OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · 4 SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED ... 18 m2 b) 20 m2 c)22 m2 d) 24 m2 e)26

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Título: O Processo Multiplicativo no 6º ano do Ensino Fundamental em uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem.

Rita de Cássia Garcia de Brito

Disciplina/Área:

(ingresso no PDE)

Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Arthur de Azevedo ─ Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Formação de Docentes.

Município da escola: São João do Ivaí

Núcleo Regional de Educação: Ivaiporã – Paraná

Professor Orientador: Profa. Dra. Pamela Emanueli Alves Ferreira.

Instituição de Ensino Superior: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

Relação Interdisciplinar

Resumo:

Esta unidade Didática apresentará uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA), destinada a alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, com a intenção de investigar o que conhecem a respeito do processo multiplicativo, utilizando a estratégia de Resolução de Problemas com tarefas que oportunizem momentos de reflexão. Cabe ao professor orientar os alunos para que encontrem formas de solucionar as tarefas de maneira simples ou até mesmo informal, valorizando suas iniciativas, o que sabem, construindo novos conhecimentos. Por meio da THA, busca-se obter informações a respeito dos processos de ensino e aprendizagem dos alunos, possibilitando a tomada de decisões, refletindo sobre suas estratégias na execução de tarefas.

Palavras-chave:

(3 a 5 palavras)

Educação Matemática. Trajetória Hipotética de Aprendizagem. Resolução de Problemas. Tarefas.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos do 6º ano do Ensino Fundamental

RITA DE CÁSSIA GARCIA DE BRITO

O PROCESSO MULTIPLICATIVO NO 6º ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL EM UMA TRAJETÓRIA

HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM

LONDRINA – PARANÁ

2013

RITA DE CÁSSIA GARCIA DE BRITO




Projeto de Intervenção Pedagógica apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE/2013, como requisito parcial do cumprimento do Programa. Orientadora: Profa. Dra. Pamela Emanueli Alves Ferreira.

LONDRINA – 2013

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Rita de Cássia Garcia de Brito

Área/Disciplina PDE: Exatas/Matemática

NRE: Ivaiporã

Professor Orientador IES: Pamela Emanueli Alves Ferreira

IES vinculada: Universidade Estadual de Londrina

Escola de Implementação: Colégio Estadual Arthur de Azevedo EFMP

Público objeto da intervenção: alunos do 6º ano

TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE

A resolução de problemas que envolvem o conceito multiplicativo em

uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem.

TÍTULO

O processo multiplicativo no 6º ano do Ensino Fundamental por meio

de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem.

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PROPOSTA DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA 2013




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PROPOSTA DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA 2013

APRESENTAÇÃO

Esta Unidade Didática apresentará uma Trajetória Hipotética de

Aprendizagem (THA), destinada a alunos do 6º ano do Ensino Fundamental,

com a intenção de investigar o que conhecem a respeito do processo

multiplicativo, utilizando a estratégia de Resolução de Problema com tarefas

que oportunizem momentos de reflexão, estimulando-os para que encontrem

formas de solucionar as tarefas de maneira simples ou até mesmo informal,

valorizando suas iniciativas, o que sabem, construindo novos conhecimentos.

Freudenthal (1973 apud GRAVEMEIJER, 2005) fala da matemática

como uma atividade humana, e argumenta que a alternativa é criar

oportunidades para os alunos reinventarem a matemática, e que isso é

possível por meio da reinvenção guiada. Os professores e manuais tem que

ajudar os alunos no processo, garantindo que os alunos experienciem a

aprendizagem da matemática como um processo de invenção.

Esta trajetória pretende proporcionar discussões com a sala toda,

discussões entre integrantes do grupo (dupla, trio, quarteto) e a interação entre

alunos e professor, havendo mediação do professor por meio de perguntas que

os levem a refletir sobre suas estratégias na execução de tarefas, pois na

Resolução de Problemas, o aluno deve buscar, por meios próprios, a solução

para o problema e o professor deve interferir quando necessário.

TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM (THA)

A Trajetória Hipotética de Aprendizagem pode ser definida como a

descrição detalhada de uma aula hipotética, incluindo um planejamento com

tarefas, organizadas a partir da definição de objetivos para aprendizagem

(expectativas) e das hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos alunos.

Segundo Simon (1995 apud PIRES, 2009), há três componentes

necessários na THA:

• o objetivo do ensino com direções definidas;

• as atividades de ensino;

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• o processo hipotético de aprendizagem e as possibilidades

de modificações da THA.

Objetivo Geral

• Investigar os conhecimentos matemáticos de alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental a respeito do processo multiplicativo partindo

da Resolução de Problemas e uma seqüência de tarefas

matemáticas propostas aos alunos, por meio de uma THA

(Trajetória Hipotética de Aprendizagem).

