OTPORI STRUJANJU FLUIDA Pad tlaka plina ili utrošena depresijamklanfar/nids_mklanfar/VJETRENJE/VJETR_RUD_Otpori.pdf · Vjetrenje rudnika Otpori strujanju fluida RGN-fakultet Zagreb

Vjetrenje rudnika Otpori strujanju fluida

RGN-fakultet Zagreb D. Vrkljan 1

OTPORI STRUJANJU FLUIDA Strujanje zraka podzemnim vjetrenim provodnicima slično je strujanju fluida kroz cijevi pa se svi tamo vrijedeći zakoni mogu primijeniti. Razlike su u obliku poprečnog presjeka i naravi hrapavosti stijenki. Pad tlaka plina ili utrošena depresija u nekom vjetrenom provodniku posljedica je svladavanja otpora strujanju. Otpore unutar nekog provodnika uslijed kojih dolazi do pada tlaka možemo podijeliti u linijske i lokalne. Linijski otpori ovisni su od unutarnjeg trenja čestica fluida i uz stijenke provodnika što treba svladati odgovarajućom tlačnom visinom. Pad tlaka h (utrošena depresija) direktno je propocionalna dužini provodnika L (m) i kvadratu brzine strujanja v (m/s), a obrnuto proporcionalna promjeru provodnika D (m). Darcy-Weisbachov izraz za pad tlaka odnosno utrošenu depresiju h na nekom vjetrenom putu glasi (za okrugli poprečni presjek):

( )( ) Pa ,81,0

216

2

4

4 prema 4 za zamjenom

2

5

2

4

222

2

2

2

2

DQL

DDQL

DD

QLh

DFD

QFQv

DvLh

∗∗∗=

∗∗∗∗

=

∗∗∗

=

===⇒⇒∗∗∗

=

ρλπ

ρλπρλ

ππ

ρλ

Zamjenom promjera D za jamske vjetrene provodnike različitih poprečnih presjeka sa hidrauličkim promjerom dobiva se Darcy-Weisbachov izraz za pad tlaka odnosno utrošenu depresiju h na nekom vjetrenom putu (za različite poprečne presjeke vjetrenih provodnika):

Pa ,8422

4 relaciji prema 4

3

22

2

2

2

FQOL

OF

FQL

DvLh

DD

OF

OFD

∗∗∗∗=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗∗∗

=∗∗∗

=

=⇒=

ρλρλ

ρλ

ππ

gdje je



λ - koeficijent trenja vjetrenog provodnika (bezdimenzionalni broj) ρ - gustoća zraka, kg/m3 F – površina poprečnog presjeka vjetrenog provodnika, m2 Q – količina zraka koja struji vjetrenim provodnikom, m3/s O – opseg vjetrenog provodnika , m

OF4 - hidraulički promjer vjetrenih provodnika

Osnovna jednadžba strujanja (depresije)- depresija grane - primjenjiva pri proračunu ventilacijskih mreža: h=R∗Qn, opčenito n=2 U vjetrenju se obično računa sa konstantnim otporom grane R (neovisno o promjeni kvalitete strujanja). Međutim ukoliko je strujanje u području promjenjivog koeficijenta otpora λ onda uz usvojeni konstantni R treba računati sa promjenjivim eksponentom n. Eksponent se kreče od 1,85 (hodnici do 3,0m/s) do 2,4 (otkopi). Određivanje eksponenta n za konkretni provodnik i režim strujanja Izvede se sondažno mjerenje depresije h1 i h2 u određenom provodniku (slika 1.) za različite brzine strujanja v1 i v2 (moraju se malo razlikovati da bi mogle imati iste eksponente, što se postiže prigušivanjem provodnika – postavljanjem pregrade) za koje se odrede pripadajuče protočne količine zraka Q1 i Q2.

