, 2009.
, , . , . " ". . . . , . . .
, ; , , , . . , .
. . : , , , . . , .
1
, . , . , , . , .
" ". , . . (250 ...) . : , , , , .
, 1586. . . . , , , , , . , , . . , , , , , , , .
2
17. (1642-1727). , , . , , . . (1650. 1750.) . , , . (1564-1642)
. 1683. . (1620-1684) 1686. . . , . : o F=ma o , o , o .
18. () 18. 19. . (1700-1782) , , , (1707-1783) . . (1736-1813),
,
3
. , . , . . - - . (1785-1836) (1819-1903) , - . , 200 , - ,
(Computational Fluid Dynamics), , , , . .
19. ( ) 19. , - . (1824-1887) . (18471921) . 1858. (1821-1894) ,
. (1781-1840), . (1820-1872) (, , ) . . 19. . 1883.
4
(1842-1912) : . - . . . (1875-1953) 1904. . 19. . 19.
(1717-1783), (1797-1869), (1842-1919), (1858-1943) (1749-1827).
20. . ( ), . . (1881-1963) . (1886-1975) . (1903-1987) ,
(1920-2000) . . . , , , 19. 20. .
5
19. 20. , : , , . (1847-1921) (1869-1892) , . , , , , . , . . "
" 1902. . . 1904. . , , , . .
, , 19. . , , , , , . 20. , , , . , ,
6
, , , . , : , , . (, , - a) 18. , . 20. . , 20. . , , , , ., .
(, -, -) . . . , . () . , . - . , , - .
7
() . . . 1933. . 1953. 18 20 . 60. , . . , , , , , .
, , , . , , . . , , , . . , , . , , , . , . ,
8
. , " " , . .
. : o ( ). o . . o . - - . o . . , , , , , . o . . . o . , , . o
. , . o .
9
o
o
o
o
o
. , , . . , . , . . , . . , , . . , .
10
: ; . . , . . 1 3,41010 0 [] 2,7107 0 [] 760 [mmHg] , , . . , ,
.
: o - . , , ; o - . ; o () - . ; o () - () . . ; o - . .
11
() : o - . , . ; o - . . ; o - . , . .
. : o . . ; o . . . ( ) ; o - . () , ; o . .
, , dv dy . , .
12
( ), 1, : .
. () : dv = dy . d = = = const. dv dv d dy dy . . : o , o . p
.
1. ( , p , dv/dy )
13
, p . . . :
=K
dv dy
n
(n1 ; n=1, K= ).
, : o ; ; o ; , . v=f(x, y, z, t).
, : o - ; o . , , ( ). ( ) () () , , dv dy , p . , , . , , , . .
, .
14
() : () () . , , . :o
o
o
. , . . . 1. , . 2. . . (), . 3. ( ) ( ) (. ). . . ( ). , , . ,
. - : , (). , , .
. , .
15
. . , .
16
- ( ), d10-10 m. :o
, ( , ) . l10-7 m, 500 m/s. , . ( ) 10d10-9 m. ( 1).
o
1. F r
. ( ) . , , , :
17
, , . , ( ). ( ) . (), : , , , . . :o o o
( (), (p)) ( (t, T), (u), (h), (c)) ( (,), (s,), (), (pk), (),
()).
, .
( , .). (=N/m2). (1 bar=105 Pa). . . . , . . ( 2):
18
o o o
pmB, pvA, pA, pB.
2. . p A = pa pvApB = pa + pmB
( 3) ( 4). . . , . , , . . . . , , . , .
19
3.
4. , U - , .
5. U-
20
() U - . 5 x-x. t H [m], ( ). x-x h, . A1=const. A2=const. . U -
p (H) . pA1, t gHA1 paA1 pA1 = t gHA1 + pa A1 p = t gH + pa . (#) ,
p x-x p = gh + pa . (##) U - , . p (#) (##). , U - , H = h t . 1 m
, , 13,6 m. U- (. ) U-. . . d D, , ( ) , .
V D = Vd .
.
