Otimização do rendimento de um Mousetrap Car através de ... · Uma haste presa à ratoeira gira em torno do centro da mola. Na ponta da haste se prende um fio, que é enrolado

Nono Simpósio de Mecânica Computacional Universidade Federal de São João Del-Rei – MG – DEMEC

1

Otimização do rendimento de um Mousetrap Car através de planilhas

eletrônicas interligadas

G.W. D. e Duque1; S. Y. Ribeiro

1; M. E. Assumpção

1; D. G. L. Barroso

1; P. B. A. Filho

1;

F. A. Ferreira1; T. H. Panzera

1

1 Departamento de Engenharia Mecânica – Universidade Federal de São João del-Rei,UFSJ –,

São João Del-Rei, MG

CEP: 36307-352

e-mails: [email protected], [email protected], [email protected],

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Resumo. O desenvolvimento de sistemas dinâmicos leva em variáveis interdependentes, como

resultante de forças e vetores de movimento. A análise desses fatores muitas vezes dispensa

complicações, porém se tratando de alguns projetos mais complexos é impossível ignorá-las.

Um exemplo destes projetos é o Mousetrap Car, um veículo miniatura movido unicamente pela

energia potencial elástica acumulada na mola de uma ratoeira. Várias instituições de ensino

utilizam esse projeto para o ensino de dinâmica dos corpos, no qual os alunos são instigados a

projetar e construir um carro que percorra a maior distância possível usando uma ratoeira

padrão. O trabalho aqui referido visa utilizar planilhas eletrônicas interligadas para

correlacionar as variáveis envolvidas e prever o movimento de um Mousetrap Car, dadas suas

dimensões como dados de entrada. A análise por este tipo de planilhas permite a visualização

de causa e conseqüência de cada variação geométrica relevante no veículo. Sendo assim,

torna-se possível variar esses parâmetros geométricos de acordo com as possibilidades

construtivas e determinar as melhores configurações possíveis para o Mousetrap Car. O

trabalho serve como exemplo de como essas planilhas podem influenciar positivamente o

projeto de sistemas dinâmicos, de forma prática e instantânea.

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mailto:[email protected]





2

1 INTRODUÇÃO

O Mousetrap Car foi inventado por James Henry Atkinson na Inglaterra em 1897, e desde

então vem sendo usado por escolas no ensino de física em muitos países. Existem atualmente

duas modalidades: Distância Máxima Percorrida e Menor Tempo de Percurso. Para o projeto

atual foi adotado a distância máxima percorrida, com uso de uma ratoeira pequena, indicada

para camundongos.

Para correlacionar as variáveis influentes no desempenho do veículo são necessárias

várias funções compostas, de forma que muitas vezes o resultado de uma determinada função

entra como um valor constante no cálculo de outra destas funções. O uso de tabelas em

planilhas interligadas pode correlacionar uma cadeia de funções interdependentes.

O objetivo do referido trabalho é demonstrar como o uso dessas tabelas pode simplificar

em muito o processo de cálculo, de uma maneira simplificada e prática. Para isso foi

desenvolvido um sub-programa denominado CM-MouseTraper, onde a sigla CM se refere ao

nome da equipe responsável pelo desenvolvimento do projeto, “Crazy Mouse”, e Mousetraper

é um neologismo traduzido corretamente como “gerador de Mousetrap Cars”. Este programa

gera gráficos de desempenho do veículo tendo como dados de entrada apenas as relações

geométricas do carro, a massa dos componentes e os coeficientes de atrito admitidos.

Alguns trabalhos publicados neste campo demonstram que é possível otimizar parâmetros

através de planilhas eletrônicas.

SCARPE[3]

, em seu trabalho, mostra como é possível otimizar uma matriz energética

siderúrgica através de um software baseado em planilhas eletrônicas. O software desenvolvido,

SIMAE® (Sistema de Matriz Energética), visa otimizar o processo dentro de indústrias

siderúrgicas e, dessa forma, reduzir custos mantendo os níveis de produtividade.

