oscilatii compuse

7/25/2019 oscilatii compuse

1/14

- 11 -

5. Compunerea oscilaiilor

5.1. Compunerea oscilaiilor armonice paralele de aceeai pulsaie

Vom lucra n reprezentarea complexa oscilaiilor:

z1 = A1 ( )1tie + , x1 = Re z1 = A1 ( )1tcos + (5.1)

z2 = A2( )2tie + , x2 = Re z2 = A2 ( )2tcos + (5.2)

Micarea rezultanteste tot o micare oscilatorie armonicde aceeai pulsaie:

z = z1+ z2 =( )+=

+

tieAi

eAi

eAtie 221

1 ,

x = Re z = x1+ x2 (5.3)

Complex conjugata acestei relaii este:

z = ( )+=

+

tieAi

eAi

eAtie 221

1 (5.4)

Fcnd produsul ultimelor relaii obinem:

z z = A2 = ( ) ( )

+

++ 21212122

21

ie

ieAAAA (5.5)

Folosind formula lui Euler:

=+

cos

2

ieie

obinem:A2 = ( )2121

22

21 cosAA2AA ++

sau, deoarece ( ) ( )1221 coscos =

A2 = ( )122122

21 cosAA2AA ++ (5.6)

Relaia (5.3) poate fi scrisastfel:

z = =( )[ ]22112211 sinAsinAicosAcosAtie +++ ( )+ sinicosAtie

Prin identificarea prilor reale i a celor imaginare obinem:A cos = 2211 cosAcosA + (5.7)

A =sin 2211 sinAsinA + (5.8)

De aici rezult:

2211

2211

cosAcosA

sinAsinAtg

+

+= (5.9)

Relaia (5.6) poate fi obinuti din (5.7) i (5.8) prin ridicare la ptrat i adunare membrucu membru.

Dac , (k = 0, 1, 2, ... ) atunci A = A1+ A2, iar oscilaiile sunt n= k212 faz.


2/14

- 12 -

Dac ( )+= 1k212 , (k = 0, 1, 2, ... ) atunci A = A1 A2, iar oscilaiile sunt nopoziie de faz.

n particular, dacA1 = A2 rezult A = 0 , adicpunctul material rmne n repaus.

Dac ( )1k212 += 2

, (k = 0, 1, 2, ... ) atunci , iar oscilaiile

sunt n

22

21

2 AAA +=

cuadratur.

5.2. Compunerea oscilaiilor armonice paralele de pulsaii puin diferite (fenomenul debti)

n reprezentarea complex, oscilaiile care se compun sunt descrise de relaiile:

z1 = A1( )11 tie + , z2 = A2 ( )22

tie

+ (5.10)

Notnd:

12 = , =+ 221 (5.11)

obinem:

22

+= ,21

= (5.12)

+

=1

11

t2

i

eAz ,

+

+

=2

22

t2

i

eAz (5.13)

Compunnd oscilaiile obinem:

z = z1+ z2 = A1

+

1t

2

i

e + A2

+

+ 2

2

i

e =

= a (t)( )tti

e +

(5.14)

z = A1

+

1

t2

ie + A2

+

+ 2t2i

e =

= a(t)( )tti

e +

z z = a a = a2= +

+

++

t22

i

eAAAA21

2122

21

+

+

21 t22i

e

a2

=( ) ( )

+

++

tie

tieAAAA

212121

22

21


3/14

- 13 -

a2 = ( )tcosAA2AA 212122

21 ++

a2 = ( )122122

21 tcosAA2AA +++ (5.15)

Relaia (5.14) poate fi pussub forma:

z = {

++

t

2cosAt

2cosAtie 2211 +

+

++

t2

sinAt2

sinAi 2211 =

= a (t) ( ) ( )[ ]tsinitcostie +

Identificnd prile reale pe de o parte i prile imaginare pe de altparte, obinem:

a (t) =( )tcos

++

t2

cosAt

2

cosA 2211

a (t) =( )tsin

++

t2

sinAt2

sinA 2211

( )

++

++

=

t2

cosAt2

cosA

t2

sinAt2

sinA

ttg

2211

2211

(5.16)

Din relaiile (5.15) i (5.16) rezultcamplitudinea i faza iniialvariazn timp, adic

oscilaia rezultant nu mai este armonic. Amplitudinea micrii rezultante este o funcieperiodicce variazntre un maxim egal cu A1+ A2pentru =+ k2t 12 i un minimegal cu A1 A2atunci cnd ( 12 tcos )+ = - 1, adicpentru ( ) +=+ 1k2t 12 .

