Osnovi Elektrotehnike - Jednosmerne Struje - Zbirka Zadataka

dr.sci. Izudin Kapetanovic mr.sci. Nermin Sarajlic mr.sci. T aljana Konjic

OSNOVIELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

knjiga 2 Iednosrnjernestruje

prvo izdanje

Tuzla, 2000. godine

Izdc:vac: ~~kultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli Za lzdavaca. dekan, prof dr.sci. Mirza Kusljugic

Recenzenti: dr.sci. Zijad Haznadar redo . ,F, , vm proJesor Fakulteta

elekn-.0tehnike i racunarstva SveuCilista u Zagrebu dr.~cl. Vfado Madiarevic, docent Fakulteta elektrotehnike UmverZlfeta u Tuzli

Crteie izradili, slog i prijelom: mr.sci. Tatjana Konjic mr.sci. Nermin Sarajlic

Stampa: "Graficar" Tuzla

Tirai: 500 primjeraka

Na osnovu rjesenja broj 03-1263/00 od 260620 ... udibenika odnosno drugih nasI 'h d" OO.g., KomlSlje za upotrebu novih d b ' avm sre stava u nastav' u.' .

o 0 rava se upotreba ovog udib 'k I mverzlteta u Tuzli, em a u nastavnom procesu.

Misljenjem Federalnog ministarstva obrazovan' . 03-15-3IJO/00 od 26.06.2000 udib'" 'la, nauke, kulture I sporta broj zadataka" osloboaen je PlacaJ;' emk OSNOVI ELEKTROTEHNlKE Zbirka clana 19 tacka 13 Zakona op poreza na promet proizvoda i usluga na osnovu

orezu na promet proizvoda i usluga.

Nij~dan dio ovog udibenika ne smije se urn v. '. '.

nacin reproducirati bezpismenog od b . ndozava!l, !otokoplratl mh na bila koji o renJa IZ avaca 1ft autora.

CW. Katalogizaeija u publikaeiji NaelOnalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hereegovine, Sarajevo

621.3.024 (075.8) (076.1)

KAPETANOVIC, Izudin Osnovi elektrotehnike : zbirka zadatak K' .

I lzudin Kapetanovic Nennin S T' T' a . n}:~, Jednosmjeme struje Ta~ana Konjic, Ne~in Sarajlict~ l~,. ~1J~ KonJlc; [crteze izradili Univerziteta 2000 _ 352 t "1' . lZ . - uzla: Fakultet elektrotehnike

, . s r .. 1 ustr. ; 23 em

Bibliografija: str. 351-352 ~

ISBN 9958-618-12-5 (knj. 2) ISBN 9958-618-09-5 (ejelina)

1. SarajJic, Nennin 2. Konjic Tatjana COBISSlBiH-ID 7897606 '

PREDGOVOR

Udibenik »Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka« namijenjen je studentima elektrotehnickih Jakulteta, ali ga mogu koristiti i studenti drugih Jakulteta koji nastavu iz ovog predmeta slusaju po slicnom nastavnom programu.

Udibenik »Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka« koncipiran je taka da u potpunosti pokriva oblasti potrebne za pripremanje ispita iz predmeta Osnovi elektrotehnike, te sa postojeCim teorijskim udibenicima iz ave oblasti, Cinijednu cjelinu.

Zbog obimnosti izloiene materije, ali i iz prakticnih razloga za Citaoce, udibenik »Osnovi elektrotehnike Zbirka zadataka« podijelili smo u stampi u cetiri dijeZa-knjige u kojima su obradene slijedete oblasti:

knjiga 1: Elektrostatika knjiga 2: lednosmjeme struje knjiga 3: Elektromagnetizam knjiga 4: Naizmjenicne struje i TroJazni sistemi

Svaka od navedenih oblasti paCinje odredenim brojem zadataka sa kompletnim postupkom rje!iavanja, a nakon toga dat je odredeni broj zadataka sa rezultatirna, koji su namijenjeni za samostalan rad studenata. Cilj ovakvog pristupa bio je da se studentimaskrene painja na Cinjenicu da je teorijska priprema preduslov za uSPJesno rjdavanje zadataka. Zadavanjem zadataka za samostalno rjdavanje, studenta pod stice i osposobljava za samostalno razmisljanje, donosenje zakljucaka i odluka, te objasnjenje i razumijevanje teorijskih, fizikalnih zakanitasti i procesa, koje su culf na predavanjima i vjeibama putem verbalnog opisa.

Ovakav pristup i metodologija daje dabre rezultate i studenti moraju.. iskoristiti sve prednosti koje tm se na ovaj naCin pruiaju. Aktivno uceice studenta, kontinuirano u toku nastave, podstice ga na samostalnost, kreativnost, razvija samoinicijativu i pruia neophodnu sigurnost i odvainost potrebnu za rjesavanje sloienih inienjerskih problema u praksi.

Nadamo se da smo ovakvim pristupom omoguCili studentima da potpunije ovladaju problematikom vezanom zp navedene oblasti i na taj naCin laBe savladaju veoma te!iko i obimno gradivo.

S druge strane, sigumo ce ova knjiga biti i u rukamauiiplomiranih inienjera. Dok se inienjeri budu bavili problematikom obradenom u njoj, nadamo se da ce se rado podsjetiti vremena u kojem su rjesavali ovakve zadatke u atmosferi predispitne nervaze. lskustvo kaje su gtekli kasnije, otvorice im nove vidike i danas su sigurno u prilici do jos bolje shvate sustinu problematike i znacaj Jundamentalnih znanja, te koliko je vaina filozofija elektrotehnike.

Poslije dugo godina mda sa studentima, za nas je pogled unazad jasniji put u budutnost, a znanje je najvete bogatstvo i »najljepsi ukras covjekov«.

Matematicki aparat koji se ovdje koristi ne izlazi iz okvira osnovnih kolegija matematike na prvim godinama tehnickihfakulteta.

Zahvaljiijemo se dr. sci. Enesu Duvnjakovil:, koji je imao puno strpljenja da pregleda rukopis, ukaie na boljepristupe u primjeni i koristenju matemafickog aparata zajednostavnija rjesenja u elektrotehnici.

Imamo posebno zadovoljstvo da. se zahvalimo recenzentima prof dr.sci. Zijadu Haznadar i doc. dr.sci. Vladi Madiarevil: za uloieni trud pri recenziji teksta i datim korisnim sugestijama i primjedbama koje su doprinijele pobosljanju kvaliteta ovog udibenika.

U TuzZi, apriZa 2000. godine

Autori

2.

2.1.

2.2.

SADRZAJ

Jednosmjerne struje

Vektor gustine elektricne struje. struje.Prvi Kirhofov zakon

Elektricna otpornost, Diulov zakon

Intenzitet elektricne

2.3. Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnog kola

- otpornici

2.4. Drugi Kirhofov zakon

2.5. .A1elode proracuna stanja u linearnim elektricnim kolima

2.6. Elektrostaticka kola

Prilog 1: Koordinatni sistemi

Prilog 2: Matematickeformule

Prilog 3: Grcka slova

Prilog 4: Decimalne mjerne jedinice i sistemi

Prilog 5: Tablice specijicnih otpornosti

Oznake koristenih veliCina i njihovejedinice

Litemtum

3

25

54

104

128

260

333

336

343

344

345

347

351

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

OSNOVIELEKTROTEHNIKE

JEDNOSMJERNE STRUJE

Glava bez razmisljanjaje tvrdava bez vojske. Napoleon

Jednosmjerne struje J

OSNOVI F;LEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), njemacki jizicar. U raznim granama jizike dao znacajne doprinose. Postavio zakone v zracenju i apsorpciji svjetlosti i toplote. Zasluian je za otkrice i razvoj spektralne analize; objasnivsi apsorpcijske linije u optickim spektrima stvorio mogucnost istraiivanja sastava nebeskih lije/a. Zajedno sa R. If!. Bunsenom otkrio je pomocu spektroskopa elemente cezijum (1860) i rubidijum (1861). Postavio zakone 0 raspodjeli struje i napona u elektricnim kolima.

2 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon


2.1. Vektor gustine elektricne struje. Intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

2.1. Na slici 2.1 je prikazan odsjecak neke cilindricne strujne tube, povrsine poprecnog presjeka S, u kojoj se pod dejstvom elektricnog polja kreeu pokretljiva naelektrisanja Qe istom srednjom brzinom v . Odrediti vektor gustine struje j .

s

slika 2.1

Rjesenje:

Elektricna struja predstavlja svako sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu elektricnih naelektrisanja koja ucestvuju u ovom kretanju. Elektricna struja se moze obrazovati u cvrstim, tecnim i gasovitim sredinama, pa cak i u vakumu, ako postoje slobodno pokretljiva naelektrisanja i ako postoji- uzrok koji ce izazvati kretanje ovih naelektrisanja. Pokretljiva naelektrisanja koja mogu obrazovati elektricnu struju su elektroni i pozitivni i negativni joni.

Dvije karakteristicne fizicke veliCine koje definisu sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja su gustina struje i intenzitet.

Intenzitet struje je skalarna velicina, koja opisuje kretanje elektricnih naelektrisanja kroz neku makroskopsku povrsinu u vremenu. Ovoj kvantitati~!noj karakteristici elektricne st~uje pripisuje se i odredeni smjer u odnosu na provodnik.

Gustina struje je vektorska velicina, koja opisuje sredeno kretanje elektricnih naelektrisanja u nekoj tacki presjeka.

Dio prostora u kojem postoji elektricna struja naziva se strujno polje.

Jednosmjerne struje 3


U intervalu vremena dt svako elementarno naelektrisanje prede put vdt. Broj pokretljivih naelektrisanja koja za vrijeme dt produ kroz presjek S jednak je njihovom broju u zapremini Svdt. Ako je zapreminska gustina pokretljivih naelektrisanja N', ondaje njihov broj u toj zqpremini N'Svdt.

Ukupna kolicina naelektrisanja kroz povrsinu S u vremenu dt iznosi:

dq =N'Qe vS dt.

Kako je brzina svih pokretljivih naeJektrisanja u poprecnom presjeku ista, intenzitet vektora gustina struje je:

J= dq =N'Q v. Sdt e

Pravac i smjer vektora gustine struje J odgovara pravcu i srnjeru kretanja pokretljivih naelektrisanja, te je:

J=N'QJ.

-~o se radi 0 kretanju elektrona u provodniku (Qe=-e) vektor gustine struje Je:

J=N' (-e)v,

odakle se vidi da je srnjer vektora gustine struje J suprotan srnjeru vektora srednje makroskopske brzine kretanja elektrona. U opstem slucaju, kada u obrazovanju elektricne struje ucestvuju pokretljiva naelektrisanja vise vrsta (elektroni i pozitivni i negativni joni), cije su zapreminske gustine

N;,N~, ... , a naelektrisanja Qeh Qe2, ... i vektori srednjih brzina V1'V2 ' ••• ,

vektor gustine struje je:

n

j = LN~Qek vk -

k=1

~ U posljednjoj jednaCini naelektrisanja Qek imaju algebarsko znacenje.

2.2.

4

Ako se uzme da je jedan slobodan elektron po atomu, koncentracija elektrona provodnosti u bakru je oko 8,4·1Q22[elektronlcm3

].

Izracunati srednju brzinu elektrona u bakru pri gustini struje od 5 [Alrnm2

].

Vektor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon


Rjesenje:

Iz jednacine za intenzitet vektora gustine struje:

J=N' e v

slijedi:

J v=-.-.

Ne

Kako je u l[ cm3] bakra 8,4.1022 slobodnih elektr6na, to znaci da je

N'=8,4·1028[elektronlrn3], paje:

5 _106

-3 [ ] v= 28 19 =0,372·10 m/s_

8,4·10 -1,6·10-

Iz ovoga se moZe zakljuciti da su srednje makroskopske brzine kretanja elektrona provodnosti pod dejstvom elektricnog polja u metalnom provodniku vrlo male. Tako, na prirnjer, jednorn elektronu u razrnatranom slucaju bi trebalo oko 45 minuta da bi preSao dui linija polja, put od jednog metra. furedenja radi, brzina termickog kretanja elektrona u metalima na sobnoj temperaturije reda velicine 100 [km/s].

2.3. Izracunati srednju brzinu kretanja slobodnih elektrona u provodniku od bakra kroz koji postoji gustina struje J=3·106[Alm2]. Zapreminska gustina slobodnih naelektrisanja u bakru je N'=8,4·1028( elektronlrn3

]. Koliki je intenzitet struje kroz provodnik po luprecnika 1 [rnm]?

Rjesenje:

Intenzitet vektora gustine struje dat je jednacinom:

J=N'Qe v,

odakle je srednja makroskopska brzina elektrona:

J V=-,--

N Qe

3.106 -3 [ 1

28 19 =0,22·10 m/s]. 8,4·10 ·1,6 ·10-



Intenzitet struje kroz zadani provodnikje:

I = JS = J r21[ = 9,42 [A].

2.4. Moze Ii kretanje neke loptice po strmoj ravni biti analogno kretanju elektrona provodnosti kroz metalne provodnike pod dejstvom elektricnog polja? Sta u ovom modeJu odgovara elektricnom polju, a sta vanjskim silama?

Rjesenje:

Sto se tice kretanja naelektrisanja kroz provodnik, makroskopski gledano, ono je povezano sa nekom vrstom "elektricnog trenja" koje drzi dinamicku ravn?tezu potisnim silama elektricnog polja. Osobina provodnika i uopste druglh materijala da se silama trenja suprotstavljaju proticanju naelektrisanja (elektricne struje) nazi va se otpornost provodnika.

U slucaju idealno glatke strme ravni, loptica bi se kretaJajednoliko ubrzano.

Zadani model moze dati analogiju sa elektricnom strujom u provodnicima, pod uslovom da je strma [avan hrapava, kako bi se zbog sihl trenja loptica kretala po strmoj ravni konstantnom brzinom. U ovom analognom modelu elektricnom poJju odgovara gravitaciono polje, a vanjskim silama ona sila kojom je loptica podignuta na vrh strme ravni, dakle sila koja djeluje nasuprot gravitacionoj sili.

2.5. Kroz pravu bakarnu zicu kruznog presjeka, precnika d=2[mm] protice vremenski konstantna struja intenziteta 5[A]. Izracunati intenzitet vektora gustine struje u zici i broj elektrona kojikroz presjek bakarne zice produ u jednoj sekundi.

Rjesenje:

Kroz veoma dug, pray homogeni provodnik konstantnog, ali proizvoljnog presjeka, protice vremenski konstantna struja. SJobodna naelektrisanja makroskopski se krecu paralelno osi provodnika, sto znaci da ie u svim ta~kama unu:ar provodnika vektor jacine elektricnog polja takod~ paralelan OSI provodmka. Kako ovopolje ima sve osobine elektrostatickog polja,

prema jednacini fEd[ = 0, intenzitet vektora jacine polja mora biti isti u



svim tackama presjeka provodnika. To znaCi, unutar ovakvog cilindricnog provodnika elektricno polje je homogeno.

Isto tako, tacke provodnika koje ne pripadaju istom poprecnom presjeku provodnika nalaze se na razliCitim potencijalima.

Intenzitet vektora gustine struje je:

Da bi se izracunao broj elektrona koji produ kroz neki poprecni presjek bakarne zice u jednoj sekundi, treba odrediti kolicinu naelektrisanja koja u jednoj sekundi prode kroz presjek:

LlQls = I· t = 5 [C].

Broj elektrona n koji produ kroz presjek bakarne zice ujednoj sekundije:

n - LlQIs - 5 = 3,125.1019. - e - 16.10-19 ,

2.6. Elektrode plocastog kondenzatora potopljene su u nesavrsen dielektrik. Izmjerena vrijednost jaCine struje kroz dielektrik kondenzatora je I=2,5[j..tA]. Ako je povrsina plocastog kondenzatora S=150[cm2

], izracunati intenzitet vektora gustine struje u dielektriku izmedu ploca kondenzatora. Kakve se linije vektora gustine struje izmedu ploca kondenzatora?

Rjesenje:

Vektor gustine struje u dielektriku izmedu ploca kondenzatora, u ovom slucajuje~konstantan (uz-zanemarenje ivicnih efekata) i ima intenzitet:

Linije vektora gustine struje su normalne na elektrode kondenzatora.



2.7. U tecnom dielektriku nalaze se ravnomjerno rasporedene naelektrisane cestice, cija je koncentracija N'=106[elektronfm3J, a naelektrisanje svake od njih Qe=1O-16[C]. Izracunati gustinu i jaCinu struje koja se dobija ako se ova tecnost krece brzinom v=1,2[mls] kroz cijev poprecnog presjeka S=1[cm2J. Da Ii je pojava ove struje posljedica elektricnog polja?

Rjesenje:

Intenzitet vektora gustine struje je:

J = N'Qe v = 1,2 .10-10 [A/m2],

a intenzitet struje je:

1= J·S = 1,2.10-14 [A].

Pojava ove struje nije posljedica elektricnog polja, jer tecnost nije provodna,

2.8. Kroz homogeni cilindricni provodnik kruZilog poprecnog presjeka poluprecnika a, postoji struja jaCine I, Kolika je jaCina struje kroz dio poprecnog presjeka provodnika poluprecnika r (r<a)? Kolika je jaCina struje ako je cilindricni provodnik u obliku suplje cijevi unutrasnjeg poluprecnika a, a vanjskog b (a<r<b}

RjeSenje:

. Intenzitet vektora gustine struje kroz homogeni cilindricni provodnik je konstantan i iznosi:

I J=-2-·

a n

Intenzitet Gacina) struje kroz diQ poprecnog presjeka provodnika r (r<a) jednakje:

Za cilindricni provodnik u obliku suplje cijevi unutrasnjeg poluprecnika a, a vanjskog b, intenzitet vektora gustine struje je konstantan i iznosi:

8 Vektor gustine i intenzitet elektricne struje, Prvi Kirhofov zakon


Intenzitet struje kroz dio poprecnog presjeka provodnika U obliku suplje cijevi poluprecnika r (a<r<b) jednakje:

(2 2) r2_a 2

I(r)=Jn\r-a =1 2 ~. b -a~

2.9. Homogeni dielektrik u cilindricnom kondenzatoru poluprecnika unutrasnje elektrode a=l[cm] i vanjske elektrode b=2[cmJ, visine h=2[cm] nije idealan. Ako se prikljuci na izvor, mjerenjem se utvrdi struja kroz dielektrik jacine I=50[IlA]. Izracunati intenzitet vektora gustine struje u dielektriku kondenzatora u zavisnosti od rastojanja r, racunajuCi od ose kondenzatora. '

Rjesenje:

Zbog simetrije vektor gustine struje je raciijalan, a njegov intenzitet zavisi sarno od rastojanja r. Za cilindricnu povrsinu S, poluprecnika r i visine h, koaksijalnu sa elektrodama, fluks vektora gustine struje u dielektriku je:

fr dS = J . S = J . 2m· h = 1. s

Intenzitet vektora gustine struje u zavisnosti od poluprecnika r je:

J = _I_.!. 2nh r

(a<r<b).

Za r = a intenzitet vektora gustine struje je:

J(a)= 2Ih~=3,98.10-2 [Aim:} n a .

Za r = b intenzitet vektora gustine struje je:


OSNOVI ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

Promjena intenziteta gustine struje u zavisnosti od rastojanja r data je grafikom prikazanim na slici 2.9.

J(a)

J(b) ~---+-------"-<1

a b rem]

slika 2.9

2.10. U provodniku sa slike 2.10 naCinjenom od dva homo gena materijaia, cije su specificne otpomosti PI i P2, rasporedena u tri sloja, dokazati cia je elektricno polje homogeno i izracunati intenzitet struje u svakom od slojeva.

~~ u I ~ ~~~~~~~ ::..i

I~ a ~I slika 2.10

10 Velctor gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

OSNOVI ELEKTROTEHNlKE Zhirka zadataka

Rjesenje:

Vektori srednje brzine elektrona, il sva tri posmatrana sloja provodnika, paralelni Sil osi provodnika. Odatle proizilazi da Sil i linije vektora gustine

struje I (J = N' Q e v , zadatak 2.1) medusobno paralelne.

Vektorijacine elektricnog poljaE u nekoj tacki provodnika i gustine stmjeJ u istoj tacki u cvrstim i tecnim provodnicima su istog pravca i smjera. Ovi vektori su za najveci broj provodnika proporcionalni, te vrijedi jednacina:

gdje je P koeficijent proporcionalnosti koji se naziva specificna otpomost, a jedinica mu je [Qm].

Kako je provodnik nacinjen od tri sloja, na razdvojnoj povrsini ova

materijala vektor E je tangentan, odakle se zakljucuje da u citavom provodniku mora biti:

Medusobno paraleine linije vektora E i ish intenzitet vektora E u aba materijala, dovode do zakljucaka da je elektricno polje u ovom sloZellom

provodniku homogeno. Intenzitet struje jednakje fluksu vektm"a j:

I = fi ·dS = fi l ·dS+ fJ 2 ·dS+ I'll ·dS, S Sl S2 Sl

gdje su SI i S2 povrsine odgovarajucih poprecnih presjeka.

Ako se usvoji ish smjer vektora II i 12 kao referentni smjer za struju naznacen na slici 2.10, oba fluksa su pozitivna. Kako su oba vektom konstantnog intenziteta na odgovarajucim povrsinama, sIijedi:

1= J l 2ab+Jz ac =~2ab+~ ac. PI P2

Na osnovu prethodne jednacine moguce Je odrediti intenzitet vektora elektricnog poija kao:

Jednosmjeme struje II


E= I 1 1 -2ab+-ac PI P2

mtenzitet vektora gustine struje je u materijalu 1:

1 I J I =-E=-----

PI 2ab+E.Lac P2

a u materijalu 2:

1 I J 2 =-E=-"'-----

P2 .t22ab+ac PI

Intenzitet struje u krajnjim slojevima provodnika sa specificnom otpornosti PI iznosi:

a intenzitet struje u sredisnjem sloju provodnika sa specificnom otpornosti P2 iznosi:

2.11. Dokazati da je intenzitet struje kroz svaki presjek provodnika isti.

Rjesenje:

U stacionarnom strujnom polju, makroskopsko kretanje i raspodjela naelektrisanja u prostoru mora biti stacionarna, tj. ne mijenjaju se u toku vremena. To znaci da se ukupna kolicina naelektrisanja unutar prostora ne

mijenja, te je izlazni fluks vektora J kroz zatvorenu povrsinu:



Drugim rijecima, tacno onoliko pozltlvnog iIi negativnog naelektrisanja koliko ude u neki prostor ogranicen povrsinom S za neko vrijeme mora iz njega i da izade. U protivnom, doslo bi do stalnog porasta kolicine pozitivnih iii negativnih naelektrisanja u zatvorenoj povrsini S. Raspodjela naelektrisanja bi se mijenjala, mijenjalo bi se i polje koje prouzrokuje struju, pa struja ne bi bila stacionama, tj. vremenski konstantna.

Ako se ova primjeni na zatvorenu povrsinu S koju obrazuju dva presjeka jedne strujne tube (iIi provodnika od bakame iIi aluminijske zice iIi trake kroz koji protice struja) SI i S2, i omotaca tube So (slika 2.11) onda se moze dokazati da je jacina struje u bilo kojem presjeku tube ista, bez obzira i na oblik tog presjeka.

() slika 2.11

Fluks vektora gustine struje J kroz zamisljenu zatvorenu povrsinu S sa slike 2.11 je:

lz prethodno navedenog slijedi da kolicina naelektrisanja koja u nekom intervalu vremena ude u zatvorenu povrsinu S kroz presjek S] mora biti jednaka kolicini nae!ektrisanja koja izade iz zatvorene povrsine S kroz

lednosmjerne struje 13


presjek S2. Kako su S] i S2 dva proizvoljna pesjeka provodnika dokazano je da je intenzitet struje kroz svaki presjek provodnika isti.

Naravno, izvedena tvrdnja je tacna pod uslovom da je smjer pozitivne normale na svaki presjek provodnika, odnosno referentnj smjer struje, isti duz cijelog provodnika i ako je provodnik promjenljivog presjeka. Zbog toga kada se govori 0 intenzitetu struje kroz presjek provodnika, normalno je da se govori 0 intenzitetu struje kroz provodnik, odnosno kroz bilo koji presjek provodnika.