PINTO[4]

, por sua vez, estudou modelos matemáticos implementados em planilhas

eletrônicas visando gerar um planejamento de lavra eficiente, e assim da mesma forma, reduzir

custos operacionais na manutenção de minas a céu aberto, usando como base as mesmas

planilhas em questão.

Este trabalho por sua vez, visa demonstrar que ao interligar planilhas eletrônicas, é

possível obter softwares capazes de resolver problemas multidimensionais, funções se tornando

variáveis de outras funções. Essa é a finalidade do CM-MouseTraper, determinar melhores

condições de projeto avaliando resultados, tendo como dados de entrada, condições

geométricas de um modelo idealizado.

2 MATERIAIS E MÉTODOS

O desenvolvimento do software depende de uma correta compreensão dos processos

envolvidos no movimento do carro, bem como um correto equacionamento dos mesmos. Dessa

forma se torna possível modelar as planilhas e interligá-las de forma a obter os resultados

esperados.


3

Princípios básicos de funcionamento do veículo

O carro funciona de acordo com os seguintes parâmetros:

Uma haste presa à ratoeira gira em torno do centro da mola.

Na ponta da haste se prende um fio, que é enrolado no eixo traseiro do carro.

À medida que a haste gira, o fio se desenrola, tracionando o eixo traseiro.

A tração no eixo gera um deslocamento angular que se transmite às rodas com diâmetro

muito maior do que o eixo.

A relação entre os diâmetros da roda e do eixo tracionado determinam a distância

máxima que pode ser percorrida pelo carro.

As forças consumidoras de energia que agem no conjunto são forças de atrito estático e

cinético que agem na interface com o solo e nos mancais, respectivamente. A força de

atrito com o ar é desprezada devido ao Número de Reynolds muito reduzido por efeitos

de baixa velocidade de operação, implicando um coeficiente de arrasto que pôde ser

desprezado de acordo com as necessidades e objetivos do projeto.

Equações de Estática e Dinâmica Utilizadas

As equações utilizadas são retiradas da bibliografia [1 e 2], e são aquelas que

determinam o comportamento estático e dinâmico do carro, as quais estão relacionadas abaixo:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Equações Cinemáticas Utilizadas

Para gerar os resultados finais cinemáticos, são usadas as equações de movimento

abaixo relacionadas, ambas retiradas da bibliografia [2].

(10)

(11)

Existem várias formas de converter a energia potencial elástica da mola em energia

cinética, sendo a mais difundida a que usa uma haste que, ao desenrolar um fio inicialmente

enrolado no eixo, faz com que o carro se mova. No caso do “Mousetrap Car” de distância, o

ideal é que a haste seja o maior possível, de forma a aumentar a distância angular máxima

produzida pelo eixo, em regime de aceleração positiva. Para isso é necessário conhecer cada


4

variável relevante, que interfira positiva ou negativamente nos resultados finais. Dentre essas

variáveis podemos citar:

Comprimento do carro entre os eixos (L.e)

Comprimento do eixo dianteiro até o centro de rotação da ratoeira (L.i)

Comprimento da haste (L.h);

Raio das rodas (R);

Raio do eixo trator (r);

Massa das rodas;

Massa da estrutura;

Massa da haste;

Coeficiente de atrito estático entre as rodas e o solo;

Coeficiente de atrito estático entre os mancais e os eixos;

Coeficientes de atrito cinético entre os mancais e os eixos;

Centro de gravidade do carro sem a haste estar fixada no mesmo;

Ângulo Téta descrito pela haste no movimento da ratoeira, variando de 0° a 180°.

Esboço e definições preliminares do Carro

Abaixo é possível contemplar o esboço do carro com algumas das suas medidas mais

importantes, valendo ressaltar que o esboço é apenas ilustrativo.