21
, . , kg/m3. m dm kg m3 = = lim V 0 V dV dV () . 4 1000 kg/m3,
20 998,2 kg/m3. 101325 Pa 15 ( ) 1,226 kg/m3. . 1. . , : Vs = V1 +
V2
1 2 1 2 ms . s = m1 2 + m2 1 , : ms = m1 + m2
ms
s
=
m1
+
m2
Vs : p = RT
sVs = 1V1 + 2V2 V + 2V2 s = 1 1 .
22
: p [Pa] - [kg/m3] R [J/kgK] T [K].
1.
[kg/m ]1260 1145 890-1020 1030 940 930 1020-1030 910-960 914-919
700-1040
3
(15 ) (0 ) (0 , 1 bar) -
[kg/m ]875 830 790 680-760 13595 1,251 1,977 1,292 1,429
0,090
3
. R, p T. : , ( ), "U" , .
23
6. . 1, . ( 6).
. . , , . , . . 1% , 1%. 1% 85 , . V V0 ( ) p ( ), s: V 1 Pa 1
s= V0 p : V = V0 V [m3] p = p0 p1 [P ] V0 [m3] p0 [Pa];
24
dV 1 s= . V dp - .
, : V 1 dp [ Pa ] . = = s dV . m = V = const. Vd + dV = 0 , dV d
; = V d 1 s= dp d = sdp .
(0) p d = s dp 0
p0
ln .
= s ( p p0 ) 0
= 0 e s( p p ) .0
(*)
25
dp = gdz : z - [m]. : d
= sdp
, d = sgdz 2
d z 2 = sgdz 0 z0
1
0
1
= sg ( z z0 )
(**) 1 s 0 g ( z z0 ) (*) (**) z , 1 e ( 0) . sg 0 (. (*) (**)).
z z0 = s p p
=
0
. () . =const. Q=const. ( ). . - , .
26
. : o () =1,66 o (, , ) =1,40 o - () =1,30. p, p. : , p1 p2 = =
const.
1
2
. p
= const.
ln p ln = const. dp d =0 p dp d = . p d = sdp 1 == p. s , : p1
p2 = = const.
1
2
. p
= const.
ln p ln = const. dp d =0 p
27
dp d = . p d = sdp 1 = = p. s , , - p.
2. s s GPa 1 s GPa 1 1, 948 (0, 484-0, 637) 1, 222 (0, 419-0,
479) () 0, 966 (0, 50-0, 51) 0, 907 0, 230 0, 705 0, 038 2 3. 3. R,
cp ( ) R [J/kgK] cp [J/kgK] 188,78 1,30 820,61 259,78 1,40 916,91
287,04 1,40 1004,83 296,75 1,40 1038,33 518,67 1,32 2160,39 2078,03
1,66 5233,50 4125,66 1,41 14235,12
c () dp c= [m/s] d
28
dp d . [Pa], [N/m2]. : dp c2 = d d = sdp
d
c2 = :
=
dp
dp , dp
c2 = : c2 =
, E .
. . , p = const.
ln p ln = ln C dp d = p dp p c2 = = = RT . d ,
29
p
= const.
ln p ln = ln C dp d = p dp p c2 = = = RT . d : o 15 C 342 m/s o
15 C 1445 m/s o 15 C 4120 m/s o 500 m/s.
( ). dv = dy : - [Pa] - , - [Pas] - , dv m s - v dy m (v=f(y)).
= dv dy . dv dy : , , a, . ,
30
, . ( ) m2 = . s . , . , ; , ( 7). 25, 26 27 . , , , , . 8.
7. .
31
8. . R2 () R1 - =R2-R1 ( 0,02 mm) () : , , , , 9.
9. : , , , . dM = r dF : r [m] dF = dA - [N]
32
dv - [Pa]. dy ( 100.000 m/s/m. ( ).
=
. , . . , F ( 10). , F. , : F = = G A : G - [Pa] - [rad]. .
10. ( =0) . () ( 11). U, . (x,y)- (u,y)-. .