Pored intenziteta struje, ovoj skalarnoj velicini pripisuje se i odredeni smjer.

Pod smjerom struje podrazumjeva se smjer vektora gustine struje J, odnosno smjer kretanja pozitivnih naelektrisanja, iIi smjer suprotan smjeru kretanja elektrona kroz provodnik. Po ovoj definiciji, smjer struje (smjer vektora gustine struje) je suprotan stvamom smjeru kretanja elektrona provodnosti u metalnim provodnicima pod dejstvom elektricnog polja (:;lika 2.11.a).

-II>J

- e 0----11>-

-e 0----11>-

-e - e 0----11>- 0----11>-

slika 2.11.a

Da li izvedeni dokaz vrijedi i za sluca) da)e smjer pozitivne normale na zatvorenu povrSinu ka unutra?

2.12. Provodnik poluprecnika a nastavlja se provodnikom poluprecnika b. Ako kroz takav provodnik postoji struja, odrediti odnos intenziteta vektora gustine struje u oba dijeJa provodnika, u tackama udaJjenim od mjesta promjene poluprecnika. Pretpostaviti da je specificna provodnost jednaka u svim tackamc1.

Rjesenje:

Intenzitet struje u oba dijela provodnika, bez obzira na presjek, mora biti isti (zadatak 2.11). Odnos intenziteta gustina struja za ova dva dijela provodnika Je:



I

J a Sa Sb b 2

=-= -2·

Jb I Sa a

Sb

2.13. Na slici 2.13 je dat homogeni cilindricni bakarni provodnik nejednakog presjeka. U provodniku postoji struja intenziteta I i smjera

naznacenog na slici. Nacrtati linije vektora gustine struje j u ovom provodniku i odrediti odnose intenziteta vektora gustine struje kroz pojedine dijelove provodnika.

3

/ /

L-_)

slika 2.13

Rjdenje: -

Intenzitet vektora gustine struje u dijelu I provodnika, u nekoj tacki A koja je dovoljno daleko od ravni gdje se rnijenja presjek provodnika, jednak je:

I I J] =-=-2-.

S] an

U dijelu 2 provodnika, u tacki B, intenzitet vektora gustine struje je: -



U dijelu 3 provodnika, u tacki C, pod istim uslovima, intenzitet vektora gustine struje je:

Na slid 2.J3.a su predstavljene linije vektora gustine struje j u zadanom prpvodniku.

slika 2. 13. a

Odnosi intenziteta vektora gustine struje su:

2.14. Za dva evora A i B spojena provodnikom, prikazana na slici 2.14, napisati jednaeine po prvom Kirhofovom zakonu.

16

A

I / f

'\.

slika2.14



Rjesenje:

Prvi Kirhofov zakon ima poseban znacaj u analizi slozenih elektricnih kola. U tom slucaju primjenjuje se nesto jednostavniji oblik zakona, gdje se

umjesto fluksa vektora j kroz zatvorenu povrsinu koriste jacine struja kroz tu povrsinu.

Prvi Kirhofov zakon, u analizi elektricnih kola, primjenjuje se na cvorove elektricnih kola, odnosno na mjesta gdje se spajaju tri i vise krajeva provodnika kroz koje protieu struje. .

Za neki evor u kome su spojeni krajevi proizvoljnog broja n provodnika sa strujom:

algebarska suma jaCina struja kroz te provodnike koji se sticu u jednom cvoru mora biti jednaka nuli:

Pri ovome, referentni smjer struje usvojen je od evora. Dakle, ako je referentni smjer za neku struju jacine It od evora, znak je plus, a ako je referentni smjer za neku struju jacine Ik ka evoru, onda je znak minus.

Za zadani slucaj, jednacine po prvom Kirhofovom zakonu napisane za cvorove A i B glase:

cvor A:

cvor B:

2.15. Napisati jednaeine po prvom Kirhofovom zakonu za dati SPO]

provodnika prikazan na slici 2.15.

B

slika 2.]5


OSNOVI ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

RjeSenje:

Na slici je mogtlce tlociti eetiri cvora A, B, C D. Primjenom prvog Kirhofovog zakona na pojedine cvorove dobije se:

evor A:

cvorB:

cvorC:

cvorD:

Veoma je vazllo sprovesti slijeoeeu analizu. Ako se saberu bilo koje tri jednaeine, dobice se jednacina koja je ista kao preostala jednaCina, sarno sa izrr.Jenjenirn znacima. Tako, na primjer, aka se saberu prve tri jednacine, dobijase:

sto je, upravo, jednacina za cetvrti evar D sa promjenjenim znakom. To :maei da posljednja, cetvrta jednacina nije nezavisna jednaCina struja kroz spojene pmvodnike_

U tom srnislu, kod analize sloienih ele.l1:ricnih kola, sa bilo kojim brojem spojenih provodnika i evorova, primjena prvog Kirhofavog zakona dace nezavisne jednacine sarno aka se primjeni na sve evorove osim jednog.

2.16_ Odrediti pokazivanje ampennetra sa slike 2.16, ako su jaCine struja u granama II=3[A], 12=2[A] i 13=5[A].

L .J

slika 2.16

18 Vek1:or gustine i intenzitet elektricne struje. Prvi Kirhofov zakon

OSNOVl ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

Rjesenje:

Primjenom prvog Kirhofovog zakona na cvor A ima se:

Na osnovu prethodne jednacine moguce je odrediti intenzitet struje koji pokazuje ampermetar:

Dobijeni negativni znak za intenzitet struje koju pokazuje ampermetar ukazuje na slijedece: stvami smjer struje lA, a time i smjer vektora gustine struje u provodniku, je suprotan od pretpostavljenog na slid 2.16. U praksi, dovoljno je zamijeniti prikljucke ampermetra, da bi njegovo skretanje bilo udesno, pri cemu bi pokazao vrijednost IA=4[Al

2.17. Pretpostavimo da ampermetri na slici 2.17 pokazuju sarno apsoiutnu vrijednost jacine struje. Ako su pokazivanja ampermetara Al i A2 takva da je IId=5[A] i Ihl=8[A], kakve sve vrijednosti jaCine elektriene struje moze pokazati amperrnetar A3?

slika 2.17

Rjesenje:

JaCina ele.l1:ricne struje mjeri se instrumentom koji se naziva ampermetar. Ovaj instrument prikljueuje se u seriju sa onim dijelom elektricnog kola kroz koji se zeii izmjeriti struja. Otpornost realnog ampennetra je mala (reda desetine Q), pa je napon na njegovim krajevima zanemarivo mali. U zadacima ce se najcesce razmatrati teoretski slueaj kada je otpornost ampermetra nula (RA=O).



Referentni smjerovi struja IJ i h mogu biti iii ka evoru, iii od evora, iIi jedan od evora, a drugi ka evoru (i obrnuto).

U slueaju da su smjerovi struja IJ i 12 ka evoru (slika 2. 17. a, slika 2.17.b), iii od evora (slika 2.17.c, slika 2. 17.d), pokazivanje ampermetra A3, na osnovu prvog Kirhofovogzakona moze biti:

20

slika 2. 17. a

slika 2.17. c

13 =-(1] +I 2 )=-13[A]

1131 = 13 [A]

slika 2.17.b

slika 2.I7.d



Na osnovu provedene analize u prethodna eetiri slueaja ampermetar A3 ce uvijek pokazati strujujaeine 13(AJ.

U slueaju da je smjer struje 11 ka cvoru, a smjer struje hod evora (slika 2.17.e, slika 2.17.j), iIi smjer struje 11 od evora, a smjer struje h ka cvoru (slika 2.17.g, slika 2.17.h), pokazivanje ampermetra A3, na osnovu prvog Kirhofovog zakona moze biti:

slika 2.17.e

slika 2.17.g

lednosmjerne struje

slika 2.17.j

slika 2.17.h

13 =I 1 -I j =3[A]

13 = 3 [A]

21


Na osnovu provedene analize u posljednja cetiri slucaja ampermetarA3 ce uvijek pokazati strujujacine 3 [A].

2.18. Primjenom prvog Kirhofovog zakona odrediti struje I], h i Is Za dati spoj prikazan na slid 2.18. Vrijednosti struja u ostalim granama su: h=2[A], 1=5[A], 16=4[A].

B

D

16

slika 2.18

Rezultat: IJ=9[A], 12=7[A], Is=-3[A]

2.19. Neka je pokazivanje ampermetra A takvo da je IIAI=lO[A], a intenziteti struja IJ=5[A], h=15[A] i 13=8[A] sa naznacenim smjerovima na slici 2.l9. Odrediti sve moguce vrijednosti intenziteta struje 1, kao i odgovarajuci referentni smjer.

slika 2.19

Rezultat: 4=8[A] sa referentnim smjerom od evora B 4='12[A] sa referentnim smjerom ka cvoru B



2.20. Za spoj na slici 2.20 odrediti intenzitet i referentni smjer struje II i struje kroz amperemetar lA' Vrijednosti intenziteta preostalih struja su: h=Is=5[A], 1=4,5[A], 16=1,5[A] i Iz=I7=3[A].

B

slika 2.20

Rezultat: IJ=3[A] sa referentnim smjerom od evora A IA=O,5[A] sa referentnim smjerom od evora B ka evoru A


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

James Prescott Joule (1818-1889), engleski jizicar. Kao samouk studirao odnose meau raznim vrstama energije: 1841-1843. odredio toplotni efekat elektricne struje (Jouleova toplota), a 1843-1850. odredio mehanicki ekviva,!ent topiote i time dao jedan ad dokaza zakona 0 odrianju energije. Zajedno sa W. Thomsonom otkrio 1853-1854. pojavu koja se naziva JouleThomsonov efekat, sto predstavlja prornjenu temperature realnih gasova adijabatskim ekspanzijama kroz uzak ventil ili kapilaru. Uglavnom kod svill gasova na normalnim temperaturama taJ...'Ve ekspanzije uzrokuju pad njihovih temperatura, sto se korisfi u industrijskim rashladnim uretlajima i hladnjacima za domaCinstvo. Jedinica za rad i energiju u MKS sistemu i Meaunarodnom sistemu mjernihjedinica nazvanaje po Jouleu.

24 Elektricna otpornost. Dzulov zakon

2.2. Elektricna otpornost. Dzulov zakon

2.21. Odrediti specificnu otpornost bakra na temperaturi -50[°C], +20[°C] i +lOO[°C].

Rjesenje:

Poznato je da je za odrZavanje eIektricne struje neophodno da u svakoj tacki provodnika postoji elektricno polje.

Vektor jacine elektricnog polja E u nekoj tacki provodnika i vektor gustine

struje j u istoj tacki (u cvrstim i tecnim provodnicima) su istog pravca i smjera, te izmedu njih postoji proporcionalnost:

Koeficijent proporcionalnosti 0 za razne provodnike je razliCit i naziva se specificna provodnost. Jedinica za specificnu provodnost je simens po metru [S/m).

U tehnickoj praksi ceSce je u upotrebi reciprocna vrijednost specificne provodnosti

1 p=

(J

i naziva se specificna otpornost. Jedinica za specificnu otpornostje ommetar [QmJ.

Za najveci broj provodnika, ukljucujuci i metalne provodnike, ove velicine (0 i p) ne zavise od jaCine elektricnog polja (osim u slucaju vrlo jakih elektricnih polja). Za ove provodnike se kaze da su linearni provodnici.

Medutim, velicine 0 i p u znacajnoj mjeri zavise od temperature provodnika. Za mali temperatumi opseg spefificna otpomost nekog provodnika Pe na nekoj temperaturi 8[°C] moze se sa dovoijnom tacl10sti izraziti preko specificne otpornosti Po istog provodnika na O[°C], kao:

Koeficijent a nazlva se temperaturni koeficijent eksperimentalno.

lednosmjerne struje

odreauje se

25


U slucaju veceg temperatumog opsega, iii za odredivanje Po sa vecom

tacnosti, koristi se jednacina:

U ovoj jednacini ex, 13 i Y su temperatumi koeficijenti, Cija vrijednost se utvrduje eksperimentalno.

Za bakar vrijedi:

Iz tablice P.5.3 je Po=1,588·1O-8[Qm] i a=4,27·1O-3[1I0C], te se dobija:

P-50 = 1,588 ·lO-8 [1 + 4,27 ·lO-3 (- 50)]= 1,429 ·lO-8 [.QrnJ,

P20 = 1,588 ·lO-8 (1 + 4,27 ·lO-3 20)= 1,724 .10-8 [£lrn],

PlOD = 1,588· lO-8 (1 +4,27 .1O-3 lOO)= 2,266·lO-8 [.QmJ.

2.22. Izracunati specificnu otpomost aluminijuma na temperaturi -80[°C] i +400[°C], koristeci jednaCinu koja vrijedi za manji temperatumi opseg i uporediti je sa rezultatima dobijenim primjenom jednacine koja vrijedi za veci temperatumi opseg.

Rjesenje:

KoristeCi jednaCinu:

i podatke iz tablice P.S.3, po=2,62-1O-8[Qm] i a=4,46·1O-3[lfOC], dobija se:

Koristeci jednacinu:

Pe =po(1+aS+f)82 +y83)

i podatke iz tablice P.5.3, 13=1,S·1O-6[l/oC2] i y=O, dobija se:

26 Elektricna otpomost. Dzulov zakon

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadatakn

P -80 = 1,715 _10-8 [£lrn] i p 400 = 8,049 ·10-8 [£lrn].

Iz dobijenih rezultata moze se zakljuciti cia razlika izmedu dobijenih rezultata nije velika.

Primjenom jednacine koja vrijedi za manji temperatumi opseg U odnosu na tacniju jednacinu koja vrijedi za veci temperaturni opseg dobijaju se vrijednosti cca 10% manje_

2.23. U cilju odredivanja temperaturnog koeficijenta ex bakra poznate Sil

njegove vrijednosti sJY"--cificne otpornosti Po=l,62-10-8[Qm] na O[°C] i PlOo=2,31·1O-8 [Qm] na lOO[°C].

RjeSenje:

1z jednaCine za specificnu otpornost:

dobija se:

2.24. Za aluminijum su poznate slijedece vrijednosti specificnih otpornosti: po=2,65'W-8[Qm], PHlo=3,79·1O-8[Qm] i P400=S,12S·1O-8 [Qm]. Izraeunati temperatume koeficijente (X i !3

Rjesenje:

S obzirom da se fadi 0 vecem temperatumom opsegu, za odreaivanje specificne otpomosti p koristi se jednaCina:

gdje su a, 13 i Y temperatumi koeficijenti. Za temperaturno podrucje od -SO[OC] do +400[°C], temperaturni koeficijent y za aluminijum jednak je uuli_ Zadane vrijednosti specificne otpornosti Po, PlOO i P400 odnose se na vrijednosti temperatura O[OC] , lOO[OC] i +400[OC], respektivno.

Jednosmjeme slruje 27


UvrstavajuCi zadane vrijednosti u prethodnu jednacinu dobija se:

PlOO =po(1+alOO+BlO02

),

P 400 =po(1+a400+B4002

).

Iz ovih jednacina temperatumi koeficijenti su:

2.25. Potrebno je odrediti temperatume koeficijenate ex, 13 i y za volfram. U cilju njihovog odredivanja izmjerene su slijedece vrijednosti specificne otpomosti volframa na razlicitim temperaturama: po=5,02.lO-s[nm], PlOo=7,6851O-s[nm], Psoo=28,64· W-s[nm] P32oo=138,5·IQ-s[nm].

RjeSenje:

Temperatumi opseg za volfram je od -SO[T] do +3300[OC], te je moguce izmjeriti sva tri (ex, 13, y) temperatuma koeficijenta. S Qbzirom na izmjerene vrijednosti specificne otpornosti na temperaturama O[OC], lOO[OC], 800[OC] i 3200[OC], koristeci jednacinu:

mogu se napisati slijedece tri jednacine:

PlOO = Po (1 + a102 + B104

+ y106),

Psoo = Po (1 + a800 + ~ 8002

+ Y8003

),

P 3200 =po(1+a3200+~32002 +y32003

).

Rjesavanjem sistema tri jednaCine sa tri nepoznate, odredeni su temperatumi koeficijenti: -



2.26. Izracunati srednje vrijeme izmedu dva sudara elektrona provodnosti u bakru, ako je koncentracija elektrona u bakru 8,4.1022

[elektron/cm3]. Masa elektrona je IIle=9,1·lO-31[kg], a specificna otpomost bakra po=1,588·1Q-s[nm].

Rjesenje:

Siobodno pokretljiva naelektrisanja u provodnicima se krecu i kada nema makroskopskog elektricnog polja. Njihovo ktetanje je haoticno. To je tzv. termicko kretanje slobodno pokretljivih naelektrisanja. Ovo kretanje moze se predstaviti analogno kretanju molekula u nekom gasu, sto je na slici 2.26 predstavljeno punom linijom. Vazno je istaci da ovo termicko kretanje ne prouzrokuje makroskopski usmjereno, organizovano kretanje slobodnih naelektrisanja. (OgraniCimo se na metalne provodnike u kojima su slobodna pokretljiva naelektrisanja elektroni provodnosti).

A

-I> E.-.---- .... --------->-. v

slika 2.26

Brzina termickog kretanja slobodnih elektrona u metalima je vrlo velika.

Srednja . vrijednost duzine puta elektrona izmeau dva sudam naziva se srednja duzina slobodnog puta i obiljezava se sa A. Odnos X i Vtsr predstavlja srednji vremenski interval l' izmedu dva sudara:

A T=-.

V tsr

Kada u metal nom provodniku postoji makroskopsko elektricno polje, haoticno termicko kretanje slobodnih elektrona postaje organizovano



pomjerajuci se u smjeru djelovanja elektricnih sila. Moguca putanja kretanja slobodnih elektrona, koja se pored termickog kretanja, krecu i pod dejstvom elektricnog polja, prikazanaje na slid 2.26 isprekidanom linijom.

Pod dejstvom elektricnog polja slobodni elektroni se sistematski pomjeraju, ali na svom putu se sudaraju, kako medusobno, tako i sa kristalnom strukturom. Naravno, ovdje se ne radi 0 stvamom sudaru, nego pod sudarom se podrazumijeva da je u jednom kratkom vremenskom intervalu elektron bio u sastavu atoma i predao mu tom prilikom dio svoje energije. U tom trenutku brzina elektrona znacajno se smanji, pa se elektron cak i zaustavi.

Pod djelovanjem elektricnih sila elektron se zatim ubrzava. Ubrzanje naelektrisane cestice pod dejstvom elektricnog poljaje:

QE a=--,

m

gdje je Q naeJektrisanje, a m masa naelektrisane cestice. U prosjeku naelektrisana cestica ce se kretati ubrzano u toku srednjeg vremenskog intervala"C izmedu dva "sudara". Ova tvrdnjaje tacnajer je V«Vtsr, kako je u uvodu objasnjeno. Na kraju vremenskog interval a brzina cestice je m. Kako je za to vrijeme brzina rasia linearno sa vremenom, srednja brzina za to vrijeme je m/2.

Ovo se moze smatrati srednjom brzinom slobodnih elektrona kroz metalne provodnike pod dejstvom elektricnog polja:

ell: e1' v=-=--E.

2 2me

Poredenjem ovog izraza sa izrazom:

gdje koeficijent proporcionalnosti

1 11=-

Nep

predsiavlja pokretljivost slobodnih elektrona, dobija se:

30

e"C 11=--·

2m e

Elektricna otpornost. Dzulov zakon


Kako je j = Q N' v, dobija se:

odnosno:

gdje je:

- 1-J=-E,

P

Prema tome, ovdje je pokazano da je vektor gustine struje u metalnim provodnicima u nekoj tacki proporcionalan vektoru jacine elektricnog polja u istoj tach

Analizirajuci gornju jednacinu moze se zakliuciti da specificna otpomost (provodnost) ne zavisi od jacine elektricnog p~lja.

Medutim, ako se izracuna p za bakar i srebro, gornjom jednaCinom, dobijaju se vrijednosti koje su za oko stotinu puta vece od stvame vrijednosti. To sarno dodatno ukazuje na Cil-Denicu da tzv. klasicna teorija nije u mogucnosti da odgovori na sva pitanja. Za razliku od ovoga, rezultati tzv. kvantne teorije dobro se slazu sa eksperimentalnim.

Dakle, srednje vrijeme izmedu dva sudara elektrona provodnosti u bakru na osnovu posljednjeg izraza je:

2m l' = __ e_ = 5,32.10-14 [s] .

pe 2 N'

2.27. Izvesti vezu izmedu vektora j i E koja bi postojaia u metalnim provodnicima kada bi termicka brzina kretanja elektrona provodnosti bila jednaka nuli, a ne kao sto je u stvarnosti, mnogostruko veca od brzine elektrona pod dejstvom elektricno CT

polja. Duzina slobodnog puta elektrona u metal nom provodniku j~ A.



Rjesenje:

Poznato je da elektroni u metalnom provodniku vrse termicka haoticna kretanja, a pod dejstvom elektricnog polja oni se sistematski pomjeraju i na svom putu se sudaraju, kako medusobno, tako i sa kristalnom strukturom. Vee je objasnjeno da se ne radi ° stvarnom sudaru. U tom trenutku brzina elektrona znacajno se smanji. Uslovom zadatka elektron provodnosti nakon "sudara" sa ostatkom atoma se potpuno zaustavi. Elektron iz stanja mirovanja, pod dejstvom sile eJektricnog polja sl? ubrzava, gdje je ubrzanje:

eE a=-

me

i prede put

2

A=~ 2

za vrijeme

Srednja brzina kretanja elektrona izmedu dva sudaraje:

a smjer vektora v brzine kretanja elektrona provodnosti suprotan je smjeru

djelovanja vektora elektricnog poJja E .

Vektor gustine struje

J = QN'v = -eN'v

istogje smjera kao i vektor elektricnog polja E.

Kada se u prethodnu jednacinu uvrste gornje reJacije, dobija se: .

J =eN' faA =eN,~eEA E. , 2 2 0



Ova jednacina pokazuje da je, za razliku od provedene analize za stvarno stanje gdje je:

moguce zakljuCiti da zavisnost vektora gustine struje J od vektora jaCine

elektricnog polja E u nekoj tacki metalnog provodnika nije linearna.

2.28. Dielektrik u plocastom kondenzatoru je transformatorsko ulje. PovrSina ploce kondenzatora je S=1 [dm2

] , rastojanje izmedu ploca d=O,5[cm]. Kondenzator je prikljucen na napon U=lOOO[V]. Izracunati gustinu snage Dzulovih gubitaka u dielektriku kondenzatora, kao i ukupnu snagu Dfulovih gubitaka. Specificna otpornost transformatorskog uljaje p=lOll [Qm].

Rjesenje:

Elektricno polje u plocastom kondenzatoru je homogeno, intenziteta:

E= U. d

Za neki provodnik, rad izvrsen pri ubrzavanju slobodnih nosilaca naelektrisanja izmedu sukcesivnih sudara jednak je energiji eiektricnog polja koja se u zapremini dV u toku vremena dt pretvori u toplotu:

dA =JE dVdt.

Kako je dA/dt snaga elektricnih sila dP u zapremini dV, onda gornji izraz predstavlja zapreminsku gustinu snage transformacije energije u toplotnu iii tzv. gustinu snage Dzulovih gubitaka:

Ove jedrtacina pokazuje da se razvijena toplota u provodniku mijenja sa kvadratom gustine struje i cesto se naziva Dzulov zakon za tacke strujnog polja.

Dakle, zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka je:



Ukupna snaga Dfulovih gubitaka je:

E2 E2 U 2

P=-V=-Sd=-S=20 tiLW] P P pd

2.29. Grijac bojlera napravljenje od hrom-nikla precnika 1 [mm]. Odrediti koliki je precnik mesingane zice kojom je grijac vezan za mrezu, tako da gustina snage Dfulovih gubitaka u mesinganoj zicibude 1 % gustine snage gubitaka u grijacu. Radna temperatura grijaca je 85[°C], a mesingane zice 30[°C]. Specificna otpornost hrom-nikla na temperaturi O[°C] je Po=137·1O-8[Qm], a temperatumi koeficijent a.=2·1O-7[1/°C). Specificna otpornost mesinga na temperaturi O[°C] je Po=7,5·1O-&[Qm}, a temperatumi koefieijent a.=16·1O-4[1I°C).

