Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II

7/17/2019 Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II

http://slidepdf.com/reader/full/otpornost-materijala-sa-teorijom-elasticnosti-ii 1/89

OTPORNOST MATERIJALA SA TEORIJOM

ELASTIČNOSTI II

Predmetni nastavnik

Dr sc.-Dipl.ing. Anan Ibrahimovid, vanredni profesor

Univerzitet u Tuzli

Rudarsko-geološko-građevinski fakultet



1. TEORIJE O SLOMU MATERIJALA. DOPUŠTENI NAPON

1.1. Uvod

Razlikuju se dva tipa loma materijala:1. Krhti lom, pojava prslina koje se brzo šire, lom se manifestuje raskidanjem materijala i proces se

odvija trenutno

2. Duktilni lom, karakterističan za materijale koji imaju osobinu tečenja, lom se smatra početaktečenja i proces se odvija postepeno

Lom, kao nepovoljna manifestacija u konstruktivnom elementu, do danas nije do kraja razjašnjen i

na njega utiču različiti faktori:

- Intenzitet napona,

- Brzina prirasta opterećenja,- Temperatura,

- Defekti u materijalu i td.

Ne postoji teorija koja je u mogućnosti da obuhvati sve ove uticaje.

Teorije koje su predmet ovog kursa odnose se samo na slom materijala usljed statičkogopterećenja pri normalnoj temperaturi kao i za homogene i izotropne materijale.

Te teorije su:

• Teorija najvećeg normalnog napona,

• Teorija najvećeg smičućeg napona,

• Mohr-ova teorija,

•Teorija najvećeg deformacionog rada na promjeni oblika.

Njihova svrha je da se odredi ona kombinacija napona, kod složenog naponskog stanja, koja

uzrokuje lom konstruktivnog elementa.

Krhti materijali

Duktilni materijali



1.2. Uporedni napon

Bez obzira na stvarni mehanizam koji dovodi do sloma materijala, lom u konstruktivnom elementu

se neće desiti sve dok je T , za duktilne materijale odnosno,

x < M , za krhte materijale, koji sudefinisani na dijagramu – .

Za element koji se nalazi u složenom naponskom stanju nije moguće predvidjeti da li će do lomadoći uspoređujući to sa rezultatima jednoaksijalnog testa, a eksperimentalno utvrđivanje uslova prikojima će doći do loma za složena naponska stanja nije isplativo niti tehnički moguće.

S toga se uspostavljaju određeni kriteriji vezani za stvarni mehanizam loma, koji omogućujupoređenje uticaja složenih naponskih stanja i jednoaksijalnog naprezanja, verifikovanogeksperimentalno. To je omogućeno formulisanjem fiktivnog napona, izraženog preko komponentitenzora napona složenog naponskog stanja kojeg možemo porediti sa naponom loma pri jednoaksijalnom naponskom stanju. Taj fiktivni napon se naziva ekvivalentni ili uporedni napon i

označava se sa e.

Normalni napon pri kojem dolazi do loma materijala pri jednoaksijalnom naprezanju naziva se

granični napon i obilježava se sa 0.

Na osnovu prethodnog, moguće je definisati jedinstveni kriterij za lom materijala izloženogsloženom naponskom stanju :

e = 0

Lom mater i ja la u nekoj tački napregnutog t i jela nastupit će kada ekvivalentni napon

dost igne veličinu graničnog napon a pri jednoaks ijalnom naprezanju.



1.3. Teorija najvedeg normalnog napona

Lom u materijalu u nekoj tački će nastupiti kada najveći normalni napon po apsolutnoj

vrijednosti dostigne vrijednost graničnog napona, bez obzira na vrijednost ostalih napona.

e = 1 ili e = 3

1.4. Teorija najvedeg smičudeg napona

U materijalu će doći do loma usljed tečenja pri bilo kojem napo nsk om stanju , kada

maksimaln i smičući napon po apsolu tnoj vr i jednost i dost igne graničnu vr i jednost .

0 – granična vrijednost smičućeg napona je najveći smičući napon po apsolutnoj vrijednosti,koji se javlja u materijalu kada nastupi tečenje u uzorku pri testu jednoaksijalnog zatezanja

odnosno



U slučaju ravnog naponskog stanja:

Poznata je i kao Tresca-in uslov tečenja.



1.5. Mohr-ova teorija

Kritična su naponska stanja čiji krugovi oiruju ilisijeku ovojnicu.

Najvedu primjenu je našla u geomehanici tj. geotehnici.



1.6. Teorija najvedeg eformacionog raa na promjeni oblika

Lom materijala u nekoj tački, pri bilo kom naponskom stanju, nastupit de u trenutku kaa maksimalna

specifična energija eformacije na promjeni oblika ostigne veličinu specifične energije eformacije na

promjeni oblika pri lomu kod jednoaksijalnog naprezanja.

Specifična energija eformacije na promjeni oblika izražena preko glavnih napona ata je izrazom:

Huber-Hencky-Mises-ov uslov plastičnog tečenja



1.7. Dopušteni napon

Do loma konstrukcije nede odi ukoliko je ekvivalentni napon u svakoj tački konstrukcije manji od graničnognapona utvrđenog jednoaksijalnim testom za oređeni materijal.

U praksi se konstruktivni elementi projektuju tako da naponi izazvani projektnim opteredenjem ne prekoračeopušteni nivo, koji je značajno niži od graničnog napona. Taj najniži nivo napona naziva se opušteni napon i

obilježava se sa d .

Odnos između graničnog napona i opuštenog napona naziva se koeficijent sigurnosti i obilježava se sa n, tj.:

Koeficijent sigurnosti se uvoi iz sljeedih razloga:• veoma rijetko je poznato stvarno opteredenje koje de jelovati na konstrukciju,• metoe proračuna konstrukcija zasnovane su na oređenim pretpostavkama i pojenostavljenjima,

• građa i mehaničke osobine materijala variraju,• neki materijali značajno koroiraju u toku vremena ili im se mehaničke osobine mijenjaju u vremenu.



1.8. Dopušteni napon

Dopušteni smičudi napon se primjenjuje pri dimenzionisanju konstruktivnih elemenata napregnutih na čisto

smicanje.

Na osnovu teorije najvedeg normalnog napona, za slučaj čistog smicanja imamo:

Na osnovu teorije najvedeg smičudeg napona, za slučaj čistog smicanja imamo:

Na osnovu teorije maksimalne energije eformacije na promjeni oblika, za slučaj čistog smicanja imamo:



2. SLOŽENA NAPREZANJA

2.1. Super pozicija i njena ograničenja

Princip superpozicije u opštem slučaju može se primjeniti samo kod linearnih problema, tj. samo dotle

dok je odnos između vanjskog opterećenja i veličine deformacije linearan.

