Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

ESTUDOS DOS MÉTODOS HISTÓRICOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Autora: Roseli Aparecida Flóes 1

Orientadora: Lucieli Maria Trivizoli2

Resumo:

O presente estudo trata da História da Matemática como alternativa didático-pedagógica para o

ensino e a aprendizagem dos diversos métodos de resolução para equações de segundo grau no

Ensino Médio. Assim, relata-se aqui a experiência realizada com alunos do 1º ano do Ensino Médio

de escola pública em um município do Paraná. Como estratégia de ação para a implementação do

projeto, foi utilizado um conjunto de atividades diversificadas para estudo dos conceitos envolvidos no

conteúdo, abrangendo pesquisas na internet, exposição de vídeos que trataram aspectos e contextos

históricos para o desenvolvimento de ideias matemáticas, interpretação de discussão sobre os vídeos

para nortear a atenção dos estudantes para determinados aspectos, mostrando a importância no

momento de assisti-los, envolvendo assim os povos que fizeram parte da história da matemática que

hoje usamos, e ainda o trabalho com diferentes problemas que envolveram diversos métodos de

resolução para equações de segundo grau. Buscou-se contribuir para uma melhor compreensão dos

conceitos matemáticos para a resolução das equações do segundo grau e para que os alunos

pudessem abordar suas ideais de maneira contextualizada.

Palavras chave: História da Matemática. Equação de Segundo Grau. Resolução de Equações de

Segundo Grau.

INTRODUÇÃO

A álgebra faz parte do conhecimento escolar, sendo um conceito muito

abrangente e possuindo uma linguagem permeada por convenções diversas de

modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples

manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. As Diretrizes Curriculares da

Educação Básica da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (PARANÁ, 2008,

p.51) reconhecem que a álgebra é um campo de conhecimento matemático que se

formou sob contribuições de diversas culturas, egípcia, babilônica, grega, chinesa,

hindu, arábica e da cultura europeia renascentista.

1 Professora da Rede Estadual de Ensino do Paraná. Aluna pelo Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE. 2 Orientadora. Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de

Maringá-UEM.

No contexto matemático é necessário que a álgebra seja compreendida de

forma ampla sendo abordadas situações em que ela possa ser explorada.

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios (PARANÁ, 2008 p.45).

Os PCN + (BRASIL, 1999, p.122) apontam que, com relação à álgebra, o

estudo de equações polinomiais e sistemas de equações devem receber um

tratamento que enfatize sua importância cultural, de modo que estenda os

conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equação de primeiro e

de segundo graus, sistemas de duas equações, e que sejam capazes de aplicar

esse estudo à resolução de problemas e em outras áreas do conhecimento.

Os alunos, muitas vezes, sentem dificuldades no aprendizado da matemática

desde as séries iniciais porque parte dos assuntos que eles veem na escola é

diferente das situações que vivem no cotidiano, ou seja, eles não conseguem criar

uma relação entre a escola e o cotidiano.

Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias. É necessário que o processo pedagógico em Matemática contribua para que o estudante tenha condições de constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento (PARANÁ, 2008, p.48 - 49).

A situação não é diferente com o conteúdo de Equação de Segundo Grau. É

um tema que dificilmente aparece ou pouco se vê no dia a dia do aluno, assim,

muitas vezes ele cria uma barreira que o impede ou inibe o seu senso de

curiosidade dentro deste contexto.

Entre os professores há uma grande preocupação em despertar o interesse

dos alunos pela aprendizagem dos conteúdos escolares e entre os professores de

matemática se enfatiza a busca para que essa disciplina contribua para o

desenvolvimento cognitivo dos alunos, que seja significativa e que tenha aplicações

práticas no contexto social e cultural. Com tudo isso, o professor faz uma reflexão

dentro da sua prática docente de como socializar as ideias matemáticas com seus

alunos.

No ensino da Matemática é o professor quem seleciona conteúdos instrucionais compatíveis com os objetivos definidos no projeto pedagógico, problematiza tais conteúdos, promove e media o diálogo educativo, favorece o surgimento de condições para que os alunos assumam o centro da atividade educativa, tornando-se agentes do aprendizado, articula abstrato e concreto, assim como teoria e prática; cuida da contínua adequação da linguagem, com a crescente capacidade do aluno, evitando a fala e os símbolos incompreensíveis, assim como as repetições desnecessárias e desmotivantes (BRASIL, 1999 p.265).

Resgatar o ensino nas escolas de forma atrativa e significativa se faz

necessário para se romper com o processo educacional pautado na transmissão e

reprodução de conhecimento.

O conceito de equações do segundo grau envolve procedimentos de

resolução. Os procedimentos estão direcionados à consecução de uma meta e

também desempenham um papel importante. Entretanto, os procedimentos não

podem ser encarados apenas como único objetivo para construção de um dado

conceito, mas como meios que possibilitam o desenvolvimento de capacidades

relacionadas com o ‘saber fazer’, e podem ser aplicáveis a distintas situações. Esse

‘saber fazer’ implica construir as estratégias dos procedimentos, compreendendo os

conceitos, as etapas e processos neles envolvidos.

