Osnove Osnove istraživačkog rada istraživačkog rada

u sestrinstvuu sestrinstvu

5. Mjere varijabilnosti5. Mjere varijabilnosti

2

Podjela mjera disperzijePodjela mjera disperzije

ApsolutneApsolutneRasponRaspon

Srednje apsolutno Srednje apsolutno odstupanjeodstupanje

Standardna Standardna devijacijadevijacija

VarijancaVarijanca

RelativneRelativneKoeficijent Koeficijent varijacije varijacije (koeficijent (koeficijent varijabilnosti)varijabilnosti)

Koeficijent Koeficijent kvartilne devijacijekvartilne devijacije

3

RasponRaspon

razlika između najmanje i najveće vrijednosti razlika između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježjanumeričkog obilježja

najjednostavnija ali i najnetočnija mjera grupiranja najjednostavnija ali i najnetočnija mjera grupiranja rezultatarezultata

pojedini ekstremni rezultat može znatno povećati pojedini ekstremni rezultat može znatno povećati rasponraspon

R=xMAX−xmin

4

Varijanca Varijanca σσprosječno kvadratno odstupanje od prosjeka prosječno kvadratno odstupanje od prosjeka

način da se izbjegnu predznaci odstupanja je da se način da se izbjegnu predznaci odstupanja je da se odstupanja kvadrirajuodstupanja kvadriraju

ako kvadrirana odstupanja zbrojimo i izračunamo ako kvadrirana odstupanja zbrojimo i izračunamo njihovu aritmetičku sredinu dobit ćemo mjeru njihovu aritmetičku sredinu dobit ćemo mjeru varijabiliteta rezultata koju u statistici zovemo varijabiliteta rezultata koju u statistici zovemo varijancavarijanca

zbog strogosti analiza suma kvadrata odstupanja zbog strogosti analiza suma kvadrata odstupanja dijeli se sa N-1, a ne sa Ndijeli se sa N-1, a ne sa N

1

2

1

−

−=

∑=

N

)xx(N

ii

σ

5

Standardna devijacijaStandardna devijacija

označava prosječno odstupanje označava prosječno odstupanje od aritmetičke sredine od aritmetičke sredine

smije se računati samo uz smije se računati samo uz aritmetički sredinu!aritmetički sredinu!

( )σ=

−−

= ∑1N

2xxs

6

Standardna devijacija za Standardna devijacija za negrupirane podatkenegrupirane podatke

Pr. 1: Dva studenta mjerila su debljinu vlasi mikrometarskim vijkom. Izmjereni su sljedeći podaci u mikrometrima:

Koliko iznose raspon i standardna devijacija ovih dvaju mjerenja?

1. mjerenje 8,0 8,5 8,5 9,0 9,0 9,0 9,0 9,5 9,5 10,0

2. mjerenje 1,0 2,0 3,0 5,0 9,0 9,0 13,0 15,0 16,0 17,0

7

Pr. 1 (2. mjerenje): rješenjePr. 1 (2. mjerenje): rješenjeRaspon

R = 17,0 – 1,0 R = 16,0 μm

R.B. x (d / μm) x - xsr

(x – xsr)2

1 1.0

2 2.0

3 3.0

4 5.0

5 9.0

6 9.0

7 13.0

8 15.0

9 16.0

10 17.0

Ukupno 90

8

Pr. 1 (2. mjerenje): rješenjePr. 1 (2. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 1: Izračunati aritmetičku sredinu

R.B. x (d / μm) x - xsr

(x – xsr)2

1 1.0

2 2.0

3 3.0

4 5.0

5 9.0

6 9.0

7 13.0

8 15.0

9 16.0

10 17.0

Ukupno 90

x=∑i=1

N

xi

N

x=9010

=9,0m

9

Pr. 1 (2. mjerenje): rješenjePr. 1 (2. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 2: Izračunati kvadrate odstupanja od aritmetičke sredine

R.B. x (d / μm) x - xsr

(x – xsr)2

1 1.0 -8.0 64.0

2 2.0 -7.0 49.0

3 3.0 -6.0 36.0

4 5.0 -4.0 16.0

5 9.0 0.0 0.0

6 9.0 0.0

7 13.0 4.0

8 15.0 6.0

9 16.0 7.0

10 17.0 8.0

Ukupno 90 0

10

Pr. 1 (2. mjerenje): rješenjePr. 1 (2. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 3: Uvrstiti u formulu za standardnu devijaciju