33
11. 11 : y u =U h ds ( t ) U= . (#) dt du U = (##) dy h : ds ( t
) = h tg d ( t ) = hd ( t ) . (#) (##) d (t ) = h ( t ) . U =h dt :
du U = = = ( t ) dy h , , = = G , A . du d = = = ( t ) . dy dt 4. ,
. , . F
34
4. , (101325 Pa, 288 K): 106 [Pas] 106 [m2/s] 18,2 15,11 1002,0
1,004 130950,0 135
, . . . .
12. , . ( 12). . , R . ( 10 . 10-9 m = 1 nm). R, ,
35
. . . . . . , , . . ( ) . . 5. , , , . F N = m l 5. 102 (N/m) 20
/ 7,1 / 2,5-3 / 46 13:
( )
13.
36
, , . , . ( 14) ,
14. (pu=p2; pa=p1) F0 = 2 r , FD = p r 2 = ( p2 p1 ) r 2 ,
()
2 . () r , 2, , 4 p = p2 p1 = . r , , . , r=1 m, p = p2 p1 =
37
2 7,1 102 = 1, 42 bar . 106 : , () . , , , . - , . 15 . > 900
, , < 900 . U (). (, , ). p =
15. ( ) (
38
) (r0. AC , I D = C + = C + C . AC D I: I D = . C A , I=0,
D=0.
D C = =
, ( 7) h C = 2 2 D = h 3 I. .
7. , ,
61
8.
h ( 8). , , .
, 9. . ( ). .
9.
( ) , . F
62
, , 9. , Fx = gCx Ax
g [m/s2] [m2] Ax [m]
- [kg/m3]
:
F , I D = AxCx I Cx D = AxCx : I - I Cx . , , V : , ( 9), Fy =
gV . V V , . () V. Fx Fy . .
63
Fx Fy F = Fx2 + Fy2 .
. je F Fy tg = . Fx ( ) , . . . . , - . . , , .
10.
64
, , . ( 10). s Fs = Gs cos = gVs cos : Gs - Vs, : , ; - . Fs Vs
. , , , . , . F ( 11.).
N +G + R = 0, : N - , . , N = ghAac ( D), G - (G=gV), R - . F R
,
65
F = N +G,
F .
11.
. , . , : P = gV , . . . (t), (). G G = t gV . G t = . P
66
, , G P. G ( ) G < p dA ,A
pdAA
.
, , , . pdA = pdA2 pdA1A A2 A1
: 2 - 1 - . 1 2 ( 12.).
12
( F2 F1 ) , . . , 13.
67
13.
, , . , 14.
14.
( 15). , . . Vg G ( ); () .
68
DM > CD r > . . , D ( ), , . ().
15.
M st = V g ( r ) sin .
r ( 15): I r= V : I s-s V - . D V. ( ).
69
, , ; . . ( ) f g = ( 0,0, g ) , ( )
f a = ( 0, a,0 ) ; f c = 2 x, 2 y,0 , - , , - , . 1 f x dx + f y
dy + f z dz = dp .
(
)
p=p, . ( ), , . ( ). ( 16), , (), : 1 ady gdz = dp
70
f x = 0, f y = a, f z = g , g .
16. y z a, g : 1 ay gz = p + C .
y=z=0, p=p. =-p/, p pa = ( ay + gz ) . ( p=p), : z a tg = = y g
p = pa ( ay + gz ) . , pk
71
, . . , , .
, , 1 f x dx + f y dy + f z dz = dp
f x = x , f y = y , f z = g 2 2
v2 r 2 2 =m = mr 2 . r r 1 2 2 p= x + y 2 gz + C 2 ( r 17). r-z
( 17 18) , =p/ r=z=0. Tao je: 1 r 2 2 gz ( p pa ) = 2 . Fc = m
(
)
72
17.
18. p=p, . r 2 2 = 2 gz . , . ( 18)2 rA 2 gz A . 2 (p=p =const.)
r 2 2 = 2 g ( z + h1 )
p A = pa +
73
2 rA 2 , 2g . p h1.
h1 = z A +
r-z, , . , ( 19) 1 R 2 h = R 2 H 2 . 1 h= H 2
19. , .
