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EPT0SrDE MATEMATICA

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Año de Vidar i

.En este número:Métodos de enseñanzade la matemáticaen las escuelas primarias inglesas.Los problemas de la escuela primaria. Polinomios. Problemas didácticos. Problema.Problemas sobre conjuntos y relaciones.Bibliografía.Noticias.

Juan I. Blaquier (|).Fundamentos científicos de la educación de mañana.Importancia y significado de las conferencias internacionales sobre educación matemática.La noción de aproximación en la escuela secundaria.Formación matemático-pedagógica de los maestros.

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Cifra 211 y Minicifra 11

tecnología argentina a

nivel internacional

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para todas las apis giasotrosNuestro fondo editorial presenta la serle más completa de textos para la enseñanza de la Matemática- velesCauniv^sitadors'C'OS 6 apreslamlento para la educación preescolar, hasta aquellos dirigidos a ni-

Si la cantidad de títulos editados constituye de por si un esfuerzo, lo verdaderamente notable y valió-

leccionado algunas teniendo en cuenta las distintas etapas educativas sin que ello signifique un juicio de valores relativos. . J

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!SiSSS3“gran empresa.Cifra 211.con .impresión circuitos integrados de 40 generación, esterna decimal múltiple y memoria auxiliai Resuelve en fracciones de segundo las operaciones básicos, calculando.. ademas potenciaciones y porcentajes Minicifra 11

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r| Educación PreescolarCUA-CUA ... Aprestamiento para el cálculo, S. L. de Antiga.COMIENZO A CALCULAR. C. Bréard y R. Gilbert.(Cuaderno que desarrolla las nociones de Matemática explicitadas en "DE LAS MANIPULACIONES AL CALCULO - 1". de los mismos autores.)

MATEMATICA DINAMICA 3 (en prepara­ción).MATEMATICA DINAMICA. FICHAS PARA EJERCITACIÓN Y EVALUACIÓN 3 (en preparación).(Para los cursos Io. 29 y 3o del ciclo básico y escuelas de comercio)

Sene MATEMÁTICA MODERNA.Repetto, Ltnskens y Fesquet. ARITMÉTICA 1, 2 y 3.GEOMETRIA 1, 2 y 3ACTIVIDAD INTEGRAL Y EVALUACIÓN 1, 2 y 3.(Para los cursos 19, 2o y 39 del ciclo básico y escuelas de comercio, respec­tivamente)ÁLGEBRA Y GEOMETRIA, Tomos I y II. (Para 4o año del bachillerato)ALGEBRA.(Para 49 año de las escuelas de co­mercio)‘TRIGONOMETRIA Y ELEMENTOS DE ANALISIS MATEMATICO.(Para 59 año del bachillerato)* Son sus autoras las profesoras Repetto

y Fesquet.

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con circuitos oe 4*.1 generación y visor luminoso. De tamaño reducido, resuelve con eficacia las cuatro Educación Primaria

MI PRIMER CUADERNO DE CALCULO, C. Bréard y R. Gilbert.(Para 1er. grado - Cuaderno que desarro­lla las nociones de Matemática explici­tadas en "DE LAS MANIPULACIONES AL CALCULO tores.)

Serie: MATEMÁTICA PARA LA ESCUELA MODERNAUn curso completo de Matemática mo­derna compuesto de carpetas con acti­vidades.MATEMATICA PARA LA ESCUELA MO­DERNA 2, 3, 4 y 5.(De “Peldaño" 2 a 5)MATEMÁTICA PARA LA ESCUELA MO­DERNA 6 y 7.(De "Conocimientos en Acción" 6 y 7)

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' para el alumno.

operaciones básicas.

Cifra 211 y Mmicifra 11.1 alto nivel tecnológico que compite. I*5

en diseño, calidad y prestaciones. • 1con las calculadoras electrónicas

2”. de los mismos au-

Educación Universitaria

ALGEBRA Y CALCULO NUMÉRICO, A. E. Sagastume Berra y G. Fernández. INTRODUCCIÓN AL ANALISIS MATEMA­TICO, Luis Osin.ANALISIS MATEMATICO, J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo.

I-Análisis algebraico. Teoría de ecua­ciones. Cálculo infinitesimal de una variable.

II-Cálculo infinitesimal de varias va­riables. Aplicaciones.

III-Análisis funcional y aplicaciones. ANALISIS VECTORIAL, C. A. Trejo. MATEMÁTICA GENERAL, C. A. Trejo.

I - Elementos de Algebra, de Geometría Analítica y de Trigonometría.

II-Cálculo diferencial e integral. GEOMETRÍA ANALÍTICA, J. Rey Pastor, L. A. Santaló y M. Balanzat.TEORIA ESTADISTICA Y APLICACIONES, F. I. Toranzos.

7 Educación Secundaria

Serie MATEMÁTICA DINÁMICA,L. Varela y J. A. Foncuberta.MATEMATICA DINAMICA 1 y 2. MATEMATICA DINAMICA. FICHAS PARA EJERCITACIÓN Y EVALUACIÓN 1 y 2.

Editorial

Corrientes 999 - Buenos Aires.

K3 ¡SEPTOS1830-1973LIBRERIA DE LAS NA

D E M A TEMATICAAÑO VilCONCEPTOS

DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito.Fernández Blanco ¿045 - Bs. As.

Director -- EditorJOSE BANFI

Enero-Febrero-Marzo 1973 N° 25

CARTA AL LECTORIniciamos nuestras palabras de hoy con una noticia que,

afortunadamente, se va repitiendo: CONCEPTOS DE MATE­MATICA inicia su séptimo año de vida. Y esto, que parece tan intrascendente, es para nosotros motivo de la más alta satisfacción porque, también lo hemos repetido, no son fáciles los tiempos que corren para empresas como la que tenemos entre manos e innúmeros son los fracasos de gente que ha intentado realizar proyectos tan ambiciosos como el nuestro sin ser acompañados por la diosa fortuna. Agradecemos, pues, a nuestros lectores por la consecuencia con que nos han acompañado y por la colaboración que invariablemente nos han brindado sin las cuales —lo decimos con toda since­ridad— no creemos que pudiéramos haber llegado aI lugar que ocupamos entre los docentes de matemática de liab/a hispana.* Continuaremos bregando, por supuesto, tratando de brin­dar a nuestros lectores toda ¡a información que consigamos,

ALSINA Y BOLIVAR

Presenta

Su nueva línea didácticaAsesores: José Babini, Frédérique

Papy, Georges Papy.Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­

lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso. Haydée Fernández, Alfredo R. Palacios, Atilio Piaña, Elsa Sa- bbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Vcrdaguer de Banfi. •»

Dibujante: Arq. Julio R. Juan. Suscripción Anual: Argentina S 20

Ley 18.188 (mSn 2.000.-). Ex­terior 6 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o >obre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONC1PTOS DL MA- ILMAIKW.

Ejemplar suelto: S 6.- Ley 18.Í88. Número atrasado: S 7.- Ley

18.188.Lugares de venta: En nuestra sede

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340; Li­brería de las Naciones, Alsiqa y Bolívar; y en el Instituto Nació-, nal para el Mejoramiento de la Enseñanza de . las Ciencias (INEC), sección Publicaciones, Avenida Eduardo Madero 235, 7° Piso, Capital Federal.

Para colaboraciones, números atra­sados, suscripciones y avisos, diri­girse directamente al editor.

Registro, de la Propiedad Intelec­tual: N° 1.037.530.

Impreso en COG I AL Rivadavia 767. Capital

ENSEÑANZA PRIMARIAAPOYOS DIDACTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

A NIVEL PRIMARIO

Se iniciará con:

1 - EL JUEGO DE DOMINO. Su uso para la mejor comprensión y mecanización de la suma y la resta. Otras posibilidades de utilización en el aula. Se trata de una cartilla para el maestro, acompañada de un juego de dominó hasta el doble nueve, "gigante", y un domjnó pequ'éño "de bolsillo" con cuatro páginas en las que se da a padres y hermanos mayores instrucciones acerca de cómo utilizar el juego para ayudar a los pequeños a resolver algunos de sus problemas escolares. Además se incluyen las reglas del dominó común, con algunas de sus variantes.

la mejor que consigamos, acerca de los problemas científicos y metodológicos de nuestra disciplina. Lo haremos porque ese fue el fin que nos propusimos y también porque sabemos de los difíciles problemas que debe encarar el docente.

Sabemos, por otra parte, que el mundo avanza. La Confe­rencia de Bahía Blanca fue para nosotros reveladora en ese sentido. Fuera de las recomendaciones adoptadas, mejores o peores que las de cualquier otra conferencia similar pero, a! fin y a la postre, reveladoras de un interés permanente de los docentes que ¡ojalá! sea recogido por las autoridades educa­tivas, tuvimos oportunidad de ponernos en contacto con personalidades europeas y americanas que han meditado hon­damente su quehacer y por ello hemos advertido cuánto hay

los resultados sean provechosos. Las hicimos, hacemos y haremos de trabajos

2-TABLAS NUMERICAS UTILES EN LA ESCUELA PRIMARIA. Se trata de una cartilla para el maestro acompañada de material concreto para que los niños puedan realizar la ejercitación que se indica en el texto. El material es estructurado, de modo que sus funciones son múltiples. Inclusive, estamos estudiando la posibilidad de utilizar algunas de sus piezas, para que /el total resulte a menos costo, con parte del equipo necesario en la tercera cartilla.

que trabajar para que publicaciones que expuestos en la Conferencia serán seguramente muy prove­chosas para nuestros lectores.* El 8 de marzo de 1973 falleció nuestro asesor, el doctor Juan Blaquier y esa pérdida es invalorable para lo que hace­mos CONCEPTOS DE MATEMATICA. Su caballerosidad, su hombría de bien y su generosidad eran mucho mayores que su reconocida capacidad científica y, por ello, pensamos que el vacío que ha dejado será muy difícil de llenar. No obstan-

abroque/ándonos podremos hacer algo si-

3-SISTEMAS DE NUMERACION DE POSICION____ J EN DISTINTAS BASES CON ES­PECIAL ATENCION A LA BASE 10. Va acompañada de un ábaco abierto, diseñado especialmente para los propósitos que se señalan en la cartilla.

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INTERES GENERAL Concesión N° 82051 Autora: Licenciada Pastora Nogués Acuña

• Clases demostrativas de capacitación te, pensamos que quiera sea en homenaje a su querida personalidad.Los saluda muy atentamente

a solicitud de docentes y escuelas franqueo pagadoConcesión N° 26873 <

IA EL DIRECTOR

LOS FUNDAMENTALES

Fundamentos científicos

de la educación de mañana

SEMBLANZA POSTUMA

Juan BlaauierJean PIAGET

(Suiza)

Retrospectiva. POSICION DEL PROBLEMAtina, presidente de la Institución Mitre, miembro del Comité eje­cutivo de la Comisión Nacio­nal Argentina para la UNESCO y miembro de la "American Mathematical Society" y de la "Societé Mathématique de France".

Doloroso pesar ha provocado el falleci­miento de nuestro asesor, doctor Juan Bla- quier, ocurrido el jueves 8 de mayo de 1973.

No se trata tan sólo de los muchos méritos que rodeaban a su personalidad y que son de sobra conocidos. Basta decir que a los 23 años -había nacido el 23 de febrero de 1897- se graduó de ingeniero civil en la Universidad de Buenos Aires y que cinco años después obtuvo el título de licenciado en ciencias matemáticas para finalmente, en 1933, obtener el título de doctor en esa disciplina mereciendo su tesis "Estudio sobre los óvalos" la calificación de sobresaliente y asignándose a su autor diploma de honor.

Larga y proficua fue su actuación docente cumplida como profesor de introducción a la matemática superior y de análisis matemático de la facultad de ingeniería; quienes han teni­do oportunidad de asistir a algunas de sus lecciones saben muy bien de su permanente dedicación y de su infatigable actividad para obtener la máxima comprensión de sus alum­nos. Y ello fue así tanto en los cursos precita­dos cuanto en los cursos dictados en la Facul­tad de Ciencias, de cuyo Seminario de Mate­mática fue director como cuando ejerció la dirección del Departamento de Matemática de la Escuela Superior Técnica del Ejército o sim­plemente cuando fue docente del Colegio Na­cional de Buenos Aires.

No extraña, pues, que en 1940 fuera desig­nado miembro de la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales; en 1967, de la Academia de Ciencias de Córdoba; en 1971 de la Academia Nacional de Ingeniería y en el mismo año, de la Academia de Ciencias de Buenos Aires.

Fue tamb ién presidente de la Comisión de Conferencias de la Sociedad Científica Argen-

Desde el punto de vista cuantitativo, la extensión considerable y siempre creciente de los efectivos escolares ha conducido a las con­secuencias que todos conocen. Por una parte, con la prolongación de la escolaridad, una mayor igualdad de formación para niñas y niños y las ayudas económicas del estado (be­cas, etc.), se ha llegado a una mayor justicia en las posibilidades de instrucción ofrecidas a las nuevas generaciones, que finalmente se ha traducido en un aumento indefinido y a veces inquietante del número de estudiantes en las universidades. Pero, por otra parte, no estando acompañada esta explosión generalizada en todas las escalas por la revalorización social de la profesión docente, lo que hubiera sido ne­cesario en los niveles secundarios y, sobre todo, primarios, ha provocado una escasez de maestros y la necesidad inevitable de suplen­tes, de donde surge un problema todavía no resuelto.

En desquite, ha habido un esfuerzo por diversificar los tipos de enseñanza, especial­mente en las direcciones profesionales y téc­nicas, lo que es un progreso, y se han tomado una serie de medidas para mejorar la orienta­ción de los alumnos para asegurarles, en el curso de los estudios —y especialmente al comenzar la enseñanza secundaria— el posible pasaje de una sección a otra: los "ciclos de orientación" han desempeñado en ese aspecto una función sumamente útil. Pero, a pesar del trabajo eficaz de, los psicólogos escolares, per­manecen abiertas las cuestiones acerca del valor de los instrumentos de orientación y de selección. En particular, esa llaga de la esco­laridad constituida por el papel y el valor atribuido a los exámenes, resulta muy a me­nudo de difícil resolución.

Pero desde el punto de vista cualitativo, único que aquí nos interesa, se han manifes­tado una serie de tendencias más nuevas en los diversos países que parecen en­cabezar los movimientos actuales. Así, de en­trada, se observa en muchos de ellos, singu­larmente en Estados Unidos de América, un esfuerzo por renovar la educación preescolar, demasiado descuidada hasta ahora. La idea do­minante es que, para los niños de las clases no favorecidas, la escuela maternal debe ser un medio moral e ¡ntelectualmente enriquecedor, susceptible de compensar, por su atmósfera y especialmente por la abundancia y la diver­sidad del material empleado, la pobreza del medio familiar en lo que concierne a las in­citaciones a la curiosidad y a la actividad. En cuanto a los métodos usados para orientarla, oscilan entre dos polos que reflejan, así, dos de las corrientes extremas y opuestas de la psicología contemporánea. Uno de esos polos se caracteriza por el uso del "acondiciona­miento": crear y reforzar mediante el ejercicio y los resultados de la acción, cierto número de asociaciones motrices o verbales, juzgadas constitutivas de los conocimientos ulteriores. El otro polo, por lo contrario, se caracteriza por un llamado a las actividades espontáneas del mismo niño para obtener una organización cognoscitiva que prepare las operaciones de la inteligencia que se constituyen normalmente alrededor de los siete u ocho años. Inspirados en las investigaciones psicológicas de la escuela de Ginebra, a veces convenientemente inter­pretadas (como en las realizaciones peda­gógicas de Allmy, Kamii, H. Furth, etc., en los EE.UU.), pero a veces también retomadas en formas un poco ingenuas, cuando no inquie­tantes, esas aplicaciones son susceptibles de

o menos

Largo sería enumerar el nombre ele otras instituciones que se vieron favorecidas con su prestigio. CONCEPTOS DE MATEMATICA tuvo el privilegio de contarlo entre sus aseso­res y este hecho no implicó nunca una mera distinción que hubiera sido mínima con res­pecto a las otras de que había sido objeto. Siempre hemos tenido la suerte de contar con el afecto de su palabra amiga; muchas veces lo hemos visto asistir a las reuniones que organi­záramos para discutir nuestros problemas do­centes; lo hacía calladamente pero todo lo observaba y luego generosamente nos hacía conocer sus opiniones e incluso las difundía entre sus amigos como una manera de colabo­rar con nosotros. Esa colaboración —subrayé­moslo— fue permanente &■ incluso cuando he­mos debido superar situaciones delicadas no vaciló en favorecernos con gestiones que inci­dieron favorablemente para su superación. Eso no podremos olvidarlo nunca y su recuerdo permanecerá entre nosotros como un acicate para continuar la tarea en la que estamos empeñados.

A las innumerables muestras de pesar que debe haber provocado su desaparición unimos las nuestras con el deseo de que la paz sea en su tumba.

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de la experiencia o de presentaciones verbales o audiovisuales dirigidas por el adulto.

La segunda se caracteriza por un retorno imprevisto a los factores innatos y de madu­ración interna (esto, en buena parte por la influencia del lingüista Chomsky, el cual, pese a los procesos transformacionales y, por tanto, en parte psicogenéticos que él reconoce en las gramáticas, cree en la existencia de un "núcleo fijo innato" que determina las estructuras de partida del lenguaje, tales como la relación de sujeto a predicado: en ese caso la educación se convertiría en buena parte en la ejercitación de una "razón" ya preformada al partir.

La tercera dirección -que resueltamente es la nuestra y que nos hace atribuir los co­mienzos del lenguaje a las estructuras cons­truidas por la inteligencia sensoriomotriz pre­via- es de naturaleza constructivista, es decir, sin preformación ni exógena (empirismo) ni endógena (innatividad), pero por continua su­peración de las sucesivas elaboraciones, lo que conduce, en el plano pedagógico, a acentuar las actividades en parte espontáneas del niño.

escolar y universitaria de los candidatos a los diplomas, y los padres continúan, por ejemplo, pensando que el conocimiento del latín cons­tituye un "Sésamo ábrete" mucho más' eficaz que cualquier otra iniciación. Parece ser cierto, pues, que para reajustar en ese punto las for­maciones escolares a las exigencias de la so­ciedad, será necesario proceder a una revisión de los métodos y del espíritu de la enseñanza en su totalidad en lugar de contentarse con acudir a los simples factores del buen sentido.

los abandonó en ciertos cantones suizos en donde el estado las había impuesto como re­medio infalible para las dificultades de ini­ciación en el cálculo.

En muchos casos, estas regletas fueron reemplazadas por los "bloques lógicos" de Dienes, un matemático pedagogo que tuvo el mérito de haber comprendido por su expe­riencia educativa el hecho esencial (que nues-

propias investigaciones psicogenéticas

sedesarrollos. Volveremos acerca denumerososlo que se podría esperar de esos comienzos de actividad cognoscitiva para estudiar lo que refiere a la observación adecuada de las ac­ciones y de los hechos objetivos como intro­ducción a la enseñanza de las ciencias.

En el nivel primario, y a continuación de lo que precede, se pueden notar en ciertos países (y de nuevo, sobre todo en EE.UU. las si­guientes transformaciones. Hace algunos años la tendencia dominante, en particular bajo la influencia de las vulgarizaciones del psicoaná­lisis, era la de evitar cualquier frustración en el niño en desarrollo, de donde provenía, en efecto, un exceso de libertad sin dirección que desembocaba en juegos generalizados sin gran resultado educativo. Se produjo una reacción para canalizar y reforzar las actividades cog­noscitivas. Pero siempre se halla, y en forma todavía más sensible, la dualidad de los polos de que acabamos de hablar, según la orien­tación de las inspiraciones psicológicas adop-

se

trassiempre pusieron en evidencia) de que la com­prensión de las matemáticas elementales es función de la construcción de estructuras pri­meramente cualitativas (el número, por ejem­plo, aparece psicológicamente como síntesis de la inclusión de clases y del orden serial) y que cuánto más se facilita la construcción previa

LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

Se advierte entonces el hecho de que esta tarea pone esencialmente en acción no sólo a la didáctica especializada de cada una de las ramas de esta enseñanza científica (matemá­tica, física, química, biología, etc.), sino a una serie de cuestiones más generales tales como el papel de la enseñanza preescolar (4-6 años), el de la significación real de los métodos activos (de los que habla todo el mundo y que en realidad muy pocos educadores aplican de ma­nera eficaz), el del uso de los conocimientos psicológicos adquiridos sobre el desarrollo del niño o del adolescente y el del carácter inter- disciplinario necesario en las iniciaciones, y eso en todos los niveles, opuestamente a la división que todavía hace estragos lo mismo en la universidad que en los niveles secun­darios. Es, pues, indispensable abordar estas cuestiones desde la discusión de la formación científica de los alumnos de manera de ob­tener rápidamente una perspectiva más amplia.