Prema tome, prvi uslov za primjenu superpozicije jeste da se materijal od kojeg je izrađen konstruktivni

element ponaša linearno elastično , odnosno po Hook-ovom zakonu.

Drugi uslov je da su deformacije konstruktivnog elementa male.

Mogućnost primjene superpozicije

zavisit će od veličine ugiba v.



2.3. Ekscentrično optereden štap

2.3.1. Proračun normalnih napona

Rezultanta unutrašnjih sila u popriječnom presjeku ovako opterećenogštapa svodi se na normalnu silu koja ne djeluje u težištu presjeka, nego

u tački u kojoj pravac djelovanja vanjskog opterećenja prodire kroz

ravan presjeka.

Ekscentrično opterećeni kratki štapovi,kod kojih se za proračun napona, nakon

svođenja složenog opterećenja na više jednostavnih slučajeva, koristi metoda

superpozicije.

Ravan djelovanja momenta redukcije M poklapa se sa pravcem duži CN.



Naprezanja ekscentričnom normalnom silom svodi se na

kombinaciju aksijalnog naprezanja i kosog savijanja.

Neutralna osa:

Neutralna linija ne prolazi

kroz težište presjeka

Odsječci neutralne linije na koordinatnim osama:

Neutralna linija uvjek prolazi kroz

suprotni kvadrant od onog u kojem

djeluje normalna sila N, a njen

položaj isključivo zavisi od položajanapadne tačke sile N a ne od

njenog intenziteta ili predznaka.



U slučaju malog ekscentriciteta, neutralna linija može da se nalazi izvan popriječnog presjeka, pa taj

pravac samo uslovno predstavlja neutralnu liniju.

Ni u ovom slučaju neutralna linija nije upravna na ravan djelovanja momenta, jer je:

= iz = iy, tj. kod presjeka kao što su krug ili kvadrat







Položaj neutralne linije najjednostavnije se može odrediti tako da naprezanje od aksijalnog i

popriječnog opterećenja svedemo na naprezanje od ekscentričnog djelovanja normalne sile, idućiobrnutim postupkom od onog koji se primjenjuje za proračun napona kod ekscentričnog djelovanja

normalne sile.

Položaj fiktivne napadne tačke normalne sile u popriječnom presjeku odredit ćemo na osnovu

jednačina:

, što omogućava da se odredi položaj neutralne linije. Vrijednosti

momenata i sila se unose sa odgovarajućim predznakom.

Napomena: Za razliku od ekscentrično opterećenog štapa, ovdje se veličina ekscentriciteta mijenja od

presjeka do presjeka, jer se mijenja vrijednost i predznak momenata i normalnih sila, što ima za

posljedici promjenu položaja neutralne osovine od presjeka do presjeka.



2.3.2. Dimenzionisanje

I kod ove vrste naprezanja najveći ekvivalentni napon u jednom popriječnom presjeku najčešće je

jednak najvećem normalnom naponu.

Izuzetak može da bude naprezanje izazvano istovremenim djelovanjem popriječnog i aksijalnog

opterećenja, kod koga se javlja kombinacija normalnog i smičućeg napona, koja će rezultovatiekvivalentnim naponom koji je veći od najvećeg normalnog napona u popriječnom presjeku. Taj slučaj je jako rijedak, pa se dimenzionisanje vrši samo na osnovu najvećeg normalnog napona.

Složenost izraza za proračun napona i mnoštvo geometrijskih karakteristika uzrokuju da se

dimenzionisanje u ovim slučajevima obavlja probanjem.

Zbog činjenice da se najveći normalni naponi javljaju u tačkama najudaljenijim od neutralne linije, zapravougaone popriječne presjeke i one koji se mogu upisati u pravougaonik to su tačke u uglovima

presjeka, pa se za dimenzionisanje može koristiti izraz:

Ako je dopušteni napon za pritisak i zatezanje isti, svi članovi u gornjoj jednačini mogu se uzeti sa

apsolutnom vrijednošću i sabrati, jer se uvijek u jednom uglu presjeka ovi članovi javljaju sa istim

predznakom.

Dimenzionisanje će biti olakšano ukoliko se unaprijed znaju odnosno zadaju odnosi pojedinih strana

popriječnog presjeka ili odnosi pojedinih geometrijskih karakteristika.



2.4. Jezgro presjeka

Dva granična slučaja:

-Neutralna osa prolazi kroz težište presjeka, napadna tačka

normalne sile je beskonačno daleko,-Neutralna linija prolazi beskonačno daleko od težišta presjeka,

napadan tačka normalne sile je u težištu presjeka.

Dio površine presjeka omeđen napadnim tačkama si la čije

neu t ralne osov ine tang i ra ju p res jek naz iva se jezgro

presjeka.





Grafički postupak određivanja jezgra presjeka



3. NAPREZANJE ZAKRIVLJENIH ŠTAPOVA

3.1. Uopšteno o zakrivljenim štapovima

U praksi se veoma često susreću konstruktivni elementi u vidu zakrivljenih štapova:lukovi, svodovi,prstenovi, kuke i td.

Problem ovih konstruktivnih elemenata je da su im raspodjele napona dosta drugačije nego kod pravih

štapova, što ograničava primjenu izraza za proračun i dimenzionisanje, koji su izvedeni za prave štapove.

U ovom kursu ćemo se samo upoznati sa načinom analize i iznalaženjem relevantnih izraza za štapovesimetričnog popriječnog presjeka u odnosu na ravnine djelovanja opterećenja i osovina im leži u toj ravnini.

Spoljna opterećenja izazivaju pojav unutrašnjih sila, čijase rezultanta nalazi u ravni štapa i koja se možerastaviti na presječne sile: T, N i M.

Kod štapova koji ispunjavaju navedene pretpostavke,

vezane za geometriju i način djelovanja opterećenja,noramalni naponi, izazvani normalnim silama, i smičućinaponi, izazvani transferzalnim silama, proračunavajuse na isti način kao što je to kod pravih štapova:

Normalni naponi uzrokovani pojavom momenta savijanja ne mogu se računati prema izrazima

izvedenim za prave štapove, već u okviru posebno definisanih kriterija.



