"Outils mathématiques pour le chimiste" Travaux Dirigés

Licence Chimie L2

Parcours Chimiemodule OT3

"Outils mathématiques pour le chimiste"

Travaux Dirigés

Année universitaire 2008-2009

Licence Chimie L2

Parcours Chimie


module OT3


Table des matières

0.1Algèbre linéaire 3

0.1.1 Géométrie euclidienne, vecteurs, droites, plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.1.2 Matrices : déterminant, inversion, diagonalisation, changement de base . . . . . . 50.1.3 Symétries et rotations dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.2Analyse 9

0.2.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.2 Séries, séries entières, convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3Calcul intégral 13

0.3.1 Intégrales multiples, changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.3.2 Intégrale curviligne, théorème de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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1 Algèbre linéaire

1.1 Géométrie euclidienne, vecteurs, droites, plans

Exercice 1 Rappeler la dé�nition des coordonnées du produit vectoriel ~V1 ∧ ~V2 et montrerque si ~V1, ~V2 et ~V3 sont 3 vecteurs de R3 alors on a :

( ~V1 ∧ ~V2) ∧ ~V3 + ( ~V2 ∧ ~V3) ∧ ~V1 + ( ~V3 ∧ ~V1) ∧ ~V2 = ~0

Exercice 2 Toute orbitale hybride de type spλ peut être écrite sous la forme d'une combinaisonlinéaire des orbitales s, px, py et pz :

Ψ = Cs s+ Cx px + Cy py + Cz pz

Cette orbitale pointe dans la direction Cx~i + Cy~j + Cz~k où , ~i, ~j, ~k sont les vecteurs unitairesd'un repère orthonormé. Calculer l'angle entre :

a)1√6

(√

2 s− px +√

3 py) et1√6

(√

2 s− px −√

3 py)

b)12

(s+ px + py + pz) et12

(s+ px − py − pz)

Exercice 3 Le solide se présente généralement sous une forme cristalline, c'est-à-dire que lesatomes qui le constituent sont répartis de façon périodique dans les 3 directions de l'espace. Onparle alors de repère cristallographique.Les repères cristallographiques sont dans le cas le plus général constitués par des axes obliquesportant des vecteurs (~a, ~b, ~c) formant une base. Le volume construit à partir de ces vecteurss'appelle la maille élémentaire.Nous allons considérer deux repères cristallographiques di�érents :repère 1 : les angles formés entre les vecteurs ~a et ~b, ~a et ~c, ~b et ~c valent tous 90◦ (maille cubique).repère 2 : les angles formés entre les vecteurs ~a et ~b, ~a et ~c, ~b et ~c valent respectivement 90◦, β(avec β 6= 90◦) et 90◦ (maille monoclinique).

A- On considère dans le repère 1 trois vecteurs ~V1, ~V2 et ~V3 de composantes respectives(p1, q1, r1), (p2, q2, r2) et (p3, q3, r3). Donner :

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1. L'expression du produit vectoriel ~V2 ∧ ~V3

2. L'expression du produit mixte ( ~V1, ~V2, ~V3). Montrer que le calcul du produit mixte donnele volume de la maille construite à partir des vecteurs ( ~V1, ~V2 et ~V3).

3. Quelle est la multiplicité de la nouvelle maille construite sur les vecteurs :~V1 = ~a+ 2~b+ ~c~V2 = ~a+~b~V3 = ~a+ ~c

B- Répondre aux mêmes questions en travaillant dans le repère 2.

Exercice 4 À l'état solide, le cristal d'ozone (O3) peut être décrit dans un repère orthogonalmuni de la base (~a,~b,~c). Les dimensions d'une cellule unitaire sont a = 7,7888Å, b = 6,6973Ået c = 6,8413Å. Ceci dé�nit un parallélépipède rectangle (maille orthorhombique).Dans le repère orthogonal (~a,~b,~c), les coordonnées des atomes d'oxygène, notés Oα, Oβ et Oγ ,d'une molécule d'ozone contenue dans la maille élémentaire formée à partir de ces vecteurs debase sont :

atome n◦ a b c

O α 0,2050 0,0585 0,0648O β 0,1240 0,1535 0,1835O γ 0,0006 0,2611 0,1394

Donner les schémas de Lewis possibles de la molécule d'ozone.Calculer l'angle OαOβOγ et les distances OαOβ , OβOγ et OαOγ .Sachant que les distances moyennes OO dans H2O2(H�O�O�H) et O2 (O=O) valent respective-ment 1,48Å et 1,20Å, que cela vous suggère-t-il pour la structure interne de la molécule d'ozoneà partir des données cristallographiques ?

