Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

1 Axioma’s

2 Rechten en hoeken

3 Driehoeken

4 Vierhoeken

5 De cirkel

6 Veelhoeken

7 Analytische meetkunde

Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules van de eerste en de tweede graad.

Wat je gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.

1 Axioma's

� Twee punten bepalen juist één rechte.

Axioma punt-rechte A

B

a

� Door elk punt van het vlak dat niet op een rechte ligt, kan

men juist één rechte tekenen die evenwijdig is met de

gegeven rechte.

Axioma van Euclides

P

a

b

� Door elk punt van het vlak kan men juist één rechte tekenen

loodrecht op een gegeven rechte.

Axioma van de loodrechte stand a

P

b

� Een rechte die twee punten gemeenschappelijk heeft met

een vlak ligt in dat vlak.

Axioma rechte - vlak

� Drie niet-collineaire punten bepalen één vlak.

Axioma punt - vlak

2 Rechten en hoeken

� Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte,

dan zijn die twee rechten evenwijdig. a

c

b

⇒// en // //b a c a b c

� Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan

snijdt ze ook de andere.

a

b

c // en //b a c ⇒ //a c b

� Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte,

dan zijn die twee rechten evenwijdig.

a

c

b

⊥ ⊥ ⇒en //b a c a b c

� Als twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staat elke

rechte die evenwijdig is met één van deze rechten loodrecht

op de andere.

b

a

c

⊥ ⇒ ⊥en //a b c a c b

� Overstaande hoeken zijn gelijk.

A12

=1 2ˆ ˆA A

� Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een

derde rechte, dan zijn

1 twee overeenkomstige hoeken gelijk,

2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk,

3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk,

4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

elkaars supplement,

5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

elkaars supplement.

b

a

c

� Omgekeerde stelling

Als bij twee rechten gesneden door een rechte

1 twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee

rechten evenwijdig,

2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn de

twee rechten evenwijdig,

3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn de

twee rechten evenwijdig,

4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten

evenwijdig,

5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten

evenwijdig.

� Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk

a.s.a.

het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk.

Kenmerk van de middelloodlijn

A BM

P

m

=

ligt op ml

⇕

P AB

PA PB

� Een punt ligt op een deellijn van twee snijdende rechten

a.s.a.

het punt even ver ligt van de snijdende rechten.

Kenmerk van de deellijn

a

b

P

ligt op een deellijn van de

snijdende rechten en

P

a b

Pa Pb=

⇕

� Een spiegeling, een verschuiving, een draaiing en een puntspiegeling bewaren

• de afstand

• het midden van een lijnstuk,

• de evenwijdigheid,

• de loodrechte stand.

� • Een hoek en zijn spiegelbeeld zijn tegengesteld.

• Een hoek en zijn schuifbeeld, zijn draaibeeld en zijn puntspiegelbeeld zijn gelijk.

� • Het spiegelbeeld, het schuifbeeld, het draaibeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is

een rechte.

• Het schuifbeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte met dezelfde richting.

� • Het projectiebeeld van een rechte, die geen rechte is van

de projectierichting, is de projectieas.

• Het projectiebeeld van een rechte van de projectierichting

is het snijpunt van de rechte en de projectieas.

x

y ab

S

( )

( )

=

=

yx

yx

p a x

p b S

� • Het projectiebeeld van een lijnstuk, waarvan de drager

geen rechte is van de projectierichting, is een lijnstuk dat

bepaald is door de projectiebeelden van de grenspunten

van het lijnstuk.

• Het projectiebeeld van een lijnstuk waarvan de drager

een rechte is van de projectierichting, is het snijpunt van

de drager van het lijnstuk en de projectieas.

x

y

S

C

D

A

B

A'

B'

( )

( )

=

=

' 'yx

yx

p AB A B

p CD S

� Een projectie bewaart de verhouding van evenwijdige

lijnstukken. A

C

A'

y

x

B

B' C'

D

D'

⇒ = ' '

//' '

AB A BAB CD

CD C D

� De projectiebeelden van evenwijdige en even lange

lijnstukken zijn even lang. A

C

A'

y

x

B

B' C'

D

D' =

⇓

=

//

' ' ' '

AB CD en AB CD

A B C D

� Een projectie bewaart het midden.

A

A'

y

x

B

B'

M

M'

⇓

is het midden van

' is het midden van ' '

M AB

M A B

� Drie evenwijdige rechten bepalen op twee snijlijnen

evenredige lijnstukken.