Neste sentido, este artigo apresenta a descrição e os resultados obtidos a

partir da elaboração e aplicação de um conjunto de atividades didáticas que abordou

os métodos de resolução de equações de segundo grau – um conteúdo histórico e

sempre presente nos programas curriculares – com atividades que foram

desenvolvidas por meio da história da matemática e de outros materiais.

1. ALGUNS ASPECTOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E DOS MÉTODOS DE

RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU

Os primeiros indícios da equação do segundo grau foram deixados em

documentos antigos pelos povos do Egito, Babilônia, China, Grécia e outros e os

registros mais antigos foram deixados entre os séculos XX e II antes da era Cristã.

1.1 Egito

Segundo Nobre (2003), do Egito foi o famoso Papiro de Rhind que sobreviveu

até nossos dias, no entanto neste Papiro não existia nada sobre equação do

segundo grau, mas no Papiro de Moscou foram encontradas equações que

envolviam problemas históricos do tipo ax2=b e, segundo Morgado (2012), no Papiro

de Berlim foram encontrados sistemas de duas equações, sendo uma do primeiro e

outra do segundo grau.

De acordo com Eves (2011, p.70 e 74), o Papiro de Rhind e o Papiro Moscou

são as nossas principais fontes de informações referentes à matemática egípcia

antiga e que também o Papiro de Rhind é uma fonte primária rica dessa matemática.

Eves comenta que na álgebra egípcia havia certo simbolismo para os sinais de mais

e menos, para igual e para a incógnita.

1.2 Babilônia

Os Babilônios deixaram seus tabletes de escrita, nos quais já se observa que

resolviam equações sem o uso de fórmulas, pois tinham seu método próprio de

resolução. Num tablete que se encontra no museu de Londres (com a identificação

BM 13901) aparecem 24 problemas matemáticos envolvendo equações do segundo

grau (NOBRE, 2003).

Pitombeira (2004) e Morgado (2012) mostram-nos a solução de equação do

segundo grau que os babilônios registraram em um tablete para determinar o lado

do quadrado sabendo-se que sua área menos seu lado era igual a 870. Ou seja, na

linguagem atual x2 – x = 870.

De acordo com Pitombeira, no nosso sistema de numeração decimal, o

método era o seguinte: tome a unidade: 1, divida a unidade em duas partes:1/2,

cruze (multiplique) 1/2 por 1/2: ¼, some ¼ a 870: 3481/4, isso é o quadrado de 59/2;

some 59/2 com ½ que você multiplicou obtendo 60/2 = 30: o lado do quadrado é 30.

Pitombeira (2004) relata que, na antiga Babilônia, a Álgebra atingiu um nível

surpreendentemente avançado, mas que as equações de segundo grau ainda não

trabalhavam com números negativos, pois esses números ainda não tinham sido

incluídos na sua aritmética.

Morgado (2012) indica que os babilônios usavam uma combinação da base

60 com a base 10 para a escrita de números. Assim, para eles 14;30 significava

14.60 + 30 = 870. Para o mesmo problema (x2 – x = 870), apresentavam a seguinte

resolução: tome metade de 1, que é 0;30, 0;30 na base sexagesimal significa 0,5 na

base decimal; multiplique 0;30 por 0;30, que é 0;15, (0;15 significa 0,25 na base

decimal), junte o resultado a 14,30 para obter 14,30;15 (14,30;15 significa 870,25),

este número é o quadrado de 29;30 (29;30 significa 29,5, pois 29,52 = 870,25), junte

agora 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, (29,25 + 0,5 = 30) que é o lado do quadrado.

Eves (2011, p.61-62) comenta que, perto do ano 2000 A.C., a Babilônia já

havia evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida. Não só resolveram

equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao de substituição numa

fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também se

discutiam algumas equações cúbicas e algumas biquadradas. Eles eram mais fortes

em álgebra do que em geometria.

1.3 China

Um dos textos matemáticos mais antigos da China é o Chiu Chang SuanShu,

não se sabe a época e nem quem o escreveu, sabe-se que ele teve várias edições e

foi retrabalhado em 263 pelo matemático e astrônomo chinês Liu-Hui (séc. III)

(NOBRE, 2003, p.05).

Eves (2011, p.241) comenta que pouco material original dos chineses chegou

até nós, pois eles faziam seus registros em bambu, um material perecível. Além

disso, o imperador Shï Huang-ti ordenou em 213 a.C. uma grande queima de livros,

e muitos deles foram reconstituídos de memória. Em consequência disso, muito de

nosso conhecimento sobre a matemática chinesa primitiva tem base em informações

orais e interpretações posteriores de textos originais.

1.4 Grécia

Já na Grécia podemos encontrar muitos exemplos de problemas com

equações do segundo grau. Os primeiros matemáticos gregos foram Thales de

Mileto (~625-547 a.C.) e Pitágoras (~570-497 a.C.), passando por Euclides (~365-

300 a.C.) com sua obra Os Elementos e chegando a Diofanto (~250 A.D.). Os

gregos, apresentavam dificuldade no tratamento da equação x2=2 na forma

numérica, mas eles construíam figuras geométricas e resolviam a equação. Nas

obras de Euclides Os elementos e Data, encontram-se demonstrações de equações

quadráticas que possuem raízes positivas (NOBRE, 2003).