Dacdiferena 12 este foarte micn raport cu media pulsaiilor 2+

21= , atunci

a (t) i variazfoarte lent n comparaie cu funciile( )t tcos i , adicmicarearezultanteste o

tsin oscilaie modulatatt n amplitudine, ct i n faz.

Maximele de amplitudine corespund unor amplificri periodice ale micrii oscilatoriinumite bti, care sunt evideniate prin alternana lor cu amplitudinile minime. Prinfrecvena btilorse nelege numrul de bti pe unitatea de timp, iar prin perioada btilorse nelege timpul scurs ntre dou bti consecutive, adic ntre dou momente deamplitudine maxim.

Notnd cu perioada btilor, putem scrie urmtoarele relaii care corespund la dou

maxime consecutive:b

=+ k2t 12

( ) ( )+=++ 1k2t 12b

Scznd termen cu termen prima ecuaie din a doua, obinem:

= 2b

de unde rezultperioada btilor


4/14

- 14 -

12b

2

2

=

= (5.17)

Frecvena btilor este:

( )12

1212

bb

2

2

2

1 =

=

=

= (5.18)

Rezult c frecvena cu care se succed maximele, deci frecvena btilor, este egal cudiferena celor doufrecvene componente.

Din relaia (5.17) rezult cmaximele (btile) sunt cu att mai rare cu ct frecveneleoscilaiilor componente sunt mai apropiate. Dac diferena dintre 1 i este mare,frecvena btilor este ridicat, iar amplitudinea a(t) variaz foarte repede n timp, astfelnct fenomenul de bti nu mai poate fi pus n evidenexperimental.

2

Ilustrm fenomenul de bti pentru 1 = 60 Hz i 2 = 70 Hz, pentru care = 10 Hz.b

n cazul particular n care A1 = A2 = A0, 21 = din relaia (6.15) obinem:

a (t) = tcosA2A2 202o + = t2

cosA2

2

tcos2A2 120

220

=

(5.19)

1 = 60 Hz

2 = 70 Hz

b = 10 Hz

n acest caz din (6.14) rezult:

x = Re z = a (t) ( )[ ] ( )

+

+

=+ tt

2

cost

2

cosA2ttcos 21120 (5.20)

Relaia (5.20) evideniaz modularea amplitudinii 2 t2

cosA 120 . Fenomenul de

bti se poate pune n eviden cu ajutorul a dou diapazoane de frecvene puin diferite.Sunetele provenind de la vibraiile celor dou diapazoane se compun i dau natere lafenomenul de bti: se aude un sunet a crui intensitate crete i scade periodic. Fenomenulde bti are aplicaii numeroase n acustic i n electronic. n electronic se construiescreceptoare heterodinn care oscilaiile electrice primite de la circuitul antenei ( = 106Hz)se suprapun cu oscilaiile unui oscilator local cu frecvena apropiat ( = 9,9 105Hz) idau n circuitul unui telefon bti de frecven (106 9,9 105) Hz = 104 Hz, cu carevibreazmembrana telefonului. Vibraiile membranei cu aceastfrecvensunt percepute de

ureche.


5/14

- 15 -

5.3. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare de aceeai pulsaie

Considerm o particulcare se micn planul xy sub aciunea a douoscilaii armoniceperpendiculare de aceeai pulsaie.

x = A tcos (5.21)

y = B ( )+ tcos (5.22)

Pentru a obine traiectoria, eliminm timpul din cele dourelaii:

tcosA

x= (5.23)

== sinA

x1cos

A

xsintsincostcos

B

y2

2

(5.24)

= sin

A

x1cos

A

x

B

y2

2

(5.25)

Ridicnd la ptrat relaia (5.25) obinem:

=+ sin

A

x1cos

A

xcos

BA

yx2

B

y 22

22

2

2

2

2

=+ sincosBA

yx2

B

y

A

x 22

2

2

2

(5.26)

Aceasta este ecuaia unei elipse nscrise ntr-un dreptunghi de laturi 2A i 2B. Oscilaiadescrisde ecuaia (5.26) este o oscilaie polarizateliptic.

