1

Peatu

kk2

Sise

joudja

pinged

Kaesolevas

peatu

kis

rakendatak

sevarrastes

jatalad

estek

kivate

pinge-

tean

aluusim

iseks

tugev

usop

etuses

(jateh

nilises

mehaan

ikas)kasu

tatavaidhupoteese,

prin

tsiipeja

meeto

deid

.Teisison

u,kaesolevas

peatu

kis

onvaatlu

seall

nn.elem

entaarteo

orialevastavad

lahendid.

2.1.

Valisjo

ud

2-2

2.1

Valisjo

ud

Deform

eeruvat

kehavoib

vaadeld

ako

osnevan

apunktm

assidest

jaseega

onte-

gupunktm

asside(m

ehaan

ikalise)susteem

iga1.Sise-

javalisjou

dusid

kasitleti

kajaiga

kehamehaanika

kursu

ses(tavaliselt

dunaam

ikakursu

sesennedunaam

ikauldteoreem

e).Koigep

ealttuli

maaratled

avaad

eldav

keha(voi

punktm

asside

susteem

)ningseejarel

defineeriti

sise-ja

valisjou

djargm

iselt:sisejo

udon

joud,

millega

vaadeld

avassesusteem

ikuuluvad

punktm

assidmoju

tavaduksteist

javalisjo

udon

joud,millega

vaadeld

avassesusteem

imittek

uuluvad

punktm

assidmoju

tavadvaad

eldavasse

susteem

ikuuluvaid

punktm

asse.Analo

ogiliseltdefi-

neeritak

sesise-

javalisjou

dka

pideva

keskkon

namehaan

ikas(k.a.

elastsusteo

o-rias):

•Sisejo

ududeks

nim

etatakse

joudusid

,millega

vaadeld

avakeh

a(voikesk

kon-

na)

punktid

(vaadeld

avassesusteem

ikuuluvad

punktm

assid)moju

tavaduksteist.

•Valisjo

ududeks

nim

etatakse

joudusid

,millega

teisedkeh

ad,kesk

konnad

ja

1Vt.

ka” D

unaam

ika”kursu

sest.

2.1.

Valisjo

ud

2-3

punktm

assidmoju

tavadvaad

eldavat

keha(kesk

konda).

Valisjou

djagu

nevad

pind-ja

mah

ujou

dudeks.

•Pind-

ehk

kontaktjo

ud

moju

vadvaad

eldavale

kehale

labivalisp

inna.

Naitek

shudrostaatilin

esurve.

•Mahu-ehkmassjo

udmoju

vadigale

vaadeld

avatkeh

amoodustavale

punkt-

massile.

Naitek

sgrav

itatsioon

ijoud.

Pindjou

dmoju

balati

labimingi

pinnaja

seetottuon

temadim

ensio

ontavaliselt

sama,

mispingel,

s.t.N/m

2.Piirju

hul,kuipindmillel

koorm

usmoju

bon

vaga

vaike,

asendatak

sepindjou

dsellel

pinnal

moju

vapindjou

duderesu

ltandiga,

s.t.uhejou

ga,midanim

etatakse

punktjo

uks

ehkkoo

ndatudjouks.

Koon

datu

djou

dim

ensio

onon

loom

ulik

ultN.Kak

svord

vastupidist

koon

datu

djou

du,millel

onerin

evadmoju

sirged,moodustavad

koondatudmomendi.Mahujoududedim

en-

sioon

onN/m

3ja

massijo

ududel

N/k

g.

√

Toerea

ktsioonid

kuuluvad

valisjou

dudehulka.

Tugev

usop

etuse

(jaelastsu

steoo-

ria)seisu

kohast

olulisem

adtuged

etuubid

2:

2Vaata

lisaksstaatika

kursu

sest.

2.1.

Valisjo

ud

2-4

•2D

liikuvliigen

dtugi

e.liigen

d—

1jou

d,

•2D

liikumatu

liigendtugi

e.liigen

d—

2jou

du,

•2D

jaikkinnitu

s—

2jou

duja

1mom

ent,

•3D

jaikkinnitu

s—

3jou

duja

3mom

enti.

Staatika

gamaaratudja

staatika

gamaaramata

konstru

ktsioonid.

•Staatikaga

maaratu

dkon

struktsio

onidetoereak

tsioon

ideleid

minetoim

ub

staatikatasakaalu

vorran

dite,

prin

tsiipideja

aksio

omideab

il,s.t.

tapselt

samutikuised

ateh

tistaatika

kursu

ses.

–Tasap

innalised

ulesan

ded

—kuni

3tundmatu

tja

sama

palju

vorran

deid

.

–3D

(ruumilised

ulesan

ded)

—kuni6

tundmatu

tja

sama

palju

vorran

deid

.

–Kon

struktsio

onloetak

sejaigak

s.

–Jaotatu

dko

ormused

asendata

jkse

uksik

joududega.

2.2.

Sise

joudja

loikemeetod

2-5

–Jou

duvoib

kasitled

alib

isevavek

torina.

–Jne.,

vaatalisak

sstaatika

kursu

sest.

•Staatikaga

maaram

atakon

struktsio

onidetoereak

tsioon

ideleid

mise

meeto-

deid

kasitletak

setugev

usop

etuse

jaehitu

smehaan

ikakursu

stes.Sel

juhul

tuleb

arvessevotta

kuidas

konstru

ktsio

ondeform

eerub.

2.2

Sise

joud

jaloikemeeto

d

Vastavalt

New

toni

IIIsead

usele

moju

tavadkak

spunktm

assitein

eteistvord

vastupidiste

joududega.

Valisjou

dude

puudumisel

moju

vadtah

kekeh

apunktm

assidevah

elmolek

ulaarse

paritolu

gajou

d,mis

tagavadtalle

nn.kuju-

jamah

upusiv

use.

Sedasorti

joud(m

isom

aolem

uselt

onsam

utisisejou

d)elast-

susteo

oriaja

tugev

usop

etuse

seisukoh

altuldjuhulhuviei

pak

uja

neid

arvesseei

voeta.

Teisison

u:

•kunaalgolek

us(valisjou

dudepuudumisel)

loem

emekeh

adpingetest

jade-

formatsio

onidest

vabad

eks,siis

eeldatak

se,et

algolekussisejou

dpuuduvad

;

2.2.

Sise

joudja

loikemeetod

2-6

•meid

huvitavad

vaidsellised

sisejoud,mis

ilmnevad

kehale

rakendatu

dvalisjou

dudetulem

usen

a.

Kehasisejou

dudeja

pingete

maaram

isejuures

man

gibtah

tsatrolli

loikemeeto

d,

mille

idee

onjargm

ine.

•Vaatlem

etasakaalu

solevat

kehaja

loikameta

motteliselt

kaheksosak

s.

•Sellek

s,et

molem

adosad

oleksid

kaparast

(mottelist)

tukeld

amist

tasa-kaalu

stuleb

araloigatudosa

moju

asendad

ajou

dudega.

Neid

joudusid

ni-

metatak

segi(vaad

eldavas

kehaloikes

moju

vateks)

sisejoududeks.

Kuna

enne

(mottelist)

loigetolid

vaadeld

avakeh

aosad

omavah

eljaigalt

uhendatu

d,siis

metoim

imesisejou

dudemaaram

isejuures

analo

ogiliseltjaigale

kinnitu

selevastavate

toereak

tsioon

ideleid

misele

staatikakursu

ses.Viim

asedpeavad

valistam

anii

loikepinnapunktid

esiird

edkuipoord

ed.Staatika

kur-

susest

ontead

a,et

tasapinnalise

joususteem

ikorral

onsellistek

sreak

tsioon

i-dekskak

sjou

duja

uksmom

entning3D

joususteem

ikorral

kolmjou

duja

kolmmom

enti.

2.2.

Sise

joudja

loikemeetod

2-7

Joon

is2.1:

Loikem

eetodja

sisejoud:loikep

innal

onkujutatu

dsisejou

dudepeavek

torja

peam

o-ment.

Ran

gemalt

oeldes

onjaiga

kinnitu

sereak

tsioon

idekssiisk

iuksjou

dja

uksmo-

ment–reak

tsioon

joududepeavek

torja

peam

oment.Toereak

tsioon

ideleid

mise

korralmaaratak

setavaliselt

nendekah

evek

toriprojek

tsioon

idko

ordinaattelge-

del.

Viim

asteab

ilsaab

omakord

amaarata

toereak

tsioon

ideko

ordinaattelged

esih

ilisedkom

pon

endid.Tasap

innalisel

juhulon

neist

kuuest

kompon

endist

kolmsam

aseltnullid

.Tap

seltsam

aloogika

kehtib

sisejoududemaaram

isekorral.

2.3.

Sise

joududeliig

id2-8

Sisejou

dudemaaram

isekstuleb

vaadeld

akeh

akumbagip

oolt

eraldin

ingko

osta-dastaatikast

tuntudmeeto

deid

kasutad

estasakaalu

vorran

did,kust

maaratak

seotsitavad

sisejoud.Ettevaatlik

tuleb

siinolla

juhtudel,

kuiloige

onteh

tudjaota-

tudko

ormuse

moju

mise

piirkon

nas.

Sellisel

juhuleisaa

kogujaotatu

dko

ormust

asendad

auhejou

ganagu

staatikasteh

ti.(N

aide2-1.

Tala

sisejoud.Lah

enda-

takse

loengu

s!)