Figura 1 – Esboço do modelo com suas respectivas variáveis geométricas

A estrutura é feita treliçada com palitos de madeira colados com super adesivo à base

de cianoacrilato. As rodas são feitas de CDs com alívio de massa e mancais confeccionados

com rolamentos existentes nos discos rígidos para computadores (HDs). Os eixos serão de

tubos de cobre, com diâmetro de 2,5 mm. A haste é também feita de palitos de madeira,

agrupadas paralelamente para aumentar o momento de inércia. O fio trator é bastante fino,

capaz de suportar o valor de tração máxima. Os coeficientes de atrito utilizados foram

inicialmente estimados tendo como base tabelas de vários materiais, acrescendo-se um fator de

segurança. Essa escolha foi feita pois, se os coeficientes tem um valor real menor do que o

hipotético, o carro percorrerá uma distância maior.


5

Os mancais são polidos e lubrificados para reduzir os coeficientes de atrito estático e

cinético com o eixo trator, e a borda das rodas tratoras recebe uma fina camada de cola à base

de silicone ou PVC, com o intuito de aumentar levemente a aderência com o solo impedindo o

deslizamento. A aceleração da gravidade local é tomada como 9,77m/s², com base em estudos

realizados pelo Departamento de Ciências Naturais (DCNAT), Universidade Federal de São

João del-Rei (UFSJ).

Determinação do modelo de análise das variáveis: CM-MouseTraper

A compreensão física dos processos dinâmicos do veículo deve ser bem consistente,

visto que as funções utilizadas nas planilhas são puramente matemáticas, e apenas não são

consideradas indefinições matemáticas, as quais inclusive podem ser resultado dos cálculos

físicos.

A determinação de uma configuração satisfatória das medidas do veículo depende da

análise interligada das variáveis envolvidas no projeto citadas anteriormente. Como exemplo,

podemos citar o seguinte diagrama de dependências:

Figura 2 – Árvore de dependência das variáveis utilizadas

A árvore de dependências acima serve para esquematizar a ligação entre as planilhas do

software.

Distância

máxima

percorrida

Aceleração

angular do

eixo

Raio das

rodas e do

eixo trator

Tração no fio

Ângulo entre o

fio e a haste

(Alfa)

Momento da

mola e

compriment

o da haste

Compriment

o da haste e

do entre-

eixos

Forças de atrito nos

mancais e no solo

Reações nos

mancais e no

solo

Coeficientes

de atrito

Centro de

Gravidade do

Carro

Massa da

haste e do

carro

Comprimento

da haste

Centro de

gravidade do

carro sem a

haste

Ângulo

descrito pela

ratoeira

(Téta)

Massa

total do

carro

Distância

máxima

percorrida

Aceleração

angular do

eixo

Raio das

rodas e do

eixo trator

Tração no fio

Ângulo entre o

fio e a haste

(Alfa)

Momento da

mola e

compriment

o da haste

Compriment

o da haste e

do entre-

eixos

Forças de atrito nos

mancais e no solo

Reações nos

mancais e no

solo

Coeficientes

de atrito

Centro de

Gravidade do

Carro

Massa da

haste e do

carro

Comprimento

da haste

Centro de

gravidade do

carro sem a

haste

Ângulo

descrito pela

ratoeira

(Téta)

Massa

total do

carro


6

Pode-se, por exemplo, verificar que o dado mais importante no projeto de um Mousetrap

Car dessa categoria é a distância máxima percorrida. Ela, portanto, é o ponto de partida para

todo o resto.

Cada variável subseqüente é dividida em outras variáveis até obter apenas valores

constantes. Esses valores serão os dados de entrada na planilha inicial. As planilhas que

compõem o programa são:

Definições físico-geométricas, a qual recebe os dados de entrada com respeito

às dimensões, massa de componentes, e dados físicos importantes aos cálculos.