Slika 1. Određivanje eksponenta n sondažnim mjerenjem Uz R=const. dobivaju se dvije jednadžbe: h1=R1∗Qn

1 i h2=R2∗Q2n / log



log h1=logR1+nlogQ1 log h2=logR2+nlogQ2 ⇒

nh hQ Q

=−−

log loglog log

1 2

1 2

Iz gornjih jednadžbi za h može se izlučiti izraz za otpor R:

R

LD

RL O

F

=∗ ∗

=∗ ∗ ∗

0 81

8

5

3

, λ ρ

λ ρ

Gornje relacije koriste se pri projektiranju vjetrenja jama i jamskih prostorija, a uzimaju u obzir geometrijske veličine provodnika i stupanj hrapavosti. Otpori se mogu izražavati u literaturi svedeni na 100m (R100) dužine vjetrenog provodnika određene kvalitete (geometrije i hrapavosti izražene koeficijentom otpora λ). Vrijednost otpora RL vjetrenog provodnika konkretne duljine L određuje se prema relaciji: RL=(R100∗L):100 Otpor vjetrenog provodnika slične geometrije R’, ali uz λ=const.može se izračunati prema relaciji:

R RFO

OF100 100

3

3'

'= ∗⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

U gornjim izrazima za otpor provodnika največu poteškoča je u određivanju pouzdane vrijednosti za koeficijent otpora λ. Opčenito koeficijent otpora je u funkcijskoj ovisnosti o: λ=ƒ(v,D,μ,ρ,k) v - brzina strujanja, m/s D - promjer ili hidraulični promjer provodnika, m μ - dinamički viskozitet, Pas

ρ - gustoća fluida, kg/m3 k - apsolutna hrapavost, m



Viskozitet fluida Veličinu otpora između susjednih slojeva fluida utvrdili su empirijskim putem Hagen i Poiseuille (slika 2):

¬

A

B

C

v2

v1

l1

l2l

CA

B

v

P

Slika 2. Otpor strujanju fluida Pomicanjem gornje ploče brzinom v i silom F u jednoj sekundi čestica A dolazi u položaj C dok niželežeće čestice zaostaju sve do točke B koja ostaje nepomaknuta. Vektori brzina obrazuju krivulju B-C. Otpor R pomjeranju ploče za jedinicu površine F (m2) iskustveno je proporcionalan:

( )( )R fv v

l l= ∗ ∗

−

−⇒μ 2 1

2 1

izraz ( )( )v v

l l2 1

2 1

−

−= ctg je prirast brzineα

Otpor na jedinicu površine τ:

( )( )τ μ μ μ α= ∗

−

−= ∗ = ∗

v v

l ldvdl

ctg2 1

2 1

Otpor τ na 1m2 površine predstavlja konstantnu veličinu a kut α je kut tangente u proizvoljnoj točki krivulje brzina. U točki B α⇒0o pa τ teži u beskonačnost dok je u točki C α⇒900⇒ctgα=1 pa je otpor najmanji. Fenomen unutarnjeg trenja rezultira u cijevi raspodjelom brzina strujanja u paraboličnoj ili sličnoj krivulji s maksimumom u sredini provodnika i obrnutom krivuljom otpora. Maksimalna brzina opada prema obodu cijevi do neznatne brzine u tankom graničnom sloju fluida koji



obavija stijenku cijevi. U graničnom sloju brzina raste od nule na stijenki cijevi do neke neznatne brzine. Dinamički viskozitet μ za određeni fluid ovisan je samo od temperature t: μ=g∗(1,745+0,00503t°C)∗10-6, Pa∗s Dinamička viskoznost μ svedena na je jedinicu gustoče fluida daje kinematički viskozitet ν koji je ovisan od temperature i pritiska (slika 3): ν=μ:ρ=((1,745+0,00503t)∗g∗10-6):ρ, m2/s Kinematički viskozitet zraka iznosi 15,66∗10-6 m2/s.

Slika 3. Kinematička viskoznost zraka ovisna o temperaturi i pritisku Hrapavost Jamski vjetreni provodnici najčešče nemaju glatke površine. Površine provodnika imaju izbočine (podgrada, nepravilni odlomi stijene) različitog intenziteta i gustoče.



Stupanj hrapavosti (relativna hrapavost) K je odnos dubine izbočina k prema svijetlom profilu prostorije D (slika 4.).