Exercice 5 Soient 3 points dans l'espace euclidien R3 :

A

231

B

−120

C

1−27

Donner l'équation du plan P passant par A, B et C. Déterminer les coordonnées du point

d'intersection entre le plan P et la droite ∆ de coe�cient directeur ~v =

−3−12

et passant par

le point D

531

.

Exercice 6 La géométrie de la molécule de CH4 est décrite par un tétraèdre régulier. Dansle repère cartésien (repère orthonormal), on se donne 4 points :

A

111

B

−11−1

C

−1−11

D

1−1−1

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1. Montrer que A, B, C et D sont dans R3 les 4 sommets d'un tétraèdre régulier ABCD decôté 2

√2 dont on calculera le volume. On fera une �gure.

Retrouver les valeurs des angles HCH.

2. Montrer que le plan OAB rencontre le segment [CD] perpendiculairement en son milieu

K

0−10

.

1.2 Matrices : déterminant, inversion, diagonalisation, changement de base

Exercice 1 Soit la matrice S suivante.

S =

1 −1 1−1 −1 1

1 1 1

Montrer que la matrice S est inversible et déterminer la matrice inverse S−1 de deux manièresdi�érentes : (i) en appliquant directement la dé�nition S S−1 = I, (ii) en se servant de laméthode de Cramer.

Exercice 2

1. Soit le nombre complexe j dé�ni comme suit : j = −12 +

√3

2 i (avec i2 = −1)

Montrer que j3 = 1 et que 1 + j + j2 = 0.Montrer que la matrice J dé�nie comme suit est inversible :

J =

1 1 11 j j2

1 j2 j

Calculer J 2, J 3 et J 4 et expliciter J −1.

2. On considère la matrice "circulaire" K dé�nie ci-dessous :

K =

a b cc a bb c a

Calculer J −1.K.J = D. Montrer que det(K) = det(D), et en déduire la résolution del'équation suivante : x3 − 3bc x+ b3 + c3 = 0.

3. les valeurs de b et c étant prises comme paramètres, déterminer pour quelles valeurs de ala matrice K est inversible et expliciter ladite inverse.

4. Soit la matrice "diagonale" ∆ dé�nie ci-dessous :

∆ =

α 0 00 β 00 0 γ

Montrer qu'il existe une unique matrice circulaire K telle que J −1.K.J = ∆. Exprimerexplicitement a, b et c en fonction de α, β et γ.

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Exercice 3 Une maille cristalline de volume V , est dé�nie sur les vecteurs de base ~a1, ~a2, ~a3.On dé�nit une nouvelle maille basée sur les vecteurs ~A1, ~A2, ~A3 telle que :

( ~A1, ~A2, ~A3) = ( ~a1, ~a2, ~a3) [Sij ]

1. Trouver les matrices permettant d'exprimer les composantes d'une rangée ~R notée [UVW ]ainsi que les coordonnées X,Y, Z d'un point M relatifs à la base ( ~A1, ~A2, ~A3) en fonctionde ceux de la base ( ~a1, ~a2, ~a3).

2. Application : soit la matrice de passage Sij dé�nie ci-dessous, la rangée [423] et le point decoordonnées réduites x = 0, 35 ; y = 0, 43 ; z = 0, 13.

Sij =

1 1 00 2 11 2 2

Exercice 4 Le Nickel métallique cristallise dans une maille cubique à faces centrées, dé�niepar la base (~a,~b,~c) formée de vecteurs de même norme et orthogonaux. La position d'un atomequelconque de ce métal est déterminée par ses coordonnées x, y et z.