• Promover um momento para construção e/ou reconstrução do

conceito multiplicativo, favorecendo a ampliação de conhecimento

das demais operações (potenciação e radiciação), explorando

propriedades, articulando conteúdos estruturantes, tais como

Números e Álgebras, Grandezas e Medidas, Geometria e

Tratamento da Informação.

Objetivos Específicos

• Ler e interpretar tarefas matemáticas.

• Utilizar a contagem, a manipulação de objetos para compreensão das

estratégias multiplicativas.

• Explorar propriedades da multiplicação de forma significativa.

• Dar significados às propriedades da multiplicação.

• Compreender a articulação entre conteúdos.

• Construir o conceito multiplicativo de forma significativa.

• Construir o conceito de potenciação e radiciação.

• Fazer a relação entre a potenciação e a multiplicação.

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Contrato Didático

Estabelecer, no início da aplicação da Proposta Pedagógica, algumas

regras relacionadas ao desenvolvimento da Proposta que visem melhor

aproveitamento e desempenho dos alunos durante todo o processo.

Iniciar a conversa com os alunos explicando o que significa a sigla PDE

(Programa de Desenvolvimento Educacional), e o que esse programa se

propõe a desenvolver com a aplicação da Proposta Pedagógica.

Deixar que os alunos questionem a respeito e propor coparticipação

deles no estabelecimento das regras que nos ajudaram durante o processo de

aplicação. Segue uma previsão do que será acordado.

• Boa convivência (respeito mútuo entre aluno/aluno;

aluno/professor).

• Comprometimento com o desenvolvimento das tarefas.

• Respeitar as diversas opiniões que surgirem no grupo.

• Comprometimento pessoal de cada aluno quando as tarefas

forem realizadas em grupo e/ou individual.

• Registro do pensamento matemático em cada questão proposta.

• Exposição das ideias matemáticas para o grupo e/ou sala.

• Respeitar a exposição do colega.

• Colaborar com a organização da sala na formação dos grupos e

na organização final.

• Bom senso no tom de voz para não atrapalhar os demais grupos

e salas vizinhas.

• Não usar linguagem de baixo escalão durante as aulas, como

xingamentos, palavrões e ofensas.

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TAREFAS DA PROPOSTA PEDAGÓGICA

A seguir serão apresentadas as tarefas que farão parte desta THA. O

padrão de apresentação para cada tarefa:

• apresentação do enunciado a tarefa;

• um breve comentário sobre a tarefa;

• objetivos específicos com a tarefa;

• conteúdos envolvidos;

• procedimentos de encaminhamento (que descreverá as hipóteses

sobre os processos de ensino e aprendizagem).

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TAREFA 01: Calculando Área.

Quadro 01: tarefa 01 A figura representa um retângulo de área 36 m2, dividido em três faixas de mesma largura. Cada uma das faixas está dividida em partes iguais: uma em quatro partes iguais, outra em três e a terceira em duas. Qual é a área total das partes sombreadas?

a) 18 m2 b) 20 m2 c)22 m2 d) 24 m2 e)26 m2

Fonte: Atividade 6, nível 1, extraída da OBMEP 2013.

Comentário sobre a tarefa:

A Tarefa 1 tem por objetivo investigar o conhecimento dos alunos do 6º

ano a respeito do conceito de área, partes de um todo (fração), por meio de

uma ilustração representada por um polígono (retângulo).

Objetivos:

• Associar conceito multiplicativo à ideia de área.

• Perceber que o retângulo está dividido em três partes iguais

(faixas), e que as faixas também estão divididas em partes

distintas entre si.

• Distinguir a unidade de medida padrão de área e comprimento

(m2: metro quadrado) e (m: metro).

• Identificar um retângulo como sendo um quadrilátero com dois

pares de lados paralelos de medidas distintas entre si.

Conteúdos envolvidos:

• Figura geométrica plana (retângulo).

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• Partes de um todo (divisão).

• Conceito de área.

• Adição, multiplicação e divisão.

• Ideia de números Fracionários.

Procedimentos de encaminhamento:

A tarefa será proposta em dupla, os alunos farão a leitura relacionando

as informações à figura proposta na tarefa, podendo surgir questionamentos,

por parte do aluno como no diálogo a seguir. Para facilitar a leitura, usaremos a

letra A para determinar as falas do aluno e P as falas do professor.

A: O que é área?

É possível que alguns alunos já conheçam o conceito de área. Para os

alunos que não conhecem, podemos perguntar:

P: Alguém se lembra de alguma situação que faça o uso da palavra área?