2.3

Sise

joududeliig

id

Varraste

jatalad

e(ka

plaatid

e)korral

eristatakse

sisejoududena

pikijo

udu,

vaandem

omenti,

poikjo

uduja

paindem

omenti.

Pikijo

udmoju

bpikivard

atel-

ge.Tasaab

tekkida,

kuivalisjou

dudel

onvard

atelje

sihilisi

kompon

ente

(joon

.2.2).

Vaandem

omentsaab

vardas

tekkidasiis,

kuivalisjou

dudel

onkom

pon

ente,

mis

annavad

mom

ente

vardatelje

suhtes

voi

talleon

rakendatu

dpoord

emom

ent,

st.valism

omentvard

atelje

suhtes

(joon

.2.3).

Vaan

dem

omentpoorab

varda

ristloikeidumber

vardatelje.

2.3.

Sise

joududeliig

id2-9

Joon

is2.2:

Pikijou

d(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.3.

Sise

joududeliig

id2-10

Joon

is2.3:

Vaan

dem

oment

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.3.

Sise

joududeliig

id2-11

Poikjo

udmoju

bristi

vardateljega

ja”u

ritabvarrast

labiloigata”.

Paindem

o-

menditoim

elvarras

koverd

ub.Need

kakssisejou

dusaavad

vardas

tekkidasiis

kuitalle

moju

vadvalisjou

dom

avadvard

ateljega

ristuvaid

kompon

ente.

Lisak

svoib

paindem

omenttek

kidajuhulkuivard

alemoju

bpain

ettek

itavmom

ent.

Selliseid

valisko

ormusion

kujutatu

djoon

isel2.4.

Poik

jousunon

uuminakasu

ta-tak

seka

terminitloikejo

ud.

Joon

is2.4:

Poik

joudja

pain

dem

oment

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.3.

Sise

joududeliig

id2-12

Joon

isel2.5

onkujutatu

dkasitletu

dsisejou

dusid

tasapinnalisel

(2D)juhulja

joon

istel2.6

ning2.7

3Djuhul.

Neil

joon

istelon

kasutatu

dsisejou

dudeta-

vaparaseid

tahistu

si:pikijou

d–N,vaan

dem

oment–T,poik

joud–Q

japain

-dem

oment–T.

Joon

is2.5:

Sisejou

dudeliigid

–2D

juht.

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.3.

Sise

joududeliig

id2-13

Joon

is2.6:

Sisejou

dudeliigid

japositiiv

sedsuunad

—piki-ja

poik

joud3D

juhul.

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.3.

Sise

joududeliig

id2-14

Joon

is2.7:

Sisejou

dudeliigid

japositiiv

sedsuunad

–vaan

de-

japain

dem

omendid

3Djuhul.

NB!M

zon

siinnegatiiv

ne,

teisedpositiiv

sed.

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-15

2.4

Sise

joududemarg

ireeglid

Sisejou

dudepositiiv

seteleja

negatiiv

setelesuundad

eleon

kehtestatu

dsuhte-

liseltran

gedmargireeglid

3.Ennenendejuurdeasu

mist

tuleb

agatap

sustad

ako

ordinaattelged

easen

dja

tuuasisse

mon

edmoisted

.

Tugev

usop

etuses,

ehitu

smehaan

ikasja

mon

esmuus

mehaan

ikaosas,

kus

kasitletak

sevarraste,

plaatid

eja

koorik

ute

mehaan

ikalistkaitu

mist,

ontih

-ti

kombekssuunata

vertikaalneko

ordinaattelg

alla.Kunapoord

epositiiv

ne

suundon

seotudtelged

easen

diga,

siisloetak

senuudpositiiv

sekstavap

arasegavorreld

esvastu

pidist

pooret

(vt.

1.peatu

kklk.8).

Sellin

etelged

easen

doli

eelmises

alajaotu

sesjubakasu

tuses.

Mottelisel

loikeltek

kivat

pindanim

etatakse

sisepinnaks

(vt.

joon

.2.6

ja2.7).

Tavaliselt

tehak

seloiked

ristitelged

ega.Sel

juhulsaab

defineerid

apositiiv

sedningnegatiiv

sedsisep

innad

.Sisep

indanim

etatakse

positiivseks

sisepinnaks

kui

temanorm

aalon

suunatu

dko

ordinaattelje

positiiv

sessuunas

janega

tiivseks

sisepinnaks

kuitem

anorm

aalon

suunatu

dko

ordinaattelje

negatiiv

sessuunas.

Joon

istel2.6

ja2.7

kujutatu

djuhtudel

onloikam

isekaigu

stek

kinudtagu

misel

3Tosi

kull,

erinevte

autorite

opikutes

jateatm

eteostesvoib

kohata

vaga

erinevaid

margireegleid

.

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-16

vardaosal

positiiv

nesisep

indja

eesmisel

vardaosal

negatiiv

nesisep

ind.Joon

isel2.5

kujutatu

d2D

juhulon

positiiv

nesisep

indtek

kinudvard

avasak

poolsel

osalja

negatiiv

neparem

poolsel

osal.

Tala

pain

deuurim

iselosu

tuvad

tahtsatek

snn.positiivsed

janega

tiivsedkiu

d.

Vard

amottelisi

kiudusid

nim

etatakse

positiiv

setekskuiz-ko

ordinaat

onselles

talaosas

positiiv

ne.Javastu

pidi,vard

amottelisi

kiudusid

nim

etatakse

negatiiv

-setek

skuiz-ko

ordinaat

onselles

talaosas

negatiiv

ne.

Sellin

emaaratlu

skeh

tibjuhulkuitala

pain

dubx−

ztasap

innas

(joon

.2.4).

Kuipain

etoim

ubaga

x−y

tasapinnas,

siison

positiiv

sedja

negatiiv

sedkiudmaaratu

dy-telje

abil.

Graafi

liselton

sisejoududepositiivsed

suunad2D

juhujaok

skujutatu

djoon

isel2.8

ning3D

juhujaok

sjoon

istel2.6

ja2.7

(valja

arvatudM

z ,mis

onjoon

isel2.7

negatiiv

ne).

Son

astatulton

sisejoududemargireeglid

jargmised

.

•Positiivn

epikijo

udvastab

vardatom

bele

janegatiiv

nepikijou

dsurvele.

–Positiiv

nepikijou

dmoju

bpositiiv

selsisep

innaltelje

positiiv

sessuunas.

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-17

•Vaandem

omendipositiivn

esuund

onmaaratu

dkruvireegliga:

positiiv

selsisep

innal

moju

vvaan

dem

omenton

positiiv

nekuivaan

dem

omendisuunas

poorates,

hak

kabkruviliik

umatelje

positiiv

sessuunas

ningnegatiiv

selsisep

innal

teljenegatiiv

sessuunas.

•Positiivn

epoikjo

udQ

zmoju

bpositiiv

selsisep

innal

z-teljepositiiv

sessuu-

nas

janegatiiv

selsisep

innal

z-teljenegatiiv

sessuunas.

–Analo

ogilinemargireegel

kehtib

kapoik

jouQ

yjaok

s.

–Tasap

innalise

juhu

jaokson

kasutusel

kann.tooreegel:

Positiiv

ne

poik

joudpoorab

talaosaparip

aeva(vt.joon

.2.8).

•Positiivn

epaindem

omenttek

itabtom

betala

positiiv

seteskiududes.

–Kaesolevas

kursu

seskasu

tatavatelged

eorien

tatsioon

ikorral

pole

pain

-dem

omendimargireeglil

mitte

midagi

uhist

joumom

endijuures

kasu-

tatavamargireegliga.

Marku

s:Piki-

japoik

joumargireeglite

osason

erinevad

autorid

vaga

uksm

eelsed,kuid

pain

de-

jaeriti

vaan

dem

omentid

epuhulon

voim

alikudvagagi

erinevad

lahenem

isviisid

.

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-18

Joon

is2.8:

Sisejou

dudemargireeglid

.(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-19

Sisejou

dusid

ontavaliselt

kasulik

teadaigas

vardaristloikes

ningseetottu

onosu

tunudotstarb

ekaksesitad

aneid

graafiliselt.

Vastavaid

graafikuid

nim

eta-tak

seeesti

keelesepuurid

eks4.

Enam

vah

eman

aloogiliselt,

st.epuurid

eab

il,esitati

staatikakursu

seslau

skoorm

usi

ehkjaotatu

dko

ormusi.

Epuuri

korvale

kirju

tatakse

temanim

ija

uhikud.Naitek

sN-ep

uurkN,voi

luhidalt

NkN.

Epuurid

eko

ostamist

selgitamejargn

evatenaid

eteab

il,millest

naited

2.2–2.7

onerald

ifailid

es:

•pikijou

dja

vaan

dem

oment–NAIT

ED

2.2-5.pdf

•poik

joudja

pain

dem

oment–NAIT

ED

2.6-7.pdf

Naited

2.8ja

2.9,mis

parin

evadem

eriitprofessor

Jaan

Metsaveere

oppem

aterjalidest,

onaga

esitatudjargm

iselkah

elleh

ekuljel.

4Inglise

keeleson

epuuri

vastediagram,naitek

spoik

jouepuuron

inglise

keelesshear-fo

rcediagram

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-20

Naide2-8.Koostad

atasan

draam

isisejou

dudeepuurid

.

2.4.

Sise

joududemargireeg

lid2-21

Naide2-9.Koostad

amurtu

dvard

asisejou

dudeepuurid

.

2.5.