1. Exprimer les coordonnées X, Y et Z de ce même atome dans la maille rhomboédriqueinscrite dans la maille cubique. On explicitera les vecteurs de base ~A, ~B et ~C associés à lanouvelle maille à partir des vecteurs de base ~a, ~b et ~c) associés à l'ancienne maille.On rappelle que, par dé�nition, les angles formés entre les vecteurs ~a et ~b, ~b et ~c, ~c et ~asont tous égaux et di�érents de 90◦ et que les normes de ces vecteurs sont égales.

2. Expliciter aussi la matrice de passage de la maille rhomboédrique à la maille cubique.

Exercice 5 On donne la matrice E suivante exprimée dans la base canonique de R3 :

E =

2 0 −20 3 00 0 −4

1. Trouver le polynôme caractéristique et les valeurs propres λi de E . Pouvait-on prévoir le

résultat sans calcul ?

2. Trouver les vecteurs propres εi de E et donner l'expression de ED, la matrice de E dans labase des εi.

3. Exprimer la matrice P de passage de la base canonique de R3 à la base des εi et véri�er larelation des changements de base : ED = P−1 E P.

Exercice 6 Dans le cas de la molécule de butadiène CH2 = CH − CH = CH2, les valeursE possibles pour l'énergie des électrons délocalisés sur l'ensemble de la molécule (électrons dusystème π) sont valeurs propres de la matrice H suivante :

H =

α β 0 0β α β 00 β α β0 0 β α

où α et β sont deux nombres réels tels que α > 0 et β < 0.

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1. Ecrire l'équation aux valeurs propres de H. En déduire les valeurs Ei (i = 1, 2, 3, 4) del'énergie des électrons π de la molécule (On pourra de manière intermédiaire mettre β enfacteur et poser x = α−E

β . On classera les énergies Ei trouvées par valeurs croissantes.2. Trouver le vecteur propre ψ1 associé à la valeur propre E1.

Soient ψ2, ψ3 et ψ4 les vecteurs propres associés respectivement à E2, E3 et E4. Donnerl'expression de HD, la matrice de H dans la base des vecteurs propres (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4).

1.3 Symétries et rotations dans R3

Exercice 1 Dans R3 muni de la base canonique (~i,~j,~k), on se donne 2 points :

A

111

B

−11−1

Former l'équation du plan OAB et expliciter la matrice SAB de la symétrie orthogonale relati-vement à ce plan.

Exercice 2 Ecrire, par rapport à la base canonique de R3, l'expression de la matrice 3×3 de

la rotation d'angle π/3 dans le sens direct autour de l'axe ~∆

110

.

Exercice 3 Dans R3, on considère la matrice S suivante :

S =

1 1−

√3 1 +

√3

1 +√

3 1 1−√

31−√

3 1 +√

3 1

1. Calculer det(S) et en déduire que S est inversible.2. Montrer que M = 1

3 S est orthogonale directe. Montrer que M est une rotation d'axepassant par l'origine. Déterminer cet axe ainsi que l'angle de ladite rotation.

3. Calculer S−1, l'inverse de S.4. Exprimer Sn à l'aide des fonctions trigonométriques de nθ.

Exercice 4

1. Donner, par rapport à la base canonique de R3, l'expression générale de la matrice 3 × 3de la rotation autour de l'axe Oz et d'angle θ.

2. Calculer le déterminant de cette matrice.3. Donner l'expression générale de la matrice 3 × 3 correspondant à la symétrie par rapport

au plan xOy.4. Donner l'expression générale de la matrice 3 × 3 correspondant à la rotation autour de

l'axe Oz et d'angle θ = π suivie par la symétrie par rapport au plan xOy. De quelletransformation s'agit-il ?

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Exercice 5 Montrer que dans une maille cubique le produit de la rotation d'un angle π2 autour

de la direction Oz par la rotation d'un angle π2 autour de la direction Ox est équivalent à une

rotation d'angle 2π3 autour d'un axe dit ternaire que l'on précisera. Ce produit est-il commutatif ?