Comencemos por los datos psicológicos de base, hecho esencial del cual conviene partir por estar en notable contradicción con lo que generalmente se admite. En efecto, corrien­temente se considera evidente que existen en­tre los alumnos individuales diferencias de ap­titudes cuya importancia aumenta con ¡a edad y tales que si algunos de ellos están mani­fiestamente más dotados sea para la matemá­tica, sea para la física, etc., otros no obten­drán nunca más que resultados mediocres en esas ramas. Ahora bien, después de haber es­tudiado durante mucho tiempo la formación de las operaciones lógicomatemáticas en el niño, consagramos muchos años de estudio, primero con B. Inhelder, a la inducción de leyes físicas elementales, y después -en nues­tro centro internacional de epistemología ge-

de las operaciones lógicas, en todos los niveles de la enseñanza matemática, mucho más favo­recida se ve ésta. Esta comprobación está, lo vemos, plenamente de acuerdo con la tenden­cia, ahora generalizada, de introducir las ma­temáticas dichas modernas (teoría de con­juntos, luego de grupos, etc.) desde los niveles más elementales de la enseñanza. Hay en esto un progreso muy grande. Trataremos, más ade­lante, de precisar las condiciones psicológicas de ese éxito.

En el terreno de la enseñanza de las den­

tadas.El papel atribuido al acondicionamiento, en

particular bajo la influencia de Skinner, ha llevado al ideal de una enseñanza programada, por asociaciones progresivas mecánicamente ordenadas (las "máquinas de aprender"), y se sabe también el favor que todavía tiene en ciertos medios esta manera de actuar, aunque es verdad que atemperada por el aspecto eco­nómico algo inquietante de los preparativos requeridos. Pero su defecto esencial reside en que descansa sobre una pedagogía muy insu­ficiente de la cual el gran lingüista N. Chomsky ha mostrado, de manera decisiva, la ineptitud para dar cuenta racionalmente del aprendizaje de las lenguas. Desde el punto de vista pedagógico, la enseñanza programada conduce realmente a aprender, pero nunca a inventar salvo si, como lo ensayó S. Papert, se hace que el niño mismo construya la progra­mación. Es necesario decir otro tanto de los procedimientos audiovisuales en general, cuyas virtudes fueron celebradas por un número ex­cesivo de educadores, pero que pueden con­ducir a una especie de verbalismo de la imagen cuando sólo favorecen a las asociaciones sin dar lugar a actividades auténticas. Las regletas o números en color de Cuisenaire-Gattegno pueden permitir en ciertos casos una actividad operatoria del alumno, pero muy a menudo presentan los mismos defectos de sustituir lo operativo por lo figurativo, razón por la cual

Perspectivas futuras.

Una de las cuestiones que preocupa más a las autoridades escolares y universitarias de los distintos países, es el número demasiado pe­queño de vocaciones científicas con respecto al número relativamente muy grande de es­tudiantes que se orientan hacia las carreras literarias; es evidente que ése es uno de los problemas centrales que deberá resolver la educación de mañana. Asimismo, no es menos claro que esta cuestión no se resolverá por el sólo juego de las fuerzas económicas actuan­tes. Por mucho que la sociedad necesite más especialistas u hombres competentes de los que dispone actualmente, en los dominios científicos más variados, por mucho que los economistas hayan insistido públicamente sin cesar sobre la gravedad de esas lagunas, y por mucho que los interesados, esto es, los actuales alumnos de los establecimientos secundarios y universitarios, tengan que ser periódicamente readiestrados sobre los débiles recursos que comporta una preparación esencialmente lite­raria comparada con las carreras aseguradas cuando se han adquirido las formaciones cien­tíficas requeridas, los factores están lejos de

suficientes para pesar sobre la orientación

cías conviene también señalar una serie de ensayos, especialmente en las cercanías de Boston, Illinois y California, debida a la co­laboración de médicos y psicólogos igualmente interesados en la enseñanza elemental que tra­taron de hacer comprender a los escolares de nivel primario (y a veces preescolares) ciertos fenómenos físicos simples por medio de dis­positivos manipulados por el niño con la ma­yor espontaneidad y actividad investigativa.

LAS PEDAGOGIAS ACTUANTES

Conviene, para concluir esta parte retros­pectiva, señalar que en estos últimos años las investigaciones pedagógicas sobre los desarro­llos de la inteligencia y de las estructuras cog­noscitivas han hecho grandes progresos, pero divergen en tres direcciones de significaciones muy diferentes desde el punto de vista de las aplicaciones pedagógicas.

Una, fiel a las viejas tradiciones anglo­sajonas, permanece orientada hacia un ac- cionismo empirista, lo que reduciría todo co­nocimiento a una adquisición exógena a partir ser

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La visión optimista —incluso muy opti­mista— que nos han dado nuestras investiga­ciones sobre el desarrollo de las nociones cuantitativas de base, que constituyen o debe­rían constituir la subestructura de toda enseñanza científica elemental, permite, pues, pensar que una reforma bastante profunda de dicha enseñanza multiplicaría las vocaciones que hoy necesita la sociedad. Pero, nos parece, esto sólo ocurrirá si se cumplen ciertas condi­ciones que son, sin duda, las de toda peda­gogía de la inteligencia, las que parecen par­ticularmente imperativas en las diversas ramas de la iniciación científica.

La primera de ellas es naturalmente el apo­yo de los métodos activos que forman parte especial de la iniciación espontánea del niño o del adolescente y exigen que toda verdad por adquirir sea reinventada por el alumno o, por lo menos, reconstruida, y no simplemente tras­mitida. Ahora bien, dos frecuentes malenten­didos quitan mucho de su valor a los ensayos realizados hasta ahora en ese sentido. El pri­mero es el temor (y entre algunos la esperan­za) de que el papel del maestro se vuelva nulo en esos casos, y que sea necesario, para ha­cerlo bien, dejar a los alumnos en total liber­tad para trabajar o jugar a su manera. Ahora bien, no es necesario decir que el maestro continúa siendo indispensable como animador para crear las situaciones y crear los dispositi­vos susceptibles de plantear problemas útiles al alumno, y luego para organizar contraejemplos que fuercen la reflexión y obliguen a controlar las situaciones demasiado prematuras: lo que se desea es que el maestro deje de ser un conferenciante y que estimule la búsqueda y el esfuerzo en lugar de conformarse con tras­mitir soluciones totalmente construidas.

Cuando se piensa en el número de siglos que se necesitaron para llegar a la denominada "matemática moderna" y a la física contem­poránea, incluso la macroscópica, sería ab­surdo pensar que si no se guía la toma de conciencia de las cuestiones principales, el alumno ha de llegar por sí solo a poseerlas claramente. Pero, inversamente, también es evidente que el maestro animador no conoce más que su ciencia y debe ser reeducado muy de cerca sobre el detalle del desarrollo psico­lógico de la inteligencia infantil o adolescente: el papel del investigador psicogenético es, por consiguiente, indispensable para la práctica eficaz de los métodos activos. Es necesario

esperar, pues, en los períodos que hoy se abren para la educación, una colaboración mu­cho más íntima que en el pasado entre la investigación psicológica fundamental (no los "tests" ni los instrumentos de una psicología denominada "aplicada", la que en efecto, está reducida a la aplicación de lo que todavía no se conocía, por ejemplo, la medicina del siglo XVIII) y la experimentación pedagógica me­tódica.

nética, con la ayuda continua de algunos físicos eminentes— al análisis del desarrollo de la causalidad física entre los 4-5 años y 12-15 años, habiéndose realizado más de 120 inves­tigaciones detalladas sobre los múltiples as­pectos de esta cuestión tan compleja (pro­blemas de trasmisión del movimiento, del ca­lor, etc., composición de fuerzas y de vectores, cambios de estado de la materia, momento dinámico y trabajo, linealidad y dis- tributividad, etc.).

Ahora bien, aparte el caso de niñitas que, sin ser menos inteligentes, simplemente no tenían interés por estas cuestiones, hemos podido obtener datos sistemáticos que de­muestran la existencia de las actitudes en cues­tión, pues todos los escolares de todas las edades y de un nivel intelectual medio o su­perior, han testimoniado las mismas iniciativas y la misma comprensión. Ciertamente existen individuos retardados o avanzados, pero en todos los dominios y no sólo en los terrenos científicos condiderados.

Nuestra hipótesis es, pues, que las preten­didas aptitudes que diferencian a los "buenos alumnos" en matemática o en física, etc. con igual nivel de inteligencia, consisten sobre todo en poder adaptarse al tipo de enseñanza que se les da, mientras que los "malos alum­nos", en esas ramas, pero que salen airosos en otras, son en realidad enteramente aptos para dominar las cuestiones que parecen no com­prender, condición de que se los lleve por caminos diferentes, pues lo que no compren­den son las "lecciones" que se les dan y no la materia. En particular, se podría, y lo hemos comprobado en numerosos casos, verificar que el fracaso escolar en tal o cual punto se debe a un pasaje demasiado rápido de la estructura cualitativa de los problemas (mediante simples razonamientos lógicos, pero sin la inmediata introducción de las relaciones numéricas y de las leyes métricas, a la puesta en forma cuan­titativa o matemática (en el sentido de ciones ya elaboradas) usado normalmente por el físico. Al respecto, admitiremos gustosos ciertas aptitudes diferenciales que oponen los espíritus estrictamente deductivos (a partir de una edad adecuada) a los espíritus experimen­tales y concretos; pero aún en el terreno ma­temático, muchos fracasos escolares se deben a este pasaje demasiado rápido de lo cualitativo (lógico) a lo cuantitativo (numérico).

otra es tomar conciencia para lograr un cono­cimiento reflexivo y sobre todo teórico; de manera que ya ni los alumnos ni los maestros dudan que el contenido de la enseñanza dada podría apoyarse sobre todo tipo de estructuras "naturales".

Hay, que prever, pues, un gran futuro en la colaboración de psicólogos y matemáticos para la elaboración de la enseñanza "moderna", y no tradicional, de las matemáticas del mismo nombre, que consistiría en hablar al niño su enguaje antes que imponerle otro totalmente

construido y demadiaso abstracto,'y sobre to­do en conducir al niño a reinventar lo que sea capaz en lugar de limitarse a escuchar y re­petir. El pedagogomatemático Dienes ha hecho loables esfuerzos en ese sentido, pero una insuficiente información psicológica vuelve a veces algo optimista la interpretación que ha dado acerca del éxito de algunos de los "juegos" o ejercicios que ha imaginado.

Si se pasa de las matemáticas a la física y a las ciencias experimentales, la situación es to­talmente distinta porque las increíbles lagunas de las escuelas tradicionales, hasta estos úl­timos años inclusive, provino del desprecio casi sistemático por la formación experimental de los alumnos: no son, en efecto, las expe­riencias que el maestro haga delante de ellos o incluso las que hagan con sus manos según un procedimiento ya establecido y que simple­mente se les dicta, las que les enseñarán las reglas generales de toda experiencia científica tales como la variación de un factor neutra­lizando a los demás (cosas todas ¡guales, por

DOS EJEMPLOS: MATEMATICAS, CIENCIAS EXPERIMENTALES

En lo que se refiere, por ejemplo, a la enseñanza de las "matemáticas modernas", que constituye un progreso muy considerable con respecto a los métodos tradicionales, la experiencia es falseada a menudo por que si el contenido enseñado es "moderno", la manera de presentarlo es, a veces, arcaico desde el punto de vista psicológico puesto que se basa en la simple trasmisión de conocimientos, in­cluso si se esfuerza (y muchas veces muy pre­cozmente desde el punto de vista de la manera de razonar de los alumnos) en adoptar una forma axiomática: de allí la puesta en guardia de los grandes matemáticos, como Jean Leray en la revista L'enseignement mathématique.

Ahora bien, esta situación es tanto más sorprendente porque, si los maestros quisieran realmente educarse sobre la formación psico- genética "natural" de las operaciones lógico- matemáticas, descubrirían que existe una con­vergencia mucho mayor de lo que se hubiera esperado entre las principales operaciones em­pleadas espontíneamente por el niño y las nociones que se trata de inculcarles abstrac­tamente: desde los 7 u 8 años, por ejemplo, los niños descubren por sí mismos las ope­raciones de unión e intersección de conjuntos así como los productos cartesianos y, desde los 11 ó 12 años, llegan a los "conjuntos de partes". Muy precozmente, se observa la for­mación de diversos morfismos o funciones y se puede, en muchos casos, hablar de catego­rías en el sentido de Me Lañe y Eilenberg bajo formas elementales o "triviales", pero no me­nos significativas en cuando a su valor for- mador.

Pero una cosa es inventar en la acción y aplicar así prácticamente ciertas operaciones, y

otra parte), o la disociación de las fluctua­ciones fortuitas y de las variaciones regulares. En esos terrenos, mucho más que en los otros, los métodos del futuro deben asignar una par­te cada vez mayor a la actividad y a los tanteos de los alumnos así como a la es­pontaneidad de las búsquedas en la manipu­lación de dispositivos destinados a probar, o a no hacerlo, las hipótesis que hubieran podido hacer por sí mismos para la explicación de tal o cual fenómeno elemental. Dicho de otra manera: si hay un dominio en el cual los métodos activos deberán imponerse a los sen­tidos de la manera más completa, es realmente el de la adquisición de los procedimientos para la experimentación. Pues una experiencia que no se haga con total libertad de iniciativa no

definición, una experiencia sino una

ecua-

es, por

8 9

colecciones de elementos discontinuos (conser­vaciones de conjuntos) o de los objetos tinuos. Por lo contrario, el niño de esas edades tiene ya lo que propiamente se puede llamar una semilógica: variaciones funcionales de tido único, identidades cualitativas (pero no cuantitativas bajo su forma reversible, ± ó =, "nada se ha quitado ni agregado", etc.). Ahora bien, pese a esas limitaciones, pero apoyán­dose sobre los caracteres positivos de comienzos de puesta en relación, parece po­sible prever en ese nivel una suerte de pro­pedéutica de la enseñanza científica que, por otra parte, queda sin desarrollar en el nivel primario con amplitud. Esta propedéutica con­sistiría simplemente en ejercitar la observa­ción, actividad de importancia no despreciable, pues las investigaciones mostraron que en ese nivel preescolar, las comprobaciones no sólo se frustraban y eran incompletas, lo cual era na­tural, sino que también en muchos casos se

deformaban sistemáticamente por las ideas previstas del sujeto., Así es como en el caso de una honda formada por una simple bola sos­tenida por un piolín que el niño hace girar en el extremo de su brazo soltando en seguida al conjunto de manera que la bola llegue a una caja, se comprueba que desde los 4 ó 5 años la acción es muy bien realizada después de algunos tanteos, aún cuando su descripción sea sistemáticamente deformada: en su acción pro­pia, el alumno llega sin ayuda a soltar la bola de costado, siendo entonces el trayecto, luego de soltarla, tangencial con respecto a la cir­cunferencia descrita por la rotación del brazo, pero los jóvenes alumnos pretenden haber lan­zado la bola sea frente a la caja, en el punto de la circunferencia más cercano a la misma, sea incluso delante de ellos, como si la bola recorriera una recta delante de ellos y la* caja, pero pasando por el diámetro del círculo des­crito por el brazo.

La razón es que, para su punto de vista, la acción total se descompone en dos subac­ciones: hacer girar y luego arrojar (y no sólo soltar) y que, para arrojar una bola dentro de una caja, se sigue generalmente una recta per­pendicular a esa caja. Cosa bastante increíble: sólo entre los 9 y 10 años se obtiene en general una buena descripción de esa acción, la que, sin embargo, ha tenido éxito entre los 4 y 5 años, habiéndose percibido, sin duda, lo observable sobre el objeto y sobre la misma

acción propia (por tanto, la toma en concien­cia de ésta), pero de alguna manera "recha­zada" por su contradicción con las ¡deas pre­concebidas. No es más que un ejemplo entre muchos otros del mismo género. Se ve así que los ejercicios de observación podrían ser muy útiles si se eligen los observables que se deben describir entre los dominios de causalidad más cotidianos y más elementales, y si se piden descripciones de tipo diverso: por una repro­ducción remedada de la acción (lo que es más fácil), por el lenguaje, por dibujos con ayuda del adulto, etc. Un físico americano, Karplus (Universidad de California), especializado en la enseñanza de la física, incluso juzga esos ejer­cicios de observación tan útiles desde el nivel preescolar, que ha imaginado situaciones con dos observadores para educar más mente la comprensión de la relatividad de los observables.

metódicas del futuro son las que deberán de­cidir. Creemos, por nuestra parte, que es to­talmente ventajoso respetar las etapas (necesa­riamente, a condición de conocerlas bastante como para poder juzgar sobre la utilidad de su papel). Debe saberse que un excelente profe­sor de física. F. Halbwachs, que acaba de escribir un Precis de microfísica para estu­diantes novatos, adoptó, en ese nivel univer­sitario, una manera de ver análoga que justi­fica en el prólogo aludiendo a los trabajos de nuestro Centro de epistemología genética: contrariamente al uso, parte de las nociones clásicas para llegar progresivamente al sentido de las ideas contemporáneas, para facilitar una "asimilación" pfogresiva de las nociones que, sin esa progresión, correrían el riesgo de per­manecer incomprensibles en parte.

Bajo su forma general, el problema en cues­tión consiste en preguntarse si hay ventaja o no en acelerar la sucesión de las etapas de desarrollo. En verdad, toda educación consiste, de una manera u otra, en dicha aceleración, pero la cuestión es establecer cuándo es pro­vechosa. Ahora bien, no por nada la infancia es bastante más larga en el hombre que en las especies animales inferiores: es muy probable, pues, que en todo desarrollo se imponga una velocidad óptima, siendo los excesos de rapidez tan nocivos como una lentitud demasiado grande. Pero no sabemos las leyes y sobre ese punto las investigaciones son las que deberán aclarar la educación.

simple domesticación sin valor formativo, falta de la suficiente comprensión de los detalles de los pasos siguientes.

En una palabra, el principio fundamental de los métodos activos no podrá más que inspirarse en la historia de las ciencias y puede expresarse así: comprender es inventar, o re­construir por invención, y realmente será ne­cesario someterse a tales necesidades si se quiere, en el futuro, formar individuos capaces de producir o crear y no sólo de repetir.

con-

sen-

esos

LOS CAMINOS DE LA RENOVACION

Apropiación progresiva del espíritu experimental.

Pero, en el dominio tan esencial de la for­mación de los futuros hombres de ciencia y técnicos de nivel suficiente para una educación apropiada del espíritu experimental, se plantea un problema que, sin duda, no es particular del desarrollo de la explicación física, pero que ya preocupa a ciertos educadores y se impondrá cada vez más en toda pedagogía basada sobre la psicología.

Para llegar por la combinación del razo­namiento deductivo y de los datos de la ex­periencia a la comprensión de ciertos fenó­menos elementales, el niño tiene necesidad de pasar por ciertas etapas caracterizadas por ideas que luego juzgará erróneas, pero que parecen necesarias para llegar a las soluciones finales correctas. Así, para explicar la trasmi­sión del movimiento a través de una serie de bolas inmóviles contiguas de las cuales se gol­pea a la primera y sólo parte la última, el niño no llega sino a los 11 ó 12 años a la hipótesis de una trasmisión interna por sacudimientos y vibraciones sucesivas y admite primero que cada bola intermedia ha efectuado una pe­queña traslación molar; incluso inmovilizando a las mediadoras por distintos medios (por ejemplo por una presión del dedo, etc.), el alumno continúa creyendo en un corri­miento, etc.

Podrían citarse muchos otros ejemplos, en el mismo sentido. ¿Será necesario hacerlo to­do para desengañar a los jóvenes alumnos o, en verdad, el espíritu de los métodos activos debe conducirlos a respetar la sucesión de esas aproximaciones tanto en sus fallas como en su valor formativo? Las experiencias pedagógicas

precoz-

Investigación interdisciplinaria estructurada.

Finalmente, para cerrar estas reflexiones so­bre el porvenir de la enseñanza de las ciencias, es necesario insistir todavía sobre una cuestión central concerniente esencialmente a los ni­veles secundario y universitario: se la del ca­rácter cada vez más interdisciplinario que necesariamente toma la investigación en todos los dominios.

Ahora bien, todavía hoy, los futuros inves­tigadores están muy mal preparados, en este aspecto, por enseñanzas dirigidas a la especia- lización y que, de hecho, llegan a la parti­cipación que no comprende que toda pro­fundizaron especializada encuentra, por lo contrario, múltiples interconexiones. Abor­damos aquí un importante problema elevado, tanto de la epistemología general de las cien­cias como de su metodología, pareciendo claro que el porvenir de la enseñanza de las ciencias dependerá siempre primero de su metodología, lo cual ya se comprueba por muchos indicios.

La separación de las disciplinas científicas se explica, en efecto, por los prejuicios positi­vistas. En una perspectiva en que sólo cuentan los observables, trátese simplemente de des­cribir o de analizar para lograr las leyes fun­damentales, es inevitable que las diversas dis­ciplinas parezcan separadas por fronteras más o menos netas e incluso fijas, porque ellas se

Educación preescolar y ejercicio de la observación.

Para continuar, a modo de ejemplo, este análisis de las probables orientaciones futuras de la enseñanza científica, conviene también señalar la creciente importancia que tendrá la educación preescolar.