Pitombeira (2004) revela que a matemática grega era diferente da matemática

babilônica. Para entender como os gregos resolviam equações do segundo grau,

teríamos que examinar alguns teoremas dos Elementos de Euclides. A ferramenta

geométrica utilizada é o método da aplicação de áreas, que ocupa um lugar

importante na Geometria grega, como também afirma Morgado (2012). Eves (2011)

ainda indica que os gregos, em sua álgebra geométrica, se utilizavam de dois

métodos principais para resolver certas equações simples – os métodos das

proporções e o método da aplicação de áreas. Há indícios que ambos os métodos

se originaram com os pitagóricos.

1.5 Índia

Pitombeira (2004) relata que as equações do segundo grau surgem pela

primeira vez na matemática hindu nos sulvasutras sob as formas ax2 = c e ax2 + bx =

c, sem que sejam apresentadas soluções. No manuscrito Bakshali é descrita a

fórmula moderna para a equação ax2 + bx – c = 0

Morgado (2012) e Pitombeira (2004) indicam que parece ter sido Sridhara

(~1025) quem descreveu a regra hindu para achar as raízes da equação do segundo

grau.

De acordo com Nobre (2003), também havia dois personagens de nome

Bhãskara na história da matemática hindu. Bhãskara I (séc. VI), realizou estudos

sobre a obra de Ãryabhata (476-550). Bhãskara I (séc.VI) que era aluno de

Brahmagupta.

Segundo Eves (2011), pouco se sabe sobre a matemática hindu antiga pela

falta de registros históricos autênticos. Depois de Bhãskara II, a matemática hindu

fez apenas progressos irregulares até os tempos modernos. Os hindus contribuíram

significativamente com a álgebra e resolveram o problema do texto de Lilavati, de

Bhãskara. Bhãskara II resolvia as equações usando “regras”, ou seja, não

determinou o que era uma fórmula. As fórmulas surgem na Matemática somente 400

anos depois de sua morte.

Os hindus aceitavam números negativos e irracionais e sabiam que uma

equação quadrática tinha duas raízes formais, eles resolviam as equações pelo

completamento de quadrados.

Para resolver equações quadráticas na forma ax2 + bx = c, os indianos

usavam a seguinte regra: “multiplique ambos os membros da equação pelo número

que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao

quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada

disso” (UFRGS, 2013).

1.6 Arábia

Nobre (2003) comenta que os textos de Al-Khwãrizmi foram as primeiras

obras traduzidas para o latim. Ele foi o responsável por introduzir em território

europeu o sistema de numeração hindu-arábico. Para Al-Khwãrizmi o zero não era

considerado solução para as equações do tipo: ax2 = bx. Ele não usou símbolos

para trabalhar com essas equações, seus estudos sobre a resolução das equações

dos tipos ax2 + bx = c, ax2 + c = bx e bx + c = ax2 foram realizadas a partir das

seguintes equações adotadas por ele como exemplos: x2 + 10x = 39, x2 + 21 = 10x e

3x + 4 = x2, respectivamente e após a resolução algébrica demonstrou

geometricamente.

Al-Khwãrizmi realizou estudos sobre álgebra, geografia, aritmética e

astronomia e foi o introdutor dos métodos hindus no mundo islâmico. Alguns textos

são apresentados processos de resolução de equações lineares e quadráticas. Al-

Khwãrizmi classifica-as nas seis seguintes formas:

Quadrados iguais a raízes ax2 = bx

Quadrados iguais a números ax2 = c

Raízes iguais a números bx = c

Quadrados mais raízes iguais a números ax2 + bx = c

Quadrados mais números iguais a raízes ax2 + c = bx

Raízes mais números iguais a quadrados bx + c = ax2

Al-Khwãrizmi não manuseava os números negativos e por isso não fazia

sentido a equação quadrática na forma geral ax2 + bx + c = 0. Na linguagem

simbólica algébrica, temos a equação x2 – x = 870. De uma forma mais geral, temos

o tipo de equação x2 – px = q, com p e q positivos, com uma raiz positiva, dada por

p/q.

x =

Abu Kãmil Sogãibn Aslam (~850 – 930), matemático egípcio, retrabalhou em

sua obra Algebra, cerca de 50 exercícios propostos por Al-Khwãrizmi, estes citados

acima. Eves (2011) comenta que Abu Kãmil escreveu um comentário sobre a

álgebra de Al-Khwãrizmi que posteriormente foi usado pelo matemático europeu

Fibonacci (1202). E a primeira aritmética árabe que se conhece é a de Al-Khwãrizmi,

mas a sua álgebra mostra que ainda era retórica.