Dife

rentsia

al-ja

integ

raalseo

sedlauskoorm

use

intensiiv

suse

jasise

joududevahel

2-22

2.5

Dife

rentsia

al-

jaintegra

alse

osed

lausk

oorm

use

intensiiv

suse

jasise

joududevahel

Vaatlem

evard

aosa,

kuspikitelge

moju

blau

skoorm

usinten

siivsusega

pxja

ristiteljega

lausko

ormusinten

siivsusega

pz .

Koord

inaad

ilxon

vardast

ristloigeteab

ilerald

atudlop

mata

luhike

elementpikkusega

dx(jo

on.2.9).

Koostam

eselle

elemendijaok

stasakaalu

vorran

did,projek

teerides

koik

tallemoju

vadjou

dx-

jaz-teljele

ningleid

esmom

endid

punktiB

suhtes.

Joon

is2.9:

Diferen

tsiaal-ja

integraalseosed

—lau

skoorm

use

inten

siivsus

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

2.5.

Dife

rentsia

al-ja

integ

raalseo

sedlauskoorm

use

intensiiv

suse

jasise

joududevahel

2-23

∑

i

Fix=

N+dN

−N

+px ·d

x=

0,

∑

i

Fiz=

Qz+dQ

z −Q

z+pz ·d

x=

0,

∑

i

MB(F

i )=

−M

y −Q

z ·dx+M

y+dM

y+pz ·d

x·(0,5d

x)=

0,

Parast

lihtsu

stamist,

diferen

tsiaaligadxlab

ijagamist,

ningviim

asestvorran

dist

korgem

atjark

uvaikese

liikmehulgam

ist,saam

ekolm

diferen

tsiaalseost:

dNdx

=−px ,

dQ

z

dx

=−pz ,

dM

y

dx

=Q

z .(2.1)

Integraalseoste

saamisek

skorru

tameviim

aseiddiferen

tsiaaligadxninginteg-

reerimeloigu

l[a,x]:

N(x)=

N(a)−

∫

x

a

px (x

)dx,

Qz (x

)=

Qz (a

)−∫

x

a

pz (x

)dx,

My (x

)=

My (a

)+

∫

x

a

Qz (x

)dx.

(2.2)

2.5.

Dife

rentsia

al-ja

integ

raalseo

sedlauskoorm

use

intensiiv

suse

jasise

joududevahel

2-24

Jareld

used

.Asjatu

letatudseosed

ningvaad

eldudnaited

voim

aldavad

tehaolu

lisijareld

usisisejou

dudeepuurid

ekuju

(kaitu

mise)

kohta.

1.Piirkon

dad

es,kuslau

skoorm

uspuudub,on

piki-ja

poik

joudkon

stantsed

,pain

dem

omenton

agasellises

piirkon

nas

lineaarfu

nktsio

onko

ordinaad

istx.

2.Koon

datu

dvalisjou

rakenduspunktis

toimubvastava

sisejouepuuris

hupe,

mison

arvuliselt

vord

nemoju

vavalisjou

suurusega.

3.Koon

datu

dvalism

omendiraken

duspunktis

toimubpain

de-

voi

vaan

dem

o-mendiepuuris

hupe,mison

arvuliselt

vord

nemoju

vamom

endisuurusega.

4.Pain

dem

omendiepuuritou

son

vord

nepoik

jouga.

Koh

as,kuspoik

joudon

null,

onpain

dem

omendilekstrem

aalnevaartu

s.

5.Koh

as,kuspoik

jouepuuris

onhupe,on

pain

dem

omendiep

uuris

murdekoh

t(ep

uuri

tousmuutubhuppeliselt).

Eriju

hul,kuihuppekaigu

smuutubka

poik

joumark

,on

pain

dem

omendilselles

kohas

ekstreem

um.

6.Piirkon

nas,

kusvalin

elau

skoorm

uson

konstan

tne,

onpoik

-ja

pikijou

d

2.5.

Dife

rentsia

al-ja

integ

raalseo

sedlauskoorm

use

intensiiv

suse

jasise

joududevahel

2-25

lineaarsed

funktsio

onid

koord

inaad

istx.Pain

dem

omenton

selliseljuhul

agaruutfu

nktsio

on.

7.Epuurid

ejoon

istamisel

onotstarb

ekasmeeles

pidad

a,et

maaratu

dinteg-

raalesitab

intgreeritava

funktsio

onigraafi

kuja

x-telje

vahele

jaavakujundi

pindala

(loigul[a,x]).

Naide2-10.Pain

dem

omendiekstreem

umimaaram

ine.

2.6.

Pingemoiste

2-26

2.6

Pingemoiste

Onlih

tnetaib

ata,et

eelmistes

alajaotu

steskasitletu

dloikem

eetodikorral

onsisejou

dtegelik

ultjaotu

nudule

koguloikep

inna(jo

on.2.10)

javaad

eldudkuus

sisejoudukujutavad

endast

sellelau

skoorm

use

peavek

torija

peam

omendipro-

jektsio

oneko

ordinaattelged

el.

Loikep

innal

moju

valau

skoorm

use

inten

siivsust

nim

etamegi

pingeks.

Tem

amootu

hik

1Pa=

1N/1m

2lan

gebkok

kuroh

uuhikuga.

Koige

lihtsam

onpinget

arvutad

ajuhulkuivard

asmoju

bvaid

pikijou

d.Siin

eeldatak

se,et

pikijou

dN

onjaotu

nuduhtlaselt

ule

koguloikep

innaA

(joon

.2.11)

jaseega

pinge

σx=

NA.

(2.3)

Omaolem

uselt

onvaad

eldav

pinge

norm

aalpinge,sest

tamoju

bristi

vaadeld

a-va

pinnaga.

Kaesolevas

kursu

sestah

istatakse

norm

aalpingeid

kreeka

tahega

σja

vajad

usel

lisatakse

indeks,misosu

tabpinnan

ormaali

sihile.

Eestikeelsetes

tuge-

vusop

etuse

jateh

nilise

mehaan

ikaop

ikutes

nim

etatakse

pikijou

stpoh

justatu

dnorm

aalpingeid

kapikkep

ingeteks.

2.6.

Pingemoiste

2-27

Joon

is2.10:

Loikem

eetodja

pinged

vardaristloikes

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

Alajaotu

stes2.2–2.6

kasutatu

dlah

enem

isviis,

kussisejou

djaotak

sevastavalt

sellele,kuidas

nad

onorien

teeritudko

ordinaattelgd

esuhtes

5ja

pinged

saavadom

anim

eselle

jargi,millise

sisejouga

onneil

poh

juslik

seos,on

iseloom

ulik

just

tugev

usop

etusele

(tehnilisele

mehaan

ikale).Sam

alah

enem

isviisi

onaga

otstar-

5Koord

inaatteljed

orienteeritak

seom

akordauuritava

kehageom

eetriastlah

tudes.

2.6.

Pingemoiste

2-28

Joon

is2.11:

Pikkep

inge

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

bekas

rakendad

aka

elastsusteo

oriaulesan

nete

korralkuiuuritavatek

sob

jekti-

dekson

vardad

(talad),plaad

idja

koorik

ud.

Jargm

isesala

jaotuses

selgitame

pinge

moistet

pisu

tuldisem

altning

ulejargm

isestulem

etagasi

tugev

usop

etuses

kasutatava

lahenem

isviisi

juurde

jahak

kameuurim

apingeid

vardaristloike

punktis.

2.7.

Pingevektor,

temaprojektsio

onid

jamargireeg

lid2-29

2.7

Pingevektor,

temapro

jektsio

onid

jamarg

ireeglid

Vaatlem

emeelevald

sekujuga

keha,

millele

moju

vpind-ja

mah

ujou

dudest

koos-

nev

(valis)jou

dudesusteem

ontasakaalu

s.

Raken

dam

eloikem

eetodit:

jagamekeh

amotteliselt

osadeks1ja

2;hulgam

eosa

2ja

vaatlemeosa

1(jo

on.2.12).

Joon

is2.12:

Pingevek

torpνja

temako

ordinaatelged

exyzsih

ilisedkom

pon

endid.

2.7.

Pingevektor,

temaprojektsio

onid

jamargireeg

lid2-30

•Sellek

s,et

osa1

oleks

kapeale

osa2

eraldam

isttasakaalu

stuleb

loikepinnale

rakendad

aosa

2asen

davad

joud,st.

sisejoud,mison

jaotunud

ule

koguloikep

inna.

•Loikep

indosal

1on

maaratu

dvalisn

ormaaliga

ν.Moju

guvaikesel

pinnal

∆A

sisejoud∆S.Suhet

∆S/∆

Avoib

nim

etadakesk

misek

spingek

spinnal

∆A.

√

•Kuiminnapiirile

∆A

→0,

saame(tegelik

u)pinge

pinnalnorm

aaliga

ν

pν=

lim∆A→

0

∆S

∆A.

(2.4)

•Uldjuhulvek

toriteνja

pνsuunad

eiuhti.

•Edasp

idion

tihtiotstarb

ekaskasu

tadapingevek

toriasem

eltem

aprojek

t-sio

oneko

ordinaattelged

elpνx ,

pνy ,

pνz ,

mis

omakord

amaaravad

arapin-

gevektori

pνko

ordinaatelged

exyzsih

ilisedkom

pon

endid

(vt.joon

.2.12).

Siin

jaedasp

idimargib

esimeneindekspinnan

ormaali

sihtija

teinepinge-

kompon

endimoju

mise

sihti.

2.7.

