OSCYLATOR HARMONICZNY

•Drgania swobodne oscylatora harmonicznego

•Energia potencjalna sprężystości

•Drgania tłumione oscylatora harmonicznego

•Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

•Rezonans amplitudowy

•Rezonans mocy

•Dobroć układu drgającego

DRGANIA SWOBODNE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Prawo Hooke’a kxxF )(

m - masa, k - stała sprężystości sprężyny

Równanie ruchu

m

kx

dt

xd

mkxdt

xdm

kxxFma

0202

2

2

2

,0

:

)(

Rozwiązanie ogólne zależy od dwóch stałych A, B

)sin()(0,

)0(,0)0(Niech

00

0

0

0

0

tv

txBv

A

vvx

Stałe wyznacza się z dwóch warunków początkowych

)sin()cos()(

)cos()sin()(

000

00

tBtAdt

dxtv

tBtAtx

Przykład: wahadło matematyczne

g

lT

T

l

g

dt

d

l

g

dt

d

mllmgdt

dml

lmgdt

dLM

dt

Lddt

dmlmlLlv

vmlplL

lmgMPlM

gmP

P

PP

22

,0

0sin

:sin

sin

sin

,

00

0

0202

2

2

2

0

22

22

22

ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI

)cos()(),sin()()0(,0)0(Niech 0000

00 tvtvt

vtxvvx

Energia kinetyczna

Maksymalna wartosć energii kinetycznej odpowiada sytuacji, gdy oscylator

przechodzi przez położenie równowagi x=0. Wówczas energia potencjalna Ep=0.

Gdy wychylenie oscylatora jest maksymalne, x=v0/0, energia kinetyczna Ek=0 (v=0)

i całkowita energia jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej.

tmvmv

tEE kk 022

0

2

cos2

1

2

2

0

020

20max, 2

1

2

1

v

mmvEk

Kwadrat maksymalnego wychylenia(amplitudy drgań)

Stąd energia potencjalna

constmvEEtmvtEE

kxxmtEE

kppp

pp

200

220

2220

2

1sin

2

12

1

2

1

Zauważmy żedx

dEkxF p

DRGANIA TŁUMIONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Siła tłumiącadt

dxvFt

Równanie ruchu

m

k

mx

dt

dx

dt

xd

mvkxdt

xdm

0202

2

2

2

,2,02

:

Przypadek słabego tłumienia 0 Drgania wokół położenia równowagi o malejącej wykładniczo amplitudzie, z częstoscią mniejszą od częstości drgań własnych 0

Przypadek silnego tłumienia 0 Wykładniczy powrót do położenia równowagi, brak drgań

Tłumienie krytyczne 0 Wolniejszy niż wykładniczy powrót do położenia równowagi, brak drgań.Można pokazać, że rowziązanie ma postać (A, B - stałe wzynaczane z warunków początkowych)

)exp()()( tBtAtx

Przypadek słabego tłumienia

Rozwiązania poszukujemy w postaci (A,φ - stałe zal. od warunków początkowych)

ttAtx rsinexp)(

Wstawiając do równania i grupując wyrazy przy funkcjach sin, cos otrzymujemy

ttAtx

ttA

ttA

r

rrr

rr

220

022

0

20

22

sin)exp()(

,

0cosexp22

sinexp2

obwiednia

drgania tłumione

Przypadek silnego tłumienia

Rozwiązania poszukujemy w postaci tAtx exp)( Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy równanie na

20

22

20

21

20

2

20

2

,

02

exp:0expexp2exp

tAtAtAtA

Rozwiązanie ogólne ma postać kombinacji liniowej rozwiązań z 1, 2

tBtAtx 20

220

2 expexp)(

A, B - stałe wzynaczane z warunków początkowych

tAtxt

1

2112

exp)(

,0

DRGANIA WYMUSZONE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Siła wymuszająca tFtFzewn sin)( 0Równanie ruchu

m

Ff

m

k

mtfx

dt

dx

dt

xd

mtFvkxdt

xdm

0000

202

2

02

2

,,2,sin2

:sin

Stan ustalony oscylatora z wymuszeniem (rozwiązanie dla t )

Rozwiązania poszukujemy w postaci tAtx sin)(Rozwiązanie ma postać drgań o częstości równej częstosci siły wymuszającej,amplitudzie A, przesunietych w fazie o względem siły wymuszającej.