Exercice 6 Soit une molécule de pentacène, que l'on pourra assimiler à un rectangle, déposéesur le plan d'équation z = 0 d'un solide cubique (voir �gure). Les coordonnées des atomes ducube sont repérés à l'aide de la base canonique (~i,~j,~k) orthonormée directe de R3. On dé�nit labase (~u,~v, ~w) orthonormée directe attachée à la molécule telle que ~w soit colinéaire au grand axeL de la molécule, ~v soit colinéaire au petit axe M de la molécule et ~u soit colinéaire à l'axe Navec ~u = ~v ∧ ~w.

1. Établir la matrice de passage qui permet d'exprimer les vecteurs de base (~u,~v, ~w) en fonctiondes vecteurs (~i,~j,~k) au moyen des angles d'Euler dé�nis par la série de transformationssuivante :

(~i,~j,~k)R(~k,ψ)−−−−→ (~i′,~j′,~k)

R(~i′,θ)−−−−→ (~i′,~j′′, ~w)R(~w,φ)−−−−→ (~u,~v, ~w)

où ψ est appelé l'angle de précession, θ l'angle de nutation et φ l'angle de rotation propre.

2. La matrice de changement de base entre (~i,~j,~k) et (~u,~v, ~w) est donnée par la relationsuivante :

R =

−√

32√

212

√3

2√

21

2√

2

√3

2−1

2√

2−√

22 0 −

√2

2

En déduire les angles d'orientation ψ, θ, φ de la molécule de pentacène par rapport au planz = 0 du cube.

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2 Analyse

2.1 Suites numériques

Exercice 1 Rappeler la dé�nition d'une suite :

a) croissante non convergente

b) croissante convergente

c) convergente, ni croissante ni décroissante

d) majorée non minorée

e) bornée non convergente

On donnera un exemple de chaque cas.

Exercice 2 Trouver les limites des suites quand n→∞ :

a) un = n2+1n3 b) un = n!

n2 (n > 0) c) un = n√n2

d) un = n2

2n e) un = (−1)n

2n f) e0 + e−1 + e−2 + . . .+ e−n

g)(1 + 1

n

)n

Exercice 3 On considère trois suites (un), (vn) et (wn) telles que ∀n, un ≤ vn ≤ wn etlimn→∞ un = limn→∞wn = l

a) Montrer que limn→∞ vn = l

b) Appliquer cela à la suite (vn) dé�nie par le terme général : vn = 1√n2+1

+ 1√n2+2

+ . . .+ 1√n2+n

Exercice 4

1. Soit (un)n 6=0 la suite dé�nie par le terme général un = 11×2 + 1

2×3 + . . .+ 1n (n+1) .

� Décomposer la fraction rationnelle 1n (n+1) en éléments simples.

� En déduire une autre expression de un en fonction de n, puis la convergence de (un). Onprécisera la limite en +∞.

2. Soit (un) la suite dé�nie par le terme général : 12 + 22 + 32 + . . . + n2. Calculer un enfonction de n en utilisant le développement de (1 + n)3.

3. Soit (un)n6=0 la suite dé�nie par u1 > 0 et un = a un−1 + 1 avec a un nombre positif ounul.� Calculer l'expression de un en fonction de n et en déduire la nature de la suite (un).� Représenter le graphe de la fonction y = a x+1 et interpréter graphiquement les résultatstrouvés.

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Exercice 5

1. Montrer que la suite (un) dé�nie par le terme général sin 13 + sin 2

32 + . . .+ sinn3n est convergente

en démontrant que c'est une suite de Cauchy.

2. Soit la suite dé�nie par 1 + 12 + 1

3 + . . .+ 1n .

� Montrer que u2n − un est minorée par 12 .

� Utiliser le résultat pour montrer que la suite (un) est divergente.

3. Soit une suite de réels (un). On pose : ∀n ≥ 1, δn = |un+1 − un|.� Montrer que si (un) converge, alors limn→∞ δn = 0. La réciproque est-elle vraie ?� On suppose cette fois ci que ∃ α > 1, ∀n ≥ 1, δn ≤ A

αn (A ≥ 0 �xé). Démontrer qu'alors(un) est une suite de Cauchy.

4. Soit k un réel tel que 0 ≤ k < 1 et (un) une suite véri�ant la condition suivante :∀n ∈ N∗, |un+1 − un| ≤ k |un − un−1|.Montrer que (un) est une suite de Cauchy.