Pingevektor,

temaprojektsio

onid

jamargireeg

lid2-31

Joon

is2.13:

Pingevek

toripνlah

utam

inenorm

aal-ja

nihkep

ingek

s.

•Teisest

kuljest

saabpinnal

norm

aaligaν

moju

vapingevek

torilah

utad

anorm

aal-ja

nihkep

ingeks:

pν=

σν+τν .

Nihkep

inge

τνlah

utatak

setava-

liseltveelkord

kahekskom

pon

endiks:

τν=

τνs+

τνt(vt.

joon

.2.13,

kus

pνν ≡

σν ,

pνs ≡

τνsja

pνt ≡

τνt ).

2.7.

Pingevektor,

temaprojektsio

onid

jamargireeg

lid2-32

Kuiloike

pindon

paralleeln

eko

ordinaattasan

ditega,

siiskasu

tatakse

indeksiν

asemel

loikepinnale

norm

aaliksoleva

koord

inaattelje

nim

e,naitek

sx.

Joon

is2.14:

Norm

aal-ja

nihkep

ingete

positiiv

sedsuunad

.

Marg

ireeglid

:joon

is2.14.

•Positiivn

esisep

indon

loikepind,

mille

valisn

ormaal

onsuunatu

dko

ordinaad

ipositiiv

sessuunas.

•Positiivn

enorm

aalpinge

moju

bpositiiv

selsisep

innal

koord

i-naattelje

positiiv

sessuunas

janegatiiv

selsisep

innal

koord

inaad

inegatiiv

sessuunas.

Positiiv

ne

norm

aalpinge

vastabtom

bele.

•Positiivn

enihkep

inge

moju

bpo-

sitiivsel

sisepinnal

koord

inaattel-

jepositiiv

sessuunas

janegatiiv

selsisep

innal

koord

inaad

inegatiiv

sessuunas.

2.8.

Pingetensor

2-33

2.8

Pingetenso

r

Vaatlem

ekeh

ameelevald

setpunkti.

Sedapunkti

labib

kolmko

ordinaattasan

-dit,

millel

moju

vadkolm

norm

aalpinget

σx ,σ

y ,σzja

kuusnihkep

inget

τxy=

τyx ,τ

yz=

τzy ,τ

xz=

τzxmoodustavad

pingeten

sori

σx

τxy

τxz

τyx

σy

τyz

τzx

τzy

σz

.(2.5)

Pingeten

soron

teistjarku

tensorja

tedasaab

esitada3×

3(tasan

dulesan

nete

korral2×

2)tab

elinanagu

maatrik

seid.

Pingeten

soriselo

omustab

taielikultpingust(pingeseisu

ndit)

antudpunktis

ning

temaab

ilsaab

maarata

pingevek

torisuvalisel

sedapunktilab

ivalpinnal 6.

6Selle

juurdetulem

etagasi

4.peatu

kis,

kuihak

kamekasitlem

apingeid

kaldpindad

el,peap

ingeid

jms.

2.8.

Pingetensor

2-34

2.8.1

Skalaar,

vektor,

tenso

r

Kaesolevas

kursu

sesvaatlem

ekolm

eliik

ifuusikalisi

suurusi—

skalaare,vek

to-reid

ja(teist

jarku)ten

soreid.

Skalaarpole

seotudsuunaga,

tedaiselo

omustab

vaid(arv

)vaartu

s.

•Uksarv

,mille

vaartu

sei

soltuko

ordinaatsu

steemi(baasi)

valikust

•Tuupilin

enaid

e—

temperatu

ur

Vekto

ritiselo

omustab

lisaksmoodulile

(arvvaartu

sele)ka

suund.

•3D

juhulesitatav

arvukolm

ikuna—

3×1voi

1×3maatrik

sina.

–Arvudarv

ukolm

ikussoltu

vadko

ordinaatsu

steemi(baasi)

valikust.

–Vektori

moodulja

suundon

koord

inaatsu

steemist

(baasist)

soltumatu

.

•Vektori

igakom

pon

ent(projek

tsioon

)on

samuti

seotuduhesuunaga

jatem

atah

istamisel

kasutatak

seuhte

indeksit.

•Tuupilised

naited

—jou

d,kiiru

s,kiiren

dus.

2.8.

Pingetensor

2-35

Teist

jarku

tensor

onfuusikalin

esuurus,

mille

korralpeale

arvaartu

steon

tahtsad

kakssuunda.

•3D

juhulon

teistjark

uten

soresitatav

3×3maatrik

sina,

st.9arv

uab

il.

–Arvudmaatrik

sissoltu

vadko

ordinaatsu

steemi(baasi)

valikust.

–Tensor

iseon

koord

inaatsu

steemist

(baasist)

soltumatu

.

•Tuupilised

naited

—pingeten

sor,deform

atsioon

itensor.

•Teist

jarkuten

sorikom

pon

entid

etah

istamisel

kasutatak

sekah

teindeksit,

sestiga

kompon

entiiselo

omustab

lisaksmoodulile

kakssuunda.

–Naitek

spingeten

sorikorral

naitab

esimeneindekspinnan

ormaali

suun-

daja

teineindekspingekom

pon

endisuunda.

2.8.

Pingetensor

2-36

•Teisest

kuljest

(“matem

aatiliselt”)on

teistjark

uten

sorT

defineeritu

dkui

lineaarteisen

dus,miskujutab

vektori

uvek

toriksv,i.e.

T:

u→

v,

u,v

∈V,

ehk

T[u]=

T·u

=v,

kuspunkt·

tahistab

tensori

Tsisekorru

tist7vek

torigau.

Maatrik

siteja

tenso

riteomavahelin

esu

he

•Kuion

fikseeritu

dkord

inaatsu

steem,siis

saabiga

teistjark

uten

soriesitad

a3×

3maatrik

sinaja

igavek

toriarv

ukolm

ikuna.

•Vastu

pidineaga

eikeh

ti—

iga3×

3maatrik

sei

osutu

tensorik

s.

•Koord

inaatid

eteisen

dam

iselteisen

evadniiten

sorikuivek

torikom

pon

en-

did

kindlate

reeglitealu

sel.

–Parast

koord

inaatteisen

dust

peab

tensor

(vektor)

esitama

endiselt

tapselt

samafuusikalist

suurust,

midaenneteisen

dust.

7Punktkorru

tis,skalaarkorru

tis.I.k.innerproduct,dotproduct,sca

larproduct.

2.8.

Pingetensor

2-37

∗Kuisee

nii

on,siis

ongi

teguten

soriga(vek

toriga),vastu

pidisel

juhulmitte.

∗Vastu

pidineolu

kordon

fuusikaliselt

vastuvotm

atu.Pole

voim

alik,

etpinge

kehapunktis

voi

punkti

siirevoi

kiiru

ssoltu

ksko

ordi-

naatsu

steemivalik

ust.

∗Naid

e.Vektor

ningkak

sko

ordinaatsu

steemixyja

x′y ′,

mille

vahe-

linenurk

onθ.

Mark

used:

•Vektoreid

voib

nim

etadaesim

estjark

uten

soreiksja

skalaarenullin

dat

jarkuten

soreiks.

•Kuiten

sor(vek

tor)on

maaratu

digas

vaadeld

avakeh

apunktis,

siison

meil

teguten

sorvaljaga

(vektorv

aljaga).

–Naitek

son

pingeten

sorikorral

teguten

sorvaljaga,

sestta

onmaaratu

digas

vaadeld

avakeh

apunktis.

2.8.

Pingetensor

2-38

2.8.2

Pingetenso

riinvaria

ndid

Suuruseid

Iσ1=

σx+σy+σz ,

Iσ2=

∣∣∣∣ σx

τxy

τyx

σy

∣∣∣∣

+

∣∣∣∣ σy

τyz

τzy

σz

∣∣∣∣

+

∣∣∣∣ σx

τxz

τzx

σz

∣∣∣∣ ,

Iσ3=

∣∣∣∣∣∣ σx

τxy

τxz

τyx

σy

τyz

τzx

τzy

σz

∣∣∣∣∣∣

(2.6)

nim

etatakse

pingeten

sori

invaria

ntid

eksehkluhidalt

pinge

invaria

ntid

eks.In-

variantsu

stah

endab

siinsed

a,et

need

kolmsuurust

eisoltu

koord

inaatid

evalik

ust

(vaatamata

sellele,et

pingeten

sorikom

pon

endid

omavad

erinevates

koord

inaatsu

steemides

uldjuhulerin

evaidvaartu

si).Onmark

imisv

aarne,et

seeinvarian

tsusei

piird

uvaid

erinevalt

orienteeritu

dDescartes’i

ristkoord

inaaati-

dega

vaidkeh

tibsuvaliste

koord

inaatsu

steemide,

k.a.

silindrilised

,sfaarilised

,ellp

tilised,huperb

oolsed

jne.

vahel.

Mark

us:

Taolised

kolminvarian

tisaab

leidaigale

teistjark

uten

sorile.

2.9.

Pinged

vardaristlo

ikepunktis.

2-39

2.9

Pingedvard

aristlo

ikepunktis.

Vard

akorral

onDescartes’i

ristkoord

inaad

idvalitu

dtavaliselt

nii,

etx-telg

onvard

ateljek

s.Seetottu

onx-telg

ristloikenorm

aaliksja

teised2ko

ordinaattelge

onsuunatu

dmood

aloikep

inda.