Morgado (2012) mostra que Al-Khwãrizmi usou dois métodos gerais para

resolver equações quadráticas na forma x2 + px = q. Na citação de Pitombeira (2004)

e Morgado (2012), Al-Khwãrizmi foi o primeiro matemático mulçumano a escrever

sobre a solução de problemas usando al-jabr e al-muqabala (jabr significa adicionar

termos iguais a ambos os membros de uma equação, a fim de eliminar termos

negativos e muqabala significa a redução de termos positivos por meio da subtração

de quantidades iguais de ambos os membros da equação).

1.7 Sobre Bhãskara

De acordo com Nobre (2003), havia dois personagens de nome Bhãskara na

história da matemática hindu, os historiadores descobriram sobre isso somente no

início do século XIX.

Brahmagupta foi um importante matemático e astrônomo hindu (~598-665?) e

elaborou um estudo sobre equações do segundo grau mais completo do que

Ãryabhata (476-550) e foi o primeiro a usar os números negativos e o zero. Segundo

Refatti e Bisognin (2005), ele estudou a fórmula escrita conhecida como ax2 + bx = c.

Bhãskara I (séc.VI) era aluno de Brahmagupta e ficou conhecido na história

da matemática como Bhãskara I e realizou estudos sobre a obra de Ãryabhata.

Bhãskara Acharya (Bhãskara II – séc. XII) viveu na Índia entre 1114 a 1191,

aproximadamente (NOBRE, 2003). Seu livro mais famoso é o Lilavati com

problemas simples de Aritmética, Geometria Plana e Combinatória. Lilavati se refere

ao nome de mulher e a explicação surge numa tradução turca de 400 anos depois,

dizendo que foi uma homenagem à filha que não pode se casar. Bhãskara também

escreveu dois livros importantes, por isso tornou-se o matemático mais famoso de

sua época. Seus livros: Siddhanta-siromani (dedicado a assuntos astronômicos) e

Bigajanita (um livro sobre álgebra).

Bhãskara II resolvia as equações usando “regras”, ou seja, não determinou o

que era uma fórmula. As fórmulas surgem na Matemática somente 400 anos depois

de sua morte.

Os matemáticos dessa época teriam que usar várias regras para resolver

tipos de equações do segundo grau. Bhãskara conhecia a regra que os indianos

utilizavam, “multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro

vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do

coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso”, mas

não foi descoberta por ele e sim descoberta por Sridara que viveu mais de 100 anos

antes dele (UFRGS, 2013).

Segundo Morgado (2012), Bhãskara II foi um dos últimos grandes

matemáticos hindus até os tempos modernos e que foi Bhãskara que chamou a

álgebra de arte dos raciocínios perfeitos.

2. A ABORDAGEM PEDAGÓGICA NA ESCOLA

Nesta seção apresentaremos os procedimentos e as descrições das

atividades implementadas no ambiente escolar.

No primeiro momento foi feita uma socialização da Produção Didático-

pedagógica na semana pedagógica e a realização de uma reunião com a direção e

equipe pedagógica no Colégio Jardim Independência na cidade de Sarandi-Paraná,

com o objetivo de apresentar o Projeto e como seria realizada as atividades da

implementação, os objetivos, cronograma. A reação da direção e pedagogas foi de

interesse e satisfatória diante da explanação das atividades por se tratar de aulas

diferenciadas com o uso da história para a apresentação do conteúdo matemático.

No primeiro encontro com os alunos do 1º ano do Ensino Médio, houve

esclarecimentos sobre o Projeto, dos seus objetivos e sobre sua estrutura,

organização das aulas, da importância da sua participação, apresentação das

atividades com seus referidos temas, dos vídeos da história da matemática e como

seriam as aulas de pesquisa no laboratório de informática ressaltando sobre a

importância de cada uma dessas atividades e sobre a história das ideias de cada

povo na antiguidade para a construção do conhecimento matemático.

Para o desenvolvimento das atividades, foram necessárias a reprodução de

materiais impressos e a preparação dos vídeos e da TV para serem utilizados.

Os alunos se mostraram otimistas diante da apresentação do projeto e

dispostos a colaborar e participar com as atividades propostas.

Quando iniciamos a implementação da Produção Didático-pedagógica com a

apresentação do vídeo: A História da Matemática-(Ep. 1) A Linguagem Universal

[BBC], fizemos uma breve introdução com as principais ideias que seriam

abordadas e a importância de assisti-lo. A atividade iniciou com discussões e

questionamentos dos conhecimentos prévios e também das expectativas dos alunos

sobre a história da matemática apresentada pelos povos antigos e informações

sobre alguns matemáticos daquela época e mostrando que a história da matemática

faz parte da evolução da humanidade.

Após o vídeo, algumas questões foram indicadas sobre as principais ideias

das diversas culturas que participaram na construção do nosso conhecimento.

Foram discutidas questões do tipo:

Como foi a invenção do sistema numérico e de que maneira registravam

esses números?

Onde os escribas registravam seus números e suas letras?

Como era o sistema de numeração dos babilônios?

De que modo os babilônios usavam seu calendário?

O que Pitágoras fez em relação aos números irracionais?

Quais os sólidos de Platão apresentados no vídeo?

