Osnove statistike

Zagreb 2010.Osnove statistike

Osnove statistikeOsnove statistike

• Kombinatorika i vjerojatnostKombinatorika i vjerojatnost• Obrada empirijskih podatakaObrada empirijskih podataka• Mjere položaja i rasipanjaMjere položaja i rasipanja


KombinatorikaKombinatorika

• Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može ali i ne mora dogoditi. Služe pri okolnostima može ali i ne mora dogoditi. Služe pri određivanju vjerojatnosti slučajnih događajaodređivanju vjerojatnosti slučajnih događaja

• Modeli u kombinatorici:Modeli u kombinatorici:– PermutacijePermutacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem) (bez ponavljanja i s ponavljanjem)– VarijacijeVarijacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem) (bez ponavljanja i s ponavljanjem)– KombinacijeKombinacije– Složene kombinacijeSložene kombinacije


• permutacije bez ponavljanja:permutacije bez ponavljanja:– niz n istovrsnih elemenata kojima se određuje broj mogućih niz n istovrsnih elemenata kojima se određuje broj mogućih

redoslijeda (poređaja)redoslijeda (poređaja)1...k)(n...1)(nnn!P(n)

Primjer: Na koliko se načina može poredati niz od 4 kuglice različite boje?

4212344!P(4) • permutacije s ponavljanjem:permutacije s ponavljanjem:

– niz n istovrsnih elemenata među kojima postoje određene niz n istovrsnih elemenata među kojima postoje određene podgrupe - određuje se broj mogućih redoslijeda (poređaja) podgrupe - određuje se broj mogućih redoslijeda (poređaja)

!A...!A!An!

K21K...A2A,1A

(n)

P Primjer: Na koliko se načina može poredati niz od 6 kuglica (2 crvene, 2 plave

te zelena i žuta)?

180!2!2

!6P 1,1,2,2

(6)

PermutacijePermutacije


VarijacijeVarijacije• varijacije bez ponavljanja:varijacije bez ponavljanja:

– niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje broj različitih (mogućih) ishodabroj različitih (mogućih) ishoda

r)!(nn!

V(n)r

Primjer: Koliko različitih uzoraka od po 3 kuglice možemo složiti iz skupa od 5 kuglica?

Primjer: Igranje sportske prognoze. Na koliko se načina može ispuniti listić sportske prognoze ako se na listiću nalazi 12 parova, a mogući ishodi su 1,0 i 2?

603)!(5

5!V (5)

3

• varijacije s ponavljanjem:varijacije s ponavljanjem:

– niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje broj niz n istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak r te se određuje broj različitih (mogućih) ishoda s mogućnošću ponavljanja elemenata iz skupa različitih (mogućih) ishoda s mogućnošću ponavljanja elemenata iz skupa n do maksimalno r-putan do maksimalno r-puta

441 5313V 12(3)

12

rn(n)rV


KombinacijeKombinacije• kombinacije bez ponavljanja – (s ponavljanjem nemaju smisla):kombinacije bez ponavljanja – (s ponavljanjem nemaju smisla):

– niz niz nn istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak od r elemenata istovrsnih elemenata iz kojeg se uzima uzorak od r elemenata te se određuje broj različitih (mogućih) sastava uzorka gdje te se određuje broj različitih (mogućih) sastava uzorka gdje nije bitan nije bitan redoslijedredoslijed već sadržaj (sastav) već sadržaj (sastav)

r! r)!(nn!

r

n

r!!V

K(n)r(n)

r

Primjer: Koliko treba ispuniti nizova da bi se u LOTU 7/39 sigurno dobila ‘sedmica’?

NAPOMENA: budući da nije bitan redoslijed odabiranja (izvlačenja) kuglica radi se o kombinacijama.

937 380 157!7)!(39

39!7

39K (39)

7


Složene kombinacijeSložene kombinacije• složene kombinacije – skup od N elemenata sadrži podskup elemenata složene kombinacije – skup od N elemenata sadrži podskup elemenata

sa svojstvom A i podskup elemenata sa svojstvom sa svojstvom A i podskup elemenata sa svojstvom ĀĀ (non A) (non A)