A: Professora, o futebol tem a área do goleiro.

P: O que significa?

A: É aquela região cercada marcada com tinta.

P: Todo o campo de futebol tem a mesma área para o goleiro?

O professor define, então, juntamente com os alunos o seguinte

conceito de área na lousa:

Área: Medida da superfície de uma região fechada.

A: Professora, então 36 é a área total do retângulo?

P: Sim, é a área total.

A: Então, qual deve ser a largura de cada faixa?

P: Boa pergunta, será que é possível calcular essa largura conhecendo a área

total?

A: É provável que sim, mas cada faixa está dividida em partes diferentes.

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P: Converse com seu par e tente calcular a área sombreada assinalando uma

das alternativas.

Por meio dos questionamentos, o professor irá incentivar os alunos a

buscar suas próprias estratégias para solucionar o problema apresentado.

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TAREFA 02: A procura do Número

Quadro 02: tarefa 02 Existe algum número natural que, multiplicado por 4, resulte em 34? Se existe, qual é ele? Se não, por quê?

Fonte: Atividade nº 15, p. 76, extraída do livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática, Luiz Roberto Dante.


A tarefa 03 busca investigar o conhecimento sobre a multiplicação, valorizando

as estratégias utilizadas pelos alunos e argumentação para justificar resposta

dada.

Objetivos:

• Investigar procedimentos para efetuar a multiplicação.

• Perceber as relações matemáticas ao realizar a tarefa proposta.

• Registrar os procedimentos para melhor argumentação na exposição

para o grupo.


• Multiplicação de números naturais.


A tarefa 02 será desenvolvida em dupla, ela requer a elaboração de

uma justificativa, proposta pelo aluno, que valide ou não a questão.

A: Professora, o que é mesmo número natural?

P: Alguém tem alguma ideia sobre número natural?

A: Não são os números que usamos nas contagens, para representar

quantidades como idade?

P: Isso mesmo! Os números naturais são os primeiros números com que nos

relacionamos na infância.

A: Então é só contar de quatro em quatro, se passar por 34 é se não, não é.

A: Há, e se olhar na tabuada também dá certo, professora?

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P: Vocês podem desenvolver as estratégias que julgarem mais eficazes para

justificar sua resposta.

Encorajá-los para aventurarem-se, não temer o erro, mostrando que o

erro também faz parte, é um caminho para se chegar à solução, que deve ser

descartado quando é percebido ineficaz, para buscar outros que possibilitem o

sucesso.

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TAREFA 03: Pirâmide de Números

Quadro 03: tarefa 03

Aline gosta de brincar com números naturais, ela coloca um número natural em cada bloco da pirâmide de modo que o produto dos números de dois blocos vizinhos coincida com o número colocado no bloco acima desses, de modo que os cinco números colocados na base da pirâmide sejam distintos e o número colocado no bloco do topo seja o menor possível.

12

3 20

2 1

Fonte: Atividade 23, p.29, adaptada, extraída do Banco de Questões 2013, OBMEP.


Esta tarefa 03 investiga conhecimentos a respeito de números naturais,

produto entre dois números (processo multiplicativo), por meio de uma

ilustração de uma pirâmide, onde alguns números estão dispostos, seguindo

determinada estratégia, a ser descoberta pelos alunos para que seja

completada.

Objetivos:

• Identificar números naturais.

• Calcular mentalmente produtos com algarismos na unidade.

• Calcular produtos com mais ordens, devendo registrar o mecanismo

utilizado.


• Multiplicação de números naturais.

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Esta tarefa será proposta em dupla, os alunos terão que colocar

números distintos na base da pirâmide, observando alguns valores já

existentes satisfazendo os requisitos dispostos no enunciado.

P: Leiam o enunciado da tarefa e descubram o que fazer.

A: Professora, o que é produto, é uma operação?

P: Sim, mas que operação satisfaz os quesitos do enunciado?

A: Distinto é diferente, não é professora?

P: Sim.

A: Ah, temos que colocar números diferentes em cada bloco da base, resolver

a operação que representa o produto de modo que coincidindo com o número

do bloco acima?

P: Isso mesmo, agora descubram quais são os números e que operação

utilizar.

As operações finais serão mais complexas, pois lidam com números

maiores, neste momento, pode haver a necessidade de explorar os

procedimentos, usando outros exemplos no quadro, decompondo o

multiplicador para que compreendam por que “pula uma casa” quando

multiplicamos um número por outro que possui mais de uma casa decimal.

Exemplos:

126X15= 2343X132=

126X10= 2343X100=

126X5= 2343X30=

2343X2=

O professor pode propor aos alunos que desenvolvam as operações

decompostas e adicione os resultados, em seguida, desenvolvê-la do modo

usual, comparando os resultados e refletindo sobre viabilidade de utilizar o

procedimento usual, compreendendo os procedimentos.

