OSCILACIONES ENAMM

OSCILACIONES

ING. LUIS FERNÁNDEZ DÍAZ ING. JAIME ESPINOZA SANDOVAL 2

OSCILACIONES FÍSICA (ENAMM 2011)

INTRODUCCIÓN

Todo sistema posee una capacidad de vibración y la mayoría de los sistemas pueden vibrar libremente de muchas maneras diferentes. Generalmente, las vibraciones naturales de objetos pequeños suelen ser rápidas, mientras que la de los objetos más grandes suelen ser más lentas.

Por ejemplo:

• las alas de un mosquito vibran centenares de veces por segundo y producen una nota audible. • La Tierra completa después de haber sido sacudida por un sismo, continua vibrando a una oscilación por hora.

• El cuerpo humano es un recipiente de fenómenos vibratorios: nuestros corazones laten, nuestros pulmones oscilan, tiritamos cuando tenemos frío, a veces roncamos, podemos oír y hablar gracias a que vibran nuestros tímpanos y laringes.



PARÁMETROS DE LAS OSCILACIÓN

AMPLITUD ( A):

Es el máximo desplazamiento que puede experimentar un cuerpo respecto a la posición de equilibrio. Si no existen fuerzas disipativas, tales como el rozamiento, la amplitud permanece constante.

X = 0Xmax = - A Xmax = A

AA



CICLO:Es una vibración completa que efectúa un cuerpo, partiendo de un punto y retornando nuevamente a él. Durante un ciclo el cuerpo que oscila recorre 4 A.

X = 0Xmax = - A Xmax = A

AA



PERIODO ( T ) :

Es el tiempo que demora un cuerpo en efectuar un ciclo o recorrer 4 A. Siempre es un número positivo. Se mide en segundos.

FRECUENCIA NATURAL ( f ):

Es el número de ciclos que efectúa un cuerpo por cada segundo o por cada unidad de tiempo. Se mide en Hertz.

f

1T

T

1f ……..(1)

También se cumple:



acumulado Tiempo

ciclos de Númerof ………(2)

1 Hertz = 1 Hz = 1 ciclo /s = s -1

FRECUENCIA ANGULAR ( ):

Es una cantidad cuya interpretación y utilidad se verá más adelante y que mide en rad/s.

T

2π f 2ω …………(3)



PROBLEMA No.1:

Un bloque se conecta a un resorte y oscila verticalmente. Usted que es un agudo observador, con un cronómetro detecta que el bloque efectúa 10 ciclos completos en 6 segundos. Determinar: a) la frecuencia natural de las oscilaciones; b) el periodo del movimiento oscilatorio y c) la frecuencia angular asociada a dicho movimiento.

Sugerencias: Dado el número oscilaciones, aplique la fórmula (2) para determinar la frecuencia natural. Luego aplique las fórmulas (1) y (3).



MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ( M.A.S)

Es un movimiento periódico y repetitivo que efectúa un cuerpo conectado a un resorte, alrededor de cierta posición de equilibrio. En éste caso, la amplitud de movimiento “A” permanece constante.

Para que el movimiento sea un M.A.S, la fuerza ejercida por el resorte debe ser proporcional al desplazamiento. Esto se cumple siempre y cuando no se exceda el límite elástico del resorte. Es por ello, que el movimiento es un M.A.S si las amplitudes de oscilación son pequeñas.



x (+)

m

k

m

m

k

X=0

x ( - )

F

F=0

F

X = posición

F = Fuerza

La fuerza siempre es opuesta al

desplazamiento

K = Constante elástica del resorte (N/m).

KxF ……(4)



En éste caso, la posición, velocidad y aceleración del cuerpo van cambiando en el transcurso del tiempo, y sus valores instantáneos pueden describirse mediante la función Seno o Coseno.

