OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II - studentski.netstudentski.net/get/ulj_fel_ae1_oe2_sno_magnetostatika_03__skripta.pdf · OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Magnetostatika Dejan Križaj 2011. KRATKO

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II

Magnetostatika

Dejan Kriaj

2011

KRATKO KAZALO (GLAVNA POGLAVJA)

UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE

1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON

Magnetno polje zemlje

3. AMPEROV ZAKON

4. MAGNETNI PRETOK FLUKS

5. DELO MAGNETNIH SIL

6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK

7. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRINEM IN MAGNETNEM POLJU

8. MAGNETNE LASTNOSTI SNOVI

9. MAGNETNI MATERIALI

10. ANALIZA MAGNETNIH STRUKTUR

Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksi

11. Inducirana napetost

Primeri upotevanja matematine magnetilne krivulje pri izraunu inducirane napetosti

12. Energija magnetnega poljaEquati on Se ction 12

13. Lastna in medsebojna induktivnost

14. Razirjen Amperov zakon

15. Povzetek enab elektromagnetnega polja

KAZALO

KAZALO ............................................................................................................................................................... 2

UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE ................................................................................................................... 6

Kompas (Kitajska, 200 bc) ................................................................................................................................... 6

Magnetit (Grija, bc) ........................................................................................................................................... 6

Gilbert (anglija, 1600) prvi znanstven pristop .................................................................................................. 7

1700 1800 ........................................................................................................................................................ 8

Oersted (Danska, 1820) eksperiment s tokom in kompasom .......................................................................... 8

1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU ........................................................................................ 10

Permeabilnost vakuuma ................................................................................................................................... 11

Enota za elektrini tok ...................................................................................................................................... 11

Tokovni element................................................................................................................................................ 12

Magnetna sila na tokovni element ................................................................................................................... 13

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON ............................................................................................................................ 19

Magnetno polje osnovnih struktur (tokovodnikov), izraunano z uporabo biot-savartovega zakona ............. 20

Magnetno polje zemlje.................................................................................................................................. 31

Zdrueno magnetno polje zemlje in sonca ........................................................................................................ 33

3. AMPEROV ZAKON ..................................................................................................................................... 35

Izrauni polja s pomojo amperovega zakona .................................................................................................. 37

4. MAGNETNI PRETOK FLUKS ...................................................................................................................... 43

Izraun fluksa .................................................................................................................................................... 43

Brezizvornost magnetnega polja ...................................................................................................................... 45

induktivnost (prvi) ........................................................................................................................................... 48

Magnetni sklep ................................................................................................................................................. 48

5. DELO MAGNETNIH SIL ............................................................................................................................... 51

6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK ....................................................................................................................... 56

Navor na tokovno zanko v magnetnem polju. .................................................................................................. 58

Magnetni dipol in magnetni dipolni moment ................................................................................................... 59

D'Arsonvalov ampermeter ................................................................................................................................ 62

7. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRINEM IN MAGNETNEM POLJU ..................................................................... 63

Gibanje nabojev v elektrinem polju ................................................................................................................. 63

Gibanje nabojev v magnetnem polju ................................................................................................................ 63

Lorentzova sila .................................................................................................................................................. 65

Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemlje ................................................................................................ 66

Katodna cev ...................................................................................................................................................... 67

Obstoj elektrona in doloitev naboja elektrona ................................................................................................ 68

Hallov pojav ...................................................................................................................................................... 69

Merjenje magnetnega polja s hallovim efektom .............................................................................................. 70

Ciklotron............................................................................................................................................................ 71

Masni spektrograf ............................................................................................................................................. 73

** Dodatno: relativistien pogled na gibanje delcev ........................................................................................ 75

** Dodatno: Kvantni Hallov efekt ..................................................................................................................... 75

8. MAGNETNE LASTNOSTI SNOVI .................................................................................................................. 77

Od kod trajnim magnetom lastnost, da povzroajo magnetno polje? ............................................................. 77

Vektor magnetizacije ........................................................................................................................................ 78

Zveza med magnetizacijo in povrinskim tokom .............................................................................................. 79

Magnetna poljska jakost (H) in razirjen Amperov zakon ................................................................................ 80

Zveza med B, H in M ......................................................................................................................................... 82

Magnetna susceptibilnost in relativna permeabilnost ..................................................................................... 83

Zveza med B in H ............................................................................................................................................... 84

Magnetna napetost .......................................................................................................................................... 85

Magnetni potencial. .......................................................................................................................................... 86

Mejni pogoji magnetnega polja ........................................................................................................................ 86

** Dodatno: Magnetni naboj ............................................................................................................................ 92

9. MAGNETNI MATERIALI .............................................................................................................................. 94

Diamagnetiki..................................................................................................................................................... 94

Paramagnetiki .................................................................................................................................................. 94

Antiferomagnetiki ............................................................................................................................................. 95

Ferimagnetiki .................................................................................................................................................... 96

Superparamagnetiki ......................................................................................................................................... 96

Feromagnetiki ................................................................................................................................................... 97

10. ANALIZA MAGNETNIH STRUKTUR.......................................................................................................... 102

Postopek raunanja magnetnih struktur ........................................................................................................ 103

PRIMERI izraunov .......................................................................................................................................... 104

Delovna toka (trajnega) magneta ................................................................................................................. 110

Magnetna vezja .............................................................................................................................................. 111

Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksi .................................................................................. 115

Efektivna permeabilnost in faktor induktivnosti ............................................................................................. 115

Upotevanje temperaturne in frekvenne karakteristike ............................................................................... 116

Uporaba programov za numerino simulacijo magnetnih struktur ................................................................ 118

Upotevanje stresanja fluksa v zrani rei ...................................................................................................... 118

Trajni magneti................................................................................................................................................. 119

Kako izraunati in izbrati ustrezno tuljavo? .................................................................................................... 121

Nekaj aplikacij ................................................................................................................................................. 122

Induktivni senzorji bliine ................................................................................................................................ 122

Gradiometrini senzor polja ............................................................................................................................ 123

Eksperimenti ................................................................................................................................................... 124

11. Inducirana napetost .............................................................................................................................. 125

asovna sprememba fluksa skozi tuljavo ....................................................................................................... 125

Inducirana napetost v zanki pri znani spremembi magnetnega pretoka skozi zanko .................................... 127

Inducirana napetosti na tuljavi pri znanem toku skozi ovoje tuljave in padec napetosti na tuljavi ................ 128

Padec napetosti na tuljavi pri vzbujanju tuljave s harmoninim (sinusnim) tokom ........................................ 129

Realna tuljava ohmska in induktivna upornost ............................................................................................ 130

Kazalci, ohmska in induktivna upornost ......................................................................................................... 132

Inducirana napetost v tuljavi zaradi spremembe fluksa v drugi tuljavi .......................................................... 133

Transformatorska in Gibalna (rezalna) inducirana napetost .......................................................................... 138

Primeri upotevanja matematine magnetilne krivulje pri izraunu inducirane napetosti .......................... 143

12. Energija magnetnega polja .................................................................................................................... 153

Energija shranjena v polju tuljave ................................................................................................................... 153

Energija sistema ve tuljav ............................................................................................................................. 155

Izpeljava izraza za gostoto magnetne energije .............................................................................................. 157

Energija v linearnih magnetnih strukturah ..................................................................................................... 158

Energija v nelinearnih magnetnih strukturah ................................................................................................. 159

Produkt B in H (pomemben pri trajnih magnetih) .......................................................................................... 160

Histerezne izgube ............................................................................................................................................ 161

Doloitev induktivnosti iz magnetne energije ................................................................................................. 162

Induktivnost premega vodnika in induktivnost dvovoda ................................................................................ 163

Magnetna sila ................................................................................................................................................. 164

13. Lastna in medsebojna induktivnost ....................................................................................................... 167

14. Razirjen Amperov zakon ...................................................................................................................... 171

Premikalni (poljski) tok ................................................................................................................................... 172

Kdaj bi bil za analizo bolj pomemben konduktivni in kdaj premikalni tok? .................................................... 173

Difuzija ravninskega polja v prevodniku (dodatno, kot informacija) .............................................................. 173

15. Povzetek enab elektromagnetnega polja ............................................................................................. 177

1. Maxwellova enaba = razirjen Amperov zakon ......................................................................................... 177

2. Maxwellova enaba = Faradayev zakon indukcije ...................................................................................... 177

3. Maxwellovan enaba = Gaussov zakon za magnetni polje ......................................................................... 178

4. Maxwellova enaba = Gaussov zakon za elektrino polje .......................................................................... 178

Uvod zgodovina magnetike 0.

6

UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE Imena za naravni magnet v razlinih jezikih:

Francosko: aimant (ljube)

Kitajsko: tzhu shih (ljubezenski kamen)

Angleko: lodestone (leading, guiding stone)

KOMPAS (KITAJSKA, 200 BC)

Kos magnetita z mono magnetizacijo tvori elezov magnet, ki na

plavajoi podlagi vedno kae v isto smer. Kitajci so prvi, ki so

dokumentirano spoznali magnetni uinek in ga med drugim

uporabili za izum kompasa (dinastija Quin, 221-206 pred naim

tetjem). Prvi dokumentiran zapis o kompasu izvira iz leta 1297. Ta

pomemben izum, ki omogoa ladjam navigacijo tudi dale od

kopnega, se je hitro raziril tudi v Arabijo in v Evropo.

MAGNETIT (GRIJA, BC)

Stari Grki poznajo magnet, saj izvira ime magnet iz pokrajine Magnesia

(sedaj v Turiji), kjer so nali primerke kamnov (magnetita) z

magnetnimi lastnostmi. e Thales iz Mileta trdi, da ima magnet duo.

Lucretius je predstavnik atomistov in v delu De Rerum Natura opisuje,

da magnet privlai elezo tako, da odganja atome v njegovi okolici. V

resnici povzema uenje Epicuriusa (342 270 BC), ki je naslednik

uenja Demokrita. Po njihovem uenju naj bi bila vsa snov sestavljena

iz atomov, ki pa so ob smrti razpadli (ni bilo ivljenja po smrti). Iz

tistega asa izvira tudi preprianje, da esen zmanja mo magneta.

To preprianje se je vleklo vse do leta 1600, e posebno so se esna izogibali morjeplovci.

Magnetit (Fe3O4) je narvni

mineral, ki ima od vseh naravnih

magnetnih materialov najbolj

izraene magnetne lastnosti.