Rje1ienje:

Specificna otpornost grijaca izvedenog od hrom-nikla je:

amesinga:

lacina struje i kroz grijac i kroz mesinganu zicu mora biti jednaka, te kolicnik gustine struje jednak je:

Gustina snage Dzulovih gubitaka je za grijac:

dP. 2 -~- J dV -Pg g'

a za mesinganu zieu:

34 Elek.1:ricna otpornost. Dzulov zakon

: ~,


Odnos navedenih gustina je:

Precnik mesingane :lice je:

d =4 Pm d: =dg4 7,86.10-

8

=1,548d =1,548[mm]. m O,Olp g 1,37.10-6 .0,01 g

2.30. Kolika je snaga Dzulovih gubitaka za slucaj koaksijalnog kabla, dimenzija unutraSnjeg poiuprecnika a= 1 [em] i vanjskog poluprecnika b=2,7[em] i duzine l=l[kmJ, prikljucenog na napon U=lOOO[VJ. Dielektrik Je transformatorsko ulje, speeificne otpornosti p=lOll[QmJ.

Rjesenje:

Intenzitet elektricnog polja u dielektriku koaksijalnog kabla prikljucenog na napon Uje:

U E=--b'

rlna

Zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka zavlSl od rastojanja r

jednakaje:

Lako je uoCiti cia je (dP/dV)=f(r), te se ukupna snaga Dzulovih gubitaka ne moze dobiti kao proizvod gustine snage i zapremine.

Jednosmjeme struje 35


Ukupna snaga Dzulovih gubitaka dobija se kao:

1 U 2 -

p=f-edV=f 22n:rldr,

vP Vpr2(ln~J

P = 2n:U2

[ fb dr = 2n:U2Z

( bJ2 r b '

P In-;; a P In-;;

P = 62,8 [mW].

2.31. Na slici 2.31 prikazana je tanka bakama traka debljine h=O,1[mm], duzine b+c+d=30 (mm) koja predstavJja topljivi osigurac. Nominalna struja osiguraca je In=lO[A). Dimenzionisati osiguractraku odredujuCi a i 0, tako da iznos zapreminske gustine snage Dzulovih gubitaka bude 20 puta veci od sirine O. Pri prekoracenju nominalne struje kada je I=2In, osigurac reaguje za vrijeme t=1500[ms). Zanemariti temperatumu zavisnost specificne otpomosti, sto u ovom slucaju odgovara projektovanju za najgori moguci slucaj. Poznati su podaci: specificni toplotni kapacitet bakra c=390[JlkgK), temperatura topljenja 8=1080[°C], radna temperatura 8r=80[°C], specificna gustina bakra pcu=8,9[kg/dm3

) i specificna otpomost bakra p=1,6·1O·8[Qm).

36

/

/

I--r-~r-.,

I I I I I

/

r : 8 I I I I I I

ill I I I I L ____ .l-.---li _____ _

~ slika 2.31



Rjesenje:

Zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka za suzeni dio trake je:

dokje za dio trake sirine a:

U obje reJacije jacina struje I je jednaka.

Uslovom zadatka dato je da je zapreminska gustina snage Dzulovih gubitaka 20 puta veca u suzenom dijelu:

paje:

Za funkciju osiguraca bilo bi potrebno de se otopi suzeni dio trake duzine manje od d, cime bi se ona prekinula. Energija nephodna za topljenje -prekid trake na suzenom dijeJuje:

W =c Pcu V L\e.

Promjena temperature iznosi L\e = e - Elr = 1000 [0 c], a V je zapremina

dijela trake jednaka V = od h .

Za zadane podatke potiebna energija iznosi:

Ova energije mora biti jednaka energiji Dzulovih gubitaka u posmatranom dijelu za vrijeme t=1500[ms).

Dzulovi gubici su jednaki:



[J ].

Izjednacavanjem vrijednosti energija W=WJ dobija se:

0=0,53 [mm] , a = 2,37 [mm].

2.32. Potrebno je napraviti otpornik od zice od hrom-nikla precnika d=O,l[mm}, da bi na temperaturi 20[°C] imao otpornost R=lOO[Q]. Odrediti duzinu zice takvog otpornika. Specificna otpornost hromnikla na temperaturi O[OC] je po=lOO·lO·s[Qm], a temperaturni koeficijent a=O,0004[1/oC].

Rjesenje:

Otpornost pravog homogenog provodnika duzine I povrsine poprecnog presjeka S je:

I R=p-.

S

Kako je zadana otpornost R na temperaturi 20[OC], to je potrebno izracunati specificnu otpornost Pzo kao:

Potrebna duzina zice za izradu otpornikaje:

Za izradu otpornika potrebno je izracunatu duzinu zice od hrom-nikla saviti u spiralu i postaviti na neki izolacioni materijal.

2.33. Posebnim nacinom hladenja temperatura zice od hrom-nikla duzine L=5[m] i precnika d=1,3[mmJ mijenja se ad lOO[Oe] na jednom kraju do 500[°C] na drugom kraju. Ako se pretpostavi da je porast temperature duz zice lil1earan, odrediti otpornost zice. Specificna otpornost hr~m-nikla je Po=1·1O·6[Qm], a temperaturni koeficijent a=4·1O-4[lrcl .

38 Elektricl1a otpornost. Dzulov zakon


Rjesenje:

Otpornost zice moze se izracunati kao:

L dl R= Jp-.

o S

Posto je porast temperature duz zice linearan (slika 2.33) moze se izvesti da

Je:

9(Z)= 100 + 4001. L

eeoc] 1 500 1--------100

01 L I [m]

slika 2.33

Specificna otpornost zice od hrom-nikla zavisi od duzine i temperature mijenja se po zakonu:

pa je otpornost:

[ J 400 \l L Po 1 + 100+- l IJdl

R=f ~ S L ) o



R = 4P~ (1 + 300a)L, nd

R = 22,4 = 4 22[Q]. 5,3 '

2.34. Vlakno od volframa je precnika d=O,02[mm]. Odrediti duzinu vlakna koja na temperaturi 8=lSOO[°C] ima otpomost RIsoo=320[Q]. Kolika je otpomost vlakna iste duzine na temperaturi 20[°C]? Specificna otpomost volframa na O[°C] je po=5·1O·8[Qm], a temperatumi koeficijenti: a=5,23S·1O-3[1I°e], f3=O,7·1O-6[1I°e2

],

y=O,062.1O-9 [1/Oe3].

RjeSenje:

Vee je pokazano da specificna otpomost p zavisi od temperature. Otpornost svakog otpomika napravljenog od homogenog materijala mijenja se sa temperaturom na isti naCin kao specificna otpomost tog materijala, jer je promjena dimenzija sa temperaturom tako mala, da se moze zanemariti, sto se zakljucuje analizomjednacine R=pl/S.

Za relativno malo temperatumo podrucje (manji opseg temperature), . promjena otpomosti sa temperaturom data je jednaCinom:

a za dosta siroko temperatumo podrucje (veti temperatumi opseg):

Re = Ro (1 + ae+ !3e2 +ye3).

U prethodnim jednaCinama Ro je otpomost na temperaturi O[°C], a a, f3 i Y temperaturni koeficijenti. U slucaju da otpornik nije napravljen od homogenog materijala navedene jednacine ne vrijede, a otpornost se u tom slucaju odreduje eksperimentalno.

Za zadane uslove, specificna otpornost volframa ne temperaturi 8=1800[°C] je:



Potrebna duzina vlaknaje:

Vlakno od volframa iste duzine imalo bi otpomost na 20[°C]:

R 20 = R lsoo P20 = 27 [Q], PISOO

gdje je P20 specificna otpomost volframa na 20[°C]:

P20 =po(1+a20+~202 +y203 )=5,53.1O-s [Qm].

Vlakna od volframa priblizne debljine koriste se za vlakna sijalica, koja se motaju u tanku spiralu, a ova zatim u deblju spiralu, koja predstavlja otpomik, tj. tijelo koje zraCi. Otpomost hladnog vlakna volframa na 20[°C] je oko 12 puta manja od otpomosti na radnoj temperaturi. Za zadani napon jacina struje kroz hladnu sijalicu je mnogo veca od jaCine struje kroz sijalicu cije je vlakno dostiglo radnu temperaturu, sto je prakticno pogodno, jer se vlakno vrlo brzo zagrije.

2.35. Odrediti otpomost provodnika od aluminijuma na temperaturi 80[°C]. Provodnik ima oblik prave zarubljene kupe dimenzija rl=l[cm], r2=2[cml i L=100[m], kako je predstavljeno na slici 2.35. Specificna otpomost aluminijuma na temperaturi O[°C] je po=2,62·1O-s[Qm], a temperatumi koeficijenti: a=4,46·1O-3[1/°C], f3=1,g·1O-6[1/oe2], y=O[lIoe3

].

L

~ Xl

"I Jk •

X

X2

slika 2.35



RjeSenje:

Sa slike 2.35 je:

sin a [. r2 [ tga=--=-' =-=-,

casa Xl X 2 X

odakleje:

r = xtga; r ~l

X =-~-' I ' tga

Povrsina presjeka provodnika je:

r2 x~ =--.

~ tga

Otpornost zadanog provodnika moze se odrediti:

R = P x 2 -Xl

n tg 2 a Xl X 2

P L =p~. n tg 2

a [2 Tl nT2r]

tg 2 a

Specificna otpornost aluminijuma na 80[°C) je:

P80 =po(1+a6+f:H12 +y63 )=3,6.1O-s [Qrn].

Otpornost zadanog provodnika na temperaturi 80[°C] jednaka je:

2.36. Otpornik otpornosti R na slici 2.36 je promjenljiv i njegova otpomost se mijenja u granicama od 0 do SOO[Q]. Otpornik se nalazi u slozenom elektricnom kolu ciji ostatak je zamijel1jen ekvivalentnom otpornosti Re=80[Q) generatorom napona

42 Elektricna otpomost. Dzu!ov zakon


E=180[Vl Odrediti jednaCinu za snagu koja se razvija na otporniku R i nacrtati zavisnost PR=f (R).

• liE

R e

slika 2.36

Rjesenje:

Snaga koja se razvija na otporniku R jednaka je:

Za razlicite vrijednosti otpornosti R dobija se:

Matematickom analizom izraza za snagu na otporniku otpornosti R dobija se daje maksimalnu snagu na otporniku moguce ostvariti uz uslov R=R".

Za zadato kolo maksimalna snaga iznosi:

( E J2 E2 ~

PR =R - =-=101,25 lW.l max 2R 4Re ;

Na slici 2.36.a prikazana je funkcionalna zavisnost snage na otporniku (potrosacu) od vrijednosti njegove otpornosti R.


2.37.

44

101,25 100

82,65


I I I I I I

---'-t-------I I I I

67,30 : ! I

-- --I~-------~------I I I I

56,25 48,16 -

40

30

20

10

I I I I

--i-~------l-------t------I I I I I

---r~-------~------~-------~------I I I I I I I J I 1 1 I I I I I I I I I

I : : : : : I I I I

: : : : : I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I ,

80 100 200 300 400 500 R[Q]

slika 2.36.a

U elektricno kolo prikljucen je kondenzator ispunjen nesavrsenim dielektrikom, ciju speeificnu otpomost treba odrediti (slika 2.37). Kondenzator predstavlja prilagodeni prijemnik za ostali dio elektricnog kola, a napravljen je u vidu koaksijalnog kabla poluprecnika unutrasnje elektrode a=l [em] i unutrasnjeg poluprecnika vanjske elektrode b=2,7a. Duzina kabla iznosi L=l[km]. Ekvivalentna otpomost preostalog dijela elektricnog kola iznosi R=800[Q].

Elektricno kolo

slika 2.37

Elektricna otpomost. Dzulov zakon


Rjesenje:

S obzirom da u odnosu na preostali dio elektricnog kola kondenzator predstavlja prilagodeni prijemnik (slika 2.37.a), to prema uslovu prilagodenja mora biti:

R kond = R = 800 [QJ

slika 2.37.a

S druge strane, kroz dielektrik kondenzatora postoji radijalna struja odvodnosti, kao na slici 2.37.b.

slika 2.37.b

Jednosmjerne struje

-n

-J ,E

45


Otpomost kondenzatora Rkond moze se odrediti preko Omovog zakona, kao:

b

fEd[ R kond = ~ = -a-

1-

Intenzitet vektora jacine elektricnog polja je:

Intenzitet vektora gustine struje 13'1 moze se odrediti na osnovu prvog

Kirhofovog zakona kao:

odnosno,

ffd§ = I = J2rnL, s

odakle je intenzitet vektora gustine struje:

J=_I_ 2rnL

a<r<b.

Uvrstavaju6i ove jednaCine ujednacinu za otpomost kondenzatora:

R :::: U kond I

b I

fp--dr a 2rnL p b -=------ = --In-

I 2nL a'

dobija se trazena specificna otpornost dielektrika kondenzatora:

46

1 P = 2nLR kond b = 5 [MQm].

Ina



2.38. Grijac bojlera cija je otpomost Rg=lO[QJ, projektovan je tako da, kada se dvozicnim vodom cija je radna temperatura konstantna i jednaka 40[°C], prikljuci na izvor napona, odredena kolicina vode prokljuca za 30 minuta. Ako zbog pogorsanih uslova hladenja temperatura dvozicnog voda nije konstantna nego se linearno mijenja od 40[°C] na jednom do lOO[°C] na drugom kraju, koliko vremena je potrebno da prokljuca ista kolicina vode? Otpornost dvozicnog voda na O[°C] je Ro=l[Q], a temperaturni koeficijent cx=4,46·1O·3[110C].

slika 2.38

Rjesenje:

Energija potrebna da se odredena kolicina vode zagrije za vrijeme t jednaka je:

Snaga grijaca otpomosti Rg (Dzulova snaga transformacije elektricne energije u toplotnu na grijacu), prikljucenog dvozicnim vodom otpornosti Rv na napon U jednakaje:

Kod normalnih uslova hladenja otpornost spojnih vodova je:

Uslovom zadatka pogorsani su uslovi hladenja, te ce se promjeniti otpornost YOGa Rv, pa i snaga grijaca, sto ce uticati na novo vrijeme zagrijavanja vode:



Otpornost voda R ~ , zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se linearno u

zavisnosti od promjene temperature 81=40[°C] na jednom kraju, do 82=lOO[°C] na drugom kraju.

Specificna otpornost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od , rastojanja x data je jednacinom:

p(x)=Po(1+u8(x)),

gdje je na osnovu slike 2.38.a.

8 -8 8(x)= 2 1 x+8

1.

I

10: 1-----------------------I .

o x x

slika 2.38.a

Otpomost dR elementaprovodnika dx (slika 2.38. b) jednakaje:

dR=p(x)dx =Po dX(l+ue(x)). S S

dR, p(x)

~I ____ ~~~ ____ ~I~ tl<Oi---X-~~I>+I'~ ~I

slika 2.38.b



Otpornost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

R = f dR = £2.. f 1 + u 81 + U 2 1 X dx, X=l( 8 - 8 J I S x=o I

Sada se moze izracunati otpornost voda R ~ :

Vrijeme potrebno da voda prokljucaje :

2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona 220[V] koristi se 4S[mg] volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400[°C] iznosip2400=92,3·1O-8[Qm]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3

]. Odrediti potrebnu duzinu i precnik vlakna?

Rjesenje:

Energija koja se u otporniku pretvori u toplotu u toku vremena t

o U 2

W = A = UIt = RI~ t =-t R

predstavlja Dzulov zakon.

Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otpomiku otpomosti R jednakaje:




b

fEd! R kond = ~ = -a-

1-

Intenzitet vektora jaCine elektricnog polja je:

Intenzitet vektora gustine struje 111 moze se odrediti na osnovu prvog


odnosno,

f j dS = I = J 2m: L , s


J=_I_ 2rnL

a<r<b.

Uvrstavajuci ove jednaCine u jednacinu za otpomost kondenzatora:

U R kond =1

b I fp--dr a 2rnL p b -"----- = --In-

1 2nL a'

dobija se trazena specificna otpomost dielektrika kondenzatora:

46

p = 2nLR kond ~ = 5 [MQm]. In

a


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zhirka zadataka

2.38. Grijac bojlera cija je otpornost Rg=lO[Q], projektovan je tako da, kada se dvozicnim vodom cija je radna temperatura konstantna i jednaka 40[°C], prikljuci na izvor napona, odredena kolicina vode prokljuca za 30 minuta. Ako zbog pogorsanih uslova hladenja temperatura dvozicnog voda nije konstantna nego se lineamo mijenja od 40[OC] na jednom do lOO[°C] na drugom kraju, koliko vremena. je potrebno da prokljuca ista kolicina vode? Otpomost dvozicnog voda na O[°C] je Ro=l[Q], a temperatumi koeficijent a=4,46·10·3

[ lI°C].

slika 2.38

Rjesenje:


Snaga grijaca otpomosti Rg (Dzulova snaga transformacije elektricne energije u toplotnu na grijacu), prikljucenog dvozicnim vodom otpornosti Rv na napon U jednakaje:

Kod normalnih uslova hladenja otpornost spojnih vodovaje:

Uslovom zadatka pogorsani su uslovi hladenja, te ce se promjeniti otpomost voda Rv, pa i snaga grijaca, sto ce uticati na novo vrijeme zagrijavanja vode:



Otpomost voda R ~ , zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se lineamo u

zavisnosti od promjene temperature 8 1=40[°C] na jednom kraju, do 82=lOO(OC] na drugom kraju.

Specificna otpomost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od . rastojanja x data je jednaCinom:

p(x)=Po (1+a9(x)),

gdje je na osnovu slike 2.38.a.

8 -0 O(x) = 2 1 X + 81 • l

e

100

o x x

sIika 2.38.a

Otpornost dR elementa. provodnika dx (sIika 2.38. b) jednaka je:

48

dR =p(x)dx =Po dx (1+a9(x)). S S

dR, p(x)

i ~ I· x L-________ ~ ___ ~~ __________ ~.~

I: x dx

~! .. ~i

slika 2.38.b

Elektricna otpomost. Diulov zakon


Otpomost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

R = f dR = £2.. f 1 + a8] + a 2 1 X dx, X~l( 9 -9 J I S x~o I

Sada se moze izracunati otpomost YOGa R ~ :


2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona nO[V] koristi se 4S[mg] volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400(°C] iznosip24oo=92,3·1O·8[Qm]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3


Rjesenje:

Energija koja se u otpomiku pretvori u toplotu u toku vremena t

predstavlja Dzuiov zakoll.

Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otpomiku otpomosti R jednakaje:




b

fEd! R kond = ~ =_a_

1-

Intenzitet vektora jaCine elektricnog polja je:

Intenzitet vektora gustine struje 111 moze se odrediti na osnovu prvog


odnosno,

fj dS = I = J2rnL, s


J=_I_ 2rnL

a<r<b.

Uvrstavajuci ove jednacine u jednacinu za otpomost kondenzatora:

U R kond =1

b I fp--dr a 2rnL p b -"----- = --In-

I 2nL a'

dobija se trazena specificna otpomost dielektrika kondenzatora:

46

1 P = 2nLR kond b = 5 [MQrn].

Ina



2.38. Grijac bojlera cija je otpornost Rg=lO[Q], projektovan je tako da, kada se dvozicnim vodom cija je radna temperatura konstantna i jednaka 40[°C], prikljuci na izvor napona, odredena kolicina vode prokljuca za 30 minuta. Ako zbog pogorsanih uslova hladenja temperatura dvozicnog voda nije konstantna nego se linearno mijenja od 40[°C] na jednom do lOO[°C] na drugom kraju, koliko vremena. je potrebno da prokljuca ista kolicina vode? Otpornost dvozicnog voda na O[°C] je Ro=l[Q], a temperaturni koeficijent a=4,46·1 O·3[ lIoe].

stika 2.38

Rjesenje:


W =Pg t.

Snaga grijaca otpomosti Rg (Dzulova snaga transformacije elektricne energije u toplotnu na grijacu), prikljucenog dvozicnim vodom otpornosti Rv na napon U jednaka je:

Kod normalnih uslova hladenja otpornost spojnih vodovaje:

Uslovom zadatka pogorsani su uslovi hladenja, te 6e se promjeniti otpornost voda Rv, pa i snaga grijaca, sto ce uticati na novo vrijeme zagrijavanja vode:



Otpornost voda R~, zbog pogorsanih uslova hladenja, mijenja se linearno u

zavisnosti od promjene temperature 8]==40[°C] na jednom kraju, do 82=lOO[°C] na drugom kraju.

Specificna otpornost provodnika od koga je nacinjen vod u zavisnosti od rastojanja x data je jednacinom:

p(x)=Po(1+cx8(x)),

gdje je na osnovu slike 2.3S.a.

8 -8 8(x)= 2 ] x+8].

l

e

o x x

slika 2.3S.a

Otpornost dR elementa provodnika dx (slika 2.38. b) jednaka je:

dR,P(X)

slika 2.38.b



Otpornost R cijelog provodnika duzine I odreduje se integralenjem:

R= fdR=£.2.. f 1+cx81 +CX 2 1 X dx, X~l( e -8 j I S X~O l

Sada se moze izracunati otpornost voda R ~ :


2.39. Za vlakno sijalice snage lOO[W] i napona 220[V] koristi se 45[mgJ volframa. Specificna otpornost volframa na radnoj temperaturi 2400[°C] iznosip24oo=92,3·10·8[£2m]. Specificna gustina volframa je Pm=19,3[g/cm3


Rjesenje:

Energija koja se u otporniku pretvori u toplotu u toku vremena t

predstavlja Dzuiov zakon.

Snaga transformacije elektricne energije u toplotnu u otporniku otpornosti R jednakaje:



Otpomost zagrijanog vlakna sijalice je:

u 2

R =-=484 [Q]. P

Masa vlakna volframa racuna se kao:

Kako je otpomost vlakna volframa R=pI/S, uvrstavajuci poznate vrijednosti dobija se: '

R- 4m 4 - P2400 d2 d 2 .

Pm 1t 1t

Dakle, precnik volframovog viaknaje:

d 4 16m = P2400 ---:-Pm 1t

2 R

d = 0,052 [rum 1

a duzina volframovog vlakna je :

2.40.

50

[_ 4m _ [] - 2 -Urn.

Pmd 1t

Grijac ~oj,I~ra projektovan je tako da, kada se prikljuci odgovaraJuclm vodom na izvor napona, odredena kolicina vode prokljuca za 40 min uta. Otpomost grijaca i prikljucnog voda je R==20[Q]. Za prikljucak bojlera na izvor napona koristi se produini vod du~ine .l==~~[m]. Odre~iti povrsinu poprecnog presjeka provodmka pnkljucnog voda od bakra, tako da produzenie vremena zagrijavanja, zbog koristenja prikijucnog voda, ne bUde vece od 5[%]. Temperatura vode je konstantna i iznosi 40[oCJ. Specificna otpomost bakra na OJ°C] je Po==1,588·1O-8[Qm], a temperatumi koeficijent CX== 4,27·1O-J [1rC).



sMa 2.40

Rjesenje:

Us!ovom zadatka otpomost grijaca i prikljucnog vodaje:

Nekaje Rp otpomost provodnika produznog voda duzine 1==20[m].

U slucaju kada je bojler prikljucen na izvornapona, njegova snaga je:

U2

Pj =RgI2 =Rg (. )2 Rv +Rg

i za vrijeme tj=40[minJ odredena koliCina vode prokljuca, za sto je potrebna energija:

W=Pjt j .

Kada se bojler prikljuci na izvor napona U preko produznog voda, otpomosti Rp, snaga grijacaje:

U tom siucaju, potrebno vri~;eme da se istoj kolicini vode preda elektricna energija, izracunava se:

Uslovom zadatka novo vrijeme ne moze biti vece od 5[%]:



odakle se dobija da je odnos snaga:

Ako se podijeli jednacina za snagu PI sa jednacinom za snagu P2

dobija se:

P (R +R )2 _1 = P <105 P

2 R 2 -, .

Odavde je otpornost provodnika produznog voda:

Rp::;; 0,5 [Q].