Pentru a obine unghiul format de axamare a elipsei cu axa Ox, exprimm x i yn coordonate polare ( , ):

x = cosy = sin

(5.27)

nlocuind (5.27) n (5.26) obinem:

=+ sinBAcoscossinBA2cosBsinA 2222222222

cos2sinBAcosBsinAsinBA 2222

222

2

+ = (5.28)

Deoarece n lungul axei mari are valoarea maxim, rezultcunghiul corespundeanulrii derivatei numitorului din relaia (5.28).

0d

d 2=

= 0 cos2cosBA2sincosB2cossinA2 22

( ) = cos2cosBA22sinBA 22

22 BA

cosBA2

2tg

= (5.29)


6/14

- 16 -

Analizm cteva cazuri particulare.

a) Dac , (k = 0, 1, 2, ...), atunci oscilaiile sunt n= k2 concordande faz, iarrelaia (5.26) se reduce la forma:

0B

y

A

x

= y = xA

B

(5.30)

care este ecuaia unei drepte ce trece prinorigine i este situat n cadranele I i III.Oscilaia este polarizatliniar. Se poate artac orice micare armonic liniar se poatedescompune n dou micri oscilatoriiarmonice n concordan de faz, pe direcii

perpendiculare.

b) Dac ( )+= 1k2 , (k = 0, 1, 2, ...), atunci oscilaiile sunt n opoziie de faz, iar

relaia (5.26) devine:y = x

A

B (5.31)

care reprezintcealaltdiagonala dreptunghiului. Oscilaia este polarizatliniar.

Se poate arta c o micare oscilatoriearmonic liniar se poate descompune n doumicri oscilatorii armonice n opoziie de faz,

pe direcii perpendiculare.

c) Dac ( )2

1k2

+= , (k = 0, 1, 2, ...),

atunci oscilaiile sunt n cuadraturde faz, iarrelaia (5.26) devine:

1B

y

A

x2

2

2

2

=+ (5.32)

care reprezinto elipsraportatla axele sale. Oscilaia este polarizateliptic.

Pentru k = 0,2

= oscilaiile componente sunt descrise de relaiile:

x = A tcos , y = B tsinB2

tcos =

+ (5.33)

iar punctul material se micpe traiectorie n sensul acelor de ceasornic.

Pentru k = 1, 2

3

= oscilaiile componente sunt descrise de relaiile:


7/14

- 17 -

x = A tcos , y = B

+2

3tcos = B tsin (5.34)

iar punctul material se micpe traiectorie n sens antiorar.n general, pentru k par oscilaia rezultant este polarizat eliptic drept, iar pentru k

impar oscilaia este polarizateliptic stng.n particular, dac A = B , elipsa devine un cerc:

x2 + y2 = A2 (5.35)

5.4. Compunerea a douoscilaii circulare de aceeai pulsaie i amplitudine, polarizaten sensuri contrare

Prin compunerea unei oscilaii polarizate drept

x1 = A tcos , y1 = tsinA (5.36)

cu o oscilaie polarizatstng

x2 = A tcos , y2 = A tsin (5.37)se obine o oscilaie liniar cu pulsaia egal cu pulsaia oscilaiilor componente i cuamplitudinea dubl.

x = x1 + x2 = 2 A tcos , y = y1 + y2 = 0 (5.38)

Rezult c o oscilaie polarizat liniareste echivalent cu dou oscilaii circulare,

polarizate n sensuri contrare.Acest rezultat este util n studiul

rezonanei magnetice nucleare.

5.5. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare de pulsaii diferite

Considerm douoscilaii armonice perpendiculare de pulsaii diferite:

x = A ( )11 tcos + (5.39)

y = B ( )22 tcos +

Prin compunerea lor se obine o micare a crei traiectorie este cuprins n dreptunghiul

A x A , B y B.Dacpulsaiile sunt proporionale cu numere ntregi, astfel ca raportul lor sfie un numrraional (raport de numere ntregi)

Qnn

n

2

1

2

1 ==

(5.40)

atunci exist o perioad T0 , cel mai mic multiplu comun al perioadelor fiecrei micricomponente, aa nct micarea rezultanteste periodic, iar traiectoria particulei este o curbnchis, numitcurbLissajous. Relaia (5.40) se obine astfel:


8/14

- 18 -

( ) ( )[ ] ( )++=++=+ n2tcosATtcosAtcosA 11110111 = n2T 101

( ) ( )[ ] ( )++=++=+ n2tcosBTtcosBtcosB 22220222

= n2T 202

2

1

2

1

n

n=

Traiectoria micrii depinde de raportul pulsaiilor i de defazajul dintre oscilaiile

componente. Ca exemplu considerm traiectoria corespunztoare cazului

4,221 == .