……(5)………(6)

x = A Sen(.t + )v = A Cos(.t + )

a = - 2 A Sen (.t + )a = - 2. X

x = A Cos(.t + )v = -A Sen(.t + )

a = - 2 A Cos (.t + )a = - 2. X

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Muelle.gif



Donde:

f = ángulo de fase en radianes ( depende de cómo se inicia el movimiento)

w= frecuencia angular en rad/s (depende de las características del resorte y de la masa que oscila)

m

k m = masa del cuerpo que oscila (Kg)

k = Constante elástica del resorte(N/m)

T = Periodo ( segundos)

f = frecuencia natural (Hertz)

……….(7)

k

m2π

ω

2πT

m

k

2π

1

T

1f

……..(8)

……(9)



La amplitud A de oscilación se calcula en función a la posición inicial de partida xo y a la velocidad inicial vo con que el cuerpo inicia su movimiento:

2

o2o ω

vxA

………(10)

El ángulo de fase , se calcula dependiendo de las condiciones iniciales del movimiento.



PROBLEMA No.2:

Un bloque de 0,50 kg se conecta al extremo de un resorte en posición horizontal. La constante elástica del resorte es k = 200 N/m. Si el bloque es desplazado 0,020m a la derecha de su posición de equilibrio y luego es soltado desde el reposo, determinar: a) la frecuencia angular, periodo, la amplitud y el ángulo de fase; b) las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración en función al tiempo.

m

k

Sugerencias: Usar las fórmulas (7), (10) y (11) para determinar el periodo, amplitud y ángulo de fase. Reemplazar los datos obtenidos en la fórmula (5)



PROBLEMA No.3:

Un bloque de 2 kg se sujeta al extremo de un resorte en posición vertical, cuya constante elástica es k=200N/m. El bloque es desplazado 0,10m debajo de su posición de equilibrio e impulsado con una velocidad inicial de 0,4m/s hacía abajo. Tome la dirección positiva verticalmente hacía abajo. Determinar: a) la frecuencia angular, periodo, amplitud y ángulo de fase de las oscilaciones subsecuentes; b) las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función al tiempo; c) la posición, velocidad y aceleración del bloque para t = 5s y t = 10s; d) la velocidad y aceleración máxima del bloque.

y(+)Sugerencias: Usar las fórmulas (7), (10) y (11) para determinar el periodo, amplitud y ángulo de fase. Reemplazar los datos obtenidos en la fórmula (5). Reemplazar t =5 y t =10s.



PROBLEMA No.4:

Una bloque de 0,20kg de masa efectúa un movimiento armónico simple, moviéndose a lo largo del eje X. Se sabe que el bloque efectúa 3 oscilaciones completas en cada segundo. Determinar: a) su frecuencia angular ; b) la aceleración del bloque cuando pasa por la posición x = +0,05m ; c) el valor de la fuerza restauradora que actúa sobre el bloque en dicha posición.

Sugerencias: Dado el número de oscilaciones, determinar la frecuencia f por la fórmula (2) y de aquí su frecuencia angular. La aceleración se obtiene a partir de (5) y la fuerza por la 2da ley de Newton: F=m.a



PROBLEMA No.5:

Un bloque conectado a un resorte en posición vertical, oscila de acuerdo a la siguiente ecuación: y = 2 Cos (.t + /4 ) , donde “y” se mide en metros y “t” en segundos. Determinar: a) la amplitud, frecuencia natural y periodo de su movimiento; b) velocidad y aceleración del bloque en función al tiempo; c) posición, velocidad y aceleración del bloque para t = 1s ; d) velocidad y aceleración máximas del bloque.

Sugerencias: Comparar la ecuación de movimiento con la ecuación (6) y obtener la amplitud y frecuencia angular. Aplicar la fórmula (6) para encontrar velocidad y aceleración en función al tiempo. Reemplazar t = 1s.



PROBLEMA No.6:

Un bloque descansa sobre una plataforma horizontal. a) Si la plataforma se mueve con M.A.S en forma paralela al piso con una frecuencia de 2 Hz, ¿qué magnitud debe tener la amplitud de las oscilaciones para que el bloque no resbale respecto a la plataforma? El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la plataforma es 0,5. b) Si plataforma vibra verticalmente con una amplitud de 25mm; ¿cuál es la frecuencia mínima para que el bloque deje de tener contacto con la plataforma?