2.2 Séries, séries entières, convergence

Exercice 1

1. Soit la série dé�nie par Sn = 1 + α+ α2 + . . .+ αn + . . . avec α ∈ R. Étudier la nature decette série en fonction des valeurs possibles pour α.

2. On pose la série de Riemann Sn = 1+ 12α + 1

3α + . . .+ 1nα + . . . avec α ∈ ]0 ; +∞[. Étudier la

nature de la série de Riemann en fonction de α. On prendra soin de distinguer les cas α ≤ 1et α > 1. Dans ce deuxième cas, on utilisera le théorème de comparaison série intégralepour prouver la convergence de la série.

3. Étudier la nature de la série de terme général an = (−1)n

nα ; n > 0 en fonction des di�érentesvaleurs de α ∈ ]0 ; +∞[.

Exercice 2

1. Montrer que la série dé�nie par a0 = 0 et∑∞

n=1 an avec an = 1n(n+1) converge.

2. Employer le critère de d'Alembert pour montrer la convergence de la série de terme généralan = n!

nn

3. Soit la série de fonctions dé�nie par∑un =

∑n≥1

1n2+x2 . Montrer que cette série converge

normalement sur R.

Exercice 3

1. Soit la série entière dé�nie par Un = 1 + x+ x2

2! + x3

3! + . . .+ xn

n! + . . .Employer le critère de d'Alembert pour prouver que le rayon de convergence de cette séries'étend à R.

2. Montrer que la série alternée dé�nie par : Vn = 1 − x2

2! + x4

4! −x6

6! + . . . + (−1)n x2n

(2n)! + . . .converge.

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Exercice 4 Rappeler la règle de Cauchy permettant le calcul explicite du rayon de convergenced'une série entière dé�nie par (an xn)n≥0 avec an non nul pour tout entier n.Calculer le rayon de convergence de la série suivante : x− x2

2 + x3

3 − . . . (pour |x| < 1)

Exercice 5

1. Quand dit-on qu'une fonction f est développable en série entière à l'origine ?

2. Soit la fonction dé�nie par f(x) = 12+x . Utiliser la formule de Taylor pour développer cette

fonction en série entière au voisinage de l'origine. Expliciter son rayon de convergence.

3. Montrer que si p est un entier positif ou nul, on a quelque soit |x| < 2 :∫ 1

0

xp

2 + xdx =

12

∑n≥0

(−1)n

2n(n+ p+ 1)

En déduire la somme de la série suivante :

Sn =∑n≥0

(−1)n

2n(n+ 4)

Exercice 6 Soit la fonction f : ] − 1; +∞[−→ R, C∞, et dé�nie par f(x) = (1 + x)α avecα ∈ R. On désire trouver un développement de cette fonction en série entière vers l'origine enutilisant la méthode des équations di�érentielles.

1. Montrer que la fonction f(x) est solution d'une équation di�érentielle linéaire homogènedu premier ordre.

2. Soit ϕ(x) =∑anx

n. Expliciter les coe�cients an pour que ϕ(x) soit solution de l'équationdi�érentielle précédente.

3. Montrer que le développement de ϕ(x) converge vers f(x).

2.3 Séries de Fourier

Exercice 1 On considère la fonction périodique de la variable t dé�nie comme suit :

f(t) =

1 si t ∈]0;π[12 si t = π0 si t ∈]π; 2π[

On se propose de développer f(t) en une série de Fourier du type :

f(t) = a0 +∞∑n=1

an cos(

2πntT

)+∞∑n=1

bn sin(

2πntT

)1. Représenter graphiquement f(t) et calculer a0.

2. Calculer les coe�cients an et bn.

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Exercice 2 Soit la fonction f(t) de période 2π représentée ci-dessous.

Donner le développement en série de Fourier de f(t). En déduire la valeur de la série suivante :

Sn =∞∑n=0

1(2n+ 1)2

Exercice 3 Soit la fonction 2π périodique dé�nie par f(x) = (π − x)2 pour 0 ≤ x ≤ π.1. Représenter quelques périodes de f(x).

