Devoir Exercice n°2 – Aleksandar Trifunovic 1/7

Ouvrages et aménagements hydrauliques I

Professeur : M. Anton Schleiss

Etudiant : Aleksandar Trifunovic

Section : génie-civil

19.10.2015

Exercice n°2

Pont conduite

Table des matières

Introduction et données ........................................................................... 2

Données .............................................................................................. 2

Question 1&2 .......................................................................................... 3

Réponses 1 et 2: .................................................................................. 4

Question 3 .............................................................................................. 5

Réponse 3 .............................................................................................. 5

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Introduction et données

Une conduite forcée souterraine d'une petite centrale hydroélectrique traverse un chemin

d'alpage avec un pont conduite incliné. En première approximation, il est admis que la conduite

est parfaitement encastrée dans les deux points fixes en béton, amont et aval. Une coupe

longitudinale ainsi que les principales caractéristiques sont montrées ci-dessous.

Données

Pression intérieure maximale Pi,Max = 35 bar (choix) Diamètre de la conduite D = 1.80 m Pente de la conduite α = 25° Portée à l'axe L = 15 m (choix) Type d'acier Thyssen StE 500 Limites élastiques fy = 500 N/mm2 si e < 16 mm fy = 480 N/mm2 si 16 < e < 35 mm Coefficient de Poisson ν = 0.30 Variation de température maximale dans l'acier ΔT = +/- 10 °C Coefficient de dilatation thermique βt = 10-5 /°C

Schéma de l'ouvrage Source : moodle epfl-Donnée de l’ex. 2

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2

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Question 1&2 En tenant compte de toutes les forces agissant sur le système, quelle est la section critique du pont conduite pour le dimensionnement de l'épaisseur de la paroi de la conduite ? Quelle est l'épaisseur minimale de la conduite, si les contraintes équivalentes dans l'acier doivent rester inférieures à sa limite élastique ? Le coefficient de sécurité à imposer est de 1. Les efforts agissant sur la conduite sont: - efforts statiques dues au poids de l'eau et de la conduite - contrainte tangentielle due à la pression - contrainte longitudinale due à la pression et au coefficient de Poisson - contrainte longitudinale due à la dilatation / contraction thermique Six cas sont à étudier: Les membrures inférieures ou supérieures aux encastrements amont et aval, à mi-portée

Efforts statiques

Poids de la conduite, c = 78.5 kN/m3: Fpc c V / L c π e (D e) kN/m

Poids de l'eau: Fpw w V / L w π D2 / 4 kN/m

Moment à l'encastrement: Mencastrement M1 = ( Fpc Fpw ) cos(25) L2 / 12 kNm

Moment à mi-portée: Mmi-portée M2 = (Fpc Fpw ) cos(25) L2 / 24 kNm

Contrainte due au moment de flexion: σ1,2 = ±M1,2 / I · z = ±M1,2 / I · 0.5 · (D + 2·e)

avec I, l'inertie de la section tubulaire: I = π/64·((D+2·e)4 - D4)

Contrainte due à l'effort normal (poids propre de la conduite, traction en amont, compression en aval):

σ3 = ± Fpc · sin(25°) · L / A · 0.5

avec A, l'aire de la section tubulaire: A = π/4 · ((D+2·e)2- D2))

Contrainte de cisaillement: τ = (Fpc + Fpw) · cos(25°) · L/(2·A)

Pression de l'eau

Formule de la contrainte du tube (traction): σ5 = -Pi,max · (D + e) / (2 · e)

Contrainte longitudinale, effet de Poisson (traction): σ6 = -ν · Pi,max · (D + e) / (2 · e)

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Température

Contrainte longitudinale due à la température σ7 = ±βt · E · ΔT

Réponses 1 et 2:

La sollicitation principale étant la pression de l'eau, créant une contrainte transversale au tube, elle me permet d'estimer l'épaisseur du tube:

σ5 ≤ fy / 1.8 = 277.8 N/mm2

J'obtiens Pi,max · (D + e) / (2 · e) ≤ 277.8 N/mm2 e ≥ 11.5 mm En prenant e = 12 mm < 16 mm donc la contrainte de résistance vaut fy = 500 N/mm2. Ensuite, à l'aide de formules établies ci-dessus, je calculs les valeurs de contraintes en valeurs absolus sous différents cas de charges:

Contraintes en valeur absolu sous différents cas de charges

Ayant un système hyperstatique avec une pente, pour trouver la combinaison déterminante, je calcul la contrainte maximale en superposant les différents cas de charges qui agissent certains de manière défavorable et certains de manière favorable. La convention des signes a été choisi que la compression soit positive et la traction négative. Je fais deux groupes de combinaisons, un groupe avec un changement de température de changement de température en augmentant (T2>T1) et un cas de charge avec un changement de température en diminuant (T2<T1).