3.2. Noramalni naponi o savijanja ko zakrivljenih štapova

Iako je i ovdje osnovna pretpostavka o ravnim presjecima, raspodjela normalnih napona u popriječnompresjeku razlikuje se od one koja se sreće kod ravnih štapova. Dvije osnovne razlike su u:

Neutralna osa kod zakrivljenih štapova ne prolazi kroz težište popriječnog presjeka,Noramalni naponi se ne mjenjaju linearno po visini popriječnog presjeka.Osnovni razlog ovim razlikama je što dužina vlakana štapa, duž težišne ose štapa (podužne ose) nijekonstantna, već je u funkciji od odstojanja vlakna u odnosu na centar krivine štapa.

r 0 – polupriječnik zakrivljenosti osovineštapa,r n – odstojanje neutralne površine od

centra krivine,

r – odstojanje proizvoljnog vlakna od

centra krivine.

Posmatrat će se vlakno EF na

odstojanju y od neutralne ose i

odstojanju r od centra krivine.

Njegova promjena dužine (skraćenje)nakon deformacije usljed čistogsavijanja je:



Pošto je početna dužina vlakna s = r , to će dilatacija posmatranog vlakna biti:

Također, na osnovu Hook-ovog zakona, normalni napon u odgovarajućim tačkama popriječnog presjeka

iznosi:

, čime je određen način raspodjele normalnih napona.

Položaj neutralne ose se određuje iz uslova da je suma sila koje djeluju okomito na presjek jednaka nuli:

Napomena: Neutralna osa je uvjek pomaknuta bliže centru zakrivljenosti štapa, u odnosu na težištepresjeka.



Raspodjela normalnih napona po popriječnom presjeku se određuje iz slova ravnoteže momenata oko

neutralne ose:

Ako se izvrši integraljenje, vodeći računa o konstantnim veličinama, dobija se:

Na osnovu prethodnih izraza, članove u uglastoj zagradi (integrale) možemo zamjeniti sa sljedećimvrijednostima:

A uvrštavanjem u prethodni izraz dobijamo:



Sređivanjem izraza, dobija se:

Pa smo u mogućnosti da definišemo izraz za određivanje veličine normalnog napona u popriječnompresjeku zakrivljenog štapa, u funkciji od r:

Ako sada ovaj izraz dodatno sredimo, uzimajući da je: i , dobija se:

Dobijeni izraz podsjeća na poznatu formulu savijanja, ali isto tako pokazuje da se naponi po popriječnompresjeku zakrivljene grede mjenjaju po zakonu hiperbole i da se maksimalni napon, po apsolutnoj

vrijednosti, uvjek javlja na unutrašnjoj (konkavnoj) strani grede.



Ako je y osa pozitivno usmjerena na suprotnu strano od zakrivljenosti (kao na narednoj slici) onda je:

3.3. Štap pravougaonog popriječnog presjeka

- položaj neutralne ose za pravougaoni presjek



Primjer:

Uporediti normalne napone u štapu pravougaonog popriječnog presjeka, dimenzija 5x5 cm, opterećenogmomentom savijanja M = 1,5 kNm, za tri različita slučaja zakrivljenosti:a) Prav štap,b) Zakrivljen štap sa srednjim radijusom r 0 = 22,5 cm,

c) Zakrivljen štap sa srednjim radijusom r 0 = 7,5 cm.

a)

b)

c)



Zaključci opšte važnosti:

Za štapove male zakrivljenosti može se koristiti i formula za savijanje pravih štapova. Mjera

zakrivljenosti je odnos r 0/h. Praktična granica primjenjivosti formule za prave štapove je r 0/h = 10.

Položaj neutralne osovine mora se veoma tačno proračunati jer je e, u izrazima za napon, određeno kao

razlika numerički podjednakih veličina (r 0 i r n), pa i najmanja greška pri određivanju r n ima veliki odraz

tačnosti na proračunate napone.



3.4. Neki rugi oblici popriječnog presjeka

a) Krug:

b) Trokut:

c) Trapez:



4. STABILNOST PRITISNUTIH ŠTAPOVA

4.1. Uvod

Dva kriterija za dimenzionisanje konstruktivnih elemenata:

1. Kriterij čvrstoće materijala, kojim se obezbjeđuju naponi manji od onih koji bi mogli da prouzrokujuslom materijala,

2. Kriterij deformacije, kojim se obezbjeđuju deformacije manje od onih koje se definišu kao

neprihvatljive deformacije.

Pored ovih kriterija, kod dimenzionisanja nekih konstruktivnih elemenata, mora se razmotriti i njihova

stabilnost, tj. sposobnost da preuzmu vanjsko opterećenje a da pri tome ne dođe do iznenadne

promjene u obliku konstruktivnog elementa ili čitave konstrukcije, što može da bude uzrok rušenja

konstrukcije.

Stabilna ravnoteža Labilna ravnoteža



4.2. Priroda problema

Stabilnost sistema zavisi isključivo od vrijednosti sile F, jer ako je F > k h onda sistem postaje

nestabilan.

Zbog te činjenice sile F = k h naziva se kritičnom silom i označava sa Fkr .



Stabilna ravnotežaI z v i j a n j e

Indiferentna ravnoteža

Zaključak : Idealno prav štap opterećen aksijalnom silom neće se izviti

čim sila prekorači veličinu kritične sile, nego će samo preći u stanje

labilne ravnoteže. Tek kada ga malim poremećajem izvedemo iz

ravnotežnog položaja, on će se izviti i slomiti.

Međutim, štapovi u stvarnosti nikada nisu idealno pravi , tako da kada

aksijalna sila dostigne veličinu kritične sile za idealan štap, poremećaj

ravnotežnog položaja već postoji, pa će se štap izviti bez bilo kakvog

dopunskog vanjskog poremećaja.



4.3. Kritična sila za štap zglobno vezan na oba kraja. Euler-ova

formula

Diferencijalna jednačina

elastične linije

Diferencijalna jednačina ravnotežeizvijenog štapa

Linearna diferencijalna

jednačina drugog reda sa

konstantnim koeficijentima

Euler-ova kritična sila

(Euler-ov izraz)

Jednačina elastične linije

izvijenog štapa (sinusoidni

polutalas)



4.4. Drugi slučajevi učvršdenja štapa na krajevima. Slobonaužina izvijanja

-Na jednom kraju uklješten a na drugom slobodan:

-Uklješten na oba kraja:

-Na jednom kraju uklješten a na drugom zglobnoučvršćen:

a) Obostrano zglobno vezan štap:

b) Obostrano uklješten štap:

c) Štap jednim krajem uklješten a drugimzglobno vezan:

d) Štap jednim krajem uklješten a drugimslobodan

li – slobodna dužina izvijanja (dužina ekvivalentnog

obostrano zglobno oslonjenog štapa)



Slobodna dužina izvijanja je dužina između prevojnih tačaka na elastičnoj liniji izvijenog štapa ,

odnosno zglobova, ako ih ima.