Alfa em função de Téta, onde o ângulo entre o fio e a haste (Alfa) é calculado

de acordo com a variação do ângulo descrito pela haste (Téta). Esse cálculo é

imprescindível à determinação da tração no fio em cada instante do

movimento.

CG e Reações, que determina as reações nos mancais e no piso, bem como a

variação do CG do carro devido à ação da força peso da haste. A variação do

CG influencia as reações traseiras do carro que por sua vez influenciarão as

forças de atrito que se opõem ao movimento.

Forças de Atrito, responsável por determinar as forças opositoras ao

movimento. Essa planilha se correlaciona com a anterior, e é indispensável

para calcular a aceleração resultante do carro.

Tração e Aceleração Linear, onde a tração no fio é calculada, de acordo com

os resultados das planilhas, e, conseqüentemente, a aceleração linear do carro,

utilizando as equações dinâmicas já apresentadas.

Cinemática, por fim, relaciona todo o material anteriormente calculado para

obter os gráficos e tabelas de distância, velocidade e aceleração em função do

tempo, além de calcular a distância máxima percorrida, comparando-a com a

real que foi obtida pelo gráfico.

Cálculo do Alfa em função de Téta

Para calcular a variação do ângulo Alfa em função do ângulo Téta, usamos relações

matemáticas vetoriais, alcançando a seguinte fórmula:

²²..2².

².²cos

yrLrLxxhL

yxrLxa , (12)

onde L.r=L.e-L.i, bem como x e y são coordenadas vetoriais.

A dedução da fórmula pode ser conseguida considerando-se OA um vetor igual a L.r,

OB um vetor igual a L.h, e AB o vetor resultante da subtração dos mesmos. Conhecendo-se

OA e OB, e o ângulo formado entre eles ou seja, Téta, é possível descobrir o ângulo entre a

haste e o carro, que é Alfa.


7

Cálculo do passeio de CG e das reações nos mancais e no piso

Quando a haste descreve o ângulo Téta, sua massa faz com que o centro de gravidade

do veículo varie. Para prever o quanto essa interferência reflete na posição do CG, usamos as

seguintes relações:

cos2

...

hLiLhD (13)

onde D.h é o ponto de ação do peso da haste à partir do eixo dianteiro.

hWcW

hWDhcWcDCG

..

... (14)

onde D.c é o CG do carro sem a haste, medido empiricamente; W.c é o peso do carro sem a

haste; W.h é o peso da haste.

Com os valores do CG em função de Téta, calcula-se o valor das reações no piso:

eL

CGtWtR

.

.. (15)

tRtWdR ... (16)

eL

CGrWtWmtR

.

).2.(.. (17)

Sendo que R.t é a reação traseira no piso, W.t é o peso total do carro, R.d é a reação

dianteira no piso, R.t.m é a reação traseira nos mancais e W.r é o peso da roda.

Cálculo das forças de atrito no piso e nos mancais

Devido às baixas velocidades de operação, da ordem de 0,1m/s, ignoramos o atrito com o

ar, considerando que em baixas velocidades o Número de Reynolds é muito pequeno e

conseqüentemente o coeficiente de arrasto.

O atrito nas rodas pode ser definido de acordo com as seguintes expressões:

dRdFatee

.. (18)

2

).(.

tRtFat e

e (19)

)..(.. rWdRmdFatee

(20)

2

)].2.([..

rWtRmtFat e

e (21)

)..(.. rWtRmdFatcc

(22)


8

2

)].2.([..

rWtRmtFat c

c (23)

Sendo os índices d.m e t.m referentes à reação dianteira e traseira nos mancais,

respectivamente. É importante ressaltar que a força de atrito nos mancais para o primeiro

instante é definida pelo coeficiente estático de atrito, e logo depois, considera-se o cinético.

Isso é feito para impedir erros no cálculo de resultantes que impliquem em zero aceleração na

largada.