Vaatlem

evard

aristloike

punktiK,midalab

ibpindnorm

aaligan‖x.Seal

moju

bpingevek

tor8pmille

norm

alkompon

endiks

onσ

xningtan

gentsiaalkom

pon

entid

eksτxyja

τxz .

Joon

is2.15:

Pinge

vardapunktis

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

8Siin

olemeluhiduse

parast

loob

unudindeksist

npingevek

torijuures.

2.9.

Pinged

vardaristlo

ikepunktis.

2-40

Joon

is2.16:

Norm

aalpinge

σxningnihkep

inged

τxyja

τxz .

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

•Norm

aalpinged

σxiselo

omustavad

vardatelje

sihis

moju

vatesisejou

dude

inten

siivsust

janad

muudavad

vardaristloigete

vahelist

kaugu

st.

•Norm

aalpinge

σxmargireegel

onan

aloogilin

epikijou

margireegliga.

•Nihkep

inged

iseloom

ustavad

vardateljega

ristimoju

vatesisejou

dudein-

tensiiv

sust

janad

nihutavad

(voi

pooravad

)erin

evaidvard

aloikeid

(ma-

terjalikihte)

uksteise

suhtes.

•Nihkep

inge

ehktan

gentsiaalp

inge

τxyja

τxzmargireegel

onan

aloogilin

epoik

joumargireegliga.

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-41

2.10

Seosedpingete

javard

asise

joududevahel

Pinge

moiste

selgitamisega

tegimealgu

stala

jaotuses

2.6,kaesolevas

alajaotu

sestuletam

eseosed

vardaristloikes

moju

vatesisejou

dudeja

pingete

vahel.

Siin

juu-

respeam

esilm

as,et

ristloikesmoju

vadsisejou

dei

kujuta

endast

mitte

midagi

muudkuisam

asristloikes

moju

vatepingete

peavek

torija

peam

omendiprojek

t-sio

oneko

ordinaattelged

ele.Pikem

altseletad

es:

1.ristloikes

moju

vadpinged

moodustavad

jouvalja,

mille

saabvastavalt

staa-tika

poh

iteoreemile

taandad

aristloike

pinnakesk

messe,

•selle

tulem

usen

aon

pinged

asendatu

duhejou

jauhemom

endiga;

2.projek

teerides

saadudjou

jamom

endiko

ordinaattelged

elesaam

epeavek

-tori

japeam

emendilah

utad

akolm

eksko

ordinaattelged

esih

ilisekskom

po-

nendiks,

•saad

udkuuskom

pon

enti

kannavad

meile

jubatuntudnim

etusi

–pi-

kijou

d(N

),poik

joud(Q

yja

Qz ),

vaan

dem

oment(T

)ningpain

dem

o-ment(M

yja

Mz ).

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-42

Onselge,

etraak

ides

seostestpingete

javard

asisejou

dudevah

elon

voim

alikud

nn.kak

serin

evatulesan

depustitu

st:

1.Tead

espingeid

,leid

asisejou

d.

2.Tead

essisejou

dusid

,leid

apinged

.

Esim

eneneist

ontunduvalt

lihtsam

,kuid

teinesuurem

aprak

tilisetah

tsusega

(vah

emalt

tugev

usop

etuse

seisukoh

alt).

2.10.1

Sise

joududeavaldaminepingete

kaudu

Pikijo

ud.Vaatlem

eristloike

elementaarp

indadA,kusmoju

bkesk

minepinge

p,

millele

vastavnorm

aalpinge

onσx(jo

on.2.17).

Vaad

eldaval

elementaarp

innal

pingest

σxpoh

justatu

dsummaarn

ejou

dσx dA

moju

bsam

utipinnan

ormaali

nsih

is.Ristloikes

moju

vatenorm

aalpingete

peavek

torisaam

eintegreerid

es:

N=

∫

A

σx dA.

(2.7)

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-43

Joon

is2.17:

Pinged

vardaristloike

elementaarp

innal

dA.

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

Poikjo

ud.Ristloikes

moju

vatepoik

joududeQ

yja

Qzarv

utam

inekaib

analo

o-giliselt

pikijou

ga.Nuud

vaadeld

akse

ristloikeelem

entaarp

innal

dA

moju

vaidnihkep

ingeid

τxyja

τxz(pingevek

toripprojek

tsioon

ey-ja

z-telgedel,

vt.joon

.2.17)

jasaad

akse

poik

joududeleid

misek

svalem

id

Qy=

∫

A

τxy dA,

Qz=

∫

A

τxz dA.

(2.8)

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-44

Paindem

omendid

Myja

Mzon

seotudnorm

aalpingega

σx .

Kuipain

etoim

ub

x−

ztasan

dis,

siisiselo

omustab

pain

etpain

dem

omentM

yningkuix−

yta-

sandis,

siisM

z .Eksperim

entid

epoh

jalon

leitud,et

mom

endid

Myja

Mztuleb

arvutad

aristloike

kesktelged

e9suhtes.

Vastavalt

pain

dem

omendimargireeglile

poh

justab

elemetaarp

innal

dA

moju

vsummaarn

ejou

dσx dA

elementaarp

ain-

dem

omendid

zσx dA

jayσx dA

vastavalty-ja

x-telje

suhtes

(vt.

joon

.2.17).

Vastavad

peam

omendid

saadak

seintegreerim

iseteel:

My=

∫

A

zσx dA

jaM

z=

∫

A

yσx dA.

(2.9)

Vaandem

oment.Ristloikes

moju

vavaan

dem

omendiarv

utam

isejuures

tuleb

sil-mas

pidad

a,et

vastavaltsisejou

dudeja

pingete

margireeglitele

poh

justab

ele-mentaarp

innal

dA

moju

vpositiiv

nenihkep

inge

τxzpositiiv

sevaan

dem

omendi

japositiiv

nenihkep

inge

τxynegatiiv

sevaan

dem

omendi(vt.

joon

.2.17).

Integ-

reerides

ule

koguristloike,

saame

T=

∫

A

(yτxz −

zτxy )d

A.

(2.10)

9Ristloike

keskteljed

labivad

ristloikepinnakeset.

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-45

2.10.2

Pingete

avaldaminesise

joududekaudu

Eelm

isesala

jaotuses

(st.2.10.1)

tuletatu

dvalem

itekorral

pole

tahtis,

kaskasu

-tusel

ontugev

usop

etuse

(ehknn.elem

entaarteo

oria)eeld

used

jahupoteesid

voi

lineaarse

elastsusteo

oriaom

ad.Kaesolevas

alajaotu

sesosu

tubaga

ulitah

tsaks

tapsustad

a,et

praegu

straken

dam

etugev

usop

etusele

ehknn.elem

entaarteo

o-riale

vastavaidlih

tsustu

si.Universaalsen

a10

kuulubnendehulka

ristloigete

ta-

sandilisu

sehupotees,

ehkBern

oulli

hupotees:

ristloiked,misennedeform

atsioo-

niolid

tasapinnalised

,jaavad

kapeale

deform

atsioon

itasap

innalistek

s.

Pikkep

inged

.Pingeid

,mison

poh

justatu

dpikijou

st,nim

etatakse

pikkep

ingeteks.

Siin

eeldatak

se,et

•vard

alemoju

bvaid

pikitem

atelge

moju

vvalisko

ormus,

–seega

moju

bvard

aristloigetes

vaidukssisejou

d—

pikijou

d,

•pikijou

stpoh

justatu

dnorm

aalpinge

onjaotu

nuduhtlaselt

ulekogu

ristloike(vrd.Bern

oulli

hupotees

javt.joon

.2.18).

10S

eehupotees

kehtib

elementaarteo

oriaraam

estom

bel-su

rvel,pain

del,

loikelja

vaan

del.

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-46

Seega

saameseose

σx=

NA.

(2.11)

Joon

is2.18:

Pikijou

dja

pikkep

inge

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

Paindepinge.

Pain

dem

omendist

poh

justatu

dpingeid

nim

etatakse

paindepin-

geteks .Omaolem

uselt

onpain

depinged

norm

aalpinged

.Moju

gutalale

selli-nevalisko

ormus,

mille

toimel

tekib

vaidukssisejou

d–

pain

dem

omentM

y

(joon

.2.19).

Eksperim

entaalsete

jateoreetiliste

tulem

uste

poh

jalningko

oskolas

Bern

oulli

hupoteesiga

eeldatak

seelem

entaarteo

orias,et

tekkinudpain

depinge

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-47

Joon

is2.19:

Pain

depinge

(Joon

ison

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.)

soltubko

ordinaad

istzlin

eaarselt,st,

σx=

kz,

(2.12)

kuskon

konstan

t,mille

maaram

isekskasu

tameseoseid

(2.9):

My=

∫

A

zσx dA

=

∫

A

kz2dA

=kIy ,

⇒k=

My

Iy.

(2.13)

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-48

Avald

iste(2.12)

ja(2.13)

poh

jal

σx=

My

Iyz.

(2.14)

Tugev

usarv

utuste

seisukoh

altom

avadtah

tsust

just

mak

simaalsed

pain

depin-

ged,mis

tekkivad

neis

ristloikepunktid

es,kusko

ordinaat

zom

abekstrem

aal-seid

vaartu

si(z

max

jazmin ).

Kuiristloige

onsummeetrilin

ey-telje

suhtes,

siison

zmax

=−zminja

arvutuste

lihtsu

stamisek

svoib

tuuasisse

ristloike

tugevu

s-

momendi

Wy=

Iy

zmax .