Contraintes en valeur absolue

L'effort normal dû au poids propre de la conduite crée de la traction en amont, ne crée pas d'effort à mi-travée et crée de la compression en aval. La température avec un changement d'augmentation crée de la compression dans toute la section, tandis que le changement de température en diminuant (T2<T1) crée de la traction. La vérification de résistance à faire est la suivante (von Mises): σ' ≤ σ'r = fy / 1.8

σ1 17030.2 kN/m2 17.0 N/mm2

σ2 8515.1 kN/m2 8.5 N/mm2

σ3bords 248.8 kN/m2 0.2 N/mm2

σ3mi-portée 0.0 kN/m3 0.0 N/mm3

τ 3065.7 kN/m2 3.1 N/mm2

σ5 264250.0 kN/m2 264.3 N/mm2

σ6 79275.0 kN/m2 79.3 N/mm2

σ7 21000.0 kN/m2 21.0 N/mm2

Calculs des contraintes en valeur absolue

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Vérification de la combinaison avec l'augmentation de la température

Vérification de la combinaison avec l'augmentation de la température

La section critique (la plus sollicitée) est à l'encastrement aval, membrure inférieure, le cas de changement de température en augmentant, avec: σlong = σx = σ1 + σ3 - σ6 + σ7 = -41.0 N/mm2 (traction) σtang= σy = σ5 = -264.3 N/mm2 (traction) τ = 3.1 N/mm2 (cisaillement) σ' = 246.4 N/mm2 < σ'r = 277.8 N/mm2 -> résistance; OK

Question 3

Est-ce que le risque de flambement des parois de la conduite existe et quel est le mode de voilement ?

Réponse 3 Le flambage et le voilement sont des phénomènes pouvant être causé uniquement par des contraintes de compression. Ainsi, tous les cas avec la pression intérieur de l'eau créant les contraintes tangentielles de tractions évitent le voilement de la section. Le cas déterminant ainsi est le cas avec le tube rempli d'eau, avec un écoulement gravitaire (pression interne nulle; par ex. lors de la vidange par gravité). Le cas de changement de température en augmentant (T2>T1) est à considérer, car il crée une contrainte de compression.

La longueur de flambage dépend des conditions de bords. Ayant le tube bi-encastré, la longueur de flambage vaut: Lk = 0.5 · L = 7.5 m Schéma de longueur de flambage Source: moodle epfl-Explication ex. 2

Section Encastr.Aval, inf Encastr.Aval, sup Mi-travée, inf Mi-travée, sup Encastr.Amont,inf Encastr.Amont,sup

σlong -41.0 -75.1 -66.8 -49.8 -41.5 -75.6

σtang -264.3 -264.3 -264.3 -264.3 -264.3 -264.3

τ 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1

σ' 246.4 235.9 238.1 243.3 246.2 235.8

σ'r 277.8 277.8 277.8 277.8 277.8 277.8

σ'r≥σ' ? ok ok ok ok ok ok

taux d'util. 0.887 0.849 0.857 0.876 0.886 0.849

Cas avec augmentation de la température T2 >T1

Section Encastr.Aval, inf Encastr.Aval, sup Mi-travée, inf Mi-travée, sup Encastr.Amont,inf Encastr.Amont,sup

σlong -83.0 -117.1 -108.8 -91.8 -83.5 -117.6

σtang -264.3 -264.3 -264.3 -264.3 -264.3 -264.3

τ 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1

σ' 234.1 229.4 230.1 232.4 234.0 229.4

σ'r 277.8 277.8 277.8 277.8 277.8 277.8

σ'r≥σ' ? ok ok ok ok ok ok

taux d'util. 0.843 0.826 0.828 0.837 0.842 0.826

Cas avec diminution de la température T2 < T1

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Valeurs des contraintes pour la combinaison "vidange"

En faisant la vérification au flambage selon la SIA263:

Formules pour vérification au flambage Source: moodle epfl-Explication ex. 2

J'obtiens:

Calculs de caractéristique de la section au flambage

Ainsi, je lis la valeur de k (coef. de réduction de résistance dû à l'instabilité) dans le tableau figure 12 de la norme:

Section Encastr.Aval, inf Encastr.Aval, sup Mi-travée, inf Mi-travée, sup Encastr.Amont,inf Encastr.Amont,sup

σlong 38.3 4.2 12.5 29.5 37.8 3.7

σtang 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

τ 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1

Cas avec augmentation de la température T2 >T1

λE 64.38 -

i 0.64 m

Lk 7.50 m

λK 11.71 -

λK 0.18 -

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Figure 12 SIA263 Source: moodle epfl-Explication ex. 2

k = 1 σk = fy · k / FS avec FS = 1.1 1.3 = 1.43 σk = 349.7 N/mm2 σmax = 38.3 N/mm2 < σk = 349.7 N/mm2 -> sollicitation < résistance au flambage -> OK En ce qui concerne le voilement, qui est une instabilité locale de section dès qu'une certaine contrainte de compression est dépassé, dépanadant de la géométrie de la section et du type d'acier. La valeur critique peut être estimé à l'aide de la formule donné par Lorenz / Timoshenko / Southwell:

Formule de Lorenz / Timoshenko / Southwell

σk voil. =1683 N/mm2 >> σlong -> OK

Ainsi, le risque de voilement est écarté.

Devoir Exercice n°2 – Aleksandar Trifunovic 8/8

Sources - Cours Ouvrages et aménagements hydrauliques I et II, epfl - Donné et explication de l'exercice 2, moodle epfl