Svi prethodni izrazi i zaključci izvedeni su uz pretpostavku

da se materijal ponaša linearno elastično. Zbog toga se ti

izrazi smiju upotrebljava ti samo dok se štap deformiše u

području linearno elastičnih deformacija.



4.5. Kritični napon u linearnom poručju eformacija. Vitkostštapa

Normalni napon koji bi se javio u štapu kada bi na njega djelovala kritična sila, naziva se kritični napon .

Vitkost štapa

Euler-ova hiperbola



4.6. Kritični napon u nelinearnom poručju eformacija

Kritični napon ni u kom slučaju ne može preći vrijednost čvrstoće

materijala M, bez obzira kakvi naponi se dobijali na osnovuprethodnog izraza, jer će se štapovi kod kojih je vitkost manja od

M uvjek će se prije slomiti zbog prekoračenja čvrstoće materijala

prije nego što izgube stabilnost. To su tzv. kratki štapovi.



4.7. Dopušteni napon. Dimenzionisanje

Dopušteni napon u ovom slučaju je najveći normalni napon, koji se smije pojaviti u pritisnutom vitkom

štapu, kako bi bili bezbjedni da u toku eksploatacije štap nikada neće doći u stanje labilne ravnoteže,

što bi opet neposredno dovelo do njegovog sloma.

Koeficijent sigurnosti nije konstantna veličina, već zavisi od promjene vitkosti štapa tj. n = n( ).



4.8. Ekscentrično pritisnuti vitki štapovi

U ovom slučaju više nije problem izvijanja

određivanje opterećenja pri kojem će doći do

nestabilnosti i izvijanja već određivanjeopterećenja pri kojem će u štapu doći do sloma

u materijalu usljed povećanja napona ili pri

kojem će doći do pretjerano velikih deformacija.



Maksimalni ugib će se dobiti na polovini raspona (x= l/2):

Sekans je funkcija koja je jednaka jedinici kada je argument jednak nuli, a beskonačno velika kada je

argument jednak /2. Prema tome, ugib je beskonačno veliki kada je:

, odnosno kada sila F dostigne vrijednost kritične sile za

aksijalno opterećen štap.

Kod ekscentrično pritisnutih vitkih štapova, napone ne možemo računati jednostavnom

superpozicijom normalne sile i momenta ekscentriciteta, kako je to bilo kod ekscentrično pritisnutih

kratkih štapova.

Maksimalni moment savijanja je na mjestu maksimalnog ugiba (sredina raspona).



Maksimalni normalni napon se javlja u tačkama najudaljenijim od neutralne osovine:

M, l = liSekansna formula

Sekansna formula je primjenjiva samo dok se štap deformiše u području elastičnih deformacija (naponi

manji od napona na granici proporcionalnosti).



Za max je uzeta vrijednost napona na granici proporcionalnosti.

Za <50, uticaj deformacije štapa na

veličinu napona se može zanemariti a

naponi se mogu proračunati po formuli

za kratke štapove .

Sa porastom odnosa e/y0, tj. sa

povećanjem ekscentriciteta napadne

tačke normalne sile, uticaj vitkosti,

odnosno deformacije štapa na ukupni

napon postaje sve manji, i kada taj

odnos dostigne vrijednost 2 praktičnose može zanemariti, a normalni napon

se opet može proračunati po formuli

, bez obzira na vitkost

štapa.



4.9. Opšti slučaj savijanja vitkih štapova kombinovan saaksijalnim pritiskom

, pa je rješenje homogene jednačine:

, a partikularno se određuje za svaki slučaj opterećenjaposebno, dok se konstante integracije određuju iz

graničnih uslova , najčešće na krajevima štapa.



Granični uslovi:



4.10. Dimenzionisanje ekscentrično pritisnutih vitkih štapova

Kod dimenzionisanja ovako opterećenih konstruktivnih elemenata susreću se dva pristupa:

a) Metod dopuštenog napona,

b) Interakcioni metod.

A) Metod dopuštenog napona

Vrijednost di, za dati materijal, zavisi od vitkosti štapa. Veličina momenta savijanja uzima se u

zavisnosti od dijagrama momenata na štapu i oblika izvijene osovine centrično pritisnutog štapa,tako da napon proračunat gornjom jednačinom bude približno jednak, ali ne manji, od stvarnog

maksimalnog napona pritiska u štapu, čiju je tačnu lokaciju u većini slučajeva veoma teško odrediti.

U većini propisa dopušteni napon se određuje na osnovu najveće vitkosti štapa, bez obzira na

ravan djelovanja momenta savijanja, što u nekim slučajevima za posljedicu ima neracionalan izbor

dimenzija presjeka.



B) Interakcioni metod

Dopušteni napon na izvijanje, kako je ranije pokazano, višestruko je manji od odpuštenognapona na savijanje. Zbog toga primjena prethodnog izraza, po kojem suma napona od

aksijane sile i momenta savijanja ne smije prekoračiti dopušteni napon na izvijanje, dodovdi do

predimenzioniranja popriječnog presjeka.Logično je da će se poboljšanje postupka dimenzionisanja sastojati u tome da se za svaki članprethodne jednačine primjeni odgovarajući dopušteni napon. U tom pogledu transformiše se

prethodna jednačina u oblik:

U drugom članu, umjesto dozvoljenog napona na izvijanje, uzet

ćemo dozvoljeni napon na savijanje.

Interakciona formula

Dalja modifikacija je moguća ukoliko se dopušteni napon na izvijanje definiše kao procenat

dopuštenog napona na savijanje. Ukoliko je ovaj drugi jednak dopuštenom naponu za kratke

aksijalno opterećene štapove , pa je:

5 ŠTAPOVI TANKOSTIJENOG PRESJEKA



5.1. Smičudi naponi u tankostijenim greama

Smičući naponi se javljaju u bilo

kojoj uzdužnoj popriječnoj ravnini

a ne samo u horizontalnoj.

Kod tankostijenih greda u interesu

su u prvom redu smičući naponi

koji se javljaju u presječnimravninama okomitim na stijenke

presjeka, jer je tada površina

presjeka najmanja tj. naponi sunajveći.

Podužni presjek okomit na vanjske

površine stijenke presjeka, a smičućinapon je u pravcu tangente na konturu

presjeka

5. ŠTAPOVI TANKOSTIJENOG PRESJEKA



Komponenta okomita na konturu presjeka smatra se da je jednaka nuli, po cijeloj debljini stijenke zbog

blizine konture presjeka.