(2.15)

Viim

aseab

ilsaam

emak

simaalse

pain

depinge

arvutam

iseksvalem

i

max

σx=

My

Wy .

(2.16)

Kuitalale

moju

vavalisko

ormuse

toimeltek

ibvaid

pain

dem

omentM

z ,siissaam

eeeln

evategaan

aloogilised

valemid

σx=

Mz

Izy,

(2.17)

Wz=

Iz

ymax ,

max

σx=

Mz

Wz .

(2.18)

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-49

Mark

used:

•Tugev

usm

omentid

eW

yja

Wzarv

utam

isejuures

tuleb

silmas

pidad

a,et

kuiristloikek

son

liitkujund,st.

taon

jaotatavnlih

tsaksosak

ujundiks,siis

tuleb

koigep

ealtleid

aliitk

ujundiinertsim

omendid

Iy=

I(1)y

+I(2)y

+...+

I(n)

y

ja/voi

Iz=

I(1)z

+I(2)z

+...+

I(n)

z.Seejarel

arvutatak

setugev

usm

omendid

Wyja

Wzvalem

ite(2.15)

ja(2.18)

1poh

jal 11.

•Koosk

olasBern

oulli

hupoteesiga

onpain

depingete

arvutam

isejuures

eel-datu

d,et

pain

dem

omendist

Mzpoju

statudpain

depinged

onzjargi

kons-

tantsed

jaM

ypoju

statudpain

depinged

onyjargi

konstan

tsed,vt.valem

eid(2.14)

ja(2.17).

Viim

astevalem

itegaesitatu

dlin

eaarsedseosed

onsam

uti

koosk

olasBern

oulli

hupoteesiga.

•Vard

apain

del

jaabsurutudja

tommatu

dkihtid

evah

elekiht,

milles

nn.

kiududepikkusei

muutu

jakuspain

depinge

onnull

(vt.

joon

.2.19).

Vastavat

vardakihti

nim

etatakse

neutra

alkih

iks.Neutraalk

ihija

ristloikeloikejo

ontnim

etatakse

nulljoo

neks.

11N

B!W

y6=

W(1

)y

+W

(2)

y+

...+W

(n)

yjaW

z 6=W

(1)

z+

W(2

)z

+...+

W(n)

z

2.10.

Seosed

pingete

javardasise

joududevahel

2-50

–Onselge,

etx−

ztasap

innas

toimuva

pain

dekorral

onz=

0korral

pain

depinge

σx=

0.

–Elem

entaarteo

oriakorral

eeldatak

se,et

nulljo

oned

onmaartatu

dkesk

-peatelged

ega.

Naide2-11.Pikkep

inged

vardas.

Lah

endatak

seloengu

s.

Naide2-12.Pain

depinged

talas.Lah

endatak

seloengu

s.

Vaande-

jaloikep

inged

.

Vaan

depinge

onpoh

justatu

dvaan

dem

omendist

jaloikep

inge

poik

joust.

Oma

olemuselt

onnad

molem

adnihkep

inged

ningkunanendeleid

mineon

tihti

komplitseeritu

mkuipikijou

stja

pain

dem

omendist

poh

justatu

dnorm

aalpingete

leidmine,

siispuhendam

eneile

omaette

jaotise.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-51

2.11

Nihkepingedvard

aristlo

ikes12

2.11.1

Uldise

dseadusp

ara

sused

Nihkep

ingete

paarsu

sesea

dus.

Elem

entaarteo

oriaskasu

tatakse

nn.nihkep

ingete

paarsu

sesead

ust,

mis

tule-

tatakse

jargmiselt

13.Eeld

ame,

etvard

ason

hom

ogeennepingeseisu

ndehkho-

mogeen

nepingu

s14.

Sellisel

juhulpeavad

elementaarristtah

uka

vastastahkudel

moju

mavord

vastupidised

pinged

.See

tingim

uskeh

tibniinorm

aal-kuinihke-

pingete

kohta

ningta

ontuletatu

dtasakaalu

tingim

ustest

∑

Fix=

0,∑

Fiy=

0ja

∑

Fiz=

0(vt.joon

.2.20

a)ja

b)).

Teatavasti

onaga

tasakaaluksva

jalikveel

kolmevorran

dikeh

timine,

st.∑

Mx (F

i )=

0,∑

My (F

i )=

0ja

∑

Mz (F

i )=

0.Nendepoh

jalsaad

aksegi

nihkep

ingete

paarsu

sesead

us(vt.joon

.2.20

c):

τxy=

τyx ,

τxz=

τzx ,

τyz=

τzy .

(2.19)

12Joon

isedon

parit

prof.

A.Klau

soniTehnilise

mehaanikaloengu

konspektist.

13H

iljemesitam

esam

asead

usparasu

sejaok

sran

gematuletu

skaigu

.14P

ingu

seehkpingeseisu

ndiall

moistetake

kehapunkti

labivatel

koik

voim

alikelpindad

elmoju

vatepingete

hulka.

Pingu

semoiste

juurdetulem

ehiljem

tagasi.Hom

ogeense

pingu

sekorral

onkeh

akoigis

punktid

esuhesu

gunepingu

s.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-52

a)b)

c)

Joon

is2.20:

Elem

entaarristtah

uka

tahkudel

moju

vadpinged

.

Naitek

s,∑

My (F

i )=

−(τ

xz dydz)

dx+(τ

zx dxdy)dz=

0⇒

τxz=

τzx .

(2.20)

Avald

iste(2.19)

poh

jalon

selgeka

see,et

kuimingis

kehapunktis

onnihkep

inge

τxy>

0,siis

kaτyx>

0ja

vastupidi(vt.

joon

is2.21).

Analo

ogilisedseosed

kehtivad

kaulejaan

udkah

enihkep

ingete

paari

jaoks.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-53

Joon

is2.21:

Nihkep

ingete

paarsu

s.

Nihkep

inged

ristloike

serval

•Ristloike

servalmoju

bnihkep

inge

puutuja

sihis.

•Kunaristloike

nurgap

unktis

onlop

mata

palju

puutujaid

,siis

sealon

nih-

kepinge

null.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-54

2.11.2

Vaandepinged

umarvard

aristlo

ikes

Olgu

umarvard

aotstesse

rakendatu

dmom

endid

Tja

T’(jo

onis

2.22).Selle

tulem

usen

atek

kib

vardas

deform

atsioon

,midanim

etatakse

vaandeks.

Vaan

del

tekkivate

pingete

jadeform

atsioon

ideuurim

iselon

elementaarteo

oriaskasu

tusel

jargmised

eeldused

:

•Kehtib

Bern

oulli

hupotees.

•Vard

atelg

jaabsirg

joon

eliseks.

•Ristloike

raadiused

jaavadsirg

joon

eliseks.

Joon

is2.22:

Umarvard

avaan

e.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-55

Joon

is2.23:

Vaan

dedeform

atsioon

.

Tehtud

eelduste

poh

jalpoord

uvad

ristloikedvaan

del

umber

varda

tel-je.

Selle

tulem

usen

apoord

uvad

varda

moodusta

jadnurga

γvorra.

Seega

onvaan

dedeform

atsioon

omaolem

uselt

nihked

eformatsio

onja

algsedristk

ulik

ulised

pinnaelem

endid

muutuvad

roopkulik

ulistek

s.Nurka

γnim

eta-tak

sevaandenurga

ks,ta

onuksolu

linevaan

etiselo

omustav

suurusja

tema

juurdetulem

ehiljem

tagasi.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-56

Joon

is2.24:

Vaan

depinged

umarvard

asja

pak

susein

alisestoru

s.

Tehtudeeld

ustest

jaHooke’i

seadusest

(pingete

jadeform

atsioon

idevah

elon

lineaarn

esoltu

vus)

lahtudes

peab

vaan

depinge

olemalin

eaarfunktsio

onvard

araad

iusest

ρ,s.t.

τ=

kρ(jo

on.2.24).

Kon

standikmaaram

evaan

dem

omendi

javaan

depinge

vahelisest

seosestkasu

tades

polaarin

ertsimomentiIρ :

T=

∫

A

ρτdA

=k

∫

A

ρ2dA

=kIρ

⇒k=

TIρ .

(2.21)

Nuudsaam

evaan

depinge

jaoksvalem

i

τ=

TIρ ρ,

τmax

=TIρ

d2.

(2.22)

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-57

Joon

is2.25:

Polaarin

ertsimom

endid

japolaar-

tugev

usm

omendid.

Valem

id(2.22)

kehtivad

karon

gasristloikekorral

(vt.

joon

.2.24).

Vaan

depingete

arvutam

isevalem

onpalju

ski

analo

ogiline

pain

depingete

arvutam

isevalem

iga:mak

simaalsed

pinged

onristloike

servas.Seega

onka

siinvoim

aliksisse

tuuaristloike

tu-

gevusm

oment–an

tud

juhulnim

eta-tak

sesed

apolaartu

gevusm

omendiks

–mille

abil

saabmaarata

mak

simaal-

seidvaan

depingeid

:Wρ=

Iρ

ρmax

=2I

ρ

d⇒

τmax

=TWρ .

(2.23)

Tihti

kasutatak

sepolaarin

ertsimom

endija

polaartu

gevusm

omenditah

istena

vastavaltIpja

Wp ,st.

kasutatak

seindeksiρasem

elindeksit

p.

Naide2-13.Vaan

depinged

umar-

jaron

gasristloikes.Lah

endatak

seloengu

s.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-58

2.11.3

Vaandepinged

mitte

umarristlo

igetes

Joon

is2.26:

Ristk

ulik

vardavaan

e.