K=k:D

D

k

o s tu n e la

Slika 4. Hrapavost vjetrenog provodnika U praksi je teško jednoznačno odrediti stupanj hrapavosti zbog neravnomjernosti izbočina čak i na kraćoj dionici. Zbog toga se provodnici svrstavaju u grupe prema stupnju hrapavosti: ♦glatke ili istrošene limene cijevi

♦zidani ili betonirani provodnici, ožbukani ili nepožbukani ♦nepodgrađeni provodnici u stijeni ♦podgrađeni provodnoici s izvjesnimodnosom debljine podgrade naspram svijetlom profilu pri određenoj gustoći podgrade ♦otkopi, komore i drugi nepravilni prostori

Reynoldsov broj Temeljem dinamičke i geometrijske sličnosti može se ustanoviti korelacija između strujanja u dva provodnika. Geometrijska sličnost definira se istim oblikom poprečnog presjeka i hrapavosti provodnika. Dinamička sličnost strujanja određena je odnosom kinetičke energije strujanja i sile otpora a izražava se Reynoldsovim brojem Re. Sila strujanja po jedinici površine P: P=(ρ∗v2):2



Sili strujanja suprotstavlja se otpor R:

RF v

D=

∗ ∗ ∗=

μ μτ odnosno svedeno na 1m r =

vD

2

Odnos pritiska i otpora: Svaki bezdimenzionalni broj pri određenim uslovima strujanja je konstantan. Ovu konstantu utvrdio je O Reynolds pa se naziva Reynoldsov broj Re.

ν

Dv∗=Re

Pomoču Reynoldsovog broja mogu se proračunati uvjeti strujanja u jednom provodniku na osnovu poznatih uvjeta strujanja u drugom provodniku pod uvjetom geometrijske sličnosti:

Re =∗

=∗v D v D1 1 2 2

ν ν

Uvrštavanjem izraza za hidraulički promjer D=4F:O dobije se:

Re =∗∗

v FO

4ν

Režimi strujanja Ovisno o brzini strujanja razlikujemo laminarno i turbulentno strujanje. Granica laminarnog i turbulentnog strujanja definirana je vrijednošču Reynoldsovog broja Re=2320. Laminarno strujanje nastupa pri manjim brzinama, strujnice su paralelne i ne miješaju se. Pretpostavka je da je u svakoj strujnici paralelnoj osi cjevovoda brzina nepromijenjena. Koeficijent otpora za laminarno strujanje utvrđuje se slijedečim razmatranjem. Pad tlačne visine h prema Bernullijevoj jednadžbi u horizontalnoj cijevi konstantnog poprečnog presjeka (Δz=0, F=const.). h=(p1-p2):ρ=Δp:ρ

νρνρ

τρνμ

μρ

τ ∗∗

=∗∗∗∗

=⇒∗=∗∗∗

=22

P zamjenom 2

DvDvDvP



p1

1 2

p2

L

r0

P

R

1 2

Slika 5. Otpori kod laminarnog strujanja

Razlika pritiska između dva profila uzrokuje potisak P: P=(p1-p2)∗r2π=ρ∗h∗r2π Protiv pomicanja djeluje tangencijalna sila po površini plašta valjka R:

LrdrdvLrR ∗∗∗∗=∗= πνρπτ 22

τ je otpor na jedinici površine (naprezanje na površini plašta valjka koji ima polumjer r):

τ μ ρ ν= − ∗ = ∗ ∗dvdr

dvdr

pri čemu se μ dinamička viskoznost zamijenjuje sa ν kinematičkom viskoznosti po relaciji: μ ν ρ= ∗ Izjednačenjem izraza za P i R:

(p1-p2)∗r2π= -ρ∗ν∗drdv

∗2rπL

koji se riješava po dv:

L

drrpdv∗∗∗

∗∗Δ−=

νρ2



( )dvp

Lrdr v

p rL

p rL

pL

r rv

v

r

r

=∫ ∫= −

∗ ∗∗ ⇒ = −

∗∗ ∗

+∗∗ ∗

=∗ ∗

∗ −0

202

02 2

2 4 4 40

Δ Δ Δ Δρ ν ρ ν ρ ν ρ ν

Uvrštavanjem r=0 dobije se maksimalna brzina u osi valjka vmax:

vp

Lrmax = ∗ ∗

∗Δ

4 02

ρ ν

Odavde slijedi da je brzina raspoređena po paraboli što je Stokesov zakon o raspodjeli brzina pri laminarnom strujanju (slika 6.).

r0

r

y

v sr

v sr

v max

Slika 6. Raspodjela brzina u cijevi okruglog presjeka

Protočna količina zraka Q određena je zapreminom rotacijskog tijela koja u diferencijalnom obliku iznosi:

slijedi 128

4DL

pQiz ∗∗∗

Δ=

νρπ ,

Odatle se može izračunati srednja brzina vsr: iz čega proizlazi da je vsr=vmax:2 Pad tlaka - utrošena depresija između dva presjeka jednak je:

vQF

p rLsr = =

∗∗ ∗

Δ 02

8ρ ν



Δp hL QD

= =∗ ∗

∗∗128

4

ρ νπ

, Pa

Gornji izraz predstavlja Hagen-Poiseuilleov zakon koji govori da je pad tlaka proporcionalan dužini dionice i količini protoka a obrnuto proporcionalan četvrtoj potenciji promjera cijevi. Laminarno strujanje odvija se u području Reynoldsovog broja Re≅<2300.

Prema jednadžbi vQF

p rLsr = =

∗∗ ∗

Δ 02

8ρ ν proizlazi kriterij za laminarno strujanje

rD D

02

2 2

2 4=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

vp D

Lv D p D D

Lsr =∗∗ ∗

∗ ⇒∗

=∗ ∗∗ ∗ ∗

Δ Δ2 2

4 8 4 8* *ρ ν ν ν ρ ν ν, /

D

v D∗

=ν

Re

7360023008*4

8*48*4Re

2

3

2

3

2

32

≅≤∗∗

∗Δ⇒≅≤

∗∗∗Δ

∗∗∗Δ

=∗∗∗

∗∗Δ=

LDp

LDp

LDp

LDDp

νρνρ

νρννρ

Pad tlaka (tlačne visine, utrošena depresija) proporcionalan je:

⇒∗∗∗

∗=∗∗∗∗

=⇒

⇒∗

=⇒∗∗∗∗∗∗

=∗

∗∗∗∗=

∗⇒∗∗∗∗

=

=⇒∗∗

∗∗∗∗∗=

DvL

DvLh

vDDDv

vLDv

vLh

vvv

DLh

DQv

DDQLh

srsr

sr

sr

sr

sr

sr

sr

srsr

sr

2Re64

Re2232

Re zamjenom2

2322

232

dobijemo 22 /množenjem 32

dobijemo 4 zamjenom 324

22

2

2

2

2

222

ρρ

ννρνρ

νρππ

νρ



Prema Darcy-Weisbachovom izrazu za pad tlaka (utrošenu depresiju)

hL vD

=∗ ∗ ∗λ ρ 2

2⇒

Re-λ dijagram

Slika 7. Ovisnost koeficijenta trenja λ o Reynoldsovu broju pri strujanju u cijevima Izraz za koeficijent trenja pri laminarnom strujanju potvrđen je nizom pokusa. To pokazuje da pri laminarnom strujanju koeficijent trenja ovisi samo o Reynoldsovom broju i neovisan je o hrapavosti stijenki provodnika. Laminarno strujanja odvija se u području kada je Reynoldsov broj Re≤2300. U koordinatama Re -λ funkcija predstavlja osnu parabolu (slika 5).