Stelling van Thales A

BC

M N P

a b c

x

y

⇒ =// //AB MN

a b cBC NP

� Als een rechte twee lijnstukken, waarvan de grenspunten op

twee evenwijdige rechten liggen, in evenredige lijnstukken

verdeelt, dan is deze rechte evenwijdig met de rechten door

de grenspunten.

Omgekeerde stelling van Thales

AB

C

x

y

PNM

//

// //

AB MNAM CP en

BC NP

BN AM CP

=

⇓

� Een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn gelijkvormig.

� In een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig.

� • Het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van een

hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de cosinus

van de hoek.

• Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van een

hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de sinus

van de hoek.

• Het quotiënt van de sinus en de cosinus van een hoek,

noemt men de tangens van de hoek.

� • Voor elke hoek α geldt: 2 2sin cos 1α α+ = .

Hoofdformule goniometrie

� • ( )cos 90 sinα α° − =

• ( )sin 90 cosα α° − =

• ( )1

tan 90tan

αα

° − =

Goniometrische getallen van

complementaire hoeken

� • ( )cos 180 cosα α° − = −

• ( )sin 180 sinα α° − =

• ( )tan 180 tanα α° − = −

Goniometrische getallen van

supplementaire hoeken

� Een vlak wordt bepaald door:

• drie niet-collineaire punten,

• een rechte en een punt buiten de rechte,

• twee snijdende rechten,

• twee evenwijdige rechten.

( )vl ,A aα =

( )vl ,a bα =

( )vl ,a bα =

� Als één van twee evenwijdige rechten een vlak snijdt, dan

snijdt de andere rechte ook dat vlak.

// en |a b a |bα ⇒ α

� Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan ligt de rechte

die door een punt van dat vlak gaat en evenwijdig is met de

gegeven rechte volledig in dat vlak.

// en ligt in

gaat door en //

ligt in

a A

b A b a

b

α α

α

⇒

� Als een rechte a niet in een vlak α ligt, maar evenwijdig is

met een rechte van het vlak α , dan is de rechte a

evenwijdig met het vlak α .

//

ligt niet in

ligt in

//

a b

a

b

a

α

α

α

⇒

� Als een vlak één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan

snijdt het ook het andere vlak.

|γ en // |α α β γ⇒ β

� Als een vlak twee evenwijdige vlakken snijdt, dan zijn de

snijlijnen evenwijdig.

|γ met snijlijn

|

aα

γ met snijlijn

//

//

b

a b

β

α β

⇒

� Als een rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten

van een vlak, dan is deze rechte een loodlijn op dat vlak.

en

|

AE AB AE AD

AB

⊥ ⊥

( )vl , ,

AD

AE A B D

⇒ ⊥

� Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als in het ene vlak

een rechte ligt die loodrecht staat op het andere vlak.

( )

( )

ligt in vl , ,

vl , ,

AE

AE A E G

A E G

α

α

⊥

⇒ ⊥

3 Driehoeken

� De som van de hoeken van een driehoek is 180°. A

BC + + = °ˆˆ ˆ 180A B C

� Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de

niet-aanliggende binnenhoeken.

A

BC

1

= +1ˆˆ ˆA B C

� In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook

• de deellijn van de tophoek,

• de zwaartelijn naar de basis,

• de middelloodlijn van de basis.

C B

A

M

� Een driehoek is gelijkbenig

a.s.a.

twee hoeken van de driehoek gelijk zijn.

Kenmerk gelijkbenige driehoek

C B

A

∆

= ˆˆ

⇕

ABC is gelijkbenig

B C

� Een driehoek is gelijkzijdig

a.s.a.

alle hoeken van de driehoek gelijk zijn.

Kenmerk gelijkbenige driehoek

C B

A

ˆˆ ˆ

ABC is gelijkzijdig

A B C

∆

= =

⇕

� Als een paar zijden van twee driehoeken even lang is en de

twee paar aanliggende hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

congruent.

Congruentiekenmerk ‘HZH’ A

BC

K

LM

� Als twee paar zijden van twee driehoeken even lang zijn en

de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

congruent.

Congruentiekenmerk ‘ZHZ’ A

BC

K

LM

� Als de drie paar zijden van twee driehoeken even lang zijn,

dan zijn de driehoeken congruent.

Congruentiekenmerk ‘ZZZ’ A

BC

K

LM

� Als de schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken en

een paar rechthoekszijden even lang zijn, dan zijn de

driehoeken congruent.

Congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken.