Desde el punto de vista psicológico, el pe­ríodo de 4 a 6 años (y a fortiori el de 2 a 4 años, sobre el cual todavía no sabemos nada sistemático) puede ser calificado de "prepara­torio" en el sentido de que en él el sujeto se revela todavía inadaptado al manejo de opera­ciones reversibles (adiciones y sustracciones, reciprocidades) y, por tanto,‘al descubrimiento de las conservaciones elementales de can­tidades, materias, pesos, etc., en el momento de las modificaciones de las formas de las

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de los grupos y de las "categorías", etc., es- tructuralismo físico, con la extensión inde­finida de los atributos de esos sistemas a los modelos explicativos que representan las inter­secciones de los mismos objetos: estructura- lismo biológico, con los problemas de equili- bración y autoregulación, incluso si las co­nexiones entre los modelos cibernéticos y las estructuras matemáticas formalizables siguen permaneciendo poco claras, etc., sin olvidar las estructuras de la inteligencia estudiadas por la psicología, pero para relacionarlas con todas las precedentes.

Ahora bien, desde el punto de vista psico­lógico, existe una situación muy compleja que comporta un bello programa de futuro, pero que hoy es muy poco satisfactoria. En efecto, si todos hablan de las exigencias interdisci- plinarias, la inercia de las situaciones adqui­ridas, es decir, ocurridas pero todavía no su­peradas, tiende a la realización de una simple multidisciplinaridad; eso tiende a multiplicar las enseñanzas, porque cada especialidad nece­sita de las cercanas, pero dejando al alumno o estudiantes el cuidado de realizar por sí mis­mo los sistemas. Lo que necesitamos, contra­riamente, en el nivel universitario, pero tam­bién ya en el secundario, son docentes que hablen de su especialidad pero con espíritu incesantemente interdisciplinario, es decir, sa­biendo generalizar por sí mismos las estruc­turas que emplean y reemplazándolas en los sistemas de conjuntos que engloban a las otras disciplinas. De otra manera, se tratará de que los docentes estén penetrados de un espíritu epistemológico lo suficientemente amplio para que, sin olvidar el terreno de su especialidad, el estudiante vea continuamente las reacciones con el conjunto del sistema de ciencias. Ahora bien, hombres tales son actualmente bastante raros.

refieren a la diversidad de las categorías' de observables, ellas mismas relativas a nuestros instrumentos subjetivos y objetivos de registro (percepciones y aparatos). Por lo contrario, violando las reglas positivistas (y ellas son, en efecto, continuamente trasgredidas, aun cuan­do ciertos autores, por otra parte cada vez menos numerosos, las aprueban en sus prefa­cios), se trata de explicar los fenómenos y sus leyes en lugar de limitarse a su descripción, se supera forzadamente las fronteras de lo ob­servable, puesto que toda causalidad requiere la necesidad inférencial, es decir, deducciones y estructuras operatorias irreducibles a la sim­ple comprobación.

La causalidad consiste, en efecto, en una composición de producción y conservación, totalmente igual a las operaciones lógicomate- máticas, salvo que éstas son entonces atri­buidas en el terreno físico a los mismos ob­jetos, transformados así en "operadores". En ese caso, la realidad fundamental no es ya el fenómeno o lo observable, sino la estructura subyacente, reconstituida por deducción y que da cuenta de los datos observados. Pero, por el mismo hecho, las fronteras entre las dis­ciplinas tienden a desaparecer, pues las estruc­turas son o comunes (como entre la física y la química, que Augusto Comte creía irredu­cibles una a la otra) o solidarias entre sí (como sin duda será el caso entre la biología y la fisicoquímica).

Esto dicho, es entonces evidente que si la enseñanza de las ciencias quiere adaptarse a las condiciones del progreso científico y preparar innovadores más que espíritus conformistas, debe preocuparse por ese estructuralismo cada vez más conquistador y generalizado, con todo lo que eso comporta de visión interdisciplina­ria: estructuralismo matemático con la teoría

TEMAS DE LA CONFERENCIA

Importancia y significado de las

conferencias internacionales

sobre educación matemática*H. Renato VÓLKER

(Argentina)Bahía Blanca, 1972

Vivimos en una época extremadamente crítica en la que se cuestiona todo o casi todo; no es de extrañar, pues, que alguien pregunte —coma efectivamente ocurrió— por el sentido y la razón de las conferencias in­ternacionales de educación matemática. Se tra­ta de eventos relativamente importantes, que cuestan tiempo y dinero y exigen considerable esfuerzo de organización, movilizan a cente­nares de participantes, algunos venidos de le­janos países, y concitan el interés y el apoyo de organismos internacionales, entidades pri­vadas y ministerios. Es legítima entonces la inquietud por la índole de tales reuniones, sus alcances y consecuencias. Como en los últimos 14 años ya se han sucedido en Europa y en América más de media docena de ellas, es posible, y además útil, llegar a algunas con­clusiones en el sentido expuesto. A tales fines, puede servir una breve visión retrospectiva y, más que ésta, el estudio de las recomendacio­nes hechas en cada reunión y su cotejo con los adelantos que sucesivamente se fueron rea­lizando en el campo de la enseñanza matemá­tica. En el caso particular de las conferencias interamericanas de educación matemática, sir­ven a este último propósito los informes pre­sentados por los países participantes, que per­miten comparar el estado de esa enseñanza en la fecha de cada conferencia, con el que ofre­cía en la conferencia anterior. Concluimos, por de pronto, que cada reunión intermericana nos permite actualizar y publicar la informa­ción sobre el estado de la enseñanza matemá­tica en cada uno de los países del continente,

lo que no es poco. Sin embargo, ese tipo de información también podría lograrse sin nece­sidad de celebrar reuniones como la de esta semana en Bahía Blanca. Pero habría .otros aspectos de difícil o imposible realización si se prescindiera del sistema de conferencias; entre ellos están las llamadas "recomendaciones" y su mecanismo de elaboración.

Es bien sabido que las conclusiones de una reunión, como ésta a la que estamos convo­cados, no obligan sino moralmente en tanto uno se sienta solidario con ellas. Por eso tie­nen carácter y alcance de recomendación. El mecanismo que les da origen permite el plan­teo y la consiguiente discusión y votación del tema respectivo. Esta deliberación entre pares y el acuerdo mayoritario que es menester para lograr una recomendación, no podrían darse

dijo- sin la reunión efectiva de la-como seconferencia; de donde ella resulta un elemento insustituible si se busca un planteo, funda- mentación y tratamiento racional, amplio y equitativo de los temas que por su trascenden­cia merecen ser traídos a estos encuentros de matemáticos y educadores. La experiencia ha demostrado -y procuraré probarlo más ade­lante- que se trata de una manera efectiva de dilucidar cuestiones que en el campo de la educación matemática interesan a todos y de

Mientras que te enseñanza tradicional de la matemática se quería que fuera prác- t,ca solamente en el nivel primario, y se consideraba, para alumnos de más de 15 anos, como especialidad reservada para futuros científicos, la enseñanza moderna de3 ™atemat'ca tle0a la pretensión de desempeñar un papel esencial en una formación cultural indispensable para todos.

* El profesor H. Renato Vólker. Director General de Educación Media y Superior del Ministerio de Cul-

y .Educación de ruéstro país pronunció esta disertación inaugural de la Tercera Conferencia In- teramericana sobre Educación Matemática.

G. WALUSINSKI tura

1213

mente con carácter experimental durante cier­to tiempo, en cursos expresamente elegidos al efecto y que están en manos de personal selec­cionado. Se corre el riesgo de que ese personal se ponga tan al servicio de la buena causa que, a fuerza de cultivar los temas nuevos, descuide la calculatoria tradicional -que lamentable­mente también hace falta— y que los alumnos, duchos en hacer frente a "situaciones" mate­máticas, no dominen las herramientas elemen­tales del cálculo, tengan dificultades con el factoreo o no sepan racionalizar un denomi­nador. Es cierto que los cursos experimentales, en sus comienzos, tropezaban con la inexis­tencia de textos adecuados especialmente en castellano y ello demoraba su desarrollo y recargaba la tarea del docente responsable; pe­ro hoy esa dificultad está salvada al disponer de textos en todos los niveles. Los cursos experimentales pudieron generalizarse, pero se tropezó entonces con otra dificultad grave: la preparación inadecuada del personal para ha­cer frente a esa nueva responsabilidad. Es esta la razón por la cual en todas o casi todas las reuniones internacionales sobre educación ma­temática aparece en forma abierta o indirecta el tema de la formación y perfeccionamiento de los docentes.

Formación y perfeccionamiento docente. No puede haber cambios sustanciales en la ense­ñanza si en primer término el que enseña no conoce bien el tema y si, además, no está convencido de la necesidad de su buena ense­ñanza. En ambos casos necesita suficiente sen­tido crítico y honestidad intelectual como para juzgarse con acierto a sí mismo; además requiere buena dosis de fuerza de voluntad al dejar de lado lo que resulta fácil y rutinario para abordar temas nuevos y llegar a dominar­los como para que su enseñanza resulte grata y provechosa.

Los renovadores de la educación matemá­tica saben muy bien que el problema funda­mental en toda reforma está en captar en su favor al personal en actividad y en crear las condiciones para que ese personal se actualice y perfeccione. En varias conferencias se ha tratado este tema de difícil y costosa rea­lización y se han formulado recomendaciones acertadas para abordarlo y resolverlo exito­samente. Mientras tanto, en todos los países la cuestión se ha encaminado en forma positiva, pero el grado de adelanto es distinto y de­

para la enseñanza. Se impone, entonces, un replanteo de la cuestión, que lleva al análisis crítico, no sólo de los contenidos en lo que se refiere a su mayor o menor importancia teó­rica y utilidad inmediata y futura, sino tam­bién de la sucesión en que deben desarrollarse y del grado de rigor exigible. En muchos casos hay. que optar por la eliminación lisa y llana de ciertos contenidos —tal vez caros al es­píritu— y su sustitución por otros de mayor rendimiento, ya sea por responder a una teo­ría subyacente más general o por ofrecer cam­pos de aplicación más amplios. Pero, común­mente, las cosas no quedan allí sino que re­quieren replanteos o reformulaciones de base, porque arrancan desde más abajo y allí se tropieza con dificultades didácticas que ponen en juego y exigen un entendimiento entre los matemáticos que hacen ciencia y los profe­sionales de la educación, que la enseñan. Afor­tunadamente contamos hoy con buen número de matemáticos que se interesan vivamente por los problemas didácticos y psicológicos del aprendizaje; de modo tal que los planteos de fondo que hubo en seminarios y demás en­cuentros no tardaron en canalizarse por medio de una colaboración fructífera de los distintos sectores interesados. Esa tarea en común des­embocó siempre, o casi siempre, en una lista de contenidos esenciales o programas de es­tudio nuevos, con lo cual llegamos a otra de las características comunes de los encuentros internacionales.Los programas renovados. Los hay de variado tipo y alcance: desde una lista de temas nue­vos cuyo tratamiento se juzga imprescindible, hasta el enunciado de asuntos agrupados y ordenados según la edad de los alumnos a que se destinan. En algún caso los temas fueron desarrollados por especialistas expresamente reunidos al efecto, como ocurrió en el en­cuentro de Dubrovnik, en 1960, donde se pro­curó zanjar las dificultades que se entreveían para el dictado de algunos temas nuevos cuya inclusión se consideraba esencial. En la Con­ferencia de Lima hubo un pronunciamiento taxativo sobre los contenidos que, a juicio de los participantes de esa reunión, deben figurar en los programas destinados a niños y adoles­centes agrupados por edad. Estos programas parten, pues, de un concepto subyacente de madurez mental de los alumnos.

Los programas nuevos se aplican común-

pende de los recursos humanos, económicos y legales de que disponen. La tarea es de largo alcance, en general, y requiere canismo eficaz y de elevado costo si se desea abreviar los plazos. Lo malo de la cuestión reside en que aparentemente es asunto de ca acabar, porque a medida que pasa el tiem­po aparecen nuevos contingentes de personal no actualizado.

En Lima se propuso remediar esta cuestión -ya casi obsesiva- mediante un enfoque dis­tinto de formación de los futuros docentes en el sentido de incluir en los planes de estudio asignaturas y actividades -preferente­mente en forma de seminario- que los capa­citen desde su iniciación profesional para per­feccionarse por cuenta propia y de continua, con la eventual ayuda de material escrito que a modo de apoyo podrían proveer las autoridades responsables de la enseñanza, entidades gremiales u otras organizaciones. El tema es de tanta trascendencia que merece ser meditado por todos los que tienen alguna res­ponsabilidad en la formación de futuros pro­fesores de matemática.

Por ahora no queda otra salida que la de perfeccionar —de ser posible masivamente— al personal en actividad. Esta cuestión ha llevado a la consideración de temas y disciplinas que merecen o que deben figurar en los cursos de perfeccionamiento en atención a los conte­nidos nuevos incorporados o por incorporar a los programas de estudios secundarios o prima­rios. Por esa razón hallamos en todas las reu­niones internacionales de educación mate­mática temas de este carácter que podríamos llamar temas de actualidad o especiales.

comprometernos a seguir determinados ca­minos que, de común acuerdo, juzgamos como los más adecuados para alcanzar, en el menor tiempo posible, las metas propuestas. Las me tas siempre apuntan hacia una enseñanza ma­temática mejor y todo lo que se plantea, dis­cute y resuelve en estas reuniones está en función de ese propósito. ¿Qué medios se han seguido hasta ahora para lograrlo y hasta qué punto se ha tenido éxito? No intentaré un análisis retrospectivo de las distintas reuniones que desde la de Royaumont en 1959, se su­cedieron cada par de años en Europa y en Latinoamérica, porque esa tarea ¡ría mucho más allá del propósito de esta exposición; pro­curaré, en cambio, señalar algunas caracterís­ticas comunes de esas reuniones y clasificar en grandes grupos los temas y asuntos abordados en ellas con el propósito de obtener una visión de conjunto y de llegar a conclusiones vale­deras sobre la importancia y utilidad de los encuentros.Las cuestiones de fondo. Son éstas las que han dadc origen a un replanteo de la enseñanza matemática, fundamentalmente en lo que se refiere a sus contenidos y, en forma subsidia­ria, en cuanto atañe a los aspectos metodoló­gicos. Pertenecen a las cuestiones de fondo el planteo de Jean Dieudonné en el Seminario de Royaunmont, por ejemplo, cuando abogó por la necesidad de sustituir la enseñanza de la geometría de Euclides por otros asuntos hoy más importantes y rendidores o bien el cues- tionamiento que en ese mismo seminario hizo el profesor Marshall Stone al señalar el abismo que separaba la matemática como ciencia de la matemática escolar y la necesidad de reducir el atraso de ésta respecto de aquélla. Los plan­teos de fondo provienen en general de los matemáticos profesionales, investigadores y profesores universitarios que advierten la ne­cesidad de que los estudiantes que abordan estudios superiores traigan una preparación de base, que, por una parte, esté más de acuerdo con los avances de la matemática actual como ciencia axiomática y que, por otra, signifique una capacitación instrumental más rica y ágil. Se trata, con frecuencia, de desplazar cuestio­nes que hasta entonces eran propias de los primeros cursos universitarios, hacia la escuela secundaria; pero ésta no los puede incorporar sin más en sus programas sin correr el riesgo de recargarlos con el consecuente perjuicio

montar un me-

nun-

manera

Temas de interés especial. Se trata evidente­mente de asuntos nuevos que están en sazón y deben ser abordados en la enseñanza secunda­ria o primaria o que, al menos, merecen un concienzudo análisis sobre la conveniencia y factibilidad de su incorporación a los respec­tivos programas. Estos temas aparecen cada vez más en las agendas de las reuniones inter­nacionales y esto ocurre porque los. otros, que hemos llamado cuestiones de fondo, progra-

renovados y formación y perfecciona-masmiento docente, ya se han debatido bastante, hay conciencia formada sobre su importancia y las recomendaciones que se formularon en su momento -a veces en forma reiterada-

14 15

La noción de aproximación

en la enseñanza secundaria.te llenarnos de satisfacción o, poi lo contrario, indicarnos dónde hemos estado remisos. Los informes, una vez publicados, nos dan además, en el caso de las conferencias ¡nteramericanas

visión de conjunto sobre el estado actual de la educación matemática en todo el conti­nente, lo que es altamente ilustrativo y puede servir de acicate para una sana colaboración internacional, sea por vía del CIAEM, inspi­rador y organizador de estas reuniones, o por acción directa entre los estados.

han hallado eco y están cumplidas o en vías de ejecución.

Los temas de interés especial, en cambio son, muchas veces candentes y otras veces se refieren a determinados campos o aspectos de la enseñanza matemática, sean de carácter científico o didáctico. Para dar algún ejemplo, pienso que el tema de la computación, que se tratará en esta conferencia, merece el califi­cativo de tema de interés especial, porque es de actualidad, está incorporado a muchas ca­rreras profesionales de nivel universitario, exis­ten experiencias sobre su introducción en es­cuelas de enseñanza media y primaria y hace falta conocer y discutir los objetivos que se persiguen con su enseñanza en esos niveles así como los resultados obtenidos con el fin de llegar a conclusiones valederas y formular las recomendaciones que el tema merezca.

En el Primer Congreso Internacional de Educación Matemática de Lyon, en 1969, prácticamente todos los temas fueron de in­terés especial y es de suponer, y de esperar, que a medida que la enseñanza de la mate­mática se actualice, los temas de ese carácter ocuparán más y más las agendas de las reu­niones por cuanto los de índole general es­tarán satisfechos.

una

André REVUZ (Francia)

Bahía Blanca, 19722. Los programas franceses puestos progre­

sivamente en vigencia en 1969 ofrecen un ejemplo de aplicación de dicha estrategia. Me propongo a renglón seguido bosquejar la parte de dichos programas que se refiere al análisis, estimar su asimilación y estudiar con más par­ticularidad las partes que todavía constituyen un problema.

1. En la exposición que efectué en. la Se­gunda Conferencia Interamericana sobre En­señanza de la Matemática que se realizó en Lima, expuse los grandes trazos de una estra­tegia de refuerzo de la enseñanza del análisis en la enseñanza secundaria, insistiendo sobre la importancia primordial de la noción de aproximación.

Fecha delcomienzo de Clase la aplicación

El mecanismo y alcance de las recomendacio­nes. Este es el último punto que deseo señalar en mi sucinto análisis, como rasgo común y característico de las reuniones como la de Bahía Blanca; pero debo destacar una vez más que es un atributo tan propio y consubstancial que las hace insustituibles. No hay otro me­canismo, por lo que sé, que permita un plan­teo seguido de un intercambio inmediato de ideas, personal y vivo que obligue a su vez, en tiempo relativamente breve, a llegar a conclu­siones valederas que puedan ser motivo de recomendación. Esta, por su misma naturaleza, exige claridad y concisión de forma y tras­cendencia y sensatez de contenido.

Edad media de los alumnos

Parte del programa que se refiere al análisis

Octubre 1969 Octubre 1970 Octubre 1971

11 años12 años13 años

aplicaciones; (2, +, <)(Z, +, X, <)Anillo ordenado (ID, +, X, <) de los números decimales.Cálculo aproximado con ayuda de los números decimales.Enfoque intuitivo de IR.Inventario de las propiedades del cuerpo ordena­do IR.Revisión de las propiedades de IR.(<Q como subcuerpo de IR).Aplicaciones. Relaciones.Conectivos lógicos.Continuidad. Límite. Diferenciación.Integración

sextaquintacuarta

.yo

La importancia de una reunión como la presente puede evaluarse por el acierto de las recomendaciones que formule sobre los temas tratados.

’ CD SE

Q_

La rendición de cuentas. He llamado así a los informes que los países suelen presentar en las reuniones internacionales sobre el estado de la educación matemática en sus respectivas ju­risdicciones. En algunos casos aparecen a raíz de una encuesta precisa previamente for­mulada por alguna entidad central, como la O.E.C.D. en el caso del Seminario de Ro- yaumont; en otros, los informes son relativa­mente libres y se ciñen a lineamientos gene­rales como_ ocurrió en ocasión de la segunda Conferencia Interamericana dé Educación Ma­temática de Lima y ocurrirá en la presente. Siempre se trata de presentar un balance ac­tualizado que sirva de base para acordar fu­turas acciones y, a veces, pueda usarse para analizar retrospectivamente los avances lo­grados desde reuniones anteriores. La com­paración entre lo acordado en Lima, por ejem­plo, con las realizaciones logradas en cada país desde entonces hasta hoy, puede eventualmen-

Octubre 1972 14 añosterceraPero no bastará con las recomendaciones;

todos los que tienen alguna responsabilidad en su elaboración, en tanto se sientan solidarios con lo resuelto, deben comprometerse en po­ner de sí todo lo que esté a su alcance para que esas recomendaciones se cumplan y fruc­tifiquen en el terreno de la realidad educativa de cada país.

o Octubre 1969 15 añossegunda.yoo < Octubre 1970

Octubre 197116 años17 años

primerafinal

~GCUO)Q)

00

esos alumnos; arreglo que podrá ser, en gran parte, un resumen.