7

William Gilbert (1540 - 1603) se

smatra prvi, ki se je znanstveno

lotil raziskovanja magnetnih

pojavov in jih opisal v knjigi De

GILBERT (ANGLIJA, 1600) PRVI ZNANSTVEN PRISTOP

Prve resneje in obsene poskuse iz magnetike opravi W. Gilbert

in jih objavi v knjigi De Magnete leta 1600. Znan je bil kot

osebni doktor kraljice Elizabete. Gilbert je bil trden zagovornik

Kopernika, kar je bilo v drugih, bolj dogmatinih dravah,

ivljenjsko nevarno. Istega leta, kot je izla njegova knjiga, so

Giordana Bruna v Italiji zakurili na grmadi. Gilbert je delal

mnogo poskusov iz elektrike, pri emer je uporabljal

elektroskop. Naredil je obseen seznam materialov, ki se bolj ali

manj naelektrijo dandanes to imenujemo triboelektrina

lestvica. Ugotovil je tudi, da je elektrina sila razlina od

magnetne, da naelektren objekt nima polov, kot jih ima magnet

in da je mogoe elektrino silo zmanjati s kosom papirja,

magnetno pa ni mogoe. (Ena pomembnejih stvari, ki se jih

lahko nauimo od Gilberta, je spoznanje, kako je pomembno

prouiti in preverjati dejstva in ne le povzemati pisanje

drugih. e posebno, e ne temelji na znanstvenem delu.

To vodilo bi lahko bilo v veljavi e danes. eprav je vrsta

pojavov e zelo natanno pojasnjena, je za pravo

razumevanje najbolje lastno preverjanje. e je le

mogoe, naj to velja za vse, ki se uijo.)

Gilbert je proueval tako naravne magnete iz magnetita

(loadstone), kot tudi umetno namagnetene materiale

elezo. V popolnosti je tudi razumel inducirano

magnetno polje, kjer nenamagneten vendar (fero)magnetni material

prevzame magnetne lastnosti ob stiku.

Ugotovil je, da ne le, da kae magnetna igla (kompas) proti severu, pa pa

tudi pod doloenim kotom na povrino zemlje. Predlagal je uporabo naprave,

s katero bi lahko doloali ne le smer severa, pa pa tudi geografsko viino iz

tega kota. Gilbert je naredil model zemlje, ki ga je poimenoval terella (majhna

zemlja) v katerega je vgradil trajni magnet. S tem modelom prikazuje delovanje kompasa na zemlji in

ugotavlja, da je sama zemlja en velik magnet. Kdor raziskuje se lahko tudi moti: Gilbert v zadnjem

delu knjige predvideva (pod vplivom Kopernikove teorije), da je magnetno polje tisto, ki prispeva k

gibanju teles v vesolju.

Knjiga W. Gilberta De Magnete.


8

Oerstedov eksperiment in kompas, na katerem je opazil premik

ob toku v vodniku. Po Oerstedu se imenuje tudi enota za jakost

magnetnega polja. Ta enota se je uporabljala v sistemu enot

CGS (centimeter, gram, sekunda) in se dandanes ve ne

uporablja, nadomestila jo je SI enota [A/m]. Ker pa se jo v

Po Gilbertovih dognanjih se je dve desetletji na podroju raziskav magnetike dogajalo bolj malo.

1700 1800

Do leta 1800 velja omeniti nekaj pomembnejih dognanj pri razumevanju elektrike. Otto von

Guericke (1672) izumi naelektritveno sfero n prvo vakumsko steklenico. Sledi odkritje t.i. Leidenske

steklenice oziroma prvega kondenzatorja, ki omogoa zaasno hranjenje veje koliine elektrinega

naboja oziroma doseganje vijih napetosti. Benjamin Franklin predlaga koncept le enega naboja,

pozitivnega ali negativnega. Luigi Galvani eksperimentira z ivalsko elektriko, kar nadaljuje

Alessandro Volta, ki je med drugim zasluen za izum elektroskopa in baterije. Ta omogoa bolj

konstanten in trajneji tok kot elektrostatini generatorji. Charles Coulomb v Franciji s pomojo

magnetne igle, ki ji visela na tanki nitki zazna ibke odklone pri blianju drugega magneta. Coulomb

je ugotovil, da sila pada s kvadratom razdalje, kot pri elektrini ali gravitacijski sili. Intrument, kot ga

je zasnoval Coulomb, je bil osnova magnetnih detektorjev za nadaljnjih 170 let. Silo odboja uporabi

Jonathan Swift v Guliverjevih potovanjih, kjer otok lebdi v prostoru zaradi anti-gravitacije. Kljub

vsem raziskavam, v tem asu e ni bila znana povezava med elektriko in magnetiko. Coulomb celo

trdi, da te povezave ni.

OERSTED (DANSKA, 1820) EKSPERIMENT S TOKOM IN KOMPASOM

Leta 1820 profesor Hans

Christian Oersted v

Kopenhagnu (Danska)

pripravlja eksperiment iz

segrevanja prevodnika in tudi

iz magnetike. Preseneeno

ugotovi, da se igla kompasa

premakne vsaki, ko sklene

tokokrog. Ugotovi, da se

kompas ne usmeri v smeri

elektrinega toka pa pa

preno na smer toka in da

magnetno polje obkroa tok.

Svoje delo objavi julija 1820 in


9

s tem naredi pomemben korak pri razumevanju elektrike in magnetike. Da sta elektrika in magnetika

pravzaprav povezana, saj elektrini tok povzroa magnetno polje.

Kristale magnetita najdemo tudi v doloenih bakterijah ter v moganih ebel, termitov in nekaterih ptic.

Ocenjuje se, da so lahko ti materiali vzrok za sposobnosti doloenih ivali, da se orientirajo v magnetnem polju

zemlje, kar imenujemo magnetorecepcija. Poiite ve o tem na spletu.

Sila na tokovodnik 1.

10

1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

Equation Chapter 1 Se ction 1Vsebina poglavja: izraz za silo med dvema vzporednima tokovodnikoma, privlana in odbojna

sila, permeabilnost vakuuma, enota za elektrini tok, tokovni element, gostota magnetnega

pretoka.

Andre-Marie Ampre je v Franciji takoj preveril ugotovitve Oersteda in jih tudi razdelal. Pravilno je

predvidel, da e elektrini tok povzroa magnetno polje in s tem odklon magnetne igle, mora

obstajati tudi sila med dvema vodnikoma s tokom. To je tudi dokazal in to silo tudi ovrednotil.

Izkazalo se je, da je sila med dvema vzporednima vodnikoma sorazmerna produktu toka v obeh

vodnikih in njune doline in nasprotno sorazmerna razdalji med vodnikoma. To bi matematino

zapisali kot

1 2I I l

F kr

= . (1.1)

Ampre je tudi ugotovil, da je sila privlana, e toka teeta v isto smer in odbojna, e toka teeta v

nasprotno smer.

SLIKA: Vzporedno leea vodnika s tokom v isto smer se privlaita, s tokom v nasprotno smer pa se

odbijata.

Konstanta k je enaka 0

2

, kjer je 0 permeabilnost vakuuma in ima vrednost

7410 . Torej je

enaba za silo med dvema ravnima vzporednima vodnikoma iz (1.1) enaka:

0 1 2

2

I I lF

r

= . (1.2)


11

PERMEABILNOST VAKUUMA

Poglejmo, kakno enoto mora imeti 0 , da bo ustrezalo enabi (1.1): 0A A m

N [ ]m

= oziroma

0 2

N[ ]

A = . 1

ENOTA ZA ELEKTRINI TOK Amper je enota za elektrini tok: Med dvema neskonnima ravnima vodnikoma zanemarljivega

prereza s tokom 1 A, ki sta razmaknjena za 1 m, je v vakuumu sila 72 10 N/m .2

OSNOVNE SI ENOTE

Katere so torej osnovne enote po mednarodnem sistemu SI (Systeme International SI po

konvenciji iz leta 1875)? Meter (m), kilogram (kg), sekunda (s), Ampre (A), Kelvin (K), mol

(mol) in kandela (cd). Izpeljane enote pa so na primer newton, joule, watt, coulomb, volt, ...)

1 Kasneje bomo ugotovili, da enoto za permeabilnost pogosteje zapiemo z osnovnimi ali izpeljanimi

elektrinimi enotami (H je enota za induktivnost): 0 2N V s H

[ ]A A m m

= = =

.

2 Ampre je skonstrurial ve t.i. tokovnih tehtnic, s pomojo katerih je ugotavljal sile med tokovodniki. Da bi poveal sile med vodniki je vekrat navil vodnike okoli iste osi in tako dobil prve primere tuljav....

Doloimo velikost sile med dvema ravnima vzporednima (neskonno dolgima) vodnikoma s

tokom 1 A na dolini enega metra, ki sta med sabo razmaknjena za 1 m.

Izraun: Ta sila je enaka 7 2

7410 N/A 1A 1A 1m 2 10 N2 1m

F

= =

, kar je tudi osnova za enoto

amper [A], ki si jo je Ampre prisluil za svoja pomembna odkritja na podroju raziskovanja

elektrinih pojavov. To je tudi edina elektrina enota, ki jo potrebujemo za povezavo med

elektriko in mehaniko.


12

TOKOVNI ELEMENT Enaba (1.1) za silo med vodnikoma velja le, e sta vodnika vzporedna. Za izraun sile na

(toko)vodnik poljubne oblike, je Ampre vpeljal koncept tokovnega elementa dI l

. Tokovni element

imenujemo produkt toka v vodniku z vektorjem majhne (diferencialne) razdalje v smeri vodnika.

SLIKA: Tokovni element je predstavljen kot (diferencialen) del doline vodnika pomnoen s tokom

v vodniku: dI l

.

Silo na tokovni element 11dI l

lahko zapiemo kot

0 1 1 2 212 2

12

d d sind

4

I l I lF

r

= ,

kjer je 12r

vektor od tokovnega elementa 2 do tokovnega elementa 1 in kt med tem vektorjem in

smerjo tokovnega elementa 2.

SLIKA: Dva tokovna elementa in sila med njima.


13

Vektorski produkt

Vektorski produkt vektorjev in A B

je

sin( )nC A B e A B = =

, kjer je ne

vektor (normale), ki kae pravokotno na

ravnino, ki jo doloata vektorja in A B

.

Pravilno smer vektorja C dobimo kot smer

vrtenja tako, da zavrtimo prvi vektor (A) v

najkraji smeri proti drugemu vektorju (B).