Smičuća sila na jedinicu dužine stijenke presjeka, s = f (S)

Tok smicanja ili tok smičućih napona, pomoću kojeg se može jednostavno odrediti smjer

djelovanja smičućih napona u horizontalnim djelovima presjeka iz smjera (predznaka)

smičućih napona u vertikalnim djelovima presjeka (koji je isti kao i smjer transverzalne sile).



5.2. Centar smicanja

Ako opterećenje ne djeluje u ravni simetrije presjeka, pored savijanja dolazi i do uvijanja grede oko

uzdužne osovine, bez obzira što opterećenje djeluje kroz težište presjeka i u ravni glavne ose inercije.

Iz dijagrama smičućih napona B

T1 Odstojanje “e” ni je zavisno od transverzalne si le

nit i od mjesta presjeka uzduž grede, pa je s toga

odstojanje “e” geom etri jsk a karakteris t ika presj eka.



Na sličan način se odredi i položaj ravnine u kojoj mora djelovati horizontalna sila da ne bi došlo do

uvijanja grede. Za “ ” profil, zbog simetrije, ta ravnina se poklapa sa z-osom.

Presjek ove dvije okomit e ravnine i ravni ne popriječnog presjeka definišu tačku koja se

naziva centar sm icanja i označava se C s .

Centar smicanja za prizmatičnu gredu leži na podužnoj liniji paralelnoj osovini grede. Ako popriječnoopterećenje djeluje kroz centar smicanja, ne dolazi do uvijanja grede, a ako ne djeluje, onda se

uvijanje događa oko centra smicanja, koji ostaje nepromjenljiv. Zbog toga se nekada centar smicanja

naziva centar uvijanja.

Kod popriječnih presjeka koji imaju jednu osovinu simetrije, centar smicanja uvjek leži na jednoj . Kod

presjeka koji imaju dvije ose simetrije centar smicanja se poklapa sa težištem presjeka.

5 3 Torzija štapova tankostjenog otvorenog presjeka



5.3. Torzija štapova tankostjenog otvorenog presjeka

Ugao uvijanja i maksimalni smičućinapon u ovakvim presjecima mogu

proračunati pomoću obrazaca za

pravougaoni popriječni presjek, s tim

da se odnos dužine “s” i debljine

stijenke “t” uzima kao i prema

njemu se odabiru vrijednosti za

koeficijente i .

Maksimalni smičućinapon u presjeku

Maksimalni smičućinapon u presjeku

5 4 Štapovi tankostjenog zatvorenog presjeka



5.4. Štapovi tankostjenog zatvorenog presjeka

Mogu se koristiti izrazi za puni kružni odnosno

prstenasti presjek.

5 5 Dimenzionisanje



5.5. Dimenzionisanje

Dimenzioniranje je najjednostavnije obaviti po teoriji dopuštenog smičućeg napona:

Pored dimenzioniranja na dopušteni napon tj. po kriteriju čvrstoće, ponekada sedimenzioniranje može izvršiti po kriteriju dopuštenog ugla uvijanja štapa.



6. ENERGETSKE METODE

6.1. Uvod

Dosadašnja rješenja problema su se bazirala na vektorskom rješavanju ravnoteže tijela koja su podspoljnim opterećenjam.

Pored ovog razmatranja moguće je ove probleme rješavati i korištenjem skalarnih funkcija na bazi

energetskih principa. Osnovni princip ovog razmatranja je održanje energije.

Energetski pristup ima velike prednosti kada su u pitanju rješavanja složenih problema deformacije tijela.

Prednost mu je što omogućava da se na sistematski način formulišu dopunske jednačine, neophodne za

rješavanje statički neodređenih sistema.

6.2. Rad sile na pomjeranju i deformaciji tijela

O t j d j kih il i j j tij l ži št b b i či



Ovo razmatranje o radu vanjskih sila pri pomjeranju tijela važi uopšteno, bez obzira na načinmanifestovanja spoljenje akcije na tijelo. S toga će se u dalje razmatrati generalisana sila Q i

odgovarajuće generalisano pomjeranje .

Prethodni izrazi se ne mogu primjeniti kada je u pitanju rad kojim se vrši deformacija tijela. U ovom

slučaju sila djeluje od svoje nulte vrijednosti do konačne, pa su i deformacije od nulte vrijednosti do

njihovih konačnih vrijednosti. Prema tome, sila ne djeluje u svojoj punoj veličini na cijelom pomjeranju.

Do sada se ovom problemu pristupalo tzv. statičkim tretmanom, kod kojeg se podrazumjeva da je prirast

sile dovoljno spor pa se inercijalne sile i kinetička energija, koji se javljaju u tijelu mogu zanemariti.

Za lienearno elastičnu deformaciju:



Za lienearno elastičnu deformaciju:

k – krutost štapa, nagib linije 0A

Pravilo opšte važnosti: rad sile na deformaciji čvrstog tijela koju sama ta sila izaziva u području

linearno elastičnih deformacija, jedanak je polovini proizvoda sile i pomjeranja u pravcu

djelovanja sile.

Ako na neko tijelo već djeluje sila Q1 u svojoj punoj veličini, a zatim na tijelo počne djelovati neka druga

sila , Q2

, onda je rad koji sila Q1

izvrši na deformaciji prouzrokovanoj silom Q2

, jednak proizvodu izmeđusile Q1 i odgovarajuće deformacije izazvane silom Q2, jer je sila Q1 već djelovala u svojoj punoj veličinikada se desilo pomjeranje prouzrokovano silom Q2. Isto pravilo važi kada su u pitanju virtualna

pomjeranja.

6 3 Osnovni principi



6.3. Osnovni principi

U mehanici se energija definiše kao sposobnost da se izvrši neki rad. Prilikom rada sile na deformaciji tijela

dio energije se potroši odnson preda deformisanom tijelu. Tom energijom ono se vraća u prvobitno stanje

nakon prestanka djelovnja sile.

Pošto se kod elastičnih tijela deformacija u potpunosti eliminiše, odnosno tijelo se vraća u prvobitni oblik,nakon prestanka djelovanja spoljne sile, energija akumulirana u tijelu jednaka je radu koji su izvršile vanjske

sile na deformaciji tijela, odnosno:

Kod neelastičnih tijela dio energije potrošen na deformaciju se pretvara u toplotu tako da preostali dio

akumulirane energije nije u stanju da tijelo vrati u prvobitni oblik.