3. Es demasiado pronto para apreciar la acogida acordada al nuevo programa de ter­cera. En las otras clases, durante el primer año siempre ha planteado problemas de adapta­ción, más o menos agudos, que en general han sido resueltos en el segundo año.

Es necesario subrayar que la reforma co­menzó simultáneamente en octubre de 1969Si comparamos la situación actual de la

enseñanza matemática en Latinoamérica con la imperante hasta la conferencia de Bogotá, por ejemplo, advertimos progresos, no tantos co­mo''hubiéramos deseado, pero de todos modos más de los que se hubieran logrado sin el apoyo y la guía que significaron las recomen­daciones de la 1a. y 2a. Conferencias Intera- mericanas de Educación Matemática. Espe­remos que la que inauguramos hoy contribuya en igual o mayor medida

en la clase sexta y en la segunda*. Los alum­nos que en 1969 comenzaron la enseñanza del segundo ciclo habían tenido una enseñanza no renovada en el primer ciclo. Se puede, pues descontar que la tarea será más fácil a partir de octubre de 1973 con los alumnos que en ese momento ingresen en la segunda clase. Por otra parte, en octubre de 1973 habrá oportu­nidad de arreglar los programas de segunda, teniendo en cuenta la escolaridad anterior de

* Se sabe que la clase do sexta es el primer curso de la enseñanza secundaria francesa, la quinta, el segun­do, y asi sucesivamente. (Nota de R.).a ese progreso.

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1

hablar de la cupla (a, b) como de un encuadra* miento del resultado "exacto" inaccesible, e insistir sobre el hecho de que en tal situación no es un sólo número, sino dos números, los que expresan lo que uno sabe.

Se puede decir que en el segundo procedi­miento son también dos números, (a + b) / 2 y (b-a) / 2, lo que se usa. Infortunadamente, hay una diferencia psicológica importante en­tre los dos casos, lo cual origina algunas difi­cultades.

En efecto, (a + b) / 2 es presentado a me­nudo como valor aproximado de un número no exactamente conocido, y (b-a) / 2 como mayorante del error. Esto es correcto, entién­dase bien, pero el término error posee incos- testablemente un matiz peyorativo, reforzado por el hecho de que el error no es conocido y que su manipulación no aparece como simple. También el paso está libre, muy a menudo, para calcular con los valores aproximados, y olvidar los errores (justificándose algunas ve­ces, no sin cierta ligereza, al calificarlos de despreciables).

Por eso, parece pedagógicamente más sano trabajar al comienzo con encuadramientos, y observar el comportamiento de esos encuadra­mientos cuando se efectúan sumas, diferencias, productos y cocientes.

La consideración de encuadramientos suce­sivos cada vez más finos es, además, una exce­lente motivación para el estudio de iR y sugie­re, antes que se la defina con precisión, la continuidad de las operaciones de IR. (De pa­so, señalemos que, evidentemente no es el caso de proceder a una construcción cualquie­ra de IR en el primer ciclo, ni en el segundo. Habiéndose preparado la intuición, se da una lista de propiedades y se deducen las otras; en otros términos, se presentan los axio.mas de IR cuya coherencia y utilidad las han vuelto plau­sibles.)

Esta misma ignorancia del papel de la apro­ximación vuelve a veces difícil la presentación de la noción de continuidad. Otra causa es la confusión cometida por algunos que piensan que la noción de función continua resulta de la matematización de las nociones que expresa el término continuo en el lenguaje corriente: un flujo continuo, un trazo continuo, . .., y que hallan su formulación matemática en la noción de espacio topológico conexa. La fun­ción continua no es la función que no tiene saltos, sino la función que permite una aproxi-

y el cálculo de algunas primitivas tenían el aspecto de un cálculo algebraico y, la ¡dea de aproximación estaba ausente.

La dificultad que allí encontramos aparecía mucho menos como dificultad intrínseca que como supervivencia de una tradición errónea: el comportamiento de buen número de profe­sores del primer ciclo con respecto a los cálcu­los aproximados está lleno de timidez, incluso de desconfianza. La ilusión de poder dar siem­pre resultados exactos es tenaz, y pienso tam­bién que algunos tienen la impresión que hay alguna inmoralidad en no hacerlo.

La motivación de los cálculos aproximados es doble:

a) una medida física efectiva no puede dar­se mediante un solo número; la repetición de la operación de medida da números diferentes, y el informe honesto consiste en dar un inter­valo en el conjunto D de los decimales (se trata, en efecto, de un intervalo de "confian­za", y una presentación probabilística del re­sultado sería un modelo más satisfactorio, pero al cual no se podría recurrir en el primer ciclo con el estado actual de difusión de los conocimientos probabilísticos).

b) la inexistencia de un inverso y de una raíz cuadrada para todo número decimal con­duce naturalmente a proponer pares de deci­males como sustitutos del demento inexistente.

En los dos casos, nos vemos llevados a presentar como resultado no un número sino un intervalo de extremos distintos. Se puede describir a este intervalo de dos maneras dife­rentes, sea usando la estructura de orden de ID, y escribiéndola, si a y b son los extremos del intervalo supuesto abierto, como

] a, b[ = xla<x<b sea usando la estructura métrica de iD:

]a,b[= ¡xl3-^ ¡<^A1

Los dos procedimientos son matemática­mente equivalentes y el segundo tiene el gran mérito de generalizarse para espacios métricos cualesquiera.

Parece, sin embargo, que al principio con­viene usar de preferencia el primero. Se podría

mación tan buena como se quiera de f(x) si se tiene una aproximación suficientemente buena de x. Una buena motivación para introducir dicha noción consiste en buscar una clase de funciones de un intervalo de IR en IR que puedan usarse razonablemente para expresar las leyes de la física macroscópica. La conti­nuidad no es la única respuesta posible; la continuidad uniforme, una condición de Lips- chitz, es otra; parece muy importante no abu­sar de la credulidad de los alumnos al respecto y hacerles creer que no hay más que una respuesta posible, o que la continuidad bastará para satisfacer todos los desiderata de las cien­cias experimentales. A lo sumo, puede decirse que es una exigencia mínima desde que se ha decidido representar las leyes de la física ma­croscópica por aplicaciones de IR en IR, o de una parte de IR, (ID, por ejemplo) en sí mis­ma. Es necesario recordar que, al respecto, el empleo de IR nunca será motivado por la experiencia; IR es una construcción mate­mática que posee propiedades muy gratas: cuerpo conmutativo totalmente ordenado, conexo para la topología habitual ligada al orden, y completo para la distancia usual liga­da al valor absoluto de que se la provisto.

En conclusión: el obstáculo parece residir menos en una dificultad matemática intrínseca que en una ignorancia de la noción de aproxi­mación o en un prejuicio tenaz desfavorable al respecto.

Se ha ensayado a nivel de la enseñanza primaria dar los resultados mediante un encua- dramiento: no presenta más dificultades que para los alumnos del primer ciclo secundario; incluso presenta menos a medida en que la creencia en la "exactitud" de todo cálculo ya no está anclada en los espíritus. Una enseñan­za dé las ciencias experimentales que diera a los alumnos del primer ciclo ocasión de reali­zar medidas por sí mismos y les hiciera tomar conciencia de la ¡ncertidumbre de los resulta­dos que una preparación adecuada y una eje­cución cuidadosa podrían reducir, pero no ha­cer desaparecer, se aliaría muy bien para la enseñanza preparatoria del análisis que se ha querido dar en las clases cuarta y tercera.

Parece posible en todo caso presentar desde ahora en el segundo ciclo las primeras nocio­nes de cálculo diferencial e integral sin esca­motear nada del papel fundamental que en él desempeña la noción de aproximación.

Entre los éxitos se pueden contar los si­guientes:

a) la introducción del anillo ordenado Z en los dos primeros años del primer ciclo. Los métodos de enseñanza parecen bien a punto, y la posibilidad de presentar a Z en los dos últimos años de la escuela primaria se admite con bastante generalidad.

b) la introducción de la diferencial como aplicación lineal tangente ha sido bien re­cibida. Permite hacer comprender mejor la sig­nificación de la diferenciación de lo que lo hacía la sola consideración de la derivada (es decir, del coeficiente de la aplicación lineal que es la diferencial).

c) La presentación de la integral de Rie- mann como tal (pero contentándose con mos­trar que las funciones monótonas son inte­grables por fragmentos), mediante la defini­ción previa de la integral de las funciones en escalera y la búsqueda del encuadramiento de una función que se desea integrar mediante funciones en escalera, ha sido igualmente muy bien acogida. La integral y la primitiva son presentadas como nociones distintas, no pa­sando en silencio el vínculo en el caso de las funciones continuas.

4. Las dificultades halladas se refieren, por una parte, a los cálculos aproximados en la clase cuarta, y, por otra, a la noción de conti­nuidad en la clase primera.

Ya he discutido detalladamente en otro ar­tículo1 la enseñanza de la noción *de continui­dad; no retomaré aquí más que lo esencial.

Me parece que la causa principal de las dificultades que se encuentran tanto en la en­señanza de cálculos aproximados en cuarta como en la de continuidad en primera, es la persistencia de una mentalidad que reinaba en la enseñanza tradicional, la cual ignoraba la noción de aproximación. Esta ignorancia era absoluta en la enseñanza primaria, que sólo conocía cálculos "exactos", incluso cuando la precisión dada era largamente ilusoria para la situación "concreta" que estaban tratando de aprovechar. Ella habría debido ser menos fuer­te en la enseñanza secundaria, pero resulta claro que la práctica de esta enseñanza se hacía también con cálculos "exactos", que las nociones que no podían, razonablemente, ba­sarse más que sobre la ¡dea de aproximación, tales como continuidad, límite, *:ran más o mer.os escamoteadas, que el cálculo diferencial

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1. La noción de continuidad en la enseñanza secun- daria''. Educational Studies ¡n Mathematics 4. (1972). D. Reidel Publishing Company, Dor- drecht. Holanda

1819

Supongamos ser optimistas y que presen­ciamos la puesta en marcha de un curriculum eficaz de escuela primaria, estructurado co­rrectamente desde el punto de vista matemá­tico. "Eficaz0 significa que se toman en cuen­ta las propiedades subordinadas y superorde- nadas en las estructruras matemáticas conceptuales; que los componentes están cons­truidos antes de incorporarlos a estructuras mayores. Un curriculum de escuela primaria en el futuro, incluirá probablemente los si­guientes tópicos: introducción de la idea de conjunto, operaciones entre conjuntos, ¡deas de conjunto vacío y de conjunto universal, relaciones entre los elementos y relaciones en­tre los conjuntos, tales como relaciones de equivalencia, relaciones de orden, relaciones de diferencia y quizás otros tipos de relaciones. Mediante el estudio de los conjuntos, y de las relaciones es posible crear la idea de número natural, combinando relaciones de equivalencia y de orden. Las relaciones de equivalencia se aplican a conjuntos y las clases de equivalen­cias construidas por medio de una tal relación de equivalencia generan las familias de con­juntos cuyas propiedades se conocen como números naturales, 1, 2, 3, 4, etc. Continuan­do: estas familias se ordenan por la relación "más que", la cual, por supuesto, debe haber sido estudiada previamente. Para fijar la cues­tión, se introduce la ¡dea de operador o fun­ción como caso particular de una relación. En un conjunto particular podemos tener un ob­jeto más que en otro conjunto, pero hay mu­chos conjuntos en los cuales hay uno más que en cualquier conjunto particular. Sin embargo, hay solamente una familia de conjuntos que tiene la propiedad de uno más en relación a cualquier familia de conjuntos dada. Esta uni­cidad nos permite pasar de relaciones a fun­ciones.

Podemos continuar considerando los es­tados y los operadores. Un número expresa el estado de cosas representado, por ejemplo, por la presencia de un conjunto a la familia. La alteración de la pertenencia a ¡a familia, to­mando otro conjunto, o aumentando o dis­minuyendo los elementos de nuestro conjunto original, son las opefaciones que nos conducen de ciertos estados matemáticos a otros estados matemáticos. Sólo más tarde los operadores mismos se unen y se construyen otros a partir de ellos. Un niño puede saber que uno más

uno da dos, pero podría no saber qüe uno más que algo y luego otra vez uno más que esto, le daría dos más que aquéllo con lo cual comenzó. En otras palabras, agregando uno al estado uno y obteniendo el estado dos, no es lo mismo que ver que el operador "tome uno más" seguido de otro operador "tome uno más", es equivalente al operador "tome dos más". Aquí necesitamos otra vez una relación de equivalencia, y el universo sobre el cual se opera debe ser cuidadosamente definido. Este universo consiste, por supuesto, de cadenas de operadores.

No podemos entrar aquí en mayores deta­lles referentes a la estructura de posibles pro­gramas, pero debería quedar en claro que aparte los caminos aritméticos, tendremos que introducir un camino algebraico, un camino geométrico, posiblemente un camino lógico y, quizás, un camino probabilístico y estadístico a lo largo de los cuales los niños necesitarán avanzar a medida que progresen hacia el se­gundo nivel de educación.

LA ENSEÑANZA PRIMARIA

Formación matemático-pedagógicamaestros*

Zoltan P. DI ENES (Canadá)

comprensión y mayor facilidad para la aplica­ción de los conceptos matemáticos contem­poráneamente necesarios. Esta urgencia de tener las cosas hechas ha impedido que la mayor parte de la investigación se concentrara en las cuestiones fundamentales que provoca la construcción de un curriculum. También ha desalentado el trabajo en la escuela primaria.

Ahora se vuelve cada vez más evidente que es necesaria una investigación más completa de los problemas referentes a la construcción de un curriculum y que es necesario comenzar bien desde el principio, vale decir, el primer día que el niño va a la’escuela. Esto significa que un curriculum debe construirse de manera que:

Prácticamente, todo el mundo parece estar comprometido con alguna forma de revisión de los curricula matemáticos, así como tam­bién de los métodos de enseñanza de la ma­temática. No es el objetivo de este artículo saber por qué esto es así o si se trata de algo bueno o malo. Se supone que es históricamen­te un proceso inevitable y las’ observaciones hechas en este artículo están dirigidas a escla­recer algunas de las dificultades encontradas al tratar de preparar maestros para enseñar di­ferentes tipos de matemática y enseñar la ma­temática de otra manera.

Parece que hay dos problemas separados:1. La cuestión del contenido que se debe

enseñar, desconocida por algunos maes­tros, y

2. La necesidad de métodos para enseñar este nuevo contenido, o acaso el viejo contenido, de los cuales muchos maes­tros tampoco tienen noticias.

Los problemas del aprendizaje de la matemática

Cuando los niños pasan de la consideración de estados y operadores a la consideración de equivalencias de series o cadenas de operado­res, están pasando psicológicamente del nivel pre-operacional al nivel operacional del pen­samiento en ese campo particular de la expe­riencia. En el caso descrito, se trata de la operación aritmética de suma. En todas las otras áreas del aprendizaje, por ejemplo, en la geometría se tendrá que planear cuidadosa­mente el mismo pasaje. Ahora, el niño en la escuela primaria está en lo que se llama el nivel operacional concreto. En otras palabras, sólo puede operar en relación a las realidades concretas del mundo. No puede aún razonar hipotéticamente. Esto significa que su apren­dizaje debería relacionarse mucho más con el mundo concreto de hechos y objetos y mucho menos con explicaciones como las que con­vencionalmente se dan en matemática y otras materias.

Esto nos conduce a una importante faceta de la formación de maestros. En general un maestro enseñará como le enseñaron a él. Re­cuerda como le enseñaron y, sin pensarlo, con­tinuará de la misma manera. Si le enseñaron en la escuela, y aun en un nivel superior.

1. Sea matemáticamente eficaz;2. Su continuidad pueda corresponder

aproximadamente a realidades en cuanto se refiere al desarrollo del niño;

3. Pueda ser aprendido y manejado por maestros no especializados en matemá­tica.¿Qué matemática hay que enseñar?

Evidentemente, la matemática importante de hoy difiere de la matemática-que era im­portante cien años atrás. A pesar de esto, hasta hace muy poco sólo habían ocurrido pequeños cambios en los curricula matemáti­cos. No debe sorprender, pues, que algunas innovaciones radicales se estén experimentan­do en diferentes partes del mundo. Algunas de estas innovaciones fueron establecidas por ma­temáticos universitarios; otras, por profesores secundarios, y aun otras por editores de libros de textos. En casi todos los casos el objetivo ha sido de corto alcance. El simple hecho de que la educación secundaria siempre haya sido distinguida como el objetivo primordial, mues­tra que se esperaron rápidos resultados, para producir graduados universitarios con mayor

Esto es arduo. Muchos de los tópicos ma­temáticos que ahora se sugieren, particular­mente en documentos tales como el Cambrid­ge Repon, se consideran extremadamente difíciles para que los adultos los interpreten. Pero creamos que son más bien fáciles para que los niños los interpreten si se los presenta adecuadamente. Esto significa que es difícil separar los aspectos curriculares y metodoló­gicos en el problema de construir el nuevo curriculum matemático.

En nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA agradezco al Profesor Zoltan Dienes su autoriza­ción de traducción y publicación. La versión cas­tellana es de Víctor A. Nethol y la revisión me corresponde (Alfredo R. Palacios).

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El problema de formar maestros

necesita entonces que se la describa tan su­cintamente como sea posible. Asi pace el sis­tema de símbolos. Los niños y, por tanto, los maestros deberían tener una formación que les permita desarrollar sistemas de símbolos que describan las abstracciones que ellos mismos han alcanzado. Una vez creado el sistema de símbolos tendrán que aprender a usarlo. Usar­lo significa, inventar algunas reglas que les permitirán pasar de ciertas descripciones de las representaciones a otras propiedades de las mismas que no estén incluidas en la descrip­ción. A la invención de tales reglas y al pro­cedimiento para llegar desde un conjunto inicial de descripciones a otra descripción aun no incluida, se lo conoce como una prueba. La descripción final a la cual arribamos se conoce como teorema. La descripción inicial junto con el conjunto de reglas para llegar a otras descripciones, se conoce como sistema formal. La mayor parte de la matemática con­siste en tales sistemas formales y así puede ser formalizada. En general, se concuerda que es­tar capacitado para manipular un sistema for­mal es uno de los tests para saber si una persona conoce en realidad algo de mate­mática.

El test final consiste en ¿aber si esta es­tructura particular puede aplicarse a situacio­nes reales. En otras palabras, todo el proceso de abstracción, habiendo recorrido su curso, puede revertirse a la realidad. Esto se conoce como aplicación o como solución de proble­mas. Es necesario que, en cualquier tipo de situación problemática, quien resuelve el pro­blema pueda ver inmediatamente qué clase de estructura es importante para la situación par­ticular. Si la matemática se ha aprendido de manera asociativa mediante la simple memori­zación de conjuntos de reglas acerca de cómo manejar ciertas situaciones específicas, se co­meterán entonces errores en situaciones no familiares. Si, por lo contrario, la estructura de cada concepto matemático ha sido correc­tamente abstraída y se observaron todas las etapas del proceso de abstracción entonces se facilita la aplicación y no se necesitará enseñar problemas porque los problemas serán so­lucionados simplemente cuando el educando se da cuenta de cuál de los juguetes con los que ha estado jugando, es apropiado o no, para la situación problemática que se consi­dera.

relaciones vinculadas de extrema com­plejidad, algunas veces. Por tanto, nece­sitamos aprender o inventar alguna ma­nera de poner estas relaciones en forma de código. Por otro lado, necesitaremos aprender a decodificar los mensajes co­dificados de otro, en los cuales pueden ser develadas plgunas de las relaciones que él ha descubierto.

4) Decimos además que debe haber escri­tura matemática y sesiones de lectura. Los maestros deben aprender a escribir matemática y leerla. Así como sabemos que los niños (y consecuentemente los maestros en formación) deben ser alen­tados a la escritura creativa, en la ma­temática deberían ser alentados a cons­truir simbolizaciones matemáticas crea­tivas.

Tenemos, pues, más posibilidad de ser crea­tivos en matemática porque en ella cualquier símbolo puede representar cualquier cosa que se quiera, mientras que en el lenguaje conven­cional hemos heredado de nuestros antecesores gran número de símbolos mediante nuestra lengua nativa. De modo que si podemos cons­truir escritura creativa en nuestra lengua, más aun lo podemos hacer en matemática. Esto ocurre muy raramente.

La persona que ha aprendido a codificar y decodificar, no tendrá dificultad en solucionar problemas porque si está familiarizado con la estructura matemática que corresponde a su problema, simplemente usará un sistema en código que se ajuste a esa estructura. Cuando haya aprendido las propiedades de ese sistema, por ejemplo, el simbolismo algebraico, podrá manipularlo de acuerdo con las reglas que ha aprendido afortunadamente por su propia ex­periencia, y no por rutina. Cuando alcance cierto punto deseado puede decodificar hacia atrás mediante oraciones en que emplee su lengua nativa, alcanzando así una solución del problema. Parece que son necesarios los si­guientes ingredientes para resolver problemas:

1) El conocimiento de gran número de es­tructuras matemáticas.

