OSCILADORES.

Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.

Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación en una corriente eléctrica crea una onda.

En nuestro quehacer cotidiano nos encontramos con diversos cuerpos u objetos, elementos que suelen vibrar u oscilar como por ejemplo un péndulo, un diapasón, el balancín de un reloj, las cuerdas de algunos instrumentos musicales como una guitarra, los puentes cuando pasan vehículos pesados, las oscilaciones eléctricas de aparatos como el televisor, la radio, etc. A nivel atómico los átomos vibran dentro de una molécula.

Usualmente una oscilación amortiguada se produce cuando existe una fuerza de rozamiento con el medio en que oscila lo que ocasiona un cambio en su amplitud de oscilación; y una oscilación forzada cuando una fuerza periódica permite que la oscilación permanezca con una amplitud y frecuencia permanentes.

Amortiguamiento: Se denomina amortiguamiento a la disminución en la amplitud originada por las fuerzas encargadas de disminuirla.

Una oscilación: Es una vibración, una perturbación o fluctuación que se repite “n” cantidad de veces lo que hace pensar o suponer que dicha oscilación se mantiene constante que a diferencia de una oscilación amortiguada disminuye gradualmente su amplitud.

Este tipo de comportamientos se presenta en el movimiento de líquidos viscosos, un ejemplo de ellos son los amortiguadores.

Oscilación libre:El sistema recibe una única fuerza y oscila libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.

FIGURA 01: Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases de ataque y caída.

Oscilación amortiguada:Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga.

FIGURA 02: Oscilación amortiguada

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial),

haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.

Oscilación autosostenida:Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.

FIGURA 03: Oscilación autosostenida.

La envolvente dinámica presenta una fase casi estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caída.

Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos decrescendo.)

Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)

Oscilación forzada:Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".

FIGURA 04: Oscilador Caótico.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Se produce cuando existe una fuerza de rozamiento con el medio en que oscila lo que ocasiona un cambio en su amplitud de oscilación

En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de fricción o rozamiento. Cuando esto ocurre, la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye con el tiempo y el movimiento se denomina amortiguado.

La representación más sencilla y más común de una fuerza de amortiguamiento es aquella que la considera proporcional a la velocidad de la masa pero en sentido opuesto,

En donde b es una constante que describe el grado de amortiguamiento.

Puesto que siempre está dirigida en sentido opuesto a la dirección del movimiento, el trabajo realizado por la fuerza es siempre negativo. Así pues, hace que disminuya la energía mecánica del sistema. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un objeto de masa m situado en un muelle de constante k cuando la fuerza amortiguadora es -bv se escribe

Cuando la fuerza amortiguadora es pequeña comparada con kx, es decir, cuando b es pequeña, la solución de la ecuación es:

en donde la frecuencia del movimiento es:

CONDICIONES:

Fa = -bv

Amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye. Estas pérdidas de energía son

debidas al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) vemos que el móvil describe una espiral que converge hacia

el origen.

Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.

La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.

La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Nota: la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial . Para t=0,

x0=A·senv0=A·cos- A·sen, de donde se obtiene A y a partir de x0 y v0.

1. El oscilador no amortiguado.Éste es un sistema ideal gobernado por la ley de Hooke. Típicamente esta ley se aplica a resortes mecánicos, aunque puede generalizarse a muchas otras situaciones. En el caso de un resorte que oscila en una sola dimensión la ley de Hooke se escribe:

Dónde: “X” la elongación del resorte (distancia respecto a la posición de equilibrio)

Una partícula sometida exclusivamente a la ley de Hooke en una dimensión cumple la ecuación de movimiento:

Este es un caso particular de la ecuación para un movimiento armónico simple:

Siendo en este caso la frecuencia natural:

La solución general de esta ecuación diferencial es una oscilación sinusoidal:

Con A la amplitud de las oscilaciones, la fase inicial o constante de fase. Este movimiento es periódico, de forma que:

F = -Kx

Esta solución también se puede escribir como una combinación lineal de un seno y un coseno:

con

Los valores de las constantes b1 y b2 pueden calcularse también a partir de las condiciones iniciales del movimiento

2. Amortiguamiento.

El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues desprecia la presencia del rozamiento. La experiencia nos muestra que un oscilador se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse en la posición de equilibrio.

