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Os vórtices da turbulência bidimensionalOs vórtices da turbulência bidimensional

José Ricardo Camões de OliveiraFísica – 3º ano - FCUP

Seminário Diagonal27/05/2009

Equações de Euler (1757)

∂u∂ t

u⋅∇u=−∇ p

∇⋅u=0

(1)

(2)

(1) 2ª lei de Newton aplicada ao elemento de fluido, considerando apenas forças de pressão

(2) conservação de massa num fluido incompressível (aproximação válida se as velocidades do fluido forem muito menores que a velocidade do som no mesmo)

(+ condições iniciais + condições fronteira)

Equações de Navier-Stokes (1822 – N, 1845 – S)

∂u∂ t

u⋅∇u=−∇ p∇2 u

∇⋅u=0

Acrescenta-se o termo correspondente a forças de viscosidade.

(+ condições iniciais + condições fronteira)

Estas equações correspondem à descrição Euleriana da dinâmica de fluidos (campo de velocidades ).u x , t

A descrição Lagrangeana da dinâmica de fluidos consiste em seguir cada elemento de fluido: obtém-se a partir da Euleriana resolvendo o P.V.I.

{d xdt

=u x , t

x 0=x0

Dinâmica das equações N-S com ν << 1

As equações evidenciam comportamentos distintos a 2 e a 3D:

● 2D – a energia do sistema é transferida das pequenas para as grandes escalas (cascata inversa de energia, Kraichnan 1960) resultando na formação de vórtices nestas escalas, organizados em monopolos, dipolos ou tripolos

● 3D – a energia do sistema é transferida das grandes para as pequenas escalas (cascata de energia, Kolmogorov 1941) – surgem, neste caso, tubos de vorticidade nas pequenas escalas.

© S. Gama & U. Frisch

© S. Gama & U. Frisch

© S. Gama & U. Frisch

© Federico Toschi (2006, Roma)

Problemas em aberto:

● existência e unicidade de solução (com propriedades de continuidade adequadas) no caso 3d (resolvido a 2d)

● explicação teórica de muitos dos resultados empíricos atrás descritos

Vorticidade: =∇×u

O caso Euler 2D

A 2D a vorticidade é escalar, =∇×u3=∂1 u2−∂2 u1

Está associada à circulação do fluido num caminho fechado,

∫C

u⋅dl=∫S⋅n dS

C

S

(pelo Teorema de Stokes)

Tomando o rotacional das equações de Euler a 2D, vem

∂tu⋅∇≡ddt

=0

A vorticidade é conservada ao longo da trajectória de um elemento de fluido.

(para as equações N-S tem-se ) ddt

=∇2

Podemos usar ω para simplificar as equações de movimento Lagrangeanas:

Como , podemos considerar um “potencial vectorial” tal que∇⋅u=0

A 2D isto equivale a definir uma função corrente ψ ,tal que

u1=∂2 ;u2=−∂1

Esta definição respeita e implica∇⋅u=0

∇ 2=− equação de Poisson

u=∇×A

A

Resolução da equação de Poisson

Função de Green da equação de Poisson: ∇ 2 G x−x ' = x−x '

Expressão a 2D: G x−x ' =− 12

log∣x−x '∣

x = 12∫ log∣x−x '∣x ' d x '

u x = 12∫[ ∂2

−∂1]log∣x−x '∣ x ' d x '

≡∗ , ondex−x ' = 12 [ ∂2

−∂1]log∣x−x '∣

A equação de movimento Lagrangeana é então

d xdt

=∗

descrição que tem vantagens óbvias por ser constante ao longo de .x t

Vórtices pontuais

=∑i=1

N

k ix−x i ;

onde k i=∫C i

u⋅dl são constantes

Ci

x i

As equações de movimento dos vórtices são

{dxi

dt=−∑

j≠i

12

yi− y j

rij2 k j

dyi

dt= ∑

j≠i

12

xi−x j

r ij2 k j

Usando as variáveis complexas zi = xi + i yi ,vem

d z i∗

dt= i

2∑j=1j≠i

N k j

zi−z j

Aplicações dos vórtices pontuais

● sugerem algumas das propriedades das “estruturas coerentes” vistas anteriormente;