2) La habilidad para reconocer una estruc­tura matemática opuesta a otra (el in­cipiente matemático debería poder dis­tinguir una estructura de otra, de la misma manera que nosotros podemos distinguir un cuadrado de un triángulo).

mediante clases magistrales, tenderá a darle clases magistrales a los niños. En otras pala­bras, tenderá a explicar más bien que a crear las situaciones a través de las cuales podemos hacer que los niños comprendan. Si deseamos que los maestros puedan establecer problemas con situaciones concretas que los niños pue­dan manipular, entonces ellos deberán también aprender a establecer esas situaciones con­cretas para ellos mismos y a manipularlas. De­ben sentir en su propia intimidad qué significa comenzar con una noción rudimentaria y aprender algo. El aprendizaje de una abstrac­ción matemática es un proceso largo, pasa a través de muchos niveles y todos estos niveles deben ser cuidadosamente delineados y ca­racterizados para concretar el aprendizaje matemático del niño y, consecuentemente, (e igualmente) el aprendizaje matemático* del maestro.

Podemos ahora reunir los hilos que debe­rían entretejerse en un programa para la for­mación de maestros cuyo propósito sea la comprensión de la matemática a través de la generación de ciclos de abstracción tales como los descritos en lo que sigue. Estos hilos son los siguientes:

1) Deben organizarse muchas situaciones concretas, en las cuales cada maestro se comprometa a la manipulación física de situaciones que son matemáticamente importantes. Muchas de estas situaciones deberían tener estructuras similares y se debería alentar a los maestros para que vean las características comunes en las que realmente tienen características comunes matemáticamente interesantes.

2) Debería haber ejercicios para expresar estructuras matemáticas en forma de imágenes visuales. Esto puede tomar la forma de imágenes visuales, lo que pue­de tomar la forma de construcción de gráficos, construcción de modelos y aun la construcción de cuentos matemáticos que tengan la misma estructura de la matemática que se ha aprendido.

3) Dado que la representación en forma visual no es la manera más efectiva de comunicación, tenemos que pasar de lo visual a la manera simbólica de manejar la matemática, lo mismo que el niño pasa del dibujo de figuras a la escritura en su intento de comunicarse. Los maes­tros deberían, pues, tener sesiones para inventar sistemas de símbolos, por un lado, e interpretar sistemas de símbolos, por el otro. En otras palabras, deben aprender a codificar y también a deco­dificar,

El lenguaje matemático es un código tal como lo es el lenguaje ordinario. Cuando decimos una palabra, la palabra no es idéntica a lo que denota. Cuando decimos "perro", o cuando escribimos "perro", en ningún caso se trata de un perro. Debemos decodificar o codificar si deseamos comunicarnos. Ahora bien, en la matemática se presenta una difi­cultad por el hecho de que lo que de­seamos comunicar es una estructura de

Ahora bien, ¿qué queremos significar por niveles? Abstracción significa extraer la base común de situaciones aparentemente diferen­tes, por un lado, y rechazar las propiedades que son peculiares a situaciones individuales, por el otro. De esta manera obtenemos la noción del tipo de cosa que está pasando más bien que lo qué está pasando. En otras pa­labras, abstracción es clasificación. Ubicamos ciertos hechos en clases y excluimos ciertos hechos de una clase porque no poseen la pro­piedad que se requiere para que pertenezcan a esa clase. Los maestros también deben pasar por este proceso de abstracción. Deben mani­pular muchas situaciones concretas y llegar a las correspondientes abstracciones.

Habiendo llega a una abstracción, —esto es, al momento en que notamos exactamente qué tiene que ver una situación con otra situación similar equivalente— es bueno inventar o aprender una representación del núcleo común de todos los hechos que se han clasificados juntos. Tales representaciones podrían ser en su mayor parte visuales, esto es, represen­taciones gráficas. Se recomienda el uso de grá­ficos, de máquinas de papel tales como las representaciones usadas en el proyecto mate­mático de Illinois, de retículos, mallas, etc., como una manera de fijar en forma visual las abstracciones de la matemática. Esto no es, sin embargo, el final del cuento. La abstracción

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puede, efectivamente,-delegarse en la mayor parte de los niños, si no en todos. La técnica de organizar a los niños en grupos y hacerlos trabajar en problemas matemáticos es una téc­nica como cualquier otra, que sólo puede aprenderse aplicándola. Difícilmente se pueda concebir que la gente aprenda a patinar o a nadar por un libro de texto. De la misma manera, la organización de grupos de niños, sólo puede aprenderse organizando grupos.de niños. Si el material es motivador y los pro­blemas interesantes, entonces el maestro no tendrá normalmente mayor dificultad. Lo que debe evitarse es . el uso indebido de la auto­ridad. Algunas veces al maestro le resulta di­fícil ceder su autoridad personal en favor de la autoridad de la verdad. ,Cuando los niños estén en grupo, comprometidos en la solución de un problema, discutirán. Algunas veces hasta lle­gan a los golpes, pero si el problema es tal, se debe establecer que la verdad es descubrible; entonces la verdad triunfará.

3) El conocimiento de algunos sistemas de codificación satisfactorios.

4) Conocimiento acerca de cómo codificar.5) Conocimiento acerca de cómo decodi­

ficar.Los ejercicios en todas estas áreas deberían

ser necesarios antes de que nuestro incipiente maestro de matemática pueda manejar con­ceptos matemáticos tan fácilmente como pue­de manejar conceptos comunes de la vida real, representados por los cuentos que puede estar leyendo o escribiendo en su lengua nativa.

Hasta aquí nos hemos concentrado ente­ramente en la matemática. No hemos dicho nada acerca del aspecto pedagógico, es decir, de la metodología tal como se la aplica en la situación social del aula. Hemos dicho que deberíamos proveer un ámbito matemático que consista en gran cantidad de materiales y de problemas correspondientes para que los maestros, y más tarde los niños, puedan nu­trirse de las propiedades de este ámbito po­niéndose en contacto con .él tan frecuentemen­te como sea posible. Los niños tendrán con­tacto no sólo con el ámbito especialmente preparado para ellos sino que también se co­municarán entre sí y ¡ojalá! con el maestro. Por tanto, las interacciones sociales entre los individuos que están aprendiendo es también una consideración fundamental. •

Se ha hallado, en muchos proyectos des­arrollados conjuntamente con el Grupo de Es­tudio Internacional para el Aprendizaje de la Matemática, que las explicaciones del maestro pueden ser reemplazadas muy efectivamente por situaciones de aprendizaje brindadas a los niños en pequeños grupos. El número de alumnos, la composición y la naturaleza del grupo, es tema de debate. Pero, en general, los niños pequeños trabajan alegremente en gru­pos de alrededor de seis. Esto decrece gra­dualmente hasta encontrar niños de doce o trece años que prefieren trabajar de a pares y algunas veces solos.' No es fácil organizar una clase de treinta o cuarenta niños en pequeños grupos, todos autodirigidos y todos cons­truyendo cosas posiblemente diferentes. En verdad, «muchos maestros consideran que es imposible. Muchos maestros creen que deben tener a los niños sentados en derredor y no pueden resistir el no saber qué es lo que cada uno de ellos está haciendo en determinado momento. La responsabilidad del aprendizaje

Métodos de enseñanza

de la matemática en las

escuelas primarias inglesas*Elizabeth WILLIAMS

(Inglaterra)

(Bahía Blanca, 1972)

1 Me alegró mucho ver el plural en el título dado a mi alocución pues, ciertamente, no hay método único que cuente con la aprobación oficial en el Reino Unido. Nuestros métodos son tan variados como el contenido de nues-

cuyo personal ha actualizado su curriculum. Pero veamos primero los orígenes del movi­miento que cambió fundamentalmente la edu­cación matemática en las escuelas primarias inglesas.

Antes de la última guerra mundial había profunda insatisfacción entre los maestros, los que consideraban que la mayor parte del cu­rriculum • (por ejemplo, arte, literatura, educa­ción física, estudios naturales) se estaba vol­viendo mucho más libre e individual, más re­lacionada con el mundo circundante en tanto que la matemática era todavía formal, a me­nudo limitada a destrezas numéricas y a una pequeña colección de tópicos aritméticos. Los maestros estaban descontentos por la pobre contribución que un curso semejante podía hacer para el desarrollo personal de un niño o para su comprensión de su ambiente social o físico. En distintos países, el movimiento para mejorar la educación matemática comenzó de diferentes maneras, por propuestas de las uni­versidades o por la aparición de nuevos es­quemas de las autoridades educativas. Pero en Inglaterra, el ímpetu provino casi enteramente de los maestros y formadores de maestros, tal como se lo puede ver en los informes de 1945 y 1955 sobre la enseñanza de la asignatura en las escuelas primarias. Ambos grupos clamaron fuertemente porque se diera a los niños expe­riencias prácticas mediante las cuales pudiera desarrollarse la comprensión de la matemática. Este ímpetu se basó, pues, en amplios prin-

tros cursos matemáticos primarios y se ex­tienden desde la instrucción directa en el aula seguida por ejercicios prácticos, hasta acti­vidades de los niños elegidas por ellos y ente­ramente individuales, que pueden no tener ningún objetivo prescrito.

Las escuelas inglesas gozan de libertad para construir sus propios programas y elegir sus métodos de enseñanza. Pero, como puede es­perarse, siempre hubo en cualquier época bas­tante acuerdo acerca de lo que es aceptable. Este consenso surge de discusiones entre gru­pos de maestros, sugestiones ofrecidas por consejeros de la autoridad educativa local o los inspectores del ministerio de educación, por los departamentos o institutos de educa­ción y, en el caso de la matemática, por los informes de la Asociación Matemática y de la Asociación de Profesores de Matemática. En los últimos ocho años, o algo así, los maestros de escuela primaria tuvieron la ayuda del pro­grama experimental y de las guías para maes­tros del Proyecto Nuffield para la Enseñanza de la Matemática. También tuvimos gran nú-

de cursos variados de matemática para

Este tipo de formación es muy deseable, particularmente si observamos la tendencia moderna de los gobiernos autoritarios que nos imponen lo que tenemos que hacer, en vez de permitirnos llegar a la verdad mediante una discusión entre nosotros. Se debería recordar que la mayoría de los maestros trabaja porque les gusta enseñar a los niños, es decir, sienten que el contacto humano con el aula es el tipo de servicio que anhelan impartir. Sería una lástima no aprovechar esta tendencia. Por tan­to, deberíamos brindarles muchas demostra­ciones prácticas en esta situación de formar maestros. Otra razón, consiste en convencer a los maestros de que algunos temas difíciles, o presumiblemente difíciles, pueden ser fácil­mente aprendidos por los niños. Muchos maes­tros objetarán algunos temas y ciertos proce­dimientos sobre la base de que son demasiado difíciles para los niños. Este muy a menudo es traducible en el pensamiento real del maestro: "esto es demasiado difícil para mí". Si el maestro viera la realidad de la situación de lamanera como lo hacen los niños que están aprendiendo estos tópicos supuestamente di­fíciles, ya no le sería posible formular tal excusa. Al mismo tiempo, el evidente placer de los niños al adaptarse a una presumible dificultad, actuará como factor motivador adicional que alentará a los maestros a apren­der la matemática apropiada.

meromaestros en los que se discutieron los nuevos métodos de enseñanza y las ideas matemáticas

conocidas. Así subsistió el acuerdo

r*

poco—aunque no para siempre.

Trataré de pintaros lo que parece ser en estos momentos un tipo de programa gene­ralmente aceptable para una escuela primaria

* La versión castellana pertece a la profesora Cris­tina Verdaguer de Banfi.

(Sigue en pág. 46)

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ma, figura o dibujo) vistos en la organización de un conjunto, o en el arreglo de objetos, o en la colocación en algún tipo de orden, o en una sucesión de hechos (incluyendo operacio­nes matemáticas, un tono en música, los enun­ciados de proposiciones). Entendemos a las relaciones como características de los conjun­tos y sucesiones. De ese modo, el reconoci­miento de relaciones entre cosas o personas, por ejemplo, "es de la misma forma que", "es el doble de", "vive en la misma calle que", se ha convertido en el objetivo de muchos niños tan pronto comenzaron a trabajar práctica­mente. Las relaciones de equivalencia y de orden, vistas en muchas experiencias diferen­tes, llevan a la idea de los números contables y del cero, y también a la comprensión me­diante dichas experiencias de muchas propie­dades físicas y espaciales que exhiben tales relaciones, por ejemplo, capacidad, masa, pa­ralelismo, inclusión.

En el Congreso Internacional sobre Educa­ción Matemática realizado en la Universidad de Exeter, Inglaterra, en agosto de 1972, a uno de los 38 grupos de trabajo se le asignó como tema de estudio "Estructura y Actividad", el cual introduciría una nueva ¡dea matemática para los niños de la escuela primaria. ¿Estruc­tura o actividad? Fue uno de los temas más polémicos presentados al Congreso. El Grupo de Trabajo consideró como muestras a dos esquemas contrapuestos y analizó sus diferen­cias. El primero, de una escuela experimental de matemática de Francheville, cerca de Lyon, Francia; el otro tomado del folleto: "El im­pacto de la matemática moderna en las es­cuelas primarias" editado por el Consejo del Condado de Essex, Inglaterra, recopilado por un grupo de maestros. La estructura del es­quema de Francheville fue presentada primero y luego siguieron las aplicaciones. En el plan de Essex, experiencias prácticas iniciales dujeron a las estructuras y generalizaciones. Se notaron diferencias en dos puntos esenciales: Essex asignaba más importancia a las medidas que Francheville y hacía más uso de alguna manera de registrar los resultados descubiertos en los experimentos de los niños. Las situa­ciones abiertas de descubrimiento incluidas en los lineamientos y actividades del proyecto Essex fueron pensadas con el fin de preparar a los niños para la genuina resolución de pro­blemas en circunstancias no familiares y para

cipios educativos más bien que en un cambio del contenido matemático.

Este principio del aprendizaje a través de la experiencia está en la tradición de una larga serie de pensadores progresistas en educación y de las oportunidades que ésta puede ofrecer a los niños. Por ejemplo, en el siglo XVIII, COMENIUS enseñó que el conocimiento debía ser un todo integrado, un cuerpo universal de aprendizaje abierto a toda la humanidad. Sin embargo, creía que podía surgir de los objetos más simples de la experiencia, una flor, o el tiempo, o una taza. PESTALOZZI se preo­cupaba porque incluso el niño más pobre, en las circunstancias más humildes, fuera con­ducido mediante tareas adecuadas para una mayor comprensión. A su debido momento, la meditación posterior sobre estas líneas de des­arrollo de la comprensión mediante actividades naturales de los niños y la provisión de mate­riales estimulantes (que todavía, infortuna­damente, muy a menudo faltan en nuestras escuelas), llegó por obra de ROUSSEAU, FROEBEL y MONTESSORI, y así hasta PIA- GET quien, en nuestro tiempo, nos advirtió que las respuestas verbales o las técnicas im­puestas (sean tradicionales o modernas) no son criterios válidos de verdadera comprensión.

Este flujo internacional de pensamiento in­fluyó sobre algunas personas de Gran Bretaña que estaban preocupadas por las oportunidades espantosamente restringidas que tenían los ni­ños de los barrios pobres de nuestras grandes ciudades. Es interesante observar que la pri­mera acción hacia el cambio llegara a los niños más pequeños de tan pobre condición y que muchas de las actividades y materiales ideados para ellos fueran de tipo matemático.

Dos pensamientos de Piaget influyeron so­bre los maestros ingleses: primero, que lógica activa precede a una lógica reflexiva, y segundo; que el pensamiento o acción "inter­nalizada" usa imágenes mentales. Gra­dualmente, extendieron a niños más grandes la puvisión de bases prácticas para desarrollar ideis matemáticas. Lograron sorprendente éxi­to en el marco de los años de la escuela primaria -5 a 11 años— y están ahora ponien­do a prueba planes para niños de 11 a 13 años de edad.

Para tratar de identificar qué entendemos por ideas matemáticas, hemos subrayado en Inglaterra el reconocimiento de modelos (for­

nido recientemente considerable importancia con respecto a la enseñanza de la matemática primaria en Inglaterra: el cambio del sistema

Tnonetario inglés —libra esterlina, chelín, pe­nique (12 peniques por chelín y 20 chelines por libra)— por un sistema decimal de 100 peniques por libra; segundo, la decisión de adoptar unidades métricas de medida, que de­be estar completamente organizado para 1975, y que ya está empleándose en las escuelas primarias y, en tercer término, el amplio uso de computadoras y calcuadoras mecánicas. En países habituados a los sistemas decimales de monedas y medidas, difícilmente pueda ima­ginarse el efecto de tales cambios. En Gran Bretaña nos han obligado a pensar de nuevo sobre las cuestiones de medición que tan im­portante papel han desempeñado en la ense­ñanza de nuestra matemática primaria. So­lemos pensar que la necesidad de usar los multiplicadores 3, 12, 16, 28, etc. haría que nuestros niños fueran particularmente aptos para la computación. Eso puede haber sido cierto para algunos de ellos. Pero ahora en­contramos que Jas experiencias prácticas con monedas vinculadas decimalmente y las me­diciones métricas tienen profundo efecto sobre la comprensión y el uso competente, por lo menos, de la notación numérica decimal. La importancia fundamental de la relación de 1 a 10 (o de 10 a 1) en la escala decimal puede ¡lustrarse con muchos ejemplos: costo, masa, longitud, capacidad, densidad, etc. El reem­plazo de las fracciones comunes por una no­tación decimal (vista hoy día en los precios de los escaparates), ha permitido un precoz uso de los decimales y una más estrecha ligazón entre las operaciones numéricas y el uso prác­tico de las mediciones. Se ha vuelto posible una considerable reducción de la práctica en el cálculo junto a una revisión de las experiencias necesarias para el aprendizaje de múltiplos, fracciones comunes y razones.

La aparición de la computadora aceleró la reducción del tiempo empleado para la prác­tica mecánica de cálculos, ahora raramente usados, y fomentó el estudio de las propie­dades de las operaciones numéricas y la cons­trucción de programas para cálculos com­plejos. El uso de diagramas de flujo en esos programas surge del registro precoz (acaso a los 6 ó 7 años de edad) de simples series de acciones como la de prepararse para ir a la

aumentar la potencia creativa e imaginativa del niño. La importancia asignada por Essex al registro, aún cuando todavía provoca polé­micas en Inglaterra, estaba de acuerdo con las observaciones de los Grupos de Trabajo del Congreso en que la experimentación de los niños se continuaría con una revisión organi­zada de sus hallazgos. En muchas escuelas pri­marias inglesas, el registro mediante modelos o por el dibujo de diagramas y gráficos precede a menudo a cualquier intento de informar con palabras o símbolos y da oportunidad para la discusión y esclarecimiento que pueden con­ducir a fijar la idea en la mente.

El interés de una representación tal fue claramente mostrado por Keith, niño de 7 años, de una clase en la que los niños tenían que compilar y hacer un gráfico de los cam­bios diarios en algún objeto especial de su elección. Keith enfermó y no podía concurrir a la escuela. Desilusionado porque no podía tomar parte en el informe redactado por su grupo, tuvo la súbita inspiración de que podía contar cada día el número de puntos que su infección hiciera aparecer en su cara. Los pun­tos eran demasiados como para asignarle un cuadradito a cada uno en su página de papel cuadriculado. Entonces, realmente inventó asignando dos puntos a cada cuadrado. No conocía la tabla de dos, pero pacientemente obtuvo el número de cuadrados requeridos para representar los 53 puntos incluyendo la mitad del cuadrado necesario para el número

!

/4

impar.En las escuelas inglesas se sigue gene­

ralmente un principio importante: para cons­truir un concepto, operación o relación par­ticular que esté permanentemente en la mente para recordarlo y usarlo, se requiere una va­riedad de experiencias. Por ejemplo, los nú­meros orientados, las propiedades de los poli-

regulares, la noción de transitividad, deben ser vistas cada una en un grupo variado de circunstancias. Así, al bosquejar un pro­grama para presentar una de esas ideas se debe ordenar una variedad de actividades por gru­pos de niños, para llevar a cabo independiente- temente, a su debido momento, las subsiguien­tes discusiones que les aclararán la propiedad común del procedimiento y poder incluso des­cubrir que una nueva cuestión requiere res­

una

con- gonosy

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puesta.Tres cambios sociales significativos han te-

2627

más y uno más. Ha usado la semejanza de formas, la relación de orden y la base para contar. Para mostrar la relación numérica, pue­de aparear varillas graduadas en centímetros a los elementos de un conjunto y comprender así el modelo formado por las varillas. Te­niendo a mano papel cuadriculado en centí­metros, puede dibujar el modelo de la super­ficie y escribir enunciados numéricos frente a los esquemas como una clave para los dibujos. Tales actividades son desarrolladas por grupos pequeños de niños de 6 a 7 años cuando aprenden las operaciones de sumar (y sustraer) y de multiplicar (y dividir) mediante esos pro­cedimientos de manipulación de objetos reales de la vida diaria, dibujando el esquema en papel cuadriculado y escribiendo, finalmente, el enunciado numérico.