NN

M (M (AA)) (N-M) ((N-M) (ĀĀ))

nn

x el Ax el A (n-x) el (n-x) el ĀĀ

x-n

MN

x

MK M))-(N(M

x))-(n(x

UZORAK

SKUP


VjerojatnostVjerojatnost• Slučajni događajSlučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može a i ne – događaj koji se pod nekim okolnostima može a i ne mora mora dogoditidogoditi• Elementarni događajElementarni događaj – mogući ishod slučajnog događaja – mogući ishod slučajnog događaja• Skup (polje) mogućih događajaSkup (polje) mogućih događaja – skup koji se sastoji od elementarnih – skup koji se sastoji od elementarnih

događajadogađaja• Vjerojatnost Vjerojatnost – mogućnost pojave nekog elementarnog događaja koji se promatra– mogućnost pojave nekog elementarnog događaja koji se promatra

n

n(A)P(A)

1P(A)

0P(A)

- nemoguć događaj

- siguran događaj

P(A)1)AP( • Protivna vjerojatnostProtivna vjerojatnost

n – broj svih mogućih ishoda (događaja)n(A) – broj događaja sa svojstvom A

1P(A)0


• Teoremi vjerojatnosti (slučaj složenih događaja)Teoremi vjerojatnosti (slučaj složenih događaja)::

• zbrajanje vjerojatnostizbrajanje vjerojatnosti - P(A - P(A11) ili P(A) ili P(A22))• zanima nas vjerojatnost da se dogodi Azanima nas vjerojatnost da se dogodi A11 ili A ili A2 2

• uz uvjet da su događaji Auz uvjet da su događaji A11 i A i A22 disjunktni (međusobno se disjunktni (međusobno se

isključuju)isključuju)

)P(A)P(A)iliAP(A 2121 Primjer: Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 2 ili 4 ili 6?

2

1

;

6

1

6

1

6

16) ili 4 ili P(2

6

16) P(broj

6

14) P(broj ;

6

12) P(broj

• množenje vjerojatnostimnoženje vjerojatnosti (NEZAVISNI DOGAĐAJI)-(NEZAVISNI DOGAĐAJI)- P(A1) i P(A2) P(A1) i P(A2)• zanima nas vjerojatnost događaja da se dogodi Azanima nas vjerojatnost događaja da se dogodi A11 i A i A2 2 (istovremeno)(istovremeno)

)P(A)P(A) Ai P(A 2121 Primjer: Bacamo kocku i novčić. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 6 i

novčić pasti na ‘glavu’?

121

21

61

)'6' i glava'P(' 21

)glava'P(' ; 61

6) P(broj


• množenje vjerojatnostimnoženje vjerojatnosti (UVJETNI DOGAĐAJI)-(UVJETNI DOGAĐAJI)- P(A1) i P(A2) P(A1) i P(A2)• zanima nas vjerojatnost događaja da se realizira Azanima nas vjerojatnost događaja da se realizira A11 i A i A22

• jedan događaj utječe na vjerojatnost drugog događaja jedan događaj utječe na vjerojatnost drugog događaja

Primjer: U kutiji je 10 kuglica, 6 bijelih i 4 crvene kuglice. Kolika je vjerojatnost da prva i druga kuglica budu bijele ako izvučenu kuglicu ne vraćamo u kutiju?A1 - prva kuglica bijelaA2 – druga kuglica bijela

)/AP(A)P(A) Ai P(A 12121

3

1;

95

106

) Ai P(A 95

)/AP(A 106

)P(A 21121

• ostale vjerojatnostiostale vjerojatnosti - uvjet da se elementarni događaji ne isključuju te da se - uvjet da se elementarni događaji ne isključuju te da se dogodi dogodi barbar jedan događaj jedan događaj

• slučaj kada tražimo vjerojatnost pojave događaja Aslučaj kada tražimo vjerojatnost pojave događaja A11 ili A ili A22 ili A ili A11 i i

AA22. Takova vjerojatnost se računa na način da se od sume . Takova vjerojatnost se računa na način da se od sume

vjerojatnosti za događaje A1 , A2 oduzme vjerojatnost događaja vjerojatnosti za događaje A1 , A2 oduzme vjerojatnost događaja AA11 i A i A2 2 istovremeno (izbjegavanje dvostruke vjerojatnosti).istovremeno (izbjegavanje dvostruke vjerojatnosti).