Esta disminución progresiva en la amplitud de las oscilaciones es debida a la presencia de rozamiento. Éste puede deberse a un roce con una superficie (rozamiento seco) o la fricción del aire o líquido que rodea al oscilador (rozamiento viscoso).

El caso del oscilador con rozamiento seco tiene un interesante análisis físico-matemático, pero no lo consideraremos aquí. En su lugar nos centraremos en el caso del rozamiento viscoso. La razón es que, aparte de ser un modelo de muchas aplicaciones, representa más adecuadamente lo que ocurre en un amortiguador mecánico.

Un amortiguador es un dispositivo como el que puede encontrarse en la suspensión de un automóvil o en una puerta con cierre automático.

Un amortiguador consta de un resorte mecánico, pero también, en el interior de éste, de un cilindro con un pistón

Si un coche no tuviera suspensión (es decir, si el chasis estuviera unido rígidamente unido al eje de las ruedas), cada bache o irregularidad en el suelo se notaría como un golpe en el interior del vehículo lo cual, además de incómodo, pone en peligro su integridad. Por otro lado, si la suspensión consistiera simplemente en un resorte casi sin rozamiento, cada bache produciría oscilaciones en el coche, incluso mucho después de haber superado el bache.

Por ello, se introduce el amortiguador.

El objetivo es que el coche oscile al pasar por el bache, pero lo menos posible, de forma que retorne a la posición de equilibro en el menor tiempo posible. Esto se consigue introduciendo una fricción viscosa que disipe la energía mecánica de la oscilación. En la práctica consiste en que un fluido es obligado a pasar por una serie de válvulas de un lado a otro del pistón, frenándolo en el proceso.

La fuerza de rozamiento que experimenta el resorte se opone siempre a la velocidad de éste (si la masa va hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda y viceversa). En primera aproximación es proporcional a la velocidad (en reposo no hay fuerza de rozamiento), por lo que se puede escribir

y para el caso particular del movimiento rectilíneo

3. Ecuación del oscilador amortiguado.

La segunda ley de Newton para un oscilador armónico con amortiguamiento viscoso (en una dimensión) se escribe entonces

Pasando todo al primer miembro:

Aplicando que la velocidad y la aceleración son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongación nos queda la ecuación diferencial:

Dividiendo por la masa de la partícula podemos escribirla como:

Esta es la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. La constante

es la frecuencia propia del oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones.

La segunda constante:

es la constante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea ésta.Tanto la frecuencia propia ω0 como la constante de amortiguamiento β tienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s−1 en el SI.

4. Solución de la ecuación.

4.1 Caracterización de las soluciones:

Antes de examinar la solución matemática de la ecuación diferencial, podemos describir como deberían ser las soluciones.

Si el rozamiento es pequeño, debemos esperar que el resorte oscile paro con una amplitud decreciente, hasta que pasado un cierto tiempo se quede en reposo en la posición de equilibrio.

Si el rozamiento es muy grande, en cambio, esperamos que no llegue a oscilar, sino que simplemente se va moviendo lentamente hasta la posición de equilibrio.

En física siempre que una magnitud se considera grande o pequeña hay que decir comparada con qué, cuál es el patrón en que nos basamos para decir si algo es grande o pequeño. En este caso aprovechamos que tanto β como ω0 tienen las mismas dimensiones y por tanto se pueden comparar. Establecemos entonces el criterio Rozamiento débil: β < ω0

Rozamiento intenso: β > ω0

La solución matemática debe reflejar por tanto un cambio de comportamiento dependiendo de cómo sea la constante de amortiguamiento comparada con la frecuencia propia.