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TAREFA 04: De olho nas filas


A classe de Serginho tem 6 fileiras. Cada fileira tem 5 carteiras. Uma carteira está sempre vazia. Quantos alunos há na classe dele, se todos estiverem presentes?

Fonte: Atividade 21, item f, p. 88, adaptada, extraídas do livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática, Luiz Roberto Dante.


A tarefa proposta tem a finalidade de ampliar as possibilidades que o

aluno tem em relação multiplicação, valorizando o processo aditivo em sua

resolução.

Objetivos:

• Perceber o processo aditivo na composição de uma multiplicação

(5+5+5+...+5=30 equivalente a 6x5=30).

• Calcular mentalmente por meio da contagem e manipulação dos dedos,

se necessário.

• Representar, por meio de desenho, fazer referencia a posição de cada

aluno na sala, carteira vazia.


• Multiplicação com números naturais.

• Representação planificada da sala e carteira.


A tarefa também será realizada em dupla, no primeiro momento os

alunos farão a leitura, em seguida discutirão qual a melhor estratégia que pode

ser aplicada.

A: Professora, posso desenhar para resolver a tarefa?

P: Sim, você pode utilizar a estratégia que achar melhor.

P: Será que por meio da visualização planificada da sala, é possível definir

outros caminhos?

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A: Sim, posso fazer a contagem das carteiras descontar uma.

P: Mas essa contagem pode ser realizada de outras maneiras?

A: Posso contar o número de carteiras de cada fila e somar.

P: Será que existe uma ou mais operações que resolvam a tarefa?

A: Sim, a multiplicação.

P: Use a estratégia ou estratégias que melhor resolve a tarefa apresentada.

Ao provocar questionamentos, o professor passa ser a exercer um

papel de mediador, fazendo com que o aluno reflita, busque caminhos, faça

interações e trocas.

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TAREFA 05: Tabuada Decrescente


05 - Construção da TABUADA

1 x 1 = 1

1 x 2 = 2 2 x 2 = 4

1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9

1 x 4 = 4 2 x 4 = 8 3 x 4 = 12 4 x 4 = 16

1 x 5 = 5 2 x 5 = 10 3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25

1 x 6 = 6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 = 24 5 x 6 = 30 6 x 6 = 36

1 x 7 = 7 2 x 7 = 14 3 x 7 = 21 4 x 7 = 28 5 x 7 = 35 6 x 7 = 42 7 x 7 = 49

1 x 8 = 8 2 x 8 = 16 3 x 8 = 24 4 x 8 = 32 5 x 8 = 40 6 x 8 = 48 7 x 8 = 56 8 x 8 = 64

1 x 9 = 9 2 x 9 = 18 3 x 9 = 27 4 x 9 = 36 5 x 9 = 45 6 x 9 = 54 7 x 9 = 63 8 x 9 = 72 9 x 9 = 81

1 x 10 = 10 2 x 10 = 20 3 x 10 = 30 4 x 10 = 40 5 x 10 = 50 6 x 10 = 60 7 x 10 = 70 8 x 10 = 80 9 x 10 = 90

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Esta tarefa favorecerá a percepção visual do aluno da Propriedade Comutativa,

como facilitador da compreensão dos fatos nela contidos, o quadro acima está

desenvolvido tal qual será proposto na lousa.

Objetivos:

• Perceber a recorrência de fatos.

• Facilitar a compreensão da tabuada convencional.


• Multiplicação convencional (tabuada).

• Propriedade Comutativa da multiplicação.

• Número Quadrado Perfeito.


Propor aos alunos a construção guiada da tabuada convencional, onde o

professor será o escriba, ou seja, fará o registro na lousa instigando os alunos

a observação da recorrência de alguns fatos existentes na tabuada.

Na tabuada convencional, cada grupo possui dez fatos, alguns deles se

repetem (2x3=6 e 3x2=6), esta recorrência representa uma das propriedades

da multiplicação (Propriedade Comutativa), no exposto, esses fatos não são

repetidos, para que o aluno perceba visualmente que cada grupo possui um

fato a menos que o anterior, favorecendo assim, a aplicação da propriedade de

forma significativa.

Os fatos que possuem números iguais serão destacados de vermelho,

ao serem visualizados por meio da geometria plana, representam área de

quadrados. Os demais fatos, ao ser demonstrado geometricamente,

representam área de retângulos.

Os números1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 destacados na tabela,

recebem a denominação de Quadrados Perfeitos.