Rozwiązanie nie zawiera zależności od warunków początkowych (w szczególnościA, nie zależą od warunków początkowych, tylko od parametrów oscylatora).Dla małych t w układzie występują drgania nieustalone, których postać zależy odwarunków początkowych. Amplituda drgań nieustalonych maleje wykładniczo z

czasem i przy t pozostają tylko drgania ustalone, niezależne od warunków początkowych.

Wstawiając postulowaną postać rozwiązania do równania, otrzymujemy

tftAtA sincos2sin 022

0 Korzystając ze wzorów na sin(+), cos(+) otrzymujemy

tftAtAf

sincoscos2sinsinsin2cos 0

0

220

220

0

20

222220

0

22220

0

220

2arsin

2)(

2)(

2

cos

sin

ctgtf

tx

fAA

tg

REZONANS AMPLITUDOWY

0

A

Amplituda drgań ustalonych jest maksymalna, gdy

022

0 20

d

dA

Rezonans amplitudowy

Rezonans mocy

REZONANS MOCY

Moc absorbowana (chwilowa) tAtFtvtFP zewn cossin0

Niech <y(t) > oznacza średnią wartość wielkości y w ciągu jednego okresu T=2/siły wymuszającej

sin2

1sinsincossincos

cossin

sinsincoscoscos

0...3sin2sinsin2

1cossincossin

1cossin1cossin

0

2

1

2

02sin2

1

0

0

2222

2222

AFtttAF

ttAFP

ttt

ttt

tttt

tttt

t

22

22220

20

2

22220

220

2

2

2sin

2

Amfm

P

tg

Moc absorbowana jest maksymalna, gdy

0

5.0

5.0

Dla częstości rezonansowej drgania ustalonesą przesunięte w fazie o /2 (czyli o 1/4 okresu)względem siły wymuszającej. Jest to maksymalne możliwe przesuniecie w fazie.

tftx

cos

2)(

0

0

0

00

0

2

0

fAA

d

Pd

rez

W stanie ustalonym (drgania o stałej amplitudzie) moc absorbowana = mocy traconej na pracę przeciw sile tłumiącej

DOBROĆ UKŁADU DRGAJĄCEGO

2220

222222222

220

2220

2220

220

4

14

1cos

2

1cos

2

1

2

14

1sin

2

1sin

2

1

2

1

AmEEE

AmtAmEtAmmvE

AmtAmEtAmxmE

kp

kk

pp

Średnia energia zmagazynowana w układzie

Dobroć układu drgającego: stosunek energii zgromadzonej w układzie do energiitraconej w ciągu jednego okresu na pokonanie siły tłumienia (w stanie ustalonym równej energii dostarczanej przez siłę zewnętrzną) przy częstości pobudzenia równejczęstości rezonansowej.Im więcej energii można zmagazynować w stosunku do mocy strat, tym lepszy układ.

2

20

0

TP

EQ

Przykład: drgania w obwodzie RLC z wymuszeniem

tUtU sin)( 0

L

Uf

LCL

R

tfxdt

dx

dt

xd

tL

Uq

LCdt

dq

L

R

dt

qd

000

0202

2

02

2

,1

,2

,sin2

,sin1

II prawo Kirchhoffa

C

qU

dt

qdL

dt

dILU

dt

dqRRIU

UUUtU

C

L

R

CLR

2

2

0)(

I - natężenie prądu,q - ładunek na kondensatorzeCzęstość drgań własnychobwodu RLC

LC

10

DobroćR

LQ 0