Oscilatorno kretanje - University of Banja Luka · Oscilatorno kretanje Periodično kretanje. Oscilacije. • Kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima naziva

Oscilatorno kretanje Tehnička fizika 1

22/11/2019 Tehnološki fakultet

Oscilatorno kretanje

• Periodično kretanje i harmonijske oscilacije

• Oscilovanje tijela obješenog o elastičnu oprugu

• Matematičko klatno, fizičko klatno i torziono klatno

• Prigušene harmonijske oscilacije

• prinudne oscilacije i rezonancija


Periodično kretanje. Oscilacije.

• Kretanje koje se ponavlja u

određenim vremenskim

intervalima naziva se

periodično kretanje.

•Periodično kretanje koje se ponavlja na isti način

naziva se oscilatorno kretanje, a proces oscilovanje.

• Oscilacija je jedan ciklus oscilatornog kretanja poslije

čega se kretanje ponavlja.


Periodično kretanje. Oscilacije.

• Oblici oscilatornog kretanja:

• mehanička

• elektromagnetska;

• elektromehanička.

• Tijelo ili sistem koji vrši oscilatorno kretanje naziva se

oscilator.

• U zavisnosti od prisustva spoljašnjih sila oscilacije

mogu biti:

• slobodne ili sopstvene – izvodi ih oscilatorni sistem ako se izvede

iz ravnotežnog položaja i prepusti sam sebi;

• prigušene i

• prinudne pod dejstvom spoljašnje periodične sile.


Veličine kod periodičnog kretanja.

• Period oscilovanja predstavlja vrijeme koje je potrebno

da sistem izvrši jednu punu oscilaciju.

• Frekvencija oscilovanja predstavlja broj izvršenih

oscilacija u jedinici vremena.

• Elongacija (pomjeraj) predstavlja rastojanje materijalne

tačke ili tijela od ravnotežnog položaja

• Amplituda predstavlja

maksimalni pomjeraj

kod prostoperiodičnog

kretanja.

Harmonijske oscilacije.

• Kretanje materijalne tačke po krugu poluprečnika r je

primjer harmonijskih oscilacija, odnosno oscilatornog

kretanja čija se elongacija mijenja po prostoperiodičnom

zakonu.

•Harmonijsko kretanje može da bude sa početnom

fazom.

tyy sin0

00 sin tyy

Tijelo obješeno o elastičnu oprugu.

• Vertikalni harmonijski oscilator – tijelo mase m obješeno o oprugu

izvodi slobodne oscilacije nakon izvođenja iz ravnotežnog položaja

• Kada se tijelo pomjeri iz ravnotežnog položaja za x(t): • opruga se rasteže takođe za x(t),

• na krajevima opruge dejstvuju jednake sile suprotnog smijera –

elastična sila koja je prema Hukovom zakonu:

• k je konstanta proporcionalnosti, krutost opruge

• Prema III Njutnovom za svaku silu postoji sila reakcije koja djeluje

u suprotnom smijeru

Tijelo se kreće pod

dejstvom elastične

sile opruge.

tkxF


• Prema II Njutnovom zakonu sila koja dejstvuje na tijelo:

• Izjednačavanjem gornjeg izraza za silu sa izrazom za elastičnu

silu dobija se diferencijalna jednačina kretanja:

• znak „-“ ukazuje na činjenicu da je elastična sila uvijek suprotnog

smijera od smijera kretanja.

• Sređivanje gornje jednačine dobija se izraz:

0)(

0)(

0)(

2

0

xtx

xm

ktx

kxtxm

txmF

kxtxm

m

k0

Sopstvena kružna frekvencija


• Rješavanjem diferencijalne jednačine:

• Dobija se jednačina kretanja:

• Tijelo izvodi harmonijske oscilacije sa periodom oscilovanja:

• što je masa tijela veća period oscilovanja je veći.

0)(2

0 xtx

k

mT

2

2

0

tAtx 0sin)(


• Kinetička energija tijela jednaka je:

• Potencijalna energija u odnosu na ravnotežni položaj:

• Za maksimalni pomjeraj u odnosu na ravnotežni položaj:

• Ukupna energija:

2

2mvEk

2

2kxkxdxFdxAEp

2

2kAEp

2222

22

0

222 AmkAkxmvE

Matematičko klatno.

• Materijalna tačka obješena o neistegljivu nit bez težine.

• Izvođenjem matematičkog klatna iz ravnotežni položaj:

• na klatno dejstvuje težina, čija je tangencijalna komponenta

aktivna;

• ova sila je uvijek usmjerena ka ravnotežnom

položaju;

• klatno osciluje oko ravnotežnog položaja,

naizmjenično pretvarajući kinetičku u

potencijalnu energiju.


• Pri rotacionom kretanju na klatno djeluje moment sile:

•Moment inercije:

• ugaono ubrzanje:

• S druge strane, sila F=mgsinθ ima krak

l u odnosu na osu rotacije, tako da je

moment sile:

IM

2mlI

2

2

dt

d

sinmglM


• Izjednačavanjem momenata dobija se diferencijalna

jednačina:

• Sređivanjem izraza:

• Za male uglove sinθ=θ:

2

22sindt

dmlmgl

0sin

0sin

2

2

2

22

l

g

dt

d

gldt

dl

02

02

2

dt

d

Matematičko klatno

• Opšte rješenje diferencijalne jednačine daje jednačinu

kretanja:

• Oscilacije matematičkog klatna su harmonijske sa

periodom oscilovanja:

• period oscilovanja ne zavisi od mase klatna;

• zavisi od dužine klatna i gravitacionog ubrzanja.