λ =64Re



Iz jednadžbe Reynoldsovog broja proizlazi da se laminarni režim strujanja može održati pri večim brzinama ukoliko se smanji promjer cjevovoda (uz ν=const.). Turbulentni režim strujanja Poveča li se brzina strujanja laminarno strujanja prelazi u turbulentno. Pri turbulentnom strujanju nema pravilnih strujnica. Čestice fluida mijenjaju pravac strujanja. Uz stijenke formira se granični sloj prema turbulentnoj jezgri koji je tanji što je Reynoldsov broj veči . Brzina i pulsacije u pojedinim točkama se neprestano mijenjaju. Unatoč tome srednja brzina strujanja u pravcu osovine provodnika manje se razlikuje od minimalne odnosno maksimalne nego kod laminarnog strujanja. Turbulentno strujanje karakterizira ovisnost koeficijenta otpora o hrapavosti stijenki. Ovisno o hrapavosti stijenki, brzini strujanja, odnosno Reynoldsovom broju utvrđena su tri područja: ♣hidraulički glatki

♣hidraulički hrapavi ♣prijelazno područje

koje karakteriziraju drugačije ovisnosti koeficijenta otporaa. Za hidrauličko glatko područje Prandtl je uspostavio vezu: 1/√λ=2logRe/2,51 gdje nema hrapavosti.⇒λ=f(Re) U hidraulički hrapavom području Prandtl je uspostavio odnos: λ=1/(2log(D/k)+1,41)2 ovisan o hrapavosti a neodvisan o Reynoldsovom broju ⇒λ=f(K) Između ta dva područja nalazi se prijelazno područje definirano relacijom: 1/√λ=-2log(k/D∗3,71+2,51/Re∗√λ) gdje koeficijent ovisi i o Reynoldsovom broju i o hrapavosti⇒λ=f(Re,K) U literaturi pogotovo ruskoj nailazi se na koeficijent trenja α koji se odnosi na stari tehnički sustav jedinica i prevodi se u IS po obrascu:

αρ λ λ

λ α α λ α=∗

= ⇒ = ∗ ⇒ = ∗ ∗− −

8 65 565 5 10 65 5 10 104 4 4

g ,, , ( ) odnosno ukoliko je Re

Re- λ



Kritična brzina vk pri kojoj laminarno strujanje prelazi u turbulentno u hodniku okruglog presjeka promjera D=2,2m i kinematičku viskoznost ν=14,2∗10-6 m2/s (očitano iz dijagrama za t=200C i p=106,6kPa):

vD

m sk =∗

=∗∗

=Re ,

,, /

ν 2320 14 210 2 2

0 01506

Ovakve male brzine javljaju se rijetko u jamskim uvjetima (pri strujanju kroz pukotine, stare radove i slično). Srednja brzina strujanja vsr pri turbulentnom strujanju manje se razlikuje od ekstremnih (minimalne odnosno maksimalne) u odnosu na laminarno strujanje. Moguči dijagram brzina za turbulentno strujanje u okruglim cijevima prikazao je Karman (pretpostavka koncentričnih izolinija) brzina. Jednadžba daje približne veličine vektora brzina na odstojanju y od stijenke cijevi (Slika 8).

v vyr

r v vr r

ro

no

o

n

= ∗⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⇒ = ∗

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟max max

1 1

zamjenom y = ro

y - odstojanje od stijenke n=7 - za Re≤105 n=8 do 10 - za Re≥105 za r=0⇒v=vmax za r=ro⇒v=0

Slika 8. Brzine u cijevi za turbulentno strujanje i usporedba s laminarnim strujanjem



Ukoliko je Re>105 koeficijent m=1/n može se utvrditi eksperimentalnim putem, gdje se mjeri brzina maksimalna u sredini cijevi i na nekom odstojanju od stijene, za koje se proračunava koeficijent m. Količina protoka Q pri turbulentnom strujanju (za okrugle provodnike) Količinu protoka daje volumen rotacijskog tijela koji čine vektori brzina. Diferencijal dQ količine protoka daje elementarna kružna površina uz osnovicu i pripadajuča visina vektora brzine v:

dQ r drv v vrr

dQ vrr

rdr

Q vrr

rdr

makso

m

makso

m

maksr

r

o

mo

= = ∗ − ⇒

= ∗ − ⇒

= ∗ −∫

2 1

2 1

2 1

π

π

π

, ( )