Cálculo da tração no fio e da aceleração linear em função de Téta

A tração no fio pode ser determinada através da seguinte expressão:

senhFfT .. , (24), sendo que F.h é a força na ponta da haste e é o ângulo entre o fio

e a haste. Como Alfa varia, a tração será variável também, e acompanhará as dimensões

escolhidas para o carro.

A aceleração linear pode ser escrita como raG

, e também como:

g

W

tFatdFatRmtFatmdFatrrfTa

T

G

)..()....(., g=9,77m/s² (25)

Como as forças atuantes são funções de Téta, a aceleração linear também será função de

Téta.

Cálculos cinemáticos

Como a tração no fio é variável a aceleração não é constante, implicando na necessidade de

um novo equacionamento, que pode ser obtido pela definição matemática de cálculo integral.

Divide-se o intervalo total de 180° em 35 intervalos de 5°, e para cada intervalo toma-se

uma aproximação de aceleração média constante.

Há uma relação entre a distância percorrida para cada intervalo de 5°, tal que:

r

RhLD

máx.2 , (26) então, 5

.2

5

r

RhL

D , (27) sendo5

D a distância percorrida

pelo carro correspondente a cada cinco graus de rotação da haste.

Sabe-se também que ²

²

dt

sda , (28) obtendo então uma função que descreve a aceleração

em função do tempo. Podemos conseqüentemente obter gráficos d-t, v-t e a-t com facilidade. A

distância máxima teórica percorrida pode ser definida como:


9

r

RhLD

máx.2 , (29) sendo esta tomada como referência para medir a eficiência do

carrinho através da razão entre a distância percorrida e a distância máxima teórica.

Desenvolvimento do Mousetrap Car

Para a decisão sobre as dimensões do carro, algumas das variáveis são escolhidas e

tomadas como invariantes, entre elas:

Massa dos componentes (com variações pequenas para a grande maioria);

Massa dos Componentes

Massa da roda 0,01 Kg Massa da haste 0,022 Kg

Massa da estrutura 0,015 Kg Massa da ratoeira 0,032 Kg

Massa adicionada na construção 0,01 Kg Massa total do carro 0,109 Kg

Raio das rodas, igual a 60 mm, feitas de CDs;

Raio do eixo, igual a 1,4 mm, já considerando o acréscimo devido ao acúmulo

da linha enrolada em volta mesmo. O raio do eixo poderá ser alterado no caso

de sobra de potência na corrida experimental.

Comprimento do centro de rotação da ratoeira até o eixo dianteiro, definido

como 110 mm, para garantir que não haja contato da ratoeira com a roda

dianteira.

A distância do CG sem a haste é estimada empiricamente, definida como uma

aproximação eL.28,0 , sendo 0,28 um fator de correção para estimativa do

CG.

Os coeficientes de atrito são estimados como 0,15 para atrito estático das rodas

com o solo, 0,09 para atrito estático nos rolamentos e 0,07 para atrito cinético

nos mesmos. Essas estimativas foram feitas com base na análise de muitas

tabelas de coeficientes disponíveis na internet.

O gráfico de momento da mola da ratoeira foi obtido medindo a força da mola

na ponta do batente para cada incremento de ângulo. Por fim, encontrou-se o

seguinte gráfico:


10

Figura 3 – Momento da mola x ângulo Téta.

Decidiu-se então após uma variação dos dados, pela seguinte configuração:

Medidas de Entrada

L.e 0,5 m

L.i 0,11 m

L.h 0,5 m

R 0,06 m

r 0,0014 m

Figura 4- Ângulos Alfa x Téta

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 50 100 150

Momento da Mola(N.m) x ângulo Téta(graus)

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

50.00

55.00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Alf

a

Téta

Alfa x Téta

alfa x téta


11

Figura 5 – Gráfico do passeio de CG

Figura 6 - Reações no solo e mancais

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

0.2000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Distância do CG (m) x Ângulo Téta (graus)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0 50 100 150