A

B

C

K

L

M

� Een rechte die evenwijdig is met een zijde van een driehoek,

bepaalt met de andere zijden een driehoek die gelijkvormig is

met de gegeven driehoek.

A

BC

L K

∆

⇓

∆ ∆

met //

∼

ABC KL BC

ABC AKL

� Als twee paar hoeken van twee driehoeken gelijk zijn, dan

zijn de driehoeken gelijkvormig.

Gelijkvormigheidskenmerk ‘HH’

A

BC

K

M L

=

=

∆ ∆

ˆ ˆ

ˆ ˆ���⇕

∼

A K

B L

ABC KLM

� Als twee paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn en

de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

gelijkvormig.

Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZHZ’

A

BC

K

M L

=

=

∆ ∆

ˆ ˆ

�������⇕

∼

A K

AB AC

KL KM

ABC KLM

� Als de drie paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn,

dan zijn de driehoeken gelijkvormig.

Gelijkvormigheidskenmerk ‘ZZZ’

A

BC

K

M L

= =

∆ ∆

���������⇕

∼

AB BC AC

KL LM KM

ABC KLM

� • De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan een

gelijkvormigheidsfactor.

• De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het

kwadraat van een gelijkvormigheidsfactor.

• De verhouding van de inhouden van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de derdemacht

van een gelijkvormigheidsfactor.

� • Het lijnstuk bepaald door de middens van twee zijden van

een driehoek is een middenparallel van de driehoek.

• In een driehoek is een middenparallel evenwijdig met en

half zo lang als de derde zijde.

A

BC

KL

∆

⇓

=

is een middenparallel

van

1// en

2

KL

ABC

KL BC KL BC

� De rechte door het midden van een zijde van een driehoek,

evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van

de derde zijde.

A

BC

KL

⇓

is het midden van

en //

is het midden van

K AB

KL BC

L AC

� In een driehoek verdeelt het zwaartepunt elke zwaartelijn in

twee stukken waarvan het ene tweemaal zo lang is als het

andere.

A

BC

KM

L

Z

∆

⇓

= =

=

is het zwaartepunt

van

2 , 2 ,

2

Z

ABC

AZ LZ BZ ZM

CZ ZK

� In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de

overstaande zijde in twee lijnstukken die zich verhouden

zoals de aanliggende zijden.

A

BCD

∆ =

⇓

=

ˆmet dlABC AD A

CD AC

BD AB

� In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de

schuine zijde half zo lang als de schuine zijde.

A

B

C

M

∆ = °

⇓

=

ˆmet 90 en

zwaartelijn

1

2

ABC A

AM

AM BC

� Als de zwaartelijn naar een zijde van een driehoek half

zolang is als deze zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

A

B

C

M

∆

=

⇓

∆

met zwaartelijn

1en

2

is rechthoekig

ABC AM

AM BC

ABC

� In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte

op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken

waarin ze de schuine zijde verdeelt. A

B

C

H

2

ˆmet 90

en hoogte

ABC A

AH

AH BH CH

∆ = °

⇓

= ⋅

� In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een

rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde

en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de

schuine zijde. A

B

C

H

∆ = °

⇓

= ⋅

= ⋅

2

2

ˆmet 90

en hoogte

ABC A

AH

AB BC BH

AC BC CH

� In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine

zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de

rechthoekszijden.

Stelling van Pythagoras A

B

C

∆ = °

⇓

= +2 2 2

ˆmet 90ABC A

BC AB AC

� Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan

de som van de kwadraten van de andere zijden, dan is de

driehoek rechthoekig.

Omgekeerde stelling van Pythagoras X

Y

Z

= +

⇓

∆

2 2 2

is rechthoekig

YZ XY XZ

XYZ

� In een rechthoekige driehoek is

• de overstaande rechthoekszijde

sinusschuine zijde

α =

• de aanliggende rechthoekszijde

cosinusschuine zijde

α =

• de overstaande rechthoekszijde

tangensde aanliggende rechthoekszijde

α =

Goniometrische getallen van een scherpe hoek

A

B

C

α

sin

cos

tan

AC

BC

AB

BC

AC

AB

α =

α =

α =

� In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek α geldt:

• α + α =2 2sin cos 1

• α

α =α

sintan

cos

� 1 1 1

A sin sin sin2 2 2ABC b c a c a bα β γ∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

� • In ABC∆ geldt: sin sin sin

a b c

α β γ= = .