•Pošto svako klatno ima period oscilovanja koristi se za izradu

časovnika.

tt 00 sin)(

g

lT

2

2

0

Fizičko klatno

• Tijelo u ravnotežni položaj vraća sila:

• Na klatno djeluje moment:

𝑀 = −𝑚𝑔𝑠sin𝜃

• Za male uglove je: 𝑀 = −𝑚𝑔𝑠𝜃

• Na osnovu drugog Njutnovog zakona:

𝑀 = 𝐼𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝜔0

2𝜃 = 0

𝜔0 =𝑚𝑔𝑠

𝐼

𝑇 =2𝜋

𝜔𝑜= 2𝜋

𝐼

𝑚𝑔𝑠

𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

s

CM

Fizičko klatno

• Opšte rješenje diferencijalne jednačine daje jednačinu

kretanja:

• Oscilacije fizičkog klatna su harmonijske sa periodom

oscilovanja:

• period oscilovanja zavisi od momenta inercije I;

mase m i rastojanja s.

tt 00 sin)(

𝑇 =2𝜋

𝜔𝑜= 2𝜋

𝐼

𝑚𝑔𝑠

M

r F1 F2

Torziono klatno

• Ako neko tijelo čvrsto vežemo za donji kraj elastične

žice, onda će uvrtanjem žice za ugao φ na tijelo djelovati

moment elastične sile:

𝑀 = −𝑐 ∙ 𝜑

• Konstanta proporcionalnosti c naziva se torziona

konstanta. Ona predstavlja moment sile potreban da se

žica uvrne za ugao od 1 rad.

𝑇 = 2𝜋𝐼

𝑐

Prigušene harmonijske oscilacije.

• Na oscilatorni sistem veoma često, pored elastične i

gravitacione sile, dejstvuju i druge sile (sile trenja).

• Realni sistemi imaju određeno prigušenje koje dovodi

do smanjenja ampitude oscilovanja i postepenog

prestanka kretanja sistema.

• Mehanizmi prigušenja (viskozno trenje, suvo trenje) uzrokuju da se

energija nepovratno gubi npr. pretvaranjem u toplotnu energiju pri

trenju.

• Oscilacije koje nastaju u takvim sistemima nazivaju se prigušene

harmonijske oscilacije.

• Kod sistema u prisustvu trenja amplituda oscilovanja će postepeno

opadati ka nuli usljed trošenja energije oscilatornog sistema na rad

savladavanja sile trenja.


• Kada se tijelo pomjeri iz ravnotežnog položaja za x(t): opruga se rasteže takođe za x(t),

na krajevima opruge dejstvuju jednake sile suprotnog smijera

– elastična sila koja je prema Hukovom zakonu:

• k je konstanta proporcionalnosti, krutost opruge

• Javlja se sila prigušenja (viskozno trenje) koja je za male brzine

srazmjerna brzini, a suprotnog smijera

od brzine:

Sila prigušenja djeluje na krajevima

prigušivača.

tkxF

txrFtr


•Prema II Njutnovom zakonu rezultanta sila koja djeluje

na tijelo, tijelu saopštava ubrzanje:

• Izjednačavanjem gornjeg izraza za silu sa rezultantom sila dobija

se diferencijalna jednačina:

Znak „-“ ukazuje na činjenicu da su elastična

sila i sila viskoznog trenja uvijek suprotnog

smijera od smijera kretanja.

txmF

xrkxtxm


• Jednačina kretanja može se napisati u obliku:

Rješenje diferencijalne jednačine zavisi

od prigušenja.

0 txm

ktx

m

rtx

02 2 txtxtx nn

km

r

2


• Kada je prigušenje malo javljaju se prigušene

periodične oscilacije:

• Kada je prigušenje veliko javljaju se prigušene aperiodične

(neperiodične) oscilacije, ne javljaju se oscilacije već sistem odmah

ide u ravnotežni položaj.

km2r ,1

km2r ,1

Prinudne oscilacije.Rezonansa.

• Ako se kod sistema sa prigušenjem želi održavati

oscilovanje, neophodno je primjeniti spoljašnju silu koja

će da nadoknadi gubitak usljed prigušenja.

• Usljed dejstva neke spoljašnje sile nastaju prinudne

oscilacije.

•Frekvencija oscilovanja sistema zavisi od frekvencije

prinudne sile.

Prinudne oscilacije.Rezonansa.

• Ako se frekvencija prinudne sile mijenja:

• Za frekvencije koje su manje od sopstvene frekvencije,

amplituda vibracionog sistema će se povećavati sa

porastom frekvencije prinudne sile;

• Maksimum se postiže na sopstvenoj frekvenciji;

• Ukoliko u sistemu ne postoji prigušenje, amplituda

dostiže beskonačnu vrijednost.

• Kada je frekvencija prinudne sile mnogo veća od

sopstvene, prinudne oscilacije ne postoje.

• Pojava maksimalnog pojačanja amplitude prinudnih

oscilacija pod dejstvom prinudne periodične sile naziva

se rezonansa.

• Pri rezonansi može doći i do razaranja sistema.

•The first Tacoma Narrows Bridge, which

collapsed in 1940.

Documents

Oscilatorno kretanje - University of Banja Luka · Oscilatorno kretanje Periodično kretanje. Oscilacije. • Kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima naziva