Energija koja je ostala akumulirana u tijelu naziva se još energija elastične deformacije.

Pod djelovanjem vanjskih sila u tijelu se javljaju unutrašnje sile koje takođe vrše rad pri deformaciji sistema

(Wu). Kako su one u ravnoteži sa spoljašnjim silama to je rad sistemaspoljašnih sila jednak radu sistema

unutrašjih sila, pošto se deformacija obavlja na istom tijelu. Naravno, rad sistema unutrašnjih sila ima samo

negativna predznak (odnosno suprotan predznak):

tj. energija elastične deformacije jednaka je radu unutrašnjih sila sa negativnim predznakom.

6 4 Castigliano ove teoreme



6.4. Castigliano-ove teoreme

Alberto Castigliano (1847 – 1884)

Energetske metode za proračun deformacija linearno elastičnih tijela

zasnivaju se na sljedećeoj teoremi:

Pomjeranje i na mjestu i u pravcu djelovanja sile Qi jednako jeparcijalnom izvodu energije deformacije po sili Qi.

Ovo je Druga Castigliano-ova teorema.

Ako je tijelo izloženo djelovanju sistema vanjskih sila i sile Q energija deformacije akumulirana u



Ako je tijelo izloženo djelovanju sistema vanjskih sila i sile Qk, energija deformacije akumulirana u

njemu jednaka je:

Ako se pođe obrnutim redom kod nanošenja opterećenja, pa najprije nanesemo silu Qk imat ćemo:

Ako nakon toga nanesemo ostale sile Qi desit će se i deformacije i. Mehanički rad koji se tom prilikomizvršava sastojat će se iz rada koje sile Qi izvrše na pomjeranjima i i rada koji sila Qk izvrši na

pomjeranju k ( Qk k).

Ukupni mehanički rad je:

Postoji i prva Castigliano-ova teorema, koja je od manjeg značaja u praktičnoj primjeni i glasi:



j p g , j j j g j p j p j g

Sila Qi jednaka je parcijalnom izvodu energije deformacije po pomjeranju i koje odgovara toj sili.

6 5 Oređivanje energije eformacije u linearno elastičnom tijelu



6.5. Oređivanje energije eformacije u linearno elastičnom tijelu

Rad utrošen na deformaciju tijela najednostavnije je proračunati kao rad unutrašnjih sila primjenom

principa o održanju energije. Taj rad je kod linearno elastičnih tijela ujedno jednak energiji elastičnedeformacije.

Kod idelano elastičnog tijelanema rasipanja energije pri

deformisanju

Izraz za energiju elastičnu deformacije elementarnog kvadra izloženog čistom smicanju može se izvesti na

l či



anlogan način:

Za trodimenzijalno stanje napona, energija elastične deformaije se dobija superpozicioniranjem:

Jedan dio deformacionog rada se troši na promjenu oblika a drugi na promjenu zapremine pa je i



Jedan dio deformacionog rada se troši na promjenu oblika a drugi na promjenu zapremine, pa je isprecifičnu energiju deformacije moguće prikazati kao zbir energije na promjeni zapremine i energije napromjeni oblika.

Specifična energija na promjeni zapremine je:

Specifična energija na promjeni oblika je:

6 6 Energija elastične eformacije linijskih nosača



6.6. Energija elastične eformacije linijskih nosača

Energiju elastične deformacije linijskih nosača najjednostavnije je odrediti na način da se najprije

izračunaju ove energije za pojedine presječne sile a nakon toga se izvrši njihova superpozicija.

A) Energija deformacije od normalne sile

B) Energija deformacije od momenta savijanja

C) Energija deformacije od transverzalne sile



C) Energija deformacije od transverzalne sile

= 6/5 - za pravougaoni presjek

=10/9 - za kružni presjek

D) Energija deformacije od momenta torzije



D) Energija deformacije od momenta torzije

Ovaj izraz važi i za štapove drugačijeg popriječnog presjeka, s tim da se umjesto polarnog momenta

inercije uvrštava moment torzije koji se koriste za te presjeka u izrazu za proračun ugla uvijanja od

torzije.

Za pravougaoni presjek:

Za otvoreni tankostijeni presjek:

Za zatvorene tankostijene:

Torzioni momenti inercije presjeka



Integrali koji se nalaze u prethodnoj jednačini nazivaju se Mohr-ovi integrali.

6.7. Oređivanje pomjeranja linijskih nosača

E) Opšti slučaj naprezanja

Kada je poznata energija elastične deformacije linijskog nosača, pomjeranje nosača u tački u kojoj

djeluje neka vanjska sila možemo odrediti primjenom druge Castigliano-ove teoreme.

Ovaj izraz ima izvjestan nedostatk jer omogućava da se izračuna pomjeranje samo napadnim tačkamalj jih ć j i jih dj l j



spoljnjih opterećenja i u pravcu njihovog djelovanja.

Taj nedostatak su riješili Mohr i Maxwell, dajući jedan sličan izraz, a na osnovu činjenice da je kod linearno

elastičnih sistema, za područje malih deformacija, statički uticaj linearna funkcija opterećenja.

To omogućava da se u nosaču opterećenom silama Qi može izraz za moment savijanja Mz u nekom

presjeku napisati u sljedećem obliku:

- koeficijent, predstavlja moment Mz u presjeku x izazvan jediničnom silom Qi = 1, dok su ostale

sile na nosaču jednake 0. (Sila Qi je bezdimenzionalna veličina).

Koeficijenti su funkcije samo napadne tačke sile i presjeka u kojem proračunavamo uticaj.

i td. predstavljaju statičke uticaje u nosaču od djelovanja bezdimenzionalne jedinične sile,



prethodni izraz, za proračun pomjeranja, omogućava nam da proračunamo pomjeranje u bilo kojoj tački i ubilo kom pravcu na nosaču.

Svaki od integrala u predhodnoj jednačini predstavlja uticaj odgovarajuće presječne sile na pomjeranje

nosača.

Bitno je znati da uticaji pojedidinih presječnih sila nisu podjednako značajni za određena pomjeranja i zaviseod vrste napregnutosti nosača (stanja naprezanja).

- nosač napregnut na savijanje

Uticaj momenta torzije na pomjeranje nosača istog je značaja kao i moment savijanja i mora se uzeti uobzir pri proračunu pomjeranja.Kod rešetki je značajan uticaj noramlanih (aksijalnih) sila.