!emperatura provodnika produznog voda je konstantna duz cijelog voda i Jednaka 8=40[oq, a njegova otpomost:

1z ove jednacine povrsina poprecnog presjeka provodnika produznoa voda jednakaje: b

S= 2P0 i-(1+U8)=1,5 [mm 2],

p

odnosno, uz uslov zadatka, potrebno je 1aje povrsina poprecnog presjeka:

S ~ 1,5 [mm 2].



Georg Simon Ohm (1787-1854), njemacki fizicar. Istakao se radovima u oblasti elektriciteta i magnetizma. Formulisao zakon prema koj~m je jaCina struje I kroz provodnik proporcionalna naponu U, a obrnuto proporcionalna otporu R: I=UIR. Ovaj zakon kasnije je nazvan Omov zakon. Proucavao je nastajanje topline u provodniku kroz koji protice elektricna strv.ja i razliCite probleme iz oblasti akustike. Jedinici za elektricnu otpomost datoje ime om.


2.3.

OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

PotencijaI i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

2.41. Dat je veoma dug pravolinijski provodnik konstantnog, ali proizvoljnog poprecnog presjeka povrsine S. Provodnikje homogen, specificne otpomosti p. Intenzitet struje kroz provodnik je I. Odrediti potencijalnu razliku koja postoji izmedu tacaka povrsine presjeka 1 i 2, na rastojanju l.

Rjesenje

Unutar datog provodnika elekricno polje je homogeno. Slobodna ~aelektrisanja,. makroskopski se kreeu paralelno osi provodnika. Ovo polje lma sve osobme elektrostatickog polja, pa intenzitet vektora jacine polja mora biti isti u svim tackama presjeka provodnika. Znaci, unutar ovakvog provodnika polje je homogeno. Zbog toga je svaki poprecni presjek provodnika jedna ekvipotencijalna povrsina.

slika 2.41

Dakfe, tacke provodnika 1 i 2 (slika 2.41) koje su na razlicitim poprecnim presjecima provodnika nalaze se na razlicitim potencijalima, pa se moze pisati:

2 2

V1 - V2 = fEdl = fEdl = El = U12

.

1 1

54 Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola _ otpornici


Kako je elektricno polje vremenski konstantnih struja isto kao i

elektrostaticko, rjesenje integrala (napon U12 ) ima istu vrijednost nezavisno

od putanje integracije izmedu tacaka 1 i 2.

Intenzitet vektora jacine polja je konstantan po presjeku provodnika, pa je konstantan i intenzitet vektora gustine struje:

E=p·J J=.!. S'

te se dobija:

Znaci, napon izmedu bilo koje dvije tacke provodnika proporcionalan je jaCini struje kroz njega. Posljednja jednacina predstavlja Omov zakon.

Omov zakon vrijedi i za drugacije oblike provodnika od pravolinijskog homogenog provodnika (krivolinijski provodnik). Ovaj zakon vrijedi i u slucaju tzv. provodnih tijela cija je specificna otpomost mnogo veea od specificne otpomosti spojnih provodnika koji vezuju otpomo tijelo na njegovim krajevima. Element koji se sastoji od otpomog tijela i dva dobro provo dna prikljucka (spojnih prikljucaka) naziva se otpomik koga karakterise otpomost R.

2.42. lacina struje kroz otpomik prikazan na slici 2.42 U odnosu na naznaceni referentni smjer je I=-3[A]. Odrediti napon izmedu prikljucaka otpomika, ako je R=l O[Q].

I~ U=Vj-V2

~I R Vj []

V 2 & •

2 -:::

I ~

slika 2.42

Rjesenje:

Prema Omovom zakonu je:

U=RI=-24[V].



~~ osnovu o:.oga, moze se zakljuciti da je kraj otpornika oznacen sa 2 na visem potencljalu od njegovog kraja oznacenog sa 1.

2.43. Za dio kola prikazan na slici 2.43 izvesti lzraz za napon izmedu tacaka 1 i 2.

E2 R2 I

41~ slika 2.43

Rjesenje:

Referent~i s~jer str~je u bilo kojoj grani kola moze se odabrati proizvoljno. Odabram sm!er s.truje na slici 2.43 podudara se sa pozitivnim smjerom struje pre.ma usvoJe?oJ konvenciji (fizicki smjer elektricne struje suprotan je sm~eru kret~Ja elektrona provodnosti kroz metalne provodnike, odnosno smJeru kretanJa pozitivnihjona U elektrolitima).

Primjenom Omovog zakona na kolo sa slike 2.43 moguce Je odrediti potencijalnu razliku izmedu tacaka 1 i 2 kao:

~2=~-~=~-~+~-~+~-~+~-~,

U l2 =: U l3 + U 34 + U 45 + U 52 ·

Za ?dabrani referentni smjer struje i smjer kretanja od tacke 1 ka tacki 2, doblJa se:

U I2 =-EI +R II-E2 +R 2I=(R J +R2)I-(EI +E2),

odnosno,

2 2

U I2 = L.RI- L.E. I

Na o~novu prethodnog razmatranja. moguce je posljednji korzstztz ga za izracunavanje potencijalne razlike izmeau tacke a i b elektricnog kola: .

b b

Uab = L.RI- L.E. a a

izraz uopstiti i bilo koje dvije

56 Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici


U primjeni navedenog izraza mora se pridrzavati pravila za odreaivanje algebarskog znaka pojedinih Clanova sume. Ako se smjer kretanja (a~b)

b

podudara sa odabranim smjerom struje onda se Clanovi sume L. RI a

uzimaju sa pozitivnim predznakom, u protivnom predznak je negativan. b

Pozitivan predznak Clanova sume L. E uzima se ukoliko se smjer djelovanja a

elektromotornih sila podudara sa smjerom kretanja (a~b), u protivnom predznak je negativan.

2.44. Generator elektromotorne sile E=20[V], zanemarljive unutrasnje otpornosti, i otpomici otpomosti R1=2[Q], R2=3[Q] i R3=5[Q] vezani su preko spojnih vodova (zanemarljive otpomosti u odnosu na otpornosti otpomika), kao na slici 2.44. Odrediti napone na krajevima otpornika i elektricnu snagu koje se na njima pretvara u toplotu usljed Dzulovog efekta.

I·t U j 1>1 I

I

E } I· U3 tl

slika 2.44

Rjesenje:

Na slici 2.44 je prikazano zatvoreno elektricno kolo. Duz zatvorenog kola Iinijski integral vektora jacine elektricnag polja mora biti jednak nuli. Napon izmedu tacaka moze se izraziti preko (nepoznate) jacine struj'e kroz kola j

poznatih vrijednosti elektromotome sile i otpornosti u kolu. Zbog toga nije potrebno poznavati tacnu raspodjelu polja u okolini elemenata kola.

Na osnovu prethadno navedenog moguce je pisati:


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka .~---

fEctl = LE- LRI=O, c

odnosno:

odakle se odreduje nepoznatajacina struje:

Napon! na pojedinim otpomicima su:

U 2 :::R 2I=6[V],

U ::: 3 ::: 10 [V].

Elektricna snaga otpornikaje:

2A5.

58

=12

=20

Data je elektricno kolo u kojem je povezano vIse generatora elektromotome sile E], Ez i EJ-j otpornika, prikazano na slici 2.45. Ako su poznate vrijednosti elektromotome sHe E 1=IQ[Vl, E2=20rV] i EJ=5[V] i otpomosti otpomika R1~[QJ, R2=4[Q], R3=3[Q] i

odrediti struju u elektricnom kolu.

slika 2.45

Potencijal i napon. Omov zakOll. Elementi elektricnih kola - otpornici

....

OSNOVl ELEKTROTEHNlKE Zbirka zadataka

Rjdcnje:

Neka je pretpostavijeni smjer struje I u elektricnom kolu prikazan na slici 2.45. lacina stmje u elektricnom kolu jednakaje po Omovom zakonu:

Ako se smJer dijelovanja elektromotorne sile (od mimis pol a ka plus polu generatora) poklapa sa referentnim smjerom struje onda se predznak elektEomotome siJe u algebarskoj sumi uzima pozitivan, u suprotnom predznak je negativan.

U kolu na slici 2.45 moguce je uociti da se smjer elektromotomih sib El i E3 poklapa, a smjer el.ektromotome sile E2 ne poldapa sa referentnim (naznacenim) smjerom struje I, paje:

Dobijeni negativan rezultat ukazuje na cinjenicu da je stvami smjer suprotan od referentnog, prikazanog fla slici 2.45.

2.46. Za elektricno kolo prikazano na slici 2.46 poznate su vrijednosti elektromotome sHe generatora E1:::1O[V] i E2=20[V] i otpomosti Rgl=Rg2==l[Q), R 1:::2[Q], R2=4[Q] i R3=2[Q]. Odrediti potencijal izmedu tacaka D i B.

slika 2.46

k..dnoslJlJerne struje 59

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zhirkazadataka

Rjescnje:

U odnosu na odabrani referentni smjer, jacina struje u elektricnom kolu je:

J,ieka je referentna tacka u kolu tacka A sa potencijalom :V A=[O], potencijali ostalih tacaka U odnosu na potencijal tacKe A su:

VB =-Rg,I - (- E])= 11 [V],

'\/- - -"R "if - R I c - '~l'- -LgJ '. + = 13 [V],

=-R -E·2 -

=-6 [vl

- P I - - "1. [V1 - -'3 - '-' J-

h:jednacina potencUaia moze se odrediti Hapon izmedu bilo koje ~ je tra.zeni napon izmedu tacaka D i B:

Na 0snvvu dobijenog rezultata mogu6e je zakUuci;i da je tacka B na vis~il1 potenciJalu od tacke D za 17[V]. - - .

rezultat bio UDB= +17[Vl., u tom slucaju bi potencija! tacke D bio za visi od tacke B.

!iapon 'izmedu tacaka D i B moze se odrediti kao:

, . B B U

D-B

:-:: I')' RI - o\, , E}' = 0, RI _ V E . . \£.-d .LJ od D do B £...1 .LJ?,

J) D

iii

Potencija! i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola -- otpornici

OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ----_. __ ... _._ .. _._. --------------.-_._ .. _--_ ... __ ._- :.:::,.,--------

2.47,

D

U DB == = LE RI. B IJ

Za elektricno kolo prikazano na sliyi 2.47 odrediti napone izmedu krajeva svih' elemenata snage . svih generatora. f'ozll.ate su vriiednosti elektromotornih sila E 1=1O[V], E2=24[V], E3=30[V], E4:40lVJ i otpornosti Rg!=Rg2=Rg3=Rg4=l[Ql, RI=5[Q], R2=3[Q],

R3=8[Q], Rt=4[Q].

, stika

no. slici 2.470 .lacina u

i=

... Napon na elemenata kola

I =11

Dsc :.:;;: I:=: :--5 "-:'

Jecinosmjerne stmje


UC)) :;;.: Rg2 1-(--Ez)= 23 [V],

U DE = 1=-3[V],

U FE = -Rg3 I - (- E 3 )=31 [V],

UFO =Rg4I:-(-EJ=39 [V],

Snage generatora su:

PEl ::::U~AI=EII-Rgl =-U[W],

=UcDI=E2I+Rg2e =-23 [w],

=-31[W],

2.48. Za elektricno kolo prikazano lla slid 2.48 odrediti napon !JAB.

62

Poznate su vrijednosti elektromotomih sila Ej=lOlVl E2=15[V], E3=15[V], E4=20[V] otpornosti Rgj=Rg2=Rg3=Rg4=O,l[Ql, Rl=4,6[Q] i Rz::::5[Q].

slika 2.48

Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpo~nici

____ . __ . __ ._(]_S_NQYL_E_L_EJ<_rT_1!S!_T_EHNJ!~!!:. Zbirka zadata::::k::..a _____ _

Rjdcnjc:

Za usvojeni smjer,jacina struje I u elektricnom kolujednakaje:

Napon izmedu tacaka A i B je:

B Il

U AB = L,RI- L,E=-Rg4

I-R 2I+E 4 =14,9 [V], A A

iii

UAD =R I+RjI+R I+R I+E1 -E2 +Eo=14,9'[V]. "gl g2 gl .,

2.49. Ako se pretpostavi da je jednacina za napon izmedu dvije tacke A i B u elektricnom kolu:

U AB = {LRI+ L,ELAdoB iii U AB = (2/E+ L,RILlldOA' kakva bi u tom slucaju bila konvencija 0 predznacima za clanove E i Rl?

U slucaju cia se napon izmeau dvije tacke u elektricnom kolu racuna pomo6u jednacine:

U All := + "E) , L.J /od Ado13

tada hi elektromotoma sila E koja ulazi u sumu sa predznakom imala referentni smjer suprotan smjeru obiiaskakonture. Negativan predznak bio bi u sJucaju da su smjerovi isti. Clan RI ulazi u sumu sa pozitivnim predznakom, ako se smjer obiiaska !conture poklapa sa referentnim smjerom struje, a sa negativnim predznakomako su ovi

Za slucaj da se napon izmedu dvije tacke A i B u elektric!1om kolu racuna pomocu jednacine:

U AB = ("L E + RI) , od 13doA

prethodni odgovori glasili bi obmuto.

Jednosmjerne struje

OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirfw zadataka

2.50. Na slici 2.50 je prikazan dio elektricnog koia. Poznate su vrijednosti e!ektromotornih sila E j ",12[VJ, E2==7[V] i otpomosti Ri=2[Q), R3 =1,8[Q}. Takoae su izmjerene vrijednosti napona UAB=14[Vj i Usc=4[Vj. Odrediti sve struje prikazanog dijela elektricnog kola.

slika 2.50

Rjcsenje:

Instrument za mjerenje napona, voltmetar, ODorn elektrienog kola se potencijaina razlika ieli instrument karakterise velika otpomo:;! mjemog svitka (reda kako hi se stfuja kroz njega svela na sto manju vrijednost. U zadacima 6e se najcesce razmatrati teoretski kada otporno51 vo!tmetra tezi beskonacno velikoj vrijednosti

Napon izrnedu tacaka Ai B je flap on koji pokazuje voltmetar

U AS == A

Rl- E=Rllj+E!, A

paje jaCina struje [I:'

I

I·

izrnedu tacaka i Cje napon

RI-- + 13

odakle se ~zracunava struja 12:

voltmetar

.llznoSl:

! lznOS1:

64 Potencijal i napon. Omov zakon. Clementi eiektricnih kola - otpornici


izmedu tacaka A i C je:

c c U . = ~'RI- ~E=

AC £-1 L =U AS + USC'

A A

-:.=--=-::::10

evor A:

evor fJ:

cvorove

evor C:

B C, moguce je

h-I3+k::O,

16=h-h=8,5

2.5 L U elektricnom kolu na slid 2.51 poznato je: £1'=40[V], ~=75[V],

Za tacku

V 1=0[VI·

lednosmjeme struje

R2=400[Q], R3==450[~2]. Nacrtati potencijaini kolo kada je:

tlzetj tacku smatrati da je

slika 2.51

________ O.:...;;:.SN--'O,_V_I...cE_L--.:.EKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

UeD =R g)--(-Ez)=23 [V],

UDE

:::: J=-3[V],

U FE ::::-Rg3

I-(-E3 )=31[V),

U po =R g4 I:-(-E4 )=39 [V],

U :::: R I = -8l'V] GH 3 '

U HA = I =-4 [V]

Snage generatora su;

-'U 1-'-' T-'-R -,-2 - 23[W] - CD A - £'2-" g2 1 - - ,

2,48. Za elektricno kolo prikazano na slid 2.48 odrediti napon !JAB.

62

Poznate su vrijednosti elektromotomih sila EJ=lO[V]. Ez=15[Vl, E3=15[V], E4==20[V] otpornosti Rgl==Rg2=Rg3=Rg4=O,1[Q], R!=4,6[Q] i Rz:::;5[Q],

slika 2.48

PotencijaI i napon, Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici


Rjesenje:

Za usvojeni smjer,jacina struje i u elektricnom kolujednakaje:

Napon izmedu tacaka A i B je:

13 B

U AB == LRI- LE:=-Rg4I-R)+E4 =14,9 [V], A A

iii

2,49, Ako se pretpostavi da je jednacina za napon izmedu dvije tacke A i B u elektricnom koln:

U AB == () RI + '" E) . ill U AB = {)i E + ~ LJ oaAdoB \L.; BdoA ~

kakva bi u tom slucaju bila konvencija 0 predznacima za clanove E i Rl?

U slucaju da se napon izmedu dvije tacke u elektricnom kolu racuna pomo6u jednacine:

DAB = L:\

+ EI lodAdoB ~

tada bi eJektromotorna sila E koja ulazi u sumu sa predzl1akom imaJa referentni srnjer suprotan smjeru obilaskakonture. Negativan predznak bio bi u slucaju da su smjerovi isti. Clan RI ulazi U SUl11U sa pozitivnim predznakom, aka se smjer obiiaska konture poklapa sa referentnim srnjerom struje, a sa negativnim predznakom ako su ovi smjerovi suprotni.

Za sluca,j aa se napon izmedu dvije tacke A i B u elektricnom kolu raCllna pomocu jednacine:

U AB := (2':E+ L:RILsdoA '

prethodni odgovori gJasili bi obmuto.



2.50. Na slid 2.50 je prikazan dio elektricnog koia. Poznate su vrijednosti elektromotomih sila E2=7[VI i otpornosti R2=2[Q], R3 =1,8[Q}. Takode su izrnjerene vrijednosti napana UAll=14[YJ iUBc=4-lVl. Odrediti sve struje prikazanog dijela e!ektricnog kola.

slika 2.50

Instrument za mjerenje napana, voitmetar, uvijek se prikljucuje onam dijehl elektricnog kola se patencijalna razlika ieli instrument karakterise velika atpomost kako hi se struja kroz njega svela na sto najces6e razmatrati teoretski kada velikoj vrijednosti (Rv--joo).

Napon izmedu tacaka A i B je napon

U AB = RI-A A

pa je .lacina struje r I: .

tacaka i (~ je napon

U IlC = ::::: -R 212 + Il

odakie se izracunava struja 12:

svitka (reda kQ vrijednost U zadacima 6e se

voltmetra tezi beskonacno

voltmetar V! j iznosi:

. voItmetar llznOSl:

Potencijal i napon. Omov zakon. Elementi elektricnih kola - otpornici

OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ----~-.-.-.---~ .. -.. --.~ -----.. ----.-,---.. -.. ----~------~--..

izmeau tacaka A i C je:

U AC =

struja

, U AB + U BC = 1.0 1} = . R}

Kirhofov zakon na cvorove Ii C, rnoguce je

evor A:

cvor B:

cvor C: h-hi--16=O,

lG=:::I3-h:::8,5 [AJ.

2.51. U elektricnom kolu na slid 2.51 poznato je: Er=40lV], E2=75[V], E3=25[V], RI=lSO[Q], Rz=400[Q), R3=4S0[£2]. Nacrtati potencijaini dijagram za kolo karla a) otvoren,

zatvoren. tlzeti tacku I smatrati da je

slika 2.51

Jednosmjerne stn~je


RJesenje:

Da bi bilo moguce nacrtati potencijalni dijagram potrebno je odrediti razliku potencijala izmeau pojedinih tacaka elektricnog kola, koristeci izraz:

a a

a) U siucaju kada je prekidac P otvoren u kolu nema proticanja struje (I=O[AD· Napon izmedu tacaka 1 i 2 moguce je odrediti iii pomocu raziike potencijala:

ill koristeci izraz za napon izmedu dvije tacke:

2 2

U I2 = LRI- LE=R j .O-O=O[V].

Izjednacavajuci posljednja dva izraza dobija se:

0- =0 => V2 =0 [V].

lzmedu tacaka 2 i 3 nalazi se sarno naponski izvor elektromotorne sile E\, ciji se smjer djelovanja poklapa sa smjerom kretanja (2--)-3), pa je:

3 3

Un = V2 - V3 == "L R1 - "LE=O-E, ==-E j .

2 2

Kako je potencijal tacke 2 poznat (V 2=O[Vl), slijedi da jc:

0- = -E ~,~V - H - LiO fv1 l~ 3-"'-'1-' L J.

lzmedu tacaka 3 i 4 u kolu se nalazi samo olpornik. proticill\ja struje, pa je:

4

= )'RI-k..d

odnosno,

kroz koji nema

66 PotencijaJ i napon. Omov zakOD. Elementi elektricnih kola - otpornici

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ---------------------.--.--------.------------------

Smjer djelovanja naponskog izvora elektromotome sile Ez se ne poklapa sa smjcrom kretanja od tackc 4 ka tacki 5, paje:

5 5

U45 == V4 - Vs == "L Rl - "LE ==O-(-E2 )== E2 '

4 4

odnosno,

151:0 objasnjenjc moguce je primjeniti pn odredivanju napona izmedu tacaka 5 i 6.

6 6

U S6 == Vs - V6 = "LRI - "LE=O-(- E3 )= 5 5

Konacno, moguce zakljuciti da je potencijal tacaka 6 i 7 isti, jer ne postoji u kolt! i ne postoji izvor napona u posmatranom djelu kola.

·0-0 = 0 [V],

-60- =V6 =-60[V).

Na slici 2.5J.a prikazan potencijalni dijagram za slucaj otvorenog P. Potencijaini dijagram prcdstavlja zavisnost potencijala tacaka

elektricnog kola u_ zavisnosti od otpomosti, a pocinje se crtati od tacke feicrentnog potencijala, tacke 1 (VJ=OlVD koja se nalazi i ishodistu koordjnatnog sistema. Na dijelu kola od tacke 1 do tacke 2 nalazi se otpornik

RI=150[£~J, te je potrebno tacku 2 pomjeriti po apcisnoj osi za otpornika U odgovar<l:iucq.i razmjeri. Tacka 2 nalazi se no.

kao i tacka 1 (V 2=O[V)). S obzirom da u k01u izmedu tacke 2 i tacke 3 sarno naponski izvor elektromotome sile E], tacka 3 ce se na!aziti na vertikali tacke 2 na potencijalu V 3=40[Vl Tacka 4 zaddava

lacke (V 4=40[V]), ali zbog postojanja otpomika otpomosti r,n1'-r,,'mn je pomjeriti tacku 4 po apcisi za vrUednost otpornosti

pomenutog U odgovarajucoj razmjeri (rastojanje izmedu tacaka 1 i 2, sadrzano je 2,7 puta u rastojanju izmcau tacaka 3 i 4). Potencija! tacke 5 (Vs=-35[V]) i potencijal tacke 6 (V6=-60[VD unosi se na istoj vertikaJi kao i potencijal tacke 4, jer se na dijelu kola od tacke 4 do tacke 5 i od tacke 5 do tacke 6 naJazi samo naponski izvor eleJ<:tromotome si!e E2 i E3, respektivno.



Konacno, tacka 7 nalazi se nllc istoj visini kao i tacka 6, 6 i tacke 7 isti (V6=V7==:.-60 (V]), ali je pomjerena otpornosti otpornika R3 U odgovarajucoj razmjeri.

V[VJ i 40~ ____ ~ ______ ~ ______ ·~4

potencijal tacke za vrijednost

R [12J --$--~-------l------.--------i<"

}<1---lI't. l ~J'i

EJ==60IVj, ls2=3[A].

B

sIika 2.132

sa slike 2.1 .. j2 Izvrsena Je u strujne sto je na slid 2.132 . .1.

______ --=o-=Sc:..N'-'o=-l'-'II-=E=_:~L=_:E=_:'Kc::..:TROTEHNlf(E Zhirka zadataka

slika 2.132.a

Karakteristicne vrijednosti formiranih ekvivalentnih strujnih generatora su:

Dio kola sa lijeve strane izmedu tacaka A i B sa slike 2.132.a moguce zamijeniti ekvivalentnim strujnim generatorom (stika 2. 132. h). Struja ekvivalentnog strujnog generatora i njegova otpomost su:

-' + ( + - Is] , -5J

13

sIika 2. 132.b

Metode proracuna stanja u lineamim elektricnim kolima

_. __ '_" __ "_ OSNQW Efd~KTliQTEljNlf(:::E~Z~b::::i:.::rk::::a:..:zc::a~da::::t::::a:::ka~ _____ _

laCina struje kroz ampemletar je:

I = Ise R4 =~(2+1 )=5 [A].