● podem ser usados, com algumas refinações, em simulações numéricas das equações de Euler 2D (embora haja métodos mais eficientes)

Integrabilidade das equações de movimento

para N = 2, a integração é fácil (efectuada adiante)

para N = 3, o sistema é integrável no caso geral;

para N = 4, o sistema é integrável se ;

para N > 4, o sistema é, de modo geral, não integrável.

∑ k i=0

O sistema de vórtices pontuais é tratado no contexto de Mecânica Hamiltoniana – as equações anteriores são as de Hamilton para

H=− 14∑i=1

N

∑j≠i

k i k j log∣z i−z j∣

Resolução das equações de movimento para 2 vórtices

{dz1∗

dt= i

2k2

z1−z2= i

2k2

z1∗−z2

∗

∣z1−z2∣2

dz2∗

dt= i

2k1

z2−z1= i

2k1

z2∗−z1

∗

∣z1−z2∣2

Distância entreos vórtices : D=∣z1−z2∣

Resolução das equações de movimento para 2 vórtices

1. D é independente do tempo.

d D2dt

= ddt x1

2x22 y1

2 y22−2 x1 x2 y1 y2

=2 x1 x1x2 x2 y1 y1 y2 y2−x1 x2−x2 x1− y1 y2− y2 y1

Substituindo as derivadas dadas pelas equações de movimento, vem

d D2dt

= 1D2 k 2[ x1−x 2 y2− y1x1−x2 y1− y2]

k 1[x2−x1 y1− y2 y2− y1 x2−x1]

=0, independentemente de k 1 e k 2

Resolução das equações de movimento para 2 vórtices

2. Resulta um sistema de equações diferenciais lineares

{dz1

dt=

k2 i2D2 z1−z2

dz2

dt=

k1i2D2 z2−z1

Resolução das equações de movimento para 2 vórtices

3. Há dois tipos de soluções do sistema:

se k1 + k2 = 0,

[ z1t z2t ]=[ z10

ik 1

2D2 z20−z10 t

z20ik 1

2D2 z20− z10 t ]z1 (0)

z2 (0)

Os vórtices deslocam-se em linha recta paralelamente um ao outro, a

uma velocidade .k 1

2 D

Resolução das equações de movimento para 2 vórtices

3. Há dois tipos de soluções do sistema:

se k1 + k2 ≠ 0,

[ z1t z2t ]= 1

k 1k 2 [k1 z10k 2 z20 z1 0−z20k 2 e i t

k 1 z10k 2 z2 0 z2 0−z10k 1 ei t]com=

k1k2

2D2

COs vórtices rodam em torno do seu “centro de circulação” C, tanto mais rapidamente quanto

mais próximos estiverem um do outro.

z1 (0)

z2 (0)

Problemas simples envolvendo vórtices pontuais

1) Um vórtice pontual, de circulação k, na origem, e uma distribuição de partículas (vórtices pontuais com circulação nula) arbitrária no plano. Como se deforma a distribuição?

z t = ei kt

2 ²Trajectória das partículas:

y

xO

Problemas simples envolvendo vórtices pontuais

2) Dois vórtices pontuais de circulações k e - k (movendo-se de acordo com as equações deduzidas anteriormente) que atravessam uma distribuição de partículas passivas. Como se deforma a distribuição?

Equação de movimento:

y

x

z1 (0)

z2 (0)z (0)

h

z1t =−h2

i k2h

t

z2t =h2

i k2h

t

(k)

(- k)

dz∗

dt= i k

2 1

z− kt2h

−h2

i− 1

z− kt2h

h2

i