SLIKA

MAGNETNA SILA NA TOKOVNI ELEMENT Da bi doloili celotno silo na tokovni element 1, moramo seteti vse prispevke tokovnih elementov

na tem mestu. e to upotevamo, lahko enabo zapiemo tudi kot

12 1 1ddF I l B= ,

kjer imenujemo B magnetno polje3 oziroma bolj natanno gostota magnetnega pretoka na mestu

tokovnega elementa 1 1dI l . Pomembna je tudi smer gostote pretoka. Sila na tokovni element je

pravokotna tako na tokovni element, kot na magnetno polje. Sila je najveja, ko je magnetno polje

pravokotno na tok(ovni element). To lahko zapiemo z vektorskim produktom 12 11d dF I l B=

, ki jo

v konni obliki lahko piemo brez indeksov:

d dF I l B=

(1.3)

POENOSTAVLJENE ENABE

e na ravni vodnik deluje homogeno polje B, ki je pravokotno na vodnik, je sila nanj enaka

F IlB= , (1.4)

kar je znana enaba iz srednje ole (BIL).

e je polje homogeno, ni pa med smerjo polja in

toka pravi kot, je potrebno upotevati vektorski

produkt vektorjev, od katerih en kae v smeri toka

na katerega raunamo silo, drugi pa smer gostote

magnetnega pretoka (B). V tem primeru bo

velikost sile sin( )F IlB = , smer sile pa bo vedno pravokotna na ravnino, ki jo doloata smer

toka v vodniku in polja, ki deluje na vodnik.

Gostota magnetnega pretoka je posledica

delovanja elektrinega toka (tokov). Obstajajo pa

tudi snovi, ki povzroajo v svoji okolici magnetno

polje brez dodatnega tokovnega vzbujanja. To so

trajni magneti, ki pa jih bomo podrobneje

obravnavali kasneje.

3 Pogosto za (vektor) gostote magnetnega pretoka uporabljamo bolj poljuden izraz magnetno polje ali kar

kratko polje.


14

SLIKA: Magnetna sila na tokovni element deluje v smeri, ki je pravokotna tako na tokovni element

kot na vektor gostote pretoka. Theta je kt med dl

in B

.

DEFINICIJA GOSTOTE MAGNETNEGA PRETOKA

Iz enabe (1.4) tudi izhaja definicija za gostoto magnetnega pretoka, ki jo lahko zapiemo kot silo na

tokovni element:

FB

Il= . (1.5)

Poii analogijo z definicijo elektrine poljske jakosti: sila na enoto naboja.

Podobno, kot je bil pri elektrostatiki osnovni gradnik, ki je povzroal magnetno polje, naboj Q

oziroma diferencial naboja dQ, je v magnetostatiki osnovni gradnik, ki povzroa magnetno polje tok I

oz. tokovni element dI l

.

Poglejmo si najprej nekaj primerov raunanja sile po enabi (1.3):


15

ENOTA ZA B je Tesla (T), stareja enota je Gauss. Velja 1 T = 104 Gaussa.

TIPINE VELIKOSTI POLJA

V magnetno zaiteni sobi 10-14 T

V medgalaktinem prostoru 10-10 T

Na povrini zemlje 10-4 T

Na povrini majhnega trajnega magneta 10-2 T

V bliini velikega elektromagneta 1,5 T

Na povrini neutronske zvezde 108 T

Obiajno so torej v elektromagnetiki vrednosti B-ja od militesla do 1 tesla.

Pokazali smo e dva primera izrauna sile na ravne (toko)vodnike. Kolikna pa je sila, e vodnik ni

raven? Tedaj je potrebno vodnik razdeliti na manje dele in doloiti silo na vsak tak del.

V ravnem bakrenem vodniku je tok 28 A. Kolikna mora biti velikost in smer gostote magnetnega

pretoka, da bo sila na vodnik doline 1 m enako velika a nasprotne smeri kot sila gravitacije? ica

ima linearno gostoto snovi 46,6 g/m.

Izraun:

IlB mg=

2( / ) 1,6 10 T.m l g

BI

= =

Preveri e smer (tok v vodniku v tablo, smer Bja na desno)

Doloimo silo na del vodnika v obliki polkroga s polmerom R = 4 cm in s tokom 6 A, ki je v

homogenem polju velikosti 0,5 T . Polje je pravokotno na vodnik.

Izraun: Uporabimo izraz d dF I l B=

, kjer (diferencialni) del polkroga zapiemo kot d dl R = :

ddF IR B= . Potrebno je setevati le tisto komponento sile, ki je usmerjena v smeri osi Z, zato

velja:

sinz

dF F = in /2

0

2 sin d 2 240 mNzF IRB IRB = = =

SLIKA: Sila na vodnik v obliki polkroga v homogenem polju.


16

Kolikna je sila na vodnik s tokom 6 A , ki je postavljen vzdol X osi, na razdalji od x = 0 m do x= 4

m in nanj deluje nehomogeno magnetno polje 310 (2 T/m ,2 T,0)B x=

. x je v metrih.

Izraun: Ker je polje nehomogeno, je potrebno uporabiti integracijo diferenciala sile

d dF I l B=

, kjer je

3 Td d d (1,0,0) 10 (2 ,2 T,0)m

xF I xe B I x x

= =

3Td d d 2 10 (0,0,1)m

xF I xe B I x

= =

4 m

0

T2 (0,0,1) 48 mN

mz

F I dx e= =

Dodatno: Kaj e je y komponenta polja enaka x komponenti?

SLIKA: Izraun sile na vodnik v nehomogenem polju.


17

POVZETEK:

1. Velikost magnetne sile med dvema ravnima vodnikoma stokoma I1 in I2 je

0 1 2

2

I I lF

r

= .

2. Sila je privlana, e je smer toka v vzporednih ravnih vodnikih enaka.

3. Definicija enote 1 A: sila med dvema vzporednima vodnikoma v vakuumu s tokom 1 A, ki

sta oddaljena za 1 m, je -72 10 N/m .

4. Tokovni element dI l

je definiran kot produkt toka v vodniku in diferenciala doline

vodnika.

5. Sila na tokovni element je d dF I l B=

, kjer B imenujemo gostota magnetnega

pretoka. Smer sile je pravokotna tako na vektor dl

kot na vektor B

.

6. Podobno, kot lahko elektrino poljsko jakost definiramo kot (elektrino) silo na naboj

( /e

E F Q= ), lahko gostoto magnetnega pretoka definiramo kot (magnetno) silo na tokovni

element mF

BIl

= .

1. Poiite na spletu informacije o osnovnih SI enotah.

2. Poiite informacije o tokovnih tehtnicah, ki omogoajo tehtanje magnetne sile. (kljune

besede v ang.: current balance, history)

3. Galvanometer je osnovna merilna naprava, ki uporablja koncept sile na tokovodnik v magnetnem polju (slika

desno). Poiite ve informacij na spletu.

Primeri nalog:

izpit, 16. aprila 2002

izpit, 28. junij 2006

Biot-Savartov zakon 2.

19

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON Equation Se ction 2Vsebina poglavja: zapis Biot-Savartovega zakona, izrauni magnetnega polja v okolici osnovnih

oblik tokovodnikov: premice, daljice, zanke in solenoida.

Polje, ki ga v okolici povzroa neskonen raven vodnik smo e zapisali, ko smo obravnavali silo med

dvema ravnima vodnikoma. To polje je 02

IB

R

= . To enabo in druge, za poljubno obliko vodnika s

tokom lahko izraunamo z uporabo Biot-Savartovega zakona.

Polje, ki ga tokovni element dI l

povzroa v toki T je:

0

2

d sin( )d

4

I lB

r

= (2.1)

kjer je r razdalja od tokovnega elementa do toke T, pa je kt med vektorjema dl

in r

.

Ta enaba d le velikost polja, ne pa tudi smeri. Smer polja je pravokotna na ravnino, ki jo doloata

vektorja dl

in r

, kar lahko zapiemo z vektorskim produktom

0 0

3 2

d dd

4 4

rI l r I l eB

r r

= =

(2.2)

SLIKA: Tokovni element oddaljen od toke T za razdaljo r povzroa v toki T gostoto magnetnega

pretoka, doloeno z Biot-Savartovim zakonom.

Da bi doloili polje v toki T za celotni tokovodnik, je potrebno seteti (integrirati) prispevke vseh

tokovnih elementov:

0

3

d

4L

I l rB

r

=

. BIOT-SAVARTOV ZAKON (2.3)


20

MAGNETNO POLJE OSNOVNIH STRUKTUR (TOKOVODNIKOV), IZRAUNANO Z

UPORABO BIOT-SAVARTOVEGA ZAKONA

TOKOVNA PREMICA

Raven, neskonen, tanek tokovodnik (tokovna premica) postavimo vzdol Z osi s tokom v smeri Z osi.

Pri z = 0 postavimo na oddaljenosti R od izhodia (od vodnika) toko T, v kateri elimo doloiti polje.

Na poljubni toki na vodniku na Z osi oznaimo tokovni element in nariemo vektor r. Ugotovimo, da

kae od tokovnega elementa do toke T (v list). Zapiemo Biot-Savartov zakon v obliki

0

2

d sin( )d

4

I lB

r

= , smer polja pa ugotovimo iz vektorskega produkta tokovnega elemeta in

smeri vektorja r in kae v smeri kta fi. Velja d dl z= , sinR

r = , kjer je 2 2r z R= + . Vstavimo

izraze v B-S zakon in dobimo

( )0 0

3/ 23 2 2

d dd

4 4

I z R IR zB

r z R

= =

+. Sedaj je potrebno le e seteti vplive vseh tokovnih elementov,

ki se nahajajo vzdol Z osi, kar naredimo z integracijo diferenciala polja:

( ) ( )0 0

3/ 2 3/ 22 2 2 2

po vseh tokovnihelementih

d dd

44

IR z IR zB B

z R z R

+ +

= = =+ +

.

Reitev tega integrala poiemo v tablicah integralov. Dobimo

( )0 0 02 2 2

1 ( 1)4 4 2

IR I IzB

R RR z R

+

= = =+

.

Konni rezultat je torej 02

IB e

R

=

. (2.4)

SLIKA: Tokovna premica postavljena vzdol Z osi.


21

SLIKA: Polje tokovnega elementa kae v smeri vektorskega produkta med vektorjem tokovnega

elementa in vektorjem, ki kae od tokovnega elementa do toke T. Ugotovimo, da je smer polja v

okolici tokovne premice v smeri kta fi oziroma v smeri tangente na kronico. Preprost nain

doloanja smeri toka je tudi s pomojo prstov desne roke, pri emer palec desne roke usmerimo v

smer toka, prsti, ki ovijajo tokovodnik pa ponazarjajo smer magnetnega polja.