A R +R 5 51 e 4

Jz posljednje jednacine, nepoznata struja strujnog generatora lsI je:

Da bi se potvrdila teorema 0 odrZanju snage potrebno je odrediti struje u svim granama kola sa slike 2.132.

Na osnovu slike 2.] 32.b napon izmeau tacaka A i B je:

lacina struje kroz graml sa elektromotornom sHom EJ sa smjerom od tacke B ka tacki A je:

lacina struje kroz granu sa elektromotornom silom E3 sa smjerom ad tacke A ka tacki B je:

Snaga pojedinih generatora je:

PEl =EIII =-70 [W],

PE3 = E313 = 300 (W],

PSI = IS!U All ::::: 945 [W],

Ukupna snaga koju generatori daju kolu je:

LPG = PEl +PE3 + PSI +Ps2 :=: 1625 [W].


ELEK7ROTEHNIKE Zbirka ()S?-,fOV1

na Vlse naCIna.

I nacin iJll",~,nU!.'lc Tevenenove teorerne

u otvoreni

450

{'\t;n"'7m~mco" U kol u je: u ~-c, zatvoff';r1, a

kolu jectnaka snaZI se E;e snage potvrdena. generatora kao:

sa aba l(ada se zatvori a elektromotorna slla generatorft

Koliko pokazivanje ampermetra 112 ", karla je =600

zatvoren? Poznato je R1=300fQ}

otvoren~, a P:; zatvoren amperrnerra

II nacia - primjerwm teoreJne ,'/iW'rlVi7"

u da su

u

11 •

3likf[ 2.133 u PI otvoren, a zatvoren 'nO(fliCE'

f',/ietode ·proTZ\cuna Jednosrruerne struje


U ovim jednacinama 112e je struja koju hi pokazivao ampermetar kada bi oba prekidaca hila zatvorena.

1z prcthodnih jednacina dobija se:

2.134.

236

k == 112 - 1;2 , 1[2 (Rl + RJ- R2 112 100

( =~=15[A]. 12 1- kR '

. I

U elektricnom kolu na sJici 2.134, otpornici otpornosti R6=600[Q], R7=400[QJ i Rg=500[,Q], projektovani su tako da su im najvece dozvoljene snage: PGmax=O,8[WI, P7max=1 [W] i PSmax=O,8(Vl]. Odrediti vrijednost e1ektromotome sile E pri kojoj ni jedan otpomik R,;, R7 i Rs nece pregOljeti, poslUe prebacivanja prekidaca u polozaj 2? Ostali podaci su: Rl=R2=200[Q], R3=Rs=lOOIQ], R4=Rs=300[Q], E2=22[V], Es==29!V], Is=20[mA].

A

RS , -D---l!---

----0.--'"18 I slika 2.134

Metode proracuna stanja u iinearnim elektlicnim kolima

napa!! na se

=20

su pa napan na

p Um~tx =20 l

Ako maksimaina onda napon na

gnmu sa

kwz gram! sa ,n"v,,,.,,,v,,, Rg ]zl1osi A'"~'"''''~7''''' R6 ! R.,,:

kola Izmedu beaka Tevenenovim nn~o-'-'nt~u aka 2 to znaci da

----'----::;

1, elektromctorna sila it i B u elektncflom karu n" sEid

2. se na

osnavu slike 2. 134.c.

ledoosmjerne

OSNOVI

-cF5

__, , __ ~-'-}, ~;="~ R 8

I ,. 0--'-R --

, -I''}-

I"~ 0'----{~--'-'-·--~--1~·---~"' B

slika 2. 134. a

RS is

slika 2.] 34.h

Sistem jednac,ina napisan po metodi konturnih struja, za kolo so. slike 2. 134.b, glasi:

+- +- ==0

-_ fi -'--'2

Uvrstavanjem brojnih vrijednosti i rjesavanjem sistemajednacina

II:;;; 10 &11A], III == 30 [rnA]. se:

proracuna stanja u linearnim elektricnim kolima

Elektrornotorna sila

+ ].

slike 2. 134.c

generatof}k

kada je u

---_.'----- == 3 [rnA],

sto je manjc ad

Kada se prekidac prebaci u pOlozaj (2), otpornost Tevenenovog generatora ostaje ista, a mijenja sc elcktromotoma silo. Tcvcnenovog gcneratora. Koristc6i metodu konturnih strujo. primjenjenu no. kolo sa ,'!like 2. I ;}fi.d, dobija se sistem --

+-

+-

Jednosmjeme struje

+- +- )If l~' 'Cm =.d

GSNOVl ELEKTROTEHN1KE Zhirka zadatalw

E+4

200

slika 2.134.d

vrijednosti i rjesavanjem

E+9 '[ -~lF - 3f)O

p3 je elektromotoma sila Tevenenovog generatora U ovom

'!+R T : J 2 J jH "1'

2E - TJ - + 2° -'lAB- 3 o.

.Jactn<l u vlijednost rnakslrnaIne

E

se:

ne

.Metode proracunil stanja u lineamim elektricnim !colima

2.135.

RC1:ultat:

2.136.

2.137.

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbir/(£lza~d:::::a=la:::k.::a=-______ _

U kolu na slici 2.135 odrediti jacine struja u svim granama primjenom Kirhofovih zakona. Poznato je: E1=60[V], E2=90rV], E3=30[V], E4::::130[V], RI=20[QJ, R2::::1O[Q], R3=30[Q],

1~=40[Qj.

slika 2.135

Na sliei 2.136 prikazana je grupa otpornika. Odrediti otpomost ekvivalentnog otpornika R;\fl, izmedu tacaka A i B.

3R

A_-<>-__

slika 2.136

Odrediti otpornost ekvivalentnog otpornika izmedu tacaka A i B ako je H=l 0[£21 za grupu otpornika vezanih kao na slici 2.137.

Jednosmjerne struje

siika 2. j

2.138. Odred~ti

za grupu

RczuUai:

2.139. Za grupu ekvivaientnih At~,w,,~,,+,

R

siika 2. 39

rAetode proracuna

1zrnedu tacaka

nil sEci 2.] tacaka 1 j :2

odrediti odnos '; 1 tacaka 3 i 4

u line3.rnim elektricnim kohma

ELEKTROTEl-IN71{E'

140., rtf!. s!ici 2. odrediti tacaka F3. Poznato Je

9R

B

slika 2.140

2 . .1.41.. Za grupu otpomika prikazanih na slici 2. odrediti otpornost B. Poznato je ekvivalentnog

[Q}.

2.

Jednosmjeme struje

izmedu tacaka A

Is u elektricnOHl kolu ako je poznato: 1,1=] [Aj, I=4fA],

OSNOVI ELEKTR07EHNIKE Zbirka zadataka

siika 2.141

slika 2.142

O~re?iti jacinu S~r~l!e u grani sa otpornikom pnrruenom pnncipa superpozlciJe u elektricnom kolu prikazanom na slici

ako je poznato: El=30[V], E,i= Isl=60[mAJ, R,=! R4=300[ QJ.


2.J44.

2.145.

OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirlw zadataka

slika 2.143

U elektricnom kolu prikazanom na s!ici 2.144, kada se prekidac P nalazi u polozaju (1) ampermetar zanemarive unutrasnje otpomosti pOKazuje struju 0,1 [A). Kada se prekidac nalazi u p~lozaju (:2) ampermetar pokaZlue struju 0,15[A). Odrediti elektromotomu silt! E2 primjenom principa superpozicije. Poznate su otpornosti otpomika: RI=R3=200[Q], R2= lOOIQI., R4=300IQ).

stika 2. 144

"'·,mi",,,,,,,.,.,. principa supcrpozicije, u elektricnom kolu prikazanom odrediti struju u grani sa otpornikom R. Poznato

E(:::::20[V], Ez:::::lO[V], Is:::2[A], R!=2[.Q], R2=5[Q], R=lO[Qj.

Jednosrnjerne struje 245

.Zbir!c{]

2.147. 1 evenenove tcoreme, odrediti jacinu struje I u e!ektricnom kolu na slici 2.147. Poznatoje: El=E4=3[VL

R2=3i~2], R3=2[Q].

slika 2. 14j·

46. slika 2.147

JFs.czultat I:=d

1.148. clek~tricnorn koJ.u na sHci 2.1 odrediti snagu koja se razvija na koristiti Tevenenovu teoremu.

slika 2.146

J - -.~--.-.---.- -

Rs

sfika 2.148

Metode proracuna stanja u linearnim elektricnim kolima Jednosmjeme struje

2,i5{}

248


U e!ektricnom kolu na slid L 149, koristeci Miimanovu teoremu potrebno odrediti struje kroz graml sa otpornikom R, Poznato je: E=lOlVj, Ei =30IVj, E2=25[VJ, R=S[QJ, Rl=R}=lO[.Qj, R2=20[Q], R .. =lS[Q).

~I -----lDI----]9----~

E't p R

V --o __ lE

_

slika 2,149

K,.oristeci inetodu potencijafa cvorova odrediti jacinu kroz granu A-B elektricnog kola na slici 2.150, aka je poznato E 1=E2==lOO[Vj, R5=20[Q], R2=5[Q}, R}=P"4=lO!Q].

slika 2_150

Metode prorai'una stanja II lincamim elektricnim kolima

2,lSL

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka z.adataka

Potrebno je izracunati snagu koja se razvija na otporniku R6 u elektricnom kolu prikazanom na slici 2,151, koristeci Tevenenovu teoremu, Poznato Je: R 1=200[Q), R2=801.Q], R3=40[.Q], R4=lOO[.Q], Rs=SO[.Q], R6=50[Q], EI=240[V], E4=30[Vl, IsI'=Is2=2[AJ,

R]

slika 2I'lj

Rc:ndtat: P==450 [W].

2.152. U clektricnom kolu sa slike 2.152, pnmJenom Tevenenove teoreme odrediti struju jacine I u grani sa eJektromotornom silom E 1• Poznato je E=60[VJ, EI:::25(VJ, Is=2[A} , R:::5[Q}, Rl=R3==1O[Q], R2=8[Q).

i

stika 2.152

Rezuitat: I==O,64[A].


2.

stika 2.153

Hs=Rs=2[Q], Ez=30rV], E3=:50!V], Es=20[V] , E6=40[V].

3lika 2.154

Metode proracuna stanja u linearnim eiektricnim kolima

2.155.

2.J56.

2.157.

Zbirka

Primjenom Nortonove teoreme u elektricnom kolu na slie! 2.155, odl'editi jacinu struje I u grani sa otpomikom R.

slika 2.155

MHnU1Dove tcorernc;r u. elektricnorn kohJ na SliC1 2.1.

Koliku vrijednost treba imati R u elektricnom kolu na snaga na biia maksiInalna?

Jednosmjeme


RS -------0---

EZ RZ ~--~----$-----~~

R

E-j R3 ~--------~-'II------~~-----

slika 2.]56

10 [Q] fl2[V] lO[V][

3[Q) 5[QJ lOln]

llO[VI

2.158.

252

9[Q]

lo[n]

4[QJ R

slika 2.157

Odrediti jacinu struje usvim granama elektricnog kola prikazanog na slicj 2.158 primjenom metode potencijala cvorova, !cao i metodom konturnih stmja. Poznato je: E1=100[V], E2=50[V], RJ=20[Q], R2=1O[Q], R3=5IJ;!], R4=5[,Q], R5=1O[Q].


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zhirka zadataka -.---... ~-------------

R RS , 1

sIika 2.158

Re~ultat: h=5[A], h=6[A}, 13=8[A] , 4=2[A], Is==5[A] , 16=11 [A), h=7[A).

2.159.

2.160.

KoristeCi Milmanovu teoremu odrediti vrijednost elektromotorne sile E2 u elcktricnom koln na slici 2.159. Poznato je RJ=6[Q], R2=40[Q), R3=1O[:Q], R4=lOOrn), Rs=60[:Q], Is:=O,2[A], EJ=9[V].

slika 2.]59

7", e1ek-t'r;Xno kolo na slici 2.160, u slucaju karla je L.<(i.." ,,<;"" .. 11. ~ ••

EJ=O[V], E2=E, E3=E, ampermetar pokazuje IA=2,4[A]. Odremtl pokaziv<U1je ampermetra kadaje E1=E, E2=O[V], E3=O[V].


i

i 'I

______ :::o:.:::.SN~O . .:..v::...I::::E:::LE:::K:.:..:..:TR.OTEHNIKE Zbirka zadataka

siika 2.J60

2.161. U eiektricnom kolu na slici 2.161, pri otvorenom prekidacu P ideall.li instrumenti pokazuju Ii\=3[AJ i Uv=30[Vj. Odrediti: a) vrijednosti elektromotomih sUa E j i b) pokazivanje instrumenata nakon zatvaranja prekidaca P, c) snagu na otpomiku Rx prije i poslije zatvarania prekidaca P. Poznato je: E3=60rV], R1=R2=Rx=20[Q],' R,=Rs=dS[Q], R3=24[Q].

stika 2.161

R€:zuntat: a) E1=40(V], E2'=20[V] , b) ( = 4[A], U~ =: 50[V],

c) prekidac otvoren: Px ::::20[W], prekidac zatvoren: =0 (W].

254 Metode proracuna stanja u linearnilll elektricnim kolima

2.162. Za elektricno kolo prikazano na slici 2.162, poznato je: R!=R2=30[Q], R3=40[Q],R!==R5=1O[Q], R7==5[Q], E!=Ez=40[Vl Najve6a dozvoijena snaga otpornika R7 iZl10si P7max=20[W]. Koliku otpornost treba da ima otpornik R6 pod uslovom da

otpornik R7 De pregori?

Rczl1Uat:

2.163.

sIika 2.162

U dektricnom koln prikazanom na slici 2.163, odrediti

pokazivanje voltmetra.

IDlv] 8[£[ -4~ ~--~

iO[V] -I~- ----.

slika 2.163

Re:t::I.I!Hat: Uv::::5[V].

Jednosmjerne

_______ O.SNOVI ELEKTROTEl-lNIKE Zbirka zadata_k_a ______ _

2.1M.

2.165.

256

U eiektricnom kolu na slic! 2,164, izracunati napon UAB i struje loc. Poznato je: Is1=IsFl[A}, E=20rVj,

R

\

C

slika 2.152

Dato je elektricno ko!o na slid 2.165, Ako prekidac u poloZaju (1) ampermetar 3[A], a ako je polcazivanje ampermetra iznosi 2,68[A]. Odrediti pokazivanje ampermetra kada prekidac u polozaju (3). Poznato E2=4(Vl, E3==6[V]. J

slika 2.165

Metode proracuna stanja u linearnim elektricnim !colima

OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ---------~~~----

2.166. Za eJektricl10 kolo stahle jednosmjeme struje prikazano na slici 2.166, poznato je: RI',:::2[Q], R2=3[Q], R3=4[Q), R4=Rs=1[Q]. Poslije prebacivarue prekidaca iz polozaja (1) u polozaj (2) jacina stmje I5 se pove6a za O,8[A]. Odrediti vrijednost elektromotorne sHe E.

(I) IE

,------~~------'

$--__ --1 R I f----_---j RH E 2.

sli!w 2.166

Rc:what: E=12[V].

2.167. Kada u kolu sa slike 2.167 djelliju svi generatori, jacina struje 112

je 2,5[A]. Kada u elektricnom kolu djeluju same naponski generatori, ova struja iznosi l,5[A]. Izracunati jaCinu stnDa strujnih generatora Is, ako se zna da je otpornik R3 takav da se na njemu razvija maksimalna moguca snaga. Izracllnate vrijednosti provjeriti teoremom 0 odrzanju snage u elektricnom kolu. Poznato je: R1=1O[Q], R2=40[~n R4=50[Q], E 1== lO[V] , E2=50[Vj, E4==90[V].

Jednosmjeme struje 257 I

OSNOV! ELEKTROTEHNIKE Zbirkl1 zadataka

siika 2.767

2.:168 ..

slika 2_/68

u fineamim elektricnim koiima

OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka z.adataka ------------~~~==~~ ~==~~----------

Fnmldill ameri{:ki driavnik, jilozoj; jizicar, Prvi utvriluje identicnost murtje s elektricitetom, postavlja

novu elefrtriciteta, dokazujuCi postojartje pozitivnog i negativnog elektriciteta, Otkriva tok i karakteristike Go{fske strl~je i pronalazi

po {emu postaje pozna! u c(jelom svijetu. Ucenjak, neumoran borae za slohodu vjerujuci uefikasl10st razuma pri

Jednosmjerne

pitanja, Franklin je person(fikacUa i simbol svog Poznatje njegov kondenzator iii FrankIinova ploea,

od stak/ene ploce s obje strane obloiena listovima staniola.

259

2.169.

OSNOVI ELEKTROTEI-lNIKE Zbirka zadataka

Kondenzatori kapacitivllosti C=C2=40[nF], C3=2[nFJ, C4=12[nF],

Cs=24(nF], C6=30[nFJ, C7=180[nF], Cs=8[nF], C9=2[nF] i

CIO=lO[nF] vezani su leao na slid 2.169. Odrediti kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatora izmedu: a) tacaka A i E, 0) tacaka C i D, c) tacaka B i C, d) tacaka AiD.

Cg

C C9

D

ClO

-11-" slika 2.169

Fonnalno postoji analogija izmedu parametara i zakona koji definisu kola jednosmjeme struje i kola jednosmjerne struje sa kondenzatorima (elektrostaticka kola). U s!ucaju meausobnog vezivanja kondenzatora ta analogijase ogleda u cil1jenici da kapacitivl10st kondenzatora ima svoj "ekvivalent" u reciprocnoj vrijednosti otpomosti otpornika.

a) Dio elektricnog kola sa slike 2.169 izmedu tacaka A i B predstavlja serijsku veZl! kondenzatora. Ekvivalentna kapacitivnost serijske veze n kondenzatora odred~je kao:

1 n I _.-:::::,....:..-.i-.lr i=l ~i

Dakle, ekvivalenina kapacitivnost izmeau tacaka A i B je:

260 Elektrostaticka kola


b) Kondenzatori u kolu mogu biti vezani i paraielno. U slucaju n p:u-alelno vezanih kondenzatora kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatoraJe:

n

r - "". '-.... e - .L.d '--'I .

i=l

Za dio kola izmedu tacaka C i D ekvivalentna kapacitivnost je:

CeD = Cg + C9 + C IO = 20 [nP].

c) Grupa kondenzatora u kolu moze biti vezana i u spoju zvijezda (slika 2. 169.a), kao i u spoju trougao (slika 2. 169. b).

1~, C12AC 31

0~Y~ 2/_I~J /- , Cn

slika 2. 169. a stika 2. 169.b

Pri transfiguraciji kondenzatora iz spoja zvijezda u spoj trougao, koriste se slijedeci izrazi:

C3C1 C ---~---31- C +C +C .

1 2 3

Pri transfiguraciji kondenzatora iz spoja trougao u spoj zvijezda, koriste se slijedeci izrazi:


'; I


1+

U kolu na. slici 2. J69 izmedu tacaka B i C moguce .Ie uociti dvije zvijezde 1 odnosno dva trougla CrCrCs i C4-C(;-C7. Da hi se

odredila ekvivalentna kapacitivl10st izmeau tacaka B i C potrebno je izvrsiti bilo koje zvijezde u trougao iii bilo kojeg trougla u zvijezdu.

Neka se transfigurise trougao C3-CI-CS u zvijezdu '-.-4' ',_,.~,". u novoformiranoj zvijezdi su:

+ +

+ +

+ +

r ' = t5 lnFI,

= 180 [nP],

= 30 [nFl.

Ekvivalentna sema izmedu tacaka B i C prikazana je na slid 2.169.c.

sIika 2.169.c slika 2.169.d


____ (::..):::.SN'-'-=O-'V-=.f. ELEKTROTEHNI KE Zbirka zqEE.tak~ ________ _

Kondenzatori C34 i C6, kao i kondenzatori Cs i C7 vezani su serijski, te njihova ekvivalentna kapacitivnost Cel i C"z, respektivno, iznosi:

Kondenzatori Cel i Ce2 vezani su paraJelno (slika 2.j69.d), pa 111 je mogu6e zamijeniti ekvivalentnim kondenzatorom Co3 (slika 2.169.e) cija kapacitivnosti iznosi:

C 53 C e3 CAB eRe CeD

~~'-I 1-~-1 I---f A~~lc~~D siilea 2.J69.e slika 2. 169J

Konacno, trazena ekvivalentna kapacitivnost izmedu tacaka B i C je;

d) Grupa kondenzatora na slid 2. J 69 predstavlja mjesovitu vezu kondenzatora, koja se rjeSava postepenom transformacijom kola po dijelovima, kao sto je pokazano u prethodnim koracima a), b) i. c). Ekvivalentni kondcnzator izmeou tacaka AiD, predstavija serijsku yeZl!

ekvivalentnH'~ kondenzatora iZHleaU tacaka /\ i B (CAB)' B i C i C~ i D (CCD), sto je prikazano na slici 2. 169.f

ekvivalentnog kondenzatora izmedu tacaka AiD je:

{"' 'V AD

Jednoslnjerne stnl:le 263

2.170.

Rjesenje:


Kondenzatori kapacitivnosti C I=C2=C}=30[jJF] _ i kondenzatori kapacitivnosti C4=C5=C6=90[/-tF] cine bateriju U obliku tetraedra kao sto je prikazano na slici 2.170. Odrediti ekvivalentnu kapacitivnost kondenzatorske baterije izmeau tacaka 1 i 2.

slika 2.170

Radi odredivanja kapacitivnosti ekvivalentnog kondenzatora e l2 potrebno je izvrsiti transfiguraciju kola. Zvijezda kondenzatora C4, Cs i C6 transfiguriSe se u trougao kondenzatora CS, C56 i C46 slijedecih vrijednosti:

=30~F],

= 30 !J.tF].

:Nakon izvrsene tnmsfiguracije kondenzatorska baterija je prikazana na slici 2. 170.a.


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka --------~~~==

3

I G

CS6

slika 2. 170.a

2

Kondenzatori C I i C45 vezani su pamIeino, kao i ~~nden~at~-i C3 i.C4;, i kondenzatori Cz i CS6. Njihove ekvivalentne kapacitlvnoStl "-'el, Co3 1 Ce2,

respektivno, imose:

Cel

:::: C I + C 45 :::: 60 fw],

Cd = C 3 + C 46 ::.:: 60 [}iF],

Ce2 =C 2 +C S6 =60!J.tFJ.

Nova veza kondenzatora prikazanaje na slici 2. 170.h.

3

CeZ

slika 2.170.b


OSNOVl ELEKTROTEHN1KE Zbirka zadataka

Ekvivaientna kapacitivl10st izmedu tacaka I i 2 je:

2.171. Odrediti kolicinu naelektrisanja koja protekne kroz kondenzutore C] i C2 nakon zatvaranja prekidaca P, ako: a) kondenzatori C1 i C2 prethodno nisu hili naeJektrisani, b) kondenzatori C 1 C2 imaju prethodno naelektlisanje

QIO=150[)!C] i Qzo=40[)!C], respektivllo, sa smjerom naznacenim na slici 2.171.