6 8 Pravilo Vereščagin-a



6.8. Pravilo Vereščagin-a

Pravilo Vereščagin-a glasi: Ako se podintegralna funkcija može prestaviti kako proizvod dvije funkcije, od

kojih je barem jedna linearna u čitavom području integraljenja, onda je vrijednost određenog integrala

jednaka proizvodu od površine ispod dijagrama nelinearne funkcije i ordinate linearne funkcije na mjestu

težišta površine nelinearne funkcije.



6 9 Opšti način rješavanja statički neoređenih nosača



6.9. Opšti način rješavanja statički neoređenih nosača

Maxwell – Mohr-ov metod omogućava na jednostavan način, iz razmatranje deformacije sistema, dobijanja

uslova neophodnih za rješavanje statički neodređenih problema sa kojima se se nadopunjuju statičke jednačine ravnoteže.

Pošto se radi o linearno elastičnom sistemu možemo pisati:

Ostale reakcije i presječne sile u nosaču dalje dobijamo kao kod bilo kojeg drugog statički određenogsistema, gdje je X vanjsko opterećenje.Pomjeranja xp i xx određuju se metodom Maxwell – Mohr-a u zavisnosti od zadatog sistema i

opterećenja.

6 10 Energetska interpretacija - dijagrama



6.10. Energetska interpretacija dijagrama

Definicija vezana za specifičnu energiju deformacije, kod linearno elastičnih materijala, može se proširitii za one koji se ne ponašaju ovako.

Površina ispod krive konstruisane sve do slomapredstavlja specifičnu energiju koju je potrebno utrošitida bi se izazvao slom materijala, izloženog jednoaksijalnom naprezanju.



Petlja histerezisa

7. OSNOVI PRORAČUNA NOSAČA U PODRUČJU NEELASTIČNIH



DEFORMACIJA

7.1. Uvod

Do sada razmatrane zakonitosti su primjenjive u linearno elastičnom području ponašanja materijala.

Inženjerski objekti obično se i projektuju na način da se u njima ne dopušta pojava neelastičnihdeformacija.

U slučajevima zemljotresnog opterećenja nije baš opravdano elastično ponašanje konstrukcije pa se tada

dozvoljava njeno neelastično ponašanje, što iziskuje proširenje dosadašnjih razmatranja na neelastičnapodručja.

Sa matematičkog stajališta to je znatno komplikovaniji problem pa će se u ovom obimu predavanja

posmatrati samo jednostavni slučajevi, ali dovoljni da se stekne uvid u osnove neelastičnog deformisanja

konstruktivnih elemenata i njihovog proračuna.

7.2. Savijanje gree u poručju nelinearnih eformacija

Pretpostavke:•Ravni i okomiti presjeci ostaju takvi i nakon savijanja,

•Kod pravih štapova dilatacije vlakana štapa, kod savijanja, linearno su proporcionalna njihovom

odstojanju od neutralne ose,

•Zanemaruje se Poisson-ov efekat, pa se uzdužna vlakna deformišu nezavisno jedno od drugog svako

vlakno se posmatra kao infinitezimalno tanak aksijalno opterećen štap),•Veličina napona u pojedinim vlaknima, za poznatu dilataciju, može odrediti direktno iz - dijagrama.



Treća jedančina je zadovoljena trivijalno ako

popriječni presjek ima barem jednu osovinu

simetrije podudarnu sa ravninom djelovanja

momenta savijanja.

Raspodjela normalnih napona u popriječnompresjeku koja zadovoljava prvi i drugu

jednačinu može se u opštem slučaju dobiti

samo probanjem.

- dijagram je nelinearan i različit za pritisak

i zatezanje pa neutralna osovina ne prolazi

kroz težište presjeka.

S toga se mora pretpostaviti i položaj neutralne

ose i veličina dilatacija u presjeku.

Za tako pretpostavljene dilatacije konstrujiše se dijagram napona i provjeri da li je zadovoljena prva

j d či t ž



jednačina ravnoteže.

Položaj neutralne ose se mjenja sve dok prva jednačina ne bude zadovoljena, a zatim se provjerava

druga jednačina. Ukoliko nije zadovoljena, povećava se ili smanjuje veličina dilatacije i postupak se

ponavlja sve do zadovoljenja obje jednačine.

Potrebno je uočiti da prva jednačina predstavlja uslov da je rezultanta pritiskujućih napona jednakarezultanti zatežućih napona (P = Z).

U drugoj jednačini integral predstavlja moment što ga stvaraju sile P i Z.

Problem se znatno pojednostavljuje kada popriječni presjek posjeduje dvije osovine simetrije i kada je

dijagram - isti i za pritisak i za zatezanje, jer je u tom slučaju neutralna osa u težištu porpiječnogpresjeka. U ovakvom slučaju je potrebno samo odrediti dilatacije za koje će biti zadovoljena druga

jednačina.

Pomoću druge jednačine određuje se moment savijanja koji odgovara raspodjeli normalnih napona u

popriječnom presjeku kako je to prikazano na prethodnoj slici, ili datoj na neki drugi način, odnosno:

Važna vrijednost momenta savijanja u razmatranju problema savijanja grede u području neelastičnihdeformacija je granični momenat M koji uzrokuje slom grede



deformacija je granični momenat Mp,, koji uzrokuje slom grede.

Njegova veličina se određuje pomoću druge jednačine ravnoteže, tako da u krajnjim vlaknima

popriječnog presjeka pretpostavimo dilatacije koje odgovaraju naponu pri slomu materijala M i

izvrši se ranije opisan proračun.

7.3. Gree izrađene o elastoplastičnog materijala



Pretpostavke: idealno elastoplastičan materijal, pravougaoni popriječni presjek dijagram - isti za pritisak

i za zatezanje.

T i T – napon i dilatacija na granici tečenja.

Moment tečenja ili najveći elastičnimoment savijanja



Zone plastifikacije Zone elastične deformacije

Sa povećanjem momenta savijanja povećava se plastična zona a elastična smanjuje, ali teoretski

nikada ta elastična zona ne može nestati



nikada ta elastična zona ne može nestati.

Pošto je doprinos te male elastične zone u ukupnoj nosivosti grede veoma mali, to se najveći moment

savijanja tj. granični moment određuje pod pretpostavkom da su i zategnuta i pritisnuta zona u

potpunosti plastificirane.

Vrijednost tog graničnog momenta se dobija sa uslovom da je yT = 0, pa je:

Zaključak: Za pravougaoni popriječni presjek granični moment je 1,5 puta veći od momenta tečenja.

Za valjane profile odnos između Mp i MT kreće se u granicama od 1,15 do 1,20.

Mp/MT = Wp – plastični otporni moment popriječnog presjeka.