SLIKA: Program v Matlabu za izraun polja v okolici

tokovne premice po enabi (2.4).

function poljepremice

% polje tokovne premice

mi0=4*pi*1e-7

I=1

r=0:0.1:10

B=mi0*I./(2*pi*r);

plot(r,B)

xlabel('r / m')

ylabel('B / T')


22

TOKOVNA DALJICA

Tokovna daljica je en od osnovnih elementov, s pomojo katerih lahko sestavimo bolj kompleksne

tokovodnike. Izpeljava sledi izpeljavi polja v okolici tokovne premice, le meje integracije je potrebno

spremeniti od nekega z1 do +z2. Dobimo

( )

2

1

0

3/ 22 2

d

4

z

z

IR zB

z R

+

=+

in

2

1

0 0 2 1

2 2 2 2 2 2 2

2 14 4

z

z

IR I z zzB

RR z R z R z R

+

= = + + +

. Ta rezultat lahko napiemo tudi

nekoliko bolj preprosto, saj je 1 12 2

1

cosz

z R=

+ in 2 2

2 2

2

cosz

z R=

+. Sledi:

( )( )0 1 2cos( ) cos4

IB e

R

=

. (2.5)

Preverimo e, e dobimo enak rezultat za tokovno premico, e upotevati 1 0 = in 2 = .

SLIKA: Tokovna daljica (doloitev razdalje R in ktov).

Nariimo polje v oddaljenosti od dveh premih vodnikov s

programom MATLAB. Iz slike doloite smer, pozicijo in velikost tokov

function polje2premic

% polje dveh premic

a=4;

mi0=4*pi*1e-7;

I=1;

x=-2:0.1:10;

B1=mi0*I./(2*pi*(x-2));

B2=mi0*I./(2*pi*(x-2-a));

B=B1-B2

plot(x,B,[-2 10],[0 0])

xlabel('x / m')

ylabel('B / T')

24

TOKOVNA ZANKA (OBRO)

Tokovna zanka navidezno deluje kot nepomemben element. V resnici pa je vsaj tako pomemben

kot tokovna premica. Iz niza tokovnih obroev lahko sestavimo tuljavo (solenoid ali toroid), ki je

v magnetiki osnoven element. V kratkem bomo vpeljali tudi koncept magnetnega dipola oziroma

magnetnega dipolnega momenta. Ta koncept nam bo med drugim pomagal razloiti polje trajnih

magnetov. Gradnik magnetnega dipolnega momenta je tokovna zanka.

Polje v sploni toki v okolici tokovne zanke ni enostavno izraunati, dokaj hitro pa lahko

izpeljemo tudi pomembne izraze za polje v srediu in osi tokovne zanke.

Polje v srediu tokovne zanke.

Zanko polmera R postavimo tako, da ima center v srediu valjnega koordinatnega sistema.

Oznaimo tokovni element in razdaljo od tokovnega elementa do sredia. Velja

d dl R = , r R= in

sin2

= . Vstavimo v B-S zakon in dobimo

0 0 0

2 2

d sin( ) d dd

4 4 4

I l IR IB

r R R

= = = . Sedaj le e setejemo (integriramo) prispevke vseh

tokovnih elementov in dobimo 2

0 0 0

0

d 2

4 4 2R

II IB

R R

= = = .

V primeru, da je smer toka v smeri kta fi, je polje usmerjeno v smeri +Z osi in je

0

2z

IB e

R

=

. (2.6)

SLIKA: Tokovna zanka postavljena v sredie valjnega koordinatnega sistema.

25

Polje dela tokovne zanke

Hitro lahko ugotovimo, da lahko doloimo polje dela tokovne zanke tako, da integriramo

prispevke le med doloenima ktoma, recimo 1 2 in . Potem je enaba oblike

( )2

1

0 02 1

d

4 4

IIB

R R

= = . e izrazimo razliko ktov 2 1 = velja

0

4

IB

R

= (2.7)

SLIKA: Polje dela tokovne zanke, omejen s ktom beta.

POLJE V OSI TOKOVNE ZANKE

Tudi polje v osi tokovne zanke je dokaj enostavno doloiti. e oznaimo z R polmer obroa in se

toka T nahaja na razdalji z od sredia zanke, velja d dl R = , 2 2r z R= + in

sin2

= . Sledi

0 0

2 2 2

d sin( ) dd

4 4

I l IRB

r z R

= =

+. Tega izraza e ne smemo integrirati po tokovnih elementih,

preprosto zato, ker vektor polja ne kae v isto smer za vse tokovne elemente. Ugotovimo lahko,

da se bo zaradi simetrije ohranila le tista komponenta polja, ki je v smeri osi Z. Zato piemo

( )

2

0 0

3/ 22 2 2 2 2 2

d dd sin

4 4z

IR R IRB dB

z R z R z R

= = =

+ + +.

Integracija je preprosta. Dobimo

( ) ( ) ( )

2 22 2

0 0 0

3/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2

0

d 2

4 4 2z

IRIR IRB

z R z R z R

= = =

+ + + . e upotevamo e smer polja,

dobimo

( )

2

0

3/ 22 2

2z

IRB e

z R

=

+

. (2.8)

26

SLIKA: Polje v osi tokovne zanke.

SLIKA: Primer uporabe programa Matlab za izraun

polja v osi zanke. Funkcija je uporabljena 2x, z

radijem 1 m in 0,5 m. Vmes smo uporabili ukaz hold

on (poljevosizanke(1); hold on; poljevosizanke(0.5))

POLJE IZVEN OSI TOKOVNE ZANKE

Polje izven osi tokovne zanke ni enostavno izpeljati in tudi rezultat ni preprost. Je pa pomemben,

zato ga vseeno zapiimo - vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja za veje razdalje od zanke (recimo

za razdalje R dosti veje od polmera zanke a) in je v sferinih koordinatah:

( )2

0

32cos( ) sin( )

4r rr

IaB e B e B e e

R

= + = +

. (2.9)

Dobimo tako komponento v smeri radija kot kta. Pomembno je, da polje pada z razdaljo s tretjo

potenco, tako kot elektrino polje v oddaljenosti od elektrinega dipola.

function poljevosizanke(R);

set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)

% DEFINICIJA KONSTANT

mi0=4*pi*1e-7;

I=1; % TOK

% Z os

zmin=0;zmax=3*R; dz=zmax/200;

z=zmin:dz:zmax;

B=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+z.^2).^(1.5);

plot(z,B)

27

SLIKA: Skica polja v okolici tokovne zanke.

Slika: Primer izrauna polja para v osi vzporednih tokovnih

zank oddaljenih za 1 m. Polmeri zank so 2m, 1 m in 0,5 m.

Tok je 1 A. Dokaj homogeno polje se utvari v sredini

tuljave, ki ima tako polmer kot razdaljo med zankama

enako 1 m. Takima zankama reemo Helmholtzov par in se

pogosto (v obliki dveh navitij) uporablja v praksi.

function poljedvehzank;

I=1; R=2; d=1;

set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)

% DEFINICIJA KONSTANT

mi0=4*pi*1e-7;

xmin=-2*d;xmax=2*d; dx=xmax/200;

x=xmin:dx:xmax;

B1=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+x.^2).^(1.5);

B2=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+(x-d).^2).^(1.5);

B=B1+B2

plot(x,B)

28

POLJE V OSI RAVNE TULJAVE - SOLENOIDA

Solenoid predstavimo kot N zank s tokom I na doloini l. Da bi izraunali polje v poljubni toki na

osi, postavimo toko T na razdaljo z od sredia k.s.. Nato zapiemo polje, ki ga v tej toki

povzroa le ena zanka, ki se nahaja na razdalji z' od izhodia. Uporabimo e izpeljan izraz za

polje v osi tokovne zanke

( )

2

0

3/ 22 2

2z

IRB

z R

=

+, ki jo moramo ustrezno preoblikovati v

( )( )

2

0

3/ 22 2

dd

2 'z

IRB

z z R

=

+, kjer dI doloimo kot d d '

NII z

l= . e omejimo tuljavo med 1'z z=

in 2'z z= , pri emer le 2 1l z z= , dobimo polje v osi tuljave na razdalji z centra z reitvijo

integrala

( )( )

2

1

2

0

3/ 22 2

d '

2 '

z

z

z

NIRB z

l z z R

=

+ .

Reitev je

( ) ( ) ( )

2

1

2

0 0 2 1

2 2 22 2 2 2

2 1

( )'

2 2'

z

z

z

NIR NI z z z zz zB

l lR z z R z z R z z R

= =

+ + +

.

Ta manj pregleden zapis lahko poenostavimo z ugotovitvijo, da lahko uporabimo kta

( )2

22 2

2

cosz z

z z R

= +

in

( )1

12 2

1

cosz z

z z R

= +

.

Dobimo ( )0 1 2cos( ) cos( )2

z

NIB e

l

= +

. (2.10)

SLIKA: Polje v osi ravne tuljave - solenoida.

29

Poenostavljeni izrazi za dolge tuljave:

Izraz za polje v sredini dolge tuljave dobimo, e upotevamo 1 2 0 = = :

0z

NIB e

l

=

. (2.11)

Polje na robu dolge tuljave pa dobimo z upotevanjem 1 2/2 in 0 = = :

0

2z

NIB e

l

=

. (2.12)

SLIKA: Polje v osi solenoida s tokom NI = 10 A,

polmera ovojev 1 m in doline 5 m in 10 m.

Zaetek tuljave je pri z = 0 m.

POVZETEK:

1. Iz enabe za silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa

len 02

d sin( )

4

I l

r

, ki ga poimenujemo gostota magnetnega pretoka. Popolni izraz

za gostoto magnetnega pretoka predstavlja Biot-Savartov zakon in vsebuje vektorski

produkt tokovnega elementa in vektorja r in integracijo po tokovnih elementih:

0

2

d

4L

I l rB

r

=

.

2. Polje v okolici tokovne premice je 02

IB e

R

=

. Polje v okolici tokovne premice

je rotacijsko, smer polja doloimo iz vektorskega produkta dl r

ali z ovijanjem

prstov desne roke, e tok kae v smeri palca.

3. Polje tokovne daljice je ( )( )0 1 2cos( ) cos4

IB e

R

=

. (Razloi R in kt theta.

30

Skica.)

4. Polje v srediu tokovne zanke je 02

z

IB e

R

=

. (Kaj je R in kam kae polje glede

na smer toka v zanki in izbiro koordinatnega sistema?)

5. Polje v osi tokovne zanke je

( )

2

0

3/ 22 22

z

IRB e

z R

=

+

. (Kje je najveje? V katero

smer kae? Skiciraj potek. )

6. Polje v osi ravne tuljave solenoida je ( )0 1 2cos( ) cos( )2

z

NIB e

l

= +

. (Kaj

je l, kako doloimo kte, poenostavitev enabe v primeru zelo dolgega solenoida.)

Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:

izpit, 17. septembra 2002

izpit, 16. aprila 2002

izpit, 4. 12. 2001

izpit, 20. september 2006

izpit, 31. avgust 2006


izpit, 3. 12. 2001

izpit, 30. avgust 2005

Izpit 26. 6. 2002

Izpit 4. 9. 2003

1. kolokvij , 17.4.2002

1. kolokvij, 9. maj 2005


Izpit, 17. 01. 2002

Prvi kolokvij, 9. maj 2002

Dodatno

31

MAGNETNO POLJE ZEMLJE

Magnetno polje zemlje je posledica tokov zunanje plasti

jedra zemlje. Pogosto ta efekt imenujemo dinamo efekt.

Poenostavljeno ga lahko predstavimo kot polje

magnetno polje tokovne zanke oziroma trajnega

magneta. Velikost polja se nekoliko spreminja po

povrini zemlje in se giblje med 30 T do 60 T. To polje

torej ni enako veliko povsod po povrini zemlje, poleg

tega pa ima tudi lokalne spremembe, predvsem na

podrojih, kjer je v zemlji mnogo magnetita (naravnega

feromagnetnega materiala elezovega oksida). Te

razlike je potrebno upotevati pri navigaciji s pomojo kompasa, zato so korekcijske vrednosti

dandanes vpisane v navigacijskih kartah.

Geografski severni pol ni na enakem mestu kot

geomagnetni. Poleg tega, da je geomagnetni nekoliko

zamaknjen v osi (cca 110), je tudi obrnjen: na geografskem

severnem polu je geomagnetni juni pol.

Znano je, da se ta s asom spreminja, kar je potrebno pri

natanni navigaciji upotevati. Kompas je en pomembnejih

izumo lovetva, saj je bistveno olajal potovanje po

odprtem morju.

Zanimivo je tudi, da se magnetno polje zemlje zasuka (obrne) na vsakih deset tiso do milijon let,

v povpreju na priblino 250 000 let.

Spreminjanje lokacije

magnetnega severnega pola.

Vir:

http://science.nasa.gov/headli

nes/y2003/29dec_magneticfie

ld.htm

Dodatno

32

Mogoe je zaznati tudi dnevne fluktuacije (spremembe) magnetnega polja. Te so posledica

elektirnih tokov visoko nad povrino zemelje v ionisferi. V ionosferi nastaja namre mnogo

nabojev kot posledica trkanja visokoenergijskega arenja (UV-arki in X-arki). Iz nevtralnih

delcev tako nastanejo pozitivni in negativni delci, ki povzroajo elektrini tok, ta pa magnetno

polje. Ta proces je najmoneji med poldnevom, ko je arenje sonca na zemljo najmoneje, kar

se lepo zazna z obutljivimi intrumenti.

Levo: Model prvega kompasa iz Kitajske; lica iz naravnega magnetnega materiala na

bakreni skledici. Na desni namagnetena igla na vodi primer navigacijskega kompasa.

Vir: http://www.computersmiths.com/chineseinvention/compass.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Compass

Dnevno spreminjanje magnetnega polja v observatoriju Hartland.:Spodaj prikaz

sprememb s spremembo lege igle kompasa (v pretiranih vrednostih)

Dodatno

33

ZDRUENO MAGNETNO POLJE ZEMLJE IN SONCA

Tudi sonce ima svoje magnetno polje, katero mono vpliva na spremembe magnetnega polja na

zemlji. Sonce povzroa t.i. solarni (sonni) veter, ki je v osnovi plazma nabitih delcev, ki se giblje

stran od sonca s povpreno hitrostjo 400 km/h. Vsled tega se magnetno polje zemlje spremeni in

ga imenujemo magnetosfera. Med magnetosfera in podrojem sonnega vetra je ozko podroje,

ki ga imenujemo magnetopauza. Ve: http://www.kvarkadabra.net/fizika/teksti/severni_sij.html

Naelektreni delci se odklanjajo v

magnetnem polju. Leta 1950 so

raziskovalci odkrili, da zemljo obdajata

dva pasova z izrazito poveano

koncentracijo nabitih delcev.

Poimenovali so jo Van Allenovi

radiacijski pasovi. Ti so v osnovi

posledica solarnega vetra. Nabiti delci,

ki vstopijo v ta pasov, zanejo kroiti se

se usmerjati v smeri polov. Tam

doseejo ozraje zemlje in s trki z delci

ozraja (kisikove in duikove molekule)

povzroajo spektakularne svetlobne

efekte, ki jih imenujemo severni ali juni

sij : aurora borealis in aurora australis.

(Lepe slike so na spletni strani

http://www.geo.mtu.edu/weather/aurora/).

Slika prikazuje popularizirano obliko spremenjenega magnetnega polja zemlje (na desni) zaradi

vpliva sonnega vetra. http://www.aurorawatch.york.ac.uk/popmagnet/

Slika prikazuje ujetje in vijuganje naelektrenega

delca v Van Alenovem pasu.

Dodatno

34

Ti efekti so posebno izraziti v obdobju aktivnejega delovanja sonca, ki ima cikle aktivnejega

delovanja na 11 let. Posledice tega aktivnejega delovanja niso vidne le v svetlobnih sijih, pa pa

tudi v kvarnih efektih na omrenih transformatorjih (zaradi poveanih induciranih tokov lahko

pride do okvar), poveanja korozije na plinovodih, nevarnemu izpostavljanju sevanja

astronavtov, segrevanju zemlje in ekspanziji ozraja, zaradi esar lahko na zemljo padejo sateliti,

poveani obremenitvi sevanja na satelitih.

Letna spremljanja magnetnih neviht (stolpci) in aktivnost sonca (rdea

krivulja). rtkane rte oznaujejo minimalno, pikaste pa maksimalno

solarno delovanje. Vir: http://www.geomag.bgs.ac.uk/earthmag.html

Amperov zakon 3.

35

3. AMPEROV ZAKON Equati on Se ction 3

Vsebina poglavja: Integral polja po zakljueni zanki je sorazmeren toku, ki ga zanka objame.

Izrauni polja s pomojo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid, toroid, polje

znotraj vodnika, tokovno oblogo.

Amperov zakon zapiemo na slede nain:

0d

objeti

L

B l I =

(3.1)

oziroma z besedami: integral gostote magnetnega pretoka po ZAKLJUENI POTI (zanki) je

sorazmeren toku, ki ga oklepa zanka. V skladu z zapisanim skalarnim produktom je potrebno

integrirati le tisto komponento polja, ki je v smeri poti. Vasih ta zakon imenujemo tudi zakon

vrtinnosti polja, saj je vrednost takega integrala razlina od ni le, e je polje vrtinno. (Koliko je

bil v elektrostatiki L

E dl

? Kaj to pomeni v primerjavi z Amperovim zakonom?)

SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je

sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa. (v zanki, ki oklepa tokovodnike ni toka)

Amperov zakon je en osnovnih zakonov elektromagnetike. V nekoliko preoblikovani (bolj sploni

obliki) je znan tudi kot ena od tirih Maxwellovih enab. Te v celoti popisujejo elektromagnetno

polje.

Poglejmo najprej, e zakon velja za premi tokovodnik, ki ga obkroimo z zanko v obliki kronice.

(SKICA) Polje po poti kronice je konstantno in kae v isti smeri kot dl

, torej velja

2

0

0

d d 2L

B l B l B R I = = =

. Iz enabe sledi 0

2

IB

R

= .

Dobimo enak rezultat za polje v okolici tokovne premice kot z uporabo Biot-Savartovega zakona.

Amperov zakon 3.

36

SLIKA: Integracija polja po kronici v sredini katere je premi tokovodnik.

Kaj pa, e vzamemo drugano obliko zanke? Dobimo zopet enak rezultat, saj e B ni v smeri dl-a,

B vedno kae v smeri kota (SKICA) in se manja z razdaljo od premice, dl pa lahko razstavimo na

komponento v smeri Bja (kota) in pravokotno. Dobimo

( )( ) d cos( ) sin( )( ) d cos( ) ( ) d

rB dl e B r l e e

B r l B r r

= + =

= =

Z integracijo pridemo do enakega rezultata kot zgoraj. Kar pomeni, da rezultat integracije Bja po

zakljueni poti vedno enak in torej neodvisen od oblike poti: Rezultat je enak oklenjenemu toku

pomnoenemu s permeabilnostjo vakuuma.

SLIKA: Integracija polja po kronici znotraj katere je premi tokovodnik.

Primer: Doloite dL

B l

za doloene konfiguracije vodnikov in zank.

SLIKA: Zanka in vodniki.

Amperov zakon 3.

37

Amperov zakon, kot smo ga zapisali, ne velja popolnoma splono, saj obstajajo materiali

(magneti), kjer nimamo vzbujalnih tokov, pa vendar je B razlien od ni in je vrtinen. Zakon, kot

smo ga spoznali danesprimeru analize polja ob prisotnosti magnetnih materialov nekoliko

dopolniti, da bo veljal tudi za take primere.

IZRAUNI POLJA S POMOJO AMPEROVEGA ZAKONA Za analitien izraun polja v poljubnih strukturah je uporaba Amperovega zakona pogosto

neprimerna, saj iemo neznano veliino znotraj integrala. Uporaba tega zakona za izraun polja

je posebno primerna le tedaj, ko imamo neko simetrino porazdelitev toka: tipini primeri so:

Zunanjost in notranjost ravnega vodnika

Dolga ravna tuljava solenoid

Toriod pravokotnega preseka eksaktno (auditorne vaje)

Toroid okroglega preseka priblino

Tokovna obloga

POLJE POLNEGA VODNIKA

Zamislimo si pot integracije po kronici polmera r znotraj vodnika polmera R ( r R< ). Ker so vse

toke na kronici enako oddaljene od sredia lahko predpostavimo, da je polje v vseh tokah na

kronici enako veliko in torej odvisno le od polmera kronice: ( )B e B r=

. Ker gre za integracijo

po kronici je d dl e r =

. Skalarni produkt teh dveh vektorjev je

( ) d ( ) dB dl e B r e r B r r = =

, integracija pa d 2

0

d ( ) d ( )2L

B l B r r B r r = =

.

Desna stran enabe je enaka permeabilnosti vakuuma pomnoeni z objetim tokom zanke

200 objeti 0 2

( )

II JA r r

R

= = .

SLIKA: Polni vodnik: skica za izraun polja, b) potek polja znotraj in zunaj zanke.

Amperov zakon 3.

38

Zdruimo levo in desno stran enabe 202

2

IB r r

R

= in dobimo 0

22

IB e r

R

=

.

Polje naraa linearno z oddaljevanjem od sredia vodnika do povrine vodnika. Izven vodnika

se manja v skladu z enabo 02

IB

r

= . Pomembna razlika med elektrostatinim poljem in

magnetostatinim poljem je ta, da pri elektrostatiki elektrinega polja znotraj prevodnika ni,

magnetno polje v tokovodniku pa je.