Usando tan ampliamente los materiales para guiar a los niños en las operaciones numéricas y con la perspectiva de ayudas mecánicas y electrónicas para el cálculo en años posterio­res, la gente puede preguntar (y en verdad ya me lo han preguntado en la República Argen­tina): "¿Se espera todavía que los niños aprendan sus tablas de multiplicar? ". Si esto significa recitar las tablas mecánicamente, pienso que debo responder que hemos hallado que las bases del aprendizaje práctico moderno dan mejores resultados si incluyen experiencias y representaciones de muchos productos, tales como 3X4. Aparecerá en lista de precios a 3 peniques y 4 peniques por artículo; al darle 4 galletitas a cada una de 3 muñecas o 3 galleti- tas a cada una de 4 muñecas; en el diagrama típico de un producto, el rectángulo de lados de 3 y 4 unidades, respectivamente; al formar 3 cuadrados de 4 varillas o 4 triángulos de 3 varillas, y en muchas otras situaciones. Tam­bién tendrá un lugar en los gráficos de barra de tres y de cuatros y de 3 veces y 4 veces. Los pares ordenados (1,4), (2,4), (3,4),..., pueden mostrarse sobre papel cuadriculado. Una forma puede ampliarse de lado de 4 unidades pueda hacerse 3 veces más largo. Los niños encontrarán muchas otras ñeras de lograr múltiplos memorables.

Hablé de modelos espaciales como si se tratara de formas estáticas, pero una caracte­rística importante de nuestra enseñanza temporánea de la matemática primaria es el empleo que hacemos de los movimientos para descubrir relaciones matemáticas. Esto sólo se

escuela. La notación del diagrama de flujo para series de acciones, usando diferentes for­mas para las acciones y para las elecciones (o formación de decisiones), se comprende fá­cilmente. Se continuó con el reemplazo de la selección manual por el uso de tarjetas perfo­radas. Algunas de nuestras escuelas primarias, particularmente en Essex, tienen acceso a cal­culadoras de escritorio, de modo que grupos pequeños de niños pueden desarrollar sus pro­pios programas. El rápido aumento de la com­prensión de las operaciones y la habilidad para programar económicamente, resultan a me­nudo sorprendentes. Con un desarrollo se­mejante de los procedimientos y tecnologías modernos, el estudio de las operaciones nu­méricas por grupos pequeños de niños produce un "código práctico" en el cual tienen evi­dente utilidad la conmutatividad, la ley dis­tributiva de la adición y la multiplicación y no se las deja abandonadas como propiedades abs­tractas de las operaciones con símbolos en el papel.

puede hacer cuando los niños se pueden mo­ver construyendo modelos por sí mismos con sus propios cuerpos o juguetes y tienen liber­tad para hallar formas y ritmos en movi­miento. Una clase primaria inglesa está, pues, ordenada de modo tal que diferentes grupos de niños puedan tener su propia base para sus actividades o puedan ir a un lugar adecuado para hacer su experimento particular. Pueden seleccionar del depósito el material que nece­siten e ir a hacer observaciones en el momento oportuno, dentro o fuera de la clase. Debe serles posible exponer algunas anotaciones so­bre el crecimiento de una planta o el movi­miento de una sombra a intervalos regulares y usar tales anotaciones para predecir futuros movimientos o crecimientos. Vemos entonces que los niños descubren que, a veces, las mis­mas formas numéricas aparecen en diseños es­paciales y en las trayectorias de objetos mó­viles.

unidad y ver qué parece correcto decir, cuan­do dibujan el cuadrado, que 1/2 X 1/2 =1/4 porque hay 4 de tales cuadradlos en un cua­drado unitario. De_modo que su conocimiento de los números se ha ampliado. Además, se puede agrandar gradualmente al cuadrado y la continuidad aparece.

Pero esta misma Ccurva de cuadrados apare­ce de nuevo en dos lugares desperados como lo veremos si seguimos a los niños en sus descubrimientos. Si se dibujan desde un punto dos rectas numéricas graduadas con la misma unidad y se trazan rectas desde un punto de una de las dos primeras a un punto de la otra de modo que la suma de los números repre­sentados por el par de puntos sea siempre la misma, aparece una curva como envuelta por las rectas trazadas. Los niños gozan cuando construyen modelos de esta manera. Pero tam­bién pueden descubrir algo más sobre la curva. Si se la recorta y luego se la pliega por su eje de simetría, que luego se ubica sobre un eje del papel cuadriculado, los niños pueden elegir

escala para mostrar que los puntos de coordenadas (1,1), (2,4), (3,9)........ están so­bre la curva. Aún más apasionante para los niños es el resultado de arrojar una bolita pesada cubierta de polvo de tiza por un plano inclinado (una tabla inclinada). Queda una tra­za sobre una hoja de papel, y esta curva puede ser tratada de la misma manera para mostrar que es "la curva de los cuadrados". Subsi­guientes investigaciones de los niños mostrarán que la curva se presenta en diversas circunstan­cias y la ¡dea de función comienza a desarro­llarse. Otras curvas, tales como las formadas por rectángulos superpuestos de la misma área o las sombras de una varilla en undía de sol, mostrarán una tendencia de aparición similar y revelarán tanto modelos numéricos como espa-

I

f

Expongamos uno de esos desarrollos. Nues­tros niños construyen algunos arreglos nu­méricos en forma de matriz (o rectangulares), por ejemplo, el cuadrado de 100 o un cua­drado similar para la base 5, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la multiplicación. En sí misma, una ordenación semejante engloba el modelo espacial de una red cuadrada, pero cuando estudiamos las líneas de números de las filas, columnas y diagonales, descubrimos diversas relaciones numéricas. En el cuadrado de la multiplicación, los niños hallan que' la diagonal que va desde arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha contiene los produc­tos 1 X 1,2 X 2,3 X 3 ,. .. Nuestros niños sa­ben que un producto puede representarse mediante filas de cuadrados para formar un rectángulo. Estos productos, 1, 4, 9, 16,..., pueden representarse por una sucesión de cua­drados. Crecen muy rápidamente. ¿Con qué rapidez? Los niños los dividen en cuadrados unitarios y ordenan los obtenidos a partir de cada cuadrado orginal en columnas, formando un gráfico de barra. Ven cuán rápidamente crecen los cuadrados y pueden escribir la su­cesión de incrementos, 1, 3, 5, 7,..., pueden ver por Kqué aparecen esas diferencias, pero también observan que si construyen un gráfico lineal, los extremos de los segmentos no están sobre una recta sino sobre una curva. En la discusión, los niños pueden entonces preguntar sobre un cuadrado cuyo lado sea igual a media

Cuando los niños ingleses usaban libras y onzas para pesar, era fácil construir los nú­meros binarios pesando una masa de cualquier número de onzas mediante "pesos" patrones de 1, 2, 4 u 8 onzas. Esto ya no nos es posible, y la introducción práctica a la escala binaria debe llegar a través del conmutador para encender y apagar las luces y del código del tablero (lo cual, en realidad, puede hacerse como una tarea del grupo). Plegados continuos por la mitad, o la duplicación del peso, pro­veerán las sucesiones para la notación 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8. Un tablero de luces seme­jante y los modelos formados por las tarjetas perforadas y los diagramas de flujo, demues­tran la estrecha relación entre los modelos numéricos y los modelos espaciales que nues­tras escuelas primarias usan tan libremente. Si recordamos los tres tipos de relación que los alumnos primarios encuentran, reconocen y usan (esto es, espaciales, lógicos y numéricos) nos damos cuenta que los tres pueden ser hallados en la misma situación. Por ejemplo, antes de contar o nombrar un conjunto de formas, un niño, en sus primeros días esco­lares, trabajando solo o jugando con dos o tres de los otros, puede distribuirlo en diferentes clases de formas apareando algunos de esos conjuntos para encontrar equivalencias, y lue­go ubicar algunos conjuntos en orden, uno

una

cíales.El estudio de modelos en movimiento se

desarrolla de dos maneras: primera, con los movimientos básicos que puede efectuar un niño; luego, con los movimientos interesantes y útiles que se ven en vehículos y máquinas. La manera fundamental con que se mueve un niño es hacia atrás o hacia adelante. Visto como movimiento a lo largo de una recta, esto ¡lustra la adición y la sustracción. Un niño pequeño puede representarlo como un vector y usar el símbolo en multitud de experiencias (por ejemplo, la simple navegación) y aprender

imanera que suí

ma­

cón*

28

29

i

cuentran difíciles las abstracciones y el uso de símbolos. Se han comprobado, en un experi­mento oficial desarrollado en el Proyecto Ma­temático para la Mayoría, los progresos de los alumnos que pueden mostrar en un modelo de trabajo un conjunto de relaciones que les re­sulta difícil expresar mediante palabras o símbolos.

Como puede verse, la matemática no se mantiene aislada sino que forma parte esencial de cualquier investigación de tipo ambiental, y esto ha aumentado su campo de acción. Así como la geometría se está extendiendo para cubrir los aspectos decorativos de los mosaicos y el aspecto útil de los mecanismos, también la aritmética se ha extendido para incluir nue­vos tipos de números y estructuras, y también algunos elementos de estadística que arrojan luz sobre el ambiente social y científico de un niño. De esta manera, los niños aprecian la utilidad de la matemática y hallan placer en dominar sus ideas y procedimientos. En un aspecto menos utilitario, los juegos de muchos tipos ¡lustran las operaciones y relaciones lógi-

el método inesperado de la adición de vecto­res. De estas actividades surgirán mosaicos por las traslaciones y aparecerá el teorema de Pitá- goras, usando vectores para mostrar las trasla­ciones. El otro movimiento básico, la rota­ción, hace apariciones muy interesantes, por ejemplo, en la esfera del reloj y en otras esferas, con sus sistemas numéricos finitos, y en gran variedad de ruedas para contrastar con las simetrías de otras formas rotatorias. Ya vimos cómo el plegado puede usar la simetría axial para ayudar en las investigaciones; es una buena manera de acercarnos a los números orientados mediante el uso de las posiciones de los puntos correspondientes.

En muchas escuelas primarias británicas, los niños experimentan con multitud de mecanis­mos. Uno de los más populares es el péndulo porque con él pueden ver los efectos de los cambios en la masa suspendida, la longitud del péndulo y el ángulo de oscilación. El redescu­brimiento del vínculo histórico entre el batido de 1 segundo y la longitud del péndulo de 1 m sirve para relacionar las unidades básicas de medida. Un resorte fuerte forma parte usualmente del equipo para las actividades de los niños pequeños. Empujando y estirando sienten la fuerza que están ejerciendo y pue­den relacionarla con la fuerza de gravedad que también estira al resorte. Pueden entonces gra­duar una tira de papel para vincular la exten­sión con la masa. El resorte tiene en sí mismo una forma interesante (la hélice) que los niños pueden ver como una combinación de rota­ción y traslación sobre un cilindro. Dos tipos de mecanismos contienen las ¡deas de múltiplo y de razón, el brazo de la balanza y las ruedas de engranajes. Ambas se pueden obtener fácil­mente y llevan a interesante ampliaciones de la comprensión de las relaciones espaciales y numéricas.

os problemas en la

escuela primariai

:

Emilio DE CECCO (Argentina)

Los problemas son, sin duda, un medio muy eficaz para la enseñanza de la matemá­tica. Permiten verificar si el alumno ha asimila­do los conocimientos que se le han impartido así como sus aptitudes para el razonamiento lógico, la inventiva, la imaginación y la capaci­dad para realizar el organigrama de una tarea.

La característica fundamental que debe poseer un problema es la de plantear una situación nueva que debe resolverse sobre la base de los conocimientos adquiridos y me­diante un procedimiento que el alumno tiene que descubrir.

Un enunciado y otro semejante con datos distintos, no constituyen problemas distintos; a lo sumo se tratará de una ejercitación opera­tiva. Si bien es cierto que este tipo de activi­dad es un recurso para la enseñanza, carece de la característica fundamental del problema, esto es, la de presentar una situación nueva. Cuando en la resolución de problemas se recu­rre a procedimientos estandarizados, se está omitiendo su principal función didáctica. En cambio, si el problema implica una nueva apli­cación de los conocimientos adquiridos o lleva a un nuevo descubrimiento, habráse cumplido cabalmente su finalidad. Si una vez propuesto un problema se llega a un fracaso, servirá para advertinos que ha sido presentado prematura­mente y para señalarnos que debe insistirse sobre los procedimientos necesarios para su interpretación.

En síntesis: los problemas no deben llevar al fracaso ni a la rutina sino a la actividad creadora.

alumnos. Por ello, siempre debe comenzarse con cuestiones que puedan presentárseles en la vida real y que puedan realizar experimental­mente. Deberá dar la forma de resolver una tarea que se le ha propuesto al alumno.

Siempre que sea posible, el alumno, pru­dentemente guiado, deberá llegar mediante la experimentación a la sistematización y genera­lización.

Se rechazarán los enunciados complejos o artificiales. El maestro debe prestar mucha atención a la elección de los datos y al cues­tionario.

No se altera la veracidad del problema si se dan datos aproximados para obtener resulta­dos que deberán considerarse como aproxima­dos. Deben darse todos los datos que se puedan obtener de una situación concreta, real. Es preferible omitir los problemas cuya solución elemental requiera datos de obtención artifi­cial.

cas.Enseñar así no es fácil. Implica mucho tra­

bajo duro para el maestro. Cuando comenza­mos con estos programas más completos, los maestros primarios no conocían en general bastante matemática para desarrollarlos. Hubo que planear muchos cursos para maestros en actividad en donde los mismos maestros de­sempeñaron un papel constructivo. Entende­mos que el cambio continuará y que se organi­zarán más cursos.

El amoblamiento de la clase es a menudo un obstáculo. Algunas escuelas y casi todos los institutos de educación están provistos de un laboratorio o aula práctica de matemática. En las aulas comunes, las mesas y sillas deben disponerse de modo de permitir que los niños realicen trabajos prácticos en grupos pequeños no permanentes. Son esenciales las mesas para exposición y los armarios para almacenar el material. Los niños que trabajan juntos deben hablar entre sí y el ruido es inevitable, tando así el esfuerzo del maestro. Pero el ruido debe ser productivo, como toda buena conversación. Se necesitan horarios más libres, especialmente si el equipo y el material sn escasos; pero, puesto que la matemática se en­cuentra en el objeto más simple, los maestros coleccionarán y almacenarán todo tipo de

(Sigue en pág. 41)

SoluciónLa solución de un problema comporta una

serie de pasos, a saber:1°. Elección de las operaciones adecuadas

deben efectuarse con los datos que figu­ran en el enunciado;

2°. Cálculo numérico;3o. Expresión del resultado en la magnitud

que

Mediante conjuntos de varillas, pajitas para beber o tiras de cartón, los niños fabrican redes cuya rigidez estudian y consiguen agre­gando, si es necesario, varillas atadas. Estudian los posibles movimientos de construcciones no rígidas y pueden fabricar un pantógrafo para ampliar diagramas. La tabulación de los resul­tados de tales encuestas conduce a una mejor comprensión de las relaciones geométricas implicadas. La introducción de mecanismos simples en un programa activo ha probado particularmente valiosa para alumnos

correspondiente.Los dos primeros pasos no son necesaria­

mente consecutivos. El alumno puede decir prí- qué serie de operaciones deberá efectuaraumen-

; meroy luego hacer los cálculos correspondientes en el orden que él elija. O bien, justificará cada operación a medida que la va haciendo. Esta segunda forma, menos racional, es la que se adopta con más frecuencia.

Conviene, antes de encarar la solución for­mal, ensayar una solución aproximada que dé

Los problemas en la escuela primariaElección y enunciado. Las relaciones entre

la enseñanza y la vida ordinaria deben dar la pauta para la elección de los problemas de modo de estar provistos de interés para los

serque en- ma-

3031!

efectuadas por el alumno y del uso de tablas de constantes. Por ejemplo, si se pide el área de un hexágono es conveniente entregar el modelo para que el alumno mida el lado y halle en la tabla la constante por la cual debe multiplicar el lado para hallar la apotema.

La variedad de los enunciados agrega un factor de generalización. Aunque dos proble­mas traten el mismo tema, conviene variar el enunciado y no simplemente los datos. Con­viene, también que el alumno lleve una tabla, cuaderno o libreta para anotar las constantes, fórmulas, equivalencias, tablas de cuadrados, raíces cuadradas, en fin, todo lo que él consi­dere útil para poder consultar libremente. El maestro no necesita ejercer ningún control so­bre este vademécum, excepto si el alumno solicita la certificación de una información anotada por él.

una idea del grandor del resultado y de la magnitud en que se lo debe expresar.

En primer grado, los problemas deben con­sistir en manipular conjuntos concretos, opera­ciones con números concretos y modestos ejercicios de abstracción y memorización.

. Los problemas escritos y orales no compor­tarán más que una operación y el alumno deberá resolver sin dificultad qué operación tendrá que realizar. Con la adición y la sus­tracción deberá adquirir la noción de los senti­dos, directo o indirecto.

En los grados superiores es conveniente dar datos empleando indistintamente números na­turales, racionales y decimales.

Los problemas teóricos tienen la utilidad de acentuar la comprensión de las relaciones ma­temáticas, y, asimismo, la de facilitar las abs­tracciones.

Convendría seguir cierto orden:1o. Selección de un conjunto de problemas

con un propósito definido.2o. Discusión del problema en forma colec­

tiva. El maestro tratará de que los alumnos analicen los enunciados, criterios de posibili­dad, tipo, posibles formas de solución, magni­tudes, suficiencia de los datos, etc.

3o. Soluciones por equipo o individuales.4o. Resoluciones colectivas, con interVfen-

ción del maestro, si es solicitada, para zar el problema o para ayudar a los alumnos inferir conclusiones de tipo general o a cons­truir el organigrama de los pasos seguidos.

5°. Guía individual, o por grupos, de los alumnos más retrasados.

6o. Se propondrán a los alumnos más ade­lantados problemas más complejos o la bús­queda de otros caminos para su solución.

El enunciado. Debe reunir algunas condicio­nes didácticas, a saber:

1a. Claridad. La redacción debe ser asequi­ble a los alumnos, para lo cual el enunciado no debe ser capcioso y el vocabulario adecua­do al alumno.

2a. Debe estar relacionado con la vida real.3a. Cuando el problema sea complejo, la

información y el cuestionario deben dividirse en acápites simples.

4a. No deben darse datos innecesarios para que el alumno no se confunda ni desoriente.

5a. Siempre que sea posible, especialmente si se trata de cuestiones de geometría, es pre­ferible que los datos surjan de mediciones

más sin cantidades, en los cuales el alumno debe indicar qué operaciones deben efectuarse y, dentro de lo posible, en qué propiedades matemáticas se basa. Esta práctica facilita la adquisición del hábito del razonamiento lógi-

Tipos de problemasLos problemas pueden ser prácticos, gráfi­

cos, orales, escritos, sin cantidades, etc.Problemas prácticos. Consisten en la realiza­

ción de una serie de operaciones prácticas pi­diéndole al alumno que las exprese matemáti­camente:

Ejemplo: De un estante retiro ocho libros, de otro 4 y de un tercero, 6. Los reúno a todos en un cuarto estante.

a) Solución gráfica

co.5a. Representación gráfica de las informa­

ciones y cuestionario.6a. Organigrama del proceso de resolución.7a. Resolución gráfica o experimental

cuando sea posible.8a. Asegurarse de que el alumno conoce la

técnica operatoria que ha de aplicar en la resolución.

Lo que de ninguna manera debe hacerse es enseñar el problema o dar el llamado problema tipo. Ambas prácticas atenían en el desarrollo del raciocinio en el alumno. Esto no quiere decir que no se deba cumplir la tarea de inducir a los alumnos para que hallen los mé­todos generales de resolución.

Las deficiencias. Como causas más frecuen­tes de resultados deficientes en la resolución de problemas, podríamos citar las siguientes:

1a. Poco ejercicio de lectura silenciosa de los enunciados.

2a. Desconocimiento de las técnicas en que está expresado el enunciado.

3a. Falta de claridad en el enunciado.4a. Falla en el dominio de los conocimien­

tos matemáticos que se deben aplicar.5a. Falta de práctica de la técnica operato­

ria, especialmente con los números racionales y decimales.

6a. Falta del concepto de magnitud.7a. Fallas en la aplicación del sistema de

unidades compatibles con el enunciado.8a. Fallas en la determinación de las rela­

ciones que vinculan los datos.9a. Fallas de razonamiento.10a. Problemas no adecuados al nivel inte­

lectual del alumno.

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4*&d.

Condiciones de los problemas

Los problemas deben adecuarse a cuestio­nes de la vida real, por ejemplo: compras, ventas, mediciones, movimientos de coopera­tivas, juegos, excursiones, turismos, estadísti­cas, recetas, dietas, remedios, etc. La variedad es una condición realmente indispensable.