Poznato E=20[Vj.

slika 2.171

(Q],

I(ada se mde u slozenom elektricnom kolu jeanosmjeme i.l OSnOVl se mogu razlikovati dva slucaja. Prvi slucaj predstavljaju kola u

se kilO pasivni elementi pojavljuju otpornici i. a karla 3D kondenzatori jedini pasiv~i eJernenti kola,

.Koio na shei 2.171 spada u prvu grupu erektricnih kola, karakterise osobina da kroz grane u Kojima se nalaze sarno mogu

elektricnc struje. U stacionarnom staf'Ju, kc:je karakterise prestanak svih procesa vezanih za kondenzator (proces pur~enja iii kondenzatora), grane koje sadrie kondenzator(e) ponasaju se kao da su

jz kola')jer kroz njih neina proticanja elektri,::ne

266 Elektrostaticka KnlR

>

Zbirka

t il i "Y' r kroz Da bi sc utvrdila jneausobna zavisnost pr-o el{ -e KOBCH1G 'D

k d t kO!l ce oSiati u kondf,;J1Zator i napona na on ellza ora . :.J. y'

. . . .. . r .r"'rentllo<Y smiera kohcme staclOnamom staH1U, UVOdl se poJan1 en... . b ~, . .

nealektrisania i ~apona na kondenzatofU. Referentni smjer. za proteklu kolicinu na~lektrisanja oznacava se strelicom kOj,1 se usmJerava ~rel~a iednoj eiektrodi kondenzatora, cime je definisan iznos i znak naelektnsanja koji~ je ta elektroda naelektrisana.

Na slid 2.i7l.a prikazan je slucaj ako je protekla kolic.ina. q oozitivna. a na slid 2.171.b prikazan karla Je proteid a kolicina , . naelektrisanja

stika 2.171.a sl.ika 2~ 17 l..h

Po analogiji na napon na h"'~,~",,,,w,, otpomog dementa u kolu jednosmjeme Omov zakoll za napona nil. krajevinm

kondenzatora sa slike 2.171.a

~. Q LJ = =-

c C C

koliclna

a) koraku

a Q kolicln3

u plvom granar.na kola

kondenzator u kolo sa

2


slika 2.171.c

Zbog prekida u grani sa otpomikom otpomosti RJ struja u toj grani je jednaka uuli (h::::O[AJ), pa

E 1=11 =---=4 [A].

Za pr?~acun st~~ja, odnosno naelektrisanja na kondenzatorima neophodno odredltl potenclJalnll razliku na krajevirna kondenzatora. Za kondenzator potrebno je odrediti potellcijalnu razlikll tacaka B i C CUBC) , a za kondenzator C2 potenc~ialnu raziiku izmedu tacaka D i C (!JDe), 3tO ce pr~~zrokovati proteIde !colicine naelektrisanja sa naznacenim smjerovima (sIlIw 2.171.d)

slika 2,171.d

izmedu tacaka su:

C

U BC =-, R1- LE::::E:.-.: 20 [V], B 13

Elektrostaticka kola

U == DC RI-D D

KoJicine naelektrisanja koje su proteIde kroz kondenzatore odgovaraju kolicinama naeiektrisanja l! stacionarnom stanju, jer kondenzatori prethodno nisu bili naelektrisani, pa

= ql == Usc = 200 &.te],

Ako kondenzator prije prikljucivanja u kola bio opterecen (naelektrisan) nekom kolicinom naelektrisanja Qo, koja predstavlja pocetno naelektrisanje, nakon pri!djucivanja kondenzatora l! koio, konacna kolicina naekktrisanja na kondenzatoru (slika 2.171.e) je:

(2== +q,

imaju kondenzatorom.

koja u procesu uspostavljanja kroz kondenzator. Sve tri velicine Q, Qo i q

prema referentnom smjeru u grani sa

slika 2. 171.e

Bez obzira sto su kondenzatori C 1 i Cz prethodno bili nae!ektrisani pocetnim ko liCi llama respektivno, odredivanje poteneijalne razlike na kondenzatora svodi se na identicnu proeeduru kao u

zadatka naponi na kondenzatorima su:

RI- E=E=20 B n

lfT lJDC RI- E= +E=12[V].

D D

Jednosmjeme struje

OSNOVI ELEKTROTEHNI[(E Zbirka zadataka ------------~--

Stacionarna kolicil1a naelektrisanja na kondenzatorima usiovljena naponorn koji 5e ima u stacionarnom stanju na njihovim krajevima, pa je:

Posto je referentni smjer stacionarne kolicine naelektrisanja na kondenzatorima llsvojen na osnovu potencijalne razlike tacke B U odnosu na tacku C, za kondenzator C], i tacke D U odnosu na tacku C, za kondenzator Cz, tadaje,

za kondenzator C 1:

za kondenzator C2:

2.172.

= 100 [lJ,C].

Tn kondenzatora Ce2[I1FJ, C2=10[1-!F] i C3=18[I1F], bez prethodnih naeiektrisanja, istovremeno se ukljucuju u kolo elektromotornih sila El=12[V], E2=24[V] i E3=30[V], leao sto je prikazllilO na slici 2.172. Odrediti napone i kolicine naelektrisanja po llspostavljanju stacionarnog stanja.

13

stika 2.172


OSNOVI ELEKTROYEHNIKE Zbirka zada/aka

Rjdenje:

U slucaju da u elektricnom kolu jednosmjerne struje postoje sarno kondenzatori kao pasivni elementi, u tim kolima u stacionarnom stanju ne dolazi do proticanja elektricne struje. Stacionarno stanje u takvim elektrostatickim kolima nastupa trenutno. Rjesavanje takvih kola podrazumijeva odreaivanje kolicine naelektrisar~a na kondenzatorima iii napona na njihovim krajevima, prj cemu se izvedene metode i postupci koji su objasnjeni u prethodnim poglavUima mogu primjeniti i na elektrostaticka kola. Osnovni zakoni za rjesavanje slozenib kola sa kondenzatorima, kao i u kolima jednosmjerne struje sa otpornicima, su svakako prvi i drugi Kirhofov zakon.

Prvi Kirhofov zakon u kolima sa kondenzatorima poznat je i leao Zakon 0

odrZanju !colicine naelektrisanja i glasi:

algebarska suma proteklih koliCina naelektrisanja !coje su sticu u jednom cvoruJednakaje nuli,

i=l

Predznak cianova algebarske slime zadrzan je isti leao i kod odredivanja algebarske sume struja koje se sticu u jednom cvoru.

Drugi Kirhofov zakon u za1vorenoj konturi elektricnog kola jednosmjerne strujc sa otpornicima definisan je kao:

S obzirom na postojanje analogije izmeau parametara kola, drugi Kirhofov zakon II zatvorenoj konturi elektricnog kola jednosmjerne struje sa kondenzatorima je:

pri cemu je Q kolicin3 naeJektrisanja na kondenzatoru po uspostavljanju stacionamog stanja.

Dakle, za kolo sa slike 2.]72 potrcbno jc napisati jednu jednacinu po prvom Kirhofovom zakollu (nJ=n-l=2-1=1) i dvije jednacine po drugom Kirhofovom zakonu (nl1=m-nl=3- J =2).

Jednosmjerne struje

B

slika 2. J 72. a

i'\]a osnc}vu

Cvor

kontura rI:

kolicine

t,l<;ktlrostatick:a kola

OSNOVl ELEKTROTEHNfKE Zbir1ca zadataka

YJ odnosu na usvojene referentne slT\jerove stacionarnih kolicina naponi na pojedinim kondenzatorima su:

U 1 = = 14,8 [V],

U:::: ::= 2,8 f_v'J' , 2 r'

''''2

:::: -·3 ,'" 11'11 ,1, _, ...

I\W(Ul""",., nrl>fn,ntJi/C stacionarne kohCine naelektrisanja i odgovarajuceg napona ukazuje na Cinjenicu da je pretpostavijeni referentni smjer suprotan U odnosu na stvami sJrl;jer.

2.173. K.ondenzatori C1 i C2 vezimi su kao na slid 2.173 j mogu se na stahm napon lJ=60(V]. Prvo se zatvori prekidac Pl.

Kada stacionamo ohloge kondenzatora C 1 se

razmaknu, tako da je njegov novi kapacitet C; _ Zatim se otvori

prekidac a zatvori prekidac 1'2- Odrediti:

a) kolicinu nael.ektrisanja q koja je protekia kroz granu sa kondenzatorom C1 zbog razmicanja obloga,

b) fad koji je izvrsiia elektrostaticka sila prilikom razmicanja obloga,

c) kolicinu naelektrisanja koja proteknc kroz gra!iu sa kondenzatorima poslije zatvaranja prekidaca P2.

Podaci su: C 1=3[pF], C2=6[/lFl, C; = 2 ~F l

slika 2.173

Jednosmjcrne struje

a) l~akon

kondenzatora novo na Konaenzaitor

=120

"1= = -60

s:u sve racunate pren]'8 referentnoin tdici 2. J?l[L no

stika 2. 173. a

oblogaje: zbog razmicanja

-1,8

na rad FrSli{l

PI i zaivorl se .\(01G kao

Eiektrostaticka kola

OSNO\fl ELEKIROTEHNIKE Zbirka zadataka

ftCi r<

Q2 '-'2 ---ll>-

I ~-I Qi

J .t q'l u P'"" ,.

slika 2.]73.0

Kondenzator sebi kolicinu

pretnodno nije bio naelektrisan, dok kondenzator C 1 ima na naelektrisar~ia iz prethodnog koraka, 5to predstavlja pocetno

,.,<>,·j,>'d-""'<UHP. U slucaju zatvaranja prekidaca P2.

.lednacina naponske ravnoteze je:

lJ-

pa

-+-q =q,

q --=0.

Pmtekla kolicina naelektrisanja u toku uspostavljanja novog stacionarnog stanja

q ==

iVI,OgUce je au vezivanjem kondenzatora C2 ne6e u kolt! prote6i

odnosno kondenwtor C; ce zadrZati naelektrisanjeQ;, a

kondenzator C2 ce ostati nenaelektrisan (neopterecen).


2.174

____ O_SNOVf ELEKTROTEHNIKE Zbirka zada!!!:~ ______ _

'TTl nenaeiektrisana kondenzatora C 1=1f.jvtF'L (~2:::=3f~LF]?

vezam su ukolu prema slici 2~ 174. Po zat'vanmju prekidaea P, balisticki galvanometar pokazuje cia kroz njega, do

stacionarnog stanja, protekia kolicina naelektrism~ia je vakuum sa Eo. Odrediti:

b) stacionarno star~je, izmedu obloga ravnog

elektrostaticke

ubaci 5e dielektricna pIoea £,.:=3, tako cia m.edue!ektrodni . prostor. Odrecliti prifaStaj

kao i md generatora.

stika 2.174

~-I I I

1 E

a) Nakon zatvaranja P stanjc u kohl je kao na sliei 2.174.a. Za kolo vaze

IT \..j AB

Elcktrostaticka kola

OSNOVI ELEJ(TROTEflNIKE Zbirka~>~::cz(:::l(:::la=ta=K='.a .• :c. ___ _ ------~----.-------,----.~~---.,-.~--~.------

slika 2.174<0

Po drugom Kirhofovmn zakonu 5e mogu za konture S}

kontura 3 1: E--

kontura

Po prvom Kirhofovom zakonu za evm A

+ =4

paJe:

E=

elcktrostaticka

+ + +

Po d.ielektdcne u kondenzator kohljC

na sliei 2 .. 174)).

Jednosmjerne struje

______ ----'-O_S_N_c:_rV'-''l...:E=:L=:E=:7K=T',ROTEHNl KE Zbirka zadataka

QI~ ~q; ci

kondenzatora

b

:::: Cr

C' k./.:

-:-- =: t,. b

B

slika 2. 174.b

=3

ekvivalentne "",m""" kola !cao na slid 2.174.c.

za

B

slifw 2.174.c

Ekvi'va!entna

+ =6

-------

i Cz dobija se

Elektrosta!icka kola

OSNOVI ELEKTROTEHNtKE Zbirka zadataka

lzjednacine elektrodinamicke ravnoteze je za konturu S:

pri cemuje Q' = Q~ == Q~.

Sadaje elektrostaticka energija u kolu:

,2 ,2

W' =W' +W ==.sL+~==4,8[Jl c "0 "3 2C

e 2C

3

Prirastaj elektrostaticke energije je:

Rad generatora je:

gdjeje:

q~ == Q~ -Q3 = 0,8 [mC].

2.175. Odrediti kolicine naelektrisanja i napone na kondenzatorima primjenom Kirhofovih zakona za kolo sa slike 2.175. Poznato je: C1=C5=C4=2[)J.Fj, C2=C}= C6=4[/lF], E3=5[Vl, E6=1O[V J.


OSNOVJ ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

-----It----Il-E6 C6

slika 2.175

Prema prvom Kirhofovom zakoTIU treba postaviti 11-]==4-'1 =::;3 iednacine Za • J'

kolo na stiei 2. 1 75.a prvi Kirhofov zakon glasi:

evor !:

cvor 2:

cvor 3:

Frema drugom Kirhofovom zakonu treba postaviti mjn-l )==6-3=3 • I v ~ r-? ". \ I

Jeaoacme. La odabrane Konture pnkazane fla slici 2.175.a drugi Kirhofov zakon glasi:

kontura Sr:

kontUfa

kontura

280 EIektrostaticka kola

OSNOVl ELEK7JWTEJlNIKE Zbirka zadataka

2

stika 2.llS.a

postavijeni sistem od sest jednacina, dobijaju se kondenzatora:

=16

== 16

Naponi na kondenzatorima su:

2.176.

Q! V I2 =-=4

=6 [V],

U23

:=:: = 1 [V],

Q U24 =~-::::2 r \..-5

=4

r\ U

33, =':<6 =5

Frimjenom metode konturnih naelektrisanja odreaiti naelektrisanja nll svim kondenzatorima u kolu sa slike 2.175. Brojne vrijednosti elemenata kola su iste kao u prethodnom zadatku.

Jednosmjerne struje


S obzirom na uocenu anaiogiju izmedu parametera i zakona koji dennisu kola jednosmjerne struje sa otpomicima i kola jednosmjeme struje sa kondenzatorima, moguce je metodu kontumih struja primjeniti kao metodu kontumih naelektrisanja pri cemu sva pravila pri formulisanja pojedinih parametara sistema jednacina ostaju istao

DakIe, potreban broj jednacina konturnih naelektrisanja je:

m-(n- J )=6-(4-1 }=30

10> ? "7A S!lKG "-'. j I U

Prema odabranim smjerovima kontumih naelektrisanja prikazanim na slici 20176 sistem jednacina po metodi kontumih naelektrisanja

( ,

11 In lIn -+-+-)\l --°0 --n =v C " " 1,,~!1 '<Ill

!. '-'5 '~4) "'5

+


u sistem jecinacina dobije se:

3 1

'2 Il

2 !H ::::: 0

1 +

'2

2 4-f! +

sisterna su konturna

==8 =20

na kondenzatorima su:

=4

cvorova odredit~ svnn kondenzatorl rna u ko! u sa sh ke 2.175,

kola kao u zadatku 175

,o,>,n,'",r,o .zakona 111ctode e!ekirost(tti{~k.ih

i~voruve t" 2. ~ J pre rna sUei 2.


slika 2.177

Uvrstavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistemjednacina:

+ 12V3 =-20.

Potencijali cvorova su:

Nakon 5to su odredeni potencijali cvorova, naelektrlsanja na pojedinim kondenzatorima mogu se odrediti kao:



u -v -v ==.9.i 12 - I 2 C

I

U l4 ==Vl -Q4

:::::? Q4 == C4 (VI - V4 )= 12 f}.teL C,t

U 24 =V'Z-Qs

:::::? Qs =Cs (V2 - V,J==4 r~c], Cs

u == V - V :::: Q6 - E :::::? 31 3 I C 6

r,

2.178. U kolu fla slici 2.178 poznato je: U=300[VJ, R!=lO[QJ, Rz=5[QJ, R3=15[r.tj, Cr=l[/vtF], C2=5[~FJ, C3=2[!1F\, C.=3[!1Fl Odrediti naelektrisanje kondenzatora karla nastupi stacionamo stanje.

slika 2.178

U kolu na slici 2.178.a naznacen je smjer struje i pretpostavUeni smjerovi proteklih, odnosno stacionarnih naelektlisanja konrlenzatora jer kondenzatori prethodno nisu hili naelektrisani.


D

slika 2. 178. a

Jaclna u kolu sa slike 2. 178.n u stacionarnorn

U 1=---

na k.ondenzatora (~!

BD ---

Za ift konJenzalora

Cleictrostaticka kola

OSNOVI ELEKTROTEHNJ](E Zbirka zadatalw

RjeSavanjem posljednje trl jednacine dobijaju S0 naelektrisanja kondellzalora:

Jacina

:::: 37SittC], := 225 fJ..tc].

U kolu fla slici 2.179 elektromotorna sila generatora je E=36!Vl, kapacitivnost kondenzatora C==2lIlFJ i otpomost otpomika

Rs=R6=30R, R 3=25R, R4=40R. Kada se u kolu uspostavi stacionamo stanje zatvori se prekidac P. Odrediti kolicinu naelektrisanja. koja ce proteci kroz kondenzator poslije zatvaranja prekidaca.

slika 2.179

otvoren zadato kolo izgleda kao na slici 2.179.a.

u elektricnom kolll

:= R I + __ "--'_-"c __ cc..'_ = 3 SR .


OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka OSNOVI EL£KTROTEHNIKE Zbirka zadataka

Otpornosti u spoju zvijezdi su:

30R ·30R RAO=RDO=RFO= 90R =lOR.

lacina struje u kolu sa slike 2.179.b je:

F E 1=---

R+Rc

-o-IC gdjeje:

G

siika 2. 179.a

Napol1 na kondenzatom je: paje:

U' - "L' )" - r, R' _. r:' 'R E _ E(l 1) _ 34 fVl r- DG-j-A-Jt-.!i.-·£:'/-.~'\.. -_,1--- ---, . ..Jj

L

v R + 35R l 36 ~ "

E E 1=---

R + 28,75R 29,75R

Kondenzatorje naeiektrisan kolicinom nae!ektrisanja: Kako je po prvom Kirhofovom zakonu:

a po drugom Kirhofovom zakonu:

Kada se prekidac P zatvori i trougao pretvori u zvijezdu otpomosti RAO-Roo-RHl dobUa se kolo kao na slici 2. 179.h,

odnosno:

dobija se:

lEE 1=-=----

1 4 29,75R·4 119R

Napon na krajevima kondenzatoraje:

slika 2.179,h 288

Elektrostaticka kola lednosmjerne struje 289

naeleh:.trisan koiicinorn

Q

ProtckJa koiicina

q=

-'.f(ondenzatO,r se

90 r' ~, =.--'f~ __ ob==

119

rasferetio nnPl?'IOl""','}n,rn U odnosu na njegovG

ot',e!Claa'Ca supra/an, udnasno ad tacke G ka

2. 80. U koiu na slici 2.180 Kada se Odrediti

slika 180

zatvoren elektricno kolo irna na slici


OSNOVJ~LEKTROTEHNrKEn)~i~i*~a~Z~fl~da~t~a~ka~, __________ ___

R5 R4 E2

CQT __ .~lR2 B

slika 2.180.0

Jacina struje u eiektricnom kolu je:

.-.---.-'--~ = O,s[A].

na krajevima kondenzatora je:

::::u' =-R f +E =15lr

V]. TlA 4 2

NaeIektrisanje kondenzatora u stacionamom stanju je:

=CU~ =4,5 [mC].

Kada se zatvori prekidac P2 elektricno 11.010 ima izgJed prikazan na slici 2.180.h. Naznaceni su smjerovi izabranih konturnih struja, za koie je moguce napisati slijedeci sistemjednacina:

+

vrUednosti Ll prethodni sistem jednacina doblia se:

+ ::.= 0

Jednosmjerne struje


pa su rjesenja sistemajednacina:

14 III =- [A].

15

B

stika 2.IS0.b

Napon na kondenzatoru je:

a naelektrisanje kondenzatora:

Protekla koliCina naelektrisanja sa smjerom od tacke A ka tacki B je:

2.181.

292

q=Q"- =-3,5 [mC].

Odrediti proteklu kolicim.l naelektrisanja kroz kondenzatore kola prikazanog na slid 2.181 od trenutka zatvaranja prekidaca P do uspostavljanja novog stacionamog stanja. Koliki je prirastaj energije svih kondenzatora? Koliki je rad pretvoren u toplotu? Poznato je: E1=lOO[V], E2':=200[V], E3'=300[V], C1=Cs=Hj!F], C2=C4==2[/lF], C3=3[j!FJ.



slika 2.18!

Rjesenje:

Kada je prekidac P otvoren elektricno kolo je prikazano na slici 2.1S1 .a.

E2

r---1!-~

c~2t ,,-0l

C H~ -~i Dol ~

E3 R 3 -5 Cs

slika2.1SJ.a

Za odabrani evor zakonu su:

konture, jedn3.cine po prvom drugom Kirhofovom

evor 3:

kontum I:

Jecinosmjerne struje 293

konlllra II:

cyor 2:

(~vor 3:

2~:'1 odabran(~

kontura I:

+

nalaze se u istqj grani, pa je protekla kolicina ista (q3=Q5)' Kako kondenzatori prethodno nisu bili

vrUednosti u sistcm jednacina njihovim

P kolo postaje kao na sliet 2.181.b.

sli/m 2.181.[;

po prvom Kirhofovom zakonu su:

po Kirhofoyom zakonu su:

=0,

EJektrostalicka kola

kontura If:

kontura Ill:

gdje je:

n' -'t<':J -

r~jesavanjem sistema jednacina se:

Protekle kolicine prekldaca su:

kroz kondenzatore nakon

Q2'"

q.." ::.::: = 34 q4·--

-::::-!

l~akon

",

.+ +. +

-.- -- ---'~' ,- ~.-.- "-"-"-~'''--'---'-''"-'-------'-'--_ .. ------_ .. __ ._--_ ...

"

I ~ .


Prirastaj elektrostaticke energije iznosi:

Ukupan fad svih generatora u toku prelaznog procesa je:

Ag = E1q! + E 2q + E 3Qs =: 2,83 [m]],

gdje je koiicina naelektrisanja protek!a kroz generator elektromotorne sile E:z:

Na osnovu zakona odrZaoja energijeAg=AJ+L1 We, znaci da ie rad pretvoren l"

toplotu tokom prelaznog procesa: -,,'

2.182.

296

Kad~ ~e prekida~ u kolu sa slike 2.182 prebaci iz poloZaja (1) U

poloZ~1 (2), kroz kondenzator protekne kolicina naeiektrisanja q, U

naznacenom referentnom smjeru. Odrediti elektromotornu sHu E Izr~cU!:ati struje u svim granama kola i provjeriti teoremu ~ odrzanJu snage, kada je prekidac u poloZaju (2), u stacionamom stan~u. Poznato je: R=2Rs=1O(.Q], E2=2E]::::1[V), Is::::O,5[A], q=5lnC], C::::4[nF].

t

c~-\-l ~_..2.q_11 -~

I----- __ +_J

2R

R E2

slilu.l 2,] 82

Eiektrostaticka kola

______ ~O_S.NOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirka.:,.:z:::.a:.:;ci:.::a:::.::tl:.:;lka=-_____ _

Rjesenjc:

Kolicina naeJektrisanja koja protekne kroz kondenzator proporcionalna je promjeni napona izmeau prikljucaka kondenzatora, nastaloj prebacivanjem

prekidaca iz polozaja (1) u polozaj (2),

q=C(U" -U')=:CnU.

Prema principu superpozicije LlU je napon izmedu prikljucaka kondenzatora, kada u kolu sa slike 2.182 dje1uje sarno naponski generator elektromotorne

sHe E (slika 2. 182.a).

slika 2.182.a

Sa slike 2.182.a

paje:

q c, E:::: 4nU =: 4-'- = 5 iVJ'.

. C"

Za odredivanje struje u svim granama kola kada je prekidac u poiozllju (2), potrebno je rijesiti kolo sa slike 2.i82.h.


n1etode konturn~.b

j-il

Xm :-::: Is'

si::;tcrna,

4

slika 2. j 82. b

po

i I'

--

.+

stun:! snaga k(lill

snage.

2.183 kao na slic!

0-

q

c

E5

slika 2~ 183

iznos~:

\ q j,

R -snaga na 11 tr napon kao

~13 .'1iie1: 2, .l83_(.L ·Ostatak Kola je z",mlj{:::men "T-evefJ.cnOVlIl1 generatOTorn.