POLJE DOLGE TULJAVE - SOLENOIDA

Za del razsenega (neskonnega) solenoida predpostavimo, da je polje znotraj homogeno in

vzporedno z dolino tuljave, v zunanjosti pa ga ni. Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka del

ovojev na dolini l. e zapiemo Amperov zakon in ga razlenimo po tirih odsekih zanke,

ugotovimo, da je vrednost integrala razlina od ni le na odseku, kjer je polje vzporedno s smerjo

zanke. Ostali prispevki so enaki ni, saj je v zunanjosti tuljave polje enako ni, na dveh delih poti

pa je polje pravokotno na smer integracije. Na dolini l z zanko zaobjamemo N zank in torej NI

toka.. Dobimo:

00 0 0Bl NI+ + + = .

Rezultat za polje solenoida je 0NI

Bl

= . Ta rezultat je skladen s tistim, ki smo ga dobili z

uporabo B-S zakona in poenostavili za primer dolge tuljave.

SLIKA: Solenoid: zanka in oznake.

POLJE TOROIDA

Toroid je tuljava, ki je vase zakljuena (zaokroena). Zamislimo si zanko

po sredini toroida po kronici polmera r. Z enakim razmislekom kot pri

solenoidu lahko zapiemo 02B r NI= in 0

2

NIB

r

= (3.2)

Amperov zakon 3.

39

SLIKA: Toroid.

POLJE TOKOVNE OBLOGE

Doloimo gostoto magnetnega pretoka tokovne obloge. Tokovna obloga je tok vzdol tankega

vodnika velike povrine na enoto prene doline: I

Kl

= . Enota je A/m.

SLIKA: Razlaga tokovne obloge.

Magnetno polje tokovne obloge nad in pod oblogo je usmerjeno vzporedno z ravnino vendar

preno na smer toka, kar lahko ugotovimo, e tokovno oblogo razdelimo na vrsto tokovnih

premic. Poleg tega se smer polja zamenja na drugi strani tokovne obloge.

Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka tokovno oblogo na dolini l. Rezultat integracije polja je

razlien od ni le na odsekih, ki so vzporedni z ravnino.

Zapiemo: 00 0B l B l K l + + + = . Rezultat je 0

2

KB

= . (3.3)

Smer polje je prena na smer toka, doloimo jo tako, kot da bi imeli opravka s tokovno premico

nad toko. e prevodna povrina lei na XY ravnini (z=0) in je tok (tokovna obloga) v smeri osi Y,

bo za

0z > : 02

x

KB e

=

00 :2

x

Kz B e

< = +

SLIKA: Polje v okolici tokovne obloge je konstantno.

APLIKACIJA: TOKOVNE KLEE

Amperov zakon 3.

40

SLIKA: Intrumenti za merjenje toka uporabljajo princip Amperovega zakona za merjenje toka

s pomojo merjenja magnetnega polja. Levo: Nekoliko bolj napreden intrument s

tokovnimi kleami uporablja za merjenje Hallov element (Fluke 345) . Desno: Hallov element

integriran v feritni obroek za merjenje toka.

(http://www.ayainstruments.com/applications3.html, http://www.kew-

ltd.co.jp/en/support/mame_02.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect )

POVZETEK:

1) Integral gostote magnetnega pretoka v smeri poljubno izbrane zakljuene poti

(zanke) je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa ali z enabo: 0d objetiL

B l I =

. Ta zapis

imenujemo Amperov zakon.

2) Predznak zaobjetega toka je odvisen od smeri integracije v zanki in smeri toka v

vodniku, ki ga zanka obkroa. Predznak je pozitiven, e je smer integracije v smeri

rotacije polja.

3) S pomojo Amperovega zakona smo doloili pribline izraze za polje v sredini

solenoida in toroida. Rezultat je 0NI

Bl

= , kjer je l dolina tuljave, oziroma dolina

srednje poti v toroidu.

4) S pomojo Amperovega zakona smo zapisali polje tokovne obloge, kjer tok opiemo

s povrinsko gostoto toka K [A/m]. Dobimo 0

2

KB

= . Polje je preno na smer toka,

smer doloimo enako kot smer Bja okoli vodnika.

5) V elektrostatiki smo imeli 0L

E dl =

in smo rekli, da je tako polje potencialno.

Posledica tega namre je, da lahko E zapiemo kot gradient potenciala. Kot vidimo, je

Amperov zakon 3.

41

magnetno polje drugano, lahko reemo da je polje rotacijsko ali vrtinno.

6) Kasneje bomo obravnavali e razirjeno obliko Amperovega zakona, ki predstavlja

eno od Maxwellovih enab. Za osnovo ima zapisano obliko, ki pa je spremenjena v

toliko, da upoteva tudi toke zaradi magnetizacije snovi ter toke asovno

spreminjajoega se elektrinega polja.

SLIKA: Na desni je primer prikaza polja v okolici dveh zank (Helmholtzov par), kjer je prikazano

le polje za polovico zanke. Celotno polje bi dobili z rotacijo okoli leve stranice. Opazimo lahko

precejnjo homogenost polja v osi tuljav. Na levi je primer merjenja polja v sredini

Helmholtzovega para.

Andre Marie Ampere na spletu: http://chem.ch.huji.ac.il/history/ampere.htm

Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:

1. kolokvij , 17.4.2002

1. kolokvij, 3. maj 2004


Prvi kolokvij OE II 23.04 2002

Delo magnetnih sil 5.

43

4. MAGNETNI PRETOK FLUKS Equation Se ction 4

Vsebina poglavja: Definicija magnetnega pretoka, izraun magnetnega pretoka, brezizvornost

magnetnega polja, upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost,

magnetni sklep.

Veliina, ki jo v magnetiki morda najpogosteje obravnavamo in pogosto imenujemo kar

magnetno polje, je gostota magnetnega pretoka (B). Gotovo mora obstajati tudi veliina, ki ji

reemo magnetni pretok? Lahko si predstavljamo analogijo z gostoto elektrinega toka J in

tokom I. Pri tokovnem polju smo uporabili zapis dA

I J A=

, kjer I predstavlja tok, ki gre preko

(nezakljuene !) ploskve. V magnetiki zapiemo na podoben nain

d

A

B A =

, (4.1)

kjer imenujemo magnetni pretok, pogosto pa tudi magnetni fluks ali kar samo fluks. Z

besedami: magnetni pretok je enak integralu gostote magnetnega pretoka po povrini A.

Enota je T m2, ali pa Wb (Weber), ali pa tudi V s.

SLIKA: Magnetni pretok je enak integralu normalne komponente gostote magnetnega pretoka

po doloeni povrini. Predstavljamo si ga z analogijo med gostoto (elektrinega) toka in

gostoto magnetnega pretoka (J in B) ter tokom in fluksom (I in ).

IZRAUN FLUKSA Za izraun magnetnega pretoka moramo torej poznati vektor gostote magnetnega pretoka

povsod po povrini, skozi katero nas zanima pretok. Pri izraunu fluksa preko doloene povrine

je potrebno upotevati le tisto komponento gostote pretoka, ki je pravokotna na povrino, torej

tisto, ki prebada povrino. V enabi to izrazimo z uporabo skalarnega produkta med vektorjem

polja in vektorjem diferenciala povrine. Rezultat te operacije je skalar. e je polje homogeno

povsod po povrini, lahko enabo (4.1) zapiemo v preprosteji obliki:

d d cosnA A

B A B e A BA = = =

(4.2)

kjer je alfa kot med smerjo Bja in normalo na povrino (SKICA). e je polje pravokotno na ravno

povrino, je fluks najveji in enak kar BA = . (4.3)


44

Primer: Homogeno polje gostote 5 mT je usmerjeno pod kotom 60o na normalo na ravno

povrino. Doloite pretok polja skozi zanko povrine 20 cm2, ki lei na povrini. Doloimo

magnetni pretok skozi zanko.

SLIKA: Homogeno polje usmerjeno pod kotom na pravokotno zanko.

Izraun: Zaradi homogenosti polja lahko uporabimo izraz d cosA

B A BA = =

in

dobimo 4 2 05mT 20 10 m cos60 5 Vs=5 Wb = = .

Primer: Doloimo magnetni pretok skozi pravokotno zanko, ki je v ravnini ravnega vodnika s

tokom 36 A in je od vodnika oddaljena za a = 5 cm. Dolina zanke je l = 10 cm, irina pa b = 4

cm.

Izraun: Skicirajmo zanko v ravnini XY in izraunajmo pretok skozi zanko v smeri osi Z. Vodnik

naj lei na Y osi, s tokom, usmerjenim v smeri -Y osi. V tem primeru je polje vodnika za

0x > enako 02

z

IB e

x

=

, diferencial povrine pa je d d dzA e x y=

. Velja

0 0

0

d d d ln2 2

a b l

z z

A a

I I a bB A e e x y l

x a

++

= = =

.

V dobljeno enabo vstavimo vrednosti in dobimo

7 V s410 36 A9 cmA m 0,1 m ln 423 nV s = 423 nWb

2 5 cm

= = .

SLIKA: Pravokotna zanka in vzporedno leei vodnik.


45

BREZIZVORNOST MAGNETNEGA POLJA Koliko pa je fluks skozi zakljueno povrino? Ker je polje vrtinno, enak del pretoka, ki v doloen

prostor vstopa, tudi izstopa. Integral polja po zakljueni povrini bo torej enak ni ali z enabo

d 0

A

B A =

(4.4)

SLIKA: Enaka koliina fluksa, kot v doloen zakljuen prostor vstopa, na drugem delu prostora

tudi izstopa. Zakljueno povrino razdelimo na tiri povrine. Vsota tirih fluksov iz te povrine

je enaka 01 2 3 4 + + + = .

To je pomemben rezultat, saj govori o brezizvornosti magnetnega polja. Da torej ne obstaja

magnetni izvor in ponor v podobnem smislu, kot to poznamo pri elektrinem naboju. Temu

zapisu lahko reemo tudi Gaussov zakon za magnetiko, in predstavlja eno od Maxwellovih

enab (3.) zopet le v integralni obliki.

Primer: Doloimo fluks med ravnima vodnikoma (dvovodom) s polmeroma R = 0, 5 cm in

medosno razdaljo d = 2 m na dolini 100 m. Tok v vodnikih je 150 A.

Izraun: Nain izrauna je podoben kot v prejnjem primeru. Ugotovimo, da se polji med

vodnikoma setevata, zaradi enakih dimenzij vodnikov pa se setevata tudi fluksa. Zato je

02 ln 35,9 mWb2

Il d R

R

= .

SLIKA: Ravna vodnika (dvovod).


