Oscilaciones Crina

Oscilaciones o vibraciones

Movimiento armónico simple (MAS)

Cuerpo unido a un muelle horizontal

F=-kx

Evolución temporal: x(t)

T


k

k

mm

A1

A2

T


la ecuación de un MAS: 022

2=+ x

dtxd ω

)cos()( ϕω += tAtx

)()( ϕωω +−== tAsendtdxtv

)cos()( 22

2

ϕωω +−== tAdt

xdta

la posición:

la velocidad :

la aceleración:

0=ϕ

ωπ2 ω

πωπ

23

ωπ2

F=-kx

1. Dibuja los MAS descritos por: x1(t)=A sen(ωt+φ) cuando φ=π/2x2(t)=A cos(ωt+φ) cuando φ=0

Indica que diferencia hay.

2. De un MAS conocemos la posición inicial x0, la velocidad inicial v0 y su aceleración inicial a0. Determina la amplitud, la frecuencia angular, el período y la frecuencia.

3. Una partícula efectua un MAS como el representado en la figura. Considera las dos posibilidades siguentes:

i) En algún momento durante la oscilación la partícula tiene velocidad nula, pero estáaccelerando.

ii) En algún momento durante la oscilación la partícula tiene velocidad y acceleraciónnulas.

a) Ambasb) Ninguna de las dosc) Solo la primerad) Solo la segunda



Problema 4-oscilacionesDeterminar la frecuencia de oscilación correspondiente a cada uno de los sistemas de las figuras.

(a) (b) (c)

MAS y movimiento circular

=cst

oθ

Ejemplos de sistemas oscilantes: el muelle vertical

Ejercicios test

2. Un resorte de constante elástica k y masa despreciable cuelga del techo. Si le colgamosen el extremo inferior libre un cuerpo y lo soltamos comienza a oscilar con un período T.¿Cuánto vale la amplitud A de sus oscilaciones?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


2

21 gTA =

π4

2gTA =

π2

2gTA =

2

2

4πgTA =

2

2

8πgTA =

EjercicioUn cuerpo de masa m=3kg estira 16 cm un muelle cuando cuelga de verticalmente en

equilibrio. El muelle se estira desde su posición de equilibrio y el sistema se deja oscilar.

a) Determinar la frecuencia del movimiento.b) Cómo cambia esta frecuencia si el cuerpo de 3kg se reemplaza por uno de 6kg?

Problema 6-oscilaciones

Una partícula se encuentra encima de un émbolo que efectúa oscilaciones verticales. Siel movimiento del émbolo es armónico simple de período T y amplitud A, determinarqué condición han de cumplir A, T y g para que la partícula deje de estar en contactocon el émbolo y en qué instante lo hará?


La energía del MAS

Ec Etot=1/2 kA2

Etot=1/2 kA2

Ec

La energía del MAS

Ec

Ejercicio

1. Un cuerpo en reposo cuelga verticalmente de un muelle. Cuando tiramos de este cuerpo hacía abajo la energía potencial (elástica y gravitatoria) del sistema

(a) aumenta

(b) se mantiene constante

(c) disminuye

La energía del MAS

Ejemplos de sistemas oscilantes: péndulos

El péndulo simpleEl péndulo simple El péndulo físicoEl péndulo físico El péndulo de torsiónEl péndulo de torsión

Ejercicios

1. Determinar el período de un péndulo de longitud de un metro.

2. En un simulador de nave espacial ha sido modificada la gravedad. Como se puede determinar el valor de la aceleración de la gravedad g si se dispone de un péndulo simple de longitud conocida L y un cronómetro?

3. Una persona se balancea en un columpio. Cuando esta persona está sentada el columpio oscila con una frecuencia f. Si a continuación al lado de la primera persona se sienta una segunda persona, la frecuencia del columpio:(a) aumenta(b) se mantiene constante(c) disminuye

El péndulo simple

Problema 10-oscilacionesUn alambre homogéneo de masa m y longitud L se doble por su punto medio hasta quesus dos mitades formen un codo de 60º. Si dicho codo se coloca ahora sobre un ejehorizontal y dejamos que efectué pequeñas oscilaciones de forma que el plano del codose mantenga en todo momento vertical, ¿cuánto valdrá el período T de dichomovimiento?