As tarefas 04, 05, 06, 07 e 08 serão dirigidas com o propósito de

relacioná-las, observando algumas regularidades.

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TAREFA 06: Tábua Pitagórica Quadro 06: tarefa 06

Preencha a tabela dos múltiplos usando a contagem:

Destaque de verde, os números que estão dispostos na diagonal da tabela. O que você observou? Que regularidades você observou nessa tabela? Quais seriam os números da próxima coluna e linha dessa tabela?

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fonte: Livro didático 6º ano, Col. Fazendo e Aprendendo, p. 71

* A tabela está completa para melhor visualização do leitor, para alunos constará apenas a primeira linha e coluna.

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A tarefa 06 será realizada individualmente, retomando o conceito

multiplicativo por meio da contagem, fazendo referência a múltiplos,

observando as regularidades apresentadas na tabela que favorecerá ampliar

os conhecimentos matemáticos, o quadro anterior mostra como ela ficará.

Objetivos:

• Preencher a tabela por meio da contagem estabelecendo relação entre a

tabela e a tabuada convencional.

• Destacar os produtos originários de fatores de números iguais.

• Apresentar o produto de fatores iguais por meio de potência.

• Identificar, na tabela, as áreas que formam cada produto.


• Múltiplos.

• Potência.

• Quadrado Perfeito.

Procedimentos de encaminhamentos:

Esta tarefa será realizada individualmente, por meio da contagem, a

primeira coluna e a primeira linha da tabela representam o resultado um

mesmo grupo de fatos, assim como a segunda linha e coluna e as demais.

O que torna essa tabuada diferente e significativa é a forma como ela é

apresentada aos alunos. Ela parte da contagem dos dedos da mão que vão

representar os fatos, por exemplo, contar de dois em dois, tabuada do dois,

essa prática permite um raciocínio rápido e mais eficiente.

Os fatos dispostos na diagonal principal da tabela serão destacados de

vermelho, são produtos de fatores iguais, os quadrados perfeitos, esta

característica será visualizada nas tarefas 07 e 08 a seguir, por meio da

geometria plana, demonstrando área de quadrados, os demais fatos, ao ser

demonstrado geometricamente, representam área de retângulos.

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TAREFA 07: Representação Geométrica dos Quadrados Perfeitos


Usando papel quadriculado, construa os Quadrados Perfeitos:

1x1=1

12=1

2x2=4

22=4

9

3x3=9

32=9

4x4=16

42=16

5x5=25

52=25

6x6=36

62=36

7x7=49

72=49

Fonte: Orientações para o Professor, nº 01, p. 27, adaptada do livro didático: Matemática Fazendo a Diferença, 5ª série, José Roberto Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno e Ayrton

Olivares.

** No quadro acima, foram feitas algumas representações que serão propostas aos alunos.


Esta tarefa possui a função de representar geometricamente um Número

Quadrado Perfeito, fazendo relação da figura geométrica (quadrado) com o

termo utilizado para as potências com expoente 2. Acima, foram apresentados

alguns deles. Os objetivos, conteúdos e procedimentos estão relacionados

diretamente aos das tarefas 07 e 08.

Objetivos:

24

• Relacionar a figura quadrado à potência com expoente 2.

• Representar um quadrado por meio de uma potência.

• Compreender a área de Polígonos regulares (quadrados e retângulos).


• Multiplicação de números iguais.

• Potência com expoente 2.

• Área de quadrados e retângulos.


As tarefas 07 e 08 serão desenvolvidas individualmente por meio de recortes

de malha quadriculado, podendo também ser utilizando o software Geogebra

na construção das figuras. Nessa atividade, os alunos serão guiados, ou seja,

receberão instruções de como proceder.

25

TAREFA 08: Retângulo não é quadrado


Representação Geométricas de outros fatos que não são Quadrados Perfeitos

3x2=6 2x3=6

6

6

4

4

4x1=4 1x4=4

4x2=8

8

1 5

3x5=15

1 5

5x3=15

Fonte: Orientações para o Professor, nº 01, p. 27, adaptada do livro didático: Matemática Fazendo a Diferença, 5ª série, José Roberto Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno e Ayrton

Olivares.

***O quadro acima ilustra como ficará a tarefa proposta.


Veja que há pares de retângulos que possuem a mesma área,

independente da posição que estão, demonstrando assim, a Propriedade

Comutativa dos fatos (3X2=2X3).

Os objetivos, conteúdos e procedimentos desta tarefa são similares aos

das tarefas 07 e 08, por serem uma continuidade da tarefa 05 e 06. No quadro

anterior foram registradas algumas representações que serão propostas.