Za pravougaoni popriječni presjek Wp = bh2/4 i tačno je 1,5 puta veći od njegovog otpornosg momenta

koji je W = bh2/6.

Ako je poznat plasitični otporni moment nekog presjeka onda je:

Ukoliko u tablicama za valjane profile postoji odnos između plastičnog i elastičnog otpornog momenta,

prethodna jednačina ima i praktičnu primjenu. U nekim zemljama se taj odnos stavlja u tablicama za

valjane profile.

Proračun postaje složeniji ukoliko imamo samo jednu ravninu simetrije odnosno jednu težišnu osu

simetrije.



simetrije.

Razmotrit ćemo određivanje graničnog momenta u slučaju kada su normalni naponi u svim tačkama sa

jedne strane neutralne linije jednaki - T a sa druge + T.

Položaj neutralne ose se i ovdje određuje iz uslova da su pritiskujuće sile P jednake zatežućim silama Z.

Pošto sile P i Z djeluju u težištima površina A1

i A2, očigledno je da je:

Kako je A1 = A2 = A/2 onda se izraz za granični moment može napisati u obliku:

7.4. Deformacija elastoplastične gree



Izrazi za ugib grede u elastičnom području ne mogu da se koriste kod neelastičnih deformacija ali moguda se koriste pristupi rješavanja problema, tj. odnos između zakrivljenosti neutralne površine i momentasavijanja, jer i ovdje važi pretpostavka o ravnim presjecima odnsno o linearnoj raspodjeli dilatacija po

visini popriječnog presjeka. Odnos između zakrivljenosti i dilaticije dat je izrazom:

T – dilatacija na granici tečenja

Ako se vrijednost za y uvrsti u izraz za moment dobija se direktna veza između radijusa krivine i

momenta savijanja M, za gredu koja se deformiše u području plastičnih deformacija. Za pravougaoni

presjek to je:

U području elastičnih deformacija imamo:



- za gredu pravougaonog popriječnog presjeka, što se rješavanumeričkim integraljenjem.

Stanje deformacije u presjeku u kojem je dostignut

granični moment naziva se plastični zglob. Za

razliku od mehaničkog zgloba u kome je moment

jednak nuli, u plastičnom zglobu se velikadeformacija dešava uz konstantnu vrijednost

momenta.

Nakon rasterećenja, smanjenje deformacije se

dešava po linearno elastičnom zakonu uz zaostalu

zakrivljenost.

Iz zaostale zakrivljenosti određene pomoćudijagrama (za sve presjeke grede) ili analitički,moguće je odrediti trajni ugib grede numeričkim ili

analitičkim integraljenjem dijagrama zaostale

zakrivljenosti (dva puta se integrali) , na isti načinkako se određuje i ugib u fazi opterećenja.

7.5. Zaostali naponi



Pri rasterećenju greda izrađenih od elastoplastičnog materijala, kada je moment savijanja jednak nuli,

normalni naponi u popriječnom presjeku, u opštem slučaju, neće biti jednaki nuli. Ovi naponi se nazivaju

zaostali naponi.

Oni ne moraju biti čak ni jednaki po predznaku (karakteru) onim naponima koji su bili pri potpunom

opterećenju grede.

Razlog tome je što se deformacije pri opterećenju dešavaju po elastoplastičnoj zakonitosti a pri

rasterećenju po linearno elastičnoj zakonitosti.

Zaostali naponi se računaju metodom superpozicije:

1. Najprije se izračunaju naponi koji odgovaraju momentu u fazi opterećenja,2. Zatim se proračunaju momenti koji odgovaraju momentu uz pretpostavku linearno elastičnog

deformisanja,

3. Sabiraju se naponi iz ove dvije faze i dobijaju zaostali naponi po visini popriječnog presjeka.

7.6. Granično opteredenje gree



Dimenzionisanje konstruktivnih elemenata temeljeno je na principu da dopušteni naponi neće biti

prekoračeni od strane ekvivalentnih napona, koji su određeni po nekoj od teorija loma i predstavljaju

kvantitativnu uporednu vrijednost složenog naponskog stanja koji vlada u nekom napregnutomkonstruktivnom elementu.

Ovakav princip je veoma aplikativan kod krhtih materijla, od kojih su izrađeni konstruktivni elementi

odnosno konstrukcija.

Kod materijala koji posjeduju osobinu plastičnog tečenja, pojava napona na grnici tečenja u nekoliko

tačaka konstruktivnog elementa neće izazvati lom tog elementa. To je pokazano kod elastoplsatičnogmaterijala kod koga je element mogao da preuzme za još 505 veći moment od onog koji je prouzročioprva plastične deformacije. Tek nakon toga dolazi do potpune plastifikacije elementa i njegove

neograničene deformacije, što karakteriše lom ovih konstrukcija.

Opterećenje koje kod konstruktivnih leemenata izgrađenih od elastoplastičnih materijala

izaziva slom naziva se granično opterećenje.

Ne zavisi od vrste materijala,

te je ordinata na dijagramu



te je ordinata na dijagramu

momenata ista bez obzira u

kojem stadijumu deformacije

se nosač nalazi.

I stadijum – Mmax < MT, naponi u gredi su manji od T,

greda se nalazi u području elastičnih deformacija

II stadijum – F se povećava do mjere kada Mmax > MT,

dio grede u području maksimalnog momenta se

plastificira, nema loma grede jer postoji jezgro koje se

nalazi u stadijumu elastičnih deformacija. Stadijum

ograničenog plastičnog tečenja.

III stadijum – Mmax = Mp, formira se plastični zglob a

greda se pretvara u kinematički mehanizam, ugib se

neograničeno povećava bez prirasta F što je slom

grede.



Kod određivanja graničnog opterećenja, na mjestima pojave ekstremnih momenata “ubaci se” onoliko

plasitčnih zglobova, koliko je potrebno da se formira mogući mehanizam loma,a zatim se proračunaopterećenje koje odgovara pretpostavljenom mehanizmu.

Jednostavne konstrukcije imaju jedan mehanizam loma, dok se kod složenijih konstrukcija možepojaviti njih više.

Kada imamo više mehanizama loma, tada se kao granično opterećenje uzima ono koje ima minimalnu

vrijednost od svih opterećenja, dobijenih kroz proračune za različite mehanizme loma.

Ne zavisi od plastificirane zone (crno

područje na slici), što lakšava određivanjegraničnog opterećenja.

a) Poduprta konzola opterećena koncentrisanom silom



Documents

Otpornost Materijala Sa Teorijom Elastičnosti II