Qual foi a obra escrita por Euclides de Alexandria?

Qual o número que os indianos apresentariam ao mundo?

De que modo surgiram os números negativos?

O que somos capazes de fazer com a Álgebra criada pelos árabes?

Os matemáticos que faziam parte da Europa?

Além dessas, outras questões também foram propostas.

Nesta primeira apresentação, fizemos o uso da TV em sala, mas a leitura das

legendas foi um pouco prejudicada. Fizemos uso, também, do vídeo no auditório, os

alunos sentiram a dificuldade da leitura na tela. Disseram que seria melhor se o

vídeo estivesse dublado com o áudio em português, disseram que fazer a leitura da

legenda atrapalhava o raciocínio. Após ter trabalhado três aulas sobre os vídeos, os

alunos responderam algumas questões referentes à história dos egípcios,

babilônios, gregos, chineses, indianos, árabes e da Europa. Muitos alunos assistiram

novamente aos vídeos em casa por acharem necessário ao responder as atividades

propostas. No momento da correção em sala, voltamos a fazer uma explanação dos

vídeos assistidos.

Os alunos aceitaram muito bem a segunda atividade: Identificando Equações.

Esperava-se que os alunos conseguissem interpretar os problemas, identificando a

quantidade (termo) que precisavam descobrir e que conseguissem elaborar uma

expressão algébrica que traduzisse o problema para a linguagem matemática.

Muitos realizaram a atividade no primeiro momento e outros levaram um pouco mais

de tempo, apresentando alguma dificuldade. A leitura e interpretação do texto

ficaram um pouco a desejar, às vezes não conseguiam interpretar a situação

problema envolvida. Após as resoluções desta atividade podemos perceber que os

alunos reconheceram as equações do segundo grau, identificaram seus elementos,

coeficientes e incógnitas, pois muitos alunos conseguiram entender o que era para

ser resolvido e conseguiram elaborar uma expressão algébrica exprimindo o

problema na linguagem matemática.

A terceira atividade tinha por objetivo conhecer a história da matemática

egípcia via contextos históricos, por meio de uma pesquisa no laboratório de

informática tentando responder algumas questões sobre a história da matemática no

Egito Antigo que já haviam sido preparadas. A atividade foi ótima: os alunos

acessaram sites e fizeram a pesquisa sobre os Egípcios e a maioria terminou logo

na primeira aula (os alunos que não terminaram foram devidos estarem em um

mesmo computador- havia computadores que foram compartilhados por dois ou três

alunos). Na segunda aula no laboratório de informática, houve uma queda de

energia e os alunos tiveram que realizar o término das atividades em casa.

Na apresentação da atividade sobre o método da Falsa Posição utilizado

pelos Egípcios, foram mostradas imagens sobre os papiros escritos por aquela

civilização e a forma como resolviam as equações incompletas até chegar ao

método atual. No antigo Egito existiram o famoso papiro de Rhind e o papiro de

Moscou, onde havia equações que envolviam problemas históricos do tipo ax2 = b.

Esses documentos mostraram que os egípcios tinham um método para resolver

essas equações que era chamado de “regra da falsa posição”. Esperávamos que os

alunos resolvessem equações do segundo grau incompletas e que conhecessem o

método de resolução dos egípcios para este tipo de equação. Os estudantes

encontraram um pouco de dificuldade em escrever na forma matemática uma

situação contextualizada, pela falta de interpretação de texto, e geralmente

apresentaram ideais de que a matemática é somente fórmulas prontas e cálculos. A

professora estava sempre presente nos momentos que se precisava apoiar os

alunos na resolução da atividade.

Na atividade cinco foi solicitado aos alunos que fizessem uma pesquisa no

laboratório de informática sobre os conhecimentos do povo babilônico, seguindo um

questionário que foi pré-elaborado pela professora. Não apresentaram dificuldade

por ser uma atividade de pesquisa histórica, havendo comentários sobre as

informações encontradas e verificando as ideias semelhantes encontradas nas

pesquisas de cada aluno.

Dando continuidade, a atividade seguinte também foi referente aos Babilônios

buscando trabalhar o método resolutivo deste povo para determinados tipos de

equação de segundo grau. Percebemos que os alunos tiveram mais dificuldade pelo

fato de ser uma situação em que tiveram que escrever equações do segundo grau

completa utilizando o método babilônico, no qual se observava que resolviam

equações sem o uso de fórmulas. Foram trabalhados problemas presentes em

tabletes babilônicos, verificando as formas demonstradas pelos babilônios eles e

transformando-as para a forma algébrica. Na montagem da equação da situação

problema não tiveram muita dificuldade e sim no momento de sua resolução.

Foi feita uma correção dos cadernos após ter sido realizada as seis primeiras

atividades. Neste momento, muitos cadernos estavam completos e poucos alunos

deixaram de colocar as atividades em ordem, mas eles puderam fazê-las fora do

horário de aula, como tarefa. No geral, ficamos contentes por aqueles que realmente

se propuseram a se dedicar por um conteúdo pouco conhecido e trabalhado por

eles.