74
, , . , , , , , , (, , , , ). , , . ( ), , (. , , , ), . . , . .
. :
v = (vx , v y , vz ), p, , T . , . , . : o , , ; o , , .
75
, , . , . , , , , ; , . . , , .
1. r0 = ( x0 , y0 , z0 ) t. : r = r (r0 , t ) . :v = limr r (t +
t ) r (t ) dr = lim = t 0 t t 0 dt t 2 v d r a = lim = 2 t 0 t
dt
1.
76
O je , . . (, ) . , , , . , , .
, . . : d dx dy dz = + + + = t x dt y dt y dt dt vx + vy + vz =
= + + vgrad t x y y t () ( ) ( ) ( ). , , . ( v grad ). , . . dT T
= + vgradT dt t , .
77
U=U(x,y,z). , , , . .
2. , , - j+ k = i + x y z U=U(x,y,z) U (gradU): U U U i+ j+ k.
gradU = x y z gradU () U=U(x,y,z), U1 U2, gradU U. gradU ( 2).
gradU U r . U U U dU = dx + dy + dz = ( grad U , r0 ) dr x y z
78
dr = dr r0 dU = ( gradU , r0 ) . dr (gradp) . , .
, , , () - . , .
3. ( ) () . ( 3). . . .
79
"" . . : [v ,ds ] = 0 : dx dy dz = = vx v y vz .
4. , ( 4), . . , , .
: v v y vz j + k vx i + v y j + vz k = x + v = divv = i + + y z
x y z x
(
)
80
V ( 5). , v, : dm = dQ = (v ,dA) .
m = (v ,dA)A
: m - [kg/s] Q - [m3/s]. , m = Q = (v ,dA) = v1dA1 + v2 dA2 v0
dA0
A
A1
A2
A0
: A - V: A = A0 + A1 + A2 v - . v0 , v1 , v2 - .
5. div v , Q = divvdVV
V , Q , div v > 0 , . . div v , ,
81
, . d(dV ) . div vdV = dt , , :o o o
div v = 0 , div v > 0 ( ) div v < 0 ( ).
div v . . dm = dV . ( ) , , , dm 0 dt , d(dm) d d(dV ) dV + = =0
dt dt dt d(dV ) = div v dV dt d + div v dV = 0 dt (dV0)
82
d + div v = 0 . dt a : v v y vz vx + vy + vz + x + + + =0 t x y
z x y z + ( v grad ) + div v = 0 t + div ( v ) = 0 . t , , div v =
0
dQ = 0 . , + div ( v ) = t = - [m3/s/m3]. dV ( ) : , p v .
, - rot v .
83
i j k v y vx vz v y vx vz rot v = [, v ] = = i + k j + x y z y z
z x x y vx v y vz . .
= xi + y j + z k 1 vz v y 1 vx vz 1 v y vx ; y = ;z = 2 y z 2 z
x 2 x y
x =
rot v = 2 . ( 5). . =const. (), , ; (). . ( ).
v ds () . = (v ,ds ) = v cos ds = (rot v ,dA) = (2 ,dA) .C C A
A
84
" 2( ,dA) " . , ,A
, .
6. v ds () . = (v ,ds ) = v cos ds = (rot v , dA) = (2 , dA) .C
C A A
" 2( ,dA) " . , ,A
, . ( 7) , dA . dA , .
85
, .
7.
, . , . , . , . , , - , . . div v = 0 rot v = 0 . v = grad div v
rot rot v = 0 . , . . div v 0 rot v = 0 . rot v = 0 , v = grad ,
rot grad = [, ] = 0 . . =(x,y,z) , : vx = ; vy = ; vz = ; . v =
grad x y z vx,vy vz, , , . .
86
, .
8. () ( 8). div v = 0 rot v 0 . . , , . : dx dy dz = =
x
y
z
( = const. ) 1 A1 = 2 A2 1 2 1 2.
9. . ( 9). , , .
87
. , , , . . . div v 0 rot v 0 . . .