Sugerencias: Determinar la aceleración máxima del bloque usando (2) y (6). Recuerde que la aceleración máxima se da en los extremos. Cuando la aceleración es máxima, actúa la fuerza de rozamiento estático máximo. Para la oscilación vertical, en el punto máximo asumir que el bloque pierde contacto con la plataforma N=0.



ENERGIA EN EL M.A.S

El movimiento armónico simple es un movimiento conservativo, donde la energía mecánica del sistema se mantiene constante.

En el M.A.S hay dos tipos de energía involucradas:

• Energía cinética (Ec), debido al movimiento de la masa; y• Energía potencial elástica (Ep) debido a la deformación del resorte.

2

2

1mvEc 2

2

1kxEp ……..(12) ……..(13)



Como la energía mecánica se conserva, el cuerpo que oscila tiene la misma energía mecánica en dos posiciones cualesquiera. Es decir:

22

22

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1kxmvkxmv

Cuando el cuerpo llega a un extremo , se encuentra en la posición x = A y su velocidad en ese momento es igual a cero. Luego:

222

2

1

2

1

2

1kAkxmv

…….(14)

……(15)



PROBLEMA No.7:

Un bloque de 0,5 kg se conecta al extremo libre de un resorte en posición horizontal, cuya constante es k=200 N/m. El bloque es desplazado 10cm a la derecha de su posición de equilibrio y luego es impulsado hacía la izquierda con una rapidez de 4m/s. Determinar: a) la velocidad del bloque cuando está 5cm a la izquierda de la posición de equilibrio; b) la velocidad del bloque al pasar por la posición de equilibrio y c) la amplitud de oscilación del bloque.

Sugerencias: Usar la fórmula (14) para relacionar la velocidad con la posición. Para hallar la amplitud recuerde que en un extremo la velocidad es cero y no hay energía cinética.



PÉNDULO SIMPLE

• Es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual colocado al extremo de un hilo de masa despreciable.

• La masa oscila alrededor de su posición de equilibrio (posición vertical).• La amplitud de las oscilaciones es pequeña.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Simple_Pendulum_Oscillator.gif



Las ecuaciones que gobiernan el movimiento pendular son:

L

gω

g

L2π

ω

2π T

……..(16)

……..(17)

w= frecuencia angular (rad/s)

g = aceleración de la gravedad (m/s2)

L = Longitud del péndulo ( m)


L

g

2π

1

T

1f ……..(18)



PROBLEMA No.8:

Calcular el periodo de un péndulo simple de 1m de longitud, en un lugar donde g = 9,80m/s2.

Sugerencias: Aplicar la fórmula (17)



PROBLEMA No.9:

Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple con longitud de 50cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136s. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad “g” en dicho planeta?

Sugerencias: Conociendo el número de oscilaciones y el tiempo, determine el periodo. Luego aplicar la fórmula (17) para determinar “g”.



PROBLEMA No.10:

Se suelta una esferilla a un hilo inextensible de 1,20m de longitud, tal como se indica, cuando A = 5º. Sabiendo que d = 60cm , encontrar: a) el tiempo empleado por el péndulo en volver a la posición inicial A; b) la amplitud C.

d

A

C

AB

C

1,20m

Sugerencias: Observe que la esferilla sólo completa un cuarto del periodo. Use la fórmula (17). Para conocer C aplique conservación de la energía (Física1).



PÉNDULO FÍSICO

• Es un péndulo real, de tamaño finito, a diferencia del péndulo simple donde la masa es puntual.

• El cuerpo oscila respecto a un pivote y la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el pivote se representa por “d”.