2. Calculer le développement en série de Fourier de cette fonction.

3. Utiliser le résultat pour calculer la série suivante :

Sn =∞∑n=1

1n2

Exercice 4 Soit la fonction f(x) = | cos(x)| ; x ∈ R.Montrer que la fonction g(x) = π

2 f(x) − 1 converge vers la série trigonométrique conjointesuivante :

Sn =∞∑n=1

(−1)n

2n+ 1cos(2nx) +

∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1cos(2nx)

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3 Calcul intégral

3.1 Intégrales multiples, changement de variable

Exercice 1

1. Calculer l'intégrale suivante :

I =∫∫

D

√x2 + y2 dx dy

D étant dé�ni comme la partie du plan (xOy) limité par√x2 + y2 = 2 et

√x2 + y2 = 3.

2. Calculer à nouveau cette intégrale dans le cas où D est dé�ni comme la partie du plan

(xOy) telle que x ≥ 0 et 2 ≤√x2 + y2 ≤ 2

1 + x√x2+y2

.

Exercice 2 Calculer les intégrales suivantes :

I =∫∫

Dx√y dx dy

avec D dé�ni par 0 ≤ x ≤ a (a est un nombre réel strictement positif) et 0 ≤ y ≤ x2.

J =∫∫

Dxy dx dy

et K =∫∫

D(x2 + y2) dx dy

avec D dé�ni par x ≥ 0, y ≥ 0 et xa + y

b ≤ 1 (a et b étant 2 nombres réels strictement positifs).

L =∫∫

D

x2

y2dx dy

avec D dé�ni par 1 ≤ x ≤ 2 et 1x ≤ y ≤ x.

Exercice 3 Soient a ∈ R+∗ et D = {(x, y) ∈ (R+)2|(x2 + y2)2 − a2(x2 − y2) ≤ 0}.Calculer l'aire de D.

Exercice 4

1. En coordonnées sphériques, la fonction d'onde correspondant à l'orbitale 2px de l'atomed'hydrogène est donnée par (en unités atomiques) :

Ψ2px = N r × exp(− r

2

)× sin θ cosφ

Que vaut N , la constante de normalisation sachant que :∫∫∫V

Ψ22px dV = 1 ou dV est l′element de volume ?

Remarque : on pourra utiliser le resultat suivant :∫ ∞

0xne−qxdx =

n!qn+1

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2. Pour l'atome d'hydrogène dans son état fondamental, la distance moyenne entre l'électronet le noyau est donnée par l'expression suivante :

< r1s > =∫∫∫

Vr Ψ2

1s dV

avec Ψ1s =1√πa3

0

exp(− r

a0

)Montrer que la distance moyenne électron-noyau est égale à 3a0

2 .

3.2 Intégrale curviligne, théorème de Green-Riemann

Exercice 1 Soient dans R2, le domaine ξ délimité par le contour Γ dé�nis par :

ξ ={

(x, y),x2

a2+y2

b2≤ 1}

et Γ ={

(x, y),x2

a2+y2

b2= 1}

1. Calculer∫

Γ(ydx− xdy).

2. Montrer, en utilisant la formule de Green, que : −2∫∫ξ dx dy =

∫Γ(ydx− xdy).

3. Quelle est l'aire de ξ ?

Exercice 2 Soit f :{

(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ 2}→ R une fonction dérivable continûment

deux fois.On dé�nit le gradient de cette fonction par :

−−→gradf =

∂f/∂x∂f/∂y

1. Montrer, en utilisant la formule de Green, que si Γ+ =

{(x, y) ∈ R2, x2 + y2 = 1

}alors∫

Γ+

−−→gradf .

−−→dM = 0

2. Si Γ1 et Γ2 sont deux chemins reliant les points A et B dans{

(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ 1},

montrer que∫

Γ1

−−→gradf .

−−→dM =

∫Γ2

−−→gradf .

−−→dM = f(B)− f(A).

Exercice 3 L'équation en coordonnéespolaires de la cardioïde (courbe ci-contre)est donnée par :

ρ = a(1 + cos θ) avec a > 0.

1. Calculer la longueur de la courbe.

2. Calculer l'aire délimitée par la cardioïde.

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