. . , , , . v y v v dv v vx a= vx + v y + z vz = = + + (v , )v
dt t x y z t : dv - ; dt v - , . v t : (v , )v - v v .
. . . . , . .
88
, , . , , . .
10. ( 10) , d . , , . , - . : 1 v y vx 1 vz vx vx + + 2 x y 2 x
z x 1 v v v y 1 vz v y + x + y y 2 y z 2 y x v vz 1 vx + vz 1 y +
vz 2 z x 2 z y z
: vx v y vz - x, y, z , , , x y z
89
x, y, z .
11. div v - - , , , , . : v v y vz div v = x + + x y z ( 11), .
Q = divvdVV
div v .
- , ,
90
. . , . , . xx, yy zz , yx=xy, zx=xz zy=yz . . , ( 12).
12. :
91
xx yx zx S xy yy zy . xz yz zz
v y v 1 v xx = 2 x + div v ; xy = yx = 2 x + 2 y x x
yy = 2 zz = 2
v y y
+ div v ;
xz = yx = 2 x + z x 2 z
1 v
v
vz v 1 v yz = zy = 2 y + z + div v ; 2 z z y . ( ) (div v ). . 2
( ) , ( ): xx + yy + zz = 0 : 2 3 v v v 2 xx = 2 x - div v ; xy =
yx = x + y x 3 x y
=
yy = 2 zz = 2
v y 2 - div v ; y 3 vz 2 - div v ; z 3
xz = yx = x + z x z yz = zy = v y vz + y z
v
v
92
div v = 0 , v=f(y) , , , : dv = dy , . - .
, . ( ) ( ). , . , ( ). () : pxx = p xx ; p yy = p yy ; pzz = p
zz , xx + yy + zz = 0 1 pxx + p yy + pzz 3 . p=
(
)
pxx, pyy, pzz . , , xx = yy = zz = 0 , p = pxx = p yy = pzz .
.
93
. . 1738. (Daniel Bernoulli) 1755. (Leonard Euler) .
O () () VV
( f grad p )dV = 0 ;
dv dV ; dt V
dv dt f + grad p dV = 0. V dV dv f + grad p = 0 ; dt dv 1 = f
grad p ; dt . : dv - [ N kg ] ; dt f - [ N kg ] ;
1
grad p -
[N
kg ] .
94
, , ( ) ( ) , : (vx, vy, vz), (p) (). , dv 1 = f grad p ; dt d +
div v = 0 ; dt = f ( p) ; : , , vx, vy, vz, p . (, ) , - .
p/=const. : vx vx v v 1 p ; + v x + x v y + x vz = f x t x y z x v
y 1 p ; t x y z y vz vz v v 1 p ; + vx + z v y + z vz = f z t x y z
z + vx + vy + vz = f y v y v y v y
v v y vz + + vx + vy + vz + x + = 0; t x y z x y z . p =
const.
1 ( v , ) v = f grad p;
95
div ( v ) = 0; .p = const.
() 1 ( v , ) v = f grad p
div v = 0 . . Q=const., Q [m3/s] , m = const , m = Q [ kg/s ] .
. (. U=-gz) (=f(p)) 1 dp gradp = grad f = grad U ,
:
dp
1
dp
= ( p ) ( p ) =
grad p
grad ( p ) = ( p) grad p =1
1
.
grad p = grad
dp
dv dp = grad U ; dt , .
96
dp ax i + a y j + az k = grad U . . .
( ) dv dp = grad U ; dt v 1 dp + grad v 2 [ v , rot v ] = grad U
, t 2 1 ( v , ) v = gradv 2 [v , rotv ] . 2
, ( t = 0 ) , , dl 1 1 grad v 2 ,dl [ v , rot v ] ,dl = grad U
,dl grad p,dl . 2
) ( ) ( ) ( ) ([ v , rot v ] ,dl ) = 0 v
(
dl , v2 dp grad U + , dl = 0 ; 2 : grad ,dl = d
(
)
97
v2 dp d U + =0 2
v2 dp U + = const. 2 , U=-gz (z o ) =f(p) =const., v2 dp + gz +
= const. 2 .
v2 p + + gz = const. 2
=const.