P(A2))P(AP(A2))P(A) Aili P(A 1121


• Upotreba teorije vjerojatnosti na primjerima iz prakseUpotreba teorije vjerojatnosti na primjerima iz prakse

• Slučaj serijskog spoja – problem vezan za pouzdanost sustavaSlučaj serijskog spoja – problem vezan za pouzdanost sustava

Primjer: Pojednostavljen slučaj vjerojatnosti pogotka cilja projektilom. Projektil na putu do cilja prolazi kroz faze koje imaju svoju vjerojatnost uspjeha. Vjerojatnost uspješnog pogotka cilja se može prikazati kao serijski spoj faza (vjerojatnosti uspjeha svake faze). Svaka faza ima vjerojatnost uspjeha 0,99. Kolika je vjerojatnost uspješnog pogotka cilja?

0,9410,99pogodak) P(uspješan

P(kill)P(hit)P(trk)P(lock)P(lnch)P(det)pogodak) P(uspješan6

Za uspješan pogodak projektil mora uspješno proći sve faze. Radi se o serijskom spoju (množenju vjerojatnosti).


• Slučaj paralelnog spoja – problem vezan za pouzdanost sustavaSlučaj paralelnog spoja – problem vezan za pouzdanost sustava

Primjer: U kritičnom dijelu nekoga procesa važno je da je barem jedna pumpa u stanju ispravnog rada kako ne bi došlo do zastoja. Ako su vjerojatnosti ispravnog rada (pouzdanost) svake pumpe R=0,99 kolika je vjerojatnost da sustav funkcionira ispravno?

Budući da je P(ispravnog rada)+P(zastoja)=1možemo pisati sljedeće:

0.9999990,010,010,01-1 rada) gP(ispravno

Q(pumpa3)Q(pumpa2)Q(pumpa1)P(zastoja)

;P(zastoja)-1rada) gP(ispravno


Obrada empirijskih podatakaObrada empirijskih podataka• deskriptivna statistika – deskriptivna statistika – opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi

osnovnih parametara, identifikacija procesaosnovnih parametara, identifikacija procesa• osnovne vrste podatakaosnovne vrste podataka – – po nastanku varijable (upotreba različitih mjernih po nastanku varijable (upotreba različitih mjernih

ljestvica) se mogu klasificirati na:ljestvica) se mogu klasificirati na:

1.1. Kvalitativne: nominalne (Da, Ne ; Dobar, Loš...), ordinalne (rangovi)Kvalitativne: nominalne (Da, Ne ; Dobar, Loš...), ordinalne (rangovi)

2.2. Kvantitativne: diskretne (cjelobrojne vrijednosti, pobrojane), Kvantitativne: diskretne (cjelobrojne vrijednosti, pobrojane), kontinuirane (neprekinute, mjerene) kontinuirane (neprekinute, mjerene)

a)a) Diskretne varijable – nastaju Diskretne varijable – nastaju prebrojavanjemprebrojavanjem

P(n)P(2)..., P(1),P(0), )P(x ; n0,1,2...,x ii

b)b) Kontinuirane varijable – nastaju Kontinuirane varijable – nastaju mjerenjemmjerenjem0 1 2 3 4 5 x

x x x x x

x

a b x


• Grafička obrada empirijskih podatakaGrafička obrada empirijskih podataka

• vrste grafičkih prikaza:vrste grafičkih prikaza:

1.1. Histogram (‘bar chart’) – prikazivanje učestalosti podataka Histogram (‘bar chart’) – prikazivanje učestalosti podataka stupićima te povezivanje vrhova u stupićima te povezivanje vrhova u poligon frekvencijapoligon frekvencija

- histogramski prikaz za diskretnu varijablu- direktno očitavanje vjerojatnosti pojave pojedine vrijednosti varijable

3028262422

7

6

5

4

3

2

1

0

x

Freq

uen

cy

Histogram - histogramski prikaz za kontinuiranu varijablu- prikaz preko razreda podataka po kojima klasificiramo podatke- u tehnici se radi sa razredima jednake veličine (širine)

Primjer:

543210

12

10

8

6

4

2

0

C1

Fre

quency

Histogram


2.2. ‘‘Box- whisker’ prikaz (prikaz ‘kutija – brkovi’) – jedno od najčešćih prikaza podatakaBox- whisker’ prikaz (prikaz ‘kutija – brkovi’) – jedno od najčešćih prikaza podataka

Primjer:

- ‘box-whisker’ prikaz za kontinuiranu varijablu- prikaz je moguće kreirati u različitim verzijama (središnja točka medijan/aritmetička sredina, podjela po percentilima/intervalima povjerenja...)- jednostavna dijagnostika problematičnih podataka (ekstrema, ‘outliera’)- mogućnost prikazivanja dva ili više uzoraka paralelno te brzo dijagnosticiranja njihovih relacija i karakteristika

x2x1

40

35

30

25

20

Data

Boxplot of x1; x2

34323028262422

20

15

10

5

0

x1

Cum

ula

tive

Fre

quen

cyHistogram of x1

- kumulanta – histogramski prikaz frekvencija koje se kumuliraju od najnižega ka najvišem razredu

- mogućnost prikaza relativnih frekvencija (u %) na ordinati


3.3. ‘‘Stem-leaf’ prikaz (prikaz ‘stabljika - list’) Stem-leaf’ prikaz (prikaz ‘stabljika - list’)

Primjer: fi Stem Leaf

2 21 0 2

4 22 3 3 4 9

5 23 1 2 5 8 9

4 24 5 6 7 8

2 25 4 8

1 26 4

- prikaz ‘stabljika-list’ se najčešće koristi na podacima koji su u decimalnom obliku gdje se znamenka cijelog broja prikazuju kao stabljika a decimalni dio kao ‘list’

4.4. Ostali prikazi:Ostali prikazi:• ‘‘Individual plot’,Individual plot’,• ‘‘Scatter plot’,Scatter plot’,• ‘‘Line plot’,Line plot’,• ‘‘Dot plot’ ,Dot plot’ ,• ‘‘Marginal plot’ ,Marginal plot’ ,• ‘‘Area plot’,Area plot’,• ‘‘Pie chart’Pie chart’• ‘‘Normal probability plot’,Normal probability plot’,• ......


Primjer grafičke analize podataka: Na jednom uzorku izmjerene su vrijednosti vlačne čvrstoće šarže čeličnog lima (u N/mm2). Nakon mjerenja dobiveni su sljedeći podaci:

430, 440, 450, 460, 440, 430, 410, 410 440, 440, 430, 440, 420, 450, 430, 450420, 440, 420, 450, 410, 440, 460, 430

460450440430420410

7

6

5

4

3

2

1

0

Vlačne čvrstoće, N/ mm2

Frek

venci

ja

Histogram

460450440430420410

25

20

15

10

5

0

Vlačne čvrstoće, N/ mm2

Kum

ula

tivn

e fr

ekve

nci

ja

Histogram kumulativnih frekvencija

460

450

440

430

420

410Vla

čne

čvrs

toće

, N

/mm

2

Boxplot of Vlačne čvrstoće, N/ mm2


• Numerička obrada empirijskih podatakaNumerička obrada empirijskih podataka

• aritmetička sredinaaritmetička sredina – suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem – suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem elemenata populacije (težište – paralela sa mehaničkim modelom)elemenata populacije (težište – paralela sa mehaničkim modelom)

N

xμxE

N

ii

1ocekivanje)( n

xx

n

ii

1 uzorka sredina aritm.

• MJERE POLOŽAJAMJERE POLOŽAJA

• mod –mod – podatak(ili razred) koji ima najveću frekvenciju podatak(ili razred) koji ima najveću frekvenciju- mod dijeli distribuciju frekvencija na rastuću i padajuću stranu- mod dijeli distribuciju frekvencija na rastuću i padajuću stranu- vrste distribucija s obzirom na mod- vrste distribucija s obzirom na mod

najvažnije svojstvo aritmetičke sredine: 0)(1

xxn

ii


• medijan –medijan – 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti

• kvantilikvantili - - vrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele navrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele naq jednakihq jednakih dijelova dijelova

MedijanMedijan

KvartiliKvartili

DeciliDecili

PercentiliPercentili


• MJERE RASIPANJAMJERE RASIPANJA

• standardna devijacija standardna devijacija σσ – – prosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredineprosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredine

• varijanca varijanca σσ22 – – prosječno prosječno kvadratnokvadratno odstupanje svakog podatka od arit. sredine odstupanje svakog podatka od arit. sredine

21

2

2)(

n

xxn

ii

• koeficijent varijacije, V – koeficijent varijacije, V – međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava ili svojstava ili svojstava

- pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. - pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. sredine iznosi sredine iznosi vrijednost standardne devijacije (u vrijednost standardne devijacije (u %)%)

100% x

Vkoeficijent varijacije

(relativna mjera rasipanja)

• raspon, Rraspon, Rxx – – razlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podatakarazlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podataka

minmax xxRx

• nepristrana procjena varijance nepristrana procjena varijance osnovnog skupa osnovnog skupa ((σσoo22) ) ::