Problema 12-oscilacionesUna barra de masa m y de longitud 2L está articulada por su punto medio O de formaque puede girar sin rozamiento alrededor de O. Un extremo de esta barra está conectadoal suelo a través de un muelle de constante elástica k. El conjunto está en equilibriocuando el muelle está perpendicular a la barra, como se indica en la figura.Calcular el período T de este movimiento.

Péndulos - problemas

Oscilaciones amortiguadas

fuerza de frenadoo de amortiguamiento

vbF rr−=

Desplazamiento en función del tiempo

Amplitud y energía función del tiempo

Amortiguamiento crítico y sobreamortiguado

Amortiguamiento débil:

Amortiguamiento crítico

Sobreamortiguamiento

)cos()( 0 ϕω

ωββ +=

<<− teAtx t

o

o

toc

eBtAtx β

ωββ−+=

==

)()(

222;)()( ottt

oc

eBeAetx ωβγ

ωβββγγ −=+=

=>−−


Ejercicios:

1. Los amortiguadores de un coche están ajustados de tal manera que una perturbación inicial se relaja con una oscilación amortiguada críticamente. Si el coche se encontrara completamentesumergido en el agua las oscilaciones serían:(a) infraamortiguadas;(b) críticamente amortiguadas igualmente;(c) sobre amortiguadas.

2. Un cuerpo se encuentra colgado de un muelle, estando todo el sistema sumergido en agua. En esta situación, el cuerpo experimenta un movimiento oscilatorio infraamortiguado. Si seintroduce este sistema en un baño de aceite, la frecuencia de las oscilaciones:(a) aumenta;(b) se mantiene constante;(c) disminuye.

3. Si la amplitud de un movimiento amortiguado se reduce a 96% de su valor después de cadaoscilación a cuanto se reduce su energía?

(a) 94.1%(b) 92.2%(c) 98.3%(d) 48.0%


Problema 22-oscilaciones amortiguadas

Dos cuerpos unidos entre sí, uno de masa M y el otro de masa m, se cuelgan del techo por medio de un muelle de constante elástica k. Los dos cuerpos están en reposo, pero en un determinado instante se retira del muelle el cuerpo de masa m por lo que la masa M comienza oscilar efectuando un movimiento armónico ligeramente amortiguado debido al rozamiento del cuerpo con el aire.

(a) Determinar la energía total con que comienza a oscilar dicho cuerpo.(b) Si la pérdida relativa de amplitud en cada oscilación es p, determinar la pérdida relativa q de energía por período en función de p.(c) Con los datos numéricos: M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1,5%, calcular el tiempo necesario ∆t que debe transcurrir para que la energía del oscilador se reduzca a la cuarta parte de la inicial.


Problema 24-oscilaciones amortiguadas

Una masa de 0.5 kg unida a un muelle de constante elástica k=250 N/m, oscila con una amplitud inicial A0=6 cm.

(a) Hallar el período y la energía del oscilador en el instante inicial.(b) Determinar el valor del parámetro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energía se disipa a razón de 1% en cada ciclo.

Oscilaciones forzadas 3 soluciones de la ec. diferencial para el mismo oscilador forzado en condiciones iniciales diferentes

régimen transitorio régimen estacionario

ωπ2

=T

bv

ecuación diferencial de movimiento:

tmFx

dtdx

dtxd o

o ωωβ cos2 22

2

=++

tFo ωcos

Oscilaciones forzadas. Resonancia

)cos()( δω −= tAtx

222 )2()( ωβωω +−=

o

o

m

FA

−

= 222arctan

ωωβωδ

o

ω(rad/s)

ampl

itud

(m)

oωω=

ecuación diferencial de movimiento:

tmFx

dtdx

dtxd o

o ωωβ cos2 22

2

=++


resonancia catastrófica


Diagramas de resonancia en una guitarra• los objetos extensos tienen más de una frecuencia de resonancia