4.2 Solución matemática

Debemos resolver la ecuación diferencial

con ciertas condiciones iniciales

Esta ecuación diferencial es de las llamadas lineales (la elongación y sus derivadas no están elevadas a ninguna potencia). Para buscar una solución de una ecuación de este tipo proponemos una solución exponencial

Derivando esta función

y sustituyendo en la ecuación diferencial

Puesto que la exponencial nunca puede anularse debe cumplirse que

Esta ya no es una ecuación diferencial. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones nos dan los valores posibles de λ. Puesto que existen dos valores, la solución de la ecuación diferencial se escribe como la combinación

donde c1 y c2 son dos constantes cuyos valores se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las soluciones

Vemos que, como se dijo antes, dependiendo del valor de β hay tres posibilidades, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada:

Si β > ω0 las dos soluciones son reales y diferentes (Caso sobreamortiguado).

Si β = ω0 existe una solución real doble (Amortiguamiento crítico).

Si β < ω0 las dos soluciones son complejas conjugadas (Caso subamortiguado).

Cada uno de estos casos merece un estudio por separado.

5. Caso sobreamortiguado (β > ω0)

Consideraremos en primer lugar el caso de rozamiento intenso

En este caso las dos raíces de la ecuación son reales y además negativas

(para ver que la primera es negativa basta con observar que la raíz es menor que β). La solución de la ecuación diferencial es entonces una suma de dos exponenciales decrecientes

Puesto que | λ2 | > | λ1 | la segunda exponencial decae más rápidamente, y es la primera de las dos la que determina el tiempo en decaer.

Por dar un ejemplo numérico, supongamos que y que . En ese caso resultan

Esto quiere decir que la primera exponencial decae en un tiempo típico de 2 segundos (la inversa de λ1) mientras que la segunda lo hace en medio segundo, por tanto al cabo de un segundo prácticamente ya solo tenemos la primera exponencial.

La solución completa es la combinación de las dos aunque rápidamente se asemeja mucho a la primera

El caso de esta figura representa la situación en que se tira del oscilador y se libera desde el reposo (siendo nula su velocidad inicial, lo que corresponde a una tangente horizontal). El resorte tiende lentamente a la posición de equilibrio.

El que la solución sea una combinación de exponenciales decrecientes no quiere decir que la solución sea decreciente en todo instante. Por ejemplo, imaginemos el caso de un muelle que es golpeado en la posición de equilibrio. La masa se aleja originalmente de la posición de equilibrio, para luego retornar lentamente a ella.

6. Caso sobreamortiguado (β < ω0)

El caso opuesto al anterior lo obtenemos cuando el rozamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento).

Si llamamos

podemos escribir las dos soluciones de la ecuación de segundo grado como complejos conjugados

siendo la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación diferencial queda entonces

Aquí podemos extraer como factor común la parte real de la exponencial y escribir

Para ver que esta solución representa oscilaciones amortiguadas aplicamos la fórmula de Euler

que transforma la solución en

con

Esta combinación de senos y cosenos puede reducirse a uno solo, como se hace el caso del oscilador sin rozamiento, y escribir la solución en la forma

Podemos leer esta solución como una oscilación sinusoidal

con una amplitud que decae exponencialmente

Este comportamiento se dice cuasi periódico, porque no llega a repetirse (al completar una oscilación no se encuentra en la misma posición que al iniciarla). El cuasi periodo es mayor que el del oscilador sin rozamiento

El tiempo que tarda en decaer la amplitud no los da el factor de decaimiento β. En un tiempo

la amplitud se reduce en un factor e (a un 36.8% de la que tuviera). Tenemos entonces dos escalas de tiempo: T0 nos mide el tiempo que tarda en oscilar, τ el tiempo que tarda en amortiguarse.