Umar-

jaron

gasristloigetekor-

ralon

vaan

depingete

arvuta-

mine

suhteliselt

lihtne,

kuid

muude

ristloigete,st.

mit-

teumarristloigete,

korralon

seetunduvalt

komplitseeri-

tum.Bern

oulli

hupotees

taolisteristloigete

korraltavaliselt

enam

eikeh

ti(jo

on.

2.26).Selliseid

vaan

deulesan

deid

kasitletak

selin

eaarseselastsu

steoorias.

Elem

entaarteo

oria(tu

gevusop

etuse)

kursu

stesrefereeritak

sevaid

lineaarse

elastsusteo

oriaraam

essaad

udtulem

usi,

piird

udes

tavaliseltmak

simaalsete

vaan

depingete

valemitega

kujul

τmax

=TWt ,

(2.24)

kusW

ton

ristloiketugev

usm

oment.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-59

Ellip

tilinevarra

s

Ellip

tiliseristloikega

vardas

arvutatak

sepingeid

pooltelged

eotstes

jargmiste

valemitega

(joon

.2.27):

Wt=

πab2

16,

τmax

=TWt=

16T

πab2 ,

τB=

16T

πa2b .

(2.25)

Joon

is2.27:

Ellip

tiliseristloikega

vardavaan

e.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-60

Ristku

likulin

evarra

s

Ristk

ulik

ulise

ristloikegavard

ason

vaan

depinged

pikiserv

ijaotu

nudparab

ool-

seltja

omavad

mak

simalseid

vaartu

siservad

ekesk

punktid

es.Ristloike

nurkad

eson

vaan

depinged

nullid

(joon

.2.28).

Iseloom

ulik

udpinged

leitakse

valemitega

τmax ≡

τh=

TWt ,

Wt=

kh hb2,

τb=

kb τ

h .(2.26)

Joon

is2.28:

Vaan

depinged

ristkulik

ulise

ristloikegavard

as.

Naide2-14.Vaan

depinged

ristkulik

ulises

ristloikes.Lah

endatak

seloengu

s.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-61

Ohukesesein

alin

eavatudristlo

ige

Joon

is2.29:

Vaan

depinged

ohukesesein

alisesavatu

dristloikes.

Vaga

mitm

edkon

struktsio

onielem

endid

onvalm

istatudmetall-leh

tedest,

mille

ristloikepak

susδon

vaike

vorreld

eskorgu

segas(jo

on.2.29).

Vastavalt

tabelile

joon

isel2.28

onsellise

ristloikekorral

kh=

0.333=

1/3ja

ristloiketugev

usm

o-mentja

mak

simaaln

evaan

depinge

Wt=

sδ2

3,

τmax

=3T

sδ2 .

(2.27)

Valem

id(2.27)

kehtivad

kametall-leh

estteh

tudavatu

dristloikega

varrastejaok

s.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-62

Ohukesesein

alin

esuletu

dristlo

ige

Joon

is2.30:

Vaan

depinged

ohukesesein

alisessuletu

dristloikes.

Vaatlem

emuutuva

seinap

aksusega

suletu

dristloiget

(joon

.2.30).

Kunasein

apak

suson

vaike,

siisloem

epinge

seinapak

suse

jargikon

stantsek

s.Sam

ason

lihtnenaid

ata,et

pak

semas

osason

pinge

vaik

semja

ohem

asosas

suurem

.Projek

teerimejoon

ise2.30

parem

poolsel

osalkujutatu

djou

dx-teljele:

∑

Fix=

−τ1 δ

1 dx+τ2 δ

2 dx=

0.(2.28)

kust

saamegi,

etτ1 δ

1=

τ2 δ

2ehk

τδ=

const.

(2.29)

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-63

Joon

is2.31:

Vaan

depinged

ohukesesein

alisessuletu

dristloikes.

Jargn

evalttuletam

evalem

idmak

simaalse

vaan

depinge

arvutam

iseks.

Alusta-

menagu

tavaliseltvaan

dem

omendija

vaan

depingete

vahelisest

seosest15

(joon

.2.31):

T=

∫

A

ρτdA

=

∮

s

ρτδds.

(2.30)

Kunaτδ=

const

jaρds=

2dωon

kolmnurga

ABC

kahekord

nepindala,

siis

T=

τδ

∮

s

ρds=

2τδ

∮

s

dω=

2τδω

,(2.31)

15V

asakpoolsel

joon

iselon

dsasem

els

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-64

kusωon

ristloikekesk

joon

egapiiratu

dkujundi(an

tudjuhulrin

gi)pindala

(vt.

joon

.2.32).

Joon

is2.32:

Vaan

depinged

ohukesesein

a-lises

suletu

dristloikes.

Kunaτδ=

const,

siisvastab

mak

simaal-

selevaan

depingele

minim

aalnesein

apak

-susningtuues

sisseoh

ukesesein

alisessu-

letudristloike

tugev

usm

omendivaan

del

Wt=

2ωδmin

(2.32)

saame

mak

simaalse

vaan

depinge

leid-

misek

svalem

id

τmax

=TWt=

T

2ωδmin.

(2.33)

Naide2-15.Vaan

depinged

avatudja

suletu

doh

ukesesein

alisesristloikes.

La-

hendatak

seloengu

s.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-65

2.11.4

Loikepinge

Joon

is2.33:

Poik

joudja

loikepinged

(1)

Vaatlem

etala,

kusmoju

bpoik

joudQ

z(jo

on.2.33).

Teatavasti

onpoik

joudQ

z

loikepingete

τxzpeavek

to-rik

s.Poik

joud

Qzesin

ebalati

koos

pain

dem

omen-

diga

Myja

seegamoju

vadvad

eldaval

ristloikelka

norm

aalpinged

σx ,

mida

seljoon

iselei

olekujuta-

tud.Lisak

seeld

ame,

ettala

onko

ormatu

dniitem

apealm

ineja

aluminepind

onnihkep

ingest

vabad

.

Poik

joust

poh

justatu

dpingete

ristloikesjaotu

mise

seadusparasu

steselgita-

misek

steem

etalas

taiendava

loikeja

vaatlemeparem

poolsel

joon

isel2.33

ku-

jutatu

dalu

mise

osatasakaalu

.Nihkep

ingete

paarsu

sesead

use

poh

jalmoju

vadvaad

eldava

vardaosa

pealm

iselpinnal

nihkep

inged

τzx .

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-66

Joon

is2.34:

Poik

joudja

loikepinged

(2)

Erald

ame

nuud

talaalu

misest

osastvaikese

risttahuka

pikkusega

dx,laiu

se-ga

bja

”muutuva”k

orgusega

h/2

−z.

Risttah

uka

otstahkudel

moju

vadpikijou

d√z

N∗16=

N∗2ja

poik

joudQ

∗1 6=Q

∗2 ;Pealm

iseltah

ulmoju

bpingete

τzxpeavek

tordH.Eel-

dad

es,et

N∗2>

N∗1saam

etasakaalu

tingi-

musest

∑

Fix=

0avald

ada

dH

=N

∗2 −N

∗1 .(2.34)

Edasp

idises

rakendam

eZurav

ski 16

hupoteesi,

mille

kohaselt

onloikep

inged

talasjaotu

nuduhtlaselt

y-ko

ordinaad

ijargi.

Seega

saamevalem

i

τzx=

dH

bdx=

N∗2 −

N∗1

bdx

.(2.35)

Nuudon

oigeaeg

sissetuuaka

poik

jouga

Qzko

oskaiv

pain

dem

omentM

y(jo

on.

2.35).

16In

gliskeelseskirjan

duses

Jou

rawski.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-67

Joon

is2.35:

Poik

joudja

loikepinged

(3)

Tah

istamevaad

eldava

risttahuka

otspinna(jo

on.2.34)

pindala

A∗.Joon

isel2.35

onsee

pindviiru

tatud.Nuudsaam

eesitad

aristtah

uka

otspindad

elmoju

vadpikijou

dpain

dem

omendikau

du:

√z

N∗1=

∫

A∗

σx dA

=M

y

Iy

∫

A∗

zdA

=M

y

IyS∗y ,

N∗2=

∫

A∗

σx dA

=M

y+dM

y

Iy

∫

A∗

zdA

=M

y+dM

y

Iy

S∗y ,

(2.36)

kusS∗yon

viiru

tatudpinnastaatilin

emom

enty-telje

suhtes.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-68

Arvestad

esloikep

ingete

paarsu

sesead

ust

javalem

eid(2.35)

ning(2.36)

saame

τzx=

τxz=

N∗2 −

N∗1

bdx

=dM

y

dx

S∗y

Iy b .

(2.37)

Joon

is2.36:

Poik

joudja

loikepinged

(4)

Raken

dad

esdiferen

tsiaalseoseidolem

ekok

kuvottes

saanudvalem

i,mison

ra-ken

datav

meelevald

sekujuga

ristloikejaok

s:

τxz=

Qz S

∗y

Iy b ∗

.(2.38)

Siin

Qz

onvaad

eldavas

ristloikesmoju

vpoik

joud,b ∗

onviiru

tatudpin-

na”u

leminejoon

mood

e”(joon

.2.36),

S∗yviiru

tatudpinnastaatilin

emom

ent

y-telje

suhtes

jaIyristloike

peain

ertsimom

ent.Jargn

evaltvaatlem

eloikep

ingete

leidmist

mon

esmon

esspetsiifi

lisekujuga

ristloikes.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-69

Joon

is2.37:

Loikep

inged

ristkulik

ulises

ristloikes

Ristku

lik

Kasu

tamevalem

it(2.38)

jaleiam

eseal

kasutatavad

geomeetrilised

suurused

ristkulik

ukorral:

Iy=

bh3

12,

S∗y=

z ∗A∗=

...=

b2

(

h24−z2

)

,

τxz=

Qz S

∗y

Iy b ∗

=...