Como los conocimientos adquiridos por el alumno no deben estar encasillados por mate­rias, conviene dar problemas en los que se deban aplicar conocimientos de física, quími­ca, geografía, etc.

Las siguientes indicaciones pueden facilitar la resolución de problemas:

1a. Análisis del enunciado, comenzando por la lectura silenciosa —en voz alta cuando se trabaja en conjunto—; discusión acerca de si el problema es lógico y posible.

Separación de la información dada y la que deba adquirirse por mediciones o como resul­tado de pasos anteriores. El alumno deberá lo posible, tratar de resolver el problema diante los datos o las mediciones directas. Lo mismo deberá hacerse con el cuestionario que deba responderse.

2a. Ensayo de una solución mental aproxi­mada para la discusión de las magnitudes y las relaciones de proporcionalidad (directos- ¡nversos); constantes que pueden intervenir: n, V 2, etc.

3a. El cuestionario debe estar ordenado lógicamente.

4a. Ejercitación en la resolución de proble-

ii

encau-a

, enme-

EvaluaciónEste tipo de trabajo escolar permite eva­

luar:a) razonamiento; b) exactitud en el cálculo;

c) práctica de la medición; d) expresión de las magnitudes; e) aplicación adecuada y oportuna de los conocimientos matemáticos adquiridos; f) imaginación; g) inventiva; h) grado de abs­tracción y poder de generalización.

32 33

!

b) Solución analítica Ejemplo. En una caja hay 30 tizas. Primero retiro 6 y luego 4.#d = #a + #b+ # c

\A = conjunto de tizasInformación ( B = conj. retirado primeramente

/ C = conj. retirado después

c) Solución aritmética

#D = 8 + 4 + 6= 18

Ejemplo. Un alumno efectúa una serie de ope­raciones que le indica un guía, otro hace el gráfico y un tercero, las anotaciones o expre­siones estructurales.

1°. Formar el conjunto de triángulos.2o. Formar el subconjunto de triángulos

chicos.¿Cuántos triángulos hay en / A \ ?¿Cuántos triángulos hay en ¡ Ach.j ?¿Cuántos triángulos hay en ¡ Ach. { ?

1o: Hacer el gráfico2o: Formar el subconjunto B y el subcon­

junto C3o: ¿Cuántas tizas retiré en total?

#(BUC)=#B+#C = 6 + 4 = 10 4o: ¿Cuántas tizas quedan en la caja?

#(A\(BUC) = #A - (# B + # C)= 30-(6+ 4) = 30- 10 = 20

a #p-#(cut5a a□ a□ aA & A

AA Fig. 5P O, de otra manera:

#(A\B) = #A — #B = 30 — 6 = 24 #(D\C)=#D — #C = 24 — 4 = 20

5o: ¿Qué parte del total se ha sacado? # (B U C) 10 1

#(A) 30 3

44 A= ¡MUN ¡UP M =£ 0; N =£ 0; P • # 0 {MHN}=0 [ M n p j = 0

O &$ O #o* * o N n p}=0

A ** oo * 8o: ¿Qué parte de las tizas quedan en la caja después de retirar { BUC }

44 # (A \ (B ü C) ) 30- 10 20 2

i # A 30 30 310----- ►*<- 2

La respuesta es j# A4- !bb 4- •

Ib 306 10 10 20Ejemplo: Contar el contenido de una caja de fichas (por ejemplo 80); retirar primero 8, luego 16 y, finalmente, 20. Responder:

1o: #(BUCUD) = ...2°: ¿Cuátito quedó:

#(A\(BUCUD) ) = ...30; ¿Qué parte del total retiré la primera

# { A j = 13# 5 A ch.¡ = 5 #¡J A ¡ \ { A ch.# ¡ Ach.¡ =8

Otros ejemplos

\ i = 13-5 = 8i iFig.4

vez?6°: ¿Cuántos conjuntos (B U C) podré for- 4o: ¿Qué parte del resto retiré la segunda

mar?iP vez?D # A _ 30* _ 30

# (B U C) 6 + 4 1050; ¿Qué parte del resto retiré la tercera□ vez?□ 6°: ¿Qué parte del total quedó en la caja

después de la tercera quita?7°: ¿Cuántos conjuntos de 9 fichas podré

formar con lo que quedó en la caja?

a□ □ 7°: Verificar experimentalmente que se trata de una partición en tres subconjuntos equipotentes.~ d> Fig.3

3435

<• .

Solucióna) Hacer el gráfico ORIENTACION

X* u Polinomios: Problemas didácticosXV y* ** y3

l * ** *yT*)*&)

+•***/

a x xxV,\A Olga L. LESCANO

(Argentina)y x

C ' * ’ «(Continuación)

* y 5 2.5. Funciones polinómicas. Ya hemos subra­yado en la Observación 1a. de 2.4. que los polinomios formales introducidos en 2.2 son funciones, pero funciones de dominio N (con­junto de los números naturales); y los valores de una función tal son los coeficientes del polinomio. En cambio, cuando se habla de funciones polinómicas se desea hacer referen­cia a funciones de dominio R, cuyos valores no son los coeficientes del polinomio en cues­tión sino los que suelen llamarse valores nu­méricos del polinomio.

A todo polinomio P (en el sentido de 2.2) le haremos corresponder una función P:R R, que se llamará función polinómica asociada al polinomio P.

Definición. Dado el polinomio

las funciones: argumento por argumento. Se comprueba que el conjunto de todas las fun­ciones polinómicas reales es un anillo con­mutativo con unidad, respecto de las mencio­nadas operaciones de suma y multiplicación. Si llamamos R [x] al anillo de polinomios rea­les en el sentido de 2.2, y R [x] al anillo de las funciones polinómicas que acabamos de definir, se tiene una función (que llamaremos "barra"):

yy / Fig. 9* y/6 yProblema. De un conjunto de 10 alumnos 7 estudian inglés (I) y 6 francés (F) Contestar:

a) 10 es el cardinal del . .. de los alumnos que estudian I y de los que estudian F.

b) ¿Cómo son esos dos conjuntos?c) ¿Cuántos alumnos estudian ambos idio-

* * * *** y x e/*y * ** y

mas?Fig. 6 B:R [x] R [x]d) ¿Cuántos alumnos estudian sólo I?e) ¿Cuántos alumnos estudian sólo F?f) ¿Cuántos alumnos estudian sólo un

idioma?

dada porProposiciones aritméticas7+,D1=12 ó 7 + x = 12

Enunciado: Juan tenía 7 fichas y Pedro le entregó otras. Juan tiene ahora 12 fichas. ¿Cuántas fichas le dio Pedro?

Solución con la recta numérica

B(P) = P,y se comprueba que B es un ¡somorfismo de anillos con unidad.

La existencia de este ¡somorfismo implica que, en lo que respecta a las operaciones en­teras, los anillos R [x] y R [x] se comportan del mismo modo: tanto da trabajar con po­linomios como con funciones polinómicas. Pero esto es una particularidad de ciertos ani­llos, entre los que se encuentra el anillo R de los números reales. En efecto: sea A un anillo conmutativo con unidad, cualquiera. Si en 2.2, 2.3, y 2.4, se reemplaza R por A, se obtienen construcciones análogas a las dadas y se llega al anillo A [x] cuyos elementos son los poli­nomios a coeficientes en A (en lugar de los polinomios a coeficientes en R, que son los polinomios reales).

También quedan definidas, en forma to­talmente análoga a la que acabamos de ver, las funciones polinómicas en A, o sea las funcio­nes de A en A obtenidas a partir de los polinomios a coeficientes en A. Más preci­samente sea:

Solución gráfica

n

ak *k.P =

i__ I__ I__L k = 0A--i 1

0 * tien el sentido de 2.2, se llama "función poli­nómica rea! asociada a P", a la función dada

Fig. 7

porO, de otra forma: P : R R

Respuestas:a) 10 es el cardinal de [l] U j F

b) Son conjuntos no disjuntos

n

fc-r-.y.-rr-j Iak . xkP (x) =

0 s A2. k = 0

c) =3d) #llj n {Fli =7e) # {f} —#{{ I j .0 F } } =6-3 = 3f> # Ff 1“# {l'{n F u =

Fig. 8

Obsérvese que, ahora, en esta última fór­mula, la letra "x" desempeña el papel habitual de variable, usual en las definiciones de fun­ciones.

Estas funciones polinómicas se suman y se multiplican como se hace habitualmente con

-3 = 4Expresión analítica:

7 4-x = 12x = 12 — 7 -*■ x = 5

; n

ak *k. ak e A,P =10-3 = 7

(diferencia simétrica)Solución mediante el gráfico de Venn: k = 0:■

'•I

36 37••

!

un polinomio a coeficientes en A. La función polinómica asociada a P es la función

P:A-> A

n compararlo con el anillo Z de los entere*. Se observan de inmediato las siguientes analogías: 1) Tanto R [x] como Z son anillos conmuta­tivos con unidad; 2) Ambos son anillos de integridad. Recordemos que un anillo con­mutativo con unidad es un anillo de integridad si en él todo producto de elementos no nulos es también no nulo. Se suele decir que el elemento x ^ 0 es un divisor de cero, si existe y =£ 0 tal que x . y = 0. Por tanto, se puede definir también un anillo de integridad dicien­do que es un anillo conmutativo con unidad que no posee divisores de cero. (Se suele agre­gar también la condición OtM, para evitar

el anillo trivial formado por un solo ele- considerado como anillo de inte-

por elementos arbitrarios del anillo A; es de­cir:ak xk

(x) = ^ y I Existe z E A tal que a . x = y ¡..Se ve fácilmente que (x) es, efectivamente,

un ideal del anillo conmutativo con unidad A. Y diremos que x es divisor de y en A si yE(x). Para indicar que x es divisor de y escribiremos x I y. En tal caso, también se dice que x divide a y, o que y es divisible por x, o que y es múltiplo de x. Se ve que la condición necesaria y suficiente para que x sea divisor de y es que se verifique: (y) C (x). En otros términos:

k = 0dada porn

Basta considerar tres nociones elementales, a saber: 1) La noción de función identidad 1a:A-* A; 2) La noción de función constanteck : A -i A, caracterizada por la fórmula: ck(x) = kEA; 3) La noción de subanillo de A, engendrado por un conjunto C cualquiera, de elementos de A: se llama subanillo de A engendrado por el conjunto C (formado por elementos de A), al anillo intersección de to­dos los subanillos de A que incluyen al con­junto C.

Con ayuda de estas nociones, se puede in­troducir el anillo A [x] en forma concisa y directa, mediante las dos definiciones siguien-

■2 ak . xkP (x)

k = 0

iSe obtiene, mediante las definiciones usua­

les de suma y multiplicación de funciones valores en un anillo, el anillo de las funciones polinómicas en A, que será denotado por A [x|. Se vuelve a obtener una función

B:A [xJ -► A [x]

ax ly~(y)c (x).

Si se verifica (x) = (y), o sea x ly e y Ix, se dice que x es asociado a y. Es obvio que la relación de asociación es una relación de equi­valencia. Interesa particularmente la clase de equivalencia de la unidad, 1, con respecto a esta relación de asociación. Se ve que la con­dición necesaria y suficiente para que x perte­nezca a la clase del 1 es que x sea invertible en el anillo A, es decir, que se verifique:

tal que x ./x_I = 1.Por coincidir con los asociados del 1, a los

elementos invertibles se los suele llamar tam­bién unidades de divisibilidad. Por ejemplo, en Z los únicos invertibles son 1 y —1; en cambio en R[ x] existen infinitos elementos inverti­bles, que son todos los números reales no nulos considerados como polinomios constan­tes, de grado cero. Luego, en R [x] la clase de las unidades de divisibilidad .es R0 (conjunto de los números reales no nulos, identificado

el conjunto de los polinomios constantes no nulos).

Observemos que, de acuerdo con la equi­valencia (1), la relación de divisibilidad en A (ejemplificada por la locución "x es divisor de y") se reduce a la relación de inclusión entre ciertos conjuntos (ideales); sin embargo, aun­que la relación de inclusión es una relación de orden, la de divisibilidad en A no lo es en general. En efecto, esta relación es obviamente reflexiva y transitiva, pero no es en general antisimétrica: por ejemplo, en Z, se tiene 5 I —5 y —5 I 5, pero 5 —5. Por ser reflexivay transitiva, decimos que la relación de divi­sibilidad en A es un pre-orden.3.3. La divisibilidad en un anillo de integri­dad. Si A es un nillo de integridad (caso de Z

que! mentó seagridad). 3) Tanto R [x] como Z son anillos principales; recordemos que un ideal U en un anillo A es un conjunto de elementos de A que es cerrado respecto de la resta en U y respecto de la multiplicación por factores ar­bitrarios de A, es decir:

por la fórmula

B(P) = P,y se comprueba que B es un homomorfismo de anillos con unidad, general un isomorfismo. En los casos en que B no es un isomorfismo, hay que distinguir cui­dadosamente el polinomio de la función poli­nómica asociada, aun cuando sólo se trate de operaciones enteras. Un ejemplo sencillo se obtiene tomando A = Z2 (anillo de los enteros módulo 2); consideremos los siguientes poli­nomios a coeficientes en Z2:

P = 1 . x2 + 1 0= 1 .x+ 1 ;

Se ve que son distintos entre sí en Z2 [x], pues P es de segundo grado y Q es de primer grado, pero tienenja misma función polinó­mica asociada en Z2 [x]; en efecto: las fun­ciones polinómicas asociadas P y ü", de Z2 en Z2, están dadas por:

P(0) = 1, P(1) = 0; 0(0) = 1, Q(1) = 0,

tes:

Definición 1. Sea A un anillo conmutativo unidad. Llamaremos ^7(A) a! conjunto de to­das las funciones de A en A, munido de las operaciones usuales de suma y multiplicación de funciones.

Se comprueba en forma inmediata que §< (A) con unidad.

Definición 2. Sea A un anillo conmutativo unidad. Llamaremos A [x], o anillo de las fun­ciones polinómicas en A, al subanillo de <p(A) engendrado por el conjunto forma­do por las funciones constantes y la función identidad.

A partir de esta definición se^ demuestra que toda función polinómica f E A [x] puede escribirse así:

conpero que no es en u, v, E U => u-v E U;

uEU y aEA^a.uEU.-iExiste x

(Consideramos sólo el caso de anillos conmu­tativos). Un ideal U del anillo A se dice prin­cipal si consiste exactamente en el conjunto de los múltiplos de un elemento fijo u por (os elementos de A; con mayor precisión: el ideal U de A es principal si existe uEU tal que, paraverifique: v = a . u. (Siempre consideramos que A es conmutativo con unidad). Y el anillo A, en fin, se dice principal, si todos sus ideales son principales.

Estas analogías entre las estructuras de R [xj y de Z tienen importantes consecuen­cias, sobre todo para la teoría de la divisibi­lidad; es útil también poner de manifiesto las divergencias en el comportamiento de ambos anillos. En lo que sigue mencionaremos rápi­damente las analogías y las divergencias más notables.

3.2. La divisibilidad en un anillo conmutativo con unidad. Basta la estructura general de ani­llo conmutativo con unidad para desarrollar las bases de la teoVía de la divisibilidad. Sea A un anillo tal. Para todo elemento existe el ideal principal engendrado por x, que designaremos por "(x)" y que definiremos co­mo el conjunto de todos los múltiplos de x

es a su vez un anillo conmutativo

contodo v E U existe a E A de modo que se

con

f:A -> A

nluego siendo

ak • ek E Af(x)P = Q.

k = 0

2.6. Delmición directa de A[x]

El anillo de las funciones polinómicas en el anillo A, que en 2.5 hemos designado A|x|, puede definirse en forma directa, sin pasar previamente por el anillo A [x], y sin pasar previamente por las expresiones del tipo

3. El problema de la divisibilidad \3.1. Primera comparación entre R [x] 'y Z. Desde el punto de vista didáctico, ló primero que conviene hacer cuando se ha llegado a ladefinición de R [x] (anillo de los polinomios formales reales

por x de A

en la indeterminada x), es

393fl

y de R [x], según ya hemos dicho), pueden agregarse nuevas precisiones a lo dicho ya en 3.2. Recordemos que en un anillo de integri­dad vale la ley de simplificación:

a=É0 y a.x = a.y=>x = y.

Estas factorizaciones triviales asumen en 2 la forma: alumno que la palabra "máximo", usada en

este caso, no tiene el significado habitual, y que en particular no implica unicidad; en efec­to: si c es máximo común divisor de a y b, todo elemento c' asociado a c también lo es. Consideraciones análogas valen para el mínimo común múltiplo.

La importante propiedad del máximo co­mún divisor a que nos hemos referido más arriba (y que suele omitirse en las presenta­ciones didácticas para la enseñanza media) es la siguiente:

Si A es un anillo principal y (a, b) es una cupla de elementos cualesquiera de A, existe un máximo común divisor c, de a y b, que puede escribirse en la forma:

c = s . a + t. b,donde s y t son elementos de A.

En un anillo principal, el elemento a se dice coprimo con el elemento b, si el máximo común divisor de a y b es 1. También suele decirse, en este caso, que a y b son primos entre sí. Si esto se verifica, existen elementos s, t, de A tales que:

p I x . y => p I x ó p*l y.

Y esto, a su vez, permite demostrar el im­portante resultado siguiente, conocido como "teorema de factorización única":

Si A es un anillo principal y a^O (aG A), entonces a se descompone en un producto de factores primos:

a = 1 . a, o bien, a=(-1).(-a);

en tanto que en R [ x] las factorizaciones tri­viales asumen la forma:

(En efecto, si fuera x =£ y, resultaría x — y ^ 0, y en virtud del antecedente de la implicación se tendría el producto nulo a . (x — y) = 0, cuyos dos factores serían no nulos, lo cual no puede ser en un anillo de integridad). Supongamos ahora que x e y sean asociados; luego, existen h, k, tales h . x =

P = k . P', con k G R0.

Un ejemplo de factorización trivial es:

6x —5 = 3. (2x - - 1. a = p, .p2...pm,

y esta descomposición es única en el sentido siguiente: toda otra descomposición de a co­mo producto de factores primos puede redu­cirse a la anterior mediante una o varias de las operaciones siguientes: permutación de los fac­tores, sustitución de algunos factores por ele­mentos respectivamente asociados, agregado o supresión de factores de la forma u . u“!, sien­do u invertible (unidad de divisibilidad).

Esta breve exposición muestra que, desde el punto de vista didáctico, es posible y conve­niente desarrollar la teoría elemental de la divisibilidad siguiendo la cadena de nociones:

anillo conmutativo con 1 -► anillo de integridad anillo principal.

3En este caso la unidad de divisibilidad ...

pleada es el número entero 3, pero podría haberse empleado un número real cualquiera. Constituye, por tanto, un error pe­dagógico, insinuar al alumno que tiena alguna importancia en la teoría de polinomios .... factores comunes enteros. Dado cualquier po­linomio, siempre es posible extraer como fac­tor común cualquier número real no nulo, y la factorización obtenida ha de ser considerada siempre trivial, independientemente de que el factor extraído

em-que

y, k . y = x, de donde (k . h). x = x. Si es x^O, la ley de simplificación permite es­cribir k . h = 1, de donde resulta que k y h son invertibles, siendo cada uno el inverso del otro. Luego: si x 0, todo asociado de x, (por ejemplo y) se obtiene de x multiplicán­dolo por un elemento invertible.

0 se llega a conclusión análoga, pues si y es asociado de x se tiene también y = 0, y entonces se puede escribir: y = 1 . x, o sea que y, también este caso, se obtiene de x multiplicándolo por un elemento invertible. En todos los casos, pues, los asociados de x se obtienen multiplicando a x por un invertible. Recíprocamente: el producto de x por un invertible es siempre un asociado de x, como puede demostrarse fácilmente. En consecuen-

no nulo1:i

extraer

iEn el casox =-

sea entero o no.Análogamente, se ve que todo elemento a

de un anillo de integridad admite ciertos visores triviales, que son (por definición) asociados y las unidades de divisibilidad.

Un elemento a, de un anillo de integridad, se llama primo, si sus únicos divisores triviales.

di-sus s. a + t. b = 1.

Con ayuda de estas nociones es fácil demos­trar el siguiente resultado:

Si A es un anillo principal y p es un ele­mento primo de a, entonces se verifica la implicación (para todo x y para todo y de A):

y desarrollando paralelamente, a modo de ejemplificación, la divisibilidad en Z y enson losR.[xJ.

cía:3.4. La divisibilidad Uno de los i anillos principales

(Continuará)En un anillo de integridad, el elemento y es asociado del elemento x si y sólo si se obtiene de éste multiplicándolo por un invertible.

Por ejemplo, en Z los únicos asociados del entero a son a y —a, que se obtienen así: a = 1 . a, —a = (—1) .a. En R [x], los asocia­dos del polinomio P son todos los polinomios de la forma r. P, donde rGR0 (r es un nú­mero real no nulo, o sea una unidad de divi­sibilidad en R [x]).