Reações (N) x Ângulo Téta (graus)

Reação dianteira no Piso

Reação traseira no Piso

Reação traseira nos Mancais


12

Figura 7 - Forças de atrito

Figura 8 - Tração no fio

Figura 9 – Aceleração linear do carro em função de Téta

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Forças de Atrito (N) x Ângulo Téta (graus)

Fat est. no piso tras. (N)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Tração no fio (N) x ângulo Téta (graus)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Aceleração linear do carro (m/s²) x ângulo Téta (graus)


13

3 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Os resultados foram bastante satisfatórios obtendo uma distância máxima teórica de 42,9

metros, porém a máxima em regime de aceleração positiva obtida foi de 32,5 metros, com

eficiência de distância em regime de aceleração de 76%.

A velocidade máxima encontrada foi de 0,59 m/s no instante 22” após a largada e

aceleração máxima de 0,35 m/s². O tempo previsto de trajeto foi de 1’29” em regime de

aceleração positiva.

Obviamente a partir do instante de aceleração igual a zero o carro entrará em frenagem por

ação das forças de atrito, alcançando alguns metros a mais.

Os gráficos de cinemática devem ser lidos a partir da origem e seguem até o ponto de

inflexão horizontal da curva, desprezando-se os valores a partir desse momento. Esses valores

são resultado de descontinuidades matemáticas externas aos dados relevantes. Os gráficos

podem ser visualizados abaixo:

Figura 10 – Gráfico final da distância x tempo

0.002.505.007.50

10.0012.5015.0017.5020.0022.5025.0027.5030.0032.5035.0037.5040.0042.50

-20 0 20 40 60 80 100

Distância (m) x Tempo (s)


14

Figura 11 - Gráfico final da velocidade no tempo

Figura 12 - Gráfico final da aceleração linear no tempo

Figura 13 - Gráfico final da aceleração linear na distância

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-20 0 20 40 60 80 100

Velocidade (m/s) x Tempo (s)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-20 0 20 40 60 80 100

Aceleração Linear (m/s²) x Tempo (s)

-0.200

-0.100

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Aceleração Linear (m/s²) x Distância (m)


15

Um protótipo do carro foi construído, o qual andou 30 metros contra os 32,5 previstos pelas

planilhas. CM-MouseTraper obteve sucesso e mostrou que o uso de planilhas eletrônicas pode

solucionar problemas com muitas variáveis. De certa forma as planilhas isoladas são incapazes

de gerar resultados multidimensionais, porém quando interligadas, elas passam a correlacionar

as funções de uma variável como funções compostas. Abaixo uma imagem esquemática do

carro definitivo:

Figura 14 – Desenho renderizado do veículo final

4 CONCLUSÃO

A precisão dos resultados revelou o quanto softwares desse tipo podem ser aplicáveis no

projeto de componentes ou até mesmo sistemas completos. O CM-MouseTraper obteve um

erro de apenas 1,5% sobre os resultados do protótipo. As planilhas eletrônicas interligadas são

capazes de resolver projetos complexos de forma simples, garantindo praticidade e boa

interação com o usuário, possibilitando ao mesmo modificar o projeto e o software, de forma a

atender as expectativas.

5 BIBLIOGRAFIA

[1] HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 10ª ed. PEARSON, 2005

[2] HIBBELER, R. C. Dinâmica. 10ª ed. PEARSON, 2005

[3] SCARPE, A. A; MELO, A. M; ROVAY, C. J; BARBOSA, A. P; BARCELOS, A;

ALMEIDA, F. T; PINHO, J. F; MILANEZ, E. M; PÉCORA Jr, J. E. Otimização da matriz

energética da CST. [4]

PINTO, L. R; BIAJOLI, F. L; MINE, O. M. Uso de otimizador em planilhas eletrônicas para

auxílio ao planejamento de lavra.

6 DIREITOS AUTORAIS

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trabalho.

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