Após ter realizado estas seis atividades, foi elaborada uma avaliação para ver

o aprendizado dos alunos até o momento. A princípio achamos que seria mais

simples a realização desta avaliação, mas uma hora/aula (50 minutos) não foi

suficiente, pois nem todos os alunos tinham todas as atividades por completo em

seus cadernos, sendo necessário mais uma aula para o término da avaliação. Esta

primeira avaliação foi realizada em dupla. Na correção das avaliações, observamos

que a turma teve um pouco de dificuldade, pois, nunca tinham realizado uma

avaliação deste modo: história e matemática juntas. Na devolução das avaliações,

fizemos uma breve discussão sobre as questões.

A atividade sete foi de pesquisa histórica sobre os gregos, seguindo um

questionário pré-estabelecido pela professora, havendo comentários sobre as

informações encontradas e verificando as ideias parecidas na pesquisa de cada

aluno. Podemos entender que os alunos estavam desenvolvendo a capacidade de

investigar a história para entender situações matemáticas.

Também foi trabalhado um contexto histórico para conhecer o trabalho do

matemático Euler na oitava atividade. Foi apresentada uma situação problema

escrita por ele, que chegava a uma equação do tipo ax² + bx = c, onde os alunos

tiveram que resolver via método de Diofanto, com a fórmula: - . Nesta

atividade, os alunos tiveram que identificar uma situação problema para ser

traduzida para a linguagem simbólica por meio da equação do segundo grau, pois já

estavam mais compreensivos com o modo de resolver estas atividades.

Apresentaram um pouco de dificuldade, mas contaram sempre com o auxílio da

professora.

Na sequência, a atividade nove foi de pesquisa histórica sobre os Árabes,

com questões pré-estabelecidas pela professora novamente e depois contando com

comentários sobre as informações encontradas e verificando as ideias parecidas na

pesquisa de cada aluno. Os alunos ficaram impressionados com nomes tão

diferentes e estranhos daquela época: Al-Khwarizmi e Brahmagupta. Novamente,

com um pouco de dificuldade, os alunos tentaram compreender o desenvolvimento

histórico da matemática para a construção dos conceitos.

Na atividade dez, os alunos se depararam com o método conhecido como

“completando quadrados”. Tiveram dificuldade por serem necessários alguns

conceitos de potenciação, radiciação e trinômio quadrado perfeito. O exemplo dado

foi: Qual é o lado do quadrado, se a área menos o dobro é vinte e quatro?

Para resolver a equação, transformamos o primeiro membro num trinômio

quadrado perfeito:

x2 - 2x + = 24 +

x2 - bx + = c +

x2 - 2x + = 24 +

x2 - 2x + 1 = 24 + 1

(x - 1)2 = 24 + 1 → = c +

Usamos a radiciação, explicando que é a operação inversa da potenciação:

x - 1 =

x - =

x = + 1

x =

x = +

Após o exemplo explicado pela professora, os alunos tiveram que resolver

outras duas situações onde era envolvido a mesmo método. Por se tratar de

situação-problemas mais complexas, os alunos tiveram muita dificuldade ao traduzir

para a linguagem simbólica e matemática e necessitaram do auxílio mais direto da

professora para sua resolução.

Na atividade onze os alunos tiveram que completar o quadrado de uma

equação do segundo grau fazendo a solução geométrica e o método algébrico de Al-

Khwarizmi e isso se mostrou sendo um problema, pois ele não usava símbolos e

nem números negativos. A atividade doze foi uma pesquisa sobre o matemático

hindu Bhãskara, com o intuito de compreendermos o método geral que hoje

utilizamos para resolver equações do segundo grau, comparando com os métodos

apresentados anteriormente. Havia, também, uma situação problema em que os

estudantes teriam que fazer cálculos matemáticos. As atividades onze e doze foram

dadas como trabalho extraclasse. Como não houve o auxílio da professora em todos

os momentos, os alunos tiveram bastante dificuldade para resolvê-las. A parte da

pesquisa foi feita com êxito e a parte de cálculos foi mais difícil por ter sido uma

atividade que requer interpretação e raciocínio para resolver.

Alguns alunos não se interessavam muito e faziam por obrigação e outros

demonstraram que ainda não tinham conhecimentos suficientes sobre a história da

matemática e achavam importante com toda esta evolução resgatá-la para nossas

situações de hoje.

De modo geral, podemos perceber que as atividades de pesquisa histórica

por meio da internet foram bem aceitas pelos alunos, pois eles gostam de

informática. Podemos perceber isso, inclusive, pelos relatos dos próprios alunos:

Aluno 1: “Eu achei interessante aprender um pouco da história da

matemática e descobrir todo o processo que passou para as contas

chegarem ao que é hoje, o método de resolução das atividades,

gostei de ter feito pesquisas no laboratório e aprender uma coisa

diferente sobre um conteúdo que eu nunca tinha visto.”

Aluno 2: “Achei uma aula bem diferenciada das outras, foi bem

interessante por causa das pesquisas sobre a história da

matemática.”