Jedll05~mi~rnp. ~tn!i.p

OSNOVI ELEKTROTEI-lN1KE Zbirka zadataka

. ------- --I

B

sli/w 2.I83.a

1

ii g I. I 1

___ L __

Dakla, ria osnovu gornje jednacine protekla kolicina naelektrisanjaje:

odakle je elektromotoma sila Tevenenovog generatora:

Er = 1 c

R'

Ekvivalentna otpornost Tevenenovog generatora (stika 2.]83.b) je:

gdjc je:

paje:

ET = -100 [vl 300


OSNOVi ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ______________ _

slika 2./83.0

Sa druge strane, elektromotoma sila Tevenenovog generatora ET je napon na otvorenim krajevima A i B, kola sa :>like 2.183.c.

Sa slike 2.183.c se vidi cia je:

1z cega je moguce zakljuciti cia je najlakse kolo rij~~iti met~dom ~ote~.cijala cvorova. S obzirom na prethodno odredene potencljele V l I aovolJl10 napisati jos dvije jednacine:

G::] Vi +G 22 V:: +G 23 V) =I n ,

A

r f

B

siika 2.183.c

Jednosmjeme struje ]01

2.184.

()Sl\/()VI

:= ~-~~ -t- '-- - 1--f(J

Odrediti

III

15 kada

slika 2.184

(~VOr0Va su:

[sJ,

+- +

s~ste~na

ka.o

kondcnzator

Eleklroslalicka kola

Stanja II kolu sa slike 2.184 opisana tekstom zadatka prikazana su na slikama 2. 184. a, 2. J 84.h i 2. 184.c, respektivno.

slika 2. J 84.£1

slika 2.184. b

slika 2.] 84.c


Na slid 2.184.d i slid 2.184.e Dfikazano ie stan;e sa °f'I'I-e ? 18:4 I, ; s{'k ? 184 I' -'" J ,j ,K -. ,. / • • I e _. ..C n3 (oD lzvrsene kompenzacije odgovar~uCim idealnim 'struJ' ~im generatofom.

j' R3 E3

, r~-r---CJ~II--. --I

--I L / TE

4 _. __ / I __ _ -----"' __ ~ ____ J

slika2.JS4.d

slika 2.IB4.e

Prema pril1C'pU ..' .. .~ . . " , .,. ,I. SUP~lpoZlClJe, a konstenJem teoreme kompenzaci'c za kol Sa 511ke 2. J 84. a, doblj3 se: J 0

PI'W'- r-ran F' kada l' 'k I ,. I' , .: • v "" -: '-' 0 U oJe uJu SVI generatori sem stru'no" uu,";;,'" , ('"1"""""",1""'" '1 ' J b ~~Ku,J!l UulHC Sl.e aatog i aI) struja prve

samo generator struje Is- -

Se:


______ -=O:::.S:...:N:::.O...:V..:.I.::;E:::::::LEKTROTEHNIKE Zbirka z,a{'-q!f!:_~~ _______ - __ ._-__ ··

Eliminacijom koeficijenta proporcionalnosti, a (prirode provodl1osti), iz

prethodnih jednacina, dohija se:

Napon 113 krajevima kondenzatora pri zatvorenim prekidaCima je:

a elektrostaticka energije kondenzatora:

2.185.

1 OJ r'] We = Z'CUc :::: 4911lJ .

U kolu na slid 2.185 poznate so. otpomosti, jacina struje strujnog generatora II, jacil1a struje I u grani A-B i kapacitivJ10st kondenzatora. Koristeci Nortonovu teoremu odrediti: a) e!ektromotornu siJu izvora, b) snagu koju elektromotoma sib. dajc kolu, c) naelektrisanje kondenzatora, intcnzitet i smjcr.

A

D

slika 2.185


I(arakteristike generatora s.e mClrgu odrediti sa //like 2~ 185T{l i

D

J85.L'r

N -- ----------

generatora dato se rnoze kao na

Blektrostaticka kola

Sa siike se vidi da

odakle

b)

T '"N

P ==- EI ==

elektmmotoma sila E

c) kondenzatora

-R 7,96

od tacke B ka tacki A.

C I , I

r-i I

JednOs.mjenle stru~e

"lika 2.186

2.186.

OSNOVl ELEKTROTEHN1KE Zbirka zadataka

U kolu 113 slid 2.186 pozn3le su vrijcdnosti: 11=O,2[A], J2=O,8[A], R2=I[kQ], R3=2,5[Q], R4=50[Q], Rs=JO[Q], C1=4[IlF], C2=8[IlFl 01=0,02[S], E3=21Vl Odrediti:

a) vrijednost otpomosti otpornika R tako da se na njemu razvija maksimalmi snaga,

b) u slucaju pod a) odrediti elektrostati<;ke energije koje posjeduju kondenzatori C1 i C2 u stacionarnom stanju.

a) Uvoaenjem ekvivalentnoih naponskih generatora kolo se moze predstaviti leao na slici 2.186.a.

c

siika 2. 186. a

Vrijednosti elektromotornih sila i otpornosti ekvivalentnih naponskih generatora su:

Vrijednost olpornika otpornosti leada se na njemu razvija maksimalna snaga, odreduje se sa "like 2. J 86.h kao:

gdjc


OSNOVl ELEKTROTEHNfKE Zbirka zad~a:::ta::::k:::a,--_____ _

c

slika 2.186.b

b) Aka sc kola na slid 2. 186.a transformise u kolo na slid 2.186.c onda je:

Jacina

E3 R4 _ =

R+R.,

U Kolu

Jednosmjeme struje

[v],

-"-----"-=47,62 fQ],

R =25

slika 2.186.c

309

pa je napOG na kondenzatofll

a rwpon kondenzatoru

1'-::::: UJ\B

Eiektrostaticka

+ T_ .l -

kondcnzatofa je:

prebaci fZ koiicina

referentnim smjerom. Odrediti otpornost i snagu strujnog generatora, u stacionamim stanju.

C::::O,s1 j.lFi, EI==76[V], E]=6[ V j, EG=46[V], Is==20[mAJ, R4=200[Q].

slika 2"187

Elektrostaticka koia

ELETKTROT/}f!~Y.~!~l!:. .. ?!?irka ;:,aC1QIaI,:a

je odrediti napon

tJ 23 :=4 ] .

teoreme () rnoze se generatororr~? elektror:.t)otorne sile:

C}vak() rnodifikoVBXlO koio J8 nekOiTo 00.

rnetoda za s!ozenlh eiektricrdh kola.

uzrne kao referentnj .2.

-1--~--.

+

sfika 2. 187.a

Iednosmierne struie 3il


FJesenje sistema jednacina su potencijali:

lacine str~ja u pojedinim dijelovima kola su:

Otpornost otpomika R5.ie:

U R ::::-2l :::: 100 In l-I

Z3 L -

Snaga strujnog generatoraje:

sIika 2.188

312--------------------------------------------Elektrostaticka kola

2.188.

Rjdelllje:


U elektricnom kolu na slici 2.188, odrediti napone i naeiektrisanja na svim kondenzatorima. Kondenzator C 1 je prethodno bio naelektrisan kolicinom naeJektrisanja QlO=20[nC]. Ostaii kondenzatori nisu bili naelektrisani. Poznato je: RI=R2=Rs=2[Q}, R3=R4=3[Q], R6=R7=2,5[Q], E,==21[V], E2=6[V], E3=1O[V], Is:=2IA], C1=1[nF], C2=2[nFJ, C3=C4=4[nFI, Cs=5lnFJ.

Kako kondenzator predstavlja prekid u kolima jedoosmjerne struje u stacionamom stanju, to se kola sa slike 2.188 moze predstaviti kao kola oa sliei 2.188. a.

stika 2. J 88. a

Za odabrane smjerove kontumih struja prikazanih na sliei 2.188.ajednacine metode konturnih struja su:

Jacina struje prve kouture je:

Kroz otpornik otpomosti ne protice stmja tako da nema napona na njegovim krajevima. Kondenzator C5 je prikljucen parelelno otporniku otpornosti R7 paje:

Jednosmjerne struje

kondel1zatoru

kontura

E'LEf{TR{)'{,EJ-flvfl(l? Zbirka zadata/~L:

+ n

slika 2. 188.b

i stacionarnih kolicina qQ""".,;." sa slike

Elektrostllticka kola

OSNOVl ELEKTROTE'HNIKE Zhirka zadataka

kontura II:

Protekia kolicina naelektrisanjaje:

(b =-4,57 LnC], (h =~26,86[nC),

Stacionama kolicina naelektrisal1ia na kondenzatorimaje:

a napon na kondenzatorima je:

20189.

() -oJ "- TT - '-<'i - '54'2 fV] \ rj - L "0 - - - .l~, .J l '

'-' r~ a--' '--"1

Odrediti protekle kolicine naelektrisaPJa kroz grane sa kondenzatorima u elektricnom kolu na slid 2.189, od trenutka zatvaranja prekidaca P do uspostavljapJa novog stacionarnog stanja., Odrediti i napone na njihovim krajevima U oba stacionarna stanja. PozHato je: El'=2S[V], E=2[VJ, El'=5[V], E6=16[V], R!=8[D.j, Rz=R6=1 [12], R3::=3[Q], R4=R5=2[Q], Is=5[A],

C1=Cz",,2[lJ.F], CF4(lJ.FL C=8[lJ.F].

"Jedn6smjerne struje 315


IS

t

slika 2.189

Rjesenje:

Kada je prekidac P otvoren, elektricno kolo u stacionamom stanju (bez kondenzatora) je prikazano 11£! slici 2.189.a.

IS ~ I---.... D

,

stika 2.189.a

Sistemjednacina napisan po metodi kontumih struja za kolo sa slike 2.189.a je:

316 EJektrostaticka kola

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadatako

(R2 + R3 + R 4 )I j + R4 I Il - R3I m = E4

R4I

J +(R6 + Rs + R4 )111 + R)1ll = E4 + E6

Uvrstavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistem jednacina:

Cija su rjesenja konturm;: struje:

N t·· 2189 b prH"azano ie kolo sa kondenzatorima u slucaju otvorenog a S Ie!. . , J

prekidaca P.

IS

i D

slika 2.J89.b

Napon ua kondenzatoru C je:

U (I) -U(l) -R (1 -I )-(-E1J =8 fv]. c - AB- 3 1Il I ~


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka za:::d=a:::ta::::k=a~ _____ _

Kondenzator C prethodno nije bio naelektrisan, pa protek!a kolicina naelektrisanja ce biti jednaka stacionarnoj kolicini naelektrisanja u slucaju otvorenog prekidaca P i iznosi:

S obzirom cia kondenzatori C}, C2 i C3 prethodno nisu bili naelektrisani koliCina naeJektrisanja fe, takoder, biti jednaka stacionarnoj kolicini

naelektrisanja. Da oi se odredila protekla kolicina naelektrisai~ia definisane Sil sijedece jednaeine po prvom i drugom Kirhofovom za~ontl:

evor 0:

kontufa I: :::: U(J) BC'

u(l) _ BC

kontura II: q~l)

-, -"-+ -- U(l) C C ,- co' 2 3

(I)

u(1) =:: CD

prethodnog dobija se:

(I) =:: Qi l) == 3 U-tcj,

( ') '1) 0 U I = U\ = -=:1.. ::::; C, flO r

~j

u(l) ::::: U(I) :::: Q2 :::;; 10 5 LV] C2 oc ~ " ,

2



u(l) :::: U(!) == Q3 == -4,5 [V]. C3 OD ~3

Na slici 2.189.c prikazano je elektricno kolo u stacionarnom stanju (bez kondenzatora) kadaje prekidaiS P zatvoren.

Is t

slika 2.J89.c

Sistem jednaiSina napisan po metodi konturnih struja je:

(R2 + R3 + RJl j + R4 I n + R3 I m +OIIV == E4

R4I 1 +(R6 + Rs + R4)In - Rs1m +0I 1V == E4 + E6

R3I j -R5I n+(Rj +R3 +Rs)Im +RjIJV ==E-E1

Uvrstavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistem jednacina:



cija deserlja su:

II == 2,388 rAJ,

III == 0,633 [A],

1m = -5,531 [Aj.

Na slid 2.189.d prikazano je kolo sa kondenzatorima u slucaju zatvorenog prekidaea P.

slika 2. 189.d

Naelektrisanja kojim Sil se kondenzatori naelektrisali u prvom stacionarnom stanju (prekidac otvoren) predstavlja6e pocetna naelektrisanja kondcnzatora u slucaju kada je prckidac P zatvoren. Da bi sc odrcdila protckla kolicina naelektrisanja kroz kondenzatore C!, Cz i C3 definisane su slijede6e jednacine po prvom i drugom Kirhofovom zakonu:

evo!' 0: _q(2) +q(2) +q(2) == 0 -" J 2 3 1

kontura I:



kontura II: Q~l) +q;2) + Q~l) +q;2) == U~,

C 2 C3

U (2) -R I -E - 6 n 6· CD

Rjesavanjem prethodnog sistemajednacina dobija se:

q;Z) == -45,62 ~C],

q~2) =-14,72 ~C],

q\2) == -30,91 Ij.tC].

Stacionarne kolicine naelektrisanja su:

Q;2) ==Q;l) +q;2) ==-42,62~C],

Q~2) =Q~l) +q;) ==6,28 file],

Q~2) == Q~l) + q~2) == -48,91 litc l

Napon na kondenzatorima je:

(2)

U(2) == U(l) == ~ == -21,31 [V], Cl 30 C

1

Q(2) U(2) == U(2) == _2_ == 5,25 [V],

C2 oc C2

-

Q(2) U(2) == u(Z) == _3 == -12,23 [V].

c} OD C3

Napon na kOlldellzatoru C u slucaju zatvorenog prekidaca P je:

U(2) -U(2) =R (I -I )-(-E1 )=12,67 [V]. c - All 5 !If II


OSNOVl ELEKTROTEHNIKE Zbirf,u zadataka

Stacionama ko!icina naelektrisanja na konden7..atoru

Q,(2} -- D(2}" = 10138 C - AS'L- ,

a protekla kolicina naelktrisarJa kroz kOlldenzator C je:

2.190.

2.

n (2) --: Q(2) _ "-A -

Kondenzatori jednakih kapaciteta C cine bateriju U obliku kocke kao sto je na shci 2.190. Odrediti ekvivalenL.'1u kapacitivnost kondenzatorske baterije izrneau tacaka A i B.

6,r1 ==-1{. ........

" ~J

c

slika 2.190

C j = i C3=300[pF] bez i kondenzator kapacitivnosti C;~=100rpF]

prikazani su na slici elektromotorna sila generatora E=14(V], odrediti

napon na kondenzatora i nae!ektrisanje u stacionamom stanJu kada 5e prekidac P zatvori.



CI

~ ~ IhB \ itQ20

E1.L J C,

D .>-----1\ ~--- C

C3

slika 2.191

RczuUat: DAB =-10 [V], Dsc =O[V], U CD =-3[V],

2.192.

2.193.

Q =-12fnC],QBc=O[nC],QCD=-1,2[nCL ~AB ' ~

Za elektricno kolo prikazano na slici 2.192, poznato je RJ=R2'=lO[n], R3=Jt.=5[Q], EJ=200[V], E3=lOO[V], C=O,3(/1F). Po~lije zatvaranja prekidaca P, kroz granu sa ~?~d~:lzatorOl.11 protekne kolicina q=20[/1C]. Odredlt! jacmu struJc

Is strujnog generatora.

sMa 2.192

kolicinu naelektrisania kroz granu sa kondenzatorom kapacitivnosti elektricnog kola sa slike 2.193, od trenutka zatvarania prekidaca P do uspostavljanja nov~g stacionamog stanja. Koliki je prirastaj elektrostaticke energlJe

323 Jednosmjeme siruje


kOlldenzatora? Poznato je: CJ=l [)J,FJ, C2=2[)J,Fl, C3=3()J,F],

R!=l[Q], R2=2[Q], R3=3[Q], RF4[QJ, E=20[V], Is=l[A].

p

IS

t

slika 2.193

RezuJtat: q' == - ~ [Ile] ,

2.194. Odrediti napon UAB u elektricllom kolu l1a slici 2.194, ako pocetno na~J~k::.isan.!e . na konde~zatoru C6 iznosi Q=5()J,C]. Prije pnklJuclvaflja Izvora ostah kondenzatori nisu bili naelektrisani. PrekidaCi PI i P2 prebacuju se istovremeno. Poznato je: C J=l[I1F), CF2[)J,F), C3=4[)J,F], C4=3[)J,F], Cs=6[)J,F], C6=5[)J,F], U=6,5[V).

slika 2.194 324 .--------------______ _


OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ._-----

Rezultat: U AB=-3,5 [V]

2.195. U datom elektricnomkolu, slika 2.195, potrebno je odrediti napone na kondenzatorima prije i poslije zatvaranja prekidaca. Poznato je: EJ=12[V], E2=6[V], E4=3[V], RJ=l[Q), R2=2[Q], R3=3[Q], ~=6[Ql, C1=l[)J,FJ, C2=2[I1F], C3=3[)J,F], C4=5[I1F], C5= 17,5 [I1F].

C

slika 2.1S3

C5

P

D

Rczultut: U lAO = 7,5 [V], U;AO =7,9 [V],

U~oe:::: 10,1 [V],

U~OIl :::: -4,1 [V],

2.196.

U zoe:::: 10,5 [V],

U30B :::: -4,5 [V],

U 4 :::: 3 [V], Bn -

, 71 [ ] U =-- V 4BD 5 '

Odrediti naeiektrisanje na kondenzatoru kapacitivnosti C6 u elektricnom kolu na slici 2.196, nakon sto se prekidac prcbaci iz poloz.aja (1) u poJozaj (2). Poznato je: E1=20{V], E2=1O[V], C1=C2=C3=3[I1F], C4=4[I1F], Cs=C6=2[I1FJ, Rl=5[Ql, R2=15[Q].

J ednosmjerne struje._

OSNOllJ ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

slilm 2.196

2.197.

C 1

R

L ___ C2:r C3~r i~J D

slika 2.197

EJektrostaticka kola

2.198.


u;~:, :::: 10 [V],

Q(Z) := 10 LC] 2PB UA-, U(2) := 10 [V]

2PB '

Q(2) =20 LC] 3A13 jj.t,

Q (2) := 20 ruc] .4i\B U, U(2) = 10 [V] .

4AB .

Izracunati kolicinu naelektrisanja koja protekne kroz kondenzator C, slika 2.198, nakon zatvaranja prekidaca P. Poznato je: E1=5fV], E2=1O[V), E3=25[V], C=lO[!1F], R 1=20[£1], R2=50[£1], R3=30[£1].

sMa 2.198

Rezl.llitat: q Au :::: -60 [j.!C] .

2.199. loa oba poiozaja prekidaca P u elektricnom kolu prikazanom na slid 2.199, odrediti napone i naelektrisanja na svim kondenzarorima. Poznato je: E 1=E2=lOO[V), C1=C2=C3=l[nF], Rl'=Rz=R3=1O[£1].

slika 2.199


Re:ndtat: polozaj (1)

2.200.

328

/U;lJ/ = 100 [V],

/U~I)I == 50 [V],

IU~l)1 = 0 [V],

polozaj (2)

IU;Z)I == 0 [V J,

lU~2)/ == 50 [V],

/U;2)/ = 50 [V],

IQ;IJ/ == 100 [nC],

IQ~I) / == 50 [nC],

/Q~I)1 == 0 [C].

/Q;2)1 ==0 [C],

/Qi2)/ == 50 [nC],

/Q;2) I == 50 [nC ].

~ elektricnom kolu na slici 2.200, poznato je: Cl=25[~Fl, ~2==C3=~0[~F], C4=15[~F], C5=1 2[1lF], Rl=5[.Q]. Kondenzatori su ~ ~vo~etnom stal1ju nenaelektrisani. Zatvaranj~m prekidaca PI bahstJckl gaivanometar registru!J'e k l'v, 1 k' . ' =1 . Olcmu nae e tnsanJa ql . ,4[~1C]. Nakon toga, zatvor! se prekidac P2 i galvanometar reglstfUje Q2=-0,4[mC]. Odrediti: a) ekvivalentnu kapacitivnost izmedu tacaka A i B b) unutrasnju otpomost R generatora elektromotor~e sHe E.

slika 2.200



Rezultat: a) CAB=15[pF]. b) R=2(Q].

2.201. Svi kondenzatori prikazani na slici 2.201, su prije vezivanja u kolo bili nenaelektrisani. Izracunati protekle kolicine naelektrisanja kroz sve kondenzatore od trenutka zatvaranja prekidaca P do uspostavljanja novog stacionarnog stanja. Poznato je: El=lOO[V], Ez=200[V), E3=300[V], Cl=C5=1[~F], C2=C4=2[~F], C3=3[1JF1·

Rezultat:

2.202.

E C5 L-----i

3 1-1 ----II slilw 2.201

Odrediti napon i naelektrisanje na kondenzatorima sa slike 2.202, prije i poslije prebacivanja preklopke iz poloZaja (1) u poloZaj (2). Poznato je: C1=1O[1lF], C2=20[~F], C3=30[~F], E=50[V], R=lO[.Q].

slika 2.202


OSNOVI ELEKIROTlIHNIKE Zbirka zadataka

I{~z!dlt21t: polozaj (1)

2.203.

U (l) -- n 1 -v

u(l) 0::; 50 2 A13

polozaj (2)

U(2) =0 fvl 1 _ J,

Q~l)=O[CJ,

Q~:~B = 1 fmC],

Q;1) = 0 [c].

=1

Odrediti napone i naelektrisanja na svim kondenzatorima sa slike 2.203, kada se prekidac P prebaci jz polozaja (1) u poloz<lj (2). KOl1del1zatori nisu hili naelektrisani. Poznato je:

C 1=:Cj=Cs=2[I.1FJ, C2=4[WJ, C4=l(W],

slika 2.203

Tjo---------'---------~---Elektrostaticka kola

2.204.

=0

=20 =80

=0

:5 ==10 =20&tCJ.

=20

=20 =40

==10

=10

U e!ektricnom kohl na slici 2.204, odrediti napone, te protekla i stacionama na svim kondenzatmima. Konoenzalori

i C4 SIl prethodno bili naelektrisani koliCinama naelektrisanja Qi\}-~l(j.iC} i Q4o=2[pQ, respektivno. Ostali kondenzatori Sil hili

nenaeiektrisanL Elektmmotoma sila izvora je: E!=Ez=lO[VJ, a

=14

=6

kondenzatora Ct =Cz=C J=C4= l[J:LFJ.

Q3CD = 6 ~CJ.

Q4 =6~C], CD

= 25 I)J.C],

q}CD =6!!tC],

Jednosmjeme stmje

OSNOVI E'LEKTROTEHN1KE Zbirka zadataka

slika 2.204


OSNOVI ELEKTROTEHN!KE Zbirka zadataka

Prilog 1

KOORDINATNI SISTEMI

P.I.I" Pravougli koordinatni sistem

Pravougli iii Dekartov (Rene Descartes, 1596-1650) koordinatni sistem Cine

jedinicni vektori i, j i k prema slid P.] .1.

slika P.I.]

Na slici P.l.] prikazan je pravougli koordinatni sistem, polozaj tacke jedinicni vektori.

Vektor polozajatacke P sa koordinatama (x,y,z) je

r==xi +YJ+zk,

a zajedinicne vektore i, j i k vrijedi

j·j=j·k=k·i=O, -...".....,. -~

ixj =k; jxk == i; hi == j"

Diferencijalni dementi duzine u smjeru koordinatnih osa su dx, a element zapremine je dV =dxdydz.


_____ -"O'-'-S'-'-N __ 0=----cVl_E __ L=EKTROTEHNlKE Zbirka zad __ a::..ta::..k __ a~ __ _

ledinicni vektori iif

, au i k koji cine

prikazani su na slid PJ2 .

. /"~'

x I

slika P.1.2

Na slid PJ2 prikazanje cilindricni koordinatni jedinicni vektori.

2a jedinicne vektore vrijedi slUedece:

- -a r :::: cosed + sinaj,

au :::: ·-sinai + CGsa} ,

i ::::cosaaf

sinaau '

j :::: sinaa r + cosaa a •

koordinatni sistem

poloz.aj tacke i

Jedinicni vektori ar , a", i Ie zadovoljavaju slijedece reiacije

ii f • af< ::::::if< . k:::: k· 11, :::: 0,

arxu" == k;uo:xk :::: ar ;

Diferencijalni elementi duzine u smjeru koordinatnih osa su dr, fda i dz, a eiementzapremine je dV= rdrdadz.