268 Hz (Q=52) 553 Hz (Q=66) 672 Hz (Q=61) 1010 Hz (Q=80)


Ejercicios:

1. Un oscil.lador forçat format per un cos i una molla es troba ajustat per treballar en situació de ressonància. A partir d’un cert moment observem que, per causes desconegudes, el sistema surt del règim ressonant. Ens plantejem les següents possibilitats per tornar a convertir el sistema en ressonant:

1. Fer servir un cos de massa diferent.2. Fer servir una molla de constant elàstica diferent.3. Situar el sistema en un medi de viscositat diferent.4. Variar l’amplitud del forçament.5. Variar la freqüència del forçament.

Quin o quins d’aquests procediments seran útils pel nostre propòsit?a. Nomès els 1, 2 i 5.b. Nomès els 3 i 5.c. Nomès el 5.d. Qualsevol d’ells.


Ejercicios:

2. Un objecte de massa 2 kg oscil·la enganxat a una molla de 800 N/m. El paràmetred’amortiment és β= 0.1 s-1. La força impulsora, en N, és F(t) = 25 cos 10 t. Aleshores, és cert que:(a) L’amplitud de l’oscil·lació estacionària és de 80 m.(b) La velocitat màxima del cos val 0.50 m/s.(c) Si variem la freqüència de la força impulsora fins a 15 rad/s l’oscil·lació entra en ressonància.(d) El factor de qualitat és 100.(e) El retard de l’elongació respecte de la força és de 3π/2.

3. El factor de qualitat d’un oscil.lador harmònic simple val:a. 0b. ∞c. 1d. Depèn de les característiques de l’oscil.lador.


Ejercicios:

4. Si som capaços de reduir la força de fricció viscosa que actua damunt d’un oscil·lador forçat, fins a un valor tal que el paràmetre d’amortiment es redueixi a un 10% del seu valor original, el factor de qualitat ...

(a) Augmenta fins a 10 vegades l’original.(b) Es redueix també fins a un 10% de l’original.(c) Augmenta fins a un 110% de l’original.(d) No varia.(e) Es redueix fins a un 1% de l’original.


Problema 27 - oscilaciones forzadas

Después de colocar un motor eléctrico giratorio de masa m=18 kg sobre una viga horizontal esta se ha flexionado ∆x=6 mm.

(a) Si no es conveniente que la viga se flexione demasiado, que velocidad angular, en rotaciones/minuto, se tienen que evitar especialmente?

(b) Si el rotor giratorio del motor, de masa M=8 kg, está descentrado a=0.5 cm respecto al eje de rotación, qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor esté funcionando a 350 rpm?

Superposición de dos MAS de la misma frecuencia

A1=A2, φ1−φ2=0

x

)cos( 111 ϕω += tAx)cos( 222 ϕω += tAx

A1=A2, φ1−φ2=π

Superposición de dos MAS de frecuencia distinta

21

1ff

Tpulsación −=

Superposición de dos MAS

Ejercicios:

1. Las siguientes gráficas muestran pulsaciones que ocurren cuando se superponen dos pares diferentes de oscilaciones armónicas. Para cuál de los dos pares la diferencia de frecuencias entre las oscilaciones originales es más grande?

a. para el caso 1b. para el caso 2c. la diferencia de frecuencia es igual en los dos casosd. se necesita más información para contestar a la pregunta

caso 1 caso 2


Ejercicios:

2. ¿Cuál tiene que ser la diferencia de frecuencias de dos MAS de igual amplitud para dar lugar a 2 pulsaciones por segundo?

a. 1 Hzb. 0.5 Hzc. 2 Hzd. 4 Hze. 0.25 Hz

fT

∆=

1


Ejercicios:

3. Se superponen dos oscilaciones armónicas perpendiculares de tal manera que la oscilación horizontal tiene una frecuencia doble que la vertical.¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a esta situación?

x

y

x

y

y

x

y

x

nn

ff==

ωω

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Oscilaciones Crina