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TAREFA 09: Seqüência dos números quadrados perfeitos


Tabela da seqüência dos números quadrados perfeitos: Complete o quadro abaixo observando o que ocorre quando fazemos as diferenças entre um número quadrado perfeito e o seu anterior:

Nº Quadrado Perfeito

Diferença entre os Quadrados Perfeitos

Resultado obtido

1 1 – 0 1

4 4 – 1 3

9

16

25

36

49

64

81

100

Registre a seqüência dos resultados obtidos: Ao preencher a tabela o que você observou? Registre aqui seu relato. É possível determinar outros quadrados perfeitos observando as regularidades da tabela? Se possível, como?

Fonte: da autora.


A tarefa proposta proporcionará a observação de regularidades entre

os números quadrados perfeitos, por meio da subtração/adição poderá prever

qual deverá ser o próximo número quadrado perfeito.

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Objetivos:

• Perceber que ao subtrair sucessivamente números quadrados perfeitos,

o resultado será uma seqüência de números ímpares.


• Números quadrados perfeitos.

• Subtração de números naturais.

• Seqüência de números ímpares.


A tarefa será proposta em trio, os alunos irão receber uma folha

contendo a tabela com alguns números quadrados perfeitos e a primeira linha

da tabela estará completa, pois todos os números quadrados perfeitos

apresentados na tabela são números naturais. Ao preencher a tabela, irão

observar as regularidades para responder as questões que se segue, com isso

surgiram alguns questionamentos:

A: Professora zero é quadrado perfeito?

P: O que você compreendeu por quadrado perfeito?

A: Dois números iguais que multiplicados entre si, resulta em um quadrado

perfeito, não é?

P: Sim, mas o que você observou com a representação geométrica de um

número quadrado perfeito?

A: Ah, eles formam quadrados.

P: Então, zero é um quadrado perfeito?

A: Se considerarmos a primeira observação, sim. Porém, não dá para construir

um quadrado de área zero.

P: Isso mesmo, nesse caso usamos o zero, por não ser possível construir um

quadrado perfeito de área menor que 1.

A tarefa proposta coloca em cheque vários conceitos trabalhados,

propiciando a avaliação do conhecimento construído pelo aluno no decorrer

das tarefas propostas.

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TAREFA 10: Os descendentes de D. Luiza


Dona Luiza teve 2 filhos. Cada filho lhe deu 2 netos. Cada um de seus netos lhe deu 2 bisnetos, que tiveram 2 filhos. Quantos são os descendentes de Dona Luiza?

Fonte: Atividade 7, p. 113, adaptada, extraída do livro didático: Aprendendo Matemática novo, 5ª série, José Ruy Giovanni e Eduardo Parente.

Comentário da tarefa:

A tarefa 10, apresenta uma situação que oferece informações a respeito da

regularidade dos descendentes de D. Maria, podendo ser representar por meio

de uma árvore genealógica e posteriormente, por meio da multiplicação e

potenciação, fazendo relação entre elas.

Objetivos:

• Estimular a criação de estratégias variadas.

• Oferecer subsídios para aplicar o conceito de potência.

• Representar por meio da Árvore de Possibilidades os descendentes.

• Estabelecer relação entre multiplicação de fatores iguais e potência.


• Multiplicação de fatores iguais.

• Princípio Fundamental da Contagem.

• Potenciação.


Esta tarefa será proposta para um grupo de quatro alunos, a princípio

farão a leitura da tarefa e irão selecionar as estratégias que usarão para sua

resolução. Poderão surgir alguns questionamentos que servirão de apoio,

encorajando-os a utilizar toda e qualquer estratégia que for conveniente.

A: Professora, posso resolver a tarefa por meio de desenhos?

P: Sim, você pode usar a estratégias que melhor lhe convir.

A: Nesse “problema” só tem o número 2.

29

P: É, mas cada 2 possui uma representação de um parentesco diferente, não

é?

A: É, dona Luiza teve dois filhos, cada filho teve dois filhos, ou seja, são dois

netos de dona Maria e...

A: Professora, esta tarefa parece ser de ciências, me lembra daquela árvore de

parentes.

P: Você quis dizer árvore genealógica?

A: É, esta mesmo professora.

P: Então, represente-a e verifique se por meio dela você chega à resposta.

A: Professora, por meio da potência, os netos podem ser representados por 22.

P: Sim, e os bisnetos?

A: Mas não dá pra desenhar quadrados para resolver.

P: Será que só existe o expoente 2?

A: Acho que não.

P: Essa estratégia pode ser um caminho bem interessante, não acham?

A: Vamos tentar.

P: A potência possui termos que apresentam significados bem interessantes,

vamos conhecê-los.

