Osnovi ekonomijeOsnovi ekonomije

Donošenje odlukaOdređivanje ekonomske jednakovrijednostiCijena novca

Cijena novcaCijena novca

Cijena novčanih sredstava mjeri se kamatnom stopom, iznosom novca koji se na kraju svakog vremenskog perioda dodaje ukupnoj sumi novca.Kamata je cijena novca da bi novac bio na raspolaganju.Novac danas vrijedi više nego novac u budućnosti.

Osnovni elementi novčanih tokovaOsnovni elementi novčanih tokovaGlavnica (P) – početna suma novcaKamatna stopa (i) – cijena novca, izražena u postocima u nekom vremenskom perioduPeriod ukamaćivanja – period vremena nakon koga se kamate obračunavajuBroj perioda ukamaćivanja (N) – ukupno vrijeme na koje je novac posuđenPlan otplate (An) – način vraćanja duga (npr. jednakim obrocima (A))Buduća vrijednost novca (F) – iznos novca na kraju (uvećan za kamatu)

Prikaz toka novcaPrikaz toka novca

vrijeme

5141.85 €

19 800 €

200 €

5141.85 € 5141.85 € 5141.85 €

Kamata 9%

5141.85 €

Složeno ukamaćivanjeSloženo ukamaćivanje

Prva godina P + i·P = P(1+i)Druga godina (P(1+i)) + i· (P(1+i)) = P(1+i) (1+i) = P(1+i)2

F = P(1+i)N

svi novčani tokovi prikazuju kao sadašnja vrijednost novca P = F/(1+i)N

Proračun jednakovrijednostiProračun jednakovrijednosti

Formula za izračun vrijednosti Formula za izračun vrijednosti toka novca jednakih ratatoka novca jednakih rata

= A

Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi

Klasifikacija diferencijalnih jednadžbi prema Garabedianu

eliptičke parabolične hiperbolične

eliptičke D < 0parabolične D = 0hiperbolične D > 0

2 2 2

2 2 0u u u u uA B C D E Fu Gx x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 4 0B AC− <2 4 0B AC− =

2 4 0B AC− >11 11 12 12 1

21 21 22 22 2

u u v vA B A B Ex y x yu u v vA B A B Ex y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )( )211 22 21 12 22 11 12 21 11 22 21 12 11 22 21 124D A B A B A B A B A A A A B B B B= − + − − − −

Određivanje tipa Određivanje tipa diferencijalnih jednadžbidiferencijalnih jednadžbi

2 0p p vv cx t x

ρ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

12v vp v v dzv g

g x x t D dxλ∂ ∂ ∂

+ + = − −∂ ∂ ∂

A11 = v ; B11 = 1 ; A12 = c2ρ ; B12 = 0 ; E1 = 0A12 = 1/ ρ ; B21 = 0 ; A22 = v ; B22 = 1 ; E2 =

D = (v – 0 + v – 0)2 – 4(v2 – c2)(1 – 0) = 4c2

Hiperbolični sustav jednadžbi

2v v dzg

D dxλ− −

Metoda karakteristikaMetoda karakteristikaHiperbolični sustav jednadžbi može se zapisati u obliku

Za model sustav jednadžbi glasi

Traženi karakteristični smjerovi izvode se iz jednadžbe

U UA Bt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

2 0

1/2

p pv cv v dzv vt xv g

D dx

ρρ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠

0A Iλ− =2

01/

v cv

λ ρρ λ

− +=

− +

Pozitivna karakteristika ima nagib

i uzduž nje vrijedi izraz:

Negativna karakteristika ima nagib

i uzduž nje vrijedi izraz:

( )1=d d 1t x v cλ = +

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ+ + + =

( )2 =d d 1t x v cλ = −

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

KarakteristikeKarakteristike

DiskretizacijaDiskretizacija vremensko vremensko prostornog kontinuumaprostornog kontinuuma

( )

( )v v v

v v vR M O1

S N O2

= + −

= + −

α α

β β

1

1

( )( )

R M O

S N O

1

1

h h h

h h h

α α

β β

= + −

= + −

InterpolacijaInterpolacija

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P1 R P1 R RR

P2 S P2 S SS

sign 0

-sign 0

gi h h v v Fcgj h h v v Fc

− + − + =

− + − + =

( )

( )

F F v v Fv v t

D

F F v v Fv v t

D

R R P1 R RO R

S S P2 S SO S

= + =+

= + =+

,

,

λ

λ

∆

∆

8

8

d d 0d d 2

v vg h vc t t D

λ+ + + =

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

PrimjerPrimjerDuljina cijevi................................L=91,44 mPromjer cijevi...............................D=10,97 mmDebljina stjenke...........................s=0,81 mmRazina vode u spremniku.............H=0.1275 mGustoća vode................................ρ=992,8 kg/m3

Kinematička viskoznost................ν=0,6414×10-6 m2/sVol. modul elastičnosti vode........K=2,2774×109 PaModul elastičnosti cijevi..............E=1,1003×1011 PaDubina fluida u rezervoaru……….h = 7.2 m

D, L

H

ρ,ν

h

Model strujanjaModel strujanja( )1=d d 1t x v cλ = +

d d 0d d 2

v vg h vc t t D

λ+ + + =

( )2 =d d 1t x v cλ = −

dh d 0d d 2

v vg vc t t D

λ− + + =

Pozitivna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:

Negativna karakteristika ima nagib i uzduž nje vrijedi izraz:

Pretpostavke:•v mnogo manji od c pa ga zanemarujemo u nagibu karakteristike•koeficijent trenja zavisi samo od relativne hrapavosti λ = const.•Lewi Courantov broj CFL = 1

DiskretizacijaDiskretizacija prostor prostor --vrijemevrijeme

1 11 1( ) ( ) 0n n n n

i i i ig h h v vc

+ ++ +− − + − =

1 11 1( ) ( ) 0n n n n

i i i ig h h v vc

+ +− −+ − + − =

11 1 1 1

1 ( ) ( )2 2

n n n n ni i i i i

ch h h v vg

+− + − += + + −

11 1 1 1

1( ) ( )2 2

n n n n ni i i i i

gv h h v vc

+− + − += − + +

Rubni uvjetiRubni uvjetiRubni uvjeti:Za visinu tlaka slijedi izraz iz pozitivne karakteristike koja vrijedi

na kraju cijevi:

Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz spremnika:

1 11 1( )n n n n

i i i ich h v vg

+ +− −= − −

1 11 1( )n n n n

i i i igv v h hc

+ ++ += + −

Početni uvjetiPočetni uvjeti

Bernoullijeva jednadžba od površine lijevog do površine desnog spremnika uz zanemarenje trenja glasi

a odatle izraz za brzinu strujanja u cijevi u stacionarnom režimu strujanja

v = 0.05 m/s

2

2Pa Pa vH

g g gρ ρ+ = +

2v gH=

ProračunProračun

RezultatiRezultati

12

34

56

78

910

11

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

RezultatiRezultati1 5 9

13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

101

105

S1

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00