Figurile lui Lissajous sunt utilizate n electronicpentru determinarea frecvenelor cu ajutorulosciloscopului. Un semnal contribuie la deflexia orizontal, iar cellalt la deflexia vertical.Raportul pulsaiilor se determin ca raportul dintre numrul punctelor de intersecie atraiectoriei cu o dreaptverticali una orizontal.

Cazul n care pulsaiile vibraiilor componente diferfoarte puin ntre ele poate fi redusla compunerea a douvibraii cu aceeai pulsaie, dar cu defazajul dintre ele variind lent

n timp. Astfel, pentru += 12 obinem:

x = A , y = B( 11 tcos + ) ( )ttcos 21 ++ , 12 t +=

Dac pulsaiile nu sunt proporionale cunumere ntregi, atunci micarea nu mai poatefi periodic, iar traiectoria este o curbdeschiscare acoperntreg dreptunghiul

A x A , B y B.

n mod asemntor pot fi compuse treioscilaii armonice perpendiculare de pulsaiidiferite.


9/14

- 19 -

6. Descompunerea oscilaiilor complexe

6.1. Descompunerea oscilaiilor periodice (analiza armonic)

O oscilaie periodiccomplex(nearmonic) poate fi reprezentatprintr-o suprapunere deoscilaii armonice. Astfel, mrimea fizicperiodic

x (t) = x (t + T)

se poate exprima sub forma unei serii Fourier

x (t) = (

=++

1ntnsinbtncosa

2

a1n1n

0 ) (6.1)

unde:

( ) ( ) tdtxT

2tdtx

T

2a

2

T

2

T

T

0

0

== (6.2)

( ) ( ) tdtncostxT

2tdtncostx

T

2a 1

2

T

2

T

1

T

0

n ==

(6.3)

( ) ( ) tdtnsintxT

2tdtnsintx

T

2b 1

2

T

2

T

1

T

0

n ==

(6.4)

iar T =

1

2

este perioada funciei x(t). S-a ales

2

a 0 i nu a0 pentru ca a0 saibaceeai

formca i an.

Constanta2

a 0 este termenul de ordinul zero (n = 0) , tsinbtcosa 1111 + este

termenul de ordinul nti, care are frecvena cea mai mic 1 numit frecvenafundamental, a2 t2sinbt2cos 121 +

2 1 este termenul de ordinul doi i corespunde

frecvenei i aa mai departe, termenul de ordinul n corespunznd frecvenei. Termenul de ordinul nti reprezint oscilaia sau

2 =

1n n = armonica fundamental, iartermenii de ordinul doi, trei, patru etc. reprezintarmonicele de ordin superior.

Operaia de descompunere a unei funcii periodice oarecare n armonice se numeteanalizarmonici este folositca mijloc de cercetare n acustici electronic. Evideniereafizic a armonicelor superioare n cazul semnalelor electrice, acustice, vibratorii arat cdezvoltarea Fourier are o fundamentare material.

Coeficientul a0 se obine prin integrarea relaiei (6.1) de la 0 la T sau de la2

Tla

2

T .

( ) =

=+

=+= td

1ntnsinbtdtncos

1natd

2

atdtx

T

0

1n

T

0

1n

T

0

0T

0

= 0

T

2nsinT

T

2nsin

n

1

1n

aT

2

a

1

n0

=

+


10/14

- 20 -

T2

a0

T

2ncosT

T

2ncos

n

1

1nb 0

1n =

=

0a = T

2 ( ) tdtx

T

0

Astfel, ntr-o perioadT , pentru n 0 , tnsin 1 i tncos 1 iau un numr egal devalori negative i pozitive, integralele din acestea fiind nule.

