tangentes à nestes pontos (ver Lema 3.3).
Sejam
Como S1 e S2 são tangentes ao cone K, ao longo de círculos e , temos
que é tangente à S1 em Q1 e é tangente à S2 em Q2.
Conseqüentemente, segue-se do Lema 3.2 que
Então, , em que
não depende dos pontos Q1 e Q2 pertencentes aos círculos e . Como a
ultima soma não depende do ponto P segue-se que o módulo da diferença
é constante. Isto completa a prova Estudo Analítico das Cônicas
Uma curva pode ser definida como sendo o conjunto de pontos que
gozam de uma mesma propriedade, ou seja, como um lugar geométrico, ou
como gerada por um ponto móvel que se desloca no plano ou no espaço, ou
ainda como a interseção de duas superfícies. As cônicas de Apolônio
(interseções de superfícies) foram caracterizadas por suas propriedade focais
(lugares geométricos) com estabelecido na seção anterior. Nessa seção,
vamos representar mediante o emprego de coordenadas, pontos de um objeto
geométrico por números e suas imagens por equações. Ou seja, vamos aplicar
o método da Geometria Analítica para descrever e resolver problemas
geométricos. O mérito desse método é creditado ao pai da filosofia moderna
René Descartes ( 1.596-1.650). Sua obra “Discours de la Méthode'', publicada
em 1.637 em Leyden, na Holanda, continha um apêndice denominado La
Géometrie, que apresentava as idéias fundamentais sobre a resolução dos
problemas geométricos usando coordenadas (sistema cartesiano) e equações
algébricas. Entretanto Descartes não tratou de quase nada do que se entende
hoje por geometria analítica, não tendo deduzido sequer a equação de uma
reta. Esse mérito do marco zero da geometria analítica deve ser creditado a
Pierre de Fermat que conclui em 1.629 o manuscrito “Ad locos planos e et
sólidos isagoge'' (Introdução aos lugares planos e sólidos).
Usando as Proposições 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 acima podemos definir as
cônicas como um lugar geométrico em termos da chamada propriedade focal.
Precisamente temos:
Definição 4.1 Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de
um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é
igual a uma constante não negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta
fixa de diretriz e a razão constante de excentricidade da cônica. Quando e = 1
a cônica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de
hipérbole.
Adotando um sistema cartesiano de coordenadas retangulares podemos
supor:
foco: ponto ;
diretriz: reta ;
excentricidade: constante
De acordo com a definição, um ponto pertence à cônica quando
(1)
Elevando membro a membro ao quadrado, fazendo ,
, e , podemos escrever:
o que fornece a equação denominada equação focal das cônicas:
eem que e são as coordenadas do foco e é a
equação da diretriz correspondente.
Desenvolvendo os produtos notáveis e ordenando as potências de acordo com
as potências das variáveis e temos uma igualdade da forma:
(2)
em que as constantes A, B, C, D, E e F satisfazem
que é a forma geral da equação cartesiana geral das cônicas. Os vários valores
que as constantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, retas ,
círculos, parábolas, elipses e hipérboles.
Por exemplo, se em um certo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
tem-se e , então temos uma parábola com:
Ou seja, a parábola tem equação:
A forma da equação de uma cônica depende da escolha do sistema de eixos
coordenados. Além disso, existe uma relação entre elas!
Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais para o plano,
em que o eixo é a reta perpendicular à diretriz d passando pelo foco F e o
eixo coincide com a diretriz. Seja a origem desse sistema de coordenadas.
Fazendo e usando a definição (1) temos que um ponto P com
coordenadas , em relação a esse sistema de coordenadas, pertence à
cônica de diretriz d , foco F e excentricidade e se, e somente se,
Desenvolvendo e simplificando essa igualdade obtemos a equação cartesiana
das cônicas em função dos parâmetros P e e:
