Oscillatory Motion or OscillationOscillatory Motion or Oscillation振盪運動（振動）振盪運動（振動）

0 時彈力 F 0x = 0 時彈力 Fs = 0

k

m

x朝外伸長為正

目標目標

伸長 位移 物體速度 物體加速度• 伸長（位移）x、物體速度 vx、物體加速度ax 與時間 t 之間的關係x

• 三種方法：微積分：只要得到 ( ) 便可得到 d /d– 微積分：只要得到 x(t)，便可得到 vx = dx/dt、ax= dvx/dt

– 機械能守恆：在振動過程中，機械能（E）= 彈簧位能（Us）+ 動能（K）不變（可以得到 x 與之間的關係vx 之間的關係）

– 圓周運動投影法：中學的方法

彈力與位移的關係彈力與位移的關係

彈力方向與伸長（位移）方向相反

描述位移 x 對時間 t 的關係描述位移 x 對時間 t 的關係

微積分法微積分法

m

彈力方向與伸長（位移）方向相反

加速度 ax = d2x/dt2Fs = -kx

Newton 2nd Law

Fs = max => -kx = md2x/dt2 022

=+ xmk

dtxd

mdt這是一個微分方程式x(t) = ？等號才會成立

022xd

基本假設：•彈力是唯一作用在物體上的力（淨力= 彈力）彈簧是理想彈簧

令 ω2 = k/m

022 =+ xdtω

•彈簧是理想彈簧

微分公式微分公式

( ) ( )φωωφω +=+ ttd cossin( ) ( )

( ) ( ) ( )φωωφωωφω

φωωφω

+−=+=+

+=+

ttddt

dd

ttdt

sincossin

cossin

22

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )φωωφω

φφφ

+−=+ ttdtd

dtdtsincos

2

( ) ( ) ( )φωωφωωφω +−=+−=+ ttdtdt

dtddt

cossincos 222

用 chain rule

0222

=+ xdt

xd ω simple harmonic motion（簡諧運動）方程式dt

( ) ( )φω += tAtx cos代入成立

A 與 φ 為任意常數( ) ( )φ

理論上可以用數學轉換

( ) ( )ψω += tBtx sin也可以用 B 與 ψ 為任意常數A1 與 A2 為任意常數( ) ( ) ( )tAtAtx ωω cossin 21 +=

這些都是簡諧運動方程式的解

微分方程式的求解方式：工程數學或應用數學

A 是甚麼？A 是甚麼？

2

3

A = 2 xmax

0

1

(t)

φ = 0ω= 1x(t) = 2cos(t)

A

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(

x

-3

-2

t

xmin

A = 振幅（amplitude）x – x = 2Axmax xmin 2A

φ是甚麼？φ是甚麼？3

1

2

)

A = 2φ = 0

-2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)

φω= 1x(t) = 2cos(t)

-3t

3A 2

φ = phase constant相

1

2

)

A = 2φ = π/3ω= 1x(t) = 2cos(t + π/3)

-2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)x(t) = 2cos(t + π/3)

phasephase constant

-3t

x(t) 領先 π/3 （60。）或是垂直座標軸朝右移 π/3或是圖形向左移 π/3

phase constant

數學圖形基本常識數學圖形基本常識

y y

y = f(x) + c

c

xy = f(x)

c

x

y = f(x) y = f(x – c)

cx = c

右邊的曲線在 x – c = 0（x = c）處的高度與左邊曲線在 0 處處的高度與左邊曲線在 x = 0 處的高度相同

特殊的 φ特殊的 φ

1

2

3

A = 2φ /2

2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)

φ = -π/2ω= 1x(t) = 2cos(t - π/2) = 2 sin(t)

-3

-2

t

1

2

3A = 2φ = π/2ω= 1

2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)x(t) = 2cos(t + π/2) = -2 sin(t)

( ) ( )θθ i2/-3

-2

t

( ) ( )( ) ( )θπθ

θπθsin2/cos

sin2/cos−=+

=−

ω是甚麼？ω是甚麼？3

1

2

)

A = 2φ = 0

ω= angular frequency決定振動的快慢

-2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)φ 0

ω= 1x(t) = 2cos(t)

決定振動的快慢ω愈大振動愈快

-3t

3

ω2 = k/m =>

k

1

2

3

A = 2mk

=ω

k 愈大振動愈快

-2

-1

00 2 4 6 8 10 12 14

x(t)φ = 0

ω= 2x(t) = 2cos(2t)

k 愈大振動愈快m 愈大振動愈慢

-3

2

t

週期週期

週期（period），每隔多久回復到原來狀態

3 T

0

1

2

0 2 4 6 8 10 12 14

x(t)

3

-2

-10 2 4 6 8 10 12 14

-3t

T 雖然到相同位置，但速度 v （斜率）不同T 雖然到相同位置 但速度 vx（斜率）不同

T 與 ω的關係T 與 ω的關係

( ) ( )φω += tAtx cos每振動一次，x(t) 回復原來狀態，( )phase 變化 2π，t 變化一個週期 T

ω(t + T) + φ = ωt + φ + 2πω(t + T) + φ ωt + φ + 2π

ωT = 2π

kmT ππ 22 ==period

振動一次要多久時間

kω

f （頻率）kf ω 11 ===

每單位時間振動多少次

frequency（頻率） mTf

ππ 22===

物體速度與加速度物體速度與加速度

( ) ( φ)彈力 Fs = -kx(t)

• x(t) =Acos(ωt + φ)• vx(t) = dx/dt = -Aωsin(ωt + φ) 成正比但方向相反，因為2

彈力 Fs =max(t)

x( ) ( φ)• ax(t) = dvx/dt = -Aω2cos(ωt + φ)• 衍生問題（sin 與 cos 函數最大值為 1）：

xdt

xdax2

2

2

ω−==

• 衍生問題（sin 與 cos 函數最大值為 1）：– 最大伸長量 xmax：A最大速度– 最大速度 vxmax = Aω

– 最大加速度 axmax = Aω2– x(t) 與 ax(t) 成正比但方向相反（簡諧運動的判別方式）

加速度隨時間改變，等加速度運動公式不適用

基本趨勢基本趨勢

振動範圍中央• 振動範圍中央：x = 0– ax = 0 xx– Fs = 0

|v | = v = Aω– |vx| = vxmax = Aω• 振動範圍兩端：|x| = A

AAx = 0

– |ax| = axmax = Aω2

– |F | = F

x > 0vx > 0ax < 0

x < 0vx > 0ax > 0

左右側

移動方向|Fs| Fsmax– vx = 0 x < 0

vx < 0x > 0vx < 0

移動方向

與 x 相反

xax > 0

xax < 0加速：vx 與 ax 同向

減速：vx 與 ax 反向

A 與 φ有時要根據給定條件決定A 與 φ有時要根據給定條件決定在一簡諧運動中 若 2 00 d/ （有時根據 k 與• 在一簡諧運動中，若 ω = 2.00 rad/s（有時根據 k 與m 決定），當 t = 0s 時 x = 0.200 m，vx = 0.500 m/s

(t) A ( t + φ)x(t) = Acos(ωt + φ)x(0) = 0.200 => 0.200 = Acos(φ) v (t) = Aωsin(ωt + φ)

60.1125.1 22 =+1vx(t) = -Aωsin(ωt + φ)vx(0) = 0.500 => 0.500 =-2Asin(φ)0 5/0 2 = 2 5 = -2sin(φ)/cos(φ) =-2tan(φ) φ

1.2522 1/ 0.5/0.2 2.5 2sin(φ)/cos(φ) 2tan(φ)

tan(φ) = -1.25 => φ = -tan-1(1.25)cos(φ) = 1/1.60 = 0.625

φ1

2 1/

(φ)A = 0.200/cos(φ) = 0.320 m於是 x(t) = 0.32cos(2t – tan-1(1.25))

換另一種型式會簡單一些換另一種型式會簡單一些

使用• 使用 x(t) = A1sin(ωt) + A2cos(ωt)• 於是 v (t) = dx/dt = A1ωcos(ωt) – A2ωsin(ωt)於是 vx(t) dx/dt A1ωcos(ωt) A2ωsin(ωt)• x(0) = 0.200 = A1sin(0) + A2cos(0) = A2

sin(0) = 0cos(0) = 1ω ω

0 1

10• vx(0) = 0.500 = 2.00A1cos(0) – 2.00A2sin(0) =

2.00A1 => A1 = 0.250

ω 0

.00 1 1 0. 50• 於是 x(t) = 0.25sin(2t) + 0.2cos(2t)