Deixar os alunos apresentar as ideias que conseguiram registrar, se

necessário, ir à lousa e sistematizar o conceito de potência, explorando seus

termos, após se esgotarem todas as possibilidades expostas pelos grupos.

Propor aos alunos que façam alterações na tarefa mudando o número de

descendentes para 3 ou 4 e verificar se é possível observar as mesmas

recorrências.

30

TAREFA 11: Como me vestir


Quantos trajes diferentes podemos formar com três blusas e duas saias?

Fonte: Atividade nº 33, p. 91, adaptada do livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática, Luiz Roberto Dante.


A tarefa 11 pretende estimular a representação dos trajes que podem

ser obtidos com as referidas peças, por meio visual, árvore de possibilidades e

princípio multiplicativo.

Objetivos:

• Oferecer subsídios para que o aluno crie estratégias para resolução.

• Propor a utilização de desenhos (pictórico) para representação dos

trajes.

• Representara árvore de possibilidades.


• Princípio multiplicativo.

• Princípio fundamental da contagem.


Esta tarefa será proposta em dupla, se possível agrupar os alunos de

modo que fique um menino e uma menina, para favorecer uma melhor

interação com a situação apresentada, incentivá-los a ler e representar a tarefa

sugerindo que façam desenhos, para obter uma visualização da tarefa. Podem

ocorrer algumas perguntas formuladas pelas equipes:

A: O que roupa tem haver com matemática?

P: Será que as maneiras de se vestir não é um pensamento matemático?

A: Ah, temos que fazer todas as formas possíveis de se vestir.

P: É isso, mas como fazê-lo?

31

Estimular os alunos a usarem a criatividade nas representações que os

ajudaram a produzir pensamento matemático, evidenciando que não existe um

único caminho para a resolução de um problema, quanto mais se conhece

mais matemática se constrói.

32

TAREFA 12: Livro Aberto


Um livro aberto na página 50 e 51, cuja soma dos números destas páginas é 101. Onde devemos abrir o livro para que a soma dos dois números das páginas seja 313? Onde devemos abrir o livro para que o produto dos números das duas páginas seja 4160?

Fonte: Atividade nº 59, p. 101, extraídas do livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática, Luiz Roberto Dante.


A tarefa 12, parte da adição de dois números consecutivos que

representam páginas de um livro aberto para o produto de dois números

consecutivos dado no enunciado do item b. Sua resolução parte de uma

informação explicita, a soma das páginas 51 e 52, para a elaboração de

estratégias que determine o produto 4160.

Objetivos:

• Ler e interagir com a situação apresentada.

• Partir da adição conhecida para um produto, seguindo informação

similar para os procedimentos.

• Usar raciocínio lógico na obtenção da adição e do produto proposto.

• Apresentar estratégias.


• Adição e multiplicação de números naturais.

• Números consecutivos.

• Estimativa.


A tarefa será proposta em dupla, problema em questão, parte de uma

simulação da abertura de um livro e faz a soma dos números das páginas em

aberto para calcular outras somas e produtos com referência ao procedimento

exposto no início do enunciado do problema, os alunos poderão questionar,

33

surgindo perguntas como:

A: Professora, abre-se o livro em qualquer página?

P: Sim, deve abrir o livro, mas será que pode ser qualquer página?

A: Não pode, tem eu ser nas páginas em que a soma delas seja o número

pedido.

P: Correto, então não pode ser qualquer página, pois já temos um valor

determinado no enunciado da tarefa.

A: Ah, os números que temos que somar são “vizinhos”.

P: Sim, são números consecutivos.

A: Consecutivos! O que é isso?

P: São números seguidos, ou seja, um após o outro.

A: Se a soma foi 101 e somou-se 50+51, para obter 313 temos que somar

números maiores que 150, não é professora?

P: Isso mesmo, você fez uma estimativa para fazer os cálculos, isso ajuda

muito.

P: Quais números consecutivos somados são possíveis para obter 313?

A: Tem que ser maiores que 150 e menores que 160 terminados em 3.

P: Isso mesmo, continue!

A: O que é mesmo produto?

P: Alguém se lembra o significado de Produto na Matemática?

A: Eu sei, é conta de vezes.

P: Muito bom, então desenvolvam o produto em questão!

A: Mas qual é esse produto?

P: Volte a ler o enunciado da tarefa para entender de que produto estamos nos

referindo.

A: Agora tem que ser conta de vezes com dois números e o resultado tem que

ser 4160?

A: Ficou difícil, achar estes números.

P: Use o mesmo raciocínio, pense em dois números que multiplicado dê o valor

descrito no enunciado.

A: Agora tem que ser números maiores.

P: Maiores que quanto?

A: É mais que 100.

P: Por que deve ser mais que 100?