Aluno 3: “Eu achei que as atividades de pesquisas que foram

diferenciadas, foram boas, com isso nós alunos aprendemos mais e

nos aprofundamos no conteúdo. As contas foi um pouco difícil para

aprender, mas foi bom para o desenvolvimento da aprendizagem.”

Aluno 4: “Algumas pesquisas que a professora passou sobre a

história da matemática, eu achei importante porque quando ela

passou uma operação, por exemplo, de Leonhard Euler, nós já

sabíamos sobre suas informações. Achei importantes essas aulas

porque não ficamos fazendo somente operações e aprendemos

muito mais informações sobre os povos antigos e isso também me

ajudou na disciplina de história. Aprendi mais sobre a matemática.”

Aluno 5: “As aulas foram legais, exigiram muita atenção e

responsabilidade, e por mais que sejam cansativas, elas despertam

um interesse sobre os matemáticos antigos. A professora se

interessou muito em mostrar a origem da matemática.”

Aluno 6: “Gostei das aulas, pois a professora pediu para

pesquisarmos e então podemos conhecer a matemática mais

profundamente e vai ser estas pesquisas que vamos levar para

nossas vidas. Já as contas foram um pouco mais difíceis, mas nós

conseguimos resolver e aprender sobre elas.

Uma das informações importantes foi que os alunos se interessaram sobre

questões de como os povos antigos resolviam os problemas se não conheciam

números e não usavam o sinal negativo.

Aluno 7: “Eu achei muito interessante recebermos um pouco do

conhecimento histórico da matemática, porém não seja tão útil em

nosso cotidiano, mesmo assim valeu conhecer como os povos

antigos resolviam seus cálculos na época que ainda não tinha tanto

conhecimento.”

Aluno 8: “Com estes exercícios, eu aprendi coisas que não sabia e

não conhecia que é a história da matemática: como nasceu, evoluiu,

se desenvolveu e aprendi a fazer exercícios dos povos antigos e

também será muito útil para o meu aprendizado.”

Aluno 9: “O que mais gostei dessas aulas foi a parte da história da

matemática que eu não conhecia, pois nenhum dos meus

professores anteriores tinham passado sobre a história. O que não

gostei muito foi dos cálculos, não sou muito boa em matemática.

Quando a professora passou sobre Al-Khwarizmi eu nem sabia quem

era ele, mas agora sei que foi ele que desenvolveu formas algébricas

para solução de equações.”

Discutimos essas questões levando em conta que, como quase todas as

situações problemas que aqueles povos resolviam naquela época eram sobre

terrenos ou contagem de objetos, não podia haver medidas ou objetos com

numeração negativa, então esses números ainda não eram incluídos na aritmética,

então eles usavam certo simbolismo para o uso do sinal negativo. Nas

demonstrações de suas fórmulas também não conseguiam chegar a um resultado

de uma situação com números negativos.

Entendemos que a história da matemática auxiliou na compreensão dos

conceitos matemáticos podendo ser utilizada para estabelecer comparações entre

as ideias desenvolvidas pelos povos antigos e atuais para a resolução de equações

do segundo grau. Os alunos também perceberam essas conexões:

Aluno 10: “Em relação as atividades que foram passadas pela

professora, foram bem diferentes, teve pesquisas sobre a história da

matemática, e então pude conhecer mais profundo no que a

matemática é útil na vida de um ser humano. A professora passou

pesquisas e não apenas fazendo só cálculos, e sim saber mais sobre

quem foram os criadores da matemática, quem inventou, onde surgiu

quem foram os povos que fizeram parte da matemática, como eram

os cálculos de cada povo. Tudo isso contribui para o aprendizado.”

Aluno 11: “Com estes exercícios podemos aprender mais sobre a

matemática e a evolução desde quando se iniciou até os dias de hoje

e é bom, pois nos ensina muita coisa que provavelmente não

aprenderíamos se não fossem essas aulas.”

Aluno 12: “As atividades que explicam a história da matemática não

me ajudaram muito, mas me fez entender e saber um pouco mais

sobre a matéria. Entender um pouco mais como fazer equações do

segundo grau completa. Estas atividades também me ajudaram a

desenvolver a capacidade de interesse e investigar a história para

entender situações matemáticas.”

Aluno 13: “Foi interessante, pois nós pesquisamos sobre a “História

da Matemática”, conhecemos como surgiu e de onde vieram os

números. Aprendemos fazer novas contas e resolver novos

problemas. Em uma parte foi fácil e outra um pouco difícil, mas

acabamos a aprender. Foi bom e interessante as pesquisas. Aprendi

várias coisas novas sobre a matemática, como surgiu e como

resolver as equações. Isso é algo que irei levar para minha vida.”

Aluno 14: “Um pouco diferenciada das outras aulas de matemática,

mas gostei. Foi bom conhecer a história que é importante para nós e

bom saber também que todos estes cálculos tem uma história para

explicar e entender.”

Aluno 15: “A partir destas aulas eu concluo que os exercícios dados

foram úteis, pois aprendi sobre a história da matemática.”