R.B. x (d / μm) x - xsr

(x – xsr)2

1 1.0 -8.0 64.0

2 2.0 -7.0 49.0

3 3.0 -6.0 36.0

4 5.0 -4.0 16.0

5 9.0 0.0 0.0

6 9.0 0.0 0.0

7 13.0 4.0 16.0

8 15.0 6.0 36.0

9 16.0 7.0 49.0

10 17.0 8.0 64.0

Ukupno 90 0 330

s=∑ x−x 2

N−1

s= 3309

=6,06m

11

Pr. 1 (1. mjerenje): rješenjePr. 1 (1. mjerenje): rješenjeRaspon

R = 10,0 – 8,0 = 2,0 μm

R.B. x (d / μm) f f·x x - xsr f·(x – xsr) (x – xsr)^2 f·(x – xsr)^2

1 8.0

2 8.5

3 9.0

4 9.5

5 10.0

Ukupno

12

Pr. 1 (1. mjerenje): rješenjePr. 1 (1. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 1: Izračunati aritmetičku sredinu

x=∑i=1

k

f i⋅xi

∑i=1

k

f i

=9010

=9,0m

R.B. x (d / μm) f f·x x - xsr

f·(x – xsr) (x – x

sr)2 f·(x – x

sr)2

1 8.0 1 8

2 8.5 2 17

3 9.0 4 36

4 9.5 2 19

5 10.0 1 10

Ukupno 10 90

13

Pr. 1 (1. mjerenje): rješenjePr. 1 (1. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 2: Izračunati kvadrate odstupanja od aritmetičke sredine i pomnožiti ih s frekvencijama

R.B. x (d / μm) f f·x x - xsr

f·(x – xsr) (x – x

sr)2 f·(x – x

sr)2

1 8.0 1 8 -1.0 -1 1.0 1

2 8.5 2 17 -0.5 -1 0.3 0.5

3 9.0 4 36 0.0 0 0.0 0

4 9.5 2 19 0.5 1 0.3 0.5

5 10.0 1 10 1.0 1 1.0 1

Ukupno 10 90 0 3

14

Pr. 1 (1. mjerenje): rješenjePr. 1 (1. mjerenje): rješenjeSt.dev. korak. 3: Uvrstiti u formulu za standardnu devijaciju

s=∑ f⋅ x−x 2

N−1= 3

9=0,58m

R.B. x (d / μm) f f·x x - xsr

f·(x – xsr) (x – x

sr)2 f·(x – x

sr)2

1 8.0 1 8 -1.0 -1 1.0 1

2 8.5 2 17 -0.5 -1 0.3 0.5

3 9.0 4 36 0.0 0 0.0 0

4 9.5 2 19 0.5 1 0.3 0.5

5 10.0 1 10 1.0 1 1.0 1

Ukupno 10 90 0 3

PRVO MJERENJE

DRUGO MJERENJE

ARITMETIČKA SREDINA± 1 S± 2 S± 3 S

16

Standardna devijacija za Standardna devijacija za grupirane podatkegrupirane podatke

i - interval

di – intervalna udaljenost svakog razreda

f - frekvencija

( )1

2

2

−

∑−⋅

⋅=∑ ⋅

NN

ifis

dfd i

17

Standardna devijacija za Standardna devijacija za grupirane podatkegrupirane podatke

Pr. 2: U jednoj školi mjerena je visina šesnaestogodišnjaka i izmerene su slijedeće vrijednosti u cm

196, 157, 177, 162, 168, 173, 164, 165, 192, 153,

186, 154, 157, 174, 180, 189, 169, 177, 162, 165,

173, 190, 159, 165, 184, 165, 180, 175, 172, 171,

167, 163, 166, 158, 151, 160, 157, 173, 169, 160,

140, 169, 185, 146, 183, 174, 167, 177, 170, 169.

Izračunajte standardnu devijaciju visine!