Nm ; kg .
, .
98
. , . , - (..) (). . , . (z ) v2 p + + gz = const. [ J kg ] 2 .
. , , . . , , , , , . , : v2 p + + z = const. [ J N ] [ mST ] 2g g
[mST] , [mVS]. . . : , () . (Q), 1 P = Qv 2 + pQ + z gQ = const. [
W ] . 2 .
99
( ). , P = pQ . .. ( ) , ( ) , . . ( ).
, ps ( ), pd . pt, .. S T ( 1). pt = ps + pd . 1 pd = v 2 [ Pa ]
2 : - , v .
1. , . , . ( 2).
100
2. (. ) ( 3).
3. U
4. a
101
, . 4.
.. . 1. .. (1), (2) ( 5). .. .. 1-2 . .. . . , gh ( 6).
5. 2. , .. ( 7). 3. .. (v1, v2, p1, p2, h1, h2), . : d2 d2 v1 1
= v2 2 4 4 . ( ) , .. h1 h2 .
102
, .. 4 1 2. (. 1 2) .
6.
7. ( ) ( 7), , .. . , . v1=v2=0, p1=pa. .. 1-2 : pa v12 p v2 + +
hg = 2 + 2 2 2 p pa p2 m hg = 2 = .
103
8. ( ) ( 8), 1 2 pa, ..1-2: pa v12 p v2 + + hg = a + 2 2 2 v2 h=
2 2g 4. .. .., , . . 5. .. ( v) ( p) . . .. (mST). 6. .. : , . .
,
104
.
.. , (v2/2) v , .. , v (vsr) . , 2 (, , ) vsr 2 2 , vsr 2 , , .
v2 Ek = sr 2 (vsr ). .. =2, =1,01-1,1, 1.
9. .. : p1 v2 p v2 + 1 + gz1 = 2 + 2 + gz2 2 2 .
105
, , . 9 , . , , . .
. - . . . . v 2 2 . , l v2 d 2 , l d . . : , , , , , , . 1 ( 10)
2. 2 1, . () hig .. :
106
10. p1 v2 p v2 + 1 1 + gz1 = 2 + 2 2 + gz2 + hi g 2 2
: , , , . ( ) 11.
11. 1 2 p = ( v1 v2 ) . 2 p 1:
107
A = = 1 1 . 1 2 A2 v1 2 p p1 p1, , :
2
A p = 2 = C 1 1 v1 2 A2
2
1. P = pQ . ( 12) . p p = = , 2 1 2 ( v12 v2 ) 1 v 2 1 A1 1 2 A2
2 2/1. ( = 1 ) 13. C . : o , 6-8 , 6 11 ; o 2/1, ; o . l/D1, l/D1 ;
o ; 4-6 D. .
108
, , , .
12.
13.
14. ("vena contracta") . , .
109
14. "ven contracta" , ( grad p) 1 1 2 A 2 p = (vmax v2 ) = v2 2
1 2 2 A0 A = = 2 1 . 1 2 A0 v2 2 2/0 2/1, 2/1. 1. p 1. 2/122
0,2 0,34
0,4 0,27
0,6 0,16
0,8 0,05
1,0 0
( 15), , . v2, . v2 p = 2 . 2
110
15. 2 . 2. 10 D1/D2=1,2 [] 0,04 10 D1/D2=2 [] 0,07 10 D1/D2=3 []
0,08
20 0,05 20 0,08 20 0,10
30 0,07 30 0,12 30 0,14
40 0,08 40 0,14 40 0,17
= 0,505 + 0,308sin + 0, 26sin 2
16.
111
. 16 . , . , . p = v .
v2 2
. . . 17. . , .
17.
112
18. 90 90 r/D p , = 1 2 v 2 r/D, Re. 90 90 ( 17), 90 ( 18).
90 ( 18). , , 45. r/D , , . . 180 50 % 90.
113
19. 90 r/D /D
20. 90 1 ); 2, 3 4 ) s/c . ( 20) . 90, , ( 21).
114
21. 90
3 ( 22). (