3. DISCUSSÕES

Na sala de aula, é comum apresentarmos apenas a fórmula de Bhãskara ao

trabalharmos a resolução de equações de segundo grau. Ao trabalharmos a

equação do segundo grau em sala de aula, parece ser um conteúdo bem definido e

simples para nós, hoje. Os alunos não conhecem o contexto envolvido para o

desenvolvimento das ideais matemáticas, que existe uma longa história, que

diversos matemáticos e diversas civilizações contribuíram para encontrar soluções

para equações desse tipo. Por meio da história tivemos a oportunidade de verificar

que outros povos desenvolveram “regras” para a resolução de “tipos” de equações

de segundo grau.

A maioria dos alunos ficou surpresa quando ouviu da professora e por meio

dos aspectos trabalhados durante as atividades que a equação do segundo grau

teve longa história e muitos matemáticos importantes e de várias civilizações se

preocuparam em achar métodos de resoluções para esse conteúdo.

Geralmente, as situações trabalhadas em sala de aula se restringem a um

esquema de cálculo ou a procedimentos mecânicos apresentados de forma

tradicional, sem significado e descontextualizados. Dessa maneira, as situações

oferecem poucas oportunidades aos alunos de pensarem em outras maneiras para

encontrarem a solução.

Os PCN do Ensino Fundamental já enfatizam que:

O trabalho com a Álgebra, neste ciclo, tem que ser estudado apenas algumas noções algébricas sendo exploradas através de representações matemáticas e não por procedimentos mecânicos, para se fazer as expressões e as equações (BRASIL, 1998, p.84).

Assim, durante as atividades implementadas os alunos tiveram que trabalhar

com problemas diversificados e tiveram que dar significados à sua linguagem e suas

ideias. A compreensão de conceitos foi fundamental no trabalho com a Álgebra, para

que o aluno formulasse e resolvesse problemas por meio de equações e buscasse

possibilidades para a resolução.

A história da matemática auxiliou na compreensão dos conceitos matemáticos

e mostrou que podem ser utilizados para estabelecer comparações entre as ideias

desenvolvidas pelos povos antigos e atuais, povos que utilizaram técnicas

geométricas e algébricas para a resolução de equações do segundo grau.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como ação fundamental nas atividades foi necessário que os alunos

estudassem, interpretassem, aplicassem e desenvolvessem métodos de resolução

para situações que envolvem equação de segundo grau e entendessem sua lógica.

O aluno deveria conhecer e fazer o uso de métodos até chegar ao entendimento e

generalização da resolução de qualquer equação quadrática, e ainda desenvolveram

outros aspectos de interesse pela matemática, dando significado ao seu

aprendizado.

O ensino da matemática deve seguir uma abordagem cultural, histórica, real e

significativa para os alunos. A história da Equação do Segundo Grau orientou os

alunos e ajudou-os na melhor compreensão do conteúdo e pode ajudá-los a

desenvolver um pensamento crítico sobre o assunto.

Trabalhando conceitos matemáticos por meio da história, desmistificamos que

a matemática está pronta e acabada. Neste trabalho, tivemos a intenção de

apresentar diferentes formas de se trabalhar com um conceito e criar oportunidade

para que o aluno pudesse ter uma visão ampliada e significativa dos conceitos

matemáticos, sendo assim a história da matemática se mostrou como uma

estratégia importante para o aprendizado despertando a criatividade, a curiosidade,

a crítica e questionamentos, estimulando, assim, o desenvolvimento de diversos

valores nos alunos.

Foi esse o sentido da Matemática no Ensino Médio que buscamos

desenvolver: os conhecimentos matemáticos também devem agregar valor nas

decisões na vida pessoal e profissional do estudante. Acreditamos que a Matemática

pode gerar hábitos de autonomia, capacidade, confiança, criatividade, respeito entre

os alunos e, dentro disto, é necessário que eles percebam regras e linguagens da

própria Matemática.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Secretaria de Estado da Educação, 1999. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 5ª Ed. Campinas SP: Unicamp, 2011. PARANÁ. Diretrizes curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: Projeto Gráfico e Diagramação, 2008. . HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA PROFESSORES. Natal-rn: Sociedade Brasileira da História da Matemática, mar. 2013. MORGADO, José. Equações do 2º grau ou equações quadráticas: um pouco da sua história. Disponível em: <http:/www.ipv.pt/millenium/16_ect11.htm>. Acesso em: 20 maio 2012. NOBRE. Sérgio. História da Resolução da Equação de 2º grau: Uma Abordagem Pedagógica. Coleção história da matemática para professores. Ed.Sociedade Brasileira de História da Matemática. Rio Claro-SP: Abril 2003. PITOMBEIRA, João Bosco. Revisitando Uma Velha Conhecida. Departamento de Matemática. PUC-Rio. p. 1 a 41, 2004. REFATTI, Liliane Rose; BISOGNIN, Eleni. Aspectos Históricos e Geométricos da Equação Quadrática. Ciências Naturais e Tecnologias, S. Maria, v.6, p.79-95, 2005. UFRGS. Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara? Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html>. Acesso em: 20 jun. 2013.