=6Q

z

bh3

(

h24−z2

)

.

Arvestad

es,et

ristkulik

upindala

A=

bh,saam

elop

uksvalem

id

τxz=

32

Qz

A

(

1−4z

2

h2

)

,max

τxz=

32

Qz

A.

(2.39)

Seega

ontegu

ruutparab

ooliga

jaτxz=

0kuiz=

±0,5h

ningmille

mak

simum

onkoh

alz=

0.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-70

Ring

Joon

is2.38:

Loikep

inged

umarristloikes

Kunaristloike

servalon

nihkep

inged

puutuja

sihilised

,siis

lahutam

eselle

kaheks

kompon

endiksja

tuletam

evalem

idloikep

inge

τxzleid

misek

s.Kasu

tamejallegi

valemit(2.38)

jaleiam

eva

jalikudgeom

eetrilisedsuurused

ringi

korral:

Iy=

πd4

64,

b ∗=

2√

r2−

z2,

S∗y=

32

(r2−

z2)

3/2.

Kok

kusaam

ejallegi

ruutparab

ooli,

mille

mak

simum

onkoh

alz=

0ja

mis

onnullkuiz=

±r:

τxz=

43

Qz

A

(

1−z2

r2

)

,max

τxz=

43

Qz

A.

(2.40)

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-71

Joon

is2.39:

I-tala.

I-tala.

Vaatlem

evaltsm

etallistprofi

ili,mille

ristloigeon

Itah

ekujulin

e.Ta-

valiseltnim

etatakse

sel-list

talaI-talak

s(jo

on.

2.39).Eesm

argiks

onleid

anihkep

ingete

jao-tus

sellisesristloikes.

Lihtsu

semottes

vaatle-meselist

profi

iliko

osne-

vanaristk

ulik

utest.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-72

Joon

is2.40:

I-talaiselo

omulik

udstaatilised

mom

endid.

Loikep

inge

arvutam

iseks

kasutam

eendiselt

valemit

(2.38):

τxz=

Qz S

∗y

Iy b ∗

.

Seega

onnihkep

ingete

epuurid

eko

ostamisek

sva

jatead

atervet

rida

staatilisimom

ente,

mis

onesitatu

djoon

isel2.40

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-73

Joon

is2.41:

Loikep

inge

τxzepuurI-tala

korral.

Joon

isel2.41

onkujuta-

tudloikep

inge

τxzepuurI-

talajaok

s.Nihkep

inge

va-lem

itesesin

evadstaatili-

sedmom

endid

tuleb

arvu-

tadajoon

isel2.40

esitatud

valemite

abil.

Ulem

inek

seinalt

voole

ontegelik

ku-

sessujuv(vt.joon

2.39)ja

seetottueiesin

etegelik

ku-

seska

sellistjarsk

uhupet

nagu

onjoon

isel2.41.

On

selge,et

vorreld

essei-

naga

onloikep

ingete

τxz

vaartu

sedvoos

vaikesed

.

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-74

Joon

is2.42:

Loikep

inge

τxypoh

jused

.

Tala

voos

esinevad

lisaksloikep

ingetele

τxzveel

loikepinged

τxy .Uksnendeole-

masolu

poh

jendus17

onesitatu

djoon

isel2.42.

Eeld

ades,

etN

∗2>

N∗1 ,

tasa-kaalu

stabpikijou

juurdekasv

udN

nihkep

ingest

τyxpoh

justatu

djou

dτyx td

x.

Nihkep

ingete

paarsu

sseaduse

poh

jalpeab

nihkep

ingega

τyxko

oseksisteerim

anihkep

inge

τxy ,

mille

arvutam

isekskasu

tamevalem

iga(2.38)

analo

ogilistvale-

mit

τxy=

Qz S

∗y

Iy t

.(2.41)

17E

ksisteerib

veelteisigi

poh

jendusi.

Naitek

s,et

voos

moju

vpinge

τyxtasakaalu

stabsein

asmoju

vatpinget

τxz .

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-75

Joon

is2.43:

Loikep

inge

τxyepuurI-tala

voos.

Joon

ise2.43

poh

jalsaam

eviim

asestvale-

mistτ

xy=

Qz S

∗y

Iy t

=Q

z sat

Iy t

=Q

z sa

Iy

.(2.42)

S∗ytah

istabsiin

viiru

tatudpinnastaatilist

mom

entiy

-teljesuhtes.A

rvestades,et

talavoo

laiuson

bja

seinapak

susδ,

saame

nihkep

ingete

τxyekstrem

aalsedvaartu

sed

max|τ

xy |=

Qz a(b−

δ)

2Iy

.(2.43)

On

selge,et

voo

” sobivate”

mootm

etekorral

voivad

nihkep

inged

τxy

omad

amark

imisv

aarsedvaartu

si.

Tala

voos

moju

vatenihkep

ingete

summee-

rimisel

saamepeavek

toridQ

2 ,Q′2 ,Q

3 ,Q′3

(vt.joon

.2.44).

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-76

Joon

is2.44:

Poik

joudI-talas.

Valem

i(2.42)

poh

jal

Q2=

∫

A

τxy dA

=

∫

l

0

Qz sa

Iy

tds

(2.44)Arvestad

es,et

a=

h/2−

t/2≈

h/2

jal=

b/2−δ/2

≈b/2

saame

Q2=Q

z at

Iy

∫

l

0

sds=

Qz atl 2

2Iy

≈Q

z htb

2

16Iy

.

(2.45)

On

selge,et

joon

iste2.43

ja2.44

poh

jalvek

toridQ

2=

−Q

′2 ,Q

3=

−Q

′3ja

Qz=

Q1(Q

1on

sissetoodudvoo

jasein

avah

elisean

aloogia

mottes)

ningmoodulid

Q2=

Q3

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-77

Naide

2-16.

Painde-

jaloikepinged

I-talas

(nn.

keevisristlo

ige).

Joon

is2.45:

I-talaristloige

Tala

ristloikesmoju

bpain

dem

omentM

=20

kNm

japoik

joudQ

=100

kN.Koostad

apain

depinge

σxja

loikepingete

τxzningτxyepuurid

.Ristloike

mootm

ed:b1

=6cm

,h1=

2cm

,b2

=2cm

,h2=

10cm

.Kuidas

moju

tabmootm

etesuuren

dam

ine

ja/voi

vah

endam

inepingeid

?

Lahendus.

Pain

depinged

arvutatak

sevalem

ite(2.15)

ja(2.16)

poh

jal:

max

σx=

My

Wy .

Wy=

Iy

zmax ,

Nihkep

ingete

arvutam

isekskasu

tamevalem

eid(2.38)

ja(2.43):

τxz=

Qz S

∗y

Iy b ∗

,max|τ

xy |=

Qz a(b−

δ)

2Iy

.

Viim

astejaok

son

vaja

leidamitm

edinertsi-,

tugev

us-

jastaatilised

mom

endid

Iy ,

Wy ,

S∗Ay,

S∗By

2.11.

Nihkepinged

vardaristlo

ikes

2-78

Epuurid

ejoon

istamisek

sva

jalikudarv

udon

jargnevas

tabelis.

Epuurid

joon

is-tatak

seja

taiendavaid

seletusian

takse

loengu

s.

2.12.

Ristlo

igete

geomeetriliste

karakteristik

ute

tabelid

2-79

2.12

Ristlo

igete

geomeetriliste

kara

kteristik

ute

tabelid

Tugev

usop

etuses

esitatakse

sellisedtab

elidtavaliselt

valtsmetallid

ekoh

taja

ku-

natih

tion

teguterasega

siiskutsu

takse

neid

tabeleid

seljuhulterasp

rofiilid

etab

eliteks.Kunaerin

evateltootjatel

jaerin

evatelriik

idelon

erinevad

standard

-sed

ristloiked,siis

eksisteerib

kapalju

erinevaid

terasprofi

ilidetab

eleid.L

oom

uli-

kultpole

konstru

ktsio

onielem

endid

ainultvaltsterasest

jaleid

ubvaga

erinevate

kujudega

ristloikeidningneile

vastavaidtab

eleid.

Siin

vaatlemeuhte

komplek

ti,mison

kakaesoleva

peatu

kilisas

jamidavoib

vaja

minnaulesan

nete

lahendam

isejuures.

Tab

elidparin

evadkolleegid

eltmehaan

i-ka

institu

udist

japrofi

ilidvastavad

autorile

teadaoleva

info

kohaselt

Euroop

astan

dard

ile.

Jargn

evalton

esitatud

tabelite

algused

kahte

liikiI-p

rofiilile,

nn.karp

rauale

ningvord

-ja

erikulgsele

nurkrau

ale.Pikem

adtab

elidon

esitatudLisas

2-A.

2.12.

Ristlo

igete

geomeetriliste

karakteristik

ute

tabelid

2-80

2.12.

Ristlo

igete

geomeetriliste

karakteristik

ute

tabelid

2-81

2.12.

Ristlo

igete

geomeetriliste

karakteristik

ute

tabelid

2-82