VER SIMULACIÓN“PÉNDULO FÍSICO”



Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un péndulo físico son:

I

mgdω

mgd

I2π

ω

2π T

I

mgd

2π

1

T

1f

m = masa del péndulo ( en kg)

d = distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad (en metros)


w= frecuencia angular ( en rad/s)

f = frecuencia natural ( en Hertz)

I = momento de inercia del péndulo (en Kg.m2)

…..(19)

….(20)

…..(21)



El momento de inercia ( I ) del péndulo depende de la masa del cuerpo que oscila y sus características geométricas. Físicamente es una medida de la inercia rotacional. Cuánto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, se necesita un torque para para ponerlo en rotación.

G

O

d

22

12md

mLI

LG

O

R

d

22

2md

mRI

R

dO

G

22 mdmRI

Barradisco

aro delgado



PROBLEMA No.11:

Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación completa con un ángulo pequeño, cada 2 segundos. ¿Qué radio debe tener el aro?

Sugerencias: Calcule el periodo y aplicar la fórmula (20) para calcular el momento de inercia del aro. A partir de ello determinar su radio.



PROBLEMA No.12:

Considere una barra delgada de masa m = 4 kg y de longitud L = 1,2m, pivoteada en un eje horizontal libre de fricción a una distancia L/4 desde un extremo. a) Determine el momento de inercia de la barra; b) ¿Cuál es su periodo de oscilación?

L/4

L

O

Sugerencias: Aplicar la fórmula del momento de inercia para barras. Calcule su periodo con la fórmula (20).



PROBLEMA No.13:Un péndulo compuesto consta de un disco uniforme de 10,5cm de radio y 500g de masa, unido a una barra de 60cm de longitud que tiene una masa de 300g. a) Calcular el momento de inercia del conjunto respecto al pivote; b) Calcule el periodo de oscilación para ángulos pequeños; c) ¿Cuál es la longitud de su péndulo simple equivalente?

60cm10,5cm

Sugerencias: Aplicar la fórmula del momento de inercia para barras y disco. Calcule su periodo con la fórmula (20). El péndulo simple equivalente es aquél que tenga el mismo periodo que el péndulo físico.



OSCILACIONES AMORTIGUADAS

• En el M.A.S no se toma en cuenta la fricción , la resistencia del aire o cualquier otro tipo de fuerza resistente; por lo que se supone que el movimiento continua indefinidamente.

• En la práctica, un bloque suspendido al extremo de un resorte, tiene una amplitud que va decreciendo en el tiempo, llegando a detenerse en algún momento.

• La fuerza de rozamiento o resistencia que presenta un medio al movimiento de un cuerpo, es proporcional a la velocidad del cuerpo y dirigido en sentido opuesto a su movimiento.



Las ecuaciones correspondientes a éste movimiento son:

φ)tCos(ωAex amort(b/2m)t

2

2

m

b

m

kamort

……(22)

……(23)

b = constante de amortiguamiento (N.s/m o Kg/s)



PROBLEMA No. 14:

En el sistema mostrado en la figura, el bloque tiene una masa de 1,5kg y está conectado a un resorte de constante k = 8 N/m. La constante del amortiguador es b = 0,225 kg/s. Suponga que el bloque se jala hacía un lado una distancia de 12cm y luego se suelta. a) Calcule el tiempo requerido para que la amplitud de la oscilación disminuya hasta un tercio de su valor inicial; b) ¿Cuántas oscilaciones efectúa el bloque en ese tiempo?

b

k

x

m

Sugerencias: Usar la fórmula (22) y (23) para relacionar dos amplitudes después de un periodo.



PROBLEMA No.15:

Supóngase que usted está examinando las características del sistema de suspensión de automóvil de 2000 kg de masa. La suspensión se comprime 10cm cuando suben al auto 4 pasajeros de 60kg de masa cada uno y se observa que la amplitud de la oscilación disminuye en un 50% durante una oscilación completa. Calcule el valor de “b” , sabiendo que la constante de cada resorte es k = 1000 N/m. Asumir que cada rueda soporta la cuarta parte del peso.

Sugerencias: Usar la fórmula (22) y (23) para relacionar dos amplitudes después de un periodo.

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