A1 A2

無論 A 與 φ或 A1 與 A2 都有兩個待決定的參數

最簡單的狀況最簡單的狀況t = 0 時將彈簧拉至 x = A 處，此時 vx(0) = 0，然後放手讓彈簧振動，此後除了彈力外沒有任何力作用在物體上彈力外沒有任何力作用在物體上

k

m

x = A( ) ( )tAtx ωcos= φ= 0( ) ( )tAtx ωcos φ

cos(0) = 1 => x(0) = A

機械能守恆機械能守恆

在振動過程中 保持固定• 在振動過程中：E = Us + K 保持固定– 也就是 Ei + Usi + Ki = Ef + Usf + Kf也就是 i si i f sf f– E：mechanical energy

U kx2/2：potential energy of spring機械能

– Us = kx2/2：potential energy of spring– K = mvx2/2：kinetic energy

位能 彈簧動能

– i：initial– f：final

起始（前）

結束（後）f （ ）

2222

21

21

21

21

xffxii mvkxmvkx +=+ 2222

2222xffxii mvkxmvkx +=+ ff

( ) ( )2222 xixffi vvmxxk −=−( ) ( )xixffi

( ) 22222 xixffi vvxx −=−ω ( ) xixffi= k/m

不同給定條件不同給定條件

給定在振動範圍中央（xi = 0）的速度 v i = v0給定在振動範圍中央（xi 0）的速度 vxi v0

( ) 22222 xifxfi vvxx −=−ω 22202 xfxf xvv ω−= 2220 fxf xvv ω−±=( ) xifxfi0 v02

0 xfxf 0 fxf xvv ω

根據位置 xf 求 vxf給定在振動範圍兩端（ A） 此時 0給定在振動範圍兩端（xi = A），此時 vxi = 0

( ) 22222 xiffi vvxx −=−ω ( )2222 fxf xAv −= ω 22 fxf xAv −±= ω( ) xiffiA2 0

( )fxf ff通過給定 xf 兩次 但移動方次，但移動方向相反

彈簧位能與動能的消長彈簧位能與動能的消長

2

3

0

1

2

x

-2

-10 1 2 3

-3t

15

5

10

15

-5

00 1 2 3

v x

-15

-10

t

50

20

30

40

Us

0

10

20 K

E

0 1 2 3

t

30

40

50

10

20

30

Us

K

E

mv02/2kA2/2

0-2 -1 0 1 2

xxkA2/2 = mv02/2⇒v02 = vxmax2 = A2k/m = A2ω2⇒vxmax = Aω

圓周運動投影法圓周運動投影法 x = Acosθθ = ωt + φ

ωφ = 0

物體速度的投影物體速度的投影

v = Aωsin(θ) = Aωsin(ωt + φ)Screen vt = Aωt ：切線方向θ

θ

vx = -Aωsin(θ) = -Aωsin(ωt + φ)

方向與 x 相反

θ

θ

θx

ω

A

物體加速度的投影物體加速度的投影

a = Aω2cos(θ) = ω2cos(ωt + φ)Screen ax = -Aω2cos(θ) = -ω2cos(ωt + φ)