18

Primjer 2: Rješenje

Izračunati f·d2

R.B. RAZRED f R d f·d d2 f·d2

1 140 – 144 1 142 -5 -5 25 25

2 145 – 149 1 147 -4 -4 16 16

3 150 – 154 3 152 -3 -9 9 27

4 155 – 159 5 157 -2 -10 4 20

5 160 – 164 6 162 -1 -6 1 6

6 165 – 169 12 167 0 0 0 0

7 170 – 174 8 172 1 8 1 8

8 175 – 179 4 177 2 8 4 16

9 180 – 184 4 182 3 12 9 36

10 185 – 189 3 187 4 12 16 48

11 190 – 194 2 192 5 10 25 50

12 195 – 199 1 197 6 6 36 36

Ukup. 50 22 288

19

Primjer 2: Rješenje

Uvrstiti u formulu

s=i⋅∑ f⋅d i2−

∑ f i⋅d i 2

NN−1

s=5⋅ 288−222

5049

=5⋅ 288−48450

49=5⋅288−9,68

49=5⋅ 278,32

49=11.92cm

20

Relativne mjere disperzijeRelativne mjere disperzije

Nedostatak Nedostatak apsolutnih mjera apsolutnih mjera disperzijedisperzije: prikladne za uspoređivanje : prikladne za uspoređivanje disperzije samo istorodnih distribucijadisperzije samo istorodnih distribucija

RELATIVNE MJERE DISPERZIJE:RELATIVNE MJERE DISPERZIJE:usporedba raznorodnih distribucija usporedba raznorodnih distribucija (različita obilježja)(različita obilježja)

21

Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije (varijabilnosti)(varijabilnosti)

označava koliki postotak od aritmetičke sredine označava koliki postotak od aritmetičke sredine iznosi standardna devijacija iznosi standardna devijacija

služi za međusobnu usporedbu varijabilnosti služi za međusobnu usporedbu varijabilnosti različitih svojstava različitih svojstava

koja grupa varira više, a koja manje ?koja grupa varira više, a koja manje ?

V=s⋅100 %

x

22

Koeficijent varijacije Koeficijent varijacije (varijabilnosti)(varijabilnosti)

Pr. 3: Izračunaj koeficijente varijabilnosti za Pr. 3: Izračunaj koeficijente varijabilnosti za mjerenja iz Pr. 1!mjerenja iz Pr. 1!

V 1=s1⋅100 %

x1

=0,58⋅100 %

9,00=6,44 %

V 2=s2⋅100 %

x2

=6,06⋅100 %

9,00=67,33%

Primjer 4Primjer 4

Mjerenjem 120 desetogodišnjaka u jednoj osnovnoj Mjerenjem 120 desetogodišnjaka u jednoj osnovnoj školi dobivene su slijedeće vrijednostiškoli dobivene su slijedeće vrijednostiVisina Visina

xxvv = 132 cm = 132 cm ssvv= 5 cm= 5 cm

MasaMasa xx

mm = 29,2 kg = 29,2 kg s smm= 3,89 kg= 3,89 kg

Da li dječaci više variraju u visini ili masi? Da li u Da li dječaci više variraju u visini ili masi? Da li u visini i masi više variraju dječaci ili djevojčice?visini i masi više variraju dječaci ili djevojčice?

__

__

24

Histogram i poligon frekvencijaHistogram i poligon frekvencija

Histogram: stupci širine razreda i visine frekvencijaHistogram: stupci širine razreda i visine frekvencija

1 3 0 1 3 5 1 4 0 1 4 5 1 5 0 1 5 5 1 6 0 1 6 5 1 7 0 1 7 5 1 8 0 1 8 5 1 9 0 1 9 5 2 0 0

v i s i n a / c m

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

frek

venc

ija

25

Histogram i poligon frekvencijaHistogram i poligon frekvencija

Poligon frekvencija: točke na sredinama razreda u Poligon frekvencija: točke na sredinama razreda u visini frekvencijavisini frekvencija

Mora biti “uzemljen”Mora biti “uzemljen”

0

2

4

6

8

10

12

14

138 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 200

f

Pr. 5: Frekventnim dijagramom za grupirane vrijednosti varijable (poligonom) prikazana je visina 135 dvadesetogodišnjih mladića. Izračunajte aritmetičku sredinu visine tih mladića, standardnu devijaciju i koeficijent varijabilnosti.