En términos intuitivos, desde el

en un anillo principal. rasgos más importantes de los

es que en ellos tiene validez el teorema de factorización única. Ademostración de este teorema se basa propiedad importante del máximo visor, que

(Viene de pág. 30)teriales, recipientes y chucherías. En verdad, tales cosas son más flexibles que la mayoría de los equipos producidos comercialmente. Por tanto, dan campo para la inventiva, tanto de los niños como del maestro. Cometemos errores en nuestras escuelas inglesas y tenemos que recorrer largo camino antes de estar satis­fechos con las condiciones bajo las cuales nuestros niños aprenden matemática. No obs­tante, los maestros están básicamente seguros de que los métodos activos son los correctos. Aceptamos la opinión de Piaget expuesta en el •trabajo que escribió para el Congreso de Exeter: "maestro es aquél que organiza situa­ciones". El maestro debe hacer todavía más: debe estar pronto cuando el niño necesita una palabra d^ ayuda o tiene algo urgente que preguntar o necesita ser desafiado con una cuestión crucial. Debe también observar sufi­cientemente a cada niño para poder asesorarlo y guiar su desarrollo en matemática.

En esta etapa primaria en la que los niños están absorbiendo una extensa gama de ¡deas mediante experiencias que despiertan su inte­rés y estimulan sus poderes inventivos, nues­tros maestros los están conduciendo constante­mente a pensar en las relaciones subyacentes de una situación, argumentando con ellos y expresando sus conclusiones tan claramente como pueden y cada vez más en formas mate­máticas concisas. El desarrollo de argumentos lógicos abstractos y de los sistemas matemáti­cos pertenece a una etapa posterior, y se pro­ducirá tanto mejor para los alumnos adecua­dos a causa de esta temprana fundamentación práctica. Nuestros maestros opinan que esto es verdad y trabajan con la esperanza de que sus programas activos brindarán a todos los niños la convicción del poderoso instrumento que el hombre ha forjado con la matemática, que les dará la satisfacción del pensamiento y la in­vención matemática.

su vez, la en una

común di­erróneamente omitida en las pre­

sentaciones didácticas del tema en la ense­ñanza secundaria (y a menudo también en la enseñanza universitaria). Recordemos

es

_ breve­mente que los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo pueden sentarse en forma muy natural recurriendo sólo a propiedades de orden, o de pre-orden. (Ver el final de 3.2). Si a, b, son elementos cualesquiera de un anillo conmutativo con uni­dad, se llama máximo común divisor de a y b a todo elemento c del anillo que verifique c a, c b, y que cumpla además la siguiente implica­ción (para todo x del anillo):

puede decirse que, punto de vista de la teoría de la

divisibilidad, los elementos asociados "equivalentes entre sí" y, por tanto, todo ele­mento a de un anillo de integridad puede factorizarse trivialmente como producto de un asociado por una unidad de divisibilidad; decir, si a' es un asociado de a, existe unaunidad de divisibilidad (o elemento invertible) u, tal que

pre- Ison

es

x Ia Y x I b => x I c.a = u . a'.Debe hacerse notar inmediatamente al

40

41

Problemas sobre

onjuntos y relacionesD roDiema

UEdi B. PASSERINI

(Córdoba) César A. TREJO (Argentina)

En un programa de televisión, "Panorama Universitario", del canal 10, de Córdoba, República Argentina, se organizó un concurso en adhesión a la Primera Olimpíada de Matemática, realizado en 1972 en la República Argentina.

Allí se planteó un problema que figura en un libro impreso en Calí, Colombia, que es el siguiente:

Una persona envía un telegrama en clave a otra. La palabra PRONTO indica el número devotos, resultado de una elección que todavía no se quiere dar a conocer.

Lo interesante del hecho es que se hallaron cuatro soluciones. Creo que ha de ser útil para

los estudiantes publicar uno de los procedimientos que llevo a una solución. A cada letra corresponde un valor numérico, de 0 a 9 inclusive, y dos letras distintas no pueden tener el mismo valor.

Analizando el problema se deduce rápidamente que:

(Continuación)*3.6 La palabra "equivalente" antes de (2) se

forma incorrecta. Lo que se ha dé­los problemas del número an-Respuestas a pone en mostrado estenor

*3.1. CC R C P; CCR'CP;Pc^Pr^Ppí Pc^Pr,=>Pp-

es decir: (a >2 y suficiente, o sea, la

(a = b) => (a + b = b + a), y también es cierto que (a b) => (a + b = = b + a), siendo ambas implicaciones verdade-

serlo el consecuente común.= 2 > 1 no vale (3) pues 2 > 2

ENVIADINERO *3.2 Es necesaria,

b> 2) => a . b >4. No es implicación a . b > 4 => (a > 2 y b > 2) es fal­sa; ejemplo: (-2) . (-3) >4.

Fig. 1 PRONTO ras por*3.7 (i) Para n es falso, luego la solución es incorrecta.(¡i) El razonamiento anterior sólo prueba que

(n2 — n > 2) => (n > 1).(iii) Solución: (n2 — n > 2) o (n2 — n — 2 > 0)

<=> (n + 1) (n - 2) > 0 ~ (n - 2 > 0) ~o(n>2).

la última. Esta es falsa 1 pertenece al primer miembro pero no

tiene dos elementos, a saber:

*3.3 Todas menospuesal segundo, que t1,2j y3.*3.4 La implicación (x = 2) =* (3x - 4 = 2) vale si x 2 por ser falso el antecedente, y si x = 2 por ser verdadero el consecuente, pues

A+O = O=O=>A = 0 P?tD=>P=D + 1=>E + l = 10+R í

Veamos qué puede ocurrirNota: Si en el enunciado del problema se reemplaza "naturales" por "enteros", (iii) deja de valer pues no vale la equivalencia (n + 1) (n — 2) > 0 o (n — 2 > 0), como mues­tra el ejemplo n = -2.

de la "demostración"

■

nN + N =0 N<4 par

N + N = 10 + O N > 6 par

3.2 — 4 = 6 — 4 = 2.t{ E + 1 = 10 + R

(e + I + 1 = 1Ó + R

V+ E = N La implicación (3x — 4 = 2) =» (x = 2) vale verdadero el consecuente, y si

virtudl *3.8 La segunda parte en defecto para x

si x = 2 por ser x =£ 2 por ser falso el antecedente en de(*) y de lo admitido en el enunciado.

= 1.I + R = T caeContinuaráN + N + 1 =0

N<4

N + N + 1 = 10+0 N> 5

(e+ 1 = 10+ R

(E + I + 1 = 10 + R

impar *3.5 La primera y la última.V + E = 10 + N <(Viene de pág. 42)

N I O | V + E = N 9 T18 2 + 7 = 9

A =0 N =90 =8+10 V =2E =71 =3 R =1 T =4 D =5 P =6

j_+R=T

3 + 1=4E + | + 1 = 10

7 +3 + 1 =79230

+ 539718“"618948

N + N = O N<4

N + N = 10 + ON>6

{ E + I = 10 + R

(e + I + 1 = 10+R

V + E + 1 •= NLas otras soluciones son:

746802184759

259439I + R = 10 + T S 81290

*491873,573163

49560269418+N + N + 1 =0

N<4N + N + 1 = 10 + 0 N>5

{ E + I = 10 + R

(e + I + 1 = 10 + R

318978V + E + 1 = 10+R <Alesinbó, Jasukawa y A. R. López, e

mismas soluciones, por ello creemos haber encuentra una quinta solución, le rogamos

los Ingenieros O.a lasHemos trabajado en equipo con

individualmente y por distintos métodos llegemos agotado todas las-posibilidades. No obstante, si a g nos la envíe.

Planteadas las distintas posibilidades se construye una tabla asignando valores y se obtienen así las soluciones del problema. Una de ellas por ejemplo es la siguiente.

43(Sigue en pág. 43)42

i •i

Bienvenido a la casa de las tablillas; 2, 'Giros o rotaciones; 3, La coma decimal; 4, Paralelo- gramos; 5, El número real; 6, El Símela; 10, Matemática para; 11, Angulos en la circunfe­rencia; 12, Interés simple y compuesto; 13, Descuento simple; 14, Repartición, mezclas y algunos otros problemas. Concluye el libro con respuestas a los ejercicios, respuestas a los interrogantes y tablas de cuadrados, cubos, raíces cuadradas y raíces cúbicas de los núme-

En cuanto a los objetivos, dice que todo programa de matemática debe llenar dos requi­sitos esenciales: a) suministrar un conjunto de conocimientos útiles para desenvolverse en la vida, y b) ejercitar la facultad razonadora agili­tando la práctica del método deductivo, no olvidando ni los aspectos cognoscitivos ni los

3) Desarrollo de los temas graduados de acuerdo con la edad mental de los alumnos y precedido en cada caso por una introducción intuitiva.

4) Ejercicios variados presentados en series progresivas con sus respectivas respuestas.

5) Presentación didáctica acorde con la pre­paración y la larga experiencia de los autores.

Agréguese a esto la claridad de las figuras, lo cuidado de la exposición y una esmerada presentación editorial.

BIBLIOGRAFIA

FERRARI, M. A., LOPEZ HENRIQUEZ, A.; MAGARIÑOS, H. y MASSA H. F., Matemá­tica, Primer año, 208 pág.. Editorial LOSADA S.A., 1972.

Este grupo de profesores de matemática del Colegio Nacional de Buenos Aires y de otras instituciones docentes, ha emprendido ahora la tarea de escribir libros de texto para la escuela secundaria normal. Ya lo hicieron antes escri­biendo libros de texto para la institución arri­ba citada, pero es bien sabido que los planes de la misma difieren bastante de los oficiales. Ahora los han transformado para adecuarlos de manera que respondan íntegra y ordenada­mente a los programas vigentes.

Han hecho bien en hacerlo. Pareciera obvio decir que los programas de los libros debieran redactarse de acuerdo con las ideas de los autores de manera que los docentes tomen de ellos los aspectos que les parezcan más conve­nientes. Pero es tal el cúmulo de tareas que deben cumplir los docentes para satisfacer sus necesidades económicas que muchos de ellos no encuentran otra solución que tomar libros que respondan íntegramente al programa. Y si, como es el caso que nos ocupa, hallan libros cuidadosamente redactados y con conocimien­to de la cuestión que se tiene entre manos, no nos cabe ninguna duda de la decisión que adoptarán.

Los autores se mantienen en un enfoque conjuntista y funcional que no separa total­mente la aritmética de la geometría y al álge­bra, vale decir, que tratan de que resalten las características estructurales de los conjuntos que se consideran.

Digamos sintéticamente las características de de este libro:

1) Responden estrictamente a los progra­mas vigentes, sin cambiar la orientación con que fuera concebida la obra anterior de los autores.

2) Enfoque de los temas acorde con la concepción moderna de la matemática y sin perder de vista los requerimientos de otras asignaturas afines.

afectivos.Todo ello le permite al autor el objetivo de

la enseñanza en la institución de la que forma parte -la editora de este cuaderno- que es el siguiente: Debe lograrse que el educando des­arrolle su pensamiento lógico mediante la ejer-

del razonamiento deductivo, que do-

t■

ros 1 a 240.No todo es, pues, original. Pero quién no

ha de comprender que el alumno se ha de sentir intrigado por ver qué es eso de la casa de las tablillas o por descubrir a qué llaman Símela los autores. Para seguir manteniendo su

notas bibliográ-

,

Julio R. Juan

citaciónmine la expresión matemática y la use para

cuantitativos de la reali- interés los autores recurren a f¡cas (tablillas babilónicas, la coma decimal, e

de los griegos, etc.), al diálogo (Inter tres actos, pág

expresar los aspectos dad material, de la comunidad humana o del hombre como individuo, y que domine los conocimientos matemáticos útiles para el hom-

DAVILA, Edgardo H., Enseñanza moderna de la matemática en la escuela primaria. 146 pág. CUADERNOS DE LA ESCUELA AR­GENTINA MODELO, Serie matemática. Bue­nos Aires, sin fecha.

El movimiento moderno ha determinado la aparición de obras que tratan de elucidar pro­blemas de la enseñanza de la matemática. No se trata, sin duda, de obras magistrales; se trata, sí, de un loable esfuerzo para decir qué se está haciendo en nuestro país. El joven autor de esta obra, consciente de que quien más necesitada está es la escuela primaria, nos entrega sus reflexiones, producto de esforzada labor en el aula y en muchos cursillos. Se trata -como lo expresa el autor- de un cua­derno escrito por maestros, sobre los funda­mentos, objetivos, planeamiento y evolución de la enseñanza.

Al hablar de los fundamentos se refiere primero a los históricos en forma sucinta para concluir que la matemática actual es el resulta­do de los cambios ocurridos en el pasado, especialmente en el siglo XIX cuando la mate­mática comienza a liberarse del mundo'físico y natural, la geometría se vuelve abstracta, el álgebra se dedica a las estructuras y florece la lógica matemática y la teoría de conjuntos encuentra interesantes aplicaciones.

Al referirse a los fundamentos psicológicos alude al trabajo de Jean Piaget "Las estructu­ras matemáticas" y expresa que cada situación debe estudiarse en forma particular, para tra­tar de que los alumnos se conviertan en el futuro en hombres capaces de tomar decisio­nes para adecuarse a las necesidades de la sociedad de su tiempo.

retornomedio, pág. 40; Comedia en 67;, Las preguntas de Don Pedro, pág. 77,

multitud de gráficos de todo tipo ¡ncluí- el texto y aún en los márgenes —lo

tablas— aprovechando brindados por una tipogra-

extraordina-

etc.bre no especializado.

Y aLa obra concluye con la bibliografía con­sultada para la redacción del trabajo. No duda­mos que éste suscitará el interés de muchos de los maestros que en estos momentos tienen vacilaciones acerca de cómo debe encararse el estudio de la matemática en la escuela pri­

maria.

dos en mismo que títulos y!. todos los recursos

un dibujante cuyanecesario destacar.fía moderna y

ría prolijidad creemoslas fichas para ejercitación y

evaluación se refieren a conjuntos, enteros, racionales, geometría, giros, expresiones deci­males, error, paralelogramo, números reales, medida, razones y proporciones, porcentaje, la función área, Símela, proporcionalidad, arcos, interés simple y compuesto, repartición pro­porcional y sistema monetario.

Los autores pretenden que mediante la lec­tura del texto con las fichas los alumnos se esforzarán por interpretar los problemas, in­tentando soluciones sin desanimarse ante las

criticándolas para decidir inteli- cada día más en las

esencia, proponiendo y respetando las

En cuanto aJ. B. F.

i

II foncuberta,

cur-V ARELA, Leopoldo y Juan A., Matemática dinámica 2, segundo so, 222 pág. y Fichas para capacitación y

2, 60 pág. EDITORIAL KAPELUZ,evaluación 60 pág., Buenos Aires 1973 dificultades yFoncuberta prosi­

los temas deconfiandoLos profesores Varela y

guen con su empeño de presentar los programas de matemáticas de nuestra ense­ñanza media en forma dinámica más acorde con los intereses de los alumnos y más capaces de lograr su atención hacia el contenido de la obra. No se trata, seguramente de una tarea nada fácil n¡ es seguro que hayan conseguido todos los objetivos que se propusieron. Pero hay indudablemente un gran progreso logrado sin menoscabo de la estricta estructuración

gentemente soluciones lógicas; en

^ las soluciones y fundadas de los demás.

libro así concebido ha resultará

discutiendoopiniones

Esperamos que un de gozar del interés de los docentes ysatisfactorio para los alumnos.Corresponde el elogio a la editorial por la

inusual presentación de la obra en tenido en cuenta

la estudie conesmerada ela que todos agrado.

haberseparecieran los detalles para que se¡j

científica del contenido.Anotemos, primero, los

capítulos en que se ha subdividido la obra.Cristina Verdaguer de Banfitítulos de los 14

1.

.45

44

prof. Edgardo H. Dávila, del 4 al 11 de julio, de 18 y 30 a 20, los lunes, miércoles y vier­nes, excepto los días 11, 13 y 15 de junio.

* Matemática moderno en 1°., 2°. y jer grado, prof. Liliana Spadavecchia, del 6 de agosto al 17 de setiembre, de 18 y 30 a 20, los lunes y miércoles.

* Matemática moderna en 4o. y 5o. grado, prof. María L. Schweitzer, del 17 de setiembre al 15 de octubre, de 18 y 30 a 20, los lunes y miércoles.

* Matemática moderna en 6o. y 7o. grado, prof. Juan C. Giorgetti, del 8 de octubre al 5 de noviembre, de 18 y 30 a 20, los lunes y miércoles.

* Modernos enfoques para Ia enseñanza de Ia geometría, profs. María L. Schweitzer y Eduardo Pattis, desde el 6 de noviembre hasta el 23, de 18 y 30 a 20, los martes y viernes.

* Enfoques didácticos de moderna enseñan­za de la matemática, prof. Edgardo H. Dávila, desde el 26 de marzo hasta el 13 de abril, de 18 y 30 a 20, los lunes, miércoles y viernes.

NOTICIASEducación

mate-1. El Ministerio de Cultura y

informa a los profesores secundarios de mática que entre el 3 de mayo V el 1 * octubre próximos se realizara el Curso de Ac- tualización y Perfeccionamiento organizados por el Instituto Nacional para el mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias (INEC) y que corresponden al Programa Regional de Desa­rrollo Educativo acordado entre el Gobierno Argentino y la Organización de Estados Ame-

:f:

ricanos.Los docentes del interior podrán solicitar

su inscripción siempre que se hagan cargo de gastos de, alojamiento y subsistencia en

Buenos Aires.2. El Instituto Superior Docente "Ci os

María Biedma" de la Escuela Argentina Mode­lo, Riobamba 1059, Buenos Aires,, ha dado a conocer el calendario de actividades de 1973:

;

sus

algunos miles de anos.tepasado nuestro

construyó la primera máquina-* Fundamentos de matemática moderna,herramienta. Fue,

un torpeprobablemente,(Viene de pág. 24)Por tanto, debemos agregar a la lista previa

de actividades que incluimos en el programa de formación del maestro muchas clases ejem- plificadoras con niños, y además, muchas si­tuaciones en las cuales los maestros puedan comenzar a manejar solos a grupos de niños. Deben aprender el papel de consejeros o de abogados del diablo que les serán necesarios para alentar a los niños a descubrir más que a repetir rutinariamente lo que el profesor ha dicho. Si no se consiguen niños, los mejores sustitutos, serán los filmes o video-tapes. Sin embargo, al final, no debe haber ningún tituto del contacto personal entre el maestro y los niños.

Sugeriría, por tanto, que la formación-de maestros, en actividad o antes de comenzar a enseñar, sea enteramente práctica. No debe haber cursos impartidos sobre este principio o aquél. Cualquier principio que se adopte debe ser aprendido por los maestros como resultado de sus experiencias con materiales y con niños y de éstos entre sí. Las sesiones de demos­tración o sesiones de laboratorios deberían continuarse con discusiones de tipo seminario entre el maestro instructor y los maestros que se instruyen. El instructor debe tratar de se­ñalar algunos de los hechos salientes que me- recen observaciones desde el punto de vista psicológico durante las demostraciones o tra­bajos de laboratorio que se hayan hecho ¿Por

hacha de piedra.Pedro no? ¿Qué cuchillo o unqué Juan pudo hacer esto y es lo que hizo Juan que no hizo Pedro? Y asi siempre. Como resultado de tales debates du­rante cierto número de días o semanas, emer­gerán ciertos principios que pueden debatirse

la luz de ex­sesiones prácticas.

Esa primera máquina- herramienta posibilitó la construcción de una segunda

masmáquina-herramienta,la cual, a su vez ..perfecta,

Y asi.Atravesando las edades, la

conduce hasta

y posiblemente examinarse a periencias posteriores en Las clases magistrales son, generalmente, un pérdida de tiempo. Cualquier cosa que se

clase magistral, puede leerse en un lW o puede escucharse en un grabador o mi en un video-tape si es necesario. El mstru^ debe estar allí como un catalizador vivo q ayude a los maestros a realizar sus P

ha experimentadoha logrado. P°r

biblioteca dede diversión

materiales posible

isiados), el desa-

de los

serie nosIBMcomputadorauna generación, cuyasde tercera

velocidades operativasmil millonésimasen una

se miden ende segundo.

reflexionamosContinuamenteIBM.sobre esto ensus-

nosotros.'antesPorque, paraés de cada maquina.evaluaciones sobre lo que se y despu

sofisticada y perfecta que siempre estara

pory lo que concretamente se supuesto, debe haber una gran libros matemáticos, de juegos temáticos, un gran laboratorio de matemáticos tan variados como (no podemos pensar que tenemos dema y una gran selección de libros so re rrollo emocional, social e ¡ntelectua en. niños. Finalmente, tanto el maestro seña matemática como el profesor se ^ pS¡c¿. debe ser un poco matemático, un PG‘ ^ unlogo y, por supuesto, lo más ,r^por -pedagogo. Pero no será un pedago tra. tiene un conocimiento total del tem |ota de trasmitir o de las maneras c0

ésta fuera,el hombre.ma*

argentina50 ANOS 1923 - 19^3sea

si 00

; está trasmitiendo.

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