El cociente adimensional nos mide la importancia del amortiguamiento pues nos da el número de oscilaciones en un tiempo típico de decaimiento. Si este número es grande quiere decir que el oscilador es muy poco amortiguado.

Comparando las oscilaciones con y sin rozamiento vemos que si éste es pequeño se nota un cambio apreciable en la amplitud, pero muy pequeño en el periodo.

Si el rozamiento es grande, de forma que el decaimiento es muy importante y el periodo de oscilación es tan largo que prácticamente la partícula no llega a realizar ninguna oscilación.

En el ejemplo de la figura (β = 0.9ω0) el primer mínimo está por debajo del eje solo -0.0006m y es inapreciable en la gráfica.

7. Amortiguamiento crítico (β = ω0)

El tercer caso es uno particular que se da muy raramente, ya que requiere unos valores concretos de los parámetros. Para el caso del muelle con rozamiento debe cumplirse

La constante de rozamiento debe tener este valor exacto. Si es un poco mayor ya el movimiento es sobreamortiaguado; si es un poco menor, subamortiguado.

En el caso del amortiguamiento crítico, puede demostrarse que la solución es de la forma

Gráficamente esta función presenta un decaimiento exponencial, similar al caso sobreamortiguado.

El amortiguamiento crítico posee una propiedad que lo hace interesante desde el punto de vista técnico: es el caso en que se retorna más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menor, el oscilador va y viene y tarda más en pararse. si es mayor, la fuerte fricción ralentiza el movimiento y tarda también más en pararse. El tiempo típico de parada en el caso subamortiguado es

y en el sobreamortiguado

Representando este tiempo como función de β para una frecuencia propia fijada de 1 s−1 vemos como efectivamente es mínimo cuando se da el amortiguamiento crítico.

Por ello, los amortiguadores de los automóviles y demás maquinaria procuran ajustarse al valor crítico, ya que de esta forma se consigue el objetivo de detener las vibraciones en el menor tiempo posible.

8. Comparación de los tres casos:Supongamos, como ejemplo, una frecuencia propia de 1\,rad/s y que las condiciones iniciales son

que liberamos la partícula desde una cierta distancia de 10 cm, es x_0 decir

y . Comparando los caso de β = 0.5s − 1, β = 1.0s − 1, y β = 1.5s − 1 obtenemos las curvas siguientes:

Vemos como la crítica y la sobreamortiguada decaen siendo la crítica más rápida en hacerlo, mientras que la subamortiguada presenta oscilaciones rápidamente decrecientes.

Si consideramos el caso de una masa que parte del equilibrio, pero con una cierta velocidad de

1m/s (es decir , obtenemos para los mismos valores

En este caso las curvas no se limitan a decaer, pues hay un alejamiento inicial. La partícula termina volviendo a la posición de equilibrio, siendo el camino más rápido el del amortiguamiento crítico. Vemos también que aunque en todos los casos parte con la misma velocidad el máximo alejamiento es menor cuanto mayor sea el rozamiento.

9. Energía en un oscilador amortiguado:

Una de las consecuencias del amortiguamiento es la disipación de energía mecánica. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas

siendo K la energía cinética

y Pc la potencia de las fuerzas conservativas (la elástica, en este caso) y Pnc la de las no conservativas (que sería la de rozamiento). La potencia de las fuerzas conservativas verifica

con U la energía potencial elástica

Pasando la energía potencial al primer miembro obtenemos la energía mecánica

La potencia de las fuerzas no conservativas la calculamos multiplicando la fuerza por la velocidad

de forma que nos queda la relación

Puesto que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos dice que la energía mecánica se va disipando progresivamente, aunque no a ritmo uniforme: el consumo es mayor cuando lo es la rapidez del movimiento.

En el caso del amortiguamiento muy débil, si representamos la energía mecánica en una curva de potencial vemos como la energía mecánica va descendiendo a medida que la partícula va y viene

Si realizamos gráficas equivalentes para los ejemplos anteriores vemos un decaimiento muy rápido de la energía. Puesto que en el caso crítico y el sobreamortiguado no llega a realizar una oscilación completa, lo que vemos es que la curva de energía "cae en picado", siendo la disipación tanto más rápida cuanto mayor es la constante de amortiguamiento.