46

PRIMERJAVA Z GAUSSOVIM ZAKONOM IZ ELEKTROSTATIKE

V elektrostatinem polju je integral Eja po zakljueni povrini sorazmeren zaobjetemu naboju. Iz

tega je sledil zakljuek, da je elektrino polje izvorno (izvira na pozitivni nabojih in ponira na

negativnih). Analogno elektrinim nabojem ne moremo najti magnetnega naboja4. Torej

magnetno polje ni izvorno. Vasih reemo tudi, da je solenoidno.Vsak trajni magnet je tako izvor

kot ponor magnetnega polja. Se pa kljub neobstoju magnetnega naboja v smislu analogije in

lajega raunanja polj trajnih magnetov vasih uporablja tudi pojem magnetnega naboja,

oziroma bolj natanno magnetnega povrinskega naboja.

SLIKA: Primerjava elektrinega in magnetnega polja. Primer elektrinega polja naelektrenega

cilindra (levo) in magnetnega polja polnega tokovodnika.

4 Zanimivo je, da se je nedavno zanimanje za magnetne monopole povealo. Ve objav v vrhunskih

strokovnih revijah govori o prisotnosti magnetnih monopolov, npr. Magnetic monopoles in spin ice, C.

Castelnovo, R. Moessner and S. L. Sondhi, Nature 451, 42-45 (3 January 2008) ali "Magnetic Monopoles

Detected In A Real Magnet For The First Time". Science Daily. 4 September 2009. Gre pa veinoma za

opazovanje redkega pojava v trdih snoveh, kjer pride ob skupnem delovanju ionov in elektronov, kar so

opazili v mono ohlajenih doloenih kristalih. Glej npr. http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole.


47

UPODOBITEV MAGNETNEGA POLJA Z GOSTOTNICAMI

Gostoto pretoka smo lahko prikazali z mnoico puic (vektorjev) v prostoru. e te puice med

seboj poveemo v krivulje, dobimo gostotnice (vasih se jih imenuje tudi silnice). Prostor med

gostotnicami si lahko zamislimo kot cevke z doloeno velikostjo pretoka. Pretok torej lahko

vizualiziramo (predstavljamo) z gostotnimi cevkami. Ker obiajno riemo polje v dveh

dimenzijah, gostotne cevke zapolnjujejo prostor med dvema gostotnicama. Obiajno jih riemo

tako, da je fluks med sosednjimi gostotnicami konstanten i

konst = . Gostotne cevke

ravnega vodnika ponazorimo s koncentrinimi krogi s polmeri, ki se gostijo v smeri manjanja

razdalje od vodnika. Da bo fluks med dvema vodnikoma konstanten, mora veljati

0 1ln2

i

i

I rkonst

r

+= = , oziroma 1 ki

i

re

r

+ = . Na podoben nain smo risali tudi

ekvipotencialne ploskve pri elektrostatiki.

SLIKA: Upodobitev magnetnega polja z gostotnimi cevkami.


48

INDUKTIVNOST (PRVI)

Kot vidimo v izrazih za fluks, je le-ta linearno odvisen od toka. Veji kot je tok, veji je fluks, kar

matematino zapiemo kot nekaj I = . To nekaj definiramo kot induktivnost (simbol L),

torej velja

LI = . (4.5)

Sledi, da je induktivnost strukture definirana kot kvocient fluksa in toka:

LI

= (4.6)

Enota za induktivnost je V s/A ali H (Henry).

MAGNETNI SKLEP Kadar je vodnik izdelan v taki obliki, da gre fluks skozi ve vodnikov, je smiselno definirati novo

veliino, ki jo imenujemo magnetni sklep in jo oznaimo z veliko grko rko (psi). Magnetni

sklep je enak vsoti fluksov skozi vse zanke, ki jih tvori vodnik. e gre enak fluks skozi N zank, velja

kar = . Ko gre fluks skozi ve zank, je potrebno induktivnost doloiti kot

L

= . (4.7)

V primeru, ko tok I skozi vodnik (strukturo) ustvarja magnetni sklep v isti (lastni) strukturi,

govorimo o lastni induktivnosti. e gre isti fluks skozi N zank velja:

Primer: Doloimo induktivnost dvovoda iz primera 2, e upotevamo le fluks med icama (ne

tudi v icah).

0 ln 240 H

l d RL

I R

= = .

e bi eleli eksaktno doloiti induktivnost dvovoda, bi morali upotevati tudi tisti del fluksa, ki

gre skozi vodnika. Izpeljana enaba 0 ln

l d RL

R

= torej ni eksaktna enaba induktivnosti

dvovoda. Ker pa ta fluks ne zajame celotnega toka vodnika, je izpeljava konnega izraza

nekoliko bolj zapletena (AR Sinigoj: Osnove elektrotehnike, str. 354). e bi upotevali e to, bi

kljub vsej zahtevnosti izrauna dobili preprost izraz : 01

ln4

l dL

R

= +

. e bi v ta izraz

vstavili vrednosti iz primera, bi dobili rezultat priblino 250 H. Oitno je, da je osnovni izraz

dovolj natanen, e je le razdalja med vodnikoma mnogo veja od polmera vodnikov.


49

N

LI I

= = , (4.8)

SLIKA: Magnetni sklep

LASTNA INDUKTIVNOST SOLENOIDA IN TOROIDA

Induktivnost je osnovni podatek za vsako tuljavo. Pogledali si bomo poenostavljena (vendar

pogosto v praksi uporabljana) primera izrauna induktivnosti solenoida in toroida, pri emer

bomo predpostavili, da je polje znotraj solenoida (toroida) homogeno.

Poenostavljen izraz za induktivnost tuljave je torej 2 0A

L Nl

= . Hitro lahko opazimo

podobnost z izrazom za kapacitivnost plonega kondenzatorja 0A

Cd

= , kjer je l dolina

tuljave, d pa razdalja med ploama, A povrina preseka tuljave oz. ploe kondezatorja.

Ugotovimo lahko, da induktivnost tuljave zelo poveamo z vejim tevilom ovojev.

Primer: Doloimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost

dolgega solenoida in jo izraunamo za primer: polmer tuljave 1

cm, dolina 5 cm, 100 ovojev.

Izraun: 2

0 0 0, ,NI NI N A

B A Il l l

=

2

0 79 HNN

L Al

= .

Primer: Zapiimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost toroida kronega preseka z

notranjim polmerom 4 cm in zunanjim 5 cm. Toroid ima 200 ovojev. (Raunamo s srednjim

polmerom in homogenim poljem znotraj preseka toroida)

Izraun: 2 2

2 20 0 0 0, , , 55,85 H2 2 2 2

A A

sr sr sr sr

NI NI N I NB A r L r

r r r r

=


50

INDUKTIVNOST JE GEOMETRIJSKA LASTNOST

V elektrostatiki smo definirirali kapacitivnost iz zveze med nabojem in napetostjo Q CU= .

Izraunali smo jo tako, da smo med dve prevodni telesi prikljuili napetost U, pri emer se je na

telesoma nakopiilo naboja Q . Izkazalo se je, da je kapacitivnost odvisna le od geometrijskih

lasnosti (razdalje med ploama, povrine plo). Podobno velja za induktivnost, kjer velja zveza

LI = .

Torej, e elimo doloiti analitini izraz za induktivnost doloenega elementa (zanke, tuljave, itd)

skozi vodnik (zanko) poljemo tok I, doloimo fluks oziroma magnetni sklep in iz kvocienta

doloimo induktivnost: L

= . Zaopet ugotovimo, da je induktivnost snovno-geometrijska

lastnost.

POVZETEK

1) Magnetni pretok ali fluks skozi poljubno povrino smo definirali na enak nain kot

tok pri tokovnem polju dA

I J A

=

kot dA

B A =

. V preprostem primeru, ko je

polje homogeno in konstantno po povrini A, se izraz poenostavi v cosBA = , kjer je alfa kot med normalo na povrino in smerjo Bja. Pretok je najveji, ko je polje usmerjeno pravokotno na povrino. Magnetni pretok skozi zakljueno povrino je enak

ni, kar matematino zapiemo kot d 0A

B A =

. To je Gaussov zakon za magnetno

polje ali tudi zakon o brezizvornosti magnetnega polja.

3) Lastno induktivnost smo zapisali kot LI

= , kjer imenujemo magnetni sklep in

je enak produktu tevilaovojev in fluksa skozi ovoje. Enota je H(enry)

4) Izrauni:

a. fluks skozi pravokotno zanko ob vodniku: 0 2

1

ln2

I rl

r

=

b. Aproksimativni izrazi za induktivnost:

Ravna (dolga) tuljava: 2

0NL Al

Toroid: 2

20

2A

sr

NL r

r

Dvovod (brez izpeljave): 01

ln4

l dL

R

= +

Naloge:

izpit, 17. septembra 2002 ,izpit, 3. septembra 2002, izpit, 17. 4. 2003

izpit, 5. septembra 2002, izpit, 31. avgust 2004, Izpit 4. 9. 2003

1. kolokvij, 22. april 2003, Prvi kolokvij, 9. maj 2002


51

5. DELO MAGNETNIH SIL Vsebina poglavja: izraun dela magnetnih sil iz razlike velikosti fluksa skozi zakljuen tokovodnik

v zaetni in konni poziciji.

Equation Chapter (Next) Section 5Spoznali smo e enabo za izraun sile na

vodnik v magnetnem polju

dL

F I l B=

(5.1)

SLIKA: Tokovodnik v magnetnem polju. Sila na tokovni element.

Sedaj nas zanima, kolikno delo opravimo pri premiku vodnika s tokom I v magnetnem

polju B iz zaetne pozicije, ki jo bomo oznaili s P1, v konno pozicijo P2. To dobimo z

integracijo sile po poti 1 2( )S P P

dS

A F s=

(5.2)

kjer smo z ds oznaili diferencial poti v smeri premika in z S celotno pot. Z vstavitvijo

enabe (5.1) v (5.2) dobimo ( ) ( )2

1

d d d d

P

S P

A I l B s I s l B= =

.

Sedaj moramo pogledati, kaj predstavlja produkt d ds l

oziroma celotna integracija

tega produkta na poti od zaetne do konne pozicije zanke. d ds l

predstavlja

diferencial povrine ( dA

), ki kae v smeri normale na povrino. e to povrinico skalarno

pomnoimo z vektorjem gostote pretoka dobimo diferencial fluksa

(d d ) d d ds l B A B B A = = =

in v skladu s to ugotovitvijo lahko delo zapiemo v

obliki

Konnapozicija

Zaetnapozicija

dplaa

A I I = = .