方向與 x 相反

θ

θx

ac = Aω2

ωc ：朝圓心方向

A

其他簡諧運動其他簡諧運動任何變數 y 對時間 t 形成以下關係都會使 y 成為簡諧運動型態：y y

02

=+ ayyd ayyd −=2

或 a = ω2 > 002 + aydtay

dt2

單擺（simple pendulum）單擺（simple pendulum）考慮擺動圓弧 s 方向的力平衡關係：

2d

圓弧切線方向的加速度

θ

T 這是張力（t i ） 不是週期

θsin22

mgdt

sdmmat −==L

T 這是張力（tension），不是週期與圓弧 s 方向相反

θmg sinθ

s

θ2d

s = Lθ

mgmg cosθθθ sin2 gdt

dL −=

θ2d θθ sin22

Lg

dtd

−=或

當°< 5θ當 < 5θ

θθ ≈sin 所以 1sinlim

0=

→ θθ

θ

弧度

θ

因此Lg

=2ω 或Lg

=ω

θθLg

dtd

−≈22

因此

或 022

≈+ θθLg

dtd

Ldt Ldt張角 θ對時間 t 形成簡諧運動型態

gLT π

ωπ 22 ==

Lg

Tf

π211

==g

擺長 L 愈長，擺動愈慢重力加速度 g 愈大，擺動愈快質量 m 不影響擺動快慢

複擺（Physical Pendulum）複擺（Physical Pendulum）

O

τα =OI

angular acceleration

torque

CMdθ 以 O 為旋轉中心的 moment inertia

g

dsinθ τ = -mg d sinθ

以逆時鐘為正

mg2

2

dtd

dtd θωα ==

g

θθ sin2

mgddIO −= θθ sin2

2 mgdd−=或θsin2 mgddt

IO θ2OIdt

當°< 5θ當 < 5θ

θθ ≈sin

弧度

OImgd

=2ωOI

mgd=ω或

θθI

mgddtd

−≈22

OIdt

mgdIT Oπ

ωπ 22 ==

mgdI

Tf O

π211

==

特例：當物體於 CM 縮成一點： O

d

IO = Σmr2 = md2CM

dg

mdmgd

Imgd

O

=== 2ωO

跟 simple pendulum 一樣，此時擺長為 d mg

問題 模式 求解問題—模式—求解

mk物理問題

x

2 kxd控制方程式

建模

02 =+ xmk

dtxd控制方程式

（數學模式）

求解：

還可以用到哪些題目？

( ) ( )

求解：微積分工程數學

( ) ( )φω += tAtx cos解答這不是唯一的辦法

實驗數值方法

非簡諧運動振動非簡諧運動振動

• Damped Oscillation– 具有與速度成正比，但與運動方向相反的阻力

阻尼振動

具有與速度成正比 但與運動方向相反的阻力

• Forced Oscillation有其他作用力作用在物體上

強制振動

– 有其他作用力作用在物體上

阻尼振動阻尼振動

類似避震器類似避震器

k

m•b：阻尼係數•阻力方向與移動方向（速度）相

x 阻力 f = -bv = -bdx/dt

方向（速度）相反

m彈力 Fs = -kx

加速度 a = d2x/dt2加速度 a d x/dt

Newton 2nd Law dx/dt

ΣFx = max => -kx - bvx = md2x/dt2

02

=++ xkdxbxd簡諧運動沒有此項，即 b = 0

02 ++ xmdtmdt 這就是阻尼振動方程式

0 025

0.03

0.035

0 005

0.01

0.015

0.02

0.025

x(t)

(m)

Overdamping過阻尼

b2 – 4mk > 0

0

0.005

0 2 4 6 8 10 12

t (s)

0 035

0 015

0.02

0.025

0.03

0.035

x(t)

(m)

Critically damped b2 4 k 0

0

0.005

0.01

0.015

0 2 4 6 8 10 12

xCritically damped臨界阻尼

b2 – 4mk = 0

0.0250.03

0.035

t (s)

Underdamping阻尼不足

0 0050

0.0050.01

0.0150.02

0 2 4 6 8 10 12

x(t)

(m)

b2 – 4mk < 0

-0.02-0.015-0.01

-0.005 0 2 4 6 8 10 12

t (s)

強制振動強制振動

k F(t) 其他外力m

x 阻力 f = -bv = -bdx/dt

m彈力 Fs = -kx

加速度 a = d2x/dt2F(t)

加速度 a d x/dt

Newton 2nd Law dx/dt

ΣFx = max => -kx - bv + F(t) = md2x/dt2

非強制振動沒有此項

( )tFxkdxbxd =++2

非強制振動沒有此項

mx

mdtmdt++2

簡諧運動沒有此項，即 b = 0

這就是強制振動方程式

若 F(t) = F sin(ωt)若 F(t) F0sin(ωt)

現在 ω是外力的 angular frequency，不是 (k/m)1/2

k F(t)Fm F0

x

0 06

0.08

0.1

0.12

0

0.02

0.04

0.06

x(t)

(m)

A

-0.06

-0.04

-0.02 0 2 4 6 8 10 12

t (s)

振動最後達到的振幅

( )2

2

0 /

⎞⎛=

b

mFAω( )2202 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

mbωωω

自然頻率：在沒有阻尼時 系統（彈簧 擺等）的振動頻率mk /20 =ω ω0 或 f0 = ω0/(2π)：natural frequency

自然頻率：在沒有阻尼時，系統（彈簧、擺等）的振動頻率

8

10

4

6

A b = 1

b = 0.1

b 愈小

0

2b = 0.01

0 1 2 3 4 5

ω外力的頻率

ω0 系統的自然頻率

以鞦韆為例以鞦韆為例

L

鞦韆有一自然擺動頻率：

g 若推力的頻率 ω接近 ω0可以使鞦韆達到較大的

Lg

=0ω 可以使鞦韆達到較大的振幅

Fragonard: Swing

Fragonard: See-Saw