Sinusregel

• In ABC∆ met omgeschreven cirkel ( ),M rc geldt:

2sin sin sin

a b cr= = =

α β γ.

� In ABC∆ geldt:

• 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − ⋅

• 2 2 2 2 cosb a c ac β= + − ⋅

• 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + − ⋅

Cosinusregel

� • De drie middelloodlijnen van een driehoek hebben een

gemeenschappelijk punt.

Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van een

driehoek noemen we het middelpunt van de driehoek.

• De cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek

noemen we de omgeschreven cirkel van de driehoek.

� De drie hoogtelijnen van een driehoek hebben een

gemeenschappelijk punt.

Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek

noemen we het hoogtepunt van de driehoek.

� • De drie deellijnen van een driehoek hebben een

gemeenschappelijk punt.

Het snijpunt van de drie deellijnen van een driehoek

noemen we het deelpunt van de driehoek.

• De cirkel die de drie zijden van een driehoek raakt,

noemen we de ingeschreven cirkel van de driehoek.

4 Vierhoeken

� De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

A

B

C

D

+ + + = °ˆˆ ˆ ˆ 360A B C D

� Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.

A

B C

D

� Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de

aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn.

A

B C

D

� Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande

zijden evenwijdig zijn.

A

B C

D

� Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken.

A

B C

D

� Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

A

B

C

D

� Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier

even lange zijden.

A

B C

D

� Een vierhoek is een parallellogram

a.s.a.

de overstaande zijden even lang zijn.

Zijden-kenmerk parallellogram A

B C

D

= =

is een parallellogram

⇕

ABCD

AB CD en AD BC

� Een vierhoek is een parallellogram

a.s.a.

twee overstaande zijden evenwijdig zijn en even lang.

Overstaande zijden-kenmerk parallellogram A

B C

D

=

is een parallellogram

//

⇕

ABCD

AB CD en AB CD

� Een vierhoek is een parallellogram

a.s.a.

de overstaande hoeken gelijk zijn.

Hoeken-kenmerk parallellogram A

B C

D

= =

is een parallellogram

ˆˆ ˆ ˆ

⇕

ABCD

A C en B D

� Een vierhoek is een parallellogram

a.s.a.

de diagonalen elkaar middendoor snijden.

Diagonalen-kenmerk parallellogram A

B C

D

M

= =

is een parallellogram

⇕

ABCD

AM CM en BM DM

� Rechthoek

• In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang.

• In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor.

� Ruit

• In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.

• In een ruit zijn de overstaande hoeken gelijk.

• In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en snijden ze elkaar middendoor .

� Vierkant

Een vierkant is een parallellogram, een rechthoek en een ruit. Een vierkant bezit dus alle

eigenschappen van deze vlakke figuren.

� Trapezium

• Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een

basis gelijk zijn, dan zijn de aanliggende hoeken van de

andere basis ook gelijk.

• Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een

basis gelijk zijn, dan zijn de opstaande zijden even lang.

A

B C

D ˆ ˆtrapezium met

ˆˆ en

ABCD A D

B C AB CD

=

⇓

= =

5 Cirkels

� Door drie niet-collineaire punten gaat juist één cirkel.

� • Een middellijn van een cirkel is een symmetrieas van

de cirkel.

• Het middelpunt van een cirkel is het

symmetriecentrum van de cirkel.

Symmetrie bij een cirkel

� Voor een koorde van een cirkel, die geen middellijn is,

geldt:

• de middelloodlijn van de koorde is een middellijn van

de cirkel;

• de middellijn die loodrecht op de koorde staat, snijdt

de koorde middendoor;

• de middellijn die de koorde middendoor snijdt, staat

loodrecht op de koorde.

Stellingen koorde-middellijn

� Het apothema van een koorde deelt de koorde

middendoor.

is het apothema van

is het midden van

MV AB

V AB

⇒

� Voor elke twee koorden van een cirkel geldt:

de koorden zijn even lang

⇕

de apothema's van de koorden zijn even lang.

Kenmerk koorde-apothema AB DE MV MZ= ⇔ =

� • Een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van

een cirkel is, noemt men een middelpuntshoek van de

cirkel.

• Een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt en

waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men een

omtrekshoek van de cirkel.

� Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de

middelpuntshoek op dezelfde boog.

� �1

2D M=

� Alle omtrekshoeken van een cirkel die op dezelfde boog

staan zijn gelijk.

� � � �1

1...

2= = = =D E F M

� Een omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht.