Koordinatni sistemi

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ~~~'-'-----------------

l'.1.3. Sfcrni koordi.natni SHStCIll]

Sferni koordinatni sistem cine jedinicni vektori a f , ao j au' Na slici PJ3

je sferni koordinatni sistem polozaj tacice ijedinicni vektori.

siika P.J.3

Odn05i izmedu jedinicnih vektora pravouglog sistema su:

= sinBcosaT + sinBsina] + eGsElk ,

ao = cos8cosaI + cosElsin(x,J- sin8k,

a". :::: -sinai + cosaj ,

T =: sinElcosaa f + cos8cosaa e - sinaa u '

} :::: sin8sinaa r + cosOsinaao + cosaa a ,

l~ :::: (;OsSaI' - sin8ao'

sfemog koordinatnog

ledinicni vektori ar , ao i a", zadovoljavaju slijedece reiacije

Difcrencijalni elementi duzine 11 smjeru koordinatnih osa su dr, fdEl GiI:nCIU\.)(.. a element dV:o::: ,2sin8drd9da.

Jednosmjerne slruje

OSNOV! ELEKTROTEfINIKE Zbirka zadataka

Prilog 2

Maiematicke fonmde

/(ompleksni brojevi

j=~H, h = j..r;;, ·2 • ., . ·4 J J =-1, F=-J, J =+~; ·4k+! . ·4k+2 1 ·4k·!-3 . ·4k J =J,J =-,J =-j,j =+1, (k=0,1,2, ... ); (a+jb)±(c+jd)=(a±c)+j(b±d); (a+jb)+(a-jb)=2a; (a+jb)( c+jd)=( ac-bd)+j(ad+bc); (a+jb )(a-jb )=a2 +b2;

( 'b) 1" ac + bd be - ad 3+J" :\c+Jd)= 0 " + l---

c~+d- +d 2 '

Moivreov obrazac

(cos<p ± jsimp )"=cosn<p ± jsinn<p;

I . . <p + 2kn .. (D + 2kn '\ cos<p ± ]Sm<p == COS + JSln -'----, (k=O, 1, ... , a-I);

n n

Svojstva tri.:f!mWli'letrii.\~ki!J

Definicija funkcija (a, b katete pravouglog trougla, c hipotenuza, a i f3 I.lglovi nasuprot a i b, slika P.2.J):

. a f! Slll(J. :::: ~- ::: ('osp

e

b . :fJ casa =-= Sin C

sfika P.2.1

a tgo. = -;-" = ctgfJ

b

b ctga = - = tgfJ

a

336~----'--------------_______ _

Matematicke fonnule


Osnovni odno::;i:

sin\x+ cos 2a = 1 sina

tga=--cos a

cosa ctga=-. -

sma tga·ctga == 1

ZnacifunkcUe po kvadrantima:

Kvadrant sina I + II + III -IV -

Vrijednosti funkcUa nekih uglova:

funkeija 0 nl6 nl4 sina 1 .J2

0 - -2 2

cosa J3 .J2 1 - -

2 2 tga J3

1 0 -3

ctga too J3 1

FunkcUe zbira i razlike

cosa + --

+

nl3 nl2

J3 - 1 2 1 - 0 2

J3 too

J3 0 -

3

sin ( a ± B) = sina· cosB ± cosa . sinB

cos(a±B)= casa· cosB + sina· sinB

( A) tga±tgB to a ± jJ = ---"'---':::':"'-o l+tga.tgB

( n) ctga,·ctgB+l ctg a ± p = ---"'----'"-'---ctga±ctgB

Jednosmjerne struje

!.Ka + -

+ -

n

0

-1

0

too

ctga + -+ -

3n12 2n

-1 0

0 1

too 0

0 too

337

OSNOVi ELEKTROTEHNIKE

sin2a ::::

sino. =

J -cosa=:

,a .Yln- ==

2

a cos-- :::::

-t-

.1'''''\,<,'1'' poluugla

a 2 2

a 2

2

2

-coso.

2

COSfX

2

-coset

2

Matematicke formule

OSNOVl ELEKTROTEHNlKE Zbirka zadataka

Ct+13 sinfY. - = 2cos2

a+8 a-13 cosr!' + = 2cos --'-cos ---

2 2

a+ "a-13 coso. - cosl3 = --2sin sm--2 2

1 l / \ (D \1 --!N,,,la-RI-cns a+-u i' -- I") L"-"U;.') \ ~...J'./ J \" j;.tJ

L.,

111 • sina ± n . cosu =

Praviio 0 sinusinlC!

a : b : c = sina : sinf3 : siny

Pravi10 0 kosinusima

a 2 = b2 +- c

2 - 2bc" cosa

b2 ::::a 2 +c:2 -2ac·cosB

+ b2 - 2ab" coS'{

b2 +c2 _a2

cosu = ------2bc

cosy:::: --2-u-b-

n:(U'I<Cl'-"<lic pravca

y=kx+n

Jeonosmjeme struje

/ " . I , ,n \ . slnl a::t arctg- i

\ ill )

I

I I


gdje jc:

k == tga .. koeficijent pravca (tangens ugJa koga pravac zaklapa sa pozitivnim dijelom x-ose)

n - odsjecak na osi y

JednaCina pravca krozjednu tacku (Xl, VI):

y - y :::: a(x - x ) J I,

JednaCina pravca kroz dvije tacku (XI, YI) i (X2, Y2);

Kruznica

Sredi.~nja jednaCina kruinice:

2 2 2 X + y == r

Op§tajednaCina kruinice:

Infinitezimalni meun

Derivacije jednostavnih funkcija

vex) v'(x) vex) y'(x)

1 x" ax a- I aresinx

~ 1 a 1 "--- ---

X a

Xa+i arccosx ~

1 1 -r;. 2JX arctgx ---1 + x 2

1 1 1 _. --X 2 arcctgx ----

X 1+ x2

3400--------------------------------------__ __ Matematicke formule


vex) -'

y'(x) vex) y'(x) 1 2

- - secx sinxsec2 x 2 X3 x eX eX cscx 2 - cosxcsc x aX aXlna slrx chx

1 inlxl - clrx shx x

laga e 1 2

log" x -- tlrx -2-= I-th x I

x eh x 1 ?

sinx cosx ctlrgx --2- = l-ctlr-x sh x

1 casx - sin x arshx .Jx +1

1 1 tgx -.--2- = 1 + tg 2 x arehx ~ cos x

1 -1-ctg 2 x

1 ctgx ---- arthx • 2 1- )( sm x

Derivacija zbira i razlike

y == u(x) ± vex) ± z(x) =? y'= u'±v'±z'

Derivac!ia proizvoda i kolicnika

y = u(x)· vex) =? y'= u' v + uv '

u(X) ,u' y - UY' y=--=?y=

vex) y2

Derivacija sloiene funkcije

Akoje y=f(u) i u=g(x)

tadaje

I du y== 0-

du dx iii

Jednosmjerne struje

___ OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka

Jntegraini racun

I~ ax ; J

f dx x J ~~~F=== = arcsin - ; a 0 A 2 a

1 sinaxdx ::.:; -' ._.- cosx

a si'n2ax

4a 1

:=; ~--SU1

na

fax -=lnlxl , x

sinxdx = -casx

== -ctgx

1 x ==-arctg-

a a

J~",=d=X= = lnlx -I- f;,.-2-+ al +a

r " , .J chxflX :=: snx

r 1 1 >

I cosaxax :::-= -" ,.\'U2X " a

x sin2ax. ::c:: -" + ----~----

a 4a

1 _ n--I ::-.: --Slnaxcos ax +

na

Matematicke formule

Ac~

B~ fy .110 E£ Zr, Hll GEl It KK AA M!! Nv

3~ 00 Dr.: Pp La T'l: Yy <p$

Xx '¥ \If Q((}

OSNOVI ELEKTROTEHNJKE Zbirka zadataka -=~~==~~-----------

Prilog 3

a alfa b beta ggama d delta e epsilon z zeta e eta t teta j jota kkapa I lambda mUll om x ksi o omikron

p pi rro s sigma t tau y ipsilon ffl h hi ps psi o omega

lednosmjerne struje

I

OSNOVI ELEKTROTEflNIKE Zbirka zadataka

Prilog 4

Dedmaine mjeme jedinice i sistemi

Decimalne mjeme jediniee i sislemi su decimalni dijeiovi i dekadski umnosci mjemih jedinica, a obrazuju se od mjernih jedinica SI sistema i sljedecih sedam mjernih jedinica van SI sistema: litar, teks, bar, val', vatcas, elektronvolt i voltamper, a Cijaje upotreba zakonom dozvoljella.

Decimalne mjerne jediniee se dobijaju mnozenjem mjerne jediniee odgovarajuCim ciniocem iz tabliee PA.!.

Nazi vi i oznake deeimalnih mjernih jediniea dobijaju se od S1 jediniea stavljanjem naziva i cinioca ispred naziva iii oznake mjeme jedinice j pi811 se malim slovima zajedno.

Primjer: mm - milimetar, dag - dekagram, dalm - dekulumen itd.

Decimalne l-njerne jedinice se primjenjlUu za prikazivanje raznih brojcanih podataka u praksi gdje osnovne iIi izvedbene jedinice ne bi bile dovoljno razumljive u pregledne.

Npr.: O,00723[m]=7,23'1O-3LmJ=7,23[mm]

Tabela Cinilaca decimaJnih mjemih jedinica Tablica PA.l

Cinioci decimalnih mlernihledinica za decimalne dijelove mjernih .ledinica dekadske umnoske miemih iedinica

Nazi v Oznaka Vrijednost Naziv Oznaka Vlijednost dee! d 10.1

deka cia 10' centi e 10'- hekto h 10" miE m 1O.j

kilo k ]03 mikro J1 10-0

mega M 106

nann n 10' giga G lOy piko ..Q 10- - tera T 101-

femto f 10-1) peta 1015 ..

P , ato a 1O-1~ eksa E I 101~ j zepto z 1O'~1 zeta Z 1021

joho y 1O-L4 jota Y [024

(yoero) (Yotta) ,.j}:....

,6 , 10 0,000001 10 =1000000

344 Decimalne mjerne jedinice i sistemi


Prilog 5

Tablice specificnih otporllosti

Tablica P.S.l Orijeutacioue vrijednosti specificne otPOlrllOSti za lIekc matcJrijaie na 20" [C]

Materijal .R[Qm] Materijal p[QmJ Alkohol 1,7 . 103 Rij eena voda (Sf. VI.) 50 Destilovana voda 104 _ 106 Zemlja suha 10'

Morska vod" 0,25 Zemlja vlazna 10L

Tabl1ca P.S.2 Orijentadone minimalne vri.ierinosti slledficuc otpoJrl.lOsti p i povrsinsice spccificne otpomosti ps za neke dicieictrike

J)~rQml ps[Qm] Dielektrik Eri relativnoj v]aznosti pri relativnoj vlaznosti

0% 70% 30% 90% Bakelit lOlL 1012 1011 LOX Cilibar 10 1011 10'" 1013

Drvo 1011 lOb 101) 105

Ebonit IOU WI: lOlL 10 1

Fibra lOlL 106 lO" 10' Kvarc 10 7 10 10' 105

Liskun lOlL LO 10 10 Mramor 1010 10" lOW 105

Parafin 10 7 10 7 1014 lOU

Polivinilhlorid meki lOY lOY 10° 10)

Polivinilhlorid tvrdi lOll 1011 lOy 106

Pre~an lO'L 107 10'1 10" lOlL

-. 1011 105 Staklo LO

I"

Selak JO U 1012 lO'L 10" Transformatorsko ulje 10 101

Jednosmjerne struje

..

OSNOVl- ELEKTROTEHNfKE Zbirka zadataka

Tablica P_5.3

I -no[Qm}r, a[lt1Cl I /3[lrC2] "([IrC

3] I' Opseg temperatura 1

I Metal I (x 10-8) (x 10-3

) I (x 10-6) (x 10-9

) za koji vazi formula i

t' I ~~

Aluminijum I 2,62 4,46 1,8 I 0,0 -80 do +400 I r Bakar I 1,588 4,27 I 0,0 O,O! -80 do +400 j

1_ Cink I 5,64 3,468' U 6 0,0 I -80 do +400

: ~_lo:o 19,8 I 3,955 2,65 0,0 I -80 do + 32Q I Platma I 9,83 ! 3,981 -0,585 0,0 -30 do + 1100

rlyZ~la~g~} ____ ~!~2~,~19~~r __ ~3~,6~5~~ __ 9~~·,O~ __ ! ___ O~.,~O __ ~ ___ -~30~do~+~10~O~O~~ I Ziva ! 94,07 I 0,91 I 0,811 I 0,0 -30 do +300 j

Legura Hromnikal (60% Ni, 12% Cr, 28% Fe) Konstantan (60% Cu, 40% Ni)

Manganin (84% Cu, 12% Mn, 4% Ni)

TablicaPS4 ko,efi,~H!~ntzll! !1eke legmre.

izmedu -50orQ i +9000rq, lll.

I Po [um} ! a [Irq i 137-10-;; 0,0000002 . 49-10-0 +0,00001

42-10-0 i O,OOO()2

i , ! I !

I Mesing (60% Cu, 40% Zn) 7,5-10-3 0,0016

~ Nihwm (80% Ni, 20% Cr) 100-1O-~ 0,0004 Nikelin (55% Cu, 25% Ni, 20% Zn) 45-10-8 0,0003 i

! Reot3n (53% Cu, 25% Ni, 17% Zn, 5% Fe) 52,5-Hr" 0,0004 !

346 Tablice specificnih otpornosti


OZNAKE KORISTENIH VELICINA I NJffiOVE JEDINICE

oznaka a b c d dg

dm dl dt dx dA dS dV e h m lTIc

n q

x a j k

1'11_

n lli

nIl f1mks

I1mp(

V

A Ag

A 13 c c

jedinica [ml [m] fm] [m] [m] [m] [m] [5] [m) IJ]

[nl) [m3

]

[C] [m] [kg] [kg]

[elm] lml Is]

1m]

Iml51 [Jl IJI [Jl

IF]

Jcdnosmierne struie

nazlv

rastojanje rastojanje rastojanje rastojanje precnik grijaca precnik mesinganog provodnika elementarna duzina elementarni vremenski period diferencijalni element duzine u smijeru x-ose

elementarni rad eJementama povrsina elementarna zapremina naelektrisanje elektrona visina masa naelckttisane cestice masa eiektrona broj elektrona protekla koiicina naelektrisanja kraz kondenzator

rastojanje vrijeme udaljenost dllZ x-ose ubrzanje naclektrisane cestice

grana elektricnog kola grana elektricnog kola duzina broj grana broj cvorova broj jednacina po prvom Kirhofovom zakonu broj jednacina po drugom Kirhofovom zakonu br;j jednacina po metodi konturnih struja br~j jednacina po meiodi potencijaia cvorova srednja brzina naelektrisane cestice

rad fad generatora fad pretvore:n u toplotu

tacka tacka tacka kapaciti vnost

---------------,347

D E E E Ee B-r F G Gc

ON H r

In Imax

Ip IA T 'N

Is J Jg

1m M N N' ,P p p

i)1 .( {{max

(1

J(kond

Zbirka zadataka iz OO'110Va elektrotelulike

[Vim] [VI [VI [V]

IS] lSI

rAI !AI lAI JA] lAI IA) JA)

rAlnll fAlm 2

]

IAlrr?]

Izavl I e!cktron/m" J

I J

[WJ LWj

[WI

tack a tacka

jacina clektricnog polja elektromotoma sila

elektromotorna sila ekvivalentnog generatora el~ktromotorna siJa Tevenenovog generatora tacka tacka

elektr~~lla provodnost ekvivalentnog generatora clektncna p" d N

v lOVO nost ortonovog generatora lacka

stalna jednosmjerna stru;a " . J

nOITlmalna vrijednost struje maksimalna vrijednost stl:uje struj<t kroz potrosac struje kroz amperrnctar

struja Nortouovog gcneratora slruja strujnog gcncratora intenzitet vcktora gustine struie

. J

gustmii struje 1I grijacu

guvstina strujc u mesinganol1l provodniku tack;: broj

za?,reminska gustina pokretljivih tacKa prekida(~

snaga snaga gcncratora snaga generatora

snaga na otporniku otpornosti

si


s S T D

Umax

U AD

Dc Uv V V W We We:

dS

dl

J k V

E J ex,

ex,

p p y 8 EO

£

[£1] [n] [£1] [n] [Q] [£1] [£1]

(V]

rVj IV] IV] lm}j [VI [f) [J] IJI

[m/s]

[Vim]

lTl [rad]

[l/0e] [rad]

IlIoC2J [lI°C3

]

[m]

fF/mJ [F/m)

lm]

Jednosmjerne struje

elektricna otpomost voda elcktricna otpornost provodnika elektricna otpornost potrosaca

elektricna otpornost na temperaturi 8 unutrasnja otpornost realnog strujnog generatora unutrasnja otpornost Nortonovog generatora unutrasnja otpornost Tevenenovog generatora generatora

povrsina tacka napon maksimalna vrijednost napona napon izme(iu tacaka A i B napon na krajevima (prikljuccima) kondenzatora napon na krajevima voltmetra (napon voltmetra) zapremina potenc~jal

energija elektrostaticka cnergija elektrostaticka energija kondenzatora vektor povrsine

vektor duline

jedinicni vektor dllz x-ose

jedinicni vektor duz y-ose

jedinicni vektor dllz z-ose

vektor srednje brzine naelektrisane cestice

vektor jacinc elektricnog polja

vektor magnetne polarizac~je

ugao temperaturni koeficijent ugao temperatumi koeficijent temperaturni koeficijent

sirina (rastojanjc) dielcktricna konstanta vakuuma

dielektricna konslanta sredine relativna dielektricna konstanta srednja duzina slobodnog puta stepen korisnog dejstva

P Pg Pm

PCu

Po IT

e 0, T

tiWc L".8

Zbirka zadataka iz OS/lova elektrotehllike

U2mJ rQml [QmJ

!kg/dml]

[Qmj [Sm]

lOCI !0C]

[sl

specificna otpornost materijaia

specificna otpornost grijaca spccificna otpornost rnesinga specificna gustina bakra

speci fiena otpornost materijala na temperaturi 8 specificna provodnost materija!a temperatura

radna temperatura

srednji vremenski interval izmedu dva sudara prirastaj elcktrostaticke energije promjena temperature

()l,nakc kori~telli!1 vcli<~liid

OSNOVl ELEKTROTEHNIJ(E Zbirka zadataka

LITERATURA

1. V. Bego: lVljerenja u elektroiehnici, OS1110 dopunjeno izdanje, Tehnicka knjiga Zagreb, 1990.

2. R. L. Boylestad: Introductory circuit analysis, 7th Edition, Prentice Hall, Inc.1997.

3. T. Bosanac: Teoretska elektrotehnika J, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1973. 4. P. Bastian, S. Riener, G. Springer: Methodische Lbsung ZUln

Rechenbuch Elektrotechnik, Salzburg 1992. 5.

'7 I.

8.

S. Berberovic: Teorijska elektrotehnika - Odabrani primjeri, Graphis, Zagreb 1998. II. Bozilovic, Z. Spasojevic, G. BoziJovi6: Zbirka zadataka iz osnova elektrotehnike (Elektrostatika, Stalne jednosmerne struje), peto izdanje, ),·Jallcna knjiga, Bf;ograd, 1989. II. Bozilovic, Z. Spasqjevic, G. Bozilovic: Zbirka zadataka iz osnova efeklrotehnike (Eleklromagnetizam, Naizmenicne struje) , peto izdanje, Naucna knjiga, Beograd, 1989. D. K. Cheng: Field and Wave Electromagnetics, Addison - Wesley Publishing Company. Inc, New York, 1989.

9. G. Fundel, H. Huber: Recheri'JUch Elektrotechnik, Salzburg 1989. 10. C. Fraser, J. Milne: Integrated Electrical and Electronic Engineering for

Mechanical Engineers, McGraw - l-Iil! Book Company, 1994. ! L I~. Hot: Osnovi elektrotehnike - Knjiga prV(l, SvjeLlost, Sarajevo, 1996. . 1. " L-. E. Hot: Osnovi elektrotehnike -. J(njiga druga, Svjctlost, Sarajevo, 1996 .

E. Hot, L Kapclanovit: Osnovi elektrotehnike - Knjiga treca, Elila, Sarajevo, 1997.

j 4. Haznadar, Z. Stii1: Elektromagnetizmn I, Federalno ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i sporta, Sarajevo, 1998.

is. Z. Haznadar, Z. Stih: Elektromagnetizam 2, Fcderalno ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture j sporta, Sarajevo, 1998.

16. Z. Haznadar: Teoretska elekirotehnika, Elektrotehnicki fakultet Zagreb, 1986.

17. Z. Haznadar: Osnovi elektrotehnike, prcdavanja, Fakultct elektrotehnike i racunarstv3 Sveucilista II Zagrebu

18. L Kapetanovic, V. Madzarevic, N. Sarajlic, T. Zuber: Osnovi elektrotehnike, drugo dopunjeno izdanje, Fakultet elektmtchnike i masinstva, Tuzia, 1995.

19. L Kapetanovic: Osnovi elektrotehnike, predavanja, Fakuitet elektrotehnike i masinstva UniverziLeta li Tuzli

20. 1. Kapetanovic, V. Madlarcvic, J. Smajic: Prirucnik: Tzabrana pog/avlja fnatemQti(~ke analize u teoriji eleklromagnei71ih polja, Faknllet ciektro,ehnikc i Tlu.la, i 999.

35/

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE Zbirka zadataka ------------------21. S. J. Kowalski: An Introduction to Electrotechnology, Robert

Cunningham and Sons LTD, Alva, Scotland, 1960. 22. B. Popovic, Elektromagnetika, cetvrto izdanje, Graaevinska knjiga,

Beograd, 1990. 23. B. Popovic: Osnovi elektrotehnike 1, cetvrto izdanje, Gradevinska

knjiga, Beograd, 1982. 24. B. Popovic: Osnovi elektrotehnike 2, drugo izdanje, Graaevinska knjiga,

Beograd, 1981. 25. B. Popovic: Osnovi elektrotehnike 3, sesto izdanje, Gradevinska knjiga,

Beograd, 1991. 26. V. Pinter: Osnove elektrotehnike, knjiga prva, sedmo izdanje, Tehnicka

knjiga, Zagreb, 1989. 27. N. Pekaric-Nad, V. Bajovic: Zbirka relet/ih ispitnih zadataka iz. osnova

elektrotehnike, trece izdanje, Gradevinska knjiga, Beograd, 1990. 28. E. M. Purcel: Electricity and Magnetism. 2nd edition, Berkeley Physics

Course - Volume 2, McGraw-HiH, Inc., 1985. 29. L. Ride, B. Westergren: Mathematics Handbook, Lund, 1998. 30. N. Sarajlic, T. KOl1jic: Osnovi elektrotehnike,auditorne vjeibe, Faku!tet

elektrotehnike i masinstva Univerziteta u Tuzli 31. J. Surutka: Osnovi elektrotehnike, Elektrostatika i stalne jedflOSl'l1jeme

. struje, peto izdanje, Naucna knjiga Beograd, 1989. 32. J. Surutka: Osnovi elektrotehnike, ill dio,Eelektromagnetizam, osmo

izdanjc, Nallcna knjiga, Beograd, 1989. 33. E. Senovi6, M. Tka!ic, I. Feija: Osnove eleldrotehnike 0 Zbirka zadataka.

prvi dio, peto izdanje, Skolska knjiga, Zagreb, 1992. 34. Tehnicka enciklopedija, Izdanje naklada Jugoslavenskog

!eksikografskog zavoda, Zagreb, 1979. 35. Microsoft®, Encarta'97

Literalura

Documents

Osnovi Elektrotehnike - Jednosmerne Struje - Zbirka Zadataka