34

A: Porque 100X100 é ...

P: Você ainda acha que deve ser mais que 100?

A: Não, é menor.

P: Procurem observar o número 4160, e façam estimativas e tentativas.

A: Professora, se 2X2=4, 20X20=400, há tem que ser maior.

P: Continue, seu raciocínio está correto!

P: Quais números consecutivos podem resultar no produto 4160, maiores que

60 e menores que 70 cujo produto termine em zero?

Acompanhar os alunos na produção de conhecimentos, inibindo os medos de

fazer tentativas, ampliando sua visão, possibilidades e sua expressão oral.

35

TAREFA 13: Perímetro


A figura representa um polígono em que todos os lados são horizontais ou verticais e têm o mesmo comprimento. O perímetro desse polígono é 56 cm. Qual é a área? a) 25 cm2 b) 50 cm2 c) 75 cm2 d) 100 cm2 e) 125 cm2

Fonte: Atividade 9, nível 1, extraída (adaptada) da OBMEP 2013.


A tarefa 13, representada por um polígono regular, contido em uma

malha oferece informações que fazem referencia a posições (horizontais e

verticais) para situar o leitor a respeito do perímetro (comprimento da figura

sombreada) em comparação com sua respectiva área.

Objetivos:

• Distinguir posições (horizontal/vertical).

• Compreender perímetro de polígono como contorno da figura (soma de

todos os lados da figura).

• Diferenciar perímetro de área.

• Calcular Perímetro e área.


• Polígono regular.

• Posição (horizontal e vertical).

• Perímetro de figura plana.

• Área de figura plana contida em malha.

36


A tarefa será entregue aos trios, que terão um tempo para ler e

desenvolvê-la sem perguntas ao professor, buscando com essa atitude

restaurar a autoconfiança a troca de informações entre os integrantes do grupo

de forma sutil, para não influenciar os grupos vizinhos. Cada grupo deverá

apresentar a turma o resultado de suas análises, as dúvidas que possui e o

entendimento que tiveram para chegar à resposta da tarefa.

Caberá ao professor, após as exposições, equacionar as ideias

apresentadas responder as dúvidas que não foram sanadas por eles mesmos,

validando ou não os procedimentos adotados para execução da tarefa.

37

CRONOGRAMA DE AÇÕES:

Etapas Atividades Mês

F

Mês

M

Mês

A

Mês

M

Mês

J

Mês

J

Carga

Horári

a

1ª Etapa

-Apresentação da Proposta de Implementação para Equipe Pedagógica da Escola -Apresentação do Projeto PDE e Contrato Didático aos alunos do 6º ano

X

3 h/a

2ª Etapa

-Tarefa 01: Calculando a Área do retângulo -Tarefa 02: Procurando o Número da Proposta Pedagógica

X

5 h/a

3ª Etapa

-Tarefa 03: Pirâmide de Números -Tarefa 04: De olho nas filas

-Tarefa 05: Tabuada Decrescente

X 6 h/a

4ª Etapa

-Tarefa 06: Tábua Pitagórica

-Tarefa 07: Representação Geométrica dos Quadrados Perfeitos

-Tarefa 08: Retângulo não é Quadrado

X 7 h/a

5ª Etapa

-Tarefa 09: Sequência dos Números Quadrados

-Tarefa 10: Os Descendentes de D. Luiza

-Tarefa 11: Como me Vestir

X 7 h/a

6ª Etapa -Tarefa 12: Livro Aberto

-Tarefa 13: Perímetro X 4 h/a

7ª Etapa -Organização da documentação referente Proposta Pedagógica

X 0 h/a

38

REFERÊNCIAS

BONJORNO,J.R.;BONJORNO, R.A.;OLIVARES,A. Coleção Fazendo a Diferença. 1. Ed.- São Paulo: FDT, 2006.

DANTE, R. D. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12.ed. São Paulo, SP: Editora Ática, 2005.

GRAVEMEIJER, K. P. E. What makes mathematics so difficult, and what can we do about it? In: SANTOS ,L.; CANAVARRO, A. P.; BROCARDO, J. (Eds.). Educação matemática: Caminhos e encruzilhadas.Lisboa: APM, 2005, p. 83- 101. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/fdm/textos/gravemeijer%2006a.pdf>. Acesso em: 04 maio 2013.

IMPA/OBMEP.Banco de Questões 2013. Rio de Janeiro: IMPA,2013.

OBMEP. 9ª Olimpíada Brasileira de Matemática das escolas Públicas. 2013.

PARANÁ.Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemática. Curitiba. SEED,2008.

PIRES, C. M. C. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de Martin Simon. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.11, n. 1, 2009, p. 145-166.

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