( ) ,

( ) ,

uvr m

i integracijom

supstitucijom 1− = ⇒ − ⇒rr

t r t dto

o, r = r dr = -ro o

dobiva se nakon sređivanja Q r v t t dto maksr

rm m

o

= ∗ −∫ +2 2 1π ( ) ,

Q r vtm

tmo maks

m m

o

ro

= − ∗+

−+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+ +

21 2

21 2

π (

uvrštavanjem supstituiranog dobije se rezultat

Qm m

r vo=+ ∗ +

∗2

1 22

( ) ( ) maxπ

srednja brzina strujanja vsr U jamskim uvjetima u različitim presjecima nastaju izolinije brzina nepravilnih oblika (slika 9).

vQF

vm m

vsr = =∗

+ ∗ +=

21 2

maxmax( ) ( )

α



Slika 9. Izolinije brzina u hodniku trapeznog profila Ekonomski optimalna brzina strujanja zraka u jamskim vjetrenim provodnicima pada u područje 2,3*105>Re>1,5*105. Vrijednost λ može se utvrditi eksperimentalno (u postoječim jamama) za konkretne jamske uvjete. Za projekrtiranje vjetrenih jamskih mreža mogu se orijentacijski uzimati podaci iz literature koji se kreču od 0,021 (betonirani hodnik, glatka obloga, ravan pod) do 0,105 (nepodgrađeni profil, neravan pod). Strujanje zraka u jamskim prostorima jest najčešče u hidraulički hrapavom području, a rjeđe u prijelaznom, iznimno u hidraulički glatkom ili laminarnom. Shodno tome je Re>5*104 odnosno λ=ƒ(K).

Tablica 1. Koeficijenta otpora λ za hodnike u drvenoj podgradi ovisno o dužinskom kalibru za različite poprečne presjeke jamskog provodnike

Tablicama 1, 2 i 3 date su vrijednosti koeficijenta otpora λ za hodnike podgrađene drvenom podgradom.

d (cm)

L : d ZA F/m2 k 1 2 3 4 5 6

15 0,0700 0,0915 0,1013 0,1046 0,1013 0,0967 1 1,11 17 0,0745 0,0880 0,1052 0,1085 0,1052 0,1007 3 0,98 20 0,0824 0,0967 0,1124 0,1157 0,1124 0,1078 5 0,93 24 0,0915 0,1078 0,1216 0,1255 0,1216 0,1160 7 0,8928 0,0980 0,1157 0,1320 0,1353 0,1320 0,1275 8 0,88



Značenje pojedinih oznaka u tablicama: L – razmak između okvira podgrade, cm d – promjer stupaca, cm L/d – dužinski kalibar, odnos razmak okvira podgrade i promjera stupaca k – popravni koeficijent ovisan o poprečnom presjeku vjetrenog provodnika

Tablica 2. Koeficijenta otpora λ za hodnike s drvenoj okvirima i dodatkom srednjeg stupca ovisno o dužinskom kalibru za poprečne presjeke jamskog provodnike F=4,0 m2

Tablica 3. Koeficijenta otpora λ za hodnike u rezanoj drvenoj podgradi ovisno o dužinskom kalibru za poprečne presjek jamskog provodnike F=3,0 m2

promjer stupca d (cm) L :d

4 6 8 18 0,2810 0,2614 0,2418 20 0,2876 0,2680 0,2549 24 0,3007 0,2810 0,2614

d (cm)

L : d 2 3 4 5 6 7

15 0,0940 0,1078 0,1242 0,1366 0,1477 0,1379 17 0,0980 0,1150 0,1307 0,1438 0,1502 0,1928 20 0,1039 0,1222 0,7386 0,1536 0,1673 0,1569 24 0,1059 0,1268 0,1438 0,1601 0,1732 0,1634

Documents

OTPORI STRUJANJU FLUIDA Pad tlaka plina ili utrošena depresijamklanfar/nids_mklanfar/VJETRENJE/VJETR_RUD_Otpori.pdf · Vjetrenje rudnika Otpori strujanju fluida RGN-fakultet Zagreb