� �1

1 1180 90

2 2= = ⋅ ° = °D M

� • Een hoek waarvan het hoekpunt buiten een cirkel ligt

en waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men

een buitenomtrekshoek van de cirkel.

• Een hoek waarvan het hoekpunt binnen een cirkel ligt,

noemt men een binnenomtrekshoek van de cirkel.

� Een buitenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan het

halve verschil van de middelpuntshoeken die op dezelfde

bogen staan.

� � �( )1 2

1

2A M M= −

� Een binnenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan de

halve som van de middelpuntshoeken die op dezelfde

bogen staan.

� � �( )1 1 2

1

2A M M= +

� Voor twee koorden van een cirkel en de bijbehorende

kleinste middelpuntshoeken geldt:

de middelpuntshoeken zijn gelijk

⇕

de koorden zijn even lang.

Kenmerk koorde-middelpuntshoek

� �1 2O O AB CD= ⇔ =

� Het product van de afstanden van een punt tot de

snijpunten van een cirkel en een willekeurige rechte door

dat punt is constant.

Dit constante getal noemen we de macht van het punt

ten opzichte van de cirkel.

PA PB PC PD⋅ = ⋅

� • Een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel

liggen, noemt men een koordenvierhoek.

• De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn

supplementair.

� � 180D F+ = ° en � � 180E G+ = °

� Als twee cirkels raken, dan ligt het raakpunt op de

centraal van de twee cirkels.

( ) ( ), , en raken in

ligt op

O r M sc c A

A OM⇒

�

� Een rechte en een cirkel kunnen geen, één of twee

punten gemeenschappelijk hebben.

• Een rechte s en een cirkel ( ),M rc hebben twee punten

gemeenschappelijk Ms r⇔ < .

• Een rechte t en een cirkel ( ),M rc hebben één punt

gemeenschappelijk Mt r⇔ = .

• Een rechte u en een cirkel ( ),M rc hebben geen punten

gemeenschappelijk⇔ >Mu r .

Afstand van het middelpunt van een

cirkel tot een rechte

� Voor een rechte, een cirkel en een punt A van de cirkel

geldt:

de rechte is een raaklijn aan de cirkel in een punt A

⇕

de rechte staat in A loodrecht op de middellijn door A

Kenmerk raaklijn aan een cirkel

( ), raakt in A t MA

M rt c ⇔ ⊥

� • De afstanden van het punt, waaruit men de raaklijnen

aan een cirkel tekent, tot de raakpunten zijn gelijk.

• De rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met

het middelpunt is een deellijn van de hoek gevormd

door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel.

Eigenschappen van de raaklijnen uit een punt

c (M,r)

M

A

B

P

12

( )

( )

� �

,

,

1 2

raakt in

raakt in

en

M r

M r

PA c A

PB c B

PA PB P P

⇒ = =

� De kleinste hoek tussen een raaklijn en een koorde is

gelijk aan de helft van de kleinste middelpuntshoek op

die koorde.

� �1 1

1

2A M=

7 Regelmatige veelhoeken

� De som van de hoeken van een hoekn − is ( )2 180n − ⋅ ° .

� Voor een regelmatige hoekn − met straal r is

• de hoek ( )2 180n

n

− ⋅ °,

• de lengte van de zijde 180

2 sinnz rn

°= ⋅ ⋅ ,

• de lengte van het apothema 180

cosna rn

°= ⋅ ,

• de omtrek 180

2 sinnO n rn

°= ⋅ ⋅ ⋅ ,

• de oppervlakte 21 360sin

2nA n rn

°= ⋅ ⋅ ⋅ .

6 Analytische meetkunde

� Voor twee rechten, die niet dezelfde richting hebben als de assen, geldt:

de rechten staan loodrecht op elkaar

⇕

het product van hun richtingscoëfficiënten is gelijk aan 1− .

Kenmerk loodrechte stand

� Voor het punt ( ),P PP x y en de rechte : 0u ax by c+ + = geldt: 2 2

P Pax by cPu

a b

+ +=

+.

Formule afstand punt-rechte

� De cirkel ( ),M rc met ( ),M MM x y heeft als vergelijking

( ) ( ) ( )2 2 2

,: M MM r

c x x y y r− + − = .

Middelpuntsvergelijking van een cirkel

� Als 2 2 4 0a b c+ − > , dan is 2 2 0x y ax by c+ + + + = de vergelijking van een cirkel ( ),M rc

met ,2 2

a bM

− −

en 2 214

2r a b c= + − .

Algemene vergelijking van een cirkel