52

Rezultat integracije je celoten fluks, ki gre skozi pla, ki ga opie vodnik na poti. Ker

pa je, kot smo e spoznali, magnetno polje brezizvorno ( d 0A

B A =

), mora biti celoten

fluks skozi navidezno telo, ki ga opie premikajoi vodnik, enak ni. To pa tudi pomeni,

da mora biti fluks skozi pla enak razliki fluksa skozi povrino, ki jo opisuje vodnik v

konnem poloaju in fluksu v zaetnem poloaju. e elimo pri tem fluks skozi zanko, ki

jo opisuje vodnik, raunati v isti smeri tako v zaetni kot v konni poziciji, dobimo

plaa konni zaetni = . Smer teh fluksov raunamo v t.i. pozitivni smeri, ki jo doloa

tok v gibajoi zanki (smer polja v zanki , ki jo povzroa tok I).

( )konni zaetniA I = (5.3)

SLIKA: Primer premikanja tokovne zanke iz lege P1 v lego P2 v polju B.

Kdaj bo rezultat (delo magnetnih sil) pozitiven? Tedaj, ko bo fluks skozi zanko v konni

legi veji kot v zaetni. e ima torej tokovna zanka monost prostega gibanja, se bo

zanka postavila tako, da bo fluks skozi zanko najveji. (Enako ugotovitev bomo postavili

tudi v naslednjem poglavju, ko se bomo sreali z navorom na tokovno zanko.) e je

rezultat pozitiven, pomeni, da so delo opravile magnetne sile magnetnega polja, e pa je

negativen pa to, da je delo za premik zanke v magnetnem polju moral vloiti nek zunanji

vir (recimo kar mi sami): mag zun 0A A+ = .

PRIMER: Tokovna zanka povrine 4 cm2 s tokom 2 A se nahaja v magnetnem polju.

Skozi zanko je fluks 20 Vs. Nato premaknemo zankico tako, da je v konni legi fluks

skozi zanko 60 Vs. Doloimo delo pri premiku zanke v magnetnem polju.

Izraun: V skladu z enabo (5.3) izraunamo delo ob premiku zanke v magnetnem

polju kot:

( ) 62A 60 20 10 Vs = 80 JA = .

Rezultat je pozitiven, kar pomeni, da je delo posledica premika zanke pod vplivom

magnetnega (in ne zumanjega) polja.


53

PRIMER

Vzporedno z ravnim vodnikom s tokom I1=10 A, na oddaljenosti c = 2 cm lei

pravokotna zanka doline a = 5 cm in irine b=3 cm s tokom I2 = 0,2 A. Koliko dela

opravi magnetno polje za translatorni premik zanke stran od vodnika za razdaljo d = 2

cm? Primer rei tako z integracijo magnetnih sil kot z razliko fluksov. (SLIKA)

Izraun: Sila deluje na dva vodnika zanke, ki sta vzporedna z vodnikom. Delo

magnetnih sil potrebno za premik bo torej:

' ''A A A= +

' 0 1 0 12 2( ) , ' ' d ', ' ln

2 ' 2

a c

xxc

I I a cF I b e A F e x A I b

x c

+ += = =

0 1 0 12 2'' , '' '' d ' ', '' ln

2 '' 2

a c d

xxa c

I I a c dF e I b A F e x A I b

x a c

+ +

+

+ += = =

+

0 1 2 ln 5,3 nJ2

I I b c d c aA

a c c a

+ + =

+ +

Drugi nain:

( )2 konni zaetniA I=

0 1 0 1

c+a

d d ln2 2

d c a

konni

A

I I b d c ab x

x c a

=

+ ++ +

= =+

0 1 0 1

c

d d ln2 2 c

c a

zaetni

A

I I b c ab x

x

=

++

= =

0 1 2 ln 5,3 nJ2

I I b c d c aA

a c c a

+ + =

+ +

Vpraanje: Zakaj je konni rezultat negativen? Odgovor: e raunamo delo z

integracijo sile po poti vidimo, da je sila na blijo stranico zanke usmerjena v smeri

vodnika (privlana), sila na daljno pa je odbojna. Torej mora delo opraviti zunanji vir.


54

PRIMER

Koliko dela opravi magnetno polje, da se zanka iz primera 1 zavrti okoli sredinske osi

za kot 900? SLIKA

Izraun: Delo najlaje izraunamo iz spremembe fluksa skozi zanko. Pred vrtenjem je

bil fluks skozi zanko maksimalen, enak 0 1 0 1d d ln2 2

c a

zaetni

A c

I I b c ab x

x c

=

++

= =

, po

vrtenju pa je fluks skozi zanko enak ni (enako veliko fluksa, kot v zanko vstopa, tudi

iz zanke izstopa). Zato je delo enako ( ) 0 1 ln 8,3 nJ2 c

zaetni

I b c a2 2

= 0 =

+= .

Vpraanja:

1. Zakaj je rezultat negativen? Ker mora delo opraviti zunanji vir. Zanko

moramo zavrteti v nasprotni smeri, kot bi se zavrtela pod vplivom

magnetne sile.

2. Zakaj je fluks skozi zanko enak ni, ko je zanka postavljena preno na

osnovno lego? Ker gre skozi en del zanke fluks skozi zanko v pozitivni

smeri, skozi drugi (enako velik) del pa enako velik fluks v negativni

smeri.

3. Kateri je stabilen poloaj zanke? Zanka se eli postaviti tako, da je fluks

skozi zanko najveji. Torej tedaj, ko lei ravni vodnik v ravnini zanke. Ta

lega je stabilna, e so sile usmerjene stran od zanke in labilna, e so

sile na vodnik v smeri osi zanke.

4. Koliken bi bil rezultat, e bi zanko zavrteli za 1800? Fluks skozi zanko je

v konni legi enako velik kot v zaetni legi, le nasprotnega predznaka

je. Torej bo rezultat 2 22 TA I = . Kaj pa, e zanko zavrtimo tako, da

zopet pride v zaetno lego (obrat za 3600)? Takrat je fluks skozi zanko

enako velik, kot na zaetku, vendar e je v prvi polovici zasuka (za

1800) delo negativno, bo v drugem delu zasuka delo pozitivno (delo

opravi magnetno polje), skupno delo pa bo enako ni. Lahko pa s

pomojo preklopa smeri toka v zanki ob polovici obrata zagotovimo

pogoje (komutator), v katerih bo sila na zanko vedno v smeri rotacije,

kar je osnovni princip delovanja raznovrstnih motorjev.


55

POVZETEK

1) Delo magnetnih sil lahko izraunamo iz osnovne zveze 2

1

m d

T

T

A F l=

, ali pa kar iz

razlike fluksov skozi zanko v konni in zaetni poziciji konni zaetna( )A I = . Fluks je

potrebno raunati v pozitivni smeri (kot bi kazal B v notranjost premikajoe zanke, ki ga

povzroa tok v zanki). Negativen rezultat pomeni, da je delo za premik morala opraviti

zunanja sila, pozitiven pa, da je delo opravilo magnetno polje da se je zanka gibala v

smeri rezultirajoih magnetnih sil na zanko.

2) Naredili smo primer iz translatornega premika in pokazali, da dobimo enak rezultat

z integracijo magnetne sile po poti in iz produkta toka zanke in razlike fluksov skozi

zanko v zaetni in konni legi zanke.

3) S pomojo komutacije toka v zanki omogoimo vrtenje zanke v magnetnem polju.

Naloge:


izpit, 31. avgust, 2004


Navor na tokovodnik 6.

56

6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK Equation Se ction 6Vsebina poglavja:

Navor kot vektorski produkt roice in (magnetne) sile.

Magnetni dipol in magnetni dipolni moment.

Navor na magnetni dipol.

Potrebna matematina znanja: vektorski in skalarni produkt.

Navor na zanko je osnovni princip delovanja vseh vrtljivih delov pri izkorianju pojava

magnetnega polja kot npr. prikazovalniki z vrtljivimi tuljavicami ali motorji. Pri razumevanju in

analizi navora na tokovodnik v magnetnem polju nam pomaga koncept magnetnega dipola.

Poleg tega nam koncept magnetnega dipola pomaga pri razlagi magnetnih pojavov v snovi.

e na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila, potem v primeru vpetja z roico doline r

deluje na vodnik navor5

T r F=

(6.1)

Velikost navora je torej sinT rF = , kjer je kot med smerjo vektorja roice in sile. Smer

vrtenja je pravokotna na ravnino, ki jo doloata vektorja roice in sile.

SLIKA: Na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila. Navor deluje v smeri vektorskega

produkta med silo in roico.

5 Vasih se za navor uporablja tudi simbol M. Za pravilno smer navora je potrebno zavrteti vektor r v F in

ne obratno.


57

Primer:

Vodnik v obliki zanke (tokovna zanka) s tokom 10 A doline 10 cm in stranice 5 cm vpet na zgornjem vodniku kot kae slika. Preno na zanko, pod kotom 300 na normalo na zanko, je homogeno polje 0,1 T. Koliken je navor na zanko?

SLIKA: Visea zanka vpeta na zgornji stranici.

(0, ,0)yr e r r= =

( )sin , cos ,0F F F =

, kjer je F IlB= .

0 0 sin

sin cos 0

x y z

z

e e e

T r F r e rF

F F

= = =

ali kraje: z izraunom le amplitude navora: sin 2,5 mNmT rF = = .

Primer: Koliken tok bi moral tei skozi tokovno zanko na sliki, e elimo, da se zanka postavi

pod kotom 450 na osnovno lego, ko zanka visi vpeta na zgornjo stranico. L=10 cm, R=4 cm,

B=50 mT. Pri izraunu poenostavimo navor na zanko zaradi sile gravitacije tako, da

upotevamo le silo na spodnjo stranico z maso 10 g. (Magnetno polje je usmerjeno v smeri

gravitacije)

tan 1BF

mg = = ,

2 2

3

10 kg 9,8 m/s19,6 A

0,1 m 50 10 T

mgIlB mg I

lB

= = = =

.

SLIKA: Slika zanke zamaknjene za kot 450.


58

NAVOR NA TOKOVNO ZANKO V MAGNETNEM POLJU. Obiajno nas zanima navor na zanko v magnetnem polju. Vzemimo pravokotno prevodno zanko

s tokom I, doline l in irine d, ki je v sredini vpeta na os, kot kae slika. Navor na zanko v

homogenem polju, ki je za kot zamaknjeno od normale na povrino zanke dobimo z

upotevanjem sile na stranico doline l:. Poleg sile, ki deluje med vodniki lastne zanke (ki ne

povzroa rotacijo zanke), delujeta v zunanjem magnetnem polju na stranici zanke sili ,B lF

na

levo in ,B dF

na desno stranico. e oznaimo z d vektor, ki kae od levega do desnega vodnika,

velja

, ,

2 2B d B l

d d

Documents

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II - studentski.netstudentski.net/get/ulj_fel_ae1_oe2_sno_magnetostatika_03__skripta.pdf · OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Magnetostatika Dejan Križaj 2011. KRATKO