10. Factor de calidad

Observamos la ecuación obtenida para una oscilación subamortiguada:

Definimos ahora una constante de tiempo, , como

Que es el tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y es grande, el oscilador perderá una fracción muy pequeña de energía durante una oscilación. En este caso, la pérdida de energía por período viene dada por la ecuación

Donde T es el período.

El amortiguamiento de un oscilador subamortiguado se describe normalmente mediante la magnitud adimensional Q denominada factor de calidad o factor Q. Si la energía total es E y la pérdida en un período es

Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:

Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de amortiguamiento y la constante de tiempo:

2.- Ejemplos

En muchas aplicaciones prácticas se usa un amortiguamiento crítico o casi crítico para evitar oscilaciones y conseguir que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el empleo de sistemas que absorben choques para amortiguar las oscilaciones de un automóvil sobre sus muelles. Un sistema como éste se encuentra críticamente amortiguado o sobreamortiguado; puede verse esto empujando la parte delantera o trasera de un coche y observando que se producen una o dos oscilaciones antes de que el sistema quede en reposo. También es importante cuando se diseñan ciertos mecanismos oscilantes como un galvanómetro, en el que se desea que el mecanismo regrese suave y rápidamente a su posición de equilibrio.

Oscilaciones en un circuito LCR

3.- Ejercicios

1.- Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 3 cm con un muelle de constante k = 400 N/m. Hallar.

a) El período

b) La energía inicial total.

c) Si la energía disminuye en 1 por ciento por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q.

Solución

1.- a) La frecuencia angular:

El período:

b) La energía inicial total:

c) La pérdida en un período es:

El factor de calidad:

La constante de amortiguamiento:

2.- Se tiene un resorte de longitud prácticamente nula cuando está descargado y cuya constante elástica es 80 N/m. Se estira lentamente bajo la acción de una masa de 5 kg, sometida a la acción de la gravedad (g = 9.8 m/s2).Hallar:

a) Longitud en reposo del resorte estirado por el peso de dicha masa.

b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcular la pulsación y frecuencia de las oscilaciones del m.v.a

c) Se desplaza la masa 1 cm por debajo de su posición de reposo y se le imprime una velocidad

inicial hacia abajo de 2 cm/s. Calcular la energía total del movimiento armónico.

e) Calcular la amplitud del movimiento en cm y la velocidad máxima en cm/s.

f) Calcular la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima del movimiento en cm/s2.

g) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcular la constante de tiempo.

h) Calcular el tanto por uno de la energía total que el sistema pierde en cada oscilación.

i) Suponiendo que el sistema e considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse?

2.- a) La fuerza que produce el alargamiento del resorte es mg, luego

b) Sabemos que:

y

c) El período será:

y el número de oscilaciones por minuto:

d) La energía total del movimiento armónico así producido es:

e) En el instante de elongación máxima x = A y v = 0, luego podemos expresar la ET de la forma:

por tanto:

Análogamente cuando la velocidad sea máxima:

y

f) Cuando el móvil esté en el punto de máxima elongación estará dotado de la aceleración máxima y en ese instante la fuerza recuperadora será también máxima. por tanto

y

g) Llamamos constante de tiempo (tiempo de relajamiento) al necesario para que la energía Eo quede reducida a:

En este caso la amplitud es de la forma:

Luego:

Como:

cuando t = T = 60 s tendremos:

tomando logaritmos de la última expresión:

h) La energía en un instante t es:

y en un instante t + T es:

,

Luego:

Hemos visto que la amplitud va decreciendo da la forma:

cuando su valor sea A = 1 mm, se verificará:

http://jh0nny.wordpress.com/2009/12/06/oscilaciones-amortiguadas/