Coeficientul se obine nmulind relaia (6.1) cuna tmcos 1 i integrnd de la 0 la T:

( ) += tdtmcos2a

tdtmcostxT

0

10

1

T

0

+ tdtnsintmcos1nbtdtncostmcos

1na 1

T

0

1n1

T

0

1n

=+

=

( ) ( ) ( )

td2

tnmcostnmcos

1natdtmcostx

T

0

11n1

T

0

++

== +

( ) ( )td

2

tmnsintmnsin

1nb

T

0

11n

++

=+

Pentru m n integralele din membrul drept sunt nule (se reduc la cazul anterior cu= m n 0, n = m + n 0).n Pentru m = n rezult:

( ) nT

0

n1

T

0

a2T

2tdatdtncostx == ( ) tdtncostxT

2a 1T

0

n =

Coeficientul se obine nmulind relaia (6.1) cunb tmsin 1 i integrnd de la 0 la T :

( ) +=T

0

10

1

T

0

tdtmsin2

atdtmsintx

+ tdtnsintmsin1nbtdtncostmsin

1na 1

T

0

1n1

T

0

1n

=+

=

( ) ( ) ( )

+++

== td2

tnmsintnmsin

1natdtmsintx

T

0

11n1

T

0

+( ) ( )

td2

tnmcostnmcos

1nb

T

0

11n

+

=

Pentru m n integralele din membrul drept sunt nule, iar pentru m = n rezult:

( ) nT

0

n1

T

0

b2

T

2

tdbtdtnsintx == ( ) tdtnsintxT

2b 1

T

0

n =


11/14

- 21 -

Astfel oscilaia periodic nearmonic x (t) se poate exprima cu ajutorul funciilorsistemului ortogonal trigonometric.

( pentru orice n sau m). =T

0

11 0tdtncostmsin

Seria Fourier este convergent, deoarece pentru n coeficienii i devindin ce n ce mai mici. n cazul n care seria Fourier este rapid convergent, este suficient snelimitm la primii trei, patru termeni ai seriei.

na nb

De multe ori se utilizeazforma complexa seriei Fourier:

x (t) = (6.5)

=

n

tnieC 1n

unde:

( )dttni

etxT

C

2

T

2

T

n

=11

(6.6)

Artm crelaia (6.5) este identiccu relaia (6.1).

T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )bia2

17.4,7.3tdtnsinitncostx

T

1C nn

2

2

T

11n =

(6.7)

( ) ( ) ( )nn

2

T

2

T

11n

bia2

1tdtnsinitncost x

T

1C +=+=

(6.8)

( )2

atdt x

T

1C 0

2

T

2

T

0 ==

(6.9)

Astfel relaia (6.5) devine:

( ) =

=

+

=

+=

1n

tnieC

1n

tnieCCtx 1n

1n0

( ) ( +

=++

1ntnsinitncosbia

2

1

2

a11nn

0 = )

+ ( ) ( =

=+

1ntnsinitncosbia

2

1 11nn )

= ( +

=+++ tnsin

1nbtncosbitnsinaitncosa

2

1

2

a1n1n1n1n

0

) =++ tnsinbtncosbitnsinaitncosa 1n1n1n1n +


12/14

- 22 -

= ( )

=++

1ntnsinbtncosa

2

a1n1n

0 (6.1)

6.2. Descompunerea semnalelor neperiodice

O funcie neperiodicpoate fi privitca un caz limital unei funcii periodice cu perioadainfinit. Pentru ,T

T

21

= devine infinitezimal, d1 , iar n = 1

devine o variabilcontinu, astfel csuma din relaia (6.5) se transformn integral.

X (t) = ( ) =

tietdtietx2d

= ( ) =

d

tietdtietx2

1

= ( )

dt2ietdt2ietx

Dacnotm:

( ) ( )

= tdt2ietxX (6.10)

atunci:

( ) ( )

= dt2ieXtx (6.11)

( )X din (6.10) i din (6.11) se numesc( )tx integrale Fourier. Ele formeazo perechede transformate Fourier (una este transformata Fourier a celeilalte).

( )X descrie un fenomen fizic n domeniul amplitudine-frecven (reprezentare ndomeniul frecvenei), iar descrie acelai fenomen n domeniul amplitudine-timp(reprezentare temporal).

( )tx

care are aceeai formca relaia (6.1).

1. S se determine amplitudinea, faza i ecuaia micrii rezultate din

compunerea urmtoarelor dou oscilaii paralele:

R.:


13/14

- 23 -

2.

S se scrie ecuaia micrii rezultate din compunerea urmtoarelor douoscilaii perpendiculare

R.:Ecuaia micrii rezultante este:

Traiectoria este o elips raportat la axele sale.

3. S se determine amplitudinile maxim i minim, faza, frecvena btilor

i ecuaia micrii rezultante din compunerea urmtoarelor dou oscilaii paralele de

pulsaii foarte apropiate

R.:

,


14/14

- 24 -

Ecuaia micrii rezultante este:

Documents

oscilatii compuse