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n


• MOMENTI STATISTIČKIH SKUPOVAMOMENTI STATISTIČKIH SKUPOVA

• mehanički model - greda, oslonac i opterećenje ( xmehanički model - greda, oslonac i opterećenje ( x11,x,x22, ... – jedinične sile), ... – jedinične sile)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

– centralni moment r-tog reda – moment oko centra (aritmetička sredina):centralni moment r-tog reda – moment oko centra (aritmetička sredina):

n

)x(xM

n

1i

r

i

r

r=0 M0=1r=1 M1=0r=2 M2=σ2

r=3 M3

r=4 M4

varijanca

– pomoćni moment r-tog reda – moment oko točke 0pomoćni moment r-tog reda – moment oko točke 0

n

xm

n

1i

r

i

r

r=0 m0=1r=1 m1= x aritmetička sredina

koeficijent asimetrijekoeficijent spljoštenosti


• MJERE OBLIKA STATISTIČKOG SKUPAMJERE OBLIKA STATISTIČKOG SKUPA

• koeficijent asimetrije (Skewness)koeficijent asimetrije (Skewness) – mjera nagnutosti distribucije na lijevu – mjera nagnutosti distribucije na lijevu ili desnu stranuili desnu stranu

3

1

3

3

n

1i

3)xi(x

3 nM 3

svaki |α3| : 0 - 0,25 zanemariva asimetrija0,25 – 0,50 slaba asimetrija0,50 – 0,75 srednja asimetrija0,75 - + jaka asimetrija

nema asimetrije α3=0

pozitivna asimetrije α3>0

negativna asimetrija α3<0


• koeficijent spljoštenosti (Kurtosis)– koeficijent spljoštenosti (Kurtosis)– mjera spljoštenosti (zaobljenosti) distribucijemjera spljoštenosti (zaobljenosti) distribucije

121086420

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

f(x) normalna spljoštenost α4=3 (α’4=0)

spljoštenost α4<3 (α’4<0)

izduženost α4>3 (α’4>0)

4

1

4

4

n

1i

4)xi(x

4

nM 4 3'4

4 -M

-normiranje na nulu

(jednostavnije očitavanje)


Primjer dva skupa:

a) sa istim očekivanjem a različitom varijancom

b) sa istim očekivanjem i varijancom ali različitim elementima


• SLUČAJNA VARIJABLA - DEFINIRANJESLUČAJNA VARIJABLA - DEFINIRANJE

• diskretne varijable:diskretne varijable:

)...,P(n)), P(),P(P() ; P(x...,n,,x ii 210210

očekivanje

1)( ,)()(1

i

n

iii xpxpxxE

varijanca 22 )()( xExEx

– funkcija distribucije F(x) diskretne varijable (kumulanta):funkcija distribucije F(x) diskretne varijable (kumulanta):

k

iik xpxF

1

)()( )()( kk xxPxF

– vjerojatnost diskretne varijable:vjerojatnost diskretne varijable:

0)( ixf ;1)(1

n

i ixp

n

i i

i

i xfxf

xp1

)()(

)(

učestalostvjerojatnost


zbrajanja frekvencija (kumuliranje)

543210

50

40

30

20

10

0x

P*100%

Vjerojatnosti

543210

100

80

60

40

20

0

x

Cum

ula

tive P

erc

ent

Count

Kumulativni prikaz


• kontinuirane varijable:kontinuirane varijable:

x

– funkcija gustoće vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):funkcija gustoće vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):

očekivanje

dxxfxxE )()(

varijanca2

22 )()()(

dxxfxdxxfxx

očekivanje

0)( xf

1)( dxxf

svojstva f.g.v. :

1.

2.

3. 2

121 )()(

x

x

xxxPdxxf


– funkcija distribucije vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):funkcija distribucije vjerojatnosti (kontinuirana varijabla):

1

1 )()(x

dxxfxF

povezanost f.g.v. i funkcije distribucije


Primjer: Sljedeći podaci prezentiraju temperature ‘O-ring’ brtvi raketnog motora prilikom testiranja sustava paljenja: 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 73, 70, 57, 63, 70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. Potrebno je odrediti sve osnovne statističke parametre i grafički prikazati podatke.

807060504030

14

12

10

8

6

4

2

0

°F

Freq

uen

cy

Histogram of °F

90

80

70

60

50

40

30

°F